วิธีค้นหาพิกัดของพาราโบลา สมการสามจุด: วิธีหาจุดยอดของพาราโบลา, สูตร

ในทางคณิตศาสตร์มีวัฏจักรของตัวตนทั้งหมดซึ่งสมการกำลังสองครอบครองสถานที่สำคัญ ความเท่าเทียมกันดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ทั้งแบบแยกกันและสร้างกราฟบนแกนพิกัด สมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงโอ้

แบบฟอร์มทั่วไป

ใน ปริทัศน์มีโครงสร้างดังนี้

ทั้งตัวแปรแต่ละตัวและนิพจน์ทั้งหมดถือเป็น "X" ตัวอย่างเช่น:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

ในกรณีที่บทบาทของ x เป็นนิพจน์ จำเป็นต้องแสดงเป็นตัวแปรแล้วค้นหา หลังจากนั้น ให้เทียบพหุนามกับนิพจน์เหล่านั้นแล้วหา x

ดังนั้น ถ้า (x+7)=a สมการจะอยู่ในรูปแบบ 2 +3a+2=0

ส=3 2 -4*1*2=1;

และ 1 =(-3-1)/2*1=-2;

และ 2 =(-3+1)/2*1=-1

ด้วยรากที่เท่ากับ -2 และ -1 เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

x+7=-2 และ x+7=-1;

รากคือค่าพิกัด x ของจุดที่พาราโบลาตัดกับแกน x โดยหลักการแล้ว ค่าของมันไม่สำคัญนักหากภารกิจคือการค้นหาจุดยอดของพาราโบลาเท่านั้น แต่สำหรับการวางแผนกราฟ รากมีบทบาทสำคัญ

ลองกลับไปที่สมการเริ่มต้นกัน ในการตอบคำถามว่าจะหาจุดยอดของพาราโบลาได้อย่างไร คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ x VP คือค่าพิกัด x ของจุดที่ต้องการ

แต่จะหาจุดยอดของพาราโบลาที่ไม่มีค่าพิกัด y ได้อย่างไร เราแทนที่ค่า x ผลลัพธ์ลงในสมการและค้นหาตัวแปรที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการต่อไปนี้:

ค้นหาค่าพิกัด x สำหรับจุดยอดของพาราโบลา:

x รองประธาน =-b/2a=-3/2*1;

ค้นหาค่าพิกัด y สำหรับจุดยอดของพาราโบลา:

y=2x 2 +4x-3=(-1.5) 2 +3*(-1.5)-5;

เป็นผลให้เราพบว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดที่มีพิกัด (-1.5;-7.25)

พาราโบลาคือจุดเชื่อมต่อของจุดที่มีแนวดิ่ง ด้วยเหตุนี้ การสร้างพาราโบลาจึงไม่ใช่เรื่องยากเป็นพิเศษ สิ่งที่ยากที่สุดคือการคำนวณพิกัดของจุดให้ถูกต้อง

ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ a ส่งผลต่อทิศทางของพาราโบลา ในกรณีที่มีค่าเป็นลบ กิ่งก้านจะชี้ลง และเมื่อเครื่องหมายเป็นบวก กิ่งก้านก็จะชี้ขึ้น

ค่าสัมประสิทธิ์ b บ่งบอกว่าแขนพาราโบลาจะกว้างแค่ไหน ยิ่งมูลค่าสูงเท่าไรก็ยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น

ค่าสัมประสิทธิ์ c บ่งชี้ถึงการกระจัดของพาราโบลาตามแกน OS ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด

เราได้เรียนรู้วิธีการหาจุดยอดของพาราโบลาแล้ว และเพื่อหาราก เราควรจะใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ D คือตัวแยกแยะที่จำเป็นในการค้นหารากของสมการ

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

ค่า x ที่ได้จะสอดคล้องกับค่าศูนย์ y เพราะ เป็นจุดตัดกับแกน OX

หลังจากนั้นเราจะทำเครื่องหมายค่าผลลัพธ์ที่ด้านบนของพาราโบลา หากต้องการดูกราฟที่มีรายละเอียดมากขึ้น คุณจะต้องค้นหาจุดเพิ่มเติมอีก 2-3 จุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกค่า x ใดๆ ที่โดเมนของคำจำกัดความอนุญาตและแทนที่ลงในสมการของฟังก์ชัน ผลการคำนวณจะเป็นพิกัดของจุดตามแนวแกนออปแอมป์

เพื่อให้กระบวนการสร้างกราฟง่ายขึ้น คุณสามารถวาดเส้นแนวตั้งผ่านด้านบนของพาราโบลาและตั้งฉากกับแกน OX ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเมื่อมีจุดหนึ่งคุณสามารถกำหนดจุดที่สองได้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากเส้นที่ลาก

พาราโบลาคือกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง เส้นนี้มีนัยสำคัญ ความหมายทางกายภาพ- เพื่อให้ง่ายต่อการหาจุดยอดของพาราโบลา คุณต้องวาดมัน จากนั้นคุณจะเห็นจุดสูงสุดบนแผนภูมิได้อย่างง่ายดาย แต่ในการสร้างพาราโบลา คุณต้องรู้วิธีหาจุดของพาราโบลา และวิธีหาพิกัดของพาราโบลา

การหาจุดและจุดยอดของพาราโบลา

ใน ความคิดทั่วไปฟังก์ชันกำลังสองมีรูปแบบดังนี้: y = ax 2 + bx + c กราฟของสมการนี้คือพาราโบลา เมื่อค่าเป็น › 0 กิ่งก้านของมันจะชี้ขึ้น และเมื่อค่าเป็น ‹ 0 กิ่งก้านของมันจะถูกชี้ลง ในการสร้างพาราโบลาบนกราฟ คุณจำเป็นต้องรู้จุดสามจุดหากพาราโบลาวิ่งไปตามแกนพิกัด มิฉะนั้นจะต้องทราบจุดก่อสร้างสี่จุด

เมื่อหาค่าแอบซิสซา (x) คุณต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ของ (x) จากสูตรพหุนามที่กำหนด แล้วหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์สองเท่าของ (x 2) แล้วคูณด้วยตัวเลข – 1

ในการหาพิกัด คุณต้องหาตัวแบ่งแยก จากนั้นคูณด้วย – 1 แล้วหารด้วยสัมประสิทธิ์ที่ (x 2) หลังจากคูณด้วย 4

ต่อไป โดยการแทนที่ค่าตัวเลข จุดยอดของพาราโบลาจะถูกคำนวณ สำหรับการคำนวณทั้งหมด ขอแนะนำให้ใช้เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม และเมื่อวาดกราฟและพาราโบลา ให้ใช้ไม้บรรทัดและลูโมกราฟ ซึ่งจะช่วยเพิ่มความแม่นยำในการคำนวณของคุณได้อย่างมาก

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อช่วยให้เราเข้าใจวิธีหาจุดยอดของพาราโบลา

x 2 -9=0. ใน ในกรณีนี้พิกัดจุดยอดคำนวณได้ดังนี้ จุดที่ 1 (-0/(2*1); จุดที่ 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)) ดังนั้นพิกัดของจุดยอดจึงเป็นค่า (0; 9)

การหาจุดแอบซิสซาของจุดยอด

เมื่อคุณรู้วิธีหาพาราโบลาและสามารถคำนวณจุดตัดกันด้วยแกนพิกัด (x) ได้แล้ว คุณก็สามารถคำนวณค่าแอบซิสซาของจุดยอดได้อย่างง่ายดาย

ให้ (x 1) และ (x 2) เป็นรากของพาราโบลา รากของพาราโบลาคือจุดตัดกับแกน x ค่าเหล่านี้ตั้งเป็นศูนย์ สมการกำลังสอง ประเภทต่อไปนี้: ขวาน 2 + bx + c

ยิ่งไปกว่านั้น |x 2 | > |x 1 | ซึ่งหมายความว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ตรงกลางระหว่างจุดเหล่านั้น ดังนั้น จึงสามารถหาได้โดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |)

การหาพื้นที่ของรูป

ในการหาพื้นที่ของรูปบนระนาบพิกัด คุณจำเป็นต้องรู้อินทิกรัล และเพื่อนำไปใช้ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้อัลกอริธึมบางอย่าง ในการค้นหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา จำเป็นต้องสร้างภาพดังกล่าวในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ขั้นแรก โดยใช้วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น พิกัดของจุดยอดของแกน (x) จะถูกกำหนด จากนั้นจึงระบุแกน (y) หลังจากนั้นจะพบจุดยอดของพาราโบลา ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดขีดจำกัดของการรวมระบบ ตามกฎแล้ว พวกมันจะถูกระบุในคำชี้แจงปัญหาโดยใช้ตัวแปร (a) และ (b) ค่าเหล่านี้ควรวางไว้ที่ส่วนบนและล่างของอินทิกรัลตามลำดับ ถัดไป คุณควรป้อนค่าของฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไปแล้วคูณด้วย (dx) ในกรณีของพาราโบลา: (x 2)dx

จากนั้นคุณจะต้องคำนวณค่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณควรใช้ตารางค่าพิเศษ เมื่อแทนที่ขีดจำกัดของการบูรณาการที่นั่น ก็พบความแตกต่าง ความแตกต่างนี้จะเป็นพื้นที่

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาระบบสมการ: y = x 2 +1 และ x + y = 3

พบจุดตัดของจุดตัด: x 1 = -2 และ x 2 = 1

เราถือว่า y 2 = 3 และ y 1 = x 2 + 1 แทนค่าในสูตรด้านบนและรับค่าเท่ากับ 4.5

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีหาพาราโบลาแล้วและจากข้อมูลนี้ คำนวณพื้นที่ของรูปที่มันจำกัดไว้ด้วย

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นโค้งลำดับที่สอง จุดต่างๆ ถูกสร้างขึ้นตามสมการกำลังสอง สิ่งสำคัญในการสร้างเส้นโค้งนี้คือการค้นหา สูงสุด พาราโบลา- ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

เพื่อค้นหาพิกัดของจุดยอด พาราโบลาให้ใช้สูตรต่อไปนี้: x=-b/2a โดยที่ a คือสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสอง และ b คือสัมประสิทธิ์ของ x เสียบค่าของคุณและคำนวณมูลค่าของมัน จากนั้นแทนที่ค่าผลลัพธ์ของ x ลงในสมการและคำนวณพิกัดของจุดยอด ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับสมการ y=2x^2-4x+5 ให้หาค่าแอบซิสซาดังนี้: x=-(-4)/2*2=1 แทน x=1 ลงในสมการ แล้วคำนวณค่า y สำหรับจุดยอด พาราโบลา: y=2*1^2-4*1+5=3. ดังนั้นด้านบน พาราโบลามีพิกัด (1-3)

มูลค่าของการบวช พาราโบลาสามารถพบได้โดยไม่ต้องคำนวณ abscissa ก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร y=-b^2/4ac+c

หากคุณคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ ให้ค้นหา สูงสุด พาราโบลาการใช้อนุพันธ์โดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของฟังก์ชันใด ๆ ต่อไปนี้: อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเท่ากับศูนย์จะระบุจุดสุดขั้ว ตั้งแต่ด้านบน พาราโบลาโดยไม่คำนึงถึงว่ากิ่งก้านของมันชี้ขึ้นหรือลง เป็นจุดสุดขั้ว ให้คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันของคุณ โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ f(x)=2ax+b ทำให้มันเท่ากับศูนย์และรับพิกัดของจุดยอด พาราโบลาตรงกับหน้าที่ของคุณ

ลองหาดูนะครับ สูงสุด พาราโบลาโดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเช่นความสมมาตร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาจุดตัดกัน พาราโบลาด้วยแกน x ทำให้ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ (แทนที่ y = 0) โดยการแก้สมการกำลังสอง คุณจะพบ x1 และ x2 เนื่องจากพาราโบลามีความสมมาตรเทียบกับไดเรกตริกซ์ที่ผ่าน สูงสุดจุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจากจุดตัดของจุดยอดเท่ากัน หากต้องการค้นหา ให้แบ่งระยะห่างระหว่างจุดเป็นครึ่งหนึ่ง: x=(Ix1-x2I)/2

หากค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เป็นศูนย์ (ยกเว้น a) ให้คำนวณพิกัดของจุดยอด พาราโบลาโดยใช้สูตรอย่างง่าย ตัวอย่างเช่น หาก b=0 นั่นคือสมการอยู่ในรูปแบบ y=ax^2+c แล้วจุดยอดจะอยู่บนแกน oy และพิกัดของมันจะเท่ากับ (0-c) หากไม่เพียงแต่สัมประสิทธิ์ b=0 แต่ยัง c=0 ด้วย แสดงว่าเป็นจุดยอด พาราโบลาอยู่ที่จุดเริ่มต้น จุด (0-0)

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มที่เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง – พาราโบลา.

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

ฉันกรณีพาราโบลาคลาสสิก

นั่นคือ , ,

หากต้องการสร้าง ให้กรอกตารางโดยแทนที่ค่า x ลงในสูตร:

ทำเครื่องหมายจุด (0;0); (1;1); (-1;1) เป็นต้น บนระนาบพิกัด (ยิ่งขั้นตอนที่เราใช้ค่า x น้อย (ในกรณีนี้คือขั้นตอนที่ 1) และยิ่งเราใช้ค่า x มากเท่าใด เส้นโค้งก็จะยิ่งนุ่มนวลขึ้นเท่านั้น) เราจะได้พาราโบลา:

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเราใช้กรณี , , นั่นคือ เราจะได้พาราโบลาที่สมมาตรรอบแกน (oh) ง่ายต่อการตรวจสอบโดยกรอกตารางที่คล้ายกัน:

กรณีที่สอง “a” แตกต่างจากหน่วย

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเอา , , ? พฤติกรรมของพาราโบลาจะเปลี่ยนไปอย่างไร? ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

ในภาพแรก (ดูด้านบน) จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าจุดจากตารางสำหรับพาราโบลา (1;1), (-1;1) ถูกแปลงเป็นจุด (1;4), (1;-4) นั่นคือ ที่มีค่าเท่ากัน ลำดับของแต่ละจุดจะคูณด้วย 4 ซึ่งจะเกิดขึ้นกับจุดสำคัญทั้งหมดของตารางต้นฉบับ เราให้เหตุผลคล้ายกันในกรณีของภาพที่ 2 และ 3

และเมื่อพาราโบลา “กว้างขึ้น” มากกว่าพาราโบลา:

สรุป:

1)เครื่องหมายสัมประสิทธิ์กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) มูลค่าสัมบูรณ์ ค่าสัมประสิทธิ์ (โมดูลัส) มีหน้าที่รับผิดชอบในการ "ขยายตัว" และ "การบีบอัด" ของพาราโบลา ยิ่งพาราโบลามีขนาดใหญ่เท่าใด พาราโบลาก็จะแคบลงเท่านั้น

กรณีที่สาม “C” ปรากฏขึ้น

ตอนนี้เรามาแนะนำเกม (นั่นคือ พิจารณากรณีที่) เราจะพิจารณาพาราโบลาของแบบฟอร์ม . เดาได้ไม่ยาก (คุณสามารถดูตารางได้ตลอดเวลา) ว่าพาราโบลาจะเลื่อนขึ้นหรือลงตามแนวแกนขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย:

IV กรณี “b” ปรากฏขึ้น

พาราโบลาจะ “แยกตัว” ออกจากแกนและ “เดิน” ไปตามระนาบพิกัดทั้งหมดเมื่อใด เมื่อไหร่จะเลิกเท่ากัน?

ตรงนี้เพื่อสร้างพาราโบลาที่เราต้องการ สูตรคำนวณจุดยอด: , .

ดังนั้น ณ จุดนี้ ( ณ จุด (0;0) ระบบใหม่พิกัด) เราจะสร้างพาราโบลาซึ่งเราทำได้แล้ว หากเรากำลังจัดการกับกรณีนี้จากจุดยอดเราวางส่วนของหน่วยหนึ่งส่วนไปทางขวาหนึ่งส่วนขึ้น - จุดผลลัพธ์คือของเรา (ในทำนองเดียวกันก้าวไปทางซ้ายหนึ่งก้าวขึ้นไปคือจุดของเรา) หากเรากำลังเผชิญอยู่ตัวอย่างเช่นจากจุดสุดยอดเราวางส่วนของหน่วยไปทางขวาสอง - ขึ้นไปเป็นต้น

ตัวอย่างเช่น จุดยอดของพาราโบลา:

สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือที่จุดยอดนี้ เราจะสร้างพาราโบลาตามรูปแบบพาราโบลา เพราะในกรณีของเรา

เมื่อสร้างพาราโบลา หลังจากหาพิกัดของจุดยอดได้มากแล้วสะดวกในการพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

1) พาราโบลา จะผ่านจุดนั้นไปอย่างแน่นอน - อันที่จริง เมื่อแทน x=0 ลงในสูตร เราก็จะได้ว่า นั่นคือ พิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) คือ ในตัวอย่างของเรา (ด้านบน) พาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด เนื่องจาก

2) แกนสมมาตร พาราโบลา เป็นเส้นตรง ดังนั้นทุกจุดของพาราโบลาจะสมมาตรกัน ในตัวอย่างของเรา เราจะหาจุด (0; -2) ทันทีและสร้างมันขึ้นมาโดยสัมพันธ์กับแกนสมมาตรของพาราโบลา เราจะได้จุด (4; -2) ที่พาราโบลาจะผ่านไป

3) เมื่อเท่ากับ เราจะหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oh) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ เราจะได้หนึ่ง (, ), สอง ( title="Rendered โดย QuickLaTeX.com ขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} - ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ รากของการแบ่งแยกของเราไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อสร้าง มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่เราจะค้นหาราก แต่เราเห็นชัดเจนว่าเราจะมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน (oh) (ตั้งแต่ title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

เรามาลองดูกัน

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลาหากกำหนดไว้ในรูปแบบ

1) กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (a>0 – up, a<0 – вниз)

2) เราค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร , .

3) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) โดยใช้เทอมอิสระสร้างจุดที่สมมาตรกับจุดนี้สัมพันธ์กับแกนสมมาตรของพาราโบลา (ควรสังเกตว่ามันเกิดขึ้นว่าการทำเครื่องหมายนี้ไม่ได้ประโยชน์ จุด เช่น เพราะค่ามันมาก...เราข้ามจุดนี้ไป...)

4) ที่จุดที่พบ - จุดยอดของพาราโบลา (ณ จุด (0;0) ของระบบพิกัดใหม่) เราสร้างพาราโบลา ถ้า title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) (หากยังไม่ "โผล่ขึ้นมา") โดยการแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

หมายเหตุ 1.หากในตอนแรกเราให้พาราโบลาในรูปแบบ ซึ่งมีตัวเลขอยู่บ้าง (เช่น ) การสร้างพาราโบลาจะง่ายกว่านี้อีก เนื่องจากเราได้รับพิกัดของจุดยอดแล้ว ทำไม

เอาล่ะ ตรีโกณมิติกำลังสองและเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในนั้น: ดูสิ เราได้สิ่งนั้น , . คุณและฉันก่อนหน้านี้เรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือตอนนี้

ตัวอย่างเช่น, . เราทำเครื่องหมายจุดยอดของพาราโบลาบนระนาบ เราเข้าใจว่ากิ่งก้านชี้ลง พาราโบลาถูกขยาย (สัมพันธ์กับ ) นั่นคือเราดำเนินการตามข้อ 1; 3; 4; 5 จากอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา (ดูด้านบน)

โน้ต 2.หากพาราโบลาถูกกำหนดไว้ในรูปแบบที่คล้ายกับสิ่งนี้ (นั่นคือ นำเสนอเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว) เราจะเห็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน (วัว) ทันที ในกรณีนี้ – (0;0) และ (4;0) ส่วนที่เหลือเราดำเนินการตามอัลกอริทึมโดยเปิดวงเล็บ

ทุกคนคงรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่เราจะดูวิธีการใช้อย่างถูกต้องและมีความสามารถเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ ด้านล่างนี้

ขั้นแรก ให้เราร่างแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมีให้กับเทอมนี้ ลองพิจารณาทุกอย่าง ประเภทที่เป็นไปได้แผนภูมินี้

เรามาดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) กันดีกว่า มาเรียนรู้วิธีค้นหาค่าด้านบนและค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

มาดูกันว่าจะสร้างเส้นโค้งที่ต้องการได้อย่างไรโดยใช้สมการสิ่งที่คุณต้องใส่ใจ มาดูพื้นฐานกัน การใช้งานจริงคุณค่าอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไร และมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งลำดับที่สองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลามาตรฐาน

รูปนี้แสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ซึ่งเป็นส่วนปลายสุด ซึ่งเป็นทิศทางของกิ่งก้านของฟังก์ชันที่ลากไปตามแกนแอบซิสซา

สมการทางบัญญัติคือ:

y 2 = 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตจะมีการเขียนแตกต่างออกไป:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่รู้จัก: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและมีศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน abscissa

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน – (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งก้านของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนของบรรทัด

วิธีกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

หากต้องการค้นหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องกำหนดเครื่องหมายก่อนพารามิเตอร์ตัวแรก การแสดงออกทางพีชคณิต. ถ้า ˃ 0 แสดงว่าพวกมันพุ่งขึ้น ถ้ากลับกันก็ลงครับ

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การค้นหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่าง เปิดพิเศษได้แน่นอน เครื่องคิดเลขออนไลน์แต่จะดีกว่าถ้าทำเองได้

จะตรวจสอบได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษคือ เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหาจุดยอด:

• x 0 = -b / (2 * ก);
• y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 มาหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า

สำหรับบรรทัดเช่นนี้:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้รับพิกัดของจุดยอด (-2, -41)

การแทนที่พาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ตัวที่สองและสามจะเท่ากับ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ไปตามแกน abscissa หรือแกนพิกัดเกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับเส้นบนระนาบจะถูกเลื่อนตามจำนวนหน่วยเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

ซึ่งหมายความว่ารูปแบบคลาสสิกของเส้นโค้งจะเลื่อนไป 2 หน่วยตามแกนแอบซิสซา และ 3 หน่วยตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องโดยใช้พารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณจะเห็นสิ่งต่อไปนี้:

1. จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่าเท่ากับ c
2. จุดทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะมีความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ จุดตัดกับ OX สามารถพบได้โดยการรู้การแบ่งแยก (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D = (ข 2 - 4 * a * c)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องถือนิพจน์ให้เป็นศูนย์

การมีอยู่ของรากของพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

• D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D = 0 จากนั้น x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

• กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน
• ค้นหาพิกัดของจุดยอด
• ค้นหาจุดตัดกับแกนกำหนด
• หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y = x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราปฏิบัติตามอัลกอริทึม:

1. a = 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. ตัดกับแกนพิกัดที่ค่า y = 4;
4. มาหาความแตกต่างกัน: D = 25 - 16 = 9;
5. กำลังมองหาราก:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10)

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับฟังก์ชัน y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่กำหนด:

1. a = 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. จะตัดกับแกน y ที่ค่า y = -1;
4. มาหาตัวจำแนก: D = 4 + 12 = 16 ดังนั้นรากคือ:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0)

เมื่อใช้คะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

ไดเรกทริกซ์ ความเยื้องศูนย์กลาง จุดโฟกัสของพาราโบลา

จากสมการ Canonical จุดโฟกัสของ F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB คือไดเรกตริกซ์ (คอร์ดชนิดหนึ่งของพาราโบลาที่มีความยาวที่กำหนด) สมการของมันคือ x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราดูหัวข้อที่นักเรียนเรียนในโรงเรียนมัธยม ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าเมื่อดูฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีค้นหาจุดยอดของมัน กิ่งก้านจะหันไปในทิศทางใด ไม่ว่าจะมีการกระจัดตามแนวแกนหรือไม่ และด้วยอัลกอริทึมการก่อสร้าง คุณก็สามารถวาดกราฟของมันได้