วิธีกำหนดเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุด สมการของเส้นตรงบนระนาบ เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง เวกเตอร์ปกติ

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด ในบทความ" " ฉันสัญญากับคุณว่าจะดูวิธีที่สองในการแก้ปัญหาที่นำเสนอในการค้นหาอนุพันธ์ โดยพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชันและเส้นสัมผัสของกราฟนี้ เราจะหารือเกี่ยวกับวิธีการนี้ใน ห้ามพลาด! ทำไมในตอนต่อไปเหรอ?

ความจริงก็คือจะใช้สูตรสมการเส้นตรงที่นั่น แน่นอนว่าเราสามารถแสดงสูตรนี้และแนะนำให้คุณเรียนรู้ได้ แต่ควรอธิบายว่ามันมาจากไหน (ได้มาอย่างไร) จะดีกว่า นี่เป็นสิ่งจำเป็น! หากคุณลืมคุณสามารถกู้คืนได้อย่างรวดเร็วจะไม่ใช่เรื่องยาก ทุกอย่างระบุไว้ด้านล่างโดยละเอียด เรามีจุด A สองจุดบนระนาบพิกัด(x 1;y 1) และ B(x 2;y 2) ให้ลากเส้นตรงผ่านจุดที่ระบุ:

นี่คือสูตรโดยตรง:

*นั่นคือ เมื่อแทนที่พิกัดเฉพาะของจุด เราจะได้สมการในรูปแบบ y=kx+b

**หากเพียง “จำ” สูตรนี้ มีความเป็นไปได้สูงที่จะสับสนกับดัชนีเมื่อ เอ็กซ์- นอกจากนี้ ดัชนียังสามารถกำหนดได้หลายวิธี เช่น:

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมการเข้าใจความหมายจึงเป็นสิ่งสำคัญ

ทีนี้ที่มาของสูตรนี้ มันง่ายมาก!

สามเหลี่ยม ABE และ ACF มีความคล้ายคลึงกันในมุมแหลม (สัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก) จากนี้ไปอัตราส่วนขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากันนั่นคือ:

ตอนนี้เราเพียงแสดงส่วนเหล่านี้ผ่านความแตกต่างในพิกัดของจุด:

แน่นอนว่าจะไม่มีข้อผิดพลาดหากคุณเขียนความสัมพันธ์ขององค์ประกอบตามลำดับที่แตกต่างกัน (สิ่งสำคัญคือการรักษาความสอดคล้อง):

ผลลัพธ์จะเป็นสมการเส้นเดียวกัน ทั้งหมดนี้!

นั่นคือไม่ว่าจะกำหนดจุด (และพิกัด) อย่างไร การทำความเข้าใจสูตรนี้คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอ

สูตรสามารถหาได้โดยใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์ แต่หลักการของการได้มาจะเหมือนกัน เนื่องจากเราจะพูดถึงสัดส่วนของพิกัดของพวกเขา ในกรณีนี้ ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉากก็ใช้ได้เหมือนกัน ในความคิดของฉันข้อสรุปที่อธิบายไว้ข้างต้นชัดเจนกว่า))

ดูเอาต์พุตโดยใช้พิกัดเวกเตอร์ >>>

ปล่อยให้เส้นตรงถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัดที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด A(x 1;y 1) และ B(x 2;y 2) ให้เราทำเครื่องหมายจุด C ตามอำเภอใจบนเส้นที่มีพิกัด ( x; ย- เรายังแสดงเวกเตอร์สองตัวด้วย:

เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับเวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นคู่ขนาน (หรือบนเส้นเดียวกัน) พิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะเป็นสัดส่วน นั่นคือ:

— เราเขียนความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง:

ลองดูตัวอย่าง:

ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด (2;5) และ (7:3)

คุณไม่จำเป็นต้องสร้างเส้นตรงด้วยซ้ำ เราใช้สูตร:

สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจความสอดคล้องเมื่อวาดอัตราส่วน คุณไม่สามารถผิดพลาดได้หากคุณเขียน:

คำตอบ: y=-2/5x+29/5 ไป y=-0.4x+5.8

เพื่อให้แน่ใจว่าพบสมการผลลัพธ์ที่ถูกต้องต้องแน่ใจว่าได้ตรวจสอบ - แทนที่พิกัดของข้อมูลในสภาพของจุดต่างๆ สมการควรจะถูกต้อง

นั่นคือทั้งหมดที่ ฉันหวังว่าเนื้อหานี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

บทเรียนจากชุด “อัลกอริทึมทางเรขาคณิต”

สวัสดีผู้อ่านที่รัก!

วันนี้เราจะมาเริ่มเรียนรู้อัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต ความจริงก็คือมีปัญหาโอลิมปิกในวิทยาการคอมพิวเตอร์ค่อนข้างมากที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงคำนวณและการแก้ปัญหาดังกล่าวมักจะทำให้เกิดปัญหา

ตลอดบทเรียนหลายบท เราจะพิจารณางานย่อยเบื้องต้นจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ในเรขาคณิตเชิงคำนวณ

ในบทเรียนนี้เราจะสร้างโปรแกรมสำหรับ การหาสมการของเส้นตรงผ่านมาให้ สองจุด- ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคำนวณบ้าง เราจะอุทิศส่วนหนึ่งของบทเรียนเพื่อทำความรู้จักกับพวกเขา

ข้อมูลเชิงลึกจากเรขาคณิตคำนวณ

เรขาคณิตเชิงคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่ศึกษาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับปัญหาดังกล่าวอาจเป็นชุดของจุดบนระนาบ ชุดของส่วน รูปหลายเหลี่ยม (ระบุตามรายการจุดยอดตามลำดับตามเข็มนาฬิกา) เป็นต้น

ผลลัพธ์อาจเป็นคำตอบสำหรับคำถามบางข้อ (เช่น จุดหนึ่งเป็นของเซ็กเมนต์หรือไม่ มี 2 ส่วนตัดกัน ...) หรือวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง (เช่น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่เล็กที่สุดที่เชื่อมต่อจุดที่กำหนด พื้นที่ของ ​​รูปหลายเหลี่ยม ฯลฯ)

เราจะพิจารณาปัญหาของเรขาคณิตเชิงคำนวณเฉพาะบนระนาบและในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น

เวกเตอร์และพิกัด

ในการใช้วิธีการคำนวณเรขาคณิต จำเป็นต้องแปลภาพเรขาคณิตเป็นภาษาของตัวเลข เราจะสมมติว่าเครื่องบินมีระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งทิศทางการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเรียกว่าค่าบวก

ตอนนี้วัตถุทางเรขาคณิตได้รับการแสดงออกเชิงวิเคราะห์ ดังนั้นเพื่อระบุจุดก็เพียงพอที่จะระบุพิกัดของมัน: คู่ของตัวเลข (x; y) ส่วนสามารถระบุได้โดยการระบุพิกัดของจุดสิ้นสุด สามารถระบุเส้นตรงได้โดยระบุพิกัดของจุดคู่หนึ่ง

แต่เครื่องมือหลักของเราในการแก้ปัญหาคือเวกเตอร์ ฉันจึงขอจำข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา

เซ็กเมนต์ เอบีซึ่งมีประเด็น กถือเป็นจุดเริ่มต้น (จุดสมัคร) และจุด ใน– สิ้นสุด เรียกว่าเวกเตอร์ เอบีและแสดงด้วยอักษรตัวใดตัวหนึ่งหรือตัวพิมพ์เล็กตัวหนาเป็นต้น ก .

เพื่อแสดงความยาวของเวกเตอร์ (นั่นคือความยาวของส่วนที่เกี่ยวข้อง) เราจะใช้สัญลักษณ์มอดุลัส (เช่น )

เวกเตอร์ที่กำหนดเองจะมีพิกัดเท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น:

,

นี่คือประเด็น กและ บี มีพิกัด ตามลำดับ

สำหรับการคำนวณเราจะใช้แนวคิดนี้ มุมที่มุ่งเน้นนั่นคือมุมที่คำนึงถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์

มุมเชิงระหว่างเวกเตอร์ ก และ ข เป็นบวกถ้าการหมุนมาจากเวกเตอร์ ก เป็นเวกเตอร์ ข จะดำเนินการในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) และเชิงลบในอีกกรณีหนึ่ง ดูรูปที่ 1a, รูปที่ 1b ว่ากันว่าเป็นเวกเตอร์คู่หนึ่ง ก และ ข มุ่งเน้นเชิงบวก (เชิงลบ)

ดังนั้นค่าของมุมเชิงจะขึ้นอยู่กับลำดับของเวกเตอร์ที่อยู่ในรายการและสามารถรับค่าในช่วงเวลาได้.

ปัญหาหลายประการในเรขาคณิตเชิงคำนวณใช้แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณของเวกเตอร์ (เอียงหรือเทียม) ของเวกเตอร์

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และ b คือผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

.

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด:

นิพจน์ทางด้านขวาเป็นตัวกำหนดลำดับที่สอง:

ต่างจากคำจำกัดความที่ให้ไว้ในเรขาคณิตวิเคราะห์ มันคือสเกลาร์

เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กำหนดตำแหน่งของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กัน:

ก และ ข มุ่งเน้นเชิงบวก

หากค่าเป็น แสดงว่าเวกเตอร์คู่หนึ่ง ก และ ข มุ่งเน้นเชิงลบ

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน ( - ซึ่งหมายความว่าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน

ลองดูปัญหาง่ายๆ สองสามข้อที่จำเป็นเมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

ลองหาสมการของเส้นตรงจากพิกัดสองจุดกัน

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันซึ่งระบุโดยพิกัด

ให้จุดที่ไม่ตรงกันสองจุดบนเส้นตรง: ด้วยพิกัด (x1; y1) และด้วยพิกัด (x2; y2) ดังนั้น เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดหนึ่งและจุดสิ้นสุดที่จุดหนึ่งจะมีพิกัด (x2-x1, y2-y1) ถ้า P(x, y) เป็นจุดใดๆ บนเส้นตรงของเรา แล้วพิกัดของเวกเตอร์จะเท่ากับ (x-x1, y – y1)

การใช้ผลคูณเวกเตอร์ เงื่อนไขสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์และสามารถเขียนได้ดังนี้

เหล่านั้น. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

เราเขียนสมการสุดท้ายใหม่ดังนี้:

ขวาน + โดย + c = 0, (1)

ค = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

ดังนั้น เส้นตรงสามารถระบุได้ด้วยสมการในรูปแบบ (1)

ปัญหาที่ 1. ให้พิกัดของจุดสองจุด ค้นหาการเป็นตัวแทนในรูปแบบ ax + by + c = 0

ในบทเรียนนี้ เราได้เรียนรู้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคำนวณ เราแก้ไขปัญหาการหาสมการของเส้นจากพิกัดของจุดสองจุด

ในบทต่อไป เราจะสร้างโปรแกรมเพื่อค้นหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการของเรา

คำนิยาม.เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง

ขวาน + Wu + C = 0,

นอกจากนี้ค่าคงที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าต่างๆ ค่าคงที่ A, Bและ C มีกรณีพิเศษดังต่อไปนี้:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – เส้นตรงตัดผ่านจุดกำเนิด

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – เส้นตรงขนานกับแกน Oy

B = C = 0, A ≠0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Oy

A = C = 0, B ≠0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox

สามารถแสดงสมการของเส้นตรงได้ ในรูปแบบต่างๆขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติ

คำนิยาม.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B) จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) ซึ่งตั้งฉากกับ (3, -1)

สารละลาย- ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x – y + C = 0 ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ C เราจะแทนที่พิกัดของจุด A ที่กำหนดลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะได้: 3 – 2 + C = 0 ดังนั้น C = -1 . ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x – y – 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้จุดสองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่สอดคล้องกันควรจะเท่ากับศูนย์ บนระนาบ สมการของเส้นที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2 และ x = x 1 ถ้า x 1 = x 2

เรียกว่าเศษส่วน = k ความลาดชัน โดยตรง.

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย.เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการของเส้นตรงจากจุดและความชัน

หากผลรวม Ax + Bu + C = 0 นำไปสู่รูปแบบ:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์ สมการของเส้นตรงกับความชันเค.

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถป้อนคำจำกัดความของเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงได้

คำนิยาม.เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัว (α 1, α 2) ส่วนประกอบที่ตรงตามเงื่อนไข A α 1 + B α 2 = 0 เรียกว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย.เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: Ax + By + C = 0 ตามคำจำกัดความสัมประสิทธิ์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: Ax + Ay + C = 0 หรือ x + y + C / A = 0 สำหรับ x = 1, y = 2 เราได้รับ C/ A = -3 เช่น สมการที่ต้องการ:

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ

ความหมายทางเรขาคณิตค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ กคือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข– พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย

ตัวอย่าง.จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x – y + 1 = 0 ค้นหาสมการของเส้นตรงในส่วนนี้

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 คูณด้วยตัวเลข ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ตัวอย่าง- เมื่อพิจารณาจากสมการทั่วไปของเส้นตรง 12x – 5y – 65 = 0 คุณต้องเขียน ประเภทต่างๆสมการของเส้นนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้กับความชัน: (หารด้วย 5)

- cos φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรงที่ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิดของพิกัด

ตัวอย่าง- เส้นตรงตัดส่วนบวกที่เท่ากันบนแกนพิกัด เขียนสมการของเส้นตรงถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนเหล่านี้คือ 8 ซม. 2

สารละลาย.สมการของเส้นตรงมีรูปแบบ: , ab /2 = 8; ab=16; ก=4, ก=-4 ก = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ตัวอย่าง- เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-2, -3) และจุดกำเนิด

สารละลาย. สมการของเส้นตรงคือ: โดยที่ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; ปี 2 = -3

มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

คำนิยาม.ถ้าให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 แล้ว มุมแหลมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

.

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกันถ้า k 1 = -1/ k 2

ทฤษฎีบท.เส้น Ax + Bу + C = 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 = แลม A, B 1 = แลมบ์เป็นสัดส่วน ถ้า C 1 = แลมซีด้วย แสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นพบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม.เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง y = kx + b แสดงด้วยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท.หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ดังนั้นระยะทางถึงเส้น Ax + Bу + C = 0 จะถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของจุดตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้โดยการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นที่ผ่าน สำหรับ จุดนี้ M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง- กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

เค 1 = -3; เค 2 = 2; ทีจีφ = - φ= π /4.

ตัวอย่าง- แสดงว่าเส้นตรง 3x – 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y – 3 = 0 ตั้งฉากกัน

สารละลาย- เราพบว่า: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1 ดังนั้น เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน

ตัวอย่าง- ให้เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ค้นหาสมการของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

สารละลาย- เราพบสมการของด้าน AB: - 4 x = 6 ปี – 6;

2 x – 3 ปี + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการมีรูปแบบ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b เค = . แล้ว ย = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้: จากโดยที่ b = 17. รวม: .

คำตอบ: 3 x + 2 y – 34 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น ภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น การกำหนดจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้น

1. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด ก(x 1 , ย 1) ในทิศทางที่กำหนดซึ่งกำหนดโดยความชัน เค,

ย - ย 1 = เค(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดเส้นดินสอที่ลากผ่านจุดหนึ่ง ก(x 1 , ย 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางลำแสง

2. สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด: ก(x 1 , ย 1) และ บี(x 2 , ย 2) เขียนดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง กและ บีคือมุมที่ต้องหมุนเส้นตรงเส้นแรก กบริเวณจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง บี- ถ้าเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

ย = เค 1 x + บี 1 ,