ภาษาใดก็ได้สามารถแสดงข้อมูลเดียวกันได้ ด้วยคำพูดที่แตกต่างกันและการปฏิวัติ ภาษาคณิตศาสตร์ก็ไม่มีข้อยกเว้น แต่นิพจน์เดียวกันสามารถเขียนได้เหมือนกันในรูปแบบที่ต่างกัน และในบางสถานการณ์ รายการใดรายการหนึ่งจะง่ายกว่า เราจะพูดถึงการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นในบทเรียนนี้
ผู้คนสื่อสารกัน ภาษาที่แตกต่างกัน- สำหรับเรา การเปรียบเทียบที่สำคัญคือคู่ "ภาษารัสเซีย - ภาษาคณิตศาสตร์" ข้อมูลเดียวกันสามารถสื่อสารได้ในภาษาต่างๆ แต่นอกจากนี้ ยังสามารถออกเสียงได้หลายวิธีในภาษาเดียว
ตัวอย่างเช่น: "Petya เป็นเพื่อนกับ Vasya", "Vasya เป็นเพื่อนกับ Petya", "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" พูดต่างกันแต่เรื่องเดียวกัน จากวลีเหล่านี้เราจะเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึง
ลองดูวลีนี้: “ เด็กชาย Petya และเด็กชาย Vasya เป็นเพื่อนกัน” เราเข้าใจสิ่งที่เราหมายถึง เรากำลังพูดถึง- แต่เราไม่ชอบเสียงของวลีนี้ เราไม่สามารถทำให้มันง่ายขึ้น พูดในสิ่งเดียวกัน แต่ง่ายกว่านี้ได้ไหม? “ เด็กชายและเด็กชาย” - คุณสามารถพูดได้ครั้งเดียว:“ เด็กชาย Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน”
“เด็กผู้ชาย”... ดูจากชื่อแล้วไม่ใช่เด็กผู้หญิงเหรอ? เราลบ "เด็กผู้ชาย": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" และคำว่า "เพื่อน" สามารถแทนที่ด้วย "เพื่อน" ได้: "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" เป็นผลให้วลีแรกยาวและน่าเกลียดถูกแทนที่ด้วยข้อความที่เทียบเท่าซึ่งพูดง่ายกว่าและเข้าใจง่ายกว่า เราได้ทำให้วลีนี้ง่ายขึ้น to simplify หมายถึง พูดให้ง่ายขึ้น แต่ต้องไม่สูญเสียหรือบิดเบือนความหมาย
ในภาษาคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นโดยประมาณ สิ่งเดียวกันสามารถพูดได้เขียนต่างกัน ลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าสำหรับสำนวนดั้งเดิมนั้นมีสำนวนที่เทียบเท่ากันมากมาย กล่าวคือ สำนวนที่หมายถึงสิ่งเดียวกัน และจากความหลากหลายทั้งหมดนี้เราต้องเลือกสิ่งที่ง่ายที่สุดในความคิดของเราหรือที่เหมาะสมที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ต่อไปของเรา
ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข มันจะเท่ากับ.
มันจะเทียบเท่ากับสองรายการแรกด้วย: .
ปรากฎว่าเราทำให้นิพจน์ของเราง่ายขึ้นและพบนิพจน์ที่สั้นที่สุดที่เทียบเท่ากัน
สำหรับนิพจน์ตัวเลข คุณจะต้องทำตามขั้นตอนทั้งหมดเสมอและรับนิพจน์ที่เทียบเท่าเป็นตัวเลขตัวเดียว
ลองดูตัวอย่างของการแสดงออกตามตัวอักษร . แน่นอนว่ามันจะง่ายกว่า
เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร จำเป็นต้องดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมด
จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเสมอหรือไม่? ไม่ บางครั้งการเข้าร่วมที่เทียบเท่าแต่นานกว่าจะสะดวกกว่าสำหรับเรา
ตัวอย่าง: คุณต้องลบตัวเลขออกจากตัวเลข
คุณสามารถคำนวณได้ แต่หากตัวเลขแรกแสดงด้วยสัญกรณ์ที่เทียบเท่า: การคำนวณก็จะเป็นแบบทันที:
นั่นคือนิพจน์ที่เรียบง่ายไม่ได้เป็นประโยชน์สำหรับเราในการคำนวณเพิ่มเติมเสมอไป
อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับงานที่ดูเหมือน "ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น"
ลดความซับซ้อนของนิพจน์: .
สารละลาย
1) ดำเนินการในวงเล็บตัวแรกและตัวที่สอง: .
2) มาคำนวณผลิตภัณฑ์กัน: .
แน่นอนว่านิพจน์สุดท้ายมีรูปแบบที่ง่ายกว่านิพจน์เริ่มต้น เราทำให้มันง่ายขึ้น
เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น จะต้องแทนที่ด้วยค่าที่เทียบเท่า (เท่ากับ)
ในการกำหนดนิพจน์ที่เทียบเท่าที่คุณต้องการ:
1) ดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมด
2) ใช้คุณสมบัติของการบวก ลบ คูณ หาร เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
คุณสมบัติของการบวกและการลบ:
1. สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง
2. สมบัติการบวกรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของตัวเลขสองตัว คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับเลขตัวแรกได้
3. คุณสมบัติของการลบผลรวมจากตัวเลข: หากต้องการลบผลรวมจากตัวเลข คุณสามารถลบแต่ละเทอมแยกกันได้
คุณสมบัติของการคูณและการหาร
1. สมบัติการสลับของการคูณ: การจัดเรียงตัวประกอบใหม่จะไม่ทำให้ผลคูณเปลี่ยน
2. คุณสมบัติเชิงรวมกัน: หากต้องการคูณตัวเลขด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัว คุณสามารถคูณด้วยตัวประกอบแรกก่อน จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบที่สอง
3. คุณสมบัติการกระจายของการคูณ: ในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม คุณต้องคูณด้วยแต่ละเทอมแยกกัน
มาดูกันว่าจริงๆ แล้วเราคำนวณทางจิตอย่างไร
คำนวณ:
สารละลาย
1) ลองจินตนาการดูว่าเป็นอย่างไร
2) ลองจินตนาการถึงปัจจัยแรกเป็นผลรวม เงื่อนไขบิตและทำการคูณ:
3) คุณสามารถจินตนาการได้ว่าอย่างไรและทำการคูณ:
4) แทนที่ตัวประกอบแรกด้วยผลรวมที่เท่ากัน:
กฎการกระจายสามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้าม: .
ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
1) 2)
สารละลาย
1) เพื่อความสะดวก คุณสามารถใช้กฎการกระจายได้ แต่ใช้ในทิศทางตรงกันข้าม - นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
2) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
จำเป็นต้องซื้อเสื่อน้ำมันสำหรับห้องครัวและโถงทางเดิน บริเวณห้องครัว - , โถงทางเดิน - . เสื่อน้ำมันมีสามประเภท: สำหรับและรูเบิลสำหรับ แต่ละอันราคาเท่าไหร่คะ? สามประเภทเสื่อน้ำมัน? (รูปที่ 1)
ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับคำชี้แจงปัญหา
สารละลาย
วิธีที่ 1 คุณสามารถแยกหาจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการซื้อเสื่อน้ำมันสำหรับห้องครัวจากนั้นนำไปวางไว้ที่โถงทางเดินและเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้
เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์ v.1.0
เครื่องคิดเลขทำงาน การดำเนินการดังต่อไปนี้: การบวก ลบ คูณ หาร ทำงานกับทศนิยม การถอนราก การยกกำลัง การคำนวณเปอร์เซ็นต์ และการดำเนินการอื่นๆ
สารละลาย:
สำคัญ | การกำหนด | คำอธิบาย |
---|---|---|
5 | หมายเลข 0-9 | เลขอารบิก การป้อนจำนวนเต็มธรรมชาติเป็นศูนย์ หากต้องการรับจำนวนเต็มลบ คุณต้องกดปุ่ม +/- |
. | ระยะเวลา (ลูกน้ำ) | ตัวคั่นเพื่อระบุเศษส่วนทศนิยม หากไม่มีตัวเลขอยู่หน้าจุด (ลูกน้ำ) เครื่องคิดเลขจะแทนที่ศูนย์ก่อนจุดโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่น: .5 - 0.5 จะถูกเขียน |
+ | เครื่องหมายบวก | การบวกตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม) |
- | เครื่องหมายลบ | การลบตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม) |
÷ | สัญลักษณ์การแบ่ง | การหารตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม) |
เอ็กซ์ | เครื่องหมายคูณ | การคูณตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม) |
√ | ราก | การแยกรากของตัวเลข เมื่อคุณกดปุ่ม "รูท" อีกครั้ง ระบบจะคำนวณรูทจากผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น รากของ 16 = 4; รากของ 4 = 2 |
x2 | กำลังสอง | กำลังสองจำนวน เมื่อคุณกดปุ่ม "กำลังสอง" อีกครั้ง ผลลัพธ์จะเป็นกำลังสอง ตัวอย่างเช่น กำลังสอง = 4; สี่เหลี่ยม 4 = 16 |
1/x | เศษส่วน | ส่งออกเป็นเศษส่วนทศนิยม ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือตัวเลขที่ป้อน |
% | เปอร์เซ็นต์ | รับเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข ในการทำงานคุณต้องป้อน: จำนวนที่จะคำนวณเปอร์เซ็นต์, เครื่องหมาย (บวก, ลบ, หาร, คูณ), กี่เปอร์เซ็นต์ในรูปแบบตัวเลข, ปุ่ม "%" |
( | วงเล็บเปิด | วงเล็บเปิดเพื่อระบุลำดับความสำคัญในการคำนวณ ต้องมีวงเล็บปิด ตัวอย่าง: (2+3)*2=10 |
) | วงเล็บปิด | วงเล็บปิดเพื่อระบุลำดับความสำคัญในการคำนวณ ต้องมีวงเล็บเปิด |
± | บวกลบ | เครื่องหมายย้อนกลับ |
= | เท่ากับ | แสดงผลการแก้ปัญหา เหนือเครื่องคิดเลขในช่อง "โซลูชัน" การคำนวณระดับกลางและผลลัพธ์จะปรากฏขึ้น |
← | การลบตัวละคร | ลบอักขระตัวสุดท้าย |
กับ | รีเซ็ต | ปุ่มรีเซ็ต รีเซ็ตเครื่องคิดเลขไปที่ตำแหน่ง "0" โดยสมบูรณ์ |
การบวกจำนวนเต็มธรรมชาติ (5 + 7 = 12)
นอกจากนี้จากธรรมชาติทั้งหมดและ ตัวเลขติดลบ { 5 + (-2) = 3 }
การบวกทศนิยม ตัวเลขเศษส่วน { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
การลบจำนวนเต็มธรรมชาติ ( 7 - 5 = 2 )
การลบจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ ( 5 - (-2) = 7 )
การลบเศษส่วนทศนิยม ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )
ผลคูณของจำนวนเต็มธรรมชาติ (3 * 7 = 21)
ผลคูณของจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ ( 5 * (-3) = -15 )
ผลคูณเศษส่วนทศนิยม ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )
การหารจำนวนเต็มธรรมชาติ (27/3 = 9)
การหารจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ (15 / (-3) = -5)
การหารเศษส่วนทศนิยม (6.2 / 2 = 3.1)
แยกรากของจำนวนเต็ม ( root(9) = 3)
การแยกรากของเศษส่วนทศนิยม (root(2.5) = 1.58)
แยกรากของผลรวมของตัวเลข ( root(56 + 25) = 9)
แยกรากของผลต่างระหว่างตัวเลข (ราก (32 – 7) = 5)
กำลังสองจำนวนเต็ม ( (3) 2 = 9 )
การยกกำลังสองทศนิยม ((2,2)2 = 4.84)
เพิ่มจำนวน 230 ขึ้น 15% ( 230 + 230 * 0.15 = 264.5 )
ลดจำนวน 510 ลง 35% ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5 )
18% ของจำนวน 140 คือ (140 * 0.18 = 25.2)
หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราเพื่อรับแหล่งข้อมูลที่มีประโยชน์ที่สุด
เรามักจะได้ยินวลีอันไม่พึงประสงค์นี้: “ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น”โดยปกติแล้วเราจะเห็นสัตว์ประหลาดประเภทนี้:
“มันง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบเช่นนี้มักจะไม่ได้ผล
บัดนี้ข้าพเจ้าจะสอนท่านว่าอย่ากลัวงานเช่นนั้น
ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็น (แค่!) ตัวเลขธรรมดา (ใช่แล้ว ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)
แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มกิจกรรมนี้ คุณต้องสามารถก่อน จัดการเศษส่วนและ พหุนามตัวประกอบ
ดังนั้น หากคุณไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อน อย่าลืมฝึกฝนหัวข้อ "" และ "" ให้เชี่ยวชาญ
คุณอ่านมันหรือยัง? ถ้าใช่คุณก็พร้อมแล้ว
ไปกันเถอะ! (ไปกันเถอะ!)
ตอนนี้เรามาดูเทคนิคพื้นฐานที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น
สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ
มีอะไรคล้ายกันบ้าง? คุณเรียนวิชานี้ตอนเกรด 7 เมื่อตัวอักษรแทนตัวเลขปรากฏตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์
คล้ายกัน- เหล่านี้เป็นคำศัพท์ (monomials) ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน
ตัวอย่างเช่น โดยสรุปแล้ว คำที่คล้ายกันคือ และ
คุณจำได้ไหม?
ให้คล้ายๆกัน- หมายถึง การบวกพจน์ที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันแล้วได้เทอมเดียว
เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม
นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะเข้าใจหากคุณจินตนาการว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางชนิด
เช่น จดหมายก็คือเก้าอี้ แล้วนิพจน์เท่ากับอะไร?
เก้าอี้สองตัวบวกเก้าอี้สามตัวจะได้กี่ตัว? ถูกต้องเก้าอี้: .
ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้: .
เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้ตัวอักษรที่ต่างกันแสดงถึงวัตถุที่แตกต่างกัน
ตัวอย่างเช่น - คือ (ตามปกติ) เก้าอี้ และ - คือโต๊ะ
โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้
ตัวเลขที่มีการคูณตัวอักษรในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์.
ตัวอย่างเช่น ใน monomial ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และในนั้นก็เท่าเทียมกัน
ดังนั้นกฎในการนำสิ่งที่คล้ายกันมาคือ:
ตัวอย่าง:
ให้สิ่งที่คล้ายกัน:
คำตอบ:
2. (และที่คล้ายกัน ดังนั้น คำเหล่านี้จึงมีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน)
โดยปกติจะเป็นเช่นนี้ ส่วนที่สำคัญที่สุดในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น
หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว ส่วนใหญ่มักจะจำเป็นต้องใช้นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ แยกตัวประกอบกล่าวคือนำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์
โดยเฉพาะสิ่งนี้ มีความสำคัญเป็นเศษส่วน:เพื่อที่จะสามารถลดเศษส่วนได้ ตัวเศษและส่วนจะต้องแสดงเป็นผลคูณ
คุณได้ศึกษาวิธีการแยกตัวประกอบนิพจน์โดยละเอียดในหัวข้อ "" แล้ว ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องจำสิ่งที่คุณเรียนรู้ไว้ที่นี่
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง (คุณต้องแยกตัวประกอบ)
อะไรจะดีไปกว่าการขีดฆ่าเศษและส่วนแล้วโยนมันออกไปจากชีวิตของคุณ?
นั่นคือความงามของการลดขนาด
มันง่ายมาก:
หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน ก็สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ ลบออกจากเศษส่วน
กฎนี้เป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:
นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดก็คือ เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)
เพื่อลดเศษส่วนคุณต้องมี:
1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ
2) ถ้าตัวเศษและส่วนประกอบด้วย ปัจจัยทั่วไปก็สามารถขีดฆ่าออกได้
ตัวอย่าง:
หลักการผมคิดว่าชัดเจน?
ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปอย่างหนึ่งเมื่อทำการย่อ แม้ว่าหัวข้อนี้จะง่าย แต่หลายคนก็ทำทุกอย่างผิดโดยไม่เข้าใจเรื่องนั้น ลด- นี่หมายความว่า แบ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเดียวกัน
ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลบวก
ตัวอย่างเช่น เราต้องทำให้ง่ายขึ้น
บางคนทำเช่นนี้ซึ่งผิดอย่างยิ่ง
อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด
“คนที่ฉลาดที่สุด” จะทำสิ่งนี้:
บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณซึ่งหมายความว่าสามารถลดลงได้
แต่ไม่: - นี่คือตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้แยกตัวประกอบ
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .
นิพจน์นี้มีการแยกตัวประกอบ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลดได้ กล่าวคือ หารทั้งเศษและส่วนด้วย แล้วตามด้วย:
คุณสามารถแบ่งออกเป็น:
เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว ให้จำวิธีง่ายๆ ในการพิจารณาว่านิพจน์นั้นถูกแยกตัวประกอบหรือไม่:
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือการดำเนินการ "หลัก"
นั่นคือหากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษรแล้วลองคำนวณค่าของนิพจน์ ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการคูณ เราก็จะได้ผลลัพธ์ (นิพจน์จะถูกแยกตัวประกอบ)
ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการบวกหรือการลบ หมายความว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (และดังนั้นจึงไม่สามารถลดขนาดได้)
เพื่อเน้นย้ำสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างด้วยตนเอง:
ตัวอย่าง:
โซลูชั่น:
การบวกและการลบเศษส่วนสามัญเป็นการดำเนินการที่คุ้นเคย โดยเรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ
จำไว้ว่า:
คำตอบ:
1. ตัวส่วนและเป็นจำนวนเฉพาะ กล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของมัน นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:
2. ตัวส่วนร่วมในที่นี้คือ:
3. ก่อนอื่นเลย เราแปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นจึงแปลงตามรูปแบบปกติ:
มันจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงถ้าเศษส่วนมีตัวอักษร ตัวอย่างเช่น:
เริ่มจากสิ่งง่ายๆ:
ที่นี่ทุกอย่างจะเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราจะหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:
ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถให้ค่าที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:
ลองด้วยตัวเอง:
คำตอบ:
จำหลักการค้นหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:
· ก่อนอื่น เรากำหนดปัจจัยร่วม
· จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาทีละตัว
· และคูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด
ในการหาปัจจัยร่วมของตัวส่วน อันดับแรกเราจะแยกปัจจัยเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:
ให้เราเน้นปัจจัยทั่วไป:
ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั่วไปทีละรายการและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ทั้งหมดลงไป:
นี่คือตัวส่วนร่วม.
กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:
· แยกตัวประกอบตัวส่วน
· กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน)
· เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาครั้งเดียว
· คูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด
ดังนั้นตามลำดับ:
1) แยกตัวประกอบตัวส่วน:
2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):
3) เขียนตัวประกอบร่วมทั้งหมดหนึ่งครั้งแล้วคูณด้วยตัวประกอบอื่นๆ ทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):
มันมีตัวส่วนร่วมตรงนี้. เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - ด้วย:
อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับอย่างหนึ่ง:
ตัวอย่างเช่น: .
เราเห็นตัวประกอบเท่ากันแต่มีทั้งหมดด้วย ตัวชี้วัดที่แตกต่างกัน- ตัวส่วนร่วมจะเป็น:
ในระดับหนึ่ง
ในระดับหนึ่ง
ในระดับหนึ่ง
ในระดับหนึ่ง
มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:
จะทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันได้อย่างไร?
จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:
ไม่มีที่ไหนบอกว่าจำนวนเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่จริง!
ดูด้วยตัวคุณเอง: ยกตัวอย่างเศษส่วนแล้วบวกตัวเลขเข้ากับตัวเศษและตัวส่วนเช่น คุณเรียนรู้อะไร?
ดังนั้น มีกฎอีกข้อหนึ่งที่ไม่สั่นคลอน:
เมื่อคุณลดเศษส่วนลง ตัวส่วนร่วมให้ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณเท่านั้น!
แต่คุณต้องคูณด้วยอะไรถึงจะได้?
เลยคูณด้วย. และคูณด้วย:
เราจะเรียกนิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ว่าเป็น "ปัจจัยพื้นฐาน"
ตัวอย่างเช่น - นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น - เดียวกัน. แต่เปล่าเลย: สามารถแยกตัวประกอบได้
แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษาหรือไม่?
ไม่ได้ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:
(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ “”) แล้ว
ดังนั้นปัจจัยเบื้องต้นที่คุณแยกย่อยนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงมีความคล้ายคลึงกับปัจจัยง่ายๆ ที่คุณแยกย่อยตัวเลข และเราจะจัดการกับพวกเขาในลักษณะเดียวกัน
เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวคูณ มันจะไปเป็นตัวส่วนร่วมในระดับหนึ่ง (จำได้ไหมว่าทำไม?)
ตัวประกอบนั้นเป็นปัจจัยพื้นฐานและไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยมัน:
อีกตัวอย่างหนึ่ง:
สารละลาย:
ก่อนที่คุณจะคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบพวกมันอย่างไรก่อน? พวกเขาทั้งสองเป็นตัวแทน:
ยอดเยี่ยม! แล้ว:
อีกตัวอย่างหนึ่ง:
สารละลาย:
ตามปกติ ลองแยกตัวประกอบตัวส่วนกัน. ในตัวส่วนตัวแรก เราเพียงแต่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:
ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณมองใกล้ ๆ มันก็คล้ายกัน... และมันเป็นเรื่องจริง:
เรามาเขียนกัน:
นั่นคือมันกลายเป็นเช่นนี้: ภายในวงเล็บเราสลับเงื่อนไขและในเวลาเดียวกันเครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ
ทีนี้ลองมาเป็นตัวส่วนร่วม:
เข้าใจแล้ว? มาตรวจสอบกันตอนนี้เลย
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
คำตอบ:
ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:
ขั้นตอน
มีขั้นตอนการนับอย่างไร? นิพจน์เชิงตัวเลข- จำไว้โดยการคำนวณความหมายของสำนวนนี้:
คุณนับไหม?
มันควรจะทำงาน
ดังนั้นฉันขอเตือนคุณ
ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ
ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน ก็สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้
และสุดท้าย เราก็ทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใด ๆ
แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินไม่ตรงกัน!
ถ้าวงเล็บหลายวงเล็บคูณหรือหารกัน ขั้นแรกเราจะคำนวณนิพจน์ในแต่ละวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหารพวกมัน
จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บมากกว่าภายในวงเล็บ? ลองคิดดู: สำนวนบางอย่างเขียนอยู่ในวงเล็บ เมื่อคำนวณนิพจน์ ควรทำอะไรเป็นอันดับแรก? ถูกต้องแล้ว คำนวณวงเล็บเหลี่ยม เราคิดออกแล้ว: ขั้นแรกเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นจึงคำนวณอย่างอื่นทั้งหมด
ดังนั้น ขั้นตอนสำหรับนิพจน์ข้างต้นจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันจะถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือการกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่ในขณะนี้):
โอเค มันง่ายมาก
แต่นี่ไม่เหมือนกับสำนวนที่มีตัวอักษรเหรอ?
ไม่ มันก็เหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์คุณต้องดำเนินการพีชคณิตนั่นคือการกระทำที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำสิ่งที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การหารเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) บ่อยครั้งในการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ I หรือเพียงแค่เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
โดยปกติเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร
ตัวอย่างเช่น:
ลองทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น
1) ขั้นแรก เราทำให้นิพจน์ในวงเล็บง่ายขึ้น ที่นั่นเรามีความแตกต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือการนำเสนอเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วบวก:
เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีกต่อไป ปัจจัยทั้งหมดที่นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น (คุณยังจำได้ไหมว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร)
2) เราได้รับ:
การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้
3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:
นั่นคือทั้งหมดที่ ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม?
อีกตัวอย่างหนึ่ง:
ลดความซับซ้อนของนิพจน์
ขั้นแรกให้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเอง จากนั้นจึงค่อยดูวิธีแก้ปัญหา
สารละลาย:
ก่อนอื่น เรามากำหนดลำดับของการกระทำกันก่อน
ก่อนอื่น เรามาบวกเศษส่วนในวงเล็บกันก่อน แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองอัน เราก็ได้เศษส่วนมาหนึ่งอัน
จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน. ลองบวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้ายกัน
ฉันจะนับขั้นตอนตามแผนผัง:
สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สองข้อแก่คุณ:
1.หากมีแบบเดียวกันต้องนำมาทันที ไม่ว่าจุดใดที่คล้ายคลึงกันจะเกิดขึ้นในประเทศของเราก็แนะนำให้นำพวกเขาขึ้นมาทันที
2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสลดเกิดขึ้น จะต้องใช้ประโยชน์จากมัน ข้อยกเว้นสำหรับเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ: หากมีตอนนี้ ตัวส่วนเดียวกันก็ควรลดหย่อนไว้ทีหลัง
นี่คืองานบางอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:
และสิ่งที่สัญญาไว้ตั้งแต่ต้น:
คำตอบ:
วิธีแก้ปัญหา (โดยย่อ):
หากคุณได้รับมือกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกแล้ว ให้ถือว่าตัวเองเชี่ยวชาญหัวข้อนี้แล้ว
ตอนนี้ไปเรียนรู้!
การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:
สิ่งสำคัญ: สามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น!
เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก
เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!
ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด
คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว
ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...
เพื่ออะไร?
เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต
ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...
คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ
แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ
สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...
แต่คิดเอาเองนะ...
ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?
รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้
คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ
คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.
และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย
มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน
ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!
คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา
เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่
ยังไง? มีสองตัวเลือก:
ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที
การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์
และโดยสรุป...
หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี
“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง
ค้นหาปัญหาและแก้ไข!
สะดวกและเรียบง่าย เครื่องคิดเลขออนไลน์เศษส่วนพร้อมเฉลยอย่างละเอียดอาจจะ:
ผลการแก้เศษส่วนจะเป็นดังนี้...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
เครื่องหมายเศษส่วน "/" + - * :
_ลบล้าง
เครื่องคำนวณเศษส่วนออนไลน์ของเรามีการป้อนข้อมูลที่รวดเร็ว- เช่น หากต้องการแก้เศษส่วน ก็เขียนง่ายๆ 1/2+2/7
ลงในเครื่องคิดเลขแล้วกดปุ่ม " แก้เศษส่วน" เครื่องคิดเลขจะเขียนถึงคุณ การแก้เศษส่วนอย่างละเอียดและจะออก รูปภาพที่ง่ายต่อการคัดลอก.
หากคุณต้องการแก้เศษส่วนที่เป็นลบ ก็แค่ใช้คุณสมบัติของลบ เมื่อคูณและหารเศษส่วนลบ ลบด้วยลบจะได้บวก นั่นคือผลคูณและการหารเศษส่วนลบจะเท่ากับผลคูณและการหารเศษส่วนบวกอันเดียวกัน หากเศษส่วนหนึ่งเป็นลบเมื่อคูณหรือหาร ให้ลบเครื่องหมายลบออกแล้วบวกเข้ากับคำตอบ เมื่อบวกเศษส่วนลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับการบวกเศษส่วนบวกเดียวกัน หากคุณบวกเศษส่วนลบหนึ่งตัว ก็จะเท่ากับการลบเศษส่วนบวกตัวเดียวกัน
เมื่อลบเศษส่วนที่เป็นลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับว่าเศษส่วนนั้นถูกสลับและทำให้เป็นบวก นั่นคือ ลบทีละลบใน ในกรณีนี้ให้บวกแต่การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง เราใช้กฎเดียวกันในการลบเศษส่วน ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นลบ
เพื่อแก้ปัญหา เศษส่วนผสม(เศษส่วนซึ่ง ทั้งส่วน) แค่ขับส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษ
หากคุณต้องการแก้เศษส่วน 3 ตัวขึ้นไปทางออนไลน์ คุณควรแก้เศษส่วนทีละตัว ขั้นแรก ให้นับเศษส่วน 2 ตัวแรก จากนั้นแก้เศษส่วนถัดไปด้วยคำตอบที่คุณได้รับ เป็นต้น ดำเนินการทีละส่วน ครั้งละ 2 ส่วน แล้วคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องในที่สุด