ความหมายของจัตุรมุขปกติ จัตุรมุขปกติ (ปิรามิด) เตตราเฮดราในพิภพเล็ก ๆ

ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน การพัฒนาของจัตุรมุขหน้าเดียวเป็นรูปสามเหลี่ยมที่หารด้วยเส้นกึ่งกลางสามเส้นออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูปที่มีขนาดเท่ากัน ในทรงจัตุรมุขหน้าดิน ฐานของความสูง จุดกึ่งกลางของความสูง และจุดตัดของความสูงของใบหน้าวางอยู่บนพื้นผิวของทรงกลมหนึ่ง (ทรงกลม 12 จุด) (อะนาล็อกของวงกลมออยเลอร์สำหรับสามเหลี่ยม ).

คุณสมบัติของจัตุรมุขด้านเท่า:

• ใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน (เท่ากัน)
• ขอบที่ตัดกันมีค่าเท่ากันเป็นคู่
• มุมสามเหลี่ยมจะเท่ากัน
• มุมไดฮีดรัลที่อยู่ตรงข้ามจะเท่ากัน
• มุมระนาบสองมุมที่วางอยู่บนขอบเดียวกันจะเท่ากัน
• ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180°
• การพัฒนาจัตุรมุขเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• รูปขนานที่อธิบายไว้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• จัตุรมุขมีแกนสมมาตรสามแกน
• เส้นตั้งฉากทั่วไปของขอบตัดกันตั้งฉากกันเป็นคู่
• เส้นกึ่งกลางตั้งฉากกันเป็นคู่
• เส้นรอบวงของใบหน้าเท่ากัน
• พื้นที่ของใบหน้าเท่ากัน
• ความสูงของจัตุรมุขเท่ากัน
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดศูนย์ถ่วงของด้านตรงข้ามจะเท่ากัน
• รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบใบหน้าจะเท่ากัน
• จุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุขเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จำกัดขอบเขต
• จุดศูนย์ถ่วงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้
• จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้นั้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้
• ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นสัมผัสกับใบหน้าที่อยู่ตรงกลางของวงกลมที่ล้อมรอบใบหน้าเหล่านี้
• ผลรวมของค่าปกติของหน่วยด้านนอก (เวกเตอร์ของหน่วยที่ตั้งฉากกับใบหน้า) จะเป็นศูนย์
• ผลรวมของมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเป็นศูนย์

จัตุรมุขออร์โธเซนตริก

ความสูงทั้งหมดลดลงจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง

คุณสมบัติของจัตุรมุขออร์โธเซนตริก:

• ความสูงของจัตุรมุขตัดกัน ณ จุดหนึ่ง
• ฐานความสูงของจัตุรมุขเป็นจุดศูนย์กลางของใบหน้า
• ขอบด้านตรงข้ามทุกด้านของจัตุรมุขทุกด้านจะตั้งฉากกัน
• ผลรวมของกำลังสองของด้านตรงข้ามของจัตุรมุขมีค่าเท่ากัน
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุขนั้นเท่ากัน
• ผลคูณของโคไซน์ของมุมไดฮีดรัลตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
• ผลรวมของกำลังสองของพื้นที่ของใบหน้าน้อยกว่าผลรวมของกำลังสองของผลคูณของขอบตรงข้ามสี่เท่า
• ยู จัตุรมุขตั้งฉากวงกลม 9 จุด (วงกลมออยเลอร์) ของแต่ละใบหน้าอยู่ในทรงกลมเดียว (ทรงกลม 24 จุด)
• ยู จัตุรมุขตั้งฉากจุดศูนย์ถ่วงและจุดตัดของความสูงของใบหน้ารวมถึงจุดที่แบ่งส่วนของความสูงแต่ละด้านของจัตุรมุขจากจุดยอดถึงจุดตัดของความสูงในอัตราส่วน 2: 1 โกหก บนทรงกลมเดียว (ทรงกลม 12 จุด)

จัตุรมุขสี่เหลี่ยม

ขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับจุดยอดด้านใดด้านหนึ่งจะตั้งฉากกัน จัตุรมุขสี่เหลี่ยมได้มาจากการตัดจัตุรมุขออกด้วยระนาบจากทรงลูกบาศก์

กรอบจัตุรมุข

นี่คือจัตุรมุขที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

• มีทรงกลมสัมผัสทุกขอบ
• ผลรวมของความยาวของขอบตัดเท่ากัน
• ผลรวมของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
• วงกลมที่จารึกไว้ในใบหน้าสัมผัสกันเป็นคู่
• มีการอธิบายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดที่เกิดจากการพัฒนาจัตุรมุข
• ตั้งฉากกับใบหน้าจากศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้นตัดกันที่จุดหนึ่ง

จัตุรมุขที่เหมาะสม

คุณสมบัติของจัตุรมุขที่สมส่วน:

• ความสูงสองเท่าเท่ากัน bialtitudes ของจัตุรมุขนั้นตั้งฉากกันกับขอบที่ตัดกันสองอัน (ขอบที่ไม่มีจุดยอดเหมือนกัน)
• การฉายภาพจัตุรมุขบนระนาบที่ตั้งฉากกับสิ่งใด ๆ ไบมีเดียนมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ชาวไบมีเดียนจัตุรมุขเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบที่ตัดกัน (ซึ่งไม่มีจุดยอดร่วม)
• ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อธิบายไว้นั้นมีขนาดเท่ากัน
• ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้ถือเป็น: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, ที่ไหน $ก$และ $ก\_1$, $ข$และ $ข\_1$, $ค$และ $ค\_1$- ความยาวของซี่โครงที่อยู่ตรงข้ามกัน
• สำหรับขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุขแต่ละคู่ ระนาบที่ลากผ่านด้านใดด้านหนึ่งและจุดกึ่งกลางของด้านที่สองจะตั้งฉากกัน
• ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อธิบายไว้ของจัตุรมุขสมส่วนได้

จัตุรมุขแบบเยื้องศูนย์

ในประเภทนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง คุณสมบัติของจัตุรมุขแบบเยื้องศูนย์:

• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์ถ่วงของใบหน้าของจัตุรมุขที่มีจุดยอดตรงข้าม (ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข) จะตัดกันที่จุดหนึ่งเสมอ จุดนี้เป็นจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุข
• ความคิดเห็น- หากในเงื่อนไขสุดท้ายเราเปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วงของใบหน้าด้วยจุดออร์โธเซนเตอร์ของใบหน้า มันก็จะกลายเป็นคำจำกัดความใหม่ จัตุรมุขตั้งฉาก- หากเราแทนที่พวกมันด้วยจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ใบหน้า ซึ่งบางครั้งเรียกว่าอินเซ็นเตอร์ เราจะได้คำจำกัดความของคลาสใหม่ของจัตุรมุข - ศูนย์กลาง.
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้บนใบหน้าด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง
• เส้นแบ่งครึ่งของมุมของใบหน้าทั้งสองที่ลากไปที่ขอบร่วมของใบหน้าเหล่านี้จะมีฐานร่วม
• ผลคูณของความยาวของด้านตรงข้ามจะเท่ากัน
• รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดตัดที่สองของขอบทั้งสามที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่งโดยมีทรงกลมใดๆ ที่ผ่านปลายทั้งสามของขอบเหล่านี้จะมีด้านเท่ากันหมด

จัตุรมุขปกติ

นี่คือจัตุรมุขหน้าเดียว ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ มันเป็นหนึ่งในของแข็งห้าประการของเพลโต

คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:

• ขอบของจัตุรมุขทุกด้านเท่ากัน
• ใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้าเท่ากัน
• เส้นรอบวงและพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน
• จัตุรมุขปกติเป็นทั้งสองอย่าง ออร์โธเซนตริก กรอบ ด้านเท่ากันหมด เยื้องศูนย์ และสัดส่วน
• จัตุรมุขนั้นเป็นเรื่องปกติหากเป็นของจัตุรมุขสองประเภทต่อไปนี้: ออร์โธเซนตริก, เฟรม, อินเซนตริก, สัดส่วน, isohedral.
• จัตุรมุขเป็นเรื่องปกติหากเป็นเช่นนั้น มีมิติเท่ากันและเป็นของจัตุรมุขประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้: ออร์โธเซนตริก, เฟรม, อินเซนตริก, สัดส่วน.
• ทรงแปดหน้าสามารถจารึกไว้ในจัตุรมุขปกติได้ ยิ่งไปกว่านั้น ใบหน้าสี่หน้า (จากแปดหน้า) ของทรงแปดหน้าจะถูกนำมารวมกับหน้าสี่หน้าของทรงจัตุรมุข โดยจุดยอดทั้งหกของทรงแปดหน้าจะรวมกับจุดศูนย์กลางของขอบทั้งหกของทรงจัตุรมุข .
• จัตุรมุขปกติประกอบด้วยแปดหน้าที่ถูกจารึกไว้หนึ่งตัว (ตรงกลาง) และจัตุรมุขสี่ตัว (ที่จุดยอด) และขอบของจัตุรมุขเหล่านี้และแปดหน้านั้นมีขนาดเพียงครึ่งหนึ่งของขอบของจัตุรมุขปกติ
• จัตุรมุขปกติสามารถเขียนลงในลูกบาศก์ได้สองวิธี โดยที่จุดยอดทั้งสี่ของจัตุรมุขนั้นอยู่ในแนวเดียวกับจุดยอดทั้งสี่ของลูกบาศก์
• จัตุรมุขปกติสามารถจารึกไว้ใน icosahedron ยิ่งกว่านั้น จุดยอดทั้งสี่ของจัตุรมุขจะรวมกับจุดยอดทั้งสี่ของ icosahedron
• ขอบตัดของจัตุรมุขปกติตั้งฉากกัน

ปริมาตรของจัตุรมุข

• ปริมาตรของจัตุรมุข (คำนึงถึงเครื่องหมาย) ซึ่งจุดยอดจะอยู่ที่จุดต่างๆ $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$เท่ากับ

$วี\; =\; \backslash frac16$

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( วีแมทริกซ์) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(วีเมทริกซ์),หรือ

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

ที่ไหน $ส$คือบริเวณใบหน้าใดๆ และ $ชม$– ความสูงลดลงมาถึงใบหน้านี้

• ปริมาตรของจัตุรมุขในแง่ของความยาวขอบแสดงโดยใช้ปัจจัยกำหนด Cayley-Menger:

$288\; \backslash cดอท\; V^2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 & ง_(34)^2 & 0

\end(วีเมทริกซ์)

• สูตรนี้มีอะนาล็อกแบบแบนสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปแบบของสูตรของนกกระสาผ่านดีเทอร์มิแนนต์ที่คล้ายกัน
• ปริมาตรของจัตุรมุขผ่านความยาวของขอบด้านตรงข้ามสองด้าน กและ ขเหมือนการข้ามเส้นที่เว้นระยะห่างกัน ชม.จากกันและสร้างมุมซึ่งกันและกัน $\backslash พี$พบได้จากสูตร:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi$

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; abc\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

ที่ไหน $$D=\backslash begin(วีเมทริกซ์)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix)

• อะนาล็อกสำหรับระนาบของสูตรสุดท้ายคือสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของความยาวของทั้งสองด้าน กและ ขโผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่งและสร้างมุมระหว่างจุดยอดนั้น $\backslash แกมมา$:

$S\; =\; \backslash frac(1)(2)\backslash \; ab\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

ที่ไหน $D=\backslash begin(วีเมทริกซ์)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix)

เตตราเฮดราในพิภพเล็ก ๆ

• จัตุรมุขปกตินั้นถูกสร้างขึ้นโดย sp 3 -ไฮบริดของออร์บิทัลของอะตอม (แกนของพวกมันถูกส่งไปยังจุดยอดของจัตุรมุขปกติและนิวเคลียสของอะตอมกลางตั้งอยู่ในศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้ของจัตุรมุขปกติ) ดังนั้นหลายคน โมเลกุลที่เกิดการผสมข้ามพันธุ์ของอะตอมกลางจะมีลักษณะของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้
• CH 4 โมเลกุลมีเทน
• ซัลเฟตไอออน SO 4 2-, ฟอสเฟตไอออน PO 4 3-, เปอร์คลอเรตไอออน ClO 4 - และไอออนอื่น ๆ อีกมากมาย
• Diamond C เป็นจัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 2.5220 อังสตรอม
• ฟลูออไรต์ CaF 2 จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 3,8626 อังสตรอม
• สฟาเลอไรต์, ZnS, จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 3.823 อังสตรอม
• ไอออนเชิงซ้อน - , 2- , 2- , 2+
• ซิลิเกตซึ่งมีโครงสร้างอยู่บนพื้นฐานของจัตุรมุขซิลิกอนออกซิเจน 4-

จัตุรมุขในธรรมชาติ

ผลไม้บางชนิดซึ่งมีสี่ผลในมือข้างหนึ่งจะอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขที่ใกล้เคียงกับปกติ การออกแบบนี้เกิดจากการที่จุดศูนย์กลางของลูกบอลสี่ลูกที่เหมือนกันซึ่งสัมผัสกันนั้นอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขปกติ ดังนั้นผลไม้ที่มีลักษณะคล้ายลูกบอลจึงเกิดการจัดเรียงที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่นวอลนัทสามารถจัดเรียงได้ด้วยวิธีนี้

จัตุรมุขในเทคโนโลยี

ดูสิ่งนี้ด้วย

• Simplex - จัตุรมุข n มิติ

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "Tetrahedron"

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• มาติเซน วี.อี. ดูบรอฟสกี้ จากเรขาคณิตของจัตุรมุข "Kvant" หมายเลข 9, 1988 หน้า 66
• Zaslavsky A. A. // การศึกษาคณิตศาสตร์, ser. ฉบับที่ 3 (2547) ฉบับที่ 8 หน้า 78-92.

ถูกต้อง ถูกต้อง ไม่นูน นูน สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี อื่น

ข้อความที่ตัดตอนมาจากลักษณะจัตุรมุข

ในวันที่สี่ เกิดเพลิงไหม้ที่ Zubovsky Val.
ปิแอร์และอีกสิบสามคนถูกนำตัวไปที่ Krymsky Brod ไปยังบ้านรถม้าของบ้านพ่อค้า เมื่อเดินไปตามถนนปิแอร์สำลักควันซึ่งดูเหมือนจะยืนอยู่ทั่วทั้งเมือง ไฟมองเห็นได้จากทิศทางต่างๆ ปิแอร์ยังไม่เข้าใจถึงความสำคัญของการเผามอสโกและมองดูไฟเหล่านี้ด้วยความหวาดกลัว
ปิแอร์พักอยู่ในบ้านรถม้าของบ้านใกล้กับไครเมียบรอดอีกสี่วัน และในระหว่างนี้เขาได้เรียนรู้จากการสนทนาของทหารฝรั่งเศสว่าทุกคนที่นี่คาดหวังการตัดสินใจของจอมพลทุกวัน จอมพลปิแอร์คนไหนไม่สามารถรู้คำตอบจากทหารได้ สำหรับทหารคนนี้ เห็นได้ชัดว่าจอมพลดูเหมือนจะเป็นผู้เชื่อมโยงอำนาจที่สูงที่สุดและค่อนข้างลึกลับ
วันแรกนี้จนถึงวันที่ 8 กันยายน ซึ่งเป็นวันที่นำตัวนักโทษไปสอบปากคำครั้งที่สอง ถือเป็นวันที่ยากที่สุดสำหรับปิแอร์

เอ็กซ์
วันที่ 8 กันยายน เจ้าหน้าที่คนสำคัญคนหนึ่งเข้าไปในโรงนาเพื่อพบนักโทษ โดยพิจารณาจากความเคารพที่ผู้คุมปฏิบัติต่อเขา เจ้าหน้าที่คนนี้ซึ่งอาจเป็นเจ้าหน้าที่ซึ่งมีรายชื่ออยู่ในมือได้โทรหาชาวรัสเซียทั้งหมดโดยเรียกปิแอร์ว่า: celui qui n "avoue pas son nom [คนที่ไม่พูดชื่อของเขา] และอย่างไม่แยแสและ เขามองดูนักโทษทั้งหมดอย่างเกียจคร้าน และสั่งให้เจ้าหน้าที่แต่งตัวให้เรียบร้อยและทำความสะอาดพวกเขาก่อนจะพาพวกเขาไปที่จอมพล หนึ่งชั่วโมงต่อมา กองทหารก็มาถึง ปิแอร์และอีกสิบสามคนถูกนำตัวไปที่ทุ่งหญิงสาว วันนั้นอากาศแจ่มใส มีแดดจัด และอากาศก็แจ่มใสผิดปกติ เช่นเดียวกับในอากาศในวันนั้นเมื่อปิแอร์ถูกนำตัวออกจากป้อมยามที่ Zubovsky Val ควันก็ลอยขึ้นมาในเสาในอากาศที่แจ่มใส มองเห็นได้ แต่ควันพลุ่งพล่านจากทุกทิศทุกทาง และทั่วทั้งมอสโก ทุกสิ่งที่ปิแอร์มองเห็น ล้วนแต่เกิดเพลิงไหม้ขึ้นทุกด้าน ใกล้กับกองไฟและไม่รู้จักย่านที่คุ้นเคยของเมือง ในบางสถานที่สามารถมองเห็นเครมลินไม่ถูกทำลายเป็นสีขาวจากระยะไกลพร้อมหอคอยและอีวานมหาราช บริเวณใกล้เคียงโดมของคอนแวนต์ Novodevichy เปล่งประกายอย่างสนุกสนานและได้ยินเสียงระฆังแห่งข่าวประเสริฐเป็นพิเศษจากที่นั่น การประกาศนี้เตือนปิแอร์ว่าเป็นวันอาทิตย์และเป็นวันฉลองการประสูติของพระแม่มารีย์ แต่ดูเหมือนว่าไม่มีใครเฉลิมฉลองวันหยุดนี้: ทุกแห่งมีความหายนะจากไฟและในหมู่ชาวรัสเซียมีเพียงคนที่ขาดสติและหวาดกลัวเป็นครั้งคราวเท่านั้นที่ซ่อนตัวเมื่อเห็นชาวฝรั่งเศส
เห็นได้ชัดว่ารังของรัสเซียถูกทำลายและถูกทำลาย แต่เบื้องหลังการทำลายล้างระเบียบชีวิตของรัสเซียนี้ ปิแอร์รู้สึกโดยไม่รู้ตัวว่าเหนือรังที่พังทลายนี้ของเขาเองซึ่งแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่ได้รับการสถาปนาระเบียบฝรั่งเศสที่มั่นคง เขารู้สึกได้เมื่อเห็นทหารเหล่านั้นเดินเรียงแถวอย่างร่าเริงและร่าเริงและพาเขาไปพร้อมกับอาชญากรคนอื่น ๆ เขาสัมผัสได้ถึงสิ่งนี้เมื่อเห็นเจ้าหน้าที่คนสำคัญชาวฝรั่งเศสในรถม้าคู่ซึ่งมีทหารขับมาหาเขา เขาสัมผัสได้ถึงเสียงดนตรีจากกองทหารที่ไพเราะจากสนามด้านซ้าย โดยเฉพาะเขารู้สึกและเข้าใจจากรายการที่นายทหารฝรั่งเศสที่มาเยี่ยมอ่านเมื่อเช้านี้พร้อมตะโกนเรียกนักโทษ ปิแอร์ถูกทหารบางคนจับตัวไปถูกพาไปยังสถานที่แห่งหนึ่งพร้อมกับคนอื่น ๆ อีกหลายสิบคน ดูเหมือนว่าพวกเขาจะลืมเขาได้ และปะปนเขากับคนอื่นๆ แต่ไม่: คำตอบของเขาที่ให้ในระหว่างการสอบสวนกลับมาหาเขาในรูปแบบของชื่อของเขา: celui quin n "avoue pas son nom และภายใต้ชื่อนี้ซึ่งปิแอร์กลัวตอนนี้เขาถูกพาไปที่ไหนสักแห่งด้วยความมั่นใจอย่างไม่ต้องสงสัย เขียนไว้บนใบหน้าว่านักโทษคนอื่นๆ และเขาคือคนที่ต้องการ และพวกเขาถูกนำตัวไปในที่ที่ต้องการ ปิแอร์รู้สึกเหมือนเศษไม้เล็กๆ ติดอยู่ในล้อของเครื่องจักรที่เขาไม่รู้จัก แต่ทำงานได้อย่างถูกต้อง .
ปิแอร์และอาชญากรคนอื่นๆ ถูกนำตัวไปทางด้านขวาของทุ่ง Maiden ซึ่งอยู่ไม่ไกลจากอาราม ไปยังบ้านหลังใหญ่สีขาวพร้อมสวนขนาดใหญ่ นี่คือบ้านของเจ้าชาย Shcherbatov ซึ่งปิแอร์เคยไปเยี่ยมเจ้าของมาก่อนและขณะนี้เมื่อเขาได้เรียนรู้จากการสนทนาของทหารจอมพลดยุคแห่งเอคมูห์ลก็ประจำการอยู่
พวกเขาถูกพาไปที่ระเบียงและถูกพาเข้าไปในบ้านทีละคน ปิแอร์ถูกนำเข้ามาเป็นอันดับหก ผ่านห้องกระจก ห้องโถง และห้องโถงซึ่งปิแอร์คุ้นเคยดี เขาถูกนำเข้าไปในห้องทำงานเตี้ยๆ ยาวๆ ที่ประตูซึ่งมีผู้ช่วยคนหนึ่งยืนอยู่
Davout นั่งอยู่ที่ปลายห้องเหนือโต๊ะ โดยมีแว่นอยู่ที่จมูก ปิแอร์เข้ามาใกล้เขา Davout เห็นได้ชัดว่ากำลังรับมือกับกระดาษที่วางอยู่ตรงหน้าโดยไม่ละสายตา เขาถามอย่างเงียบ ๆ โดยไม่ละสายตา:
– Qui etes vous? [คุณคือใคร?]
ปิแอร์เงียบเพราะเขาไม่สามารถพูดอะไรได้ สำหรับปิแอร์ Davout ไม่ใช่แค่นายพลชาวฝรั่งเศสเท่านั้น สำหรับ Pierre Davout เขาเป็นผู้ชายที่ขึ้นชื่อเรื่องความโหดร้าย เมื่อมองดูใบหน้าที่เย็นชาของ Davout ซึ่งเหมือนกับครูที่เข้มงวดตกลงที่จะมีความอดทนในขณะนี้และรอคำตอบปิแอร์รู้สึกว่าความล่าช้าทุกวินาทีอาจทำให้เขาเสียชีวิตได้ แต่เขาไม่รู้ว่าจะพูดอะไร เขาไม่กล้าพูดในสิ่งที่เขาพูดในระหว่างการสอบสวนครั้งแรก การเปิดเผยยศและตำแหน่งของตนนั้นทั้งอันตรายและน่าละอาย ปิแอร์เงียบ แต่ก่อนที่ปิแอร์จะตัดสินใจสิ่งใด Davout ก็เงยหน้าขึ้น ยกแว่นตาขึ้นที่หน้าผาก หรี่ตาลงแล้วมองที่ปิแอร์อย่างตั้งใจ
“ฉันรู้จักผู้ชายคนนี้” เขาพูดด้วยน้ำเสียงที่เย็นชาและเย็นชา ซึ่งเห็นได้ชัดว่าทำให้ปิแอร์ตกใจ ความหนาวเย็นที่เคยไหลลงมาที่หลังของปิแอร์จับศีรษะของเขาราวกับเป็นรอง
– Mon General, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu... [คุณไม่รู้จักฉัน ท่านนายพล ฉันไม่เคยเห็นคุณมาก่อน]
“C"est un espion russe [นี่คือสายลับรัสเซีย"] Davout ขัดจังหวะเขา โดยพูดกับนายพลอีกคนหนึ่งที่อยู่ในห้องและปิแอร์ไม่ได้สังเกตเห็น และ Davout ก็หันหลังกลับด้วยน้ำเสียงที่ดังอย่างไม่คาดคิด ปิแอร์ จู่ๆก็พูดอย่างรวดเร็ว
“ไม่ใช่ ท่าน Monseigneur” เขาพูด ทันใดนั้นก็จำได้ว่า Davout เป็น Duke - Non, Monseigneur, vous n"avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militianaire และ je n"ai pas ออกจากกรุงมอสโก [ไม่ ท่านฝ่าบาท... ไม่ ท่านไม่รู้จักข้า ฉันเป็นเจ้าหน้าที่ตำรวจและฉันไม่ได้ออกจากมอสโกว]
- โหวตชื่อ? [ชื่อของคุณ?] - Davout ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
- เบซูฮอฟ. [เบซูคอฟ.]
– Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [ใครจะพิสูจน์ให้ฉันเห็นว่าคุณไม่ได้โกหก?]
- นาย! [ฝ่าบาท!] - ปิแอร์ร้องออกมาด้วยน้ำเสียงที่ไม่ขุ่นเคือง แต่ขอร้อง
Davout เงยหน้าขึ้นมองปิแอร์อย่างตั้งใจ พวกเขามองหน้ากันเป็นเวลาหลายวินาที และการเหลือบมองนี้ก็ช่วยปิแอร์ไว้ได้ ในมุมมองนี้ นอกเหนือจากเงื่อนไขทั้งหมดของสงครามและการทดลองแล้ว ความสัมพันธ์ของมนุษย์ได้ถูกสร้างขึ้นระหว่างคนสองคนนี้ ในหนึ่งนาทีนั้นพวกเขาทั้งสองได้ประสบกับสิ่งต่าง ๆ นับไม่ถ้วนอย่างคลุมเครือและตระหนักว่าพวกเขาทั้งสองเป็นบุตรของมนุษยชาติว่าพวกเขาเป็นพี่น้องกัน
เมื่อมองแวบแรกสำหรับ Davout ผู้ซึ่งเพียงเงยหน้าขึ้นจากรายการของเขาซึ่งกิจการของมนุษย์และชีวิตถูกเรียกว่าตัวเลขปิแอร์เป็นเพียงสถานการณ์เท่านั้น และโดยไม่คำนึงถึงการกระทำที่ไม่ดีกับมโนธรรมของเขา Davout คงยิงเขาไปแล้ว แต่บัดนี้เขาเห็นคนในตัวเขาแล้ว เขาคิดอยู่ครู่หนึ่ง
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [คุณจะพิสูจน์ความจริงของคำพูดของคุณให้ฉันได้อย่างไร] - Davout พูดอย่างเย็นชา
ปิแอร์จำ Rambal ได้และตั้งชื่อกองทหารของเขา นามสกุลของเขา และถนนที่บ้านหลังนี้ตั้งอยู่
“Vous n"etes pas ce que vous dites, [คุณไม่ใช่อย่างที่คุณพูด]” Davout กล่าวอีกครั้ง
ปิแอร์เริ่มแสดงหลักฐานยืนยันความจริงในคำให้การของเขาด้วยเสียงสั่นเครือเป็นช่วงๆ
แต่คราวนี้ผู้ช่วยเข้ามารายงานบางอย่างให้ดาวุตทราบ
ทันใดนั้น Davout ก็ยิ้มแย้มแจ่มใสเมื่อได้รับข่าวจากผู้ช่วยคนสนิทและเริ่มติดกระดุม เห็นได้ชัดว่าเขาลืมปิแอร์ไปโดยสิ้นเชิง
เมื่อผู้ช่วยเตือนเขาถึงนักโทษ เขาก็ขมวดคิ้ว พยักหน้าไปทางปิแอร์แล้วบอกว่าจะพาออกไป แต่ปิแอร์ไม่รู้ว่าพวกเขาควรจะพาเขาไปที่ไหน: กลับไปที่บูธหรือไปยังสถานที่ประหารชีวิตที่เตรียมไว้ซึ่งสหายของเขาแสดงให้เขาเห็นขณะเดินไปตามทุ่งหญิงสาว
เขาหันศีรษะและเห็นว่าผู้ช่วยกำลังถามอะไรบางอย่างอีกครั้ง
- อุ๊ย ไม่ไหวแล้ว! [ใช่แน่นอน!] - Davout พูด แต่ปิแอร์ไม่รู้ว่า "ใช่" คืออะไร
ปิแอร์จำไม่ได้ว่าเขาเดินนานแค่ไหนและอยู่ที่ไหน เขาอยู่ในสภาพไร้สติและโง่เขลาโดยสิ้นเชิงโดยไม่เห็นสิ่งใดรอบตัวเขาขยับขาไปพร้อมกับคนอื่นๆ จนกระทั่งทุกคนหยุดและเขาก็หยุด ตลอดเวลานี้ มีความคิดหนึ่งอยู่ในหัวของปิแอร์ มันเป็นความคิดที่ว่าใครใครเป็นผู้ตัดสินให้เขาตายในที่สุด คนเหล่านี้ไม่ใช่คนกลุ่มเดียวกับที่สอบปากคำเขาในคณะกรรมาธิการ ไม่มีใครต้องการและเห็นได้ชัดว่าทำไม่ได้ ไม่ใช่ Davout ที่มองเขาอย่างมนุษย์ปุถุชน อีกสักครู่ Davout ก็จะรู้ว่าพวกเขากำลังทำอะไรผิด แต่ช่วงเวลานี้ถูกขัดขวางโดยผู้ช่วยที่เข้ามา และเห็นได้ชัดว่าผู้ช่วยคนนี้ไม่ต้องการอะไรที่ไม่ดี แต่เขาอาจจะไม่ได้เข้าไป ในที่สุดใครคือผู้ประหารชีวิต ฆ่า คร่าชีวิตเขา - ปิแอร์พร้อมความทรงจำ แรงบันดาลใจ ความหวัง ความคิดทั้งหมดของเขา? ใครที่ทำแบบนี้? และปิแอร์ก็รู้สึกว่าไม่มีใคร
มันเป็นคำสั่ง รูปแบบของสถานการณ์
คำสั่งบางอย่างกำลังฆ่าเขา - ปิแอร์พรากชีวิตเขาทุกสิ่งทำลายเขา

จากบ้านของเจ้าชาย Shcherbatov นักโทษถูกนำตัวตรงลงไปตามเสา Devichye ทางด้านซ้ายของอาราม Devichye และนำไปสู่สวนผักซึ่งมีเสาอยู่ ด้านหลังเสามีหลุมขนาดใหญ่ที่ขุดขึ้นมาพร้อมกับดินที่เพิ่งขุดใหม่ และมีผู้คนจำนวนมากยืนอยู่เป็นครึ่งวงกลมรอบหลุมและเสา ฝูงชนประกอบด้วยชาวรัสเซียจำนวนเล็กน้อยและกองทหารนโปเลียนจำนวนมากที่ไม่อยู่ในขบวน: เยอรมัน อิตาลี และฝรั่งเศสในเครื่องแบบที่แตกต่างกัน ทางด้านขวาและซ้ายของเสามีแนวหน้ากองทหารฝรั่งเศสในชุดสีน้ำเงิน พร้อมด้วยอินทรธนู รองเท้าบูท และชาโกสีแดง
อาชญากรถูกวางไว้ในลำดับที่แน่นอนซึ่งอยู่ในรายชื่อ (ปิแอร์อายุหกขวบ) และถูกนำตัวไปที่ตำแหน่ง จู่ๆ กลองหลายอันก็กระทบจากทั้งสองด้าน และปิแอร์ก็รู้สึกว่าด้วยเสียงนี้ราวกับว่าจิตวิญญาณของเขาส่วนหนึ่งถูกฉีกออกไป เขาสูญเสียความสามารถในการคิดและการคิด เขาทำได้เพียงเห็นและได้ยินเท่านั้น และเขามีความปรารถนาเดียวเท่านั้น - ความปรารถนาที่จะมีสิ่งเลวร้ายเกิดขึ้นซึ่งจะต้องทำให้เสร็จโดยเร็วที่สุด ปิแอร์มองย้อนกลับไปที่สหายของเขาและตรวจดูพวกเขา
ชายสองคนที่อยู่ตรงขอบถูกโกนและเตรียมพร้อม คนหนึ่งสูงและผอม อีกตัวมีสีดำ มีขนดก มีล่ำสัน จมูกแบน คนที่สามเป็นคนรับใช้ข้างถนน อายุประมาณสี่สิบห้าปี ผมหงอก ร่างกายอ้วนพี คนที่สี่เป็นผู้ชายที่หล่อมาก มีเคราสีน้ำตาลหนาและดวงตาสีดำ คนที่ห้าเป็นคนงานโรงงาน ตัวเหลือง ผอม ประมาณสิบแปด สวมชุดคลุม
ปิแอร์ได้ยินมาว่าชาวฝรั่งเศสกำลังคุยกันถึงวิธีการยิง - ครั้งละหนึ่งหรือสองครั้ง? “ครั้งละสองคน” เจ้าหน้าที่อาวุโสตอบอย่างเย็นชาและสงบ มีการเคลื่อนไหวในกลุ่มทหารและเห็นได้ชัดว่าทุกคนกำลังรีบ - และพวกเขาก็รีบไม่ใช่เพราะพวกเขากำลังรีบที่จะทำสิ่งที่ทุกคนเข้าใจได้ แต่เพราะพวกเขากำลังรีบทำให้เสร็จ งานที่จำเป็น แต่ไม่เป็นที่พอใจและไม่สามารถเข้าใจได้
เจ้าหน้าที่ชาวฝรั่งเศสสวมผ้าพันคอเดินเข้ามาทางด้านขวาของแถวอาชญากรและอ่านคำตัดสินเป็นภาษารัสเซียและฝรั่งเศส
จากนั้นชาวฝรั่งเศสสองคู่ก็เข้ามาหาคนร้ายและตามคำแนะนำของเจ้าหน้าที่ก็เอายามสองคนยืนอยู่บนขอบ ทหารยามเข้าใกล้เสาหยุดและในขณะที่นำถุงมาก็มองไปรอบ ๆ พวกเขาอย่างเงียบ ๆ ขณะที่สัตว์ที่บาดเจ็บมองดูนักล่าที่เหมาะสม คนหนึ่งเอาแต่ข้ามตัวเอง อีกคนเกาหลังและขยับริมฝีปากราวกับยิ้ม พวกทหารรีบเอามือปิดตา ใส่ถุง มัดไว้กับเสา
ทหารปืนไรเฟิลสิบสองคนพร้อมปืนยาวก้าวออกมาจากด้านหลังกองทหารด้วยก้าวที่มั่นคงและมั่นคง และหยุดแปดก้าวจากเสา ปิแอร์หันหลังกลับเพื่อไม่ให้เห็นว่าจะเกิดอะไรขึ้น ทันใดนั้นได้ยินเสียงชนและเสียงคำรามดังขึ้น ซึ่งปิแอร์ดูเหมือนจะดังกว่าเสียงฟ้าร้องที่น่ากลัวที่สุด และเขาก็มองไปรอบ ๆ มีควันและชาวฝรั่งเศสที่มีใบหน้าซีดและมือสั่นกำลังทำอะไรบางอย่างใกล้หลุม พวกเขาพาอีกสองคนมาด้วย ในทำนองเดียวกัน ทั้งสองมองทุกคนด้วยสายตาเดียวกันอย่างเปล่าประโยชน์ด้วยสายตาเพียงเงียบๆ ขอความคุ้มครอง และเห็นได้ชัดว่าไม่เข้าใจหรือเชื่อว่าจะเกิดอะไรขึ้น พวกเขาไม่เชื่อเพราะพวกเขาเพียงคนเดียวเท่านั้นที่รู้ว่าชีวิตของพวกเขาคืออะไร ดังนั้นพวกเขาจึงไม่เข้าใจและไม่เชื่อว่าจะถูกพรากไปได้
ปิแอร์ไม่อยากมองแล้วหันหลังกลับไปอีก แต่อีกครั้งราวกับว่ามีการระเบิดอันน่ากลัวกระทบหูของเขาและพร้อมกับเสียงเหล่านี้เขาเห็นควันเลือดของใครบางคนและใบหน้าที่ซีดเซียวและหวาดกลัวของชาวฝรั่งเศสซึ่งกำลังทำอะไรบางอย่างที่เสาอีกครั้งผลักกันด้วยมือที่สั่นเทา ปิแอร์หายใจแรงมองไปรอบ ๆ เขาราวกับถามว่านี่คืออะไร? คำถามเดียวกันนี้เกิดขึ้นจากการจ้องมองของปิแอร์

ในบทนี้ เราจะดูจัตุรมุขและองค์ประกอบของมัน (ขอบจัตุรมุข พื้นผิว ใบหน้า จุดยอด) และเราจะแก้ปัญหาต่างๆ ในการสร้างส่วนต่างๆ ในจัตุรมุขโดยใช้วิธีทั่วไปในการสร้างส่วนต่างๆ

หัวข้อ: ความขนานของเส้นและระนาบ

บทเรียน: จัตุรมุข ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในจัตุรมุข

จะสร้างจัตุรมุขได้อย่างไร? ลองหารูปสามเหลี่ยมตามใจกัน เอบีซี- จุดใดก็ได้ ดีไม่ใช่นอนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมนี้ เราได้สามเหลี่ยม 4 อัน พื้นผิวที่เกิดจากสามเหลี่ยมทั้ง 4 นี้เรียกว่าจัตุรมุข (รูปที่ 1) จุดภายในที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวนี้ก็เป็นส่วนหนึ่งของจัตุรมุขเช่นกัน

ข้าว. 1. จัตุรมุข ABCD

องค์ประกอบของจัตุรมุข
เอ,บี, ค, ดี - จุดยอดของจัตุรมุข.
เอบี, เอ.ซี., ค.ศ, บี.ซี., บีดี, ซีดี - ขอบจัตุรมุข.
เอบีซี, เอบีดี, บีดีซี, เอดีซี - ใบหน้าจัตุรมุข.

ความคิดเห็น:สามารถแบนได้ เอบีซีด้านหลัง ฐานจัตุรมุขแล้วชี้ ดีเป็น จุดยอดของจัตุรมุข- ขอบแต่ละด้านของจัตุรมุขคือจุดตัดของระนาบสองระนาบ ตัวอย่างเช่นซี่โครง เอบี- นี่คือจุดตัดของเครื่องบิน เอบีดีและ เอบีซี- จุดยอดแต่ละจุดของจัตุรมุขคือจุดตัดของระนาบสามระนาบ จุดยอด กอยู่ในเครื่องบิน เอบีซี, เอบีดี, กดีกับ- จุด กคือจุดตัดของระนาบที่กำหนดทั้งสามลำ ข้อเท็จจริงนี้เขียนดังนี้: ก= เอบีซี ∩ เอบีดี ∩ เครื่องปรับอากาศดี.

คำนิยาม จัตุรมุข

ดังนั้น, จัตุรมุขเป็นพื้นผิวที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมสี่รูป

ขอบจัตุรมุข- เส้นตัดกันของระนาบสองระนาบของจัตุรมุข

สร้างสามเหลี่ยม 4 อันเท่ากันจาก 6 นัด เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขปัญหาบนเครื่องบิน และนี่เป็นเรื่องง่ายที่จะทำในอวกาศ ลองใช้จัตุรมุขกัน 6 ไม้ขีดคือขอบของมัน สี่หน้าของจัตุรมุข และจะเป็นสามเหลี่ยมสี่อันเท่ากัน ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ให้จัตุรมุข เอบีซีดี. จุด มอยู่ในขอบของจัตุรมุข เอบี, จุด เอ็นอยู่ในขอบของจัตุรมุข ในดีและช่วงเวลา รอยู่ที่ขอบ ดีกับ(รูปที่ 2.). สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยเครื่องบิน เอ็มเอ็นพี.

ข้าว. 2. การวาดภาพสำหรับปัญหาที่ 2 - สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ

สารละลาย:
พิจารณาใบหน้าของจัตุรมุข ดีดวงอาทิตย์- บนใบหน้าของประเด็นนี้ เอ็นและ ปเป็นของใบหน้า ดีดวงอาทิตย์และด้วยเหตุนี้จึงมีจัตุรมุขด้วย แต่ตามเงื่อนไขจุดนั้น เอ็น, พีอยู่ในระนาบการตัด วิธี, เอ็นพี- นี่คือเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ: ระนาบของใบหน้า ดีดวงอาทิตย์และระนาบการตัด สมมุติว่าเส้นตรงนั้น เอ็นพีและ ดวงอาทิตย์ไม่ขนานกัน พวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน ดีดวงอาทิตย์.ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกัน เอ็นพีและ ดวงอาทิตย์- เรามาแสดงแทนกันเถอะ อี(รูปที่ 3.)

ข้าว. 3. การเขียนโจทย์ปัญหา 2. การหาจุด E

จุด อีอยู่ในระนาบส่วน เอ็มเอ็นพีเพราะมันอยู่บนเส้น เอ็นพีและเส้นตรง เอ็นพีอยู่ในระนาบส่วนทั้งหมด เอ็มเอ็นพี.

ชี้ด้วย อีอยู่ในเครื่องบิน เอบีซีเพราะมันอยู่บนเส้นตรง ดวงอาทิตย์ออกจากเครื่องบิน เอบีซี.

เราเข้าใจแล้ว กิน- เส้นตัดกันของเครื่องบิน เอบีซีและ เอ็มเอ็นพี,ตั้งแต่คะแนน อีและ มนอนพร้อมกันในสองระนาบ - เอบีซีและ เอ็มเอ็นพี.มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ มและ อีและเดินตรงต่อไป กินถึงทางแยกกับเส้น เครื่องปรับอากาศ- จุดตัดกันของเส้น กินและ เครื่องปรับอากาศมาแสดงกันเถอะ ถาม.

ดังนั้นในกรณีนี้ NPQМ- ส่วนที่ต้องการ

ข้าว. 4. การเขียนแบบสำหรับปัญหา 2. แนวทางแก้ไขปัญหา 2

ให้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ เอ็นพีขนาน บี.ซี.- ถ้าตรง เอ็นพีขนานกับเส้นบางเส้น เช่น เส้นตรง ดวงอาทิตย์ออกจากเครื่องบิน เอบีซีแล้วตรงไป เอ็นพีขนานไปกับระนาบทั้งหมด เอบีซี.

ระนาบส่วนที่ต้องการจะผ่านเส้นตรง เอ็นพีขนานกับระนาบ เอบีซีและตัดระนาบเป็นเส้นตรง ตรม- แล้วเส้นตัดกัน ตรมขนานไปกับเส้น เอ็นพี- เราได้รับ NPQМ- ส่วนที่ต้องการ

จุด มอยู่ที่ขอบด้านข้าง กดีในจัตุรมุข เอบีซีดี- สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีระนาบที่ผ่านจุดนั้น มขนานกับฐาน เอบีซี.

ข้าว. 5. การวาดภาพสำหรับปัญหา 3 สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ

สารละลาย:
เครื่องบินตัด φ ขนานไปกับเครื่องบิน เอบีซีตามเงื่อนไขก็หมายความว่าเครื่องบินลำนี้ φ ขนานกับเส้น เอบี, เครื่องปรับอากาศ, ดวงอาทิตย์.
ในเครื่องบิน เอบีดีผ่านจุด มมาทำไดเร็กกันเถอะ PQขนาน เอบี(รูปที่ 5) ตรง PQอยู่ในเครื่องบิน เอบีดี- ในเครื่องบินก็เช่นเดียวกัน เครื่องปรับอากาศดีผ่านจุด รมาทำไดเร็กกันเถอะ ประชาสัมพันธ์ขนาน เครื่องปรับอากาศ- ได้ประเด็นแล้ว ร- เส้นตัดกันสองเส้น PQและ ประชาสัมพันธ์เครื่องบิน พีคิวอาร์ตามลำดับขนานกับเส้นตัดกันสองเส้น เอบีและ เครื่องปรับอากาศเครื่องบิน เอบีซีซึ่งหมายถึงเครื่องบิน เอบีซีและ พีคิวอาร์ขนาน. พีคิวอาร์- ส่วนที่ต้องการ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ให้จัตุรมุข เอบีซีดี- จุด ม- จุดภายใน ชี้ไปที่หน้าจัตุรมุข เอบีดี. เอ็น- จุดภายในของส่วน ดีกับ(รูปที่ 6.). สร้างจุดตัดของเส้น น.เอ็ม.และเครื่องบิน เอบีซี.

ข้าว. 6. การวาดภาพสำหรับปัญหา 4

สารละลาย:
เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะสร้างระนาบเสริม ดีมน- ให้มันตรงไป ดีมตัดเส้น AB ที่จุด ถึง(รูปที่ 7.). แล้ว, เอสเคดี- นี่คือส่วนหนึ่งของเครื่องบิน ดีมนและจัตุรมุข ในเครื่องบิน ดีมนโกหกและตรงไปตรงมา น.เอ็ม.และผลลัพธ์เป็นเส้นตรง เอสเค- แล้วถ้า น.เอ็ม.ไม่ขนานกัน เอสเคแล้วพวกมันก็จะตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ร- จุด รและก็จะมีจุดตัดของเส้นที่ต้องการ น.เอ็ม.และเครื่องบิน เอบีซี.

ข้าว. 7. การเขียนแบบสำหรับปัญหา 4. แนวทางแก้ไขปัญหา 4

ให้จัตุรมุข เอบีซีดี. ม- จุดภายในของใบหน้า เอบีดี. ร- จุดภายในของใบหน้า เอบีซี. เอ็น- จุดภายในของขอบ ดีกับ(รูปที่ 8.) สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ ม, เอ็นและ ร.

ข้าว. 8. การวาดภาพสำหรับปัญหา 5 สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ

สารละลาย:
ลองพิจารณากรณีแรกเมื่อเส้นตรง มนไม่ขนานกับระนาบ เอบีซี- ในโจทย์ที่แล้ว เราพบจุดตัดของเส้นนี้ มนและเครื่องบิน เอบีซี- นี่คือประเด็น ถึงได้มาโดยใช้ระนาบเสริม ดีมน, เช่น. พวกเราทำ ดีมและเราก็ได้ประเด็น เอฟ- เราดำเนินการ ซีเอฟและที่สี่แยก มนเราได้รับประเด็น ถึง.

ข้าว. 9. การวาดโจทย์ 5. การหาจุด K

มาทำไดเร็กกันเถอะ KR- ตรง KRอยู่ทั้งในระนาบส่วนและในระนาบ เอบีซี- การได้รับคะแนน ป 1และ ร 2- กำลังเชื่อมต่อ ป 1และ มและเราก็เข้าใจประเด็นนี้ต่อไป ม.1- การเชื่อมต่อจุด ร 2และ เอ็น- เป็นผลให้เราได้ส่วนที่ต้องการ ป 1 ป 2 นิวเม็กซิโก 1- ปัญหาในกรณีแรกได้รับการแก้ไขแล้ว
ลองพิจารณากรณีที่ 2 เมื่อเป็นเส้นตรง มนขนานไปกับเครื่องบิน เอบีซี- เครื่องบิน เอ็มเอ็นพีผ่านเป็นเส้นตรง มนขนานไปกับเครื่องบิน เอบีซีและตัดกันเครื่องบิน เอบีซีตามเส้นตรงบางเส้น ร 1 ร 2แล้วตรงไป ร 1 ร 2ขนานกับเส้นที่กำหนด มน(รูปที่ 10.).

ข้าว. 10. การเขียนแบบสำหรับปัญหา 5. ส่วนที่ต้องการ

ทีนี้มาวาดเส้นตรงกัน ร 1 มและเราก็ได้ประเด็น ม.1.ป 1 ป 2 นิวเม็กซิโก 1- ส่วนที่ต้องการ

ดังนั้นเราจึงดูจัตุรมุขและแก้ไขปัญหาจัตุรมุขทั่วไปบางอย่าง ในบทต่อไป เราจะดูเรื่องรูปคู่ขนานกัน

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : ป่วย. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและระดับพิเศษ)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ป่วย เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป

3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น. :อิล เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมบนเว็บ

2. วิธีสร้างหน้าตัดของจัตุรมุข คณิตศาสตร์ ()

3. เทศกาลแห่งแนวคิดการสอน ()

ทำโจทย์ที่บ้านในหัวข้อ “จัตุรมุข” วิธีหาขอบของจัตุรมุข ใบหน้าของจัตุรมุข จุดยอด และพื้นผิวของจัตุรมุข

1. เรขาคณิต เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 หน้า: ป่วย งาน 18, 19, 20 น

2. จุด อีซี่โครงกลาง ปริญญาโทจัตุรมุข MAVS- สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ บี, ซีและ อี.

3. ใน MABC จัตุรมุข จุด M เป็นของใบหน้า AMV จุด P เป็นของใบหน้า BMC จุด K เป็นของขอบ AC สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ เอ็ม, อาร์, เค.

4. รูปทรงใดที่สามารถได้รับจากการจุดตัดของจัตุรมุขกับระนาบ?

บันทึก- นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (หมวด Stereometry ปัญหาเกี่ยวกับปิรามิด) หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม ในงาน แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "รากที่สอง" ฟังก์ชัน sqrt() จะถูกใช้ โดยที่ sqrt คือสัญลักษณ์รากที่สอง และนิพจน์รากจะถูกระบุในวงเล็บ.สำหรับนิพจน์รากอย่างง่าย สามารถใช้เครื่องหมาย "√" ได้. จัตุรมุขปกติ- นี่คือปิรามิดสามเหลี่ยมปกติซึ่งใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ในทรงจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ขอบและมุมตรีฮีดรัลทั้งหมดที่จุดยอดจะเท่ากัน

จัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอด และ 6 ขอบ

สูตรพื้นฐานสำหรับจัตุรมุขปกติแสดงอยู่ในตาราง

ที่ไหน:
S - พื้นที่ผิวของจัตุรมุขปกติ
วี - ปริมาตร
h - ความสูงลดลงถึงฐาน
r - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในจัตุรมุข
R - เส้นรอบวง
เอ - ความยาวขอบ

ตัวอย่างการปฏิบัติ

งาน.
ค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยมโดยแต่ละขอบเท่ากับ √3

สารละลาย.
เนื่องจากขอบทั้งหมดของปิรามิดสามเหลี่ยมเท่ากัน จึงเป็นเรื่องปกติ พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ S = a 2 √3
แล้ว
ส = 3√3

คำตอบ: 3√3

งาน.
ขอบทั้งหมดของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 4 ซม. จงหาปริมาตรของปิรามิด

สารละลาย.
เนื่องจากในปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติ ความสูงของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของฐาน ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นรอบวงด้วย ดังนั้น

AO = R = √3 / 3 ก
เอโอ = 4√3 / 3

ดังนั้น ความสูงของพีระมิด OM สามารถหาได้จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AOM

อ่าว 2 + อ้อม 2 = AM 2
โอม 2 = AM 2 - AO 2
โอม 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
โอม 2 = 16 - 16/3
โอม = √(32/3)
โอเอ็ม = 4√2 / √3

เราค้นหาปริมาตรของปิรามิดโดยใช้สูตร V = 1/3 Sh
ในกรณีนี้ เราจะหาพื้นที่ฐานโดยใช้สูตร S = √3/4 a 2

วี = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
วี = 16√2/3

คำตอบ: 16√2 / 3 ซม

ส่วน: คณิตศาสตร์

แผนการเตรียมและดำเนินบทเรียน:

I. ขั้นตอนการเตรียมการ:

1. การทำซ้ำคุณสมบัติที่ทราบของปิรามิดสามเหลี่ยม
2. เสนอสมมติฐานเกี่ยวกับคุณลักษณะที่เป็นไปได้ของจัตุรมุขที่ไม่ได้พิจารณามาก่อน
3. การจัดตั้งกลุ่มเพื่อทำการวิจัยเกี่ยวกับสมมติฐานเหล่านี้
4. การกระจายงานสำหรับแต่ละกลุ่ม (คำนึงถึงความต้องการ)
5. การแบ่งหน้าที่รับผิดชอบในการบรรลุภารกิจ

ครั้งที่สอง เวทีหลัก:

1. วิธีแก้ปัญหาสมมุติฐาน
2. ปรึกษาหารือกับอาจารย์
3. ทะเบียนงาน.

สาม. ขั้นตอนสุดท้าย:

1. การนำเสนอและการป้องกันสมมติฐาน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• สรุปและจัดระบบความรู้และทักษะของนักเรียน ศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ สอนการประยุกต์ใช้ความรู้ในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานเพื่อดูองค์ประกอบง่ายๆ
• เพื่อพัฒนาความสามารถของนักเรียนในการทำงานกับวรรณกรรมเพิ่มเติม เพื่อปรับปรุงความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป ค้นหาสิ่งสำคัญในสิ่งที่พวกเขาอ่าน และพิสูจน์สิ่งใหม่ พัฒนาทักษะการสื่อสารของนักเรียน
• ปลูกฝังวัฒนธรรมกราฟิก

ขั้นเตรียมความพร้อม (1 บทเรียน):

1. ข้อความจากนักเรียนเรื่อง “ความลับของมหาปิรามิด”
2. ครูบรรยายเรื่องปิรามิดชนิดต่างๆ
3. การอภิปรายคำถาม:

• ปิรามิดสามเหลี่ยมที่ผิดปกติสามารถรวมเข้าด้วยกันตามเกณฑ์ใด
• จุดออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมเราหมายถึงอะไร และสิ่งที่เรียกว่าจุดออร์โธเซ็นเตอร์ของจัตุรมุข
• จัตุรมุขสี่เหลี่ยมมีออร์โธเซ็นเตอร์หรือไม่?
• จัตุรมุขชนิดใดที่เรียกว่า isohedral?

1. จากการพิจารณาจัตุรมุขต่างๆ และอภิปรายคุณสมบัติของพวกมัน แนวคิดจึงได้รับการชี้แจงและมีโครงสร้างบางอย่างปรากฏขึ้น:

1. ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ (ภาคผนวก)

คุณสมบัติ 1-4 ได้รับการพิสูจน์ด้วยวาจาโดยใช้สไลด์ 1

คุณสมบัติ 1: ขอบทั้งหมดเท่ากัน

คุณสมบัติ 2: มุมระนาบทั้งหมดเท่ากับ 60°

คุณสมบัติ 3: ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดใดๆ ของทรงสี่หน้าเท่ากับ 180°

คุณสมบัติ 4: หากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ จุดยอดใดๆ ของมันจะถูกฉายไปที่จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของด้านตรงข้าม

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ

อา - ความสูง

พิสูจน์:

H – ออร์โธเซ็นเตอร์

การพิสูจน์:

1) จุด H อาจตรงกับจุด A, B, C ใดๆ ให้ H ? B, H ?

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) พิจารณา ABH, BCH, ADH

AD – ทั่วไป => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD t. H – เป็นจุดศูนย์กลางของ ABC

Q.E.D.

1. ในบทเรียนแรก คุณสมบัติ 5-9 ได้รับการกำหนดเป็นสมมติฐานที่ต้องการการพิสูจน์

แต่ละกลุ่มจะได้รับการบ้านของตนเอง:

พิสูจน์คุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่ง

เตรียมเหตุผลพร้อมการนำเสนอ

ครั้งที่สอง เวทีหลัก (ภายในหนึ่งสัปดาห์):

1. วิธีแก้ปัญหาสมมุติฐาน
2. ปรึกษาหารือกับอาจารย์
3. ทะเบียนงาน.

สาม. ขั้นตอนสุดท้าย (1-2 บทเรียน):

การนำเสนอและปกป้องสมมติฐานโดยใช้การนำเสนอ

เมื่อเตรียมเนื้อหาสำหรับบทเรียนสุดท้าย นักเรียนได้ข้อสรุปเกี่ยวกับความพิเศษของจุดตัดกันของความสูง เราตกลงที่จะเรียกมันว่าจุดที่ "น่าทึ่ง"

คุณสมบัติ 5: จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตและขอบเขตตรงกัน

ที่ให้ไว้:

DABC – จัตุรมุขปกติ

O 1 - ศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้

O - ศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้

N คือจุดสัมผัสของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้กับหน้า ABC

พิสูจน์: O 1 = O

การพิสูจน์:

ให้ OA = OB =OD = OC – รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

ละเว้น ON + (ABC)

AON = CON – สี่เหลี่ยม ตามแนวขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก => AN = CN

ละเว้น OM + (BCD)

COM DOM - สี่เหลี่ยมตามแนวขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก => CM = DM

จากจุดที่ 1 CON COM => ON =OM

ON + (ABC) => ON,OM – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สำหรับจัตุรมุขปกติมีความเป็นไปได้ที่จะมีตำแหน่งร่วมกับทรงกลมโดยสัมผัสกับทรงกลมบางอันด้วยขอบทั้งหมด ทรงกลมดังกล่าวบางครั้งเรียกว่า "กึ่งจารึก"

คุณสมบัติ 6: ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามและตั้งฉากกับขอบเหล่านี้คือรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ครึ่งหนึ่ง

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=ซีพี, BM = DM, CN = DN

พิสูจน์:

LO = ตกลง = OS = OM = เปิด =OP

การพิสูจน์.

จัตุรมุข ABCD – ถูกต้อง => AO= BO = CO =DO

พิจารณารูปสามเหลี่ยม AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD

AO=BO=>?AOB – หน้าจั่ว =>
OL – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
AO=CO=>?AOC– หน้าจั่ว =>
ตกลง – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
CO=DO=>?COD– หน้าจั่ว =>
เปิด– ค่ามัธยฐาน ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– หน้าจั่ว => BOD= BOC= AOD
OM – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
AO=DO=>?AOD– หน้าจั่ว =>
OS – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
BO=CO=>?BOC– หน้าจั่ว =>
OP – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
อ่าว=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=ซีดี

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - ความสูงเท่ากับ OL, OK, ON, OM, OS, รัศมี OP

หน้าจั่ว สามเหลี่ยม ทรงกลม

ผลที่ตามมา:

ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ครึ่งหนึ่งสามารถวาดได้ในจัตุรมุขปกติ

คุณสมบัติ 7:ถ้าจัตุรมุขเป็นแบบปกติ ขอบด้านตรงข้ามทุกสองด้านของจัตุรมุขจะตั้งฉากกัน

ที่ให้ไว้:

DABC – จัตุรมุขปกติ;

H – ออร์โธเซ็นเตอร์

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

DABC – จัตุรมุขปกติ =>?ADB – ด้านเท่ากันหมด

(ADB) (EDC) = อ

ED – ความสูง ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + ซีดี

ความตั้งฉากของขอบอื่นๆ ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

คุณสมบัติ 8: ระนาบสมมาตรหกระนาบตัดกันที่จุดหนึ่ง ที่จุด O เส้นตรงสี่เส้นตัดกัน ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบใบหน้า ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของใบหน้า และจุด O คือจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จำกัดขอบเขต

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ

พิสูจน์:

O – ศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้

ระนาบสมมาตร 6 ระนาบตัดกันที่จุด O;

การพิสูจน์.

CG + BD เพราะ BCD - ด้านเท่ากันหมด => GO + BD (โดยทฤษฎีบทของ GO + BD สามเส้นตั้งฉาก)

BG = GD เพราะว่า AG – ค่ามัธยฐาน ABD

เอบีดี (ABD)=> ? BOD - หน้าจั่ว => BO=DO

ED + AB เพราะว่า ABD – ด้านเท่ากันหมด => OE + AD (ตามทฤษฎีบทสามตั้งฉาก)

พ.ศ. = AE เพราะ DE – ค่ามัธยฐาน?ABD

ABD (ABD) =>?AOB – หน้าจั่ว =>BO=AO

(AOB) (ABD) = เอบี

ON + (ABC) OF + AC (ตามทฤษฎีบทสาม

BF + AC เพราะ ABC - ตั้งฉากด้านเท่ากันหมด)

AF = FC เพราะ BF – ค่ามัธยฐาน?ABC

ABC (ABC) => AOC - หน้าจั่ว => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = เอซี

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – รัศมีของทรงกลม

AO = CO อธิบายไว้ใกล้กับจัตุรมุข ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = บีโอ

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

เพราะฉะนั้น:

จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด

ระนาบสมมาตร 6 ระนาบตัดกันที่จุด O

คุณสมบัติ 9: มุมป้านระหว่างตั้งฉากที่ผ่านจุดยอดของจัตุรมุขถึงจุดออร์โธเซ็นเตอร์คือ 109°28"

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ;

O – ศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขต;

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

1)AS – ความสูง

ASB = 90 o OSB สี่เหลี่ยม

2) (โดยทรัพย์สินของจัตุรมุขปกติ)

3)AO=BO – รัศมีของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

คือจุดตัดของความสูงของจัตุรมุขปกติ

เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้

เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมกึ่งจารึก

เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด

เป็นจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุข

คือยอดปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติที่มีขนาดเท่ากันสี่ปิรามิด โดยมีฐานเป็นหน้าจัตุรมุข

บทสรุป.

(ครูและนักเรียนสรุปบทเรียน นักเรียนคนหนึ่งพูดพร้อมรายงานสั้น ๆ เกี่ยวกับจัตุรมุขซึ่งเป็นหน่วยโครงสร้างขององค์ประกอบทางเคมี)

มีการศึกษาคุณสมบัติของจัตุรมุขปกติและจุดที่ "น่าทึ่ง" ของมัน

พบว่ารูปร่างของจัตุรมุขเท่านั้นซึ่งมีคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดรวมถึงจุดที่ "เหมาะ" เท่านั้นที่สามารถสร้างรูปร่างได้ด้วยโมเลกุลของซิลิเกตและไฮโดรคาร์บอน หรือโมเลกุลอาจประกอบด้วยจัตุรมุขปกติหลายตัว ปัจจุบันจัตุรมุขเป็นที่รู้จักไม่เพียง แต่เป็นตัวแทนของอารยธรรมและคณิตศาสตร์โบราณเท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานของโครงสร้างของสสารอีกด้วย

ซิลิเกตเป็นสารคล้ายเกลือที่ประกอบด้วยสารประกอบของซิลิคอนและออกซิเจน ชื่อของพวกเขามาจากคำภาษาละติน "silex" - "flint" พื้นฐานของโมเลกุลซิลิเกตประกอบด้วยอนุมูลอะตอมในรูปของจัตุรมุข

ซิลิเกตได้แก่ ทราย ดินเหนียว อิฐ แก้ว ซีเมนต์ สารเคลือบฟัน ทัลก์ แร่ใยหิน มรกต และโทแพซ

ซิลิเกตประกอบด้วยเปลือกโลกมากกว่า 75% (และรวมกับควอตซ์ประมาณ 87%) และหินอัคนีมากกว่า 95%

คุณลักษณะที่สำคัญของซิลิเกตคือความสามารถในการรวมกัน (การเกิดพอลิเมอไรเซชัน) ของเตตระเฮดราซิลิคอน-ออกซิเจนตั้งแต่สองตัวขึ้นไปผ่านอะตอมออกซิเจนทั่วไป

ไฮโดรคาร์บอนอิ่มตัวมีรูปร่างโมเลกุลเหมือนกัน แต่แตกต่างจากซิลิเกตตรงที่ประกอบด้วยคาร์บอนและไฮโดรเจน สูตรทั่วไปของโมเลกุล

ไฮโดรคาร์บอนรวมถึงก๊าซธรรมชาติ

เราจะพิจารณาคุณสมบัติของจัตุรมุขทรงสี่เหลี่ยมและทรงหน้าจั่ว

วรรณกรรม.

• Potapov V.M. , Tatarinchik S.N. “เคมีอินทรีย์”, มอสโก 2519
• บาบาริน วี.พี. “ความลับของมหาปิรามิด”, เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2543
• Sharygin I.F. “ ปัญหาทางเรขาคณิต”, มอสโก, 1984
• พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่
• “ หนังสืออ้างอิงของโรงเรียน”, มอสโก, 2544

|
จัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข
จัตุรมุข(กรีกโบราณ τετρά-εδρον - จัตุรมุขมาจากภาษากรีกโบราณ τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - "สี่" + กรีกโบราณ ἕδρα - "ที่นั่ง, ฐาน") เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ใบหน้ามีรูปสามเหลี่ยมสี่อัน จัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอด และ 6 ขอบ จัตุรมุขที่ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าปกติ จัตุรมุขปกติเป็นหนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

• 1 คุณสมบัติของจัตุรมุข
• จัตุรมุข 2 ประเภท
• 3 ปริมาตรของจัตุรมุข
• 4 Tetrahedra ในพิภพเล็ก ๆ
• 5 จัตุรมุขในธรรมชาติที่มีชีวิต
• 6 จัตุรมุขในเทคโนโลยี
• 7 หมายเหตุ
• 8 ดูเพิ่มเติม

คุณสมบัติของจัตุรมุข

• ระนาบขนานที่ผ่านคู่ของขอบที่ตัดกันของจัตุรมุขจะกำหนดเส้นขนานที่อธิบายไว้รอบๆ จัตุรมุข
• ระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบสองส่วนที่ตัดกันของจัตุรมุขจะแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยมีปริมาตรเท่ากัน: 216-217

ประเภทของจัตุรมุข

นอกจากจัตุรมุขปกติแล้ว จัตุรมุขชนิดพิเศษต่อไปนี้ยังมีความโดดเด่นอีกด้วย

• จัตุรมุขด้านเท่าซึ่งใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน
• จัตุรมุขออร์โธเซนตริกซึ่งมีความสูงทั้งหมดจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามมาตัดกันที่จุดหนึ่ง
• จัตุรมุขสี่เหลี่ยมซึ่งขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับจุดยอดด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกัน
• จัตุรมุขเฟรมคือจัตุรมุขที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
  • มีทรงกลมสัมผัสทุกขอบ
  • ผลรวมของความยาวของขอบตัดเท่ากัน
  • ผลรวมของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
  • วงกลมที่จารึกไว้ในใบหน้าสัมผัสกันเป็นคู่
  • มีการอธิบายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดที่เกิดจากการพัฒนาจัตุรมุข
  • ตั้งฉากกับใบหน้าจากศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้นตัดกันที่จุดหนึ่ง
• จัตุรมุขที่มีสัดส่วนเท่ากันซึ่งมีส่วนสูงเท่ากัน
• จัตุรมุขแบบศูนย์กลางซึ่งส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้บนด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง

ปริมาตรของจัตุรมุข

ปริมาตรของจัตุรมุข (คำนึงถึงเครื่องหมาย) ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุดต่างๆ เท่ากับ:

หรือบริเวณไหนของใบหน้าใด ๆ และความสูงลดลงมาถึงใบหน้านี้

ปริมาตรของจัตุรมุขแสดงผ่านความยาวของขอบโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ Cayley-Menger:

เตตราเฮดราในพิภพเล็ก ๆ

• จัตุรมุขปกตินั้นเกิดจากการผสมพันธุ์ sp3 ของออร์บิทัลอะตอม (แกนของพวกมันถูกส่งไปยังจุดยอดของจัตุรมุขปกติและนิวเคลียสของอะตอมกลางตั้งอยู่ในศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้ของจัตุรมุขปกติ) ดังนั้น โมเลกุลจำนวนมากใน ซึ่งการผสมพันธุ์ของอะตอมกลางเกิดขึ้นมีลักษณะของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้
• โมเลกุลมีเทน CH4
• แอมโมเนียมไอออน NH4+
• ซัลเฟตไอออน SO42-, ฟอสเฟตไอออน PO43-, เปอร์คลอเรตไอออน ClO4- และไอออนอื่นๆ อีกมากมาย
• Diamond C เป็นจัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 2.5220 อังสตรอม
• ฟลูออไรต์ CaF2 จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 3,8626 อังสตรอม
• สฟาเลอไรต์, ZnS, จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 3.823 อังสตรอม
• ไอออนเชิงซ้อน -, 2-, 2-, 2+
• ซิลิเกตซึ่งมีโครงสร้างอยู่บนพื้นฐานของจัตุรมุขซิลิกอนออกซิเจน 4-

จัตุรมุขในธรรมชาติ

วอลนัทจัตุรมุข

ผลไม้บางชนิดซึ่งมีสี่ผลในมือข้างหนึ่งจะอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขที่ใกล้เคียงกับปกติ การออกแบบนี้เกิดจากการที่จุดศูนย์กลางของลูกบอลสี่ลูกที่เหมือนกันซึ่งสัมผัสกันนั้นอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขปกติ ดังนั้นผลไม้ที่มีลักษณะคล้ายลูกบอลจึงเกิดการจัดเรียงที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่นวอลนัทสามารถจัดเรียงได้ด้วยวิธีนี้

จัตุรมุขในเทคโนโลยี

• จัตุรมุขสร้างโครงสร้างที่แข็งแกร่งและกำหนดแบบคงที่ได้ จัตุรมุขที่ทำจากแท่งมักใช้เป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างรับน้ำหนักเชิงพื้นที่ของช่วงอาคาร พื้น คาน โครงถัก สะพาน ฯลฯ แท่งรับน้ำหนักตามยาวเท่านั้น
• จัตุรมุขสี่เหลี่ยมถูกนำมาใช้ในทัศนศาสตร์ หากผิวหน้าที่ทำมุมฉากถูกเคลือบด้วยสารสะท้อนแสง หรือจัตุรมุขทั้งหมดทำจากวัสดุที่มีการหักเหของแสงสูงเพื่อสร้างเอฟเฟกต์ของการสะท้อนภายในทั้งหมด แสงที่ส่องไปที่พื้นผิวตรงข้ามกับจุดยอดที่ทำมุมฉากจะสะท้อนใน ทิศทางเดียวกับที่มันมา คุณสมบัตินี้ใช้เพื่อสร้างตัวสะท้อนแสงมุมและตัวสะท้อนแสง
• กราฟทริกเกอร์ควอเทอร์นารีคือจัตุรมุข

หมายเหตุ

1. พจนานุกรมกรีก-รัสเซียโบราณของดโวเรตสกี “τετρά-εδρον”
2. เซลิวานอฟ ดี.เอฟ. เรขาคณิต // พจนานุกรมสารานุกรมของ Brockhaus และ Efron: 86 เล่ม (82 เล่มและเพิ่มเติม 4 เล่ม) - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก พ.ศ. 2433-2450
3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. พีชคณิตเวกเตอร์ในตัวอย่างนี้และปัญหา - ม.: มัธยมปลาย, 2528. - 232 น.
4. V. E. MATIZEN Isohedral และเฟรมจัตุรมุข “Kvant” หมายเลข 7, 1983
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view ทริกเกอร์

ดูสิ่งนี้ด้วย

• Simplex - จัตุรมุข n มิติ

รูปทรงหลายเหลี่ยม
ถูกต้อง (ของแข็งสงบ)
ถูกต้อง ไม่นูน	รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว 8 หน้า
นูน	ของแข็งอาร์คิมีดีน Cubooctahedron Icosidodecahedron ตัดทอน tetrahedron ตัดทอน octahedron ตัดทอน icosahedron ตัดทอน cube ตัดทอน dodecahedron Rhombocuboctahedron ตัดทอน cuboctahedron ตัดทอน ขนมเปียกปูน ตัดทอน icosidodecahedron Snub cube Snub dodecahedron ตัดทอน cuboctahedron ตัดทอน sidodecahedron ปริซึมปกติ Antiprism ร่างกายของชาวคาตาลัน Rhombododecahedron Rhombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisocahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron ห้าเหลี่ยม icositetrahedron ห้าเหลี่ยม hexecahedron Disdakisdodecahedron Disdakistriacontahedron โดยไม่ต้องเต็ม เชิงพื้นที่ สมมาตร ปิรามิด ปริซึม ปิรามิด ปิรามิดแอนตี้ปริซึม โซโนเฮดรอน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ปริซึมตอยด์ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน เพนตากอนโดเดคาเฮดรอน พาราเลโลเฮดรอน
สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี	ทฤษฎีบทของอเล็กซานดรอฟเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ทฤษฎีบทของ Bleeker ทฤษฎีบทของ Cauchy เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทของ Lindelöf เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทของ Minkowski เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทของ Sabitov ทฤษฎีบทของออยเลอร์เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม Schläfli
อื่น	จัตุรมุขมุมฉาก จัตุรมุขด้านเท่ากันหมด สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทรงหลายเหลี่ยม กลุ่มรูปทรงหลายเหลี่ยม โดเดคาฮีดรอน มุมตัน หน่วย ลูกบาศก์ รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบยืดหยุ่น การพัฒนา Schläfli สัญลักษณ์ รูปทรงหลายเหลี่ยมจอห์นสัน หลายมิติ (จัตุรมุข N-มิติ เทสเซอร์แรค เพนเทอแรค เฮกเซอแรค เฮปเทอแรค octeract เอนเทเนอแรค เดเคอร์แรค ไฮเปอร์คิวบ์) ไม้ปาร์เก้

จัตุรมุข, จัตุรมุข, จัตุรมุข, มุมมองด้านข้างจัตุรมุข, มุมมองด้านข้างจัตุรมุข, มุมมองด้านข้างจัตุรมุข, จัตุรมุข gezh yuu ve, จัตุรมุข gezh yuu ve, จัตุรมุข gezh yuu ve, จัตุรมุข durs, จัตุรมุข durs, จัตุรมุข durs, เฮดรอนจากกระดาษ จัตุรมุขจากกระดาษ จัตุรมุขกระดาษ, รูปภาพจัตุรมุข, รูปภาพจัตุรมุข, รูปภาพจัตุรมุข, คำจำกัดความจัตุรมุข, คำจำกัดความจัตุรมุข, คำจำกัดความจัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข, การวาดภาพจัตุรมุข, การวาดภาพจัตุรมุข, การวาดภาพจัตุรมุข, แม่แบบจัตุรมุข, เทมเพลตจัตุรมุข แม่แบบฮีดรอน

ข้อมูลเกี่ยวกับจัตุรมุข