การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย สมการเชิงเส้น: สูตรและตัวอย่าง ความไม่เท่าเทียมกันและแนวทางแก้ไข

การเรียนรู้การแก้สมการเป็นหนึ่งในภารกิจหลักที่พีชคณิตมอบให้นักเรียน เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด เมื่อมันประกอบด้วยสิ่งหนึ่งที่ไม่รู้จัก และก้าวไปสู่สิ่งที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ หากคุณยังไม่เชี่ยวชาญการกระทำที่ต้องดำเนินการด้วยสมการจากกลุ่มแรก ก็จะเป็นการยากที่จะเข้าใจกลุ่มอื่นๆ

หากต้องการสนทนาต่อ คุณต้องตกลงในเรื่องสัญกรณ์

รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าและหลักการในการแก้โจทย์

สมการใดๆ ที่สามารถเขียนได้ดังนี้

ก * x = ข,

เรียกว่า เชิงเส้น- นี่คือสูตรทั่วไป แต่บ่อยครั้งในงานสมการเชิงเส้นจะถูกเขียนในรูปแบบโดยนัย จากนั้นจึงจำเป็นต้องทำการแปลงเหมือนกันเพื่อให้ได้สัญกรณ์ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป การดำเนินการเหล่านี้ได้แก่:

• วงเล็บเปิด
• ย้ายพจน์ทั้งหมดที่มีค่าตัวแปรเข้าไป ด้านซ้ายความเท่าเทียมกันและส่วนที่เหลือ - ไปทางขวา;
• การลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน

ในกรณีที่ปริมาณที่ไม่รู้จักอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน คุณจะต้องกำหนดค่าที่นิพจน์จะไม่สมเหตุสมผล กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณจำเป็นต้องรู้ขอบเขตของคำจำกัดความของสมการ

หลักการที่ใช้แก้สมการเชิงเส้นทั้งหมดคือการหารค่าทางด้านขวาของสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปร นั่นคือ “x” จะเท่ากับ b/a

กรณีพิเศษของสมการเชิงเส้นและการเฉลย

ในระหว่างการให้เหตุผล ช่วงเวลาอาจเกิดขึ้นเมื่อสมการเชิงเส้นเข้าช่วงใดช่วงหนึ่ง ประเภทพิเศษ- แต่ละคนมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ในสถานการณ์แรก:

ก * x = 0และ ≠ 0

การแก้สมการดังกล่าวจะเป็น x = 0 เสมอ

ในกรณีที่สอง “a” รับค่าเท่ากับศูนย์:

0 * x = 0.

คำตอบของสมการดังกล่าวจะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ นั่นคือมันมีจำนวนรากไม่สิ้นสุด

สถานการณ์ที่สามมีลักษณะดังนี้:

0 * x = นิ้วโดยที่ ≠ 0

สมการนี้ไม่สมเหตุสมผล เพราะไม่มีรากใดที่จะตอบสนองได้

มุมมองทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว

จากชื่อเป็นที่ชัดเจนว่ามีสองปริมาณที่ไม่ทราบอยู่แล้วในนั้น สมการเชิงเส้นในสองตัวแปรมีลักษณะเช่นนี้:

ก * x + ข * y = ค.

เนื่องจากมีผู้ไม่ทราบสองตัวในบันทึก คำตอบจึงมีลักษณะเป็นตัวเลขคู่หนึ่ง นั่นคือการระบุเพียงค่าเดียวไม่เพียงพอที่จะระบุ นี่จะเป็นคำตอบที่ไม่สมบูรณ์ คู่ของปริมาณที่สมการกลายเป็นเอกลักษณ์คือคำตอบของสมการ นอกจากนี้ ในคำตอบ ตัวแปรที่มาก่อนในตัวอักษรจะถูกเขียนลงก่อนเสมอ บางครั้งพวกเขาบอกว่าตัวเลขเหล่านี้ทำให้เขาพอใจ ยิ่งไปกว่านั้น คู่ดังกล่าวอาจมีจำนวนไม่สิ้นสุด

จะแก้สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวได้อย่างไร?

ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่ต้องเลือกคู่ตัวเลขที่ถูกต้อง เพื่อความง่าย คุณสามารถนำค่าที่ไม่ทราบจำนวนหนึ่งที่มีค่าเท่ากับจำนวนเฉพาะจำนวนหนึ่งแล้วหาค่าที่สองได้

เมื่อแก้โจทย์ คุณมักจะต้องทำตามขั้นตอนเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ นอกจากนี้ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริงเสมอสำหรับสมการ:

• แต่ละเทอมสามารถย้ายไปยังส่วนตรงข้ามของความเท่าเทียมกันได้โดยการแทนที่เครื่องหมายด้วยอันที่ตรงกันข้าม
• ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการสามารถหารด้วยจำนวนเดียวกันได้ตราบใดที่มันไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างงานที่มีสมการเชิงเส้น

งานแรก.แก้สมการเชิงเส้น: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4

ในสมการที่มาก่อนในรายการนี้ เพียงหาร 20 ด้วย 4 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น 5 นี่คือคำตอบ: x = 5

สมการที่สามต้องการให้ทำการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัว มันจะประกอบด้วยการเปิดวงเล็บและนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน หลังจากขั้นตอนแรก สมการจะอยู่ในรูปแบบ: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x จากนั้นคุณจะต้องย้ายสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ และส่วนที่เหลือไปทางขวา สมการจะมีลักษณะดังนี้: 8x + 2x + 4x = 8 + 8 หลังจากบวกคำที่คล้ายกันแล้ว: 14x = 16 ตอนนี้ก็ดูเหมือนกับสมการแรก และวิธีแก้ก็หาได้ง่าย คำตอบคือ x=8/7 แต่ในทางคณิตศาสตร์ คุณควรแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน จากนั้นผลลัพธ์จะเปลี่ยนไป และ "x" จะเท่ากับหนึ่งส่วนทั้งหมดและหนึ่งในเจ็ด

ในตัวอย่างที่เหลือ ตัวแปรจะอยู่ในตัวส่วน ซึ่งหมายความว่าก่อนอื่นคุณต้องค้นหาว่าสมการถูกกำหนดไว้เป็นค่าใด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแยกตัวเลขที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ออก ในตัวอย่างแรกคือ “-4” ในตัวอย่างที่สองคือ “-3” นั่นคือค่าเหล่านี้จะต้องถูกแยกออกจากคำตอบ หลังจากนี้ คุณจะต้องคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วยนิพจน์ในตัวส่วน

เมื่อเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราจะได้สมการแรกในสมการแรก: 5x + 15 = 4x + 16 และสมการที่สองคือ 5x + 15 = 4x + 12 หลังจากการแปลงแล้ว ผลเฉลยของสมการแรกจะเป็น x = -1. อันที่สองมีค่าเท่ากับ "-3" ซึ่งหมายความว่าอันหลังไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ภารกิจที่สองแก้สมการ: -7x + 2y = 5

สมมติว่าค่าแรกที่ไม่รู้จัก x = 1 จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ -7 * 1 + 2y = 5 ย้ายตัวประกอบ "-7" ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันแล้วเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นบวกปรากฎว่า 2y = 12 ซึ่งหมายความว่า y =6 คำตอบ: หนึ่งในคำตอบของสมการ x = 1, y = 6

รูปแบบทั่วไปของอสมการที่มีตัวแปรเดียว

สถานการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแสดงไว้ที่นี่:

• ก * x > ข;
• ก * x< в;
• ก * x ≥b;
• ก * x ≤в

โดยทั่วไปจะดูเหมือนสมการเชิงเส้นธรรมดา มีเพียงเครื่องหมายเท่ากับเท่านั้นที่จะถูกแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกัน

กฎเกณฑ์สำหรับการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกัน

เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น อสมการสามารถแก้ไขได้ตามกฎบางประการ พวกเขาต้มลงไปดังต่อไปนี้:

1. ทางด้านซ้ายและด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันคุณสามารถเพิ่มตัวอักษรใดก็ได้หรือ นิพจน์ตัวเลขและเครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิม
2. คุณสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนบวกเดียวกันได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอีกต่อไป
3. เมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบเดียวกัน ความเท่าเทียมกันจะยังคงเป็นจริง โดยมีเงื่อนไขว่าเครื่องหมายอสมการจะกลับกัน

มุมมองทั่วไปของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้สามารถนำเสนอได้ในปัญหา:

• วี< а * х < с;
• ค ≤ ก * x< с;
• วี< а * х ≤ с;
• ค ≤ ก * x ≤ ค

เรียกว่าสองเท่าเพราะถูกจำกัดด้วยสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้าน แก้ไขได้โดยใช้กฎเดียวกันกับความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป และการค้นหาคำตอบก็มาจากการแปลงที่เหมือนกันหลายชุด จนกว่าจะได้สิ่งที่ง่ายที่สุด

คุณสมบัติของการแก้อสมการสองเท่า

อย่างแรกคือรูปภาพบนแกนพิกัด ไม่จำเป็นที่จะต้องใช้วิธีนี้กับอสมการเชิงง่าย แต่ใน กรณีที่ยากลำบากมันอาจจะจำเป็นก็ได้

ในการพรรณนาถึงความไม่เท่าเทียมกันคุณจะต้องทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดที่ได้รับในระหว่างการให้เหตุผลบนแกน ค่าเหล่านี้เป็นค่าที่ไม่ถูกต้องซึ่งระบุด้วยจุดเจาะและค่าจากความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับหลังการแปลง สิ่งสำคัญคือต้องวาดจุดให้ถูกต้องเช่นกัน หากความไม่เท่าเทียมกันเข้มงวดนั่นคือ< или >จากนั้นค่าเหล่านี้จะถูกเจาะออกมา ในอสมการไม่เข้มงวด จุดต่างๆ จะต้องถูกแรเงา

จากนั้นจึงจำเป็นต้องระบุความหมายของความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้การแรเงาหรือส่วนโค้ง จุดตัดของพวกเขาจะระบุคำตอบ

คุณสมบัติที่สองเกี่ยวข้องกับการบันทึก มีสองตัวเลือกที่นำเสนอที่นี่ ประการแรกคือความไม่เท่าเทียมกันขั้นสูงสุด ประการที่สองอยู่ในรูปแบบของช่วงเวลา มันเกิดขึ้นกับเขาที่ความยากลำบากเกิดขึ้น คำตอบในช่องว่างจะดูเหมือนตัวแปรที่มีเครื่องหมายสมาชิกและมีวงเล็บเป็นตัวเลขเสมอ บางครั้งมีการเว้นวรรคหลายช่อง คุณต้องเขียนสัญลักษณ์ "และ" ระหว่างวงเล็บ เครื่องหมายเหล่านี้มีลักษณะดังนี้: ∈ และ ∩ วงเล็บระยะห่างก็มีบทบาทเช่นกัน รอบที่หนึ่งจะถูกวางเมื่อจุดนั้นถูกแยกออกจากคำตอบ และจุดสี่เหลี่ยมจะรวมค่านี้ด้วย เครื่องหมายอนันต์จะอยู่ในวงเล็บเสมอ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

1. แก้อสมการ 7 - 5x ≥ 37

หลังจากการแปลงอย่างง่าย เราจะได้: -5x ≥ 30 เมื่อหารด้วย "-5" เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้: x ≤ -6 นี่เป็นคำตอบอยู่แล้ว แต่สามารถเขียนด้วยวิธีอื่นได้: x ∈ (-∞; -6]

2. แก้อสมการสองเท่า -4< 2x + 6 ≤ 8.

ก่อนอื่น คุณต้องลบ 6 ทุกจุด คุณจะได้: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

ในบทความนี้เราจะพิจารณาหลักการแก้สมการเช่นสมการเชิงเส้น มาเขียนคำจำกัดความของสมการเหล่านี้แล้วกำหนดรูปแบบทั่วไปกัน ให้เราวิเคราะห์เงื่อนไขทั้งหมดเพื่อค้นหาวิธีแก้ไข สมการเชิงเส้นการใช้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติเหนือสิ่งอื่นใด

โปรดทราบว่าเนื้อหาด้านล่างประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวจะกล่าวถึงในบทความแยกต่างหาก

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

สมการเชิงเส้นคืออะไร

คำจำกัดความ 1

สมการเชิงเส้นเป็นสมการที่เขียนได้ดังนี้
ก x = ข, ที่ไหน x- ตัวแปร, กและ ข- ตัวเลขบางตัว

สูตรนี้ใช้ในตำราพีชคณิต (เกรด 7) โดย Yu.N. Makarychev

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นจะเป็น:

3 x = 11(สมการที่มีหนึ่งตัวแปร xที่ ก = 5และ ข = 10);

− 3 , 1 ปี = 0 (สมการเชิงเส้นกับตัวแปร ย, ที่ไหน ก = - 3, 1และ ข = 0);

x = − 4และ - x = 5.37(สมการเชิงเส้นโดยที่ตัวเลข กเขียนอย่างชัดเจนและเท่ากับ 1 และ - 1 ตามลำดับ สำหรับสมการแรก ข = - 4 ;สำหรับครั้งที่สอง - ข = 5.37) และอื่นๆ

ไม่แยแส สื่อการศึกษาอาจมีคำจำกัดความที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น Vilenkin N.Ya. สมการเชิงเส้นยังรวมถึงสมการที่สามารถแปลงเป็นรูปแบบได้ ก x = ขโดยการโอนข้อกำหนดจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายและนำข้อกำหนดที่คล้ายคลึงกัน ถ้าเราทำตามการตีความนี้สมการ 5 x = 2 x + 6 –ยังเป็นเส้นตรงอีกด้วย

แต่ตำราพีชคณิต (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7) โดย Mordkovich A.G. ให้คำอธิบายต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 2

สมการเชิงเส้นในตัวแปรหนึ่ง x คือสมการของรูปแบบ ก x + ข = 0, ที่ไหน กและ ข– จำนวนบางตัวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นประเภทนี้อาจเป็น:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 ปี + 7, 9 = 0 (ก = 1, 8, ข = 7, 9)

แต่ก็มีตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่เราได้ใช้ไปแล้วด้านบน: ของแบบฟอร์ม ก x = ข, ตัวอย่างเช่น, 6 x = 35.

เราจะเห็นด้วยทันทีว่าในบทความนี้เราจะเข้าใจสมการที่เขียนด้วยสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรหนึ่งตัวแปร ก x + ข = 0, ที่ไหน x- ตัวแปร; ก, ข – สัมประสิทธิ์ เราเห็นว่าสมการเชิงเส้นรูปแบบนี้มีความสมเหตุสมผลมากที่สุด เนื่องจากสมการเชิงเส้นเป็นสมการพีชคณิตในระดับแรก และสมการอื่นๆ ที่ระบุข้างต้น และสมการที่กำหนดโดยการแปลงที่เท่ากันในรูปแบบ ก x + ข = 0เรากำหนดเป็นสมการที่ลดเหลือสมการเชิงเส้น

ด้วยวิธีนี้ สมการ 5 x + 8 = 0 จะเป็นเส้นตรง และ 5 x = − 8- สมการที่ลดขนาดลงเป็นเส้นตรง

หลักการแก้สมการเชิงเส้น

มาดูวิธีการตรวจสอบว่าสมการเชิงเส้นที่กำหนดจะมีรากหรือไม่ และถ้ามีราก จะมีจำนวนเท่าใด และจะหาได้อย่างไร

คำจำกัดความ 3

ความจริงของการมีอยู่ของรากของสมการเชิงเส้นนั้นถูกกำหนดโดยค่าของสัมประสิทธิ์ กและ ข.มาเขียนเงื่อนไขเหล่านี้:

• ที่ ก ≠ 0สมการเชิงเส้นมีรากเดียว x = - b a ;
• ที่ ก = 0และ ข ≠ 0สมการเชิงเส้นไม่มีราก
• ที่ ก = 0และ ข = 0สมการเชิงเส้นมีรากมากมายนับไม่ถ้วน โดยพื้นฐานแล้วใน ในกรณีนี้จำนวนใดๆ ก็สามารถกลายเป็นรากของสมการเชิงเส้นได้

เรามาอธิบายกันดีกว่า เรารู้ว่าในกระบวนการแก้สมการ คุณสามารถแปลงสมการที่กำหนดให้เป็นสมการที่เทียบเท่าได้ ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียวกันกับสมการดั้งเดิมหรือไม่มีรากด้วย เราสามารถทำการแปลงที่เทียบเท่าได้ดังต่อไปนี้:

• โอนคำจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม
• คูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันซึ่งไม่เป็นศูนย์

ดังนั้นเราจึงแปลงสมการเชิงเส้น ก x + ข = 0, ย้ายคำ ขจากด้านซ้ายไปด้านขวาพร้อมป้ายเปลี่ยน เราได้รับ: ก · x = − ข

ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ เอ,ทำให้เกิดความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = - b a นั่นคือเมื่อ ก ≠ 0,สมการดั้งเดิม ก x + ข = 0เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน x = - b a โดยที่ราก - b a ชัดเจน

ในทางที่ขัดแย้งกันก็เป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่ารากที่พบเป็นเพียงรากเดียว ให้เราระบุรูทที่พบ - b a as x 1 .ให้เราสมมติว่ามีอีกรากหนึ่งของสมการเชิงเส้นที่มีการกำหนดไว้ x2.และแน่นอนว่า: x 2 ≠ x 1,และในทางกลับกัน เมื่อพิจารณาจากนิยามของจำนวนที่เท่ากันผ่านผลต่าง ก็เท่ากับเงื่อนไข x 1 - x 2 ≠ 0 .เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถสร้างความเท่าเทียมกันได้โดยการแทนที่ราก:
ก x 1 + ข = 0และ a x 2 + b = 0
คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลขทำให้สามารถลบส่วนต่างๆ ของความเท่าเทียมกันได้แบบเทอมต่อเทอม:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, จากที่นี่: ก · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0และต่อไป ก · (x 1 − x 2) = 0ความเท่าเทียมกัน ก · (x 1 − x 2) = 0ไม่ถูกต้องเนื่องจากระบุไว้ก่อนหน้านี้ว่า ก ≠ 0และ x 1 - x 2 ≠ 0 .ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นทำหน้าที่เป็นข้อพิสูจน์ว่าเมื่อใด ก ≠ 0สมการเชิงเส้น ก x + ข = 0มีรากเดียวเท่านั้น

ให้เราพิสูจน์เงื่อนไขอีกสองข้อที่มีอยู่ ก = 0 .

เมื่อไร ก = 0สมการเชิงเส้น ก x + ข = 0จะถูกเขียนเป็น 0 x + ข = 0- คุณสมบัติของการคูณตัวเลขด้วยศูนย์ทำให้เรามีสิทธิ์ยืนยันว่าจะใช้จำนวนใดก็ตาม xแทนที่มันด้วยความเท่าเทียมกัน 0 x + ข = 0เราได้รับ b = 0 . ความเท่าเทียมกันนั้นใช้ได้สำหรับ b = 0; ในกรณีอื่นๆ เมื่อใด ข ≠ 0,ความเท่าเทียมกันกลายเป็นเท็จ

ดังนั้นเมื่อ ก = 0และข = 0 , จำนวนใดๆ ก็สามารถกลายเป็นรากของสมการเชิงเส้นได้ ก x + ข = 0เนื่องจากเมื่อตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้แล้วจึงทดแทนแทน xจำนวนใดๆ เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0 = 0 - เมื่อไร ก = 0และ ข ≠ 0สมการเชิงเส้น ก x + ข = 0จะไม่มีรากเลยเนื่องจากเมื่อตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดจึงทดแทนแทน xหมายเลขใด ๆ เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง ข = 0.

ข้อควรพิจารณาข้างต้นทั้งหมดทำให้เรามีโอกาสเขียนอัลกอริทึมที่ทำให้สามารถค้นหาวิธีแก้สมการเชิงเส้นได้:

• ตามประเภทของบันทึกเรากำหนดค่าของสัมประสิทธิ์ กและ ขและวิเคราะห์สิ่งเหล่านั้น
• ที่ ก = 0และ ข = 0สมการจะมีรากมากมายไม่สิ้นสุด เช่น จำนวนใดๆ จะกลายเป็นรากของสมการที่กำหนด
• ที่ ก = 0และ ข ≠ 0
• ที่ กซึ่งแตกต่างจากศูนย์ เราเริ่มค้นหารากเดียวของสมการเชิงเส้นดั้งเดิม:

1. ลองย้ายสัมประสิทธิ์กัน ขไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม ทำให้สมการเชิงเส้นเกิดเป็นรูป ก · x = − ข ;
2. หารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วยตัวเลข กซึ่งจะให้รากที่ต้องการของสมการที่กำหนดแก่เรา: x = - b a

ที่จริงแล้วลำดับการกระทำที่อธิบายไว้คือคำตอบสำหรับคำถามว่าจะหาคำตอบของสมการเชิงเส้นได้อย่างไร

สุดท้ายนี้ ให้เราชี้แจงสมการของแบบฟอร์มนั้น ก x = ขได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริธึมที่คล้ายกันโดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตัวเลข ขในสัญกรณ์ดังกล่าวได้ถูกโอนไปยังส่วนที่ต้องการของสมการแล้วและด้วย ก ≠ 0คุณสามารถหารส่วนของสมการด้วยตัวเลขได้ทันที ก.

ดังนั้นการหาคำตอบของสมการ ก x = ขเราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ที่ ก = 0และ ข = 0สมการจะมีรากมากมายไม่สิ้นสุด เช่น จำนวนเท่าใดก็ได้สามารถกลายเป็นรากของมันได้
• ที่ ก = 0และ ข ≠ 0สมการที่กำหนดจะไม่มีราก
• ที่ กไม่เท่ากับศูนย์ ทั้งสองข้างของสมการหารด้วยตัวเลข กซึ่งทำให้สามารถค้นหารากเดียวที่เท่ากับได้ ข.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 3

ต้องแก้สมการเชิงเส้น 0 x - 0 = 0.

สารละลาย

โดยการเขียนสมการที่กำหนดเราจะเห็นว่า ก = 0และ ข = − 0(หรือ ข = 0,ซึ่งก็เหมือนกัน) ดังนั้นสมการที่กำหนดสามารถมีจำนวนรากหรือจำนวนเท่าใดก็ได้ไม่สิ้นสุด

คำตอบ: x– หมายเลขใดก็ได้

ตัวอย่างที่ 4

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าสมการนั้นมีรากหรือไม่ 0 x + 2, 7 = 0.

สารละลาย

จากบันทึก เราพบว่า a = 0, b = 2, 7 ดังนั้นสมการที่ให้มาจะไม่มีราก

คำตอบ:สมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดสมการเชิงเส้น 0.3 x - 0.027 = 0มันจะต้องมีการแก้ไข

สารละลาย

โดยการเขียนสมการ เราพบว่า a = 0, 3; b = - 0.027 ซึ่งช่วยให้เรายืนยันได้ว่าสมการที่กำหนดมีรากเดียว

ตามอัลกอริทึม เราย้าย b ไปทางด้านขวาของสมการ เปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้: 0.3 x = 0.027ต่อไป เราหารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย a = 0, 3 จากนั้น: x = 0, 027 0, 3

ลองหารเศษส่วนทศนิยม:

0.027 0.3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0.09

ผลลัพธ์ที่ได้คือรากของสมการที่กำหนด

ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยย่อดังนี้:

0.3 x - 0.027 = 0.0.3 x = 0.027, x = 0.027 0.3, x = 0.09

คำตอบ: x = 0.09.

เพื่อความชัดเจน เราขอนำเสนอคำตอบของสมการการเขียน ก x = ข.

ตัวอย่าง N

สมการที่กำหนดคือ: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . พวกเขาจำเป็นต้องได้รับการแก้ไข

สารละลาย

สมการที่ให้มาทั้งหมดสอดคล้องกับรายการ ก x = ข- ลองดูทีละอัน

ในสมการ 0 x = 0, a = 0 และ ข = 0ซึ่งหมายความว่า จำนวนใดๆ ก็สามารถเป็นรากของสมการนี้ได้

ในสมการที่สอง 0 x = − 9: a = 0 และ b = − 9ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ขึ้นอยู่กับรูปแบบของสมการสุดท้าย - 3 8 · x = - 3 3 4 เราเขียนสัมประสิทธิ์: a = - 3 8, b = - 3 3 4, เช่น สมการมีรากเดียว มาหาเขากันเถอะ ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a ผลลัพธ์จะได้: x = - 3 3 4 - 3 8 ลดความซับซ้อนของเศษส่วนโดยใช้กฎการหาร ตัวเลขติดลบตามด้วยการแปลงจำนวนคละเป็น เศษส่วนทั่วไปและการหารเศษส่วนสามัญ:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยย่อดังนี้:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

คำตอบ: 1) x– จำนวนใดๆ ก็ตาม 2) สมการไม่มีราก 3) x = 10

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สมการเชิงเส้นคือ สมการพีชคณิต, ปริญญาเต็มซึ่งมีพหุนามเท่ากับหนึ่ง การแก้สมการเชิงเส้น - ส่วนหนึ่ง หลักสูตรของโรงเรียนและไม่ใช่เรื่องยากที่สุด อย่างไรก็ตาม บางคนยังคงประสบปัญหาในการจบหัวข้อนี้ เราหวังว่าหลังจากอ่านเนื้อหานี้แล้ว ความยากลำบากทั้งหมดสำหรับคุณจะยังคงอยู่ในอดีต ลองคิดดูสิ วิธีแก้สมการเชิงเส้น

แบบฟอร์มทั่วไป

สมการเชิงเส้นแสดงเป็น:

• ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ

แม้ว่า a และ b จะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่ค่าของพวกมันจะส่งผลต่อจำนวนคำตอบของสมการ มีวิธีแก้ไขพิเศษหลายกรณี:

• ถ้า a=b=0 สมการจะมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด
• ถ้า a=0, b≠0 สมการนี้ไม่มีคำตอบ
• ถ้า a≠0, b=0 สมการจะมีคำตอบ: x = 0

ในกรณีที่ตัวเลขทั้งสองมีค่าไม่เป็นศูนย์ จะต้องแก้สมการเพื่อให้ได้นิพจน์สุดท้ายของตัวแปร

จะตัดสินใจอย่างไร?

การแก้สมการเชิงเส้นหมายถึงการค้นหาว่าตัวแปรมีค่าเท่ากับเท่าใด วิธีการทำเช่นนี้? ใช่ มันง่ายมาก - ใช้การดำเนินการทางพีชคณิตอย่างง่ายและปฏิบัติตามกฎการโอน หากสมการปรากฏต่อหน้าคุณในรูปแบบทั่วไป คุณก็โชคดีแล้ว

1. ย้ายขไปที่ ด้านขวาสมการไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย (กฎการแปล!) ดังนั้นจากการแสดงออกของรูปแบบ ax + b = 0 ควรได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม: ax = -b
2. ใช้กฎ: เพื่อค้นหาปัจจัยตัวใดตัวหนึ่ง (x - ในกรณีของเรา) คุณต้องหารผลคูณ (-b ในกรณีของเรา) ด้วยปัจจัยอื่น (a - ในกรณีของเรา) ดังนั้น คุณควรได้นิพจน์ในรูปแบบ: x ​​= -b/a

แค่นั้นแหละ - พบวิธีแก้ปัญหาแล้ว!

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

1. 2x + 4 = 0 - ย้าย b ซึ่งในกรณีนี้เท่ากับ 4 ไปทางด้านขวา
2. 2x = -4 - หาร b ด้วย a (อย่าลืมเครื่องหมายลบ)
3. x = -4/2 = -2

นั่นคือทั้งหมด! ผลเฉลยของเรา: x = -2

อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียวนั้นหาได้ค่อนข้างง่าย แต่ทุกอย่างก็ง่ายมากหากเราโชคดีพอที่จะเจอสมการในรูปแบบทั่วไปของมัน ในกรณีส่วนใหญ่ ก่อนที่จะแก้สมการในสองขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะต้องลดนิพจน์ที่มีอยู่ลงเป็น ลักษณะทั่วไป- อย่างไรก็ตาม นี่ก็ไม่ใช่งานที่ยากมากเช่นกัน ลองดูกรณีพิเศษบางกรณีโดยใช้ตัวอย่าง

การแก้ไขกรณีพิเศษ

ขั้นแรก มาดูกรณีต่างๆ ที่เราอธิบายไว้ตอนต้นบทความ และอธิบายว่าการมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์และไม่มีวิธีแก้ปัญหาหมายความว่าอย่างไร

• ถ้า a=b=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 0x + 0 = 0 เมื่อทำขั้นตอนแรก เราจะได้: 0x = 0 เรื่องไร้สาระนี้หมายความว่าอย่างไร คุณอุทาน! ท้ายที่สุดแล้ว ไม่ว่าคุณจะคูณเลขอะไรด้วยศูนย์ คุณก็จะได้ศูนย์เสมอ! ขวา! นั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาบอกว่าสมการนี้มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด ไม่ว่าคุณจะเลือกจำนวนเท่าใด ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง 0x = 0 หรือ 0 = 0
• ถ้า a=0, b≠0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 0x + 3 = 0 ทำขั้นตอนแรก เราจะได้ 0x = -3 ไร้สาระอีกแล้ว! เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมนี้ไม่มีวันเป็นจริง! นั่นเป็นสาเหตุที่พวกเขาบอกว่าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้า a≠0, b=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 3x + 0 = 0 เมื่อทำขั้นตอนแรก เราจะได้: 3x = 0 วิธีแก้ปัญหาคืออะไร ง่ายมาก x = 0

หายไปในการแปล

กรณีพิเศษที่อธิบายไว้ไม่ใช่ทั้งหมดที่สมการเชิงเส้นจะทำให้เราประหลาดใจได้ บางครั้งสมการก็ยากที่จะระบุตั้งแต่แรกเห็น ลองดูตัวอย่าง:

• 12x - 14 = 2x + 6

นี่เป็นสมการเชิงเส้นหรือเปล่า? แล้วศูนย์ทางด้านขวาล่ะ? อย่าเพิ่งด่วนสรุป ลงมือทำเลย - โอนส่วนประกอบทั้งหมดของสมการของเราเข้าไป ด้านซ้าย- เราได้รับ:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

ตอนนี้ลบไลค์ออกจากไลค์เราจะได้:

• 10x - 20 = 0

ได้เรียนรู้? สมการเชิงเส้นที่สุดเท่าที่เคยมีมา! วิธีแก้คือ: x = 20/10 = 2

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีตัวอย่างนี้:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

ใช่ นี่เป็นสมการเชิงเส้นด้วย เพียงแต่ต้องทำการแปลงเพิ่มเติมเท่านั้น ก่อนอื่นมาเปิดวงเล็บ:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - ตอนนี้เราทำการโอน:
4. 25x - 4 = 0 - ยังคงต้องหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้รูปแบบที่ทราบอยู่แล้ว:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างสามารถแก้ไขได้ สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกังวล แต่ต้องลงมือทำ โปรดจำไว้ว่า ถ้าสมการของคุณมีเพียงตัวแปรระดับแรกและตัวเลข คุณจะมีสมการเชิงเส้น ซึ่งไม่ว่าในตอนแรกจะดูเป็นอย่างไร ก็สามารถลดให้อยู่ในรูปทั่วไปและหาค่าได้ เราหวังว่าทุกอย่างจะออกมาดีสำหรับคุณ! ขอให้โชคดี!

สมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้สมการทั้งหมดเริ่มต้นด้วยการแปลงเหล่านี้ เมื่อแก้สมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเอกลักษณ์และจบลงด้วยคำตอบสุดท้าย

กรณีของสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ขวาน+b=0, ≠ 0

เราย้ายพจน์ที่มี X ไปด้านหนึ่ง และย้ายตัวเลขไปอีกด้านหนึ่ง อย่าลืมว่าเมื่อย้ายเทอมไปที่ด้านตรงข้ามของสมการ คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ขวาน:(ก)=-ข:(ก)

มาย่อให้สั้นลง กที่ เอ็กซ์และเราได้รับ:

x=-ข:(ก)

นี่คือคำตอบ หากจำเป็นต้องตรวจสอบว่าเป็นตัวเลขหรือไม่ -b:(ก)รากของสมการของเรา เราก็จะต้องแทนที่สมการเริ่มต้นแทน เอ็กซ์นี่คือหมายเลข:

ก(-b:(ก))+b=0 (เหล่านั้น. 0=0)

เพราะ ความเท่าเทียมกันนี้ถูกต้องแล้ว -b:(ก)และความจริงคือรากของสมการ

คำตอบ: x=-b:(ก), ก ≠ 0

ตัวอย่างแรก:

5x+2=7x-6

เราย้ายเงื่อนไขด้วยไปด้านหนึ่ง เอ็กซ์และอีกด้านหนึ่งเป็นตัวเลข:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

สำหรับปัจจัยที่ไม่ทราบ เราได้ลดค่าสัมประสิทธิ์ลงและได้รับคำตอบ:

นี่คือคำตอบ หากคุณต้องการตรวจสอบว่าหมายเลข 4 เป็นรากของสมการของเราจริงๆ หรือไม่ เราจะแทนที่ตัวเลขนี้แทน X ในสมการดั้งเดิม:

5*4+2=7*4-6 (เหล่านั้น. 22=22)

เพราะ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง จากนั้น 4 คือรากของสมการ

ตัวอย่างที่สอง:

แก้สมการ:

5x+14=x-49

โดยการโอนสิ่งที่ไม่รู้จักและตัวเลขเข้าไป ด้านที่แตกต่างกัน, ได้รับ:

แบ่งส่วนของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ที่ x(คูณ 4) และเราได้รับ:

ตัวอย่างที่สาม:

แก้สมการ:

ขั้นแรก เรากำจัดความไร้เหตุผลของสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบโดยการคูณพจน์ทั้งหมดด้วย:

แบบฟอร์มนี้ถือว่าเรียบง่ายเพราะว่า ตัวเลขนั้นมีรากของตัวเลขในตัวส่วน เราต้องจัดคำตอบให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน เราได้ดังนี้:

กรณีไม่มีทางแก้ไข

แก้สมการ:

2x+3=2x+7

ต่อหน้าทุกคน. xสมการของเราจะไม่กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง นั่นคือสมการของเราไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

กรณีพิเศษคือคำตอบจำนวนอนันต์

แก้สมการ:

2x+3=2x+3

เมื่อย้าย x และตัวเลขไปในทิศทางที่ต่างกันแล้วบวกพจน์ที่คล้ายกัน เราจะได้สมการ:

ตรงนี้ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะหารทั้งสองส่วนด้วย 0 เพราะ มันเป็นสิ่งต้องห้าม อย่างไรก็ตามการวางตำแหน่ง เอ็กซ์จำนวนใดๆ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง นั่นคือทุกจำนวนเป็นคำตอบของสมการดังกล่าว จึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

คำตอบ: คำตอบจำนวนอนันต์

กรณีความเท่าเทียมกันของสองรูปแบบที่สมบูรณ์

ขวาน+b=cx+d

ขวาน-cx=d-b

(ก-ค)x=d-ข

x=(db):(a-c)

คำตอบ: x=(db):(a-c), ถ้า d≠b และ a≠cไม่เช่นนั้นก็มีวิธีแก้มากมายนับไม่ถ้วน แต่ถ้า ก=ค, ก ดี≠ขก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ไขปัญหาด้านการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องพบ, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นคือระบบ ส่วนที่ถูกต้องซึ่งเท่ากับศูนย์ ถ้าส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่า 2 ตัวมาก เราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข ใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์อธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน ตลอดจนวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรตัวเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมในระบบมากกว่า 3 รายการ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ไม่เหมาะสมเช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก พวกเขาจะทำการบวกทีละเทอมและการคูณสมการด้วย ตัวเลขที่แตกต่างกัน- เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

สำหรับการใช้งาน วิธีนี้จำเป็นต้องมีการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
2. เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองสมการด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t สามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นสมการมาตรฐานได้ ตรีโกณมิติกำลังสอง- คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ใน ตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากตัวแยกแยะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวแยกแยะน้อยกว่า 0 ก็มีวิธีแก้ 1 วิธี: x = -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการสร้างกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดของเส้นคือคำตอบของระบบ

ตัวอย่างต่อไปนี้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอไป

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและมีองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่กลายเป็นเมทริกซ์หน่วย

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

สัมพันธ์กับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์จะต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ไขระบบด้วย จำนวนมากตัวแปรและสมการ

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีการของเกาส์นั้นคล้ายคลึงกับวิธีแก้ปัญหาโดยใช้การทดแทนและ การบวกพีชคณิตแต่มีความเป็นระบบมากขึ้น ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีการหนึ่งที่ง่ายที่สุด วิธีที่น่าสนใจเพื่อพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนเรียนในหลักสูตรการศึกษาขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา