ถ้ามุมแหลม ค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นเท่าใด? วิธีหาความชัน

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากใน หลักสูตรของโรงเรียน- ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร

บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี- ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย

จำคำจำกัดความ:

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?

คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:

กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ

โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?

สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่ามีฟังก์ชั่นเดียวกันใน จุดที่แตกต่างกันอาจจะมี ความหมายที่แตกต่างกันอนุพันธ์ - นั่นคือสามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้

เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ

มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟฟังก์ชันขึ้นไปสูงชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน

บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีเพียงเส้นเดียว จุดทั่วไปด้วยกราฟและดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม

มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับมุมที่อยู่ติดกัน จากรูปสามเหลี่ยม:

เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตามหมายเลข

มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ

ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง- มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน

.

เราเข้าใจแล้ว

เรามาจำสูตรนี้กัน เธอแสดงออก ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์

เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดในบางพื้นที่และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดทำให้เกิดมุมแหลม โดยมีทิศทางแกนบวก ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อให้เกิดมุมป้าน โดยมีทิศทางแกนบวก เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ ณ จุดนั้นจึงเป็นลบ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก

ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ

จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นแทนเจนต์ของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"

สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน

ถ้าอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก

มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

	เพิ่มขึ้น	จุดสูงสุด	ลดลง	จุดต่ำสุด	เพิ่มขึ้น
+	0	-	0	+

ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น

เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :

ณ จุดหนึ่ง เส้นสัมผัสของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้

เส้นตรง y=f(x) จะสัมผัสกับกราฟที่แสดงในรูปที่จุด x0 หากเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด (x0; f(x0)) และมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม f"(x0) ค้นหา ค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว การรู้คุณลักษณะของแทนเจนต์ก็ไม่ใช่เรื่องยาก

คุณจะต้องการ

• - หนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์
• - ดินสอธรรมดา
• - สมุดบันทึก;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เข็มทิศ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

หากไม่มีค่า f'(x0) แสดงว่าไม่มีค่าแทนเจนต์หรือค่านั้นทำงานในแนวตั้ง เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของแทนเจนต์แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้ ความลาดชันแทนเจนต์จะเท่ากับ f"(x0) ดังนั้นความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงชัดเจน - การคำนวณสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์

วาดแทนเจนต์เพิ่มเติมที่จะสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x1, x2 และ x3 และยังทำเครื่องหมายมุมที่เกิดจากแทนเจนต์เหล่านี้ด้วยแกน x (มุมนี้จะถูกนับในทิศทางบวกจากแกนถึง เส้นสัมผัส). ตัวอย่างเช่น มุมซึ่งก็คือ α1 จะเป็นมุมแหลม มุมที่สอง (α2) จะเป็นมุมป้าน และมุมที่สาม (α3) จะเป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสกันขนานกับแกน OX ในกรณีนี้ ค่าแทนเจนต์ของมุมป้านจะเป็นลบ ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมจะเป็นค่าบวก และที่ tg0 ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

บันทึก

กำหนดมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ได้อย่างถูกต้อง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เส้นเอียงสองเส้นจะขนานกันถ้าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ตั้งฉากถ้าผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เหล่านี้เท่ากับ -1

แหล่งที่มา:

• แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

โคไซน์ก็เหมือนกับไซน์ ถูกจัดเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ "โดยตรง" แทนเจนต์ (ร่วมกับโคแทนเจนต์) จัดเป็นอีกคู่หนึ่งที่เรียกว่า "อนุพันธ์" มีคำจำกัดความหลายประการของฟังก์ชันเหล่านี้ที่ทำให้สามารถค้นหาแทนเจนต์ที่กำหนดได้ คุณค่าที่ทราบโคไซน์ที่มีค่าเท่ากัน

คำแนะนำ

ลบผลหารของเอกภาพด้วยค่าที่เพิ่มขึ้นเป็นโคไซน์ของมุมที่กำหนด และแยกรากที่สองออกจากผลลัพธ์ ซึ่งจะเป็นค่าแทนเจนต์ของมุม ซึ่งแสดงด้วยโคไซน์: tg(α)=√(1- 1/(คอส(α))²) . โปรดทราบว่าในสูตร โคไซน์อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน ความเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์จะทำให้การใช้นิพจน์นี้สำหรับมุมที่เท่ากับ 90° รวมถึงมุมที่แตกต่างจากค่านี้ด้วยตัวเลขที่ทวีคูณของ 180° (270°, 450°, -90° ฯลฯ)

มีอีกวิธีหนึ่งในการคำนวณแทนเจนต์จากค่าโคไซน์ที่ทราบ สามารถใช้ได้หากไม่มีข้อจำกัดในการใช้งานของผู้อื่น หากต้องการนำวิธีนี้ไปใช้ ขั้นแรกให้กำหนดค่ามุมจากค่าโคไซน์ที่ทราบ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ จากนั้นเพียงคำนวณแทนเจนต์สำหรับมุมของค่าผลลัพธ์ ใน ปริทัศน์อัลกอริทึมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: tg(α)=tg(arccos(cos(α)))

นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกแปลกใหม่ที่ใช้คำจำกัดความของโคไซน์และแทนเจนต์ผ่านมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในคำจำกัดความนี้ โคไซน์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบค่าโคไซน์แล้ว คุณสามารถเลือกความยาวที่สอดคล้องกันของทั้งสองด้านได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า cos(α) = 0.5 ดังนั้นด้านประชิดจะเท่ากับ 10 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 20 ซม. ตัวเลขเฉพาะไม่สำคัญที่นี่ - คุณจะได้รับตัวเลขที่เหมือนกันและถูกต้องพร้อมค่าใด ๆ ที่เหมือนกัน จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวของด้านที่หายไป - ขาตรงข้าม มันจะเท่ากัน รากที่สองจากความแตกต่างระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสองกับขาที่ทราบ: √(20²-10²)=√300 ตามคำจำกัดความ แทนเจนต์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามและ ขาที่อยู่ติดกัน(√300/10) - คำนวณและรับค่าแทนเจนต์ที่พบโดยใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของโคไซน์

แหล่งที่มา:

• โคไซน์ผ่านสูตรแทนเจนต์

หนึ่งใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติส่วนใหญ่มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร tg แม้ว่าจะพบการกำหนดสีแทนก็ตาม วิธีที่ง่ายที่สุดในการแทนเจนต์คืออัตราส่วนไซน์ มุมถึงโคไซน์ของมัน นี่เป็นฟังก์ชันคี่เป็นคาบและไม่ต่อเนื่อง แต่ละรอบจะเท่ากับตัวเลข Pi และจุดพักสอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของตัวเลขนี้

รูปนี้แสดงมุมเอียงของเส้นตรงและระบุค่าความชันที่ ตัวเลือกต่างๆตำแหน่งของเส้นสัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

หาความชันของเส้นตรงที่ ถ่านหินที่รู้จักการเอียงไปยังแกน Ox ไม่มีปัญหาใดๆ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์เชิงมุมและคำนวณแทนเจนต์ของมุมเอียงได้

ตัวอย่าง.

จงหาความชันของเส้นตรงถ้ามุมเอียงกับแกนแอบซิสซาเท่ากับ

สารละลาย.

ตามเงื่อนไข. จากนั้นเราคำนวณตามคำจำกัดความของความชันของเส้นตรง .

คำตอบ:

งานในการค้นหามุมเอียงของเส้นตรงกับแกน x ที่มีความชันที่ทราบนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงสัญลักษณ์ของทางลาดด้วย เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงมีมุมแหลมและพบว่าเป็น เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเป็นมุมป้านและสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร .

ตัวอย่าง.

กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซาหากความชันเท่ากับ 3

สารละลาย.

เนื่องจากตามเงื่อนไขแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จึงเป็นมุมแหลม เราคำนวณโดยใช้สูตร

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ความชันของเส้นตรงคือ กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox

สารละลาย.

มาแสดงกันเถอะ k คือค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง - มุมเอียงของเส้นตรงนี้ไปยังทิศทางบวกของแกน Ox เพราะ จากนั้นเราใช้สูตรหามุมเอียงของเส้นตรง ประเภทต่อไปนี้ - เราแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขลงไป: .

คำตอบ:

สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สมการของเส้นตรงกับความชันมีรูปแบบ โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง b คือค่าบางส่วน เบอร์จริง- เมื่อใช้สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม คุณสามารถระบุเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน Oy (สำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด จะไม่ได้กำหนดค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม)

ลองดูความหมายของวลี: "เส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคงที่ได้มาจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของรูปแบบ "" ซึ่งหมายความว่าสมการจะเป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง และไม่พอใจกับพิกัดของจุดอื่นๆ บนระนาบ ดังนั้นหากได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องเมื่อแทนที่พิกัดของจุดหนึ่งแล้วเส้นตรงจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้นประเด็นจะไม่อยู่บนเส้น

ตัวอย่าง.

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน คะแนนเป็นของบรรทัดนี้ด้วยหรือไม่?

สารละลาย.

ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการดั้งเดิมของเส้นตรงด้วยความชัน: - เราได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องแล้ว ดังนั้นจุด M 1 จึงอยู่บนเส้นตรง

เมื่อแทนที่พิกัดของจุด เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง: - ดังนั้นจุด M 2 จึงไม่อยู่บนเส้น

คำตอบ:

จุด M 1 เป็นของเส้น M 2 ไม่ใช่ของเส้น

ควรสังเกตว่าเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมผ่านจุดเนื่องจากเมื่อเราแทนที่พิกัดของมันลงในสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: .

ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะกำหนดบนระนาบของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งและสร้างมุมที่มีทิศทางบวกของแกน abscissa และ .

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพรรณนาเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของรูปแบบ เส้นนี้ผ่านจุดหนึ่งและมีความชัน เรเดียน (60 องศา) ไปยังทิศทางบวกของแกน Ox ความชันของมันเท่ากับ

สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่ผ่านจุดที่กำหนด

ตอนนี้เราจะแก้ปัญหาที่สำคัญมาก: เราจะได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนด k และผ่านจุด .

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง - เราไม่รู้เลข b หากต้องการกำจัด ให้ลบออกจากด้านซ้ายและ ชิ้นส่วนที่ถูกต้องสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมด้านซ้ายและด้านขวาของค่าเท่ากันสุดท้ายตามลำดับ ในกรณีนี้เราได้รับ - ความเท่าเทียมกันนี้ก็คือ สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด.

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ความชันของเส้นนี้คือ -2

สารละลาย.

จากสภาพที่เรามี - จากนั้นสมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะอยู่ในรูปแบบ .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงหากรู้ว่ามันผ่านจุดหนึ่งและมุมเอียงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ .

สารละลาย.

ขั้นแรก เรามาคำนวณความชันของเส้นตรงที่เรากำลังมองหาสมการ (เราได้แก้ไขปัญหานี้ไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้) A-ไพรเออรี่ - ตอนนี้เรามีข้อมูลทั้งหมดที่จะเขียนสมการของเส้นตรงกับค่าสัมประสิทธิ์มุม:

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ผ่านจุดที่ขนานกับเส้นตรง

สารละลาย.

เห็นได้ชัดว่ามุมเอียงของเส้นขนานกับแกน Ox ตรงกัน (หากจำเป็นโปรดดูบทความความขนานของเส้น) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นคู่ขนานจึงเท่ากัน จากนั้นความชันของเส้นตรงซึ่งเป็นสมการที่เราต้องได้จะเท่ากับ 2 เนื่องจากความชันของเส้นตรงเท่ากับ 2 ตอนนี้เราสามารถสร้างสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่มีความชันได้:

คำตอบ:

การเปลี่ยนจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปเป็นสมการเส้นประเภทอื่นและในทางกลับกัน

แม้จะคุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว แต่สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมก็ไม่สะดวกที่จะใช้ในการแก้ปัญหาเสมอไป ในบางกรณี ปัญหาจะแก้ได้ง่ายกว่าเมื่อสมการของเส้นถูกนำเสนอในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมไม่อนุญาตให้คุณเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงในทันที ดังนั้น คุณควรเรียนรู้ที่จะเปลี่ยนจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปเป็นสมการประเภทอื่นๆ ของเส้นตรงนี้

จากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ง่ายต่อการรับสมการทางบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบของรูปแบบ - เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ จากด้านขวาของสมการ เราโอนคำว่า b ไปเป็น ด้านซ้ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้นหารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วยความชัน k: . การกระทำเหล่านี้นำเราจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปสู่สมการมาตรฐานของเส้นตรง

ตัวอย่าง.

ให้สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุม สู่รูปแบบบัญญัติ

สารละลาย.

เรามาดำเนินการแปลงที่จำเป็น: .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นนี้หรือเปล่า?

สารละลาย.

เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองย้ายจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงนี้: - เรารู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และ y ในสมการทั่วไปของเส้นตรงคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ - เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ เนื่องจากความสัมพันธ์นั้นถูกต้อง (หากจำเป็น โปรดดูบทความ) ดังนั้นเวกเตอร์ดั้งเดิมจึงเป็นเวกเตอร์เส้นปกติด้วย ดังนั้น จึงเป็นเวกเตอร์ปกติและเส้นเดิม

คำตอบ:

ใช่แล้ว.

และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาผกผัน - ปัญหาการลดสมการของเส้นตรงบนระนาบให้เป็นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม

จากสมการเส้นตรงทั่วไปของแบบฟอร์ม ซึ่งเป็นเรื่องง่ายมากที่จะหาสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการทั่วไปของเส้นตรงเทียบกับ y ในกรณีนี้เราได้รับ. ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นคือสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ