วิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง: สูตร สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติ แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

การขยายพหุนามเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์บางครั้งอาจดูน่าสับสน แต่ก็ไม่ใช่เรื่องยากหากคุณเข้าใจกระบวนการทีละขั้นตอน บทความนี้จะอธิบายรายละเอียดวิธีการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

หลายๆ คนไม่เข้าใจวิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง และเหตุใดจึงทำเช่นนี้ ในตอนแรกอาจดูเหมือนเป็นการออกกำลังกายที่ไร้ประโยชน์ แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีสิ่งใดที่ทำเพื่อสิ่งใดเลย การเปลี่ยนแปลงนี้มีความจำเป็นเพื่อทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นและความง่ายในการคำนวณ

พหุนามของรูปแบบ – ax²+bx+c เรียกว่า ตรีโกณมิติกำลังสอง.คำว่า "a" ต้องเป็นค่าลบหรือค่าบวก ในทางปฏิบัติ นิพจน์นี้เรียกว่าสมการกำลังสอง ดังนั้นบางครั้งพวกเขาจึงพูดแตกต่างออกไป: วิธีย่อยสลาย สมการกำลังสอง.

น่าสนใจ!พหุนามเรียกว่ากำลังสองเนื่องจากมีระดับที่ใหญ่ที่สุดซึ่งก็คือกำลังสอง และตรีโกณมิติ - เนื่องจากองค์ประกอบ 3 ประการ

พหุนามประเภทอื่นๆ บางประเภท:

• ทวินามเชิงเส้น (6x+8);
• ลูกบาศก์ควอดริโนเมียล (x³+4x²-2x+9)

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ขั้นแรกนิพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นคุณต้องค้นหาค่าของราก x1 และ x2 อาจไม่มีราก อาจมีหนึ่งหรือสองราก การมีอยู่ของรากถูกกำหนดโดยผู้เลือกปฏิบัติ คุณต้องรู้สูตรของมันด้วยใจ: D=b²-4ac

หากผลลัพธ์ D เป็นลบ แสดงว่าไม่มีราก หากเป็นบวก จะมีรากอยู่ 2 ราก หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ รากจะเป็นหนึ่ง รากยังคำนวณโดยใช้สูตร

เมื่อคำนวณการแบ่งแยกผลลัพธ์เป็นศูนย์ คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ ในทางปฏิบัติ สูตรจะสั้นลง: -b / 2a

สูตรสำหรับ ความหมายที่แตกต่างกันผู้เลือกปฏิบัติแตกต่างกัน

ถ้า D เป็นบวก:

ถ้า D เป็นศูนย์:

เครื่องคิดเลขออนไลน์

ในอินเตอร์เน็ตก็มี เครื่องคิดเลขออนไลน์- สามารถใช้ในการแยกตัวประกอบได้ แหล่งข้อมูลบางส่วนให้โอกาสในการดูวิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน บริการดังกล่าวช่วยให้เข้าใจหัวข้อได้ดีขึ้น แต่คุณต้องพยายามทำความเข้าใจให้ดี

วิดีโอที่มีประโยชน์: การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง

เราขอเชิญคุณรับชม ตัวอย่างง่ายๆ, วิธีแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

นี่แสดงให้เห็นชัดเจนว่าผลลัพธ์คือ x สองตัวเพราะ D เป็นบวก พวกเขาจะต้องถูกแทนที่ลงในสูตร ถ้ารากกลายเป็นลบ เครื่องหมายในสูตรจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม

เรารู้สูตรในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง: a(x-x1)(x-x2) เราใส่ค่าในวงเล็บ: (x+3)(x+2/3) ไม่มีตัวเลขอยู่หน้าเทอมที่อยู่ในอำนาจ ซึ่งหมายความว่ามีอันหนึ่งอยู่ตรงนั้นมันลงไป

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงวิธีการแก้สมการที่มีรากเดียว

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 3

ให้ไว้: 5x²+3x+7

ขั้นแรก มาคำนวณการแบ่งแยกตามกรณีก่อนหน้ากัน

ส=9-4*5*7=9-140= -131.

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าไม่มีราก

หลังจากได้รับผลแล้วควรเปิดวงเล็บและตรวจสอบผล ตรีโกณมิติดั้งเดิมควรปรากฏขึ้น

ทางเลือกอื่น

บางคนไม่สามารถผูกมิตรกับผู้เลือกปฏิบัติได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง เพื่อความสะดวกจะแสดงวิธีการพร้อมตัวอย่าง

ให้ไว้: x²+3x-10

เรารู้ว่าเราควรมี 2 วงเล็บ: (_)(_) เมื่อนิพจน์มีลักษณะดังนี้: x²+bx+c ที่จุดเริ่มต้นของแต่ละวงเล็บ เราจะใส่ x: (x_)(x_) ตัวเลขสองตัวที่เหลือคือผลคูณที่ให้ "c" เช่น ในกรณีนี้ -10 วิธีเดียวที่จะทราบว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขใดคือการเลือก ตัวเลขที่ถูกแทนที่จะต้องสอดคล้องกับระยะเวลาที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น การคูณตัวเลขต่อไปนี้จะได้ -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10 เลขที่
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10 เลขที่
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10 เลขที่
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10 พอดี

ซึ่งหมายความว่าการแปลงนิพจน์ x2+3x-10 จะเป็นดังนี้: (x-2)(x+5)

สำคัญ!คุณควรระวังอย่าให้สัญญาณสับสน

การขยายตัวของตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

หาก “a” มากกว่าหนึ่ง ปัญหาก็จะเริ่มต้นขึ้น แต่ทุกอย่างไม่ยากอย่างที่คิด

ในการแยกตัวประกอบ คุณต้องดูว่ามีอะไรที่สามารถแยกตัวประกอบออกได้ก่อนหรือไม่

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดนิพจน์: 3x²+9x-30 ที่นี่หมายเลข 3 ถูกนำออกจากวงเล็บ:

3(x²+3x-10) ผลลัพธ์ที่ได้คือตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีอยู่แล้ว คำตอบมีลักษณะดังนี้: 3(x-2)(x+5)

จะสลายตัวได้อย่างไรถ้าคำที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมเป็นลบ? ใน ในกรณีนี้นำเลข -1 ออกจากวงเล็บ ตัวอย่างเช่น: -x²-10x-8 นิพจน์จะมีลักษณะดังนี้:

โครงการนี้แตกต่างเล็กน้อยจากโครงการก่อนหน้า มีสิ่งใหม่ ๆ เพียงไม่กี่อย่าง สมมติว่านิพจน์ได้รับ: 2x²+7x+3 คำตอบจะเขียนไว้ในวงเล็บ 2 วงเล็บซึ่งต้องกรอก (_)(_) ในวงเล็บที่ 2 เขียนว่า x และในวงเล็บที่ 1 สิ่งที่เหลืออยู่ ดูเหมือนว่านี้: (2x_)(x_) มิฉะนั้นโครงการก่อนหน้านี้จะถูกทำซ้ำ

หมายเลข 3 ได้รับจากตัวเลข:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

เราแก้สมการด้วยการแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลือกสุดท้ายมีความเหมาะสม ซึ่งหมายความว่าการแปลงนิพจน์ 2x²+7x+3 มีลักษณะดังนี้: (2x+1)(x+3)

กรณีอื่นๆ

ไม่สามารถแปลงนิพจน์ได้เสมอไป ด้วยวิธีที่สอง ไม่จำเป็นต้องแก้สมการ แต่ความเป็นไปได้ในการเปลี่ยนเงื่อนไขให้เป็นผลิตภัณฑ์นั้นได้รับการตรวจสอบโดยการเลือกปฏิบัติเท่านั้น

มันคุ้มค่าที่จะฝึกแก้สมการกำลังสองเพื่อที่เมื่อใช้สูตรจะไม่มีปัญหา

วิดีโอที่มีประโยชน์: การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติ

บทสรุป

คุณสามารถใช้มันในทางใดทางหนึ่ง แต่เป็นการดีกว่าที่จะฝึกฝนทั้งสองอย่างจนกว่ามันจะอัตโนมัติ นอกจากนี้ การเรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองให้ดีและพหุนามตัวประกอบยังเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับผู้ที่กำลังวางแผนเชื่อมโยงชีวิตกับคณิตศาสตร์ หัวข้อทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ทั้งหมดสร้างขึ้นจากสิ่งนี้

ประเภทบทเรียน:บทเรียนในการบูรณาการและจัดระบบความรู้

ประเภทบทเรียน:การตรวจสอบ ประเมิน และแก้ไขความรู้และวิธีการปฏิบัติ

เป้าหมาย:

• เกี่ยวกับการศึกษา:

– พัฒนาความสามารถในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองให้กับนักเรียน
– รวบรวมความรู้ในกระบวนการแก้ไขปัญหางานต่าง ๆ ในหัวข้อที่กำหนด
– การก่อตัวของการคิดทางคณิตศาสตร์
– เพิ่มความสนใจในเรื่องในกระบวนการทำซ้ำเนื้อหาที่ครอบคลุม

เกี่ยวกับการศึกษา:

– ส่งเสริมองค์กรและความเข้มข้น
– ส่งเสริมทัศนคติเชิงบวกต่อการเรียนรู้
- บำรุงความอยากรู้อยากเห็น

เกี่ยวกับการศึกษา:

– พัฒนาความสามารถในการควบคุมตนเอง
– พัฒนาความสามารถในการวางแผนงานอย่างมีเหตุผล
– การพัฒนาความเป็นอิสระและความสนใจ

อุปกรณ์:สื่อการสอนสำหรับงานปากเปล่า งานอิสระ งานทดสอบความรู้ การ์ดที่มีการบ้าน หนังสือเรียนพีชคณิต Yu.N. มาคารีเชวา.

แผนการเรียน.

ขั้นตอนบทเรียน	เวลานาที	เทคนิคและวิธีการ
I. ขั้นตอนการอัพเดตความรู้ แรงจูงใจสำหรับปัญหาการเรียนรู้	2	บทสนทนาของครู
ครั้งที่สอง เนื้อหาหลักของบทเรียน การสร้างและการรวมความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับสูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง	10	คำอธิบายของครู. การสนทนาแบบฮิวริสติก
สาม. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ เสริมสร้างเนื้อหาที่เรียนรู้	25	การแก้ปัญหา. คำตอบสำหรับคำถามของนักเรียน
IV. การทดสอบการได้มาซึ่งความรู้ การสะท้อน	5	ข้อความของครู. ข้อความของนักเรียน
วี. การบ้าน	3	งานบนการ์ด

ในระหว่างเรียน

I. ขั้นตอนการอัพเดตความรู้ แรงจูงใจของปัญหาการศึกษา

เวลาจัดงาน.

วันนี้ในบทเรียน เราจะสรุปและจัดระบบความรู้ในหัวข้อ: "การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง" ในขณะที่ทำแบบฝึกหัดต่าง ๆ คุณควรสังเกตประเด็นที่คุณต้องให้ความสำคัญเป็นพิเศษเมื่อแก้สมการและปัญหาเชิงปฏิบัติ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากในการเตรียมตัวสอบ
เขียนหัวข้อของบทเรียน: “การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง การแก้ตัวอย่าง”

ครั้งที่สอง เนื้อหาหลักของบทเรียนการสร้างและการรวมความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับสูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

งานช่องปาก.

– ในการที่จะแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองได้สำเร็จ คุณต้องจำทั้งสูตรในการค้นหาส่วนจำแนกและสูตรในการหารากของสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นสูตรในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองแล้วนำไปใช้ในทางปฏิบัติ

1. ดูที่การ์ด “ดำเนินการต่อหรือขยายคำชี้แจง”

2. ดูที่กระดาน

1. พหุนามที่เสนอข้อใดไม่เป็นกำลังสอง?

1) เอ็กซ์ 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2เอ็กซ์ 2 +เอ็กซ์– 3 = 0;
3) เอ็กซ์ 4 – 2เอ็กซ์ 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2เอ็กซ์ 2 + 2 = 0;

ให้คำจำกัดความของตรีโกณมิติกำลังสอง. กำหนดรากของตรีโกณมิติกำลังสอง.

2. สูตรใดไม่ใช่สูตรคำนวณรากของสมการกำลังสอง

1) เอ็กซ์ 1,2 = ;
2) เอ็กซ์ 1,2 = – ข+ ;
3) เอ็กซ์ 1,2 = .

3. ค้นหาสัมประสิทธิ์ a, b, c ของตรีโกณมิติกำลังสอง – 2 เอ็กซ์ 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. สูตรใดเป็นสูตรในการคำนวณรากของสมการกำลังสอง

x2 +พิกเซล+คิว= 0 ตามทฤษฎีบทของเวียตตา?

1) x 1 +x 2 = พี
x 1 · x 2 = คิว

2) x 1 +x 2 = –พี
x 1 · x 2 = คิว

3)x 1 +x 2 = –พี
x 1 · x 2 = – คิว

5. ขยายตรีโกณมิติกำลังสอง เอ็กซ์ 2 – 11x + 18 สำหรับตัวคูณ

คำตอบ: ( เอ็กซ์ – 2)(เอ็กซ์ – 9)

6. ขยายตรีโกณมิติกำลังสอง ที่ 2 – 9ใช่ + 20 สำหรับตัวคูณ

คำตอบ: ( เอ็กซ์ – 4)(เอ็กซ์ – 5)

สาม. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

1. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:
ก) 3 x 2 – 8x + 2;
ข) 6 x 2 – 5x + 1;
เวลา 3 x 2 + 5x – 2;
ง) -5 x 2 + 6x – 1.

2. การแยกตัวประกอบช่วยให้เราลดเศษส่วนได้

3. โดยไม่ต้องใช้สูตรราก ให้หารากของตรีโกณมิติกำลังสอง:
ก) x 2 + 3x + 2 = 0;
ข) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. เขียนตรีโกณมิติกำลังสองซึ่งมีรากเป็นตัวเลข:
ก) x 1 = 4; x 2 = 2;
ข) x 1 = 3; x 2 = -6;

ทำงานอิสระ.

ทำงานให้เสร็จสิ้นโดยอิสระโดยใช้ตัวเลือกต่างๆ แล้วตรวจสอบ สองงานแรกต้องมีคำตอบว่า "ใช่" หรือ "ไม่ใช่" นักเรียนหนึ่งคนจากแต่ละตัวเลือกถูกเรียกขึ้นมา (ทำงานบนแผ่นกระดาน) หลังจากงานอิสระบนกระดานเสร็จสิ้นแล้ว จะมีการตรวจสอบร่วมกันในการแก้ปัญหา นักเรียนประเมินผลงานของตนเอง

ตัวเลือกที่ 1:

1. ดี<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. จำนวน 2 คือรากของสมการ x 2 + 3x – 10 = 0

3. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง 6 x 2 – 5x + 1;

ตัวเลือกที่ 2:

1.D>0 สมการนี้มี 2 ราก

2. เลข 3 คือรากของสมการกำลังสอง x 2 – x – 12 = 0

3. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง 2 เอ็กซ์ 2 – 5x + 3

IV. การทดสอบการได้มาซึ่งความรู้ การสะท้อน.

– บทเรียนแสดงให้เห็นว่าคุณรู้เนื้อหาทางทฤษฎีพื้นฐานของหัวข้อนี้ เราได้สรุปความรู้

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติ ขวาน 2 +bx+cสามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเชิงเส้นได้โดยใช้สูตร:

ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), ที่ไหน x 1, x 2- รากของสมการกำลังสอง ขวาน 2 +bx+c=0.

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้น:

ตัวอย่างที่ 1) 2x 2 -7x-15.

สารละลาย. 2x 2 -7x-15=0.

ก=2; ข=-7; ค=-15. นี่เป็นกรณีทั่วไปของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ การหาผู้แบ่งแยก ดี.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 รากที่แท้จริง

ลองใช้สูตร: ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5) เราแนะนำตรีโกณมิตินี้ 2x 2 -7x-15 2x+3และ x-5.

คำตอบ: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5)

ตัวอย่างที่ 2) 3x 2 +2x-8.

สารละลาย.มาหารากของสมการกำลังสองกัน:

ก=3; ข=2;ค=-8. นี่เป็นกรณีพิเศษสำหรับสมการกำลังสองสมบูรณ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่สองเป็นคู่ ( ข=2) การหาผู้แบ่งแยก ง 1.

ลองใช้สูตร: ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)

เราแนะนำตรีโกณมิติ 3x 2 +2x-8เป็นผลิตภัณฑ์ของทวินาม x+2และ 3x-4.

คำตอบ: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

ตัวอย่างที่ 3). 5x 2 -3x-2

สารละลาย.มาหารากของสมการกำลังสองกัน:

ก=5; ข=-3; ค=-2. นี่เป็นกรณีพิเศษสำหรับสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: ก+ข+ค=0(5-3-2=0) ในกรณีดังกล่าว รากแรกจะเท่ากับหนึ่งเสมอ และ รากที่สองเท่ากับผลหารของเทอมอิสระหารด้วยสัมประสิทธิ์แรก:

ลองใช้สูตร: ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0.4)=(x-1)(5x+2) เราแนะนำตรีโกณมิติ 5x 2 -3x-2เป็นผลิตภัณฑ์ของทวินาม x-1และ 5x+2.

คำตอบ: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

ตัวอย่างที่ 4) 6x 2 +x-5

สารละลาย.มาหารากของสมการกำลังสองกัน:

ก=6; ข=1; ค=-5. นี่เป็นกรณีพิเศษสำหรับสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: a-b+c=0(6-1-5=0) ในกรณีดังกล่าว รากแรกจะเท่ากับลบหนึ่งเสมอ และ รากที่สองเท่ากับผลหารลบของการหารเทอมอิสระด้วยสัมประสิทธิ์แรก:

ลองใช้สูตร: ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)

เราแนะนำตรีโกณมิติ 6x 2 +x-5เป็นผลิตภัณฑ์ของทวินาม x+1และ 6x-5.

คำตอบ: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

ตัวอย่างที่ 5) x 2 -13x+12.

สารละลาย.มาหารากของสมการกำลังสองที่กำหนด:

x 2 -13x+12=0. มาดูกันว่าสามารถนำไปใช้ได้หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาค้นหาตัวจำแนกและให้แน่ใจว่ามันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

ก=1; ข=-13; ค=12. การหาผู้แบ่งแยก ดี.

D=ข 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

ลองใช้ทฤษฎีบทของเวียตา: ผลรวมของรากต้องเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากต้องเท่ากับเทอมอิสระ:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12 เห็นได้ชัดว่า x 1 =1; x 2 = 12.

ลองใช้สูตร: ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12)

คำตอบ: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

ตัวอย่างที่ 6) x 2 -4x-6.

สารละลาย. มาหารากของสมการกำลังสองที่กำหนด:

ก=1; ข=-4; ค=-6. สัมประสิทธิ์ที่สองเป็นเลขคู่ ค้นหาผู้แยกแยะ D 1

การแบ่งแยกไม่ใช่กำลังสองที่สมบูรณ์แบบของจำนวนเต็ม ดังนั้นทฤษฎีบทของเวียตต้าจะไม่ช่วยเรา และเราจะค้นหารากโดยใช้สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ที่สองคู่:

ลองใช้สูตร: ขวาน 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) และเขียนคำตอบลงไป

ลองหาผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองกัน เราได้โดยใช้สูตร (59.8) สำหรับรากของสมการข้างต้น

(ความเท่าเทียมกันแรกชัดเจนส่วนที่สองได้มาหลังจากการคำนวณอย่างง่ายซึ่งผู้อ่านจะดำเนินการอย่างอิสระสะดวกที่จะใช้สูตรในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยผลต่าง)

ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของเวียตตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของพวกมันเท่ากับเทอมอิสระ

ในกรณีของสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ควรแทนที่นิพจน์ของสูตร (60.1) ลงในสูตร (60.1) แล้วอยู่ในรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมัน:

วิธีแก้ปัญหา ก) เราพบว่าสมการนั้นมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลรวมของกำลังสองของรากของสมการโดยไม่ต้องแก้สมการเอง

สารละลาย. ทราบผลรวมและผลคูณของราก ให้เราแทนผลรวมของรากกำลังสองในรูปแบบ

และเราได้รับ

จากสูตรของ Vieta ทำให้ได้สูตรได้ง่าย

การแสดงกฎสำหรับการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

จริงๆ แล้ว เรามาเขียนสูตร (60.2) ในรูปแบบกันดีกว่า

ตอนนี้เรามี

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องได้รับ

ที่มาของสูตรของ Vieta ข้างต้นเป็นที่คุ้นเคยสำหรับผู้อ่านจากหลักสูตรพีชคณิตระดับมัธยมปลาย ข้อสรุปอีกประการหนึ่งสามารถให้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์และการแยกตัวประกอบของพหุนาม (ย่อหน้า 51, 52)

ให้รากของสมการเป็นอย่างนั้น กฎทั่วไป(52.2) แยกตัวประกอบตรีโกณมิติทางด้านซ้ายของสมการ:

เราได้การเปิดวงเล็บทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันที่เหมือนกันนี้

และการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันจะได้สูตรเวียตต้า (60.1)

ข้อดีของการได้มานี้คือสามารถนำไปใช้กับสมการได้ด้วย องศาที่สูงขึ้นเพื่อให้ได้นิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการผ่านรากของมัน (โดยไม่ต้องค้นหารากเอง!) เช่น ถ้ารากของสมการลูกบาศก์ที่กำหนด

สาระสำคัญคือเราพบตามความเท่าเทียมกัน (52.2)

(ในกรณีของเรา ให้เปิดวงเล็บทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันแล้วรวบรวมค่าสัมประสิทธิ์ องศาต่างๆเราได้รับ