วิธีแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับผลคูณลอการิทึม งานของ Manov "อสมการลอการิทึมในการสอบ Unified State"

บ่อยครั้ง เมื่อแก้อสมการลอการิทึม มีปัญหากับฐานลอการิทึมแบบแปรผัน ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ

เป็นมาตรฐานความไม่เท่าเทียมกันของโรงเรียน ตามกฎแล้วในการแก้ปัญหาจะใช้การเปลี่ยนไปใช้ชุดระบบที่เทียบเท่ากัน:

ข้อเสีย วิธีนี้คือความจำเป็นในการแก้ไขอสมการเจ็ดประการ ไม่นับสองระบบและหนึ่งรวม ด้วยฟังก์ชันกำลังสองเหล่านี้แล้ว การแก้โจทย์ประชากรอาจใช้เวลานาน

มีความเป็นไปได้ที่จะเสนอทางเลือกอื่นที่ใช้เวลาน้อยกว่าในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐานนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราคำนึงถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 ปล่อยให้มีฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบนเซต X จากนั้นในชุดนี้ เครื่องหมายของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะตรงกับเครื่องหมายของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เช่น , ที่ไหน .

หมายเหตุ: หากฟังก์ชันลดลงอย่างต่อเนื่องบนเซต X แล้ว .

ลองกลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกัน มาดูลอการิทึมทศนิยมกันต่อ (คุณสามารถไปยังค่าใดๆ ที่มีฐานคงที่มากกว่า 1 ได้)

ตอนนี้คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทโดยสังเกตการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันในตัวเศษ และในตัวส่วน. ดังนั้นมันเป็นเรื่องจริง

เป็นผลให้จำนวนการคำนวณที่นำไปสู่คำตอบลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง ซึ่งไม่เพียงช่วยประหยัดเวลา แต่ยังช่วยให้คุณทำเลขคณิตและข้อผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวังน้อยลงอีกด้วย

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า , , .

ไปที่ (2) เราจะมี:

ตัวอย่างที่ 2

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราจะพบว่า , , .

ไปที่ (2) เราจะมี:

ตัวอย่างที่ 3

เพราะ ด้านซ้ายอสมการ – เพิ่มฟังก์ชันที่ และ แล้วคำตอบก็จะมากมาย

ตัวอย่างมากมายที่สามารถใช้ Theme 1 สามารถขยายได้อย่างง่ายดายโดยคำนึงถึง Theme 2

ปล่อยให้อยู่ในชุด เอ็กซ์ฟังก์ชั่น , , ถูกกำหนดไว้แล้วและในชุดนี้สัญญาณและความตรงกันคือ แล้วมันก็จะยุติธรรม

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ด้วยวิธีมาตรฐาน ตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขตามรูปแบบต่อไปนี้: ผลคูณจะน้อยกว่าศูนย์เมื่อปัจจัยมีสัญญาณต่างกัน เหล่านั้น. มีการพิจารณาชุดของระบบความไม่เท่าเทียมกันสองระบบ ซึ่งตามที่ระบุไว้ในตอนต้น แต่ละความไม่เท่าเทียมกันจะแบ่งออกเป็นอีกเจ็ดระบบ

หากเราคำนึงถึงทฤษฎีบท 2 แล้วแต่ละปัจจัยโดยคำนึงถึง (2) สามารถถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันอื่นที่มีเครื่องหมายเหมือนกันในตัวอย่างนี้ O.D.Z.

วิธีการแทนที่การเพิ่มฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์โดยคำนึงถึงทฤษฎีบท 2 นั้นสะดวกมากเมื่อแก้ไขปัญหาการตรวจสอบ Unified State C3 ทั่วไป

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างที่ 7

- มาแสดงกัน. เราได้รับ

- โปรดทราบว่าการแทนที่หมายถึง: . กลับมาที่สมการ เราได้ .

ตัวอย่างที่ 8

ในทฤษฎีบทที่เราใช้ไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับคลาสของฟังก์ชัน ในบทความนี้ เป็นตัวอย่าง มีการใช้ทฤษฎีบทเพื่อแก้อสมการลอการิทึม ตัวอย่างต่างๆ ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นถึงแนวทางในการแก้ไขอสมการประเภทอื่นๆ

อสมการลอการิทึม

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการลอการิทึม และตอนนี้เรารู้แล้วว่าสมการคืออะไรและจะแก้สมการเหล่านี้อย่างไร บทเรียนวันนี้จะเน้นไปที่การศึกษาอสมการลอการิทึม อสมการเหล่านี้คืออะไร และความแตกต่างระหว่างการแก้สมการลอการิทึมกับอสมการคืออะไร?

อสมการลอการิทึมคืออสมการที่มีตัวแปรปรากฏใต้เครื่องหมายลอการิทึมหรือที่ฐาน

หรืออาจกล่าวได้ว่าอสมการลอการิทึมคืออสมการซึ่งค่าที่ไม่ทราบค่าจะปรากฏใต้เครื่องหมายลอการิทึม เช่นเดียวกับในสมการลอการิทึม

โปรโตซัว อสมการลอการิทึมมีลักษณะเช่นนี้:

โดยที่ f(x) และ g(x) คือนิพจน์บางส่วนที่ขึ้นอยู่กับ x

ลองดูตัวอย่างนี้: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1

การแก้อสมการลอการิทึม

ก่อนที่จะแก้อสมการลอการิทึม เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อแก้ไขแล้ว พวกมันจะคล้ายกับอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล กล่าวคือ:

ขั้นแรก เมื่อย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึม เราต้องเปรียบเทียบฐานของลอการิทึมกับฐานหนึ่งด้วย

ประการที่สอง เมื่อแก้อสมการลอการิทึมโดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เราจำเป็นต้องแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงจนกว่าเราจะได้อสมการที่ง่ายที่สุด

แต่คุณและฉันได้พิจารณาแง่มุมที่คล้ายกันในการแก้ไขอสมการลอการิทึมแล้ว ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า ความแตกต่างที่สำคัญ- เราทุกคนรู้ดีว่าฟังก์ชันลอการิทึมมีขอบเขตคำจำกัดความที่จำกัด ดังนั้นเมื่อย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม เราจำเป็นต้องคำนึงถึงโดเมนด้วย ค่าที่ยอมรับได้(ODZ).

นั่นคือควรคำนึงว่าเมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณและฉันสามารถหารากของสมการได้ก่อนแล้วจึงตรวจสอบวิธีแก้ปัญหานี้ แต่การแก้ไขอสมการลอการิทึมจะไม่ทำงานในลักษณะนี้ เนื่องจากการย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม จึงจำเป็นต้องเขียน ODZ ของอสมการนั้น

นอกจากนี้ยังควรจำไว้ว่าทฤษฎีความไม่เท่าเทียมกันประกอบด้วย ตัวเลขจริงซึ่งเป็นบวกและ ตัวเลขติดลบเช่นเดียวกับหมายเลข 0

ตัวอย่างเช่น เมื่อตัวเลข “a” เป็นบวก คุณจะต้องใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: a >0 ในกรณีนี้ ทั้งผลรวมและผลคูณของตัวเลขเหล่านี้จะเป็นบวกเช่นกัน

หลักการสำคัญในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคือการแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า แต่สิ่งสำคัญคือมันเทียบเท่ากับค่าที่กำหนด นอกจากนี้เรายังได้รับความไม่เท่าเทียมกันและแทนที่ด้วยอันที่มีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าอีกครั้ง ฯลฯ

เมื่อแก้อสมการด้วยตัวแปร คุณต้องหาคำตอบทั้งหมดของตัวแปรนั้น หากอสมการสองตัวมีตัวแปร x เหมือนกัน แสดงว่าอสมการนั้นเท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่าผลเฉลยตรงกัน

เมื่อดำเนินการแก้ไขอสมการลอการิทึม คุณต้องจำไว้ว่าเมื่อ a > 1 ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

วิธีการแก้อสมการลอการิทึม

ตอนนี้เรามาดูวิธีการบางอย่างที่เกิดขึ้นเมื่อแก้อสมการลอการิทึม เพื่อความเข้าใจและการดูดซึมที่ดีขึ้น เราจะพยายามทำความเข้าใจโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

เราทุกคนรู้ดีว่าอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ในความไม่เท่าเทียมกันนี้ V – เป็นหนึ่งในสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:<,>, ≤ หรือ ≥

เมื่อฐานของลอการิทึมที่กำหนดมากกว่าหนึ่ง (a>1) ทำให้การเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม ดังนั้นในเวอร์ชันนี้ เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่ และอสมการจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบนี้:

ในกรณีที่ฐานของลอการิทึมมากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง (0

นี่เทียบเท่ากับระบบนี้:

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดตามที่แสดงในภาพด้านล่าง:

ตัวอย่างการแก้

ออกกำลังกาย.ลองแก้อสมการนี้:

การแก้ช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ทีนี้ลองคูณด้านขวาด้วย:

มาดูกันว่าเราจะได้อะไรมาบ้าง:

ทีนี้ มาดูการแปลงนิพจน์ย่อยลอการิทึมกันดีกว่า เนื่องจากฐานของลอการิทึมเป็น 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

และจากนี้ตามมาว่าช่วงเวลาที่เราได้รับนั้นเป็นของ ODZ ทั้งหมดและเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว

นี่คือคำตอบที่เราได้รับ:

สิ่งที่จำเป็นในการแก้ไขอสมการลอการิทึม?

ทีนี้ลองวิเคราะห์สิ่งที่เราต้องแก้อสมการลอการิทึมให้สำเร็จ?

ขั้นแรก ให้มุ่งความสนใจทั้งหมดของคุณและพยายามอย่าทำผิดพลาดเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับจากความไม่เท่าเทียมกันนี้ นอกจากนี้ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมดังกล่าวมีความจำเป็นต้องหลีกเลี่ยงการขยายและการหดตัวของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งอาจนำไปสู่การสูญเสียหรือได้มาซึ่งวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้อง

ประการที่สอง เมื่อแก้ไขอสมการลอการิทึม คุณต้องเรียนรู้ที่จะคิดอย่างมีเหตุผลและเข้าใจความแตกต่างระหว่างแนวคิดต่างๆ เช่น ระบบความไม่เท่าเทียมกันและชุดของอสมการ เพื่อให้คุณสามารถเลือกวิธีแก้ปัญหาสำหรับอสมการได้อย่างง่ายดาย ในขณะที่ได้รับคำแนะนำจาก DL

ประการที่สาม เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมดังกล่าวได้สำเร็จ คุณแต่ละคนจะต้องรู้คุณสมบัติทั้งหมดของฟังก์ชันพื้นฐานอย่างสมบูรณ์และเข้าใจความหมายของฟังก์ชันเหล่านั้นอย่างชัดเจน ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เพียงแต่รวมถึงลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเหตุผล กำลัง ตรีโกณมิติ ฯลฯ ทั้งหมดนี้เป็นเพียงคำเดียวที่คุณเรียนระหว่างพีชคณิตของโรงเรียน

อย่างที่คุณเห็นเมื่อศึกษาหัวข้อความไม่เท่าเทียมกันของลอการิทึมแล้วไม่มีอะไรยากในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้โดยมีเงื่อนไขว่าคุณต้องระมัดระวังและพากเพียรในการบรรลุเป้าหมาย เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคุณต้องฝึกฝนให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้แก้ไขงานต่าง ๆ และในขณะเดียวกันก็จำวิธีการพื้นฐานในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันและระบบของพวกเขา หากคุณล้มเหลวในการแก้ไขอสมการลอการิทึม คุณควรวิเคราะห์ข้อผิดพลาดอย่างรอบคอบเพื่อไม่ให้กลับมาแก้ไขอีกในอนาคต

การบ้าน

สำหรับ การดูดซึมดีขึ้นหัวข้อและการรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

อสมการจะเรียกว่าลอการิทึมหากมีฟังก์ชันลอการิทึม

วิธีการแก้อสมการลอการิทึมก็ไม่แตกต่างกัน ยกเว้นสองสิ่ง

ประการแรก เมื่อย้ายจากอสมการลอการิทึมไปเป็นอสมการของฟังก์ชันซับลอการิทึม เราควร ปฏิบัติตามสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น- มันเป็นไปตามกฎต่อไปนี้

หากฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมากกว่า $1$ ดังนั้นเมื่อย้ายจากอสมการลอการิทึมไปเป็นอสมการของฟังก์ชันซับลอการิทึม สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะยังคงอยู่ แต่หากน้อยกว่า $1$ ก็จะเปลี่ยนไปเป็นค่าตรงกันข้าม .

ประการที่สอง การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันใด ๆ นั้นเป็นช่วงเวลา ดังนั้นในตอนท้ายของการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของฟังก์ชันซับลอการิทึมจึงจำเป็นต้องสร้างระบบของความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกของระบบนี้จะเป็นความไม่เท่าเทียมกันของฟังก์ชันซับลอการิทึม และช่วงที่สองจะเป็นช่วงของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึมที่รวมอยู่ในอสมการลอการิทึม

ฝึกฝน.

มาแก้อสมการกัน:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \ใน (-3;+\infty)$

ฐานของลอการิทึมคือ $2>1$ ดังนั้นเครื่องหมายจึงไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อใช้คำจำกัดความของลอการิทึม เราจะได้:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \ใน )