สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเซนต์วา เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

ส่วนนี้จะมีปัญหาทางเรขาคณิต (ส่วน planimetry) เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู หากคุณไม่พบวิธีแก้ไขปัญหา โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม จะมีการเสริมหลักสูตรอย่างแน่นอน

สี่เหลี่ยมคางหมู ความหมาย สูตร และคุณสมบัติ

สี่เหลี่ยมคางหมู (มาจากภาษากรีกโบราณ τραπέζιον - “โต๊ะ”; τράπεζα - “โต๊ะ อาหาร”) เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเพียงคู่เดียว

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน

บันทึก. ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมคางหมู

ด้านตรงข้ามขนานกันเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู และอีกสองด้านเรียกว่าด้านข้าง

ราวสำหรับออกกำลังกายคือ:

- อเนกประสงค์ ;

- หน้าจั่ว;

- สี่เหลี่ยม

.
สีแดงและ ดอกไม้สีน้ำตาลด้านข้างถูกระบุ และฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูจะแสดงเป็นสีเขียวและสีน้ำเงิน

เอ - หน้าจั่ว (หน้าจั่ว, หน้าจั่ว) สี่เหลี่ยมคางหมู
B - สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม
C - สี่เหลี่ยมคางหมูย้วย

สี่เหลี่ยมคางหมูย้วยมีทุกด้าน ความยาวที่แตกต่างกันและฐานขนานกัน

ด้านข้างเท่ากันและฐานขนานกัน

ขนานกันที่ฐานหนึ่ง ด้านข้างตั้งฉากกับฐาน และด้านที่สองเอียงกับฐาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

• เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างฐานและอยู่บนเส้นกึ่งกลาง ความยาวของมัน
• เส้นขนานที่ตัดด้านข้างของมุมใดๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะตัดส่วนที่เป็นสัดส่วนออกจากด้านข้างของมุม (ดูทฤษฎีบทของทาลีส)
• จุดตัดของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมูจุดตัดของส่วนต่อขยายด้านข้างและจุดกึ่งกลางของฐานอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ดูคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย)
• สามเหลี่ยมวางอยู่บนฐานสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะคล้ายกัน อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเท่ากับกำลังสองของอัตราส่วนของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
• สามเหลี่ยมนอนอยู่ด้านข้างสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะมีพื้นที่เท่ากัน (พื้นที่เท่ากัน)
• เข้าสู่ราวสำหรับออกกำลังกาย คุณสามารถเขียนวงกลมได้ถ้าผลรวมของความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน เส้นกลางในกรณีนี้เท่ากับผลรวมของด้านหารด้วย 2 (เนื่องจาก เส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน)
• ส่วนขนานกับฐานและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมหารด้วยส่วนหลังในครึ่งและเท่ากับสองเท่าของผลคูณของฐานหารด้วยผลรวม 2ab / (a ​​​​+ b) (สูตรของ Burakov)

มุมสี่เหลี่ยมคางหมู

มุมสี่เหลี่ยมคางหมู มีความคมตรงและทื่อ.
มีเพียงสองมุมเท่านั้นที่ถูก

สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมมีมุมฉากสองมุมและอีกสองอันเป็นแบบเฉียบพลันและป้าน สี่เหลี่ยมคางหมูประเภทอื่นๆ มีมุมแหลมสองมุมและมุมป้านสองมุม

มุมป้านของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นมุมที่เล็กกว่าตามความยาวของฐานและ เผ็ด - มากขึ้นพื้นฐาน

สามารถพิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูใดก็ได้ เหมือนสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนซึ่งมีเส้นหน้าตัดขนานกับฐานของรูปสามเหลี่ยม
สำคัญ- โปรดทราบว่าด้วยวิธีนี้ (โดยการสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูเพิ่มเติมจนถึงรูปสามเหลี่ยม) ปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถแก้ไขได้และทฤษฎีบทบางข้อสามารถพิสูจน์ได้

วิธีหาด้านข้างและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

การหาด้านข้างและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูทำได้โดยใช้สูตรที่ให้ไว้ด้านล่าง:

ในสูตรเหล่านี้สัญกรณ์ที่ใช้จะเป็นดังรูป

a - ฐานที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู
b - ฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู
c,d - ด้าน
ชั่วโมง 1 ชั่วโมง 2 - เส้นทแยงมุม

ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับสองเท่าของผลคูณของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู บวกกับผลรวมของกำลังสองของด้านข้าง (สูตร 2)

คำแนะนำ

ตามคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ส่วน n เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน x และ y ดังนั้น ฐานที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู y สามารถแสดงเป็นผลต่างระหว่างฐานที่ใหญ่กว่าและส่วนที่ n คูณด้วยสอง: y = x - 2*n

ค้นหาส่วนที่เล็กกว่าที่ไม่รู้จัก n เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คำนวณด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้ รูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยความสูง - h (ขา) ด้าน - a (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) และส่วน - n (ขา) ตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส ขาที่ไม่รู้จัก n² = a² - h² ทดแทน ค่าตัวเลขและคำนวณกำลังสองของขา n หารากที่สองของค่าผลลัพธ์ - นี่จะเป็นความยาวของส่วน n

แทนค่านี้เป็นสมการแรกเพื่อคำนวณ y พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคำนวณโดยใช้สูตร S = ((x + y)*h)/2 แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จัก: y = 2*S/h – x

แหล่งที่มา:

• ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ในการกำหนดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เช่น สี่เหลี่ยมคางหมู จะต้องกำหนดด้านอย่างน้อยสามด้าน ตัวอย่างเช่น เราสามารถพิจารณาปัญหาที่ระบุความยาวของเส้นทแยงมุมได้ สี่เหลี่ยมคางหมูเช่นเดียวกับเวกเตอร์ด้านหนึ่ง

คำแนะนำ

ตัวเลขจากเงื่อนไขของปัญหาแสดงไว้ใน 1.B ในกรณีนี้ควรสันนิษฐานว่าอันที่พิจารณาคือ ABCD โดยให้ความยาวของเส้นทแยงมุม AC และ BD เช่นเดียวกับด้านข้าง AB แสดงด้วยเวกเตอร์ a(ax,ay) ข้อมูลเริ่มต้นที่ยอมรับช่วยให้เราสามารถค้นหาทั้งสองอย่างได้ บริเวณ สี่เหลี่ยมคางหมู(ทั้งบนและล่าง) ใน ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง AD ฐานล่างจะเจอก่อน

พิจารณาสามเหลี่ยม ABD ความยาวของด้าน AB เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ a กำหนดให้ |a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a แล้ว cosф =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2) เป็นโคไซน์ทิศทางของ a ให้เส้นทแยงมุม BD ที่กำหนดมี ความยาว p และ AD ที่ต้องการ ความยาวเอ็กซ์ จากนั้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์ P^2=a^2+ x^2-2axcosф หรือ x^2-2axcosф+(a^2-p^2)=0

เพื่อหายอด บริเวณ BC (ความยาวของมันแสดงด้วย x เมื่อค้นหา) ใช้โมดูล |a|=a เช่นเดียวกับเส้นทแยงมุมที่สอง BD=q และโคไซน์ของมุม ABC ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเท่ากับ (n-ph) .

ถัดไปจะพิจารณาสามเหลี่ยม ABC ซึ่งใช้ทฤษฎีบทโคไซน์เหมือนเมื่อก่อนและสิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น เมื่อพิจารณาว่า cos(п-ф)=-cosф ตามวิธีแก้ปัญหาสำหรับ AD เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้ โดยแทนที่ p ด้วย q:ВС=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay) ^2) +sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2)

นี่คือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และด้วยเหตุนี้ จึงมีราก 2 อัน ดังนั้นในกรณีนี้ยังคงต้องเลือกเฉพาะรากที่มี ค่าบวกเนื่องจากความยาวไม่สามารถเป็นลบได้

ตัวอย่าง ให้เข้า สี่เหลี่ยมคางหมูด้าน ABCD ด้าน AB กำหนดโดยเวกเตอร์ a(1, sqrt3), p=4, q=6 หา บริเวณ สี่เหลี่ยมคางหมู.สารละลาย. การใช้อัลกอริธึมที่ได้รับข้างต้นเราสามารถเขียนได้: |a|=a=2, cosф=1/2 AD=1/2+สแควร์(4/4 -4+16)=1/2 +สแควร์(13)=(sqrt(13)+1)/2.BC=-1/2+สแควร์(-3+36 )=(สแควร์(33)-1)/2.

วิดีโอในหัวข้อ

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านขนานกัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่ลากตั้งฉากระหว่างเส้นขนานสองเส้น สามารถคำนวณได้หลายวิธีขึ้นอยู่กับแหล่งข้อมูล

คุณจะต้อง

• ความรู้เกี่ยวกับด้านข้าง ฐาน เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู และอาจรวมถึงพื้นที่และ/หรือเส้นรอบวงด้วย

คำแนะนำ

สมมติว่ามีสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีข้อมูลเหมือนกับในรูปที่ 1 ลองวาดความสูง 2 อัน เราจะได้ ซึ่งมีด้านเล็กกว่า 2 ด้านข้างขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราแสดงว่าม้วนเล็กกว่าเป็น x ตั้งอยู่โดยการหารความแตกต่างด้านความยาวระหว่างฐานที่ใหญ่กว่าและฐานที่เล็กกว่า จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส กำลังสองของความสูง เท่ากับผลรวมกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก d และขา x เราแยกจากผลรวมนี้แล้วได้ความสูง h (รูปที่ 2)

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• วิธีการคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

รูปทางคณิตศาสตร์ที่มีสี่มุมจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูหากด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานกันและอีกคู่ไม่ขนานกัน ด้านขนานเรียกว่า เหตุผล สี่เหลี่ยมคางหมูอีกสองคนอยู่ด้านข้าง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมูมุมด้านหนึ่งเป็นเส้นตรง

คำแนะนำ

ภารกิจที่ 1. ค้นหาฐาน BC และ AD สี่เหลี่ยมคางหมูถ้าทราบความยาว AC = f ความยาวด้าน CD = c และมุม ADC = α วิธีแก้ไข: พิจารณา CED สี่เหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉาก c และมุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา EDC เป็นที่รู้จัก ค้นหาความยาว CE และ ED: ใช้สูตรมุม CE = CD*sin(ADC); ED = ซีดี*คอส(ADC) ดังนั้น: CE = c*sinα; ED=c*โคซาα

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ACE คุณทราบด้านตรงข้ามมุมฉาก AC และ CE ค้นหาด้าน AE โดยใช้กฎ: ผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα คำนวณ รากที่สองจากทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน คุณพบสี่เหลี่ยมด้านบน สี่เหลี่ยมคางหมู.

ความยาวของ AD ฐานคือผลรวมของความยาวของสองส่วน AE และ ED AE = รากที่สอง(f(2) - c*sinα); ED = c*cosα).ดังนั้น: AD = รากที่สอง(f(2) - c*sinα) + c*cosα คุณพบฐานล่างของสี่เหลี่ยมแล้ว สี่เหลี่ยมคางหมู.

ภารกิจที่ 2 ค้นหาฐาน BC และ AD ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมูถ้าทราบความยาวของเส้นทแยงมุม BD = f; ความยาวด้าน CD = c และมุม ADC = α วิธีแก้ไข: พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก CED ค้นหาความยาวของด้าน CE และ ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCE โดยคุณสมบัติ AB = CE = c*sinα พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD ตามคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคือผลรวมของกำลังสองของขา ดังนั้น AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sinα คุณพบฐานล่างของสี่เหลี่ยมแล้ว สี่เหลี่ยมคางหมู AD = รากที่สอง(f(2) - c*sinα)

ตามกฎของสี่เหลี่ยมผืนผ้า BC = AE = AD - ED = รากที่สอง(f(2) - c*sinα) - c*cosα คุณพบฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมแล้ว สี่เหลี่ยมคางหมู.

ฐานที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูคือด้านขนานด้านหนึ่งซึ่งมีความยาวขั้นต่ำ ค่านี้สามารถคำนวณได้หลายวิธีโดยใช้ข้อมูลบางอย่าง

คุณจะต้อง

• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

หากทราบความยาวสองค่า - ฐานและเส้นกึ่งกลาง - ให้ใช้คุณสมบัติสี่เหลี่ยมคางหมูเพื่อคำนวณฐานที่เล็กที่สุด ตามที่กล่าวไว้ เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ในกรณีนี้ ฐานที่เล็กที่สุดจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างสองเท่าของความยาวของเส้นกลางกับความยาวของฐานใหญ่ของรูปนี้

หากทราบค่าพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็น ความสูง และความยาวของฐานขนาดใหญ่ ให้คำนวณฐานที่เล็กที่สุดของค่าที่กำหนดโดยยึดตามสี่เหลี่ยมคางหมู ในกรณีนี้ คุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้ายโดยการลบค่าพารามิเตอร์ เช่น ความยาวของฐานใหญ่ของสี่เหลี่ยมคางหมูออกจากค่าความแตกต่างระหว่างผลหารของพื้นที่สองเท่ากับความสูง

คำนวณความยาวของด้านข้างอีกด้านหนึ่ง

หลักสูตรเรขาคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เป็นการศึกษาคุณสมบัติและลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมนูน ซึ่งรวมถึงสี่เหลี่ยมด้านขนาน กรณีพิเศษได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยม และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมคางหมู และถ้าการแก้ปัญหาในรูปแบบต่างๆ ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นมักจะไม่ทำให้เกิดปัญหามากนัก การจะหารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูก็ค่อนข้างยากกว่า

ความหมายและประเภท

ต่างจากรูปสี่เหลี่ยมอื่นๆ ที่ศึกษาใน หลักสูตรของโรงเรียนสี่เหลี่ยมคางหมูมักเรียกว่ารูปดังกล่าว โดยมีด้านตรงข้ามสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านขนานกัน มีคำจำกัดความอื่น: เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านคู่ไม่เท่ากันและขนานกัน

ประเภทต่างๆแสดงอยู่ในภาพด้านล่าง.

รูปภาพหมายเลข 1 แสดงสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพลการ หมายเลข 2 หมายถึงกรณีพิเศษ - สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมซึ่งด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน รูปสุดท้ายซะด้วย กรณีพิเศษ: นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด) กล่าวคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านเท่ากัน

คุณสมบัติและสูตรที่สำคัญที่สุด

ในการอธิบายคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเน้นองค์ประกอบบางอย่าง ตัวอย่างเช่น พิจารณา ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูตามอำเภอใจ

ประกอบด้วย:

• ฐาน BC และ AD - สองด้านขนานกัน
• ด้าน AB และ CD เป็นสององค์ประกอบที่ไม่ขนานกัน
• เส้นทแยงมุม AC และ BD คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามของรูป
• ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู CH คือส่วนที่ตั้งฉากกับฐาน
• เส้นกึ่งกลาง EF - เส้นที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

คุณสมบัติพื้นฐานขององค์ประกอบ

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตหรือพิสูจน์ข้อความใดๆ มักใช้คุณสมบัติที่เชื่อมโยงองค์ประกอบต่างๆ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มีการกำหนดดังนี้:

นอกจากนี้ การทราบและนำข้อความต่อไปนี้ไปใช้มักเป็นประโยชน์:

1. เส้นแบ่งครึ่งที่ดึงมาจากมุมใดก็ได้จะแยกส่วนที่ฐานซึ่งมีความยาวเท่ากับด้านข้างของรูป
2. เมื่อวาดเส้นทแยงมุมจะเกิดสามเหลี่ยม 4 อัน 2 อันเป็นรูปสามเหลี่ยม เกิดจากฐานและส่วนของเส้นทแยงมุมจะคล้ายกัน และคู่ที่เหลือก็มีพื้นที่เท่ากัน
3. ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม O จุดกึ่งกลางของฐาน รวมถึงจุดที่ส่วนขยายของด้านตัดกัน สามารถวาดเส้นตรงได้

การคำนวณปริมณฑลและพื้นที่

เส้นรอบวงคำนวณเป็นผลรวมของความยาวของทั้งหมด สี่ด้าน(คล้ายกับรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ):

P = AD + BC + AB + ซีดี

วงกลมที่จารึกไว้และล้อมรอบ

วงกลมสามารถอธิบายรอบสี่เหลี่ยมคางหมูได้ก็ต่อเมื่อด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน

ในการคำนวณรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวง คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุม ด้าน และฐานที่ใหญ่กว่า ขนาด พีที่ใช้ในสูตรคำนวณเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมขององค์ประกอบข้างต้นทั้งหมด: พี = (ก + ค + ง)/2.

สำหรับวงกลมที่ฝังไว้นั้น เงื่อนไขจะเป็นดังนี้ ผลรวมของฐานต้องตรงกับผลรวมของด้านของรูป รัศมีของมันหาได้จากความสูง และมันจะเท่ากับ ร = ชั่วโมง/2

กรณีพิเศษ

ลองพิจารณากรณีที่พบบ่อย - สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด) สัญญาณของมันคือความเท่าเทียมกันของด้านข้างหรือความเท่าเทียมกันของมุมตรงข้าม ข้อความทั้งหมดใช้กับเธอซึ่งเป็นลักษณะของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพลการ คุณสมบัติอื่นของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

ไม่พบสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในปัญหาบ่อยนัก สัญญาณของมันคือการมีอยู่ของทั้งสอง มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 90 องศา และมีด้านตั้งฉากกับฐาน ความสูงในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็เป็นหนึ่งในด้านของมันเช่นกัน

คุณสมบัติและสูตรทั้งหมดที่พิจารณามักจะใช้เพื่อแก้ปัญหาเชิงระนาบ อย่างไรก็ตาม ยังต้องใช้ในงานบางอย่างจากหลักสูตรสเตอริโอเมทรีด้วย เช่น เมื่อพิจารณาพื้นที่ผิว ปิรามิดที่ถูกตัดทอนภายนอกมีลักษณะคล้ายสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงปริมาตร

ในวัสดุต่างๆ การทดสอบและการสอบก็เป็นเรื่องปกติมาก ปัญหาสี่เหลี่ยมคางหมูการแก้ปัญหาซึ่งต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของมัน

เรามาดูกันว่าสี่เหลี่ยมคางหมูมีคุณสมบัติที่น่าสนใจและมีประโยชน์อะไรบ้างในการแก้ปัญหา

หลังจากศึกษาคุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว เราก็สามารถกำหนดและพิสูจน์ได้ คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน

MO คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABC และมีค่าเท่ากับ 1/2BC (รูปที่ 1)

MQ คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABD และมีค่าเท่ากับ 1/2AD

จากนั้น OQ = MQ – MO ดังนั้น OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC)

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มากมายบนสี่เหลี่ยมคางหมู หนึ่งในเทคนิคหลักคือการวาดความสูงสองจุดในนั้น

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ งาน.

ให้ BT เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ABCD ที่มีฐาน BC และ AD โดยที่ BC = a, AD = b ค้นหาความยาวของส่วน AT และ TD

สารละลาย.

การแก้ปัญหาไม่ใช่เรื่องยาก (รูปที่ 2)แต่มันช่วยให้คุณได้รับ คุณสมบัติของความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมป้าน: ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ลากจากจุดยอดของมุมป้านจะแบ่งฐานที่ใหญ่กว่าออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน และส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน .

เมื่อศึกษาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องใส่ใจกับคุณสมบัติดังกล่าวว่ามีความคล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูป และสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับฐานจะคล้ายกัน และสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้านข้างจะมีขนาดเท่ากัน คำสั่งนี้สามารถเรียกได้ คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีสี่เหลี่ยมคางหมูหารด้วยเส้นทแยงมุม- นอกจากนี้ ส่วนแรกของข้อความสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายมากผ่านสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมสองมุม มาพิสูจน์กันส่วนที่สองของแถลงการณ์

สามเหลี่ยม BOC และ COD มีความสูงเท่ากัน (รูปที่ 3)หากเราใช้กลุ่ม BO และ OD เป็นฐาน จากนั้น S BOC /S COD = BO/OD = k ดังนั้น S COD = 1/k · S BOC

ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BOC และ AOB มีความสูงเท่ากัน หากเราเอาส่วน CO และ OA เป็นฐาน จากนั้น S BOC /S AOB = CO/OA = k และ S A O B = 1/k · S BOC

จากสองประโยคนี้จะตามมาว่า S COD = S A O B

อย่าไปจมอยู่กับข้อความที่กำหนดไว้ แต่จงค้นหา ความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมซึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นทแยงมุม- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน BC และ AD เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม BOC และ AOD เท่ากับ S 1 และ S 2 ตามลำดับ ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจาก S COD = S A O B ดังนั้น S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOC และ AOD จะได้ว่า BO/OD = √(S₁/S 2)

ดังนั้น S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2) ซึ่งหมายถึง S COD = √(S 1 · S 2)

จากนั้น S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2

การใช้ความคล้ายคลึงก็พิสูจน์ได้ว่า คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน.

ลองพิจารณาดู งาน:

ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน BC และ AD ก่อนคริสต์ศักราช = ก, AD = ข ค้นหาความยาวของส่วน PK ที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน PK ส่วนใดหารด้วยจุด O (รูปที่ 4)

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOD และ BOC จะได้ว่า AO/OC = AD/BC = b/a

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOP และ ACB จะได้ว่า AO/AC = PO/BC = b/(a + b)

ดังนั้น PO = BC b / (a ​​​​+ b) = ab/(a + b)

ในทำนองเดียวกัน จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม DOK และ DBC จะได้ว่า OK = ab/(a + b)

ดังนั้น PO = OK และ PK = 2ab/(a + b)

ดังนั้นคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้ดังนี้: ส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมและเชื่อมต่อสองจุดที่ด้านข้างด้านข้างจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัดของ เส้นทแยงมุม ความยาวของมันคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

กำลังติดตาม คุณสมบัติสี่จุด: ในสี่เหลี่ยมคางหมูจุดตัดของเส้นทแยงมุมจุดตัดของความต่อเนื่องของด้านข้างจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่ในเส้นเดียวกัน

สามเหลี่ยม BSC และ ASD มีความคล้ายคลึงกัน (รูปที่ 5)และในแต่ละค่ามัธยฐาน ST และ SG จะแบ่งมุมยอด S ออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้นจุด S, T และ G จึงอยู่บนเส้นเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน จุด T, O และ G อยู่บนเส้นเดียวกัน ซึ่งตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOC และ AOD

ซึ่งหมายความว่าจุดทั้งสี่จุด S, T, O และ G อยู่บนเส้นเดียวกัน

คุณยังสามารถหาความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกันได้

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมู ALFD และ LBCF มีความคล้ายคลึงกัน (รูปที่ 6)แล้ว a/LF = LF/b

ดังนั้น LF = √(ab)

ดังนั้น ส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกันสองอันจะมีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของความยาวของฐาน

มาพิสูจน์กัน คุณสมบัติของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน.

ให้พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูเป็น S (รูปที่ 7) h 1 และ h 2 เป็นส่วนหนึ่งของความสูง และ x คือความยาวของส่วนที่ต้องการ

จากนั้น S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 และ

S = (ซ 1 + ชั่วโมง 2) · (a + b)/2

มาสร้างระบบกันเถอะ

(ซ 1 (ก + x) = ชั่วโมง 2 (ข + x)
(ซ 1 · (ก + x) = (ซ 1 + ชั่วโมง 2) · (ก + ข)/2

เมื่อแก้ระบบนี้ เราจะได้ x = √(1/2(a 2 + b 2))

ดังนั้น, ความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันจะเท่ากับ √((a 2 + b 2)/2)(หมายถึงกำลังสองของความยาวฐาน)

ดังนั้น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน AD และ BC (BC = a, AD = b) เราพิสูจน์ได้ว่าส่วน:

1) MN ซึ่งเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง (โดยเฉลี่ย เลขคณิตก และ ข);

2) PK ที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานเท่ากับ
2ab/(a + b) (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลข a และ b);

3) LF ซึ่งแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกันสองอัน มีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข a และ b, √(ab);

4) EH โดยแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน โดยมีความยาว √((a 2 + b 2)/2) (ค่าเฉลี่ยรากกำลังสองของตัวเลข a และ b)

เครื่องหมายและทรัพย์สินของสี่เหลี่ยมคางหมูที่จารึกและจำกัดขอบเขต

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้:สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ก็ต่อเมื่อเป็นรูปหน้าจั่วเท่านั้น

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถอธิบายได้รอบๆ วงกลมก็ต่อเมื่อผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

ผลที่ตามมาที่เป็นประโยชน์จากการที่วงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู:

1. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ผูกไว้เท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่ผูกไว้

2. มองเห็นด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ผูกไว้จากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผูกไว้เป็นมุมฉาก

ประการแรกชัดเจน เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ประการที่สอง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามุม COD นั้นถูกต้อง ซึ่งก็ไม่ยากเช่นกัน แต่การรู้ข้อพิสูจน์นี้ทำให้คุณสามารถใช้สามเหลี่ยมมุมฉากในการแก้ปัญหาได้

มาระบุกัน ผลที่ตามมาของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ล้อมรอบคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
ชั่วโมง = 2r = √(ab)

คุณสมบัติที่พิจารณาจะช่วยให้คุณเข้าใจสี่เหลี่ยมคางหมูได้ลึกยิ่งขึ้นและรับประกันความสำเร็จในการแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติของมัน

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาสี่เหลี่ยมคางหมู?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนซึ่งมีด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานกันและอีกคู่ขนานกัน

ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมูและลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านขนานสี่เหลี่ยมคางหมูไม่สามารถเท่ากันได้ ไม่เช่นนั้นด้านอีกคู่ก็จะขนานกันและเท่ากัน ในกรณีนี้ เราจะจัดการกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้านตรงข้ามขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่า เหตุผล- นั่นคือสี่เหลี่ยมคางหมูมีสองฐาน ด้านตรงข้ามที่ไม่ขนานกันของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่า ด้านข้าง.

ขึ้นอยู่กับด้านข้างซึ่งมุมที่เกิดขึ้นกับฐานจะมีความโดดเด่น ประเภทต่างๆสี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนใหญ่แล้วรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะแบ่งออกเป็นส่วนที่ไม่เท่ากัน (ด้านเดียว) หน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด) และสี่เหลี่ยม

คุณ สี่เหลี่ยมคางหมูที่ไม่สมดุลด้านข้างไม่เท่ากัน ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยฐานขนาดใหญ่ ทั้งสองสามารถสร้างได้เฉพาะมุมแหลมเท่านั้น หรือมุมหนึ่งจะเป็นมุมป้านและอีกมุมแหลม ในกรณีแรกเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู มุมแหลมในครั้งที่สอง - ป้าน.

คุณ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วด้านข้างเท่ากัน ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยฐานขนาดใหญ่ พวกเขาสามารถสร้างมุมแหลมได้เท่านั้น เช่น สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วทั้งหมดมีมุมแหลม ดังนั้นจึงไม่แบ่งเป็นมุมแหลมและมุมป้าน

คุณ สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน ด้านที่สองไม่สามารถตั้งฉากกับด้านนั้นได้ เพราะในกรณีนี้ เราจะจัดการกับสี่เหลี่ยมมุมฉาก ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม ด้านที่ไม่ตั้งฉากจะมีฐานใหญ่กว่าเสมอ มุมแหลม- ด้านที่ตั้งฉากจะตั้งฉากกับฐานทั้งสองเพราะฐานขนานกัน