ทฤษฎีบทโคไซน์ คู่มือภาพ (2019)

เราแต่ละคนใช้เวลาหลายชั่วโมงในการแก้ปัญหาเรขาคณิตอย่างใดอย่างหนึ่ง แน่นอนคำถามเกิดขึ้น: ทำไมคุณถึงต้องเรียนคณิตศาสตร์เลย? คำถามนี้เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเป็นพิเศษ ซึ่งความรู้ซึ่งหากมีประโยชน์ก็หายากมาก แต่คณิตศาสตร์ก็มีเป้าหมายสำหรับผู้ที่ไม่ต้องการเป็นคนงานเช่นกัน มันบังคับให้บุคคลต้องทำงานและพัฒนา

จุดประสงค์ดั้งเดิมของคณิตศาสตร์ไม่ใช่เพื่อให้นักเรียนมีความรู้เกี่ยวกับวิชานี้ ครูตั้งเป้าหมายในการสอนให้เด็กๆ คิด ใช้เหตุผล วิเคราะห์ และโต้แย้ง นี่คือสิ่งที่เราพบในเรขาคณิตอย่างแน่นอน โดยมีสัจพจน์และทฤษฎีบท ผลที่ตามมา และการพิสูจน์มากมาย

ทฤษฎีบทโคไซน์

การใช้งาน

นอกจากบทเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์แล้ว ทฤษฎีบทนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในสถาปัตยกรรมและการก่อสร้างเพื่อคำนวณด้านและมุมที่ต้องการ ด้วยความช่วยเหลือจะกำหนดขนาดที่ต้องการของอาคารและปริมาณวัสดุที่จำเป็นสำหรับการก่อสร้าง แน่นอนว่ากระบวนการส่วนใหญ่ที่ก่อนหน้านี้ต้องอาศัยการมีส่วนร่วมและความรู้ของมนุษย์โดยตรงนั้นเป็นไปโดยอัตโนมัติในปัจจุบัน มีอยู่ จำนวนมากโปรแกรมที่ให้คุณจำลองโครงการดังกล่าวบนคอมพิวเตอร์ การเขียนโปรแกรมยังดำเนินการโดยคำนึงถึงกฎทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติ และสูตรทั้งหมดด้วย

เมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตจากการสอบ Unified State และการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งความต้องการเกิดขึ้นโดยรู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างพวกเขาเพื่อค้นหาด้านที่สาม หรือเมื่อรู้ด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมแล้ว จงหามุมของมัน ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณจะต้องมีค่าทฤษฎีบทโคไซน์ของรูปสามเหลี่ยม ในบทความนี้ ครูสอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พูดถึงวิธีการสร้าง พิสูจน์ และประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ในทางปฏิบัติในการแก้ปัญหา

การกำหนดทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทโคไซน์ของรูปสามเหลี่ยมสัมพันธ์กับด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมกับมุมระหว่างด้านทั้งสองกับด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมนั้น ตัวอย่างเช่น ให้เราแสดงด้วยตัวอักษร และความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีนอนอยู่ตรงข้ามมุมตามลำดับ ก, บีและ ค.

จากนั้นทฤษฎีบทโคไซน์ของสามเหลี่ยมนี้สามารถเขียนได้เป็น:

ในรูปเพื่อความสะดวกในการอภิปรายต่อไปคือมุม กับระบุด้วยมุม สามารถกำหนดเป็นคำพูดได้ดังนี้: “กำลังสองของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมกำลังสองของอีกสองด้านลบด้วยสองเท่าผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น”

เห็นได้ชัดว่าหากคุณกำลังแสดงอีกด้านของสามเหลี่ยม เช่น ด้าน ในสูตร คุณจะต้องหาโคไซน์ของมุม กนั่นคือนอนตรงข้ามด้านที่ต้องการในรูปสามเหลี่ยมและทางด้านขวาในสมการด้านข้างและจะอยู่ในตำแหน่งของพวกเขา นิพจน์สำหรับกำลังสองของด้านข้างได้มาในทำนองเดียวกัน:

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโคไซน์ของรูปสามเหลี่ยม

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโคไซน์ของรูปสามเหลี่ยมมักจะดำเนินการดังนี้ พวกเขาแบ่งสามเหลี่ยมเดิมออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปด้วยความสูง จากนั้นเล่นกับด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ได้และทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นผลให้ฉันได้รับการเปลี่ยนแปลงที่น่าเบื่อหน่ายมานาน ผลลัพธ์ที่ต้องการ- โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่ชอบแนวทางนี้ และไม่ใช่เพราะการคำนวณที่ยุ่งยากเท่านั้น แต่เพราะในกรณีนี้ เราต้องแยกพิจารณากรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้านด้วย มีความยากลำบากมากเกินไป

ฉันเสนอให้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้แนวคิดเรื่อง "ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์" ฉันยอมรับความเสี่ยงนี้เพื่อตัวเองอย่างมีสติโดยรู้ว่าเด็กนักเรียนหลายคนชอบที่จะหลีกเลี่ยงหัวข้อนี้โดยเชื่อว่ามันมืดมนและเป็นการดีกว่าที่จะไม่จัดการกับมัน แต่การไม่เต็มใจที่จะคนจรจัดแยกจากกันกับสามเหลี่ยมป้านยังคงครอบงำฉันอยู่ นอกจากนี้ ผลการพิสูจน์ยังเรียบง่ายและน่าจดจำอย่างน่าประหลาดใจ ตอนนี้คุณจะเห็นสิ่งนี้

ลองแทนที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมด้วยเวกเตอร์ต่อไปนี้:

การใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- ด้านกำลังสองเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านลบด้วยสองเท่าผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสอง:

เนื่องจาก ผลลัพธ์คือ:

วิธี, . เป็นที่ชัดเจนว่า การตัดสินใจเชิงลบเราไม่ถือเพราะความยาวของส่วนเป็นจำนวนบวก

มุมที่ต้องการแสดงอยู่ในรูป ให้เราเขียนทฤษฎีบทโคไซน์ใหม่เป็นสามเหลี่ยม เอบีซี- เนื่องจากเราคงสัญลักษณ์ทั้งหมดไว้ สูตรที่แสดงทฤษฎีบทโคไซน์ของสามเหลี่ยมนี้จะยังคงเหมือนเดิม:

ตอนนี้ให้เราแทนปริมาณทั้งหมดที่ได้รับลงในสูตรนี้ ด้วยเหตุนี้เราจึงได้นิพจน์ต่อไปนี้:

หลังจากการคำนวณและการแปลงทั้งหมดแล้ว เราจะได้นิพจน์ง่ายๆ ดังต่อไปนี้:

มุมแหลมควรมีขนาดเท่าใดเพื่อให้โคไซน์เท่ากัน เราดูที่ตารางซึ่งสามารถพบได้ และเราได้คำตอบ: .

นี่คือวิธีแก้ปัญหาเรขาคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสามเหลี่ยม หากคุณกำลังจะสอบ OGE หรือ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณจะต้องเชี่ยวชาญเนื้อหานี้อย่างแน่นอน ปัญหาที่เกี่ยวข้องเกือบจะแน่นอนในการสอบ ฝึกฝนการแก้ปัญหาด้วยตนเอง ทำงานต่อไปนี้ให้เสร็จสิ้น:

1. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีด้านข้าง เอบีเท่ากับ 4 ซม. ด้านข้าง บี.ซี.เท่ากับ 6 ซม. ทำมุม บีเท่ากับ 30° หาด้านข้าง เอ.ซี..
2. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีด้านข้าง เอบีเท่ากับ 10, ข้าง บี.ซี.เท่ากับ 8, ข้าง เอ.ซี.เท่ากับ 9 ค้นหาโคไซน์ของมุม ก.

เขียนคำตอบและวิธีแก้ปัญหาของคุณในความคิดเห็น ขอให้โชคดี!

วัสดุที่จัดทำโดย Sergey Valerievich

หากโจทย์ให้ความยาวของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างด้านเหล่านั้น คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านไซน์ได้

ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ไซน์ ด้านที่กำหนดคือ a = 3, b = 4 และมุม γ = 30° ไซน์ของมุม 30° คือ 0.5

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 3 ตารางเมตร ม. ซม.

อาจมีเงื่อนไขอื่นด้วย หากกำหนดความยาวของด้านหนึ่งและมุม ขั้นแรกคุณต้องคำนวณมุมที่หายไป เพราะ ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° ดังนั้น:

พื้นที่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านกำลังสองคูณด้วยเศษส่วน ตัวเศษคือผลคูณของไซน์ของมุมที่อยู่ติดกัน และตัวส่วนคือไซน์ของมุมตรงข้าม ตอนนี้เราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a=3 และมุม γ=60°, β=60° คำนวณมุมที่สาม:
การแทนที่ข้อมูลลงในสูตร
เราพบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 3.87 ตารางเมตร ซม.

ครั้งที่สอง พื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านโคไซน์

หากต้องการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของด้านทุกด้าน เมื่อใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ คุณจะพบด้านที่ไม่รู้จัก แล้วใช้ด้านนั้นเท่านั้น
ตามทฤษฎีบทโคไซน์ กำลังสองของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านที่เหลือ ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านี้และโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านเหล่านั้น

จากทฤษฎีบท เราได้สูตรในการหาความยาวของด้านที่ไม่ทราบค่า:

เมื่อรู้วิธีหาด้านที่ขาดไป การมีสองด้านและมีมุมระหว่างด้านทั้งสอง คุณจะสามารถคำนวณพื้นที่ได้อย่างง่ายดาย สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมผ่านโคไซน์ช่วยให้ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาต่างๆ ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย

ตัวอย่างการคำนวณสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมโดยใช้โคไซน์
เมื่อพิจารณาจากรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านที่ทราบ a = 3, b = 4 และมุม γ = 45° ก่อนอื่น เรามาค้นหาด้านที่หายไปกันก่อน กับ- โคไซน์ 45°=0.7 ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่ข้อมูลลงในสมการที่ได้มาจากทฤษฎีบทโคไซน์
ตอนนี้ใช้สูตรเราพบ

ไม่ใช่เด็กนักเรียนทุกคน โดยเฉพาะผู้ใหญ่จะรู้ว่าทฤษฎีบทโคไซน์เกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เจาะจงกว่านั้น กรณีหลังเป็นกรณีพิเศษของกรณีแรก จุดนี้ เช่นเดียวกับสองวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโคไซน์ จะช่วยให้คุณมีมากขึ้น ผู้มีความรู้- นอกจากนี้ การฝึกแสดงปริมาณจากนิพจน์เริ่มต้นยังพัฒนาได้ดีอีกด้วย การคิดเชิงตรรกะ- สูตรทฤษฎีบทอันยาวนานที่กำลังศึกษาอยู่จะบังคับให้คุณทำงานหนักและปรับปรุงอย่างแน่นอน

การเริ่มการสนทนา: การแนะนำสัญกรณ์

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการคิดค้นและพิสูจน์แล้วสำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ดังนั้น จึงสามารถใช้ได้เสมอในทุกสถานการณ์ หากมีด้านสองด้าน และในบางกรณีมีด้านสามด้าน และมุมหนึ่ง และไม่จำเป็นต้องอยู่ระหว่างด้านทั้งสอง ไม่ว่าสามเหลี่ยมประเภทใดก็ตาม ทฤษฎีบทนี้จะใช้ได้เสมอ

และตอนนี้เกี่ยวกับการกำหนดปริมาณในทุกสำนวน ตกลงทันทีดีกว่าจะได้ไม่ต้องอธิบายหลายรอบภายหลัง ตารางต่อไปนี้ได้รับการรวบรวมเพื่อจุดประสงค์นี้

การกำหนดสูตรและสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์

ดังนั้นทฤษฎีบทโคไซน์จึงมีสูตรดังนี้:

ด้านกำลังสองของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านอีกสองด้านของมัน ลบด้วย 2 เท่าของผลคูณของด้านเดียวกันนี้ และโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านเหล่านั้น

แน่นอนว่ามันยาว แต่ถ้าคุณเข้าใจแก่นแท้ของมัน มันก็จะง่ายต่อการจดจำ คุณสามารถจินตนาการถึงการวาดรูปสามเหลี่ยมได้ การจดจำด้วยสายตาจะง่ายกว่าเสมอ

สูตรของทฤษฎีบทนี้จะมีลักษณะดังนี้:

ยาวนิดหน่อย แต่ทุกอย่างมีเหตุผล หากมองให้ใกล้มากขึ้นอีกนิดจะเห็นว่าตัวอักษรซ้ำกันซึ่งหมายความว่าจำได้ไม่ยาก

การพิสูจน์ทฤษฎีบททั่วไป

เนื่องจากสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นจริง คุณจึงสามารถเลือกประเภทการให้เหตุผลประเภทใดก็ได้ ปล่อยให้มันเป็นรูปกับทุกคน มุมที่คมชัด- ลองพิจารณาสามเหลี่ยมมุมแหลมตามใจชอบซึ่งมีมุม C มากกว่ามุม B จากจุดยอดที่มีมุมใหญ่ คุณจะต้องลดตั้งฉากกับด้านตรงข้ามลง ความสูงที่วาดไว้จะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการพิสูจน์

ด้านข้างจะแบ่งเป็น 2 ส่วน คือ x, y จำเป็นต้องแสดงในรูปของปริมาณที่ทราบ ส่วนที่ลงท้ายด้วยสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ b จะแสดงผ่านสัญลักษณ์:

x = b * cos ก.

อีกอันจะเท่ากับความแตกต่างนี้:

y = c - ใน * cos A.

ตอนนี้คุณต้องเขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน โดยให้ความสูงเป็นค่าที่ไม่ทราบ สูตรเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้:

n 2 = ใน 2 - (ใน * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้มีนิพจน์เดียวกันทางด้านซ้าย ซึ่งหมายความว่าด้านขวาจะเท่ากัน มันง่ายที่จะเขียนมันลงไป ตอนนี้คุณต้องเปิดวงเล็บ:

ใน 2 - ใน 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * ใน * cos A - ใน 2 * (cos A) 2

หากคุณดำเนินการถ่ายโอนและลดพจน์ที่คล้ายกันตรงนี้ คุณจะได้สูตรเริ่มต้นซึ่งเขียนตามสูตร ซึ่งก็คือทฤษฎีบทโคไซน์ หลักฐานเสร็จสมบูรณ์

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้เวกเตอร์

มันสั้นกว่าครั้งก่อนมาก และถ้าคุณรู้คุณสมบัติของเวกเตอร์ ทฤษฎีบทโคไซน์ของสามเหลี่ยมก็จะถูกพิสูจน์ง่ายๆ

ถ้าด้าน a, b, c ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ BC, AC และ AB ตามลำดับ ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่:

พ.ศ. = เอซี - เอบี

ตอนนี้คุณต้องทำตามขั้นตอนบางอย่าง สิ่งแรกคือการยกกำลังสองทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน:

ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + AB 2 - 2 เอซี * AB

จากนั้นความเท่าเทียมกันจะต้องถูกเขียนใหม่ในรูปแบบสเกลาร์โดยคำนึงว่าผลคูณของเวกเตอร์เท่ากับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันกับค่าสเกลาร์:

BC 2 = เอซี 2 + AB 2 - 2 เอซี * AB * cos A

สิ่งที่เหลืออยู่คือการกลับไปสู่สัญกรณ์แบบเก่า และอีกครั้งเราจะได้ทฤษฎีบทโคไซน์:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

สูตรด้านอื่นและทุกมุม

หากต้องการหาด้าน คุณต้องหารากที่สองของทฤษฎีบทโคไซน์ สูตรกำลังสองของอีกด้านหนึ่งจะมีลักษณะดังนี้:

ค 2 = ก 2 + ข 2 - 2 * a * b * cos C

เพื่อเขียนนิพจน์สำหรับกำลังสองของด้าน วีคุณต้องแทนที่ในความเท่าเทียมกันก่อนหน้า กับบน วีและในทางกลับกัน แล้วใส่มุม B ไว้ใต้โคไซน์

จากสูตรพื้นฐานของทฤษฎีบท เราสามารถแสดงค่าโคไซน์ของมุม A ได้:

cos A = (ใน 2 + c 2 - a 2) / (2 ใน * c)

สูตรสำหรับมุมอื่นๆ จะได้มาในทำนองเดียวกัน ถือเป็นแนวปฏิบัติที่ดีในการลองเขียนด้วยตนเอง

โดยธรรมชาติแล้วไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะเข้าใจทฤษฎีบทและความสามารถในการรับนิพจน์เหล่านี้จากสัญกรณ์หลัก

สูตรดั้งเดิมของทฤษฎีบททำให้สามารถค้นหาด้านได้หากมุมไม่ได้อยู่ระหว่างสองมุมที่รู้จัก ตัวอย่างเช่นคุณต้องค้นหา วีเมื่อให้ค่าแล้ว: ก, ค, ก- หรือไม่ทราบ กับแต่มีความหมาย ก, ข, ก.

ในสถานการณ์นี้ คุณต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดของสูตรไปที่ ด้านซ้าย- คุณได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ค 2 - 2 * c * c * cos A + b 2 - a 2 = 0

มาเขียนใหม่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:

ค 2 - (2 * ใน * cos A) * c + (ใน 2 - a 2) = 0

สามารถมองเห็นได้ง่าย สมการกำลังสอง- มีปริมาณที่ไม่ทราบอยู่ในนั้น - กับและที่เหลือทั้งหมดก็มอบให้ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแก้ไขโดยใช้การแบ่งแยก ด้วยวิธีนี้จะพบด้านที่ไม่รู้จัก

สูตรสำหรับด้านที่สองได้มาในทำนองเดียวกัน:

ใน 2 - (2 * c * cos A) * ใน + (c 2 - a 2) = 0

จากนิพจน์อื่น สูตรดังกล่าวยังหาได้ง่ายโดยอิสระเช่นกัน

คุณจะหาประเภทของมุมโดยไม่ต้องคำนวณโคไซน์ได้อย่างไร?

หากคุณดูสูตรโคไซน์ของมุมอย่างใกล้ชิด คุณจะสังเกตเห็นสิ่งต่อไปนี้:

• ตัวส่วนของเศษส่วนจะเป็นจำนวนบวกเสมอ เพราะมันมีผลคูณของด้านที่ไม่สามารถเป็นลบได้
• ค่าของมุมจะขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเศษ

มุม A จะเป็น:

• เฉียบพลันในสถานการณ์ที่ตัวเศษมากกว่าศูนย์
• โง่ถ้าสำนวนนี้เป็นเชิงลบ
• โดยตรงเมื่อมันเท่ากับศูนย์

อย่างไรก็ตาม สถานการณ์หลังเปลี่ยนทฤษฎีบทโคไซน์เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพราะสำหรับมุม 90 องศา โคไซน์ของมันคือศูนย์ และเทอมสุดท้ายจะหายไป

งานแรก

เงื่อนไข

มุมป้านของสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามคือ 120° เป็นที่รู้กันว่าด้านหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกด้านหนึ่ง 8 ซม. ความยาวของด้านที่สามคือ 28 ซม. จำเป็นต้องค้นหาเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องทำเครื่องหมายด้านใดด้านหนึ่งด้วยตัวอักษร "x" ในกรณีนี้ อีกอันจะเท่ากับ (x + 8) เนื่องจากมีนิพจน์สำหรับทั้งสามด้าน เราจึงใช้สูตรที่มาจากทฤษฎีบทโคไซน์ได้:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120°

ในตารางค่าโคไซน์ คุณต้องค้นหาค่าที่สอดคล้องกับ 120 องศา นี่จะเป็นเลข 0.5 ที่มีเครื่องหมายลบ ตอนนี้คุณต้องเปิดวงเล็บตามกฎทั้งหมดและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0

สมการกำลังสองนี้แก้ได้โดยการค้นหาตัวจำแนกซึ่งจะเท่ากับ:

ง = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216

เนื่องจากค่าของมันมากกว่าศูนย์ สมการจึงมีคำตอบรากสองคำตอบ

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20

รากสุดท้ายไม่สามารถเป็นคำตอบของปัญหาได้ เนื่องจากด้านต้องเป็นค่าบวก

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด