ทฤษฎีบทสำหรับการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล: วิธีการพื้นฐาน

การตัดสินใจส่วนใหญ่ ปัญหาทางคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับการแปลงนิพจน์เชิงตัวเลข พีชคณิต หรือเชิงฟังก์ชันในทางใดทางหนึ่ง ข้อความข้างต้นมีผลใช้กับการตัดสินใจโดยเฉพาะ ในเวอร์ชันของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาประเภทนี้จะรวมถึงงาน C3 โดยเฉพาะ การเรียนรู้ที่จะแก้งาน C3 นั้นมีความสำคัญไม่เพียง แต่เพื่อจุดประสงค์ในการผ่านการสอบ Unified State เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเหตุผลที่ทักษะนี้จะมีประโยชน์เมื่อเรียนหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมด้วย

เมื่อเสร็จสิ้นภารกิจ C3 คุณต้องตัดสินใจ ประเภทต่างๆสมการและอสมการ ในหมู่พวกเขามีโมดูลที่มีเหตุผล, ไม่ลงตัว, เอ็กซ์โปเนนเชียล, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, ที่มี ( ค่าสัมบูรณ์) เช่นเดียวกับที่รวมกัน บทความนี้จะกล่าวถึงสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการประเภทหลักๆ ตลอดจนวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการเหล่านี้ อ่านเกี่ยวกับการแก้สมการและอสมการประเภทอื่น ๆ ในส่วน "" ในบทความเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา C3 จาก ตัวเลือกการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์

ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์เจาะจง สมการเลขชี้กำลังและอสมการในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ ฉันขอแนะนำให้คุณทบทวนเนื้อหาทางทฤษฎีที่เราจำเป็นต้องใช้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?

หน้าที่ของแบบฟอร์ม ย = เอ็กซ์, ที่ไหน ก> 0 และ ก≠ 1 ถูกเรียก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = เอ็กซ์:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ เลขชี้กำลัง:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง)

การแก้สมการเลขชี้กำลัง

บ่งชี้เรียกว่าสมการซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักจะพบได้เฉพาะในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

เพื่อแก้ปัญหา สมการเลขชี้กำลังคุณต้องรู้และสามารถใช้ทฤษฎีบทง่ายๆ ต่อไปนี้ได้:

ทฤษฎีบท 1สมการเลขชี้กำลัง ก ฉ(x) = ก ก(x) (ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1) เทียบเท่ากับสมการ ฉ(x) = ก(x).

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจดจำสูตรพื้นฐานและการดำเนินการด้วยองศา:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ:

สารละลาย:เราใช้สูตรและการทดแทนข้างต้น:

สมการจะกลายเป็น:

การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองที่ได้จะเป็นค่าบวก:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีสองราก เราพบพวกเขา:

ไปสู่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด มาแก้อันที่สองกัน:

เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทที่ 1 เราจะไปยังสมการที่เทียบเท่ากัน: x= 3 นี่จะเป็นคำตอบของงาน

คำตอบ: x = 3.

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:

สารละลาย:ข้อจำกัดในพื้นที่ ค่าที่ยอมรับได้สมการไม่ได้เป็นเช่นนั้น เนื่องจากนิพจน์รากสมเหตุสมผลกับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = 9 4 -xบวกและไม่เท่ากับศูนย์)

เราแก้สมการด้วยการแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการคูณและการหารยกกำลัง:

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดดำเนินการตามทฤษฎีบทที่ 1

คำตอบ:x= 6.

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:

สารละลาย:ทั้งสองด้านของสมการดั้งเดิมสามารถหารด้วย 0.2 x- การเปลี่ยนแปลงนี้จะเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในโดเมนของคำจำกัดความ) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

สารละลาย:เราลดความซับซ้อนของสมการให้เป็นสมการเบื้องต้นโดยใช้การแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการหารและการคูณกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นของบทความ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 xดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ x.

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ:

สารละลาย:การทำงาน ย = 3xยืนอยู่ทางด้านซ้ายของสมการกำลังเพิ่มขึ้น การทำงาน ย = —x-2/3 ทางด้านขวาของสมการกำลังลดลง ซึ่งหมายความว่าหากกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน จะมีจุดมากที่สุดเพียงจุดเดียว ใน ในกรณีนี้เดาได้ไม่ยากว่ากราฟตัดกันที่จุดนั้น x= -1. จะไม่มีรากอื่น

คำตอบ: x = -1.

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ:

สารละลาย:เราทำให้สมการง่ายขึ้นด้วยการแปลงที่เท่ากัน โดยคำนึงถึงทุกที่ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ อย่างเคร่งครัด xและใช้กฎในการคำนวณผลคูณและผลหารของกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นบทความ:

คำตอบ: x = 2.

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

บ่งชี้เรียกว่าอสมการซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

เพื่อแก้ปัญหา อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2ถ้า ก> 1 แล้วความไม่เท่าเทียมกัน ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายเดียวกัน: ฉ(x) > ก(x- ถ้า 0< ก < 1, то показательное неравенство ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายตรงกันข้าม: ฉ(x) < ก(x).

ตัวอย่างที่ 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:ขอนำเสนอความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมในรูปแบบ:

ลองหารทั้งสองข้างของอสมการนี้ด้วย 3 2 กัน xในกรณีนี้ (เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชัน ย= 3 2x) เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ลองใช้การทดแทน:

จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะเกิดขึ้น:

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือช่วง:

เมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

ความไม่เท่าเทียมกันด้านซ้ายจะเป็นไปตามค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยอัตโนมัติ การเอาเปรียบ ทรัพย์สินที่รู้จักลอการิทึม เราจะดำเนินการกับอสมการที่เท่ากัน:

เนื่องจากฐานของระดับเป็นตัวเลขที่มากกว่า 1 เทียบเท่า (ตามทฤษฎีบท 2) จึงเป็นการเปลี่ยนไปสู่อสมการต่อไปนี้:

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:โดยใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลัง เราเขียนอสมการใหม่ในรูปแบบ:

ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

เมื่อคำนึงถึงการทดแทนนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:

เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 7 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:

ดังนั้นค่าของตัวแปรต่อไปนี้จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ที:

จากนั้นเมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

เนื่องจากฐานของระดับนี้มากกว่า 1 การเปลี่ยนไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันจึงจะเท่ากัน (ตามทฤษฎีบท 2):

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

เราแบ่งอสมการทั้งสองด้านด้วยนิพจน์:

ค่านี้จะมากกว่าศูนย์เสมอ (เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ เราได้รับ:

t อยู่ในช่วง:

เมื่อพิจารณาถึงการทดแทนแบบย้อนกลับ เราพบว่าอสมการเดิมแบ่งออกเป็นสองกรณี:

อสมการประการแรกไม่มีทางแก้ได้เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มาแก้อันที่สองกัน:

ตัวอย่างที่ 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

สาขาพาราโบลา ย = 2x+2-x 2 ชี้ลง ดังนั้นจึงถูกจำกัดจากด้านบนด้วยค่าที่มาถึงที่จุดยอด:

สาขาพาราโบลา ย = x 2 -2x+2 ในตัวบ่งชี้ชี้ขึ้นด้านบน ซึ่งหมายความว่ามันถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าที่มันมาถึงที่จุดยอด:

ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็ปรากฏว่ามีขอบเขตจากด้านล่างด้วย ย = 3 x 2 -2x+2 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการ เธอบรรลุเป้าหมายของเธอ ค่าต่ำสุดที่จุดเดียวกับพาราโบลาในเลขชี้กำลัง และค่านี้เท่ากับ 3 1 = 3 ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทางด้านซ้ายและฟังก์ชันทางขวาใช้ค่าเท่ากับ 3 ที่จุดเดียวกัน (โดยทางแยก ช่วงค่าของฟังก์ชันเหล่านี้มีเพียงตัวเลขนี้เท่านั้น) เงื่อนไขนี้จบที่จุดเดียว x = 1.

คำตอบ: x= 1.

เพื่อเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังและอสมการจำเป็นต้องฝึกฝนการแก้ปัญหาเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง สิ่งต่างๆ มากมายสามารถช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ได้ คู่มือระเบียบวิธี, หนังสือปัญหาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา , ชุดปัญหาการแข่งขัน , ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน รวมถึงบทเรียนตัวต่อตัวกับครูสอนพิเศษมืออาชีพ ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวและผลการสอบที่ยอดเยี่ยม

เซอร์เกย์ วาเลรีวิช

ป.ล. เรียนแขกทุกท่าน! กรุณาอย่าเขียนคำขอเพื่อแก้สมการของคุณในความคิดเห็น น่าเสียดายที่ฉันไม่มีเวลาสำหรับเรื่องนี้เลย ข้อความดังกล่าวจะถูกลบ โปรดอ่านบทความ บางทีคุณอาจพบคำตอบสำหรับคำถามที่ไม่อนุญาตให้คุณแก้ไขงานด้วยตัวเองในนั้น

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเบลโกรอด

แผนก พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน และเรขาคณิต

หัวข้อ: สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

วิทยานิพนธ์นักศึกษาคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:

______________________________

ผู้ตรวจสอบ: _______________________

________________________

เบลโกรอด 2549

การแนะนำ			3
เรื่อง ฉัน.	การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อวิจัย
เรื่อง ครั้งที่สอง	ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
	I.1.	ฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมัน
	I.2.	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน
เรื่อง III.	การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง
เรื่อง IV.	การแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง
เรื่อง วี.	ประสบการณ์ในการเรียนร่วมกับเด็กนักเรียนในหัวข้อ “การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ”
วี. 1.	วัสดุการศึกษา
วี. 2.	ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
บทสรุป.	ข้อสรุปและข้อเสนอแนะ
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว
การใช้งาน

การแนะนำ.

“...ความสุขที่ได้เห็นและเข้าใจ...”

ก. ไอน์สไตน์.

ในงานนี้ ฉันพยายามถ่ายทอดประสบการณ์ของฉันในฐานะครูคณิตศาสตร์ เพื่อถ่ายทอดทัศนคติของฉันต่อการสอนอย่างน้อยในระดับหนึ่ง ซึ่งเป็นความพยายามของมนุษย์ที่วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ การสอน การสอน จิตวิทยา และแม้แต่ปรัชญามีความเกี่ยวพันกันอย่างน่าประหลาดใจ

ฉันมีโอกาสทำงานกับเด็กๆ และผู้สำเร็จการศึกษา โดยมีเด็กๆ ที่มีพัฒนาการทางสติปัญญา ได้แก่ ผู้ที่ลงทะเบียนกับจิตแพทย์และผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์จริงๆ

ฉันมีโอกาสแก้ไขปัญหาด้านระเบียบวิธีมากมาย ฉันจะพยายามพูดถึงสิ่งที่ฉันจัดการเพื่อแก้ไข แต่ยิ่งล้มเหลวมากขึ้นไปอีก และแม้แต่ในสิ่งที่ดูเหมือนจะได้รับการแก้ไขแล้ว ก็มีคำถามใหม่เกิดขึ้น

แต่สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่าประสบการณ์นั้นคือการสะท้อนและความสงสัยของครู: ทำไมประสบการณ์นี้ถึงเป็นเช่นนี้?

และตอนนี้ฤดูร้อนก็แตกต่างออกไป และการพัฒนาด้านการศึกษาก็น่าสนใจยิ่งขึ้น “ใต้ดาวพฤหัสบดี” ในปัจจุบันไม่ใช่การค้นหาระบบการสอน “ทุกคนและทุกสิ่ง” ที่เป็นตำนาน แต่เป็นการค้นหาตัวเด็กเอง แต่แล้ว - จำเป็น - ครู

ใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 - 11 ด ผ่านการสอบ Unified Stateในระหว่างหลักสูตรมัธยมปลายและในการสอบเข้ามหาวิทยาลัย จะพบสมการและอสมการที่ไม่ทราบค่าในฐานและเลขชี้กำลัง ซึ่งเป็นสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

พวกเขาได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อยที่โรงเรียน แทบไม่มีการมอบหมายงานในหัวข้อนี้ในหนังสือเรียน อย่างไรก็ตามการฝึกฝนเทคนิคการแก้ปัญหาเหล่านั้นดูเหมือนว่ามีประโยชน์มากสำหรับฉัน: มันช่วยเพิ่มจิตใจและ ความคิดสร้างสรรค์นักเรียน ขอบเขตอันใหม่กำลังเปิดกว้างต่อหน้าเรา เมื่อแก้ไขปัญหา นักเรียนจะได้รับทักษะแรก งานวิจัยวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาได้รับการเสริมสมรรถนะ ความสามารถของพวกเขาในการ การคิดเชิงตรรกะ- เด็กนักเรียนพัฒนาคุณสมบัติด้านบุคลิกภาพ เช่น ความมุ่งมั่น การตั้งเป้าหมาย และความเป็นอิสระ ซึ่งจะเป็นประโยชน์ต่อพวกเขาในชีวิตบั้นปลาย และยังมีการทำซ้ำ การขยาย และการซึมซับสื่อการศึกษาอย่างลึกซึ้งอีกด้วย

ฉันเริ่มทำงานในหัวข้อนี้เพื่อการวิจัยวิทยานิพนธ์โดยการเขียนรายวิชา ในหลักสูตรที่ฉันศึกษาและวิเคราะห์วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้อย่างลึกซึ้งฉันได้ระบุสิ่งที่สำคัญที่สุด วิธีการที่เหมาะสมการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

มันอยู่ในความจริงที่ว่านอกเหนือจากวิธีการที่ยอมรับกันโดยทั่วไปเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง (ฐานมีค่ามากกว่า 0) และเมื่อแก้อสมการเดียวกัน (ฐานมีค่ามากกว่า 1 หรือมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1) จะพิจารณากรณีต่างๆ ด้วยเมื่อฐานเป็นลบ เท่ากับ 0 และ 1

การวิเคราะห์เอกสารสอบข้อเขียนของนักเรียนแสดงให้เห็นว่าการขาดความครอบคลุมของคำถามเกี่ยวกับค่าลบของการโต้แย้งของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในตำราเรียนของโรงเรียนทำให้เกิดปัญหาหลายประการและนำไปสู่ข้อผิดพลาด และพวกเขายังมีปัญหาในขั้นตอนของการจัดระบบผลลัพธ์ที่ได้รับซึ่งเนื่องจากการเปลี่ยนไปใช้สมการ - ผลที่ตามมาหรือความไม่เท่าเทียมกัน - ผลที่ตามมาอาจทำให้รากที่ไม่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้น เพื่อกำจัดข้อผิดพลาด เราใช้การทดสอบโดยใช้สมการหรืออสมการดั้งเดิมและอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล หรือแผนการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เพื่อให้นักศึกษาสามารถสำเร็จการศึกษาและสำเร็จการศึกษาได้สำเร็จ การสอบเข้าฉันเชื่อว่าจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการในชั้นเรียนให้มากขึ้น หรือในวิชาเลือกและชมรมด้วย

ดังนั้น หัวข้อ , ของฉัน วิทยานิพนธ์มีคำจำกัดความดังนี้: “สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ”

เป้าหมาย ของงานนี้คือ:

1. วิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อนี้

2. ให้ การวิเคราะห์เต็มรูปแบบการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

3. จัดเตรียมตัวอย่างประเภทต่างๆ ในหัวข้อนี้ในจำนวนที่เพียงพอ

4. ตรวจสอบในชั้นเรียน วิชาเลือก และชั้นเรียนชมรมว่าวิธีการที่นำเสนอในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการจะรับรู้ได้อย่างไร ให้คำแนะนำที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาหัวข้อนี้

เรื่อง การวิจัยของเราคือการพัฒนาระเบียบวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

วัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษาจำเป็นต้องแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

1. ศึกษาวรรณกรรมในหัวข้อ “สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ”

2. ฝึกฝนเทคนิคการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

3. เลือกสื่อการฝึกอบรมและพัฒนาระบบการออกกำลังกาย ระดับที่แตกต่างกันในหัวข้อ “การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ”

ในระหว่างการวิจัยวิทยานิพนธ์ มีการวิเคราะห์ผลงานมากกว่า 20 เรื่องเกี่ยวกับการใช้ วิธีการต่างๆการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ จากที่นี่เราได้รับ

แผนวิทยานิพนธ์:

การแนะนำ.

บทที่ 1 การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อวิจัย

บทที่สอง ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

II.1. ฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมัน

II.2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน

บทที่ 3 การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง

บทที่สี่ การแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง

บทที่ 5 ประสบการณ์การจัดชั้นเรียนกับเด็กนักเรียนในหัวข้อนี้

1.สื่อการฝึกอบรม

2.งานสำหรับการแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ

บทสรุป. ข้อสรุปและข้อเสนอแนะ

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

บทที่ฉันวิเคราะห์วรรณกรรม

ในบทนี้ เราจะดูอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลต่างๆ และเรียนรู้วิธีแก้ โดยอาศัยเทคนิคในการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด

1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ให้เรานึกถึงคำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเหล่านี้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และที่ x คือตัวแปรอิสระ อาร์กิวเมนต์ y คือตัวแปรตาม, ฟังก์ชัน

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟแสดงเลขยกกำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง ซึ่งแสดงฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่งแต่มากกว่าศูนย์ ตามลำดับ

เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

ขอบเขต: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชั่นเป็นแบบโมโนโทนิก เพิ่มขึ้นด้วย ลดลงด้วย

ฟังก์ชันโมโนโทนิกรับค่าแต่ละค่าโดยให้ค่าอาร์กิวเมนต์เดียว

เมื่อ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์รวมเป็นบวกอนันต์นั่นคือสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ () ในทางตรงกันข้ามเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์ฟังก์ชันจะลดลงจากอนันต์เป็นศูนย์รวมนั่นคือสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ()

2. ตัวอย่างอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด วิธีแก้

จากข้อมูลข้างต้น เรานำเสนอวิธีการแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย:

เทคนิคการแก้ไขอสมการ:

ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน

เปรียบเทียบตัวบ่งชี้โดยคงหรือเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการให้เป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแก้ปัญหาอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อนมักจะประกอบด้วยการลดอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด

ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

มาแปลงร่างกันเถอะ ด้านขวาตามคุณสมบัติของปริญญา:

ฐานของระดับนั้นน้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะต้องกลับด้าน:

เพื่อแก้ปัญหา อสมการกำลังสองเราจะตัดสินใจตามความเหมาะสม สมการกำลังสอง:

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราจะหาราก:

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าด้านขวาสามารถแสดงเป็นยกกำลังโดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์:

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

ให้เรานึกถึงเทคนิคการแก้ไขความไม่เท่าเทียมดังกล่าว

พิจารณาฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ:

เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ:

ค้นหารากของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นมีรูตเดียว

เราเลือกช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่และกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา:

ข้าว. 2. ช่วงเวลาความสม่ำเสมอของสัญญาณ

ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบ

คำตอบ:

3. การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมาตรฐาน

ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมด้วยตัวชี้วัดเดียวกันแต่ใช้ฐานต่างกัน

คุณสมบัติอย่างหนึ่งของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลคือค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์จะต้องเคร่งครัด ค่าบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแบ่งออกเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้ ให้เราแบ่งอสมการที่กำหนดทางด้านขวา:

ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะยังคงอยู่

เรามาอธิบายวิธีแก้ปัญหากัน:

รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันและ แน่นอนว่า เมื่ออาร์กิวเมนต์มากกว่าศูนย์ กราฟของฟังก์ชันจะสูงขึ้น ฟังก์ชันนี้จะมีขนาดใหญ่ขึ้น เมื่อค่าอาร์กิวเมนต์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง และมีขนาดเล็กลง เมื่ออาร์กิวเมนต์เท่ากัน ฟังก์ชันจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า จุดที่กำหนดยังเป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการที่กำหนดด้วย

ข้าว. 3. ภาพประกอบตัวอย่างที่ 4

ให้เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดตามคุณสมบัติของระดับ:

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

ลองแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น:

ตอนนี้เรายังคงแก้ต่อไปในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 4 โดยหารทั้งสองส่วนด้วย:

ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง แต่สัญญาณอสมการยังคงอยู่:

4. วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างที่ 6 - แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก:

มาดูฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาและสร้างกราฟสำหรับฟังก์ชันแต่ละรายการกัน

ฟังก์ชันนี้เป็นเลขชี้กำลังและเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ เช่น สำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชั่นนี้เป็นเส้นตรงและลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดนั่นคือสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

หากฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน นั่นคือระบบมีคำตอบ คำตอบดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันและสามารถเดาได้ง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะวนซ้ำจำนวนเต็ม ()

จะเห็นได้ง่ายว่ารากของระบบนี้คือ:

ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีอาร์กิวเมนต์เท่ากับหนึ่ง

ตอนนี้เราต้องได้รับคำตอบ ความหมายของอสมการที่กำหนดคือเลขชี้กำลังต้องมากกว่าหรือเท่ากับ ฟังก์ชันเชิงเส้นกล่าวคือสูงขึ้นหรือตรงกัน. คำตอบนั้นชัดเจน: (รูปที่ 6.4)

ข้าว. 4. ภาพประกอบตัวอย่างที่ 6

ดังนั้นเราจึงดูที่การแก้ไขอสมการเลขชี้กำลังมาตรฐานต่างๆ ต่อไปเราจะพิจารณาอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อนมากขึ้น

อ้างอิง

Mordkovich A. G. Algebra และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: นีโมซิน. Muravin G.K., Muravin O.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: อีแร้ง. Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. et al. และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การตรัสรู้.

คณิตศาสตร์. แพทยศาสตร์ คณิตศาสตร์-การทำซ้ำ ดอทคอม ความแตกต่าง เคมซู รุ

การบ้าน

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, หมายเลข 472, 473;

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

3. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

และ x = b เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด ในนั้น กมากกว่าศูนย์และ กไม่เท่ากับหนึ่ง

การแก้สมการเลขชี้กำลัง

จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรารู้ว่าช่วงของค่านั้นจำกัดอยู่ที่จำนวนจริงบวกเท่านั้น แล้วถ้า b = 0 สมการก็ไม่มีคำตอบ สถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในสมการโดยที่ b

ทีนี้ลองสมมุติว่า b>0 ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังฐาน กมากกว่าความสามัคคี จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน กสมบูรณ์ เงื่อนไขต่อไป 0

จากข้อมูลนี้และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทราก เราจะพบว่าสมการ a x = b มีรากเพียงตัวเดียว สำหรับ b>0 และค่าบวก กไม่เท่ากับหนึ่ง หากต้องการค้นหา คุณต้องแทน b ในรูปแบบ b = a c
แล้วมันก็ชัดเจนว่า กับจะเป็นคำตอบของสมการ a x = a c

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: แก้สมการ 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25

ลองนึกภาพ 25 เป็น 5 2 เราจะได้:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

หรือสิ่งที่เทียบเท่า:

x 2 - 2*x - 1 = 2

เราแก้สมการกำลังสองที่ได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ทราบ เราได้สองราก x = 3 และ x = -1

คำตอบ: 3;-1.

มาแก้สมการ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 แทนกัน: t=2 x แล้วได้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

เสื้อ 2 - 5*t + 4 = 0
เราแก้สมการนี้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ทราบ เราได้ราก t1 = 1 t2 = 4

ตอนนี้เราแก้สมการ 2 x = 1 และ 2 x = 4

คำตอบ: 0;2.

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

คำตอบของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุดยังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลดอีกด้วย ถ้าในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน กตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0จากนั้นฟังก์ชันนี้จะลดลงในจำนวนจริงทั้งชุด

ลองพิจารณาตัวอย่าง: แก้อสมการ (0.5) (7 - 3*x)< 4.

โปรดทราบว่า 4 = (0.5) 2 จากนั้นอสมการจะอยู่ในรูปแบบ (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

เราได้: 7 - 3*x>-2

ดังนั้น: x<3.

คำตอบ: x<3.

หากฐานในความไม่เท่าเทียมกันมีมากกว่าหนึ่ง เมื่อจะกำจัดฐานแล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกัน

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "สมการเลขชี้กำลังและอสมการเลขชี้กำลัง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

นิยามของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

พวกเราศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรียนรู้คุณสมบัติของมัน และสร้างกราฟ วิเคราะห์ตัวอย่างสมการที่พบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง วันนี้เราจะศึกษาสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คำนิยาม. สมการในรูปแบบ: $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง

เมื่อนึกถึงทฤษฎีบทที่เราศึกษาในหัวข้อ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" เราสามารถแนะนำทฤษฎีบทใหม่ได้:
ทฤษฎีบท. สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เทียบเท่ากับสมการ $f(x)=g(x) $.

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง.
แก้สมการ:
ก) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ค) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$
สารละลาย.
ก) เรารู้ดีว่า $27=3^3$
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $3^(3x-3)=3^3$
เมื่อใช้ทฤษฎีบทข้างต้น เราพบว่าสมการของเราลดลงเหลือสมการ $3x-3=3$ เมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ $x=2$
คำตอบ: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
จากนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่ได้: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

C) สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ: $x^2-6x=-3x+18$
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ และ $x_2=-3$.
คำตอบ: $x_1=6$ และ $x_2=-3$

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$
สารละลาย:
ลองทำชุดการกระทำตามลำดับและนำสมการทั้งสองข้างมาอยู่บนฐานเดียวกัน
มาดำเนินการหลายอย่างทางด้านซ้าย:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$
มาดูทางด้านขวากันดีกว่า:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$
สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $9^x+3^(x+2)-36=0$
สารละลาย:
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกัน โดยให้ $a=3^x$
ในตัวแปรใหม่ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: $a^2+9a-36=0$
$(ก+12)(ก-3)=0$.
$a_1=-12$ และ $a_2=3$.
เรามาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบย้อนกลับกัน: $3^x=-12$ และ $3^x=3$
ในบทเรียนที่แล้วเราได้เรียนรู้ว่านิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถรับค่าบวกได้เท่านั้น จำกราฟไว้ด้วย ซึ่งหมายความว่าสมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบเดียว: $x=1$
คำตอบ: $x=1$.

เรามาเตือนความจำถึงวิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. วิธีกราฟิกเราแสดงทั้งสองด้านของสมการในรูปแบบของฟังก์ชันและสร้างกราฟ ค้นหาจุดตัดกันของกราฟ (เราใช้วิธีนี้ในบทเรียนที่แล้ว)
2. หลักการความเท่าเทียมกันของตัวชี้วัดหลักการนี้ตั้งอยู่บนความจริงที่ว่าสองนิพจน์ที่มีฐานเดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองศา (เลขยกกำลัง) ของฐานเหล่านี้เท่ากันเท่านั้น $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. วิธีการแทนที่ตัวแปรควรใช้วิธีนี้หากสมการเมื่อแทนที่ตัวแปร ทำให้รูปแบบง่ายขึ้นและแก้ได้ง่ายกว่ามาก

ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการ: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12 \end (กรณี)$.
สารละลาย.
ลองพิจารณาทั้งสองสมการของระบบแยกกัน:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3ป)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
พิจารณาสมการที่สอง:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
ลองใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ให้ $y=2^(x+y)$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ และ $y_2=-3$.
มาดูตัวแปรเริ่มต้นกันดีกว่า จากสมการแรกเราจะได้ $x+y=2$ สมการที่สองไม่มีคำตอบ จากนั้นระบบสมการเริ่มต้นของเราก็เทียบเท่ากับระบบ: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
ลบอันที่สองจากสมการแรก เราจะได้: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
$\begin (กรณี) y=-1, \\ x=3 \end (กรณี)$.
คำตอบ: $(3;-1)$.

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันกันดีกว่า เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันจำเป็นต้องคำนึงถึงพื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญา มีสองสถานการณ์ที่เป็นไปได้สำหรับการพัฒนาเหตุการณ์เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท. ถ้า $a>1$ ดังนั้นอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))>a^(g(x))$ จะเท่ากับอสมการ $f(x)>g(x)$
ถ้า $0 a^(g(x))$ เทียบเท่ากับอสมการ $f(x)

ตัวอย่าง.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) $3^(2x+3)>81$
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
สารละลาย.
ก) $3^(2x+3)>81$
$3^(2x+3)>3^4$.
ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$2x+3>4$.
$2x>1$
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ในสมการของเรา ฐานคือเมื่อดีกรี มีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้น เมื่อแทนที่อสมการด้วยค่าที่เท่ากันแล้วจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
ลองใช้วิธีแก้ช่วง:
คำตอบ: $(-∞;-5]U)