มุมที่ศูนย์กลางเท่ากับส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่ วงกลมและมุมที่ถูกจารึกไว้ คู่มือภาพ (2019)

วันนี้เราจะมาดูปัญหาประเภทอื่น 6 - คราวนี้เป็นวงกลม นักเรียนหลายคนไม่ชอบพวกเขาและพบว่ามันยาก และไร้ผลโดยสิ้นเชิงเนื่องจากปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว ระดับประถมศึกษา, ถ้าคุณรู้ทฤษฎีบทบางข้อ หรือพวกเขาไม่กล้าเลยถ้าคุณไม่รู้จักพวกเขา

ก่อนที่จะพูดถึงคุณสมบัติหลักฉันขอเตือนคุณถึงคำจำกัดความ:

มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลม และมีด้านที่ตัดเส้นบนวงกลมนี้ออก

มุมที่ศูนย์กลางคือมุมใดๆ ที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม ด้านข้างของวงกลมตัดกันและสลักคอร์ดไว้

ดังนั้นแนวคิดของการจารึกไว้และ มุมกลางมีความเชื่อมโยงกับวงกลมและคอร์ดภายในวงกลมอย่างแยกไม่ออก และตอนนี้ข้อความหลัก:

ทฤษฎีบท. มุมที่ศูนย์กลางจะเป็นสองเท่าของมุมที่เขียนไว้เสมอ โดยยึดตามส่วนโค้งเดียวกัน

แม้จะมีความเรียบง่ายของข้อความ แต่ก็มีปัญหาทั้งระดับ 6 ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้มัน - และไม่มีอะไรอื่นอีก

งาน. ค้นหามุมแหลมที่ถูกจารึกไว้โดยคอร์ด เท่ากับรัศมีวงกลม

ให้ AB เป็นคอร์ดที่กำลังพิจารณา O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม โครงสร้างเพิ่มเติม: OA และ OB คือรัศมีของวงกลม เราได้รับ:

พิจารณาสามเหลี่ยม ABO ในนั้น AB = OA = OB - ทุกด้านเท่ากับรัศมีของวงกลม ดังนั้น สามเหลี่ยม ABO มีด้านเท่ากันหมด และทุกมุมในนั้นคือ 60°

ให้ M เป็นจุดยอดของมุมที่ถูกจารึกไว้ เนื่องจากมุม O และ M วางตัวบนส่วนโค้ง AB เดียวกัน มุม M ที่จารึกไว้จึงเล็กกว่ามุมที่ศูนย์กลาง O 2 เท่า เรามี:

ม = โอ: 2 = 60: 2 = 30

งาน. มุมที่จุดศูนย์กลางมีค่ามากกว่ามุมที่จารึกไว้ 36° ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งเดียวกันของวงกลม ค้นหามุมที่จารึกไว้

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

1. AB คือคอร์ดของวงกลม
2. จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นมุม AOB จึงเป็นมุมที่ศูนย์กลาง
3. จุด C คือจุดยอดของมุม ACB ที่ถูกจารึกไว้

เนื่องจากเรากำลังมองหามุม ACB ที่ถูกเขียนไว้ ลองแสดงว่า ACB = x กัน จากนั้นมุมที่ศูนย์กลาง AOB คือ x + 36 ในทางกลับกัน มุมที่ศูนย์กลางคือ 2 คูณมุมที่เขียนไว้ เรามี:

AOB = 2 · เอซีบี ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

เราจึงพบมุม AOB ที่ถูกจารึกไว้ - เท่ากับ 36°

วงกลมคือมุม 360°

เมื่ออ่านคำบรรยายแล้ว ผู้อ่านที่มีความรู้คงจะพูดว่า "ฮึ!" อันที่จริงการเปรียบเทียบวงกลมกับมุมนั้นไม่ถูกต้องทั้งหมด เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งที่เรากำลังพูดถึง ให้ดูที่วงกลมตรีโกณมิติแบบคลาสสิก:

ภาพนี้มีไว้เพื่ออะไร? นอกจากนี้การหมุนเต็มยังเป็นมุม 360 องศา และถ้าคุณหารมันด้วย สมมุติว่า 20 ส่วนที่เท่ากันแล้วขนาดของแต่ละอันจะเป็น 360: 20 = 18 องศา นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา B8

จุด A, B และ C นอนอยู่บนวงกลมแล้วแบ่งออกเป็นสามส่วนโค้ง โดยการวัดระดับจะอยู่ในอัตราส่วน 1: 3: 5 ค้นหามุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยม ABC

ขั้นแรก เรามาค้นหาระดับของส่วนโค้งแต่ละส่วนกันก่อน ให้อันที่เล็กกว่าเป็น x ในรูปส่วนโค้งนี้เรียกว่า AB จากนั้นส่วนโค้งที่เหลือ - BC และ AC - สามารถแสดงในรูปของ AB: ส่วนโค้ง BC = 3x; เอซี = 5x โดยรวมแล้วส่วนโค้งเหล่านี้ให้ 360 องศา:

เอบี + บีซี + เอซี = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

ตอนนี้ให้พิจารณาส่วนโค้ง AC ขนาดใหญ่ที่ไม่มีจุด B ส่วนโค้งนี้เหมือนกับมุมที่จุดศูนย์กลาง AOC คือ 5x = 5 40 = 200 องศา

มุม ABC เป็นมุมที่ใหญ่ที่สุดในบรรดามุมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยม เป็นมุมที่เขียนไว้ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งเดียวกันกับมุมที่ศูนย์กลาง AOC ซึ่งหมายความว่ามุม ABC น้อยกว่า AOC 2 เท่า เรามี:

เอบีซี = AOC: 2 = 200: 2 = 100

นี่จะเป็นหน่วยวัดองศาของมุมที่ใหญ่กว่าในรูปสามเหลี่ยม ABC

วงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉาก

หลายคนลืมทฤษฎีบทนี้ไป แต่เปล่าประโยชน์เพราะปัญหา B8 บางอย่างไม่สามารถแก้ไขได้เลยหากไม่มีมัน แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาได้รับการแก้ไข แต่ด้วยการคำนวณจำนวนมากที่คุณอยากจะหลับไปมากกว่าที่จะได้คำตอบ

ทฤษฎีบท. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

สิ่งที่ตามมาจากทฤษฎีบทนี้?

1. จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน นี่เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบท
2. ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากจะแบ่งสามเหลี่ยมเดิมออกเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูป นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา B8

ในรูปสามเหลี่ยม ABC เราวาดค่ามัธยฐานซีดี มุม C คือ 90° และมุม B คือ 60° หามุม ACD

เนื่องจากมุม C คือ 90° สามเหลี่ยม ABC จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ปรากฎว่า CD คือค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม ADC และ BDC เป็นหน้าจั่ว

โดยเฉพาะพิจารณาสามเหลี่ยม ADC ในนั้น AD = ซีดี แต่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานจะเท่ากัน - ดู “ปัญหา B8: ส่วนของเส้นตรงและมุมในรูปสามเหลี่ยม” ดังนั้น มุมที่ต้องการ ACD = A

จึงต้องค้นหาว่ามุม A เท่ากับเท่าใด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กลับมาที่สามเหลี่ยม ABC เดิมอีกครั้ง ลองแสดงว่ามุม A = x เนื่องจากผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180° เราจึงได้:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

แน่นอนว่าปัญหาสุดท้ายสามารถแก้ไขได้แตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม BCD ไม่ใช่แค่หน้าจั่ว แต่ยังมีด้านเท่ากันหมดอีกด้วย ดังนั้นมุม BCD คือ 60 องศา ดังนั้น มุม ACD คือ 90 − 60 = 30 องศา อย่างที่คุณเห็น คุณสามารถใช้สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แตกต่างกันได้ แต่คำตอบจะเหมือนกันเสมอ

นี่คือมุมที่เกิดจากสอง คอร์ดซึ่งมีจุดเริ่มต้นที่จุดหนึ่งของวงกลม กล่าวกันว่าเป็นมุมที่จารึกไว้ พักบนส่วนโค้งที่อยู่ระหว่างด้านข้าง

มุมที่ถูกจารึกไว้เท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มันวางอยู่

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มุมที่ถูกจารึกไว้รวมถึงองศาเชิงมุม นาที และวินาทีได้มากเท่ากับ องศาโค้งนาทีและวินาทีจะคงอยู่ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มันพักอยู่ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราวิเคราะห์สามกรณี:

กรณีแรก:

ศูนย์ O ตั้งอยู่ด้านข้าง มุมที่ถูกจารึกไว้เอบีซี เมื่อวาดรัศมี AO เราจะได้ ΔABO โดยในนั้น OA = OB (ตามรัศมี) และตามด้วย ∠ABO = ∠BAO ในความสัมพันธ์กับเรื่องนี้ สามเหลี่ยม, มุม AOC - ภายนอก และนั่นหมายความว่าเขา เท่ากับผลรวมมุม ABO และ BAO หรือเท่ากับมุมคู่ ABO ดังนั้น ∠ABO เท่ากับครึ่งหนึ่ง มุมกลางเอโอซี. แต่มุมนี้วัดด้วยอาร์ค AC นั่นคือมุม ABC ที่จารึกไว้นั้นวัดด้วยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

กรณีที่สอง:

ศูนย์ O ตั้งอยู่ระหว่างด้านข้าง มุมที่ถูกจารึกไว้เมื่อวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD แล้ว เราจะแบ่งมุม ABC ออกเป็นสองมุม ซึ่งตามกรณีแรก มุมหนึ่งจะวัดเป็นครึ่งหนึ่ง ส่วนโค้ง AD และอีกครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งซีดี ดังนั้น มุม ABC จึงถูกวัด (AD+DC) /2 กล่าวคือ 1/2 เอซี

กรณีที่สาม:

ศูนย์ O ตั้งอยู่ด้านนอก มุมที่ถูกจารึกไว้เอบีซี เมื่อวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD เราจะได้:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . แต่มุม ABD และ CBD นั้นวัดจากครึ่งหนึ่งที่สมเหตุสมผลก่อนหน้านี้ ส่วนโค้งโฆษณาและซีดี และเนื่องจาก ∠ABC วัดด้วย (AD-CD)/2 นั่นคือ ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

ข้อพิสูจน์ 1.สิ่งใดก็ตามที่มีส่วนโค้งเดียวกันจะเหมือนกันนั่นคือเท่ากัน เนื่องจากแต่ละอันวัดกันครึ่งหนึ่ง ส่วนโค้ง .

ข้อพิสูจน์ 2. มุมที่ถูกจารึกไว้ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง - มุมขวา- เนื่องจากแต่ละมุมนั้นวัดได้ครึ่งวงกลมและมี 90° ตามลำดับ

คำแนะนำ

หากทราบรัศมี (R) ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง (L) ที่สอดคล้องกับมุมศูนย์กลางที่ต้องการ (θ) ก็สามารถคำนวณได้ทั้งเป็นองศาและเรเดียน ผลรวมถูกกำหนดโดยสูตร 2*π*R และสอดคล้องกับมุมศูนย์กลาง 360° หรือตัวเลข Pi สองตัว หากใช้เรเดียนแทนองศา ดังนั้น ให้ต่อจากสัดส่วน 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ เขียนมุมศูนย์กลางเป็นเรเดียน θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R หรือองศา θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) และคำนวณโดยใช้สูตรผลลัพธ์

ขึ้นอยู่กับความยาวของคอร์ด (m) ที่เชื่อมจุดที่กำหนดมุมที่จุดศูนย์กลาง (θ) ค่าของคอร์ดก็สามารถคำนวณได้เช่นกันหากทราบรัศมี (R) ของวงกลม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีสองรัศมี และ นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ใครๆ ก็รู้จัก แต่คุณต้องหามุมที่อยู่ตรงข้ามฐาน ไซน์ของครึ่งหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐาน - คอร์ด - ต่อความยาวของด้านสองเท่า - รัศมี ดังนั้น ให้ใช้ฟังก์ชันไซน์ผกผันในการคำนวณ - อาร์คไซน์: θ = 2*อาร์คซิน(½*m/R)

มุมที่ศูนย์กลางสามารถระบุเป็นเศษส่วนของการปฏิวัติหรือจากมุมที่หมุนได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการหามุมที่ศูนย์กลางตรงกับหนึ่งในสี่ของการหมุนรอบเต็ม ให้หาร 360° ด้วยสี่: θ = 360°/4 = 90° ค่าเรเดียนที่เท่ากันควรเป็น 2*π/4 พรีเมี่ยม 3.14/2 พรีเมี่ยม 1.57 มุมที่กางออกจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการหมุนเต็ม ดังนั้น ตัวอย่างเช่น มุมที่ศูนย์กลางซึ่งตรงกับหนึ่งในสี่ของมุมนั้นจะเป็นครึ่งหนึ่งของค่าที่คำนวณไว้ข้างต้นทั้งในองศาและเรเดียน

ค่าผกผันของไซน์เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาร์คซีน- สามารถรับค่าได้ภายในครึ่งหนึ่งของ Pi ทั้งบวกและลบเมื่อวัดเป็นเรเดียน เมื่อวัดเป็นองศาค่าเหล่านี้จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ -90° ถึง +90° ตามลำดับ

คำแนะนำ

ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่า "กลม" บางค่า แต่จะจดจำได้ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น: - ถ้าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ ส่วนโค้งของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์ด้วย - ของ 1/2 เท่ากับ 30° หรือ 1/6 Pi หากวัดได้ - ส่วนโค้งของ -1/2 คือ -30° หรือ -1/ 6 จากตัวเลข Pi ใน - ส่วนโค้งของ 1 เท่ากับ 90° หรือ 1/2 ของตัวเลข Pi ในหน่วยเรเดียน - ส่วนโค้งของ -1 เท่ากับ -90° หรือ -1/2 ของ จำนวน Pi เป็นเรเดียน

หากต้องการวัดค่าของฟังก์ชันนี้จากอาร์กิวเมนต์อื่น ๆ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้เครื่องคิดเลข Windows มาตรฐานหากคุณมีอยู่ ในการเริ่มต้นให้เปิดเมนูหลักบนปุ่ม "เริ่ม" (หรือโดยการกดปุ่ม WIN) ไปที่ส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" จากนั้นไปที่ส่วนย่อย "อุปกรณ์เสริม" แล้วคลิก "เครื่องคิดเลข"

สลับอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขเป็นโหมดการทำงานที่ให้คุณคำนวณได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- ในการดำเนินการนี้ ให้เปิดส่วน "มุมมอง" ในเมนูแล้วเลือก "วิศวกรรม" หรือ "วิทยาศาสตร์" (ขึ้นอยู่กับประเภทของ ระบบปฏิบัติการ).

ป้อนค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ควรคำนวณอาร์กแทนเจนต์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคลิกปุ่มอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขด้วยเมาส์ หรือโดยการกดปุ่มบน หรือโดยการคัดลอกค่า (CTRL + C) แล้ววาง (CTRL + V) ลงในช่องป้อนข้อมูลของเครื่องคิดเลข

เลือกหน่วยการวัดที่คุณต้องการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของการคำนวณฟังก์ชัน ด้านล่างช่องป้อนข้อมูลมีสามตัวเลือกซึ่งคุณต้องเลือก (โดยคลิกด้วยเมาส์) หนึ่ง - , เรเดียนหรือ rads

ทำเครื่องหมายในช่องที่สลับฟังก์ชันที่ระบุบนปุ่มอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลข ถัดจากนั้นคือข้อความจารึกสั้นๆ Inv.

คลิกปุ่มบาป เครื่องคิดเลขจะกลับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ทำการคำนวณ และนำเสนอผลลัพธ์ในหน่วยที่ระบุ

วิดีโอในหัวข้อ

ปัญหาทางเรขาคณิตที่พบบ่อยประการหนึ่งคือการคำนวณพื้นที่ของส่วนวงกลม - ส่วนของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและคอร์ดที่สอดคล้องกันโดยส่วนโค้งของวงกลม

พื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมที่สอดคล้องกันและพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีของเซกเตอร์ที่สอดคล้องกับเซกเตอร์และคอร์ดที่จำกัดเซกเมนต์

ตัวอย่างที่ 1

ความยาวของคอร์ดที่อยู่ใต้วงกลมมีค่าเท่ากับค่า a องศาของส่วนโค้งที่สอดคล้องกับคอร์ดคือ 60° ค้นหาพื้นที่ของส่วนวงกลม

สารละลาย

สามเหลี่ยมที่เกิดจากสองรัศมีและคอร์ดหนึ่งๆ คือหน้าจั่ว ดังนั้น ระดับความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมที่ศูนย์กลางไปยังด้านข้างของสามเหลี่ยมที่เกิดจากคอร์ดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ศูนย์กลางด้วย โดยหารครึ่ง และค่า ค่ามัธยฐานโดยแบ่งคอร์ดออกเป็นสองส่วน เมื่อรู้ว่าไซน์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก เราก็สามารถคำนวณรัศมีได้:

บาป 30°= ก/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah โดยที่ h คือความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมที่จุดศูนย์กลางถึงคอร์ด ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส h=√(R²-a²/4)= √3*a/2

ดังนั้น S▲=√3/4*a²

พื้นที่ของเซ็กเมนต์ซึ่งคำนวณเป็น Sreg = Sc - S▲ เท่ากับ:

ซเร็ก = πa²/6 - √3/4*a²

การทดแทน ค่าตัวเลขแทนที่จะเป็นค่า a คุณสามารถคำนวณค่าตัวเลขของพื้นที่ส่วนได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างที่ 2

รัศมีของวงกลมเท่ากับ a องศาของส่วนโค้งที่สอดคล้องกับส่วนคือ 60° ค้นหาพื้นที่ของส่วนวงกลม

สารละลาย:

พื้นที่ของเซกเตอร์ที่สอดคล้องกับมุมที่กำหนดสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับเซกเตอร์มีการคำนวณดังนี้:

S▲=1/2*ah โดยที่ h คือความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมที่จุดศูนย์กลางถึงคอร์ด ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส h=√(a²-a²/4)= √3*a/2

ดังนั้น S▲=√3/4*a²

และสุดท้าย พื้นที่ของเซ็กเมนต์ซึ่งคำนวณเป็น Sreg = Sc - S▲ เท่ากับ:

ซเร็ก = πa²/6 - √3/4*a²

วิธีแก้ปัญหาในทั้งสองกรณีเกือบจะเหมือนกัน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าในการคำนวณพื้นที่ของส่วนในกรณีที่ง่ายที่สุดก็เพียงพอที่จะทราบค่าของมุมที่สอดคล้องกับส่วนโค้งของส่วนและหนึ่งในสองพารามิเตอร์ - ทั้งรัศมีของวงกลมหรือ ความยาวของคอร์ดที่รองรับส่วนโค้งของวงกลมที่ประกอบเป็นเซกเมนต์

แหล่งที่มา:

• ส่วน - เรขาคณิต

ในบทความนี้ ฉันจะบอกวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ .

ก่อนอื่น ให้เรานึกถึงคำจำกัดความและทฤษฎีบทที่คุณต้องรู้เพื่อที่จะแก้ไขปัญหาในรูปแบบ .

1.มุมที่ถูกจารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลม:

2.มุมกลางคือมุมที่จุดยอดตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม:

ค่าองศาของส่วนโค้งวงกลมวัดจากขนาดของมุมที่ศูนย์กลางที่วางอยู่บนมุมนั้น

ใน ในกรณีนี้ค่าระดับของส่วนโค้ง AC เท่ากับค่าของมุม AOS

3. หากมุมที่จารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลางมีพื้นฐานมาจากส่วนโค้งเดียวกัน มุมที่จารึกไว้นั้นมีขนาดเพียงครึ่งหนึ่งของมุมที่ศูนย์กลาง:

4. มุมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดที่วางอยู่บนส่วนโค้งด้านหนึ่งจะเท่ากัน:

5. มุมที่จารึกไว้ซึ่งต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางคือ 90°:

มาแก้ไขปัญหาหลายประการกัน

1. งาน B7 (หมายเลข 27887)

ลองหาค่าของมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน:

แน่นอนว่ามุม AOC เท่ากับ 90° ดังนั้น มุม ABC เท่ากับ 45°

คำตอบ: 45°

2.งาน B7 (หมายเลข 27888)

จงหาขนาดของมุม ABC ให้คำตอบเป็นองศา

แน่นอนว่ามุม AOC คือ 270° และมุม ABC คือ 135°

คำตอบ: 135°

3. งาน B7 (หมายเลข 27890)

ค้นหาค่าดีกรีของส่วนโค้ง AC ของวงกลมที่ต่อด้วยมุม ABC ให้คำตอบเป็นองศา

มาหาค่าของมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนส่วนโค้ง AC:

ขนาดของมุม AOS คือ 45° ดังนั้น องศาที่วัดของส่วนโค้ง AC คือ 45°

คำตอบ: 45°

4. งาน B7 (หมายเลข 27885)

ค้นหามุม ACB หากมุมที่ถูกจารึกไว้ ADB และ DAE วางอยู่บนส่วนโค้งวงกลมที่มีค่าระดับเท่ากับและตามลำดับ ให้คำตอบเป็นองศา

มุม ADB วางอยู่บนส่วนโค้ง AB ดังนั้น ค่าของมุมศูนย์กลาง AOB เท่ากับ 118° ดังนั้น มุม BDA เท่ากับ 59° และมุม ADC ที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180°-59°=121°

ในทำนองเดียวกัน มุม DOE คือ 38° และมุมที่ถูกจารึกไว้ที่สอดคล้องกัน DAE คือ 19°

พิจารณาสามเหลี่ยม ADC:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

มุม ACB เท่ากับ 180°- (121°+19°)=40°

คำตอบ: 40°

5. งาน B7 (หมายเลข 27872)

ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม ABCD AB, BC, CD และ AD เป็นส่วนโค้งของวงกลมที่จำกัดขอบเขตซึ่งมีค่าระดับเท่ากับ , , และ , ตามลำดับ ค้นหามุม B ของรูปสี่เหลี่ยมนี้ ให้คำตอบเป็นองศา

มุม B วางอยู่บนส่วนโค้ง ADC ซึ่งค่าจะเท่ากับผลรวมของค่าส่วนโค้ง AD และ CD นั่นคือ 71°+145°=216°

มุมที่จารึกไว้ B เท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดของส่วนโค้ง ADC นั่นคือ 108°

คำตอบ: 108°

6. งาน B7 (หมายเลข 27873)

จุด A, B, C, D ซึ่งอยู่บนวงกลม แบ่งวงกลมนี้ออกเป็นสี่ส่วนโค้ง AB, BC, CD และ AD โดยค่าระดับจะอยู่ในอัตราส่วน 4:2:3:6 ตามลำดับ ค้นหามุม A ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้คำตอบเป็นองศา

(ดูภาพวาดของงานก่อนหน้า)

เนื่องจากเราให้อัตราส่วนของขนาดของส่วนโค้งแล้ว เราจึงแนะนำองค์ประกอบหน่วย x จากนั้น ขนาดของแต่ละส่วนโค้งจะแสดงตามอัตราส่วนต่อไปนี้:

AB=4x, BC=2x, ซีดี=3x, AD=6x ส่วนโค้งทั้งหมดประกอบกันเป็นวงกลม กล่าวคือ ผลรวมของส่วนโค้งคือ 360°

4x+2x+3x+6x=360° ดังนั้น x=24°

มุม A ได้รับการสนับสนุนจากส่วนโค้ง BC และ CD ซึ่งรวมกันแล้วมีค่า 5x=120°

ดังนั้น มุม A คือ 60°

คำตอบ: 60°

7. งาน B7 (หมายเลข 27874)

จัตุรัส เอบีซีดีจารึกไว้ในวงกลม มุม เอบีซีเท่ากับ , มุม แคนาดา