ข้อใดคือการบวกหรือการคูณไปข้างหน้า? สื่อการศึกษาและระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์ (เกรด 3) ในหัวข้อ: ตัวอย่างลำดับการกระทำ

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยก้าว ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และจะต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนที่มากจนไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการพิจารณาว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายรูปสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถ คุณต้องถ่ายรูปสองรูป จุดที่แตกต่างกันพื้นที่ ณ เวลาหนึ่ง แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวจากพวกเขา (โดยธรรมชาติแล้วยังจำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณตรีโกณมิติจะช่วยคุณ) สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับ นกแก้วพูดได้และฝึกลิงที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด คำถามที่น่าสนใจ: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูที่นี่ เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้หาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. ตัดภาพที่ได้หนึ่งภาพออกเป็นหลายๆ ภาพที่มีตัวเลขแยกกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นใน ระบบที่แตกต่างกันในแคลคูลัส ผลรวมของตัวเลขที่มีจำนวนเท่ากันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข กับ จำนวนมาก 12345 ฉันไม่อยากหลอกหัว มาดูหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็จะไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

ลงชื่อที่ประตู เขาเปิดประตูแล้วพูดว่า:

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

เมื่อเราทำงานกับสำนวนต่างๆ ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร เราจะต้องดำเนินการ จำนวนมากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เมื่อเราทำการแปลงหรือคำนวณมูลค่า สิ่งสำคัญมากคือต้องปฏิบัติตามลำดับที่ถูกต้องของการกระทำเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีลำดับการดำเนินการพิเศษของตนเอง

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ในบทความนี้เราจะบอกคุณว่าการกระทำใดควรทำก่อนและควรทำสิ่งใดหลังจากนั้น ขั้นแรก มาดูนิพจน์ง่ายๆ สองสามนิพจน์ที่มีเฉพาะตัวแปรหรือ ค่าตัวเลขเช่นเดียวกับเครื่องหมายการหาร การคูณ การลบ และการบวก จากนั้นลองยกตัวอย่างด้วยวงเล็บแล้วพิจารณาว่าควรคำนวณตามลำดับใด ในส่วนที่สาม เราจะให้ลำดับที่จำเป็นของการแปลงและการคำนวณในตัวอย่างเหล่านั้นซึ่งรวมถึงสัญญาณของราก พลัง และฟังก์ชันอื่นๆ

คำจำกัดความ 1

ในกรณีของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ลำดับของการกระทำจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน:

1. การกระทำทั้งหมดจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. เราทำการหารและการคูณก่อน และการลบและการบวกอย่างที่สอง

ความหมายของกฎเหล่านี้ง่ายต่อการเข้าใจ ลำดับการเขียนจากซ้ายไปขวาแบบดั้งเดิมจะกำหนดลำดับพื้นฐานของการคำนวณ และความจำเป็นในการคูณหรือหารก่อนนั้นอธิบายได้จากสาระสำคัญของการดำเนินการเหล่านี้

เรามาทำงานบางอย่างเพื่อความชัดเจนกันดีกว่า เราใช้เฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อให้การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ทางจิตใจ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถจดจำลำดับที่ต้องการได้อย่างรวดเร็วและตรวจสอบผลลัพธ์ได้อย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 7 − 3 + 6 .

สารละลาย

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์ของเรา และไม่มีการคูณและการหารด้วย ดังนั้นเราจึงดำเนินการทั้งหมดตามลำดับที่ระบุ ก่อนอื่นเราลบสามออกจากเจ็ด แล้วบวกหกเข้ากับเศษที่เหลือและจบลงด้วยสิบ นี่คือบันทึกของโซลูชันทั้งหมด:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

คำตอบ: 7 − 3 + 6 = 10 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:การคำนวณควรทำตามลำดับใดในนิพจน์? 6:2 8:3?

สารละลาย

เพื่อตอบคำถามนี้ เรามาอ่านกฎสำหรับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้อีกครั้ง เรามีเพียงการคูณและการหารตรงนี้ ซึ่งหมายความว่าเราเก็บลำดับการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรและนับตามลำดับจากซ้ายไปขวา

คำตอบ:ขั้นแรกเราหารหกด้วยสอง คูณผลลัพธ์ด้วยแปด และหารตัวเลขผลลัพธ์ด้วยสาม

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะเท่ากับ 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

สารละลาย

ขั้นแรก เรามากำหนดลำดับการดำเนินการที่ถูกต้อง เนื่องจากเรามีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ประเภทพื้นฐานทั้งหมดที่นี่ - การบวก ลบ การคูณ การหาร สิ่งแรกที่เราต้องทำคือหารและคูณ การกระทำเหล่านี้ไม่มีลำดับความสำคัญซึ่งกันและกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามลำดับลายลักษณ์อักษรจากขวาไปซ้าย นั่นคือ 5 ต้องคูณด้วย 6 จึงจะได้ 30 จากนั้น 30 หารด้วย 3 จึงได้ 10 หลังจากนั้นหาร 4 ด้วย 2 นี่คือ 2 แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

ไม่มีการหารหรือการคูณอีกต่อไปแล้ว ดังนั้นเราจึงคำนวณที่เหลือตามลำดับและรับคำตอบ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

คำตอบ:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

จนกว่าจะจดจำลำดับของการดำเนินการได้อย่างแม่นยำ คุณสามารถใส่ตัวเลขไว้เหนือเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุลำดับของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาข้างต้น เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ถ้าเรามี การแสดงออกตามตัวอักษรจากนั้นเราก็ทำแบบเดียวกันกับพวกมัน ขั้นแรกเราคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

การดำเนินการระยะที่หนึ่งและสองคืออะไร?

บางครั้งในหนังสืออ้างอิง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะแบ่งออกเป็นการดำเนินการของขั้นที่หนึ่งและขั้นที่สอง ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่จำเป็น

การดำเนินการในระยะแรก ได้แก่ การลบและการบวก ขั้นที่สองคือการคูณและการหาร

เมื่อรู้ชื่อเหล่านี้แล้ว เราก็สามารถเขียนกฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับลำดับการกระทำได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ คุณต้องดำเนินการของขั้นตอนที่สองในทิศทางจากซ้ายไปขวาก่อน จากนั้นจึงดำเนินการของขั้นตอนแรก (ในทิศทางเดียวกัน)

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

วงเล็บเป็นสัญญาณที่บอกเราถึงลำดับการกระทำที่ต้องการ ในกรณีนั้น กฎที่ถูกต้องสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 3

หากมีวงเล็บในนิพจน์ ขั้นตอนแรกคือดำเนินการในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบจากซ้ายไปขวา

สำหรับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บนั้นถือได้ว่าเป็นส่วนสำคัญของนิพจน์หลัก เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ในวงเล็บ เราจะคงขั้นตอนเดิมที่เรารู้จักไว้ เรามาแสดงแนวคิดของเราด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

สารละลาย

มีวงเล็บอยู่ในนิพจน์นี้ เรามาเริ่มกันที่วงเล็บกันก่อน ก่อนอื่น ลองคำนวณว่า 7 − 2 · 3 จะเป็นเท่าใด ที่นี่เราต้องคูณ 2 ด้วย 3 และลบผลลัพธ์ออกจาก 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

เราคำนวณผลลัพธ์ในวงเล็บที่สอง ที่นั่นเรามีการกระทำเดียวเท่านั้น: 6 − 4 = 2 .

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

เริ่มต้นด้วยการคูณและการหาร จากนั้นทำการลบและรับ:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

นี่เป็นการสรุปการคำนวณ

คำตอบ: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

อย่าตกใจหากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีวงเล็บบางอันล้อมรอบเครื่องหมายอื่น เราจำเป็นต้องใช้กฎข้างต้นกับนิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บอย่างสม่ำเสมอ เรามาเอาปัญหานี้กัน

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

สารละลาย

เรามีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราเริ่มต้นด้วย 3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3) คือ 2 + 3 มันจะเป็น 5 ค่าจะต้องถูกแทนที่ในนิพจน์และคำนวณว่า 3 + 1 + 4 · 5 เราจำได้ว่าก่อนอื่นเราต้องคูณแล้วบวก: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24- แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิมเราจะคำนวณคำตอบ: 4 + 24 = 28 .

คำตอบ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราจะเริ่มต้นด้วยวงเล็บด้านในและดำเนินการไปจนถึงวงเล็บด้านนอก

สมมติว่าเราต้องหาว่า (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 จะเป็นเท่าใด เราเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บด้านใน เนื่องจาก 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 นิพจน์เดิมสามารถเขียนเป็น (4 + (4 + 1) − 1) − 1 มองอีกครั้งที่วงเล็บด้านใน: 4 + 1 = 5 เรามาถึงการแสดงออก (4 + 5 − 1) − 1 - เรานับ 4 + 5 − 1 = 8 และผลที่ได้คือผลต่าง 8 - 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 7

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีกำลัง ราก ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

หากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีดีกรี รูต ลอการิทึม หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์) หรือฟังก์ชันอื่นๆ ก่อนอื่นเราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันนั้น หลังจากนั้นเราดำเนินการตามกฎที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันมีความสำคัญเท่ากันกับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

ลองดูตัวอย่างการคำนวณดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาว่าเท่าไหร่ (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

สารละลาย

เรามีนิพจน์ที่มีดีกรีซึ่งจะต้องค้นหาค่าก่อน เรานับ: 6 2 = 36 ทีนี้ลองแทนที่ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ หลังจากนั้นจะอยู่ในรูปแบบ (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 - 7 = 13

คำตอบ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

ในบทความแยกต่างหากที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าของนิพจน์เราได้ให้ตัวอย่างการคำนวณอื่น ๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นในกรณีของนิพจน์ที่มีรากองศา ฯลฯ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยก้าว ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และจะต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนที่มากจนไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการพิจารณาว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายรูปสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูที่นี่ เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้หาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. ตัดภาพที่ได้หนึ่งภาพออกเป็นหลายๆ ภาพที่มีตัวเลขแยกกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นในระบบตัวเลขที่ต่างกันผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยตัวเลขขนาดใหญ่ 12345 ไม่อยากหลอกหัว ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับกันดู ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็จะไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

ลงชื่อที่ประตู เขาเปิดประตูแล้วพูดว่า:

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

ลำดับของการกระทำ - คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 (โมโร)

คำอธิบายโดยย่อ:

ในชีวิตคุณทำอย่างต่อเนื่อง การกระทำต่างๆ: ตื่น อาบน้ำ ออกกำลังกาย กินข้าวเช้า ไปโรงเรียน คุณคิดว่าเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนขั้นตอนนี้หรือไม่? เช่น กินข้าวเช้าแล้วล้างหน้า อาจจะเป็นไปได้ การรับประทานอาหารเช้าอาจไม่สะดวกนักหากคุณไม่ได้อาบน้ำ แต่ก็ไม่มีอะไรเลวร้ายเกิดขึ้นด้วยเหตุนี้ ในทางคณิตศาสตร์ เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนลำดับการดำเนินการตามดุลยพินิจของคุณ? ไม่ คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน ดังนั้นแม้การเปลี่ยนแปลงขั้นตอนเพียงเล็กน้อยก็นำไปสู่ความจริงที่ว่าคำตอบของนิพจน์ตัวเลขจะไม่ถูกต้อง ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 คุณได้ทำความคุ้นเคยกับกฎเกณฑ์บางประการแล้ว ดังนั้นคุณคงจำได้ว่าลำดับในการดำเนินการนั้นอยู่ภายใต้วงเล็บ โดยจะแสดงการดำเนินการที่ต้องดำเนินการให้เสร็จสิ้นก่อน มีกฎเกณฑ์ขั้นตอนอื่นใดอีกบ้าง? ลำดับการดำเนินการแตกต่างกันในนิพจน์ที่มีและไม่มีวงเล็บหรือไม่? คุณจะพบคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 เมื่อศึกษาหัวข้อ "ลำดับของการกระทำ" คุณต้องฝึกฝนการใช้กฎที่คุณได้เรียนรู้อย่างแน่นอน และหากจำเป็น ให้ค้นหาและแก้ไขข้อผิดพลาดในการกำหนดลำดับการกระทำ นิพจน์เชิงตัวเลข- โปรดจำไว้ว่าลำดับนั้นมีความสำคัญในทุกธุรกิจ แต่ในทางคณิตศาสตร์นั้นสำคัญอย่างยิ่ง!

และการหารตัวเลขนั้นเป็นไปตามการกระทำของขั้นที่สอง
ลำดับของการดำเนินการเมื่อค้นหาค่าของนิพจน์จะถูกกำหนดตามกฎต่อไปนี้:

1. หากไม่มีวงเล็บในนิพจน์และมีการกระทำเพียงขั้นตอนเดียว จะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา
2. หากนิพจน์มีการกระทำของขั้นตอนที่หนึ่งและสองและไม่มีวงเล็บอยู่ การดำเนินการของขั้นตอนที่สองจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงดำเนินการของขั้นตอนแรก
3. หากมีวงเล็บในนิพจน์ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน (โดยคำนึงถึงกฎข้อ 1 และ 2)

ตัวอย่างที่ 1มาหาค่าของนิพจน์กัน

ก) x + 20 = 37;
ข) y + 37 = 20;
ค) ก - 37 = 20;
ง) 20 - ม. = 37;
จ) 37 - วิ = 20;
จ) 20 + k = 0

636 เมื่อลบจำนวนธรรมชาติจำนวนเท่าใดคุณจะได้ 12 ตัวเลขดังกล่าวมีกี่คู่? ตอบคำถามเดียวกันสำหรับการคูณและการหาร

637. ให้ตัวเลขสามตัว: ตัวแรกเป็นตัวเลขสามหลัก ตัวที่สองคือผลหารของตัวเลขหกหลักหารด้วยสิบ และตัวที่สามคือ 5921 เป็นไปได้ไหมที่จะระบุจำนวนที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของตัวเลขเหล่านี้

638. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) 2a + 612 + 1a + 324;
ข) 12у + 29у + 781 + 219;

639. แก้สมการ:

ก) 8x - 7x + 10 = 12;
ข) 13ป + 15ป- 24 = 60;
ค) Зz - 2z + 15 = 32;
ง) 6t + 5t - 33 = 0;
จ) (x + 59): 42 = 86;
จ) 528: k - 24 = 64;
ก) หน้า: 38 - 76 = 38;
ชั่วโมง) 43นาที- 215 = 473;
ผม) 89n + 68 = 9057;
เจ) 5905 - 21 โวลต์ = 316;
ลิตร) 34 วินาที - 68 = 68;
ม.) 54b - 28 = 26

640 ฟาร์มปศุสัตว์ให้น้ำหนักเพิ่มขึ้น 750 กรัมต่อตัวต่อวัน คอมเพล็กซ์จะได้รับอะไรใน 30 วันสำหรับสัตว์ 800 ตัว?

641 มีนม 130 ลิตรในกระป๋องใหญ่สองใบและกระป๋องเล็กห้าใบ นมขนาดเล็กสามารถบรรจุนมได้เท่าใดหากความจุน้อยกว่าความจุขนาดใหญ่ถึงสี่เท่า?

642 สุนัขเห็นเจ้าของเมื่ออยู่ห่างจากเขา 450 เมตร จึงวิ่งไปหาเขาด้วยความเร็ว 15 เมตร/วินาที ระยะห่างระหว่างเจ้าของกับสุนัขใน 4 วินาทีจะเป็นอย่างไร หลังจาก 10 วินาที; ในนั้นเหรอ?

643. แก้โจทย์โดยใช้สมการ:

1) มิคาอิลมีถั่วมากกว่านิโคไล 2 เท่าและ Petya มีมากกว่านิโคไล 3 เท่า แต่ละคนมีถั่วกี่เม็ดถ้าทุกคนมีถั่ว 72 เม็ด?

2) เด็กหญิง 3 คนเก็บเปลือกหอยได้ 35 ลูกที่ชายทะเล Galya พบมากกว่า Masha 4 เท่าและ Lena พบมากกว่า Masha 2 เท่า ผู้หญิงแต่ละคนพบเปลือกหอยกี่อัน?

644. เขียนโปรแกรมประเมินนิพจน์

8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.

เขียนโปรแกรมนี้ในรูปแบบไดอะแกรม ค้นหาความหมายของสำนวน

645. เขียนนิพจน์โดยใช้โปรแกรมคำนวณต่อไปนี้:

1. คูณ 271 ด้วย 49.
2. หาร 1,001 ด้วย 13
3. คูณผลลัพธ์ของคำสั่ง 2 ด้วย 24
4. เพิ่มผลลัพธ์ของคำสั่ง 1 และ 3

ค้นหาความหมายของสำนวนนี้

646. เขียนนิพจน์ตามแผนภาพ (รูปที่ 60) เขียนโปรแกรมเพื่อคำนวณและหาค่าของมัน

647. แก้สมการ:

ก) Zx + bx + 96 = 1568;
ข) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
ค) 2ปี + 7ปี + 78 = 1581;
ง) 256ม. - 147ม. - พ.ศ. 2414 - 63,747;
จ) 88 880: 110 + x = 809;
ฉ) 6871 + p: 121 = 7000;
ก) 3810 + 1206: y = 3877;
ชั่วโมง) k + 12 705: 121 = 105

648. ค้นหาผลหาร:

ก) 1,989,680: 187; ค) 9 018 009: 1001;
ข) 572 163: 709; ง) 533,368,000: 83,600.

649 เรือยนต์แล่นไปตามทะเลสาบเป็นเวลา 3 ชั่วโมงด้วยความเร็ว 23 กม./ชม. และแล่นไปตามแม่น้ำเป็นเวลา 4 ชั่วโมง เรือเดินทางได้กี่กิโลเมตรใน 7 ชั่วโมงนี้ หากแล่นไปตามแม่น้ำเร็วกว่าเลียบทะเลสาบ 3 กม./ชม.

650 ตอนนี้ระยะห่างระหว่างสุนัขกับแมวคือ 30 เมตร สุนัขจะตามทันแมวได้ภายในกี่วินาทีถ้าความเร็วของสุนัขคือ 10 เมตร/วินาที และแมวคือ 7 เมตร/วินาที

651. ค้นหาตัวเลขทั้งหมดตามลำดับตั้งแต่ 2 ถึง 50 ในตาราง (รูปที่ 61) การทำแบบฝึกหัดนี้หลายครั้งมีประโยชน์ คุณสามารถแข่งขันกับเพื่อนได้: ใครจะค้นหาตัวเลขทั้งหมดได้เร็วกว่ากัน?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, คณิตศาสตร์เกรด 5, หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป

แผนการสอนสำหรับการดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 หนังสือเรียนและหนังสือฟรี การพัฒนาบทเรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบ แผนปฏิทินเป็นเวลาหนึ่งปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธีโปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ