คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะคืออะไร จำนวนตรรกยะ

) คือตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) และศูนย์ แนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะที่แม่นยำยิ่งขึ้นมีดังนี้:

จำนวนตรรกยะ- จำนวนที่แสดงเป็นเศษส่วนร่วม ม./นโดยที่ตัวเศษ มเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วน n- จำนวนเต็ม เช่น 2/3.

เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่รวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ

มี/ข, ที่ไหน ก∈ ซี (กเป็นของจำนวนเต็ม) ข∈ เอ็น (ขเป็นของจำนวนธรรมชาติ)

การใช้จำนวนตรรกยะในชีวิตจริง

ใน ชีวิตจริงชุดของจำนวนตรรกยะใช้ในการนับส่วนของวัตถุที่หารจำนวนเต็มบางส่วน ตัวอย่างเช่นเค้กหรืออาหารอื่นๆ ที่หั่นเป็นชิ้นๆ ก่อนบริโภค หรือเพื่อประมาณความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของวัตถุที่ขยายออกมาอย่างคร่าวๆ

คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ

1. ความเป็นระเบียบเรียบร้อย กและ ขมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุความสัมพันธ์ระหว่าง 1 และ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาได้อย่างชัดเจน: “<», «>" หรือ "=" กฎนี้คือ - กฎการสั่งซื้อและกำหนดดังนี้:

• 2 จำนวนบวก ก=ม ก /น กและ ข=ม ข /n ขมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็ม 2 ตัว ม⋅ ไม่มีและ ม.ข⋅ ไม่ใช่;
• 2 จำนวนลบ กและ ขมีความสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วนเดียวกับจำนวนบวก 2 จำนวน |ข|และ |a|;
• เมื่อไร กเชิงบวกและ ข- ลบแล้ว ก>ข.

∀ ก,ข∈ ถาม(ก ∨ ก>ข∨ ก=ข)

2. การดำเนินการเพิ่มเติม- สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด กและ ขมี กฎการรวมซึ่งเชื่อมโยงพวกมันกับจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง ค- อีกทั้งตัวเลขนั้นเอง ค- นี้ ผลรวมตัวเลข กและ ขและมันถูกแสดงเป็น (ก+ข) ผลรวม.

กฎการรวมดูเหมือนว่า:

ม/n ก + ม ข/ไม่มี ข =(ม⋅ ไม่มีข + มข⋅ ไม่ใช่)/(ไม่ใช่⋅ ไม่ใช่ข)

∀ ก,ข∈ ถาม∃ !(ก+ข)∈ ถาม

3. การดำเนินการคูณ- สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด กและ ขมี กฎการคูณมันเชื่อมโยงพวกมันกับจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง ค- เรียกเลข c งานตัวเลข กและ ขและแสดงถึง (ก⋅ข)และกระบวนการค้นหาหมายเลขนี้เรียกว่า การคูณ.

กฎการคูณดูเหมือนว่า: ฉันไม่มี⋅ ม บี เอ็น ข = ม⋅ ฉัน บี นา⋅ ไม่มี.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. การผ่านของความสัมพันธ์ลำดับสำหรับจำนวนตรรกยะสามจำนวนใดๆ ก, ขและ คถ้า กน้อย ขและ ขน้อย ค, ที่ กน้อย ค, และถ้า กเท่ากับ ขและ ขเท่ากับ ค, ที่ กเท่ากับ ค.

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก ∧ ข ⇒ ก ∧ (ก = ข∧ ข = ค⇒ ก = ค)

5. การสับเปลี่ยนของการบวก- การเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขที่เป็นตรรกยะจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง

∀ ก,ข∈ ถาม ก+ข=ข+ก

6. นอกจากนี้การเชื่อมโยง- ลำดับการเพิ่มจำนวนตรรกยะ 3 ตัวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

∀ ก,ข,ค∈ ถาม (ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)

7. การมีอยู่ของศูนย์- มีจำนวนตรรกยะเป็น 0 ซึ่งจะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกจำนวนเมื่อบวกเข้าด้วยกัน

∃ 0 ∈ ถาม∀ ก∈ ถาม+0=ก

8. การมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามกัน- จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม และเมื่อบวกกัน ผลลัพธ์จะเป็น 0

∀ ก∈ ถาม∃ (-ก)∈ ถาม ก+(−ก)=0

9. การสับเปลี่ยนของการคูณ- การเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงตรรกศาสตร์ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง

∀ ก,ข∈ ถาม⋅ ข=ข⋅ ก

10. ความสัมพันธ์ของการคูณ- ลำดับการคูณจำนวนตรรกยะ 3 จำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก⋅ ข)⋅ ค=ก⋅ (ข⋅ ค)

11. ความพร้อมของหน่วย- มีจำนวนตรรกยะ 1 ซึ่งจะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทั้งหมดไว้ในกระบวนการคูณ

∃ 1 ∈ ถาม∀ ก∈ ถาม⋅ 1=ก

12. การปรากฏตัวของตัวเลขซึ่งกันและกัน- จำนวนตรรกยะทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน คูณด้วยผลลัพธ์ที่ได้ 1 .

∀ ก∈ ถาม∃ ก−1∈ ถาม⋅ ก−1=1

13. การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก- การดำเนินการคูณเกี่ยวข้องกับการบวกโดยใช้กฎการกระจาย:

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก+ข)⋅ ค=ก⋅ ค+บี⋅ ค

14. ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ลำดับและการดำเนินการบวก- ไปทางซ้ายและ ด้านขวาสำหรับอสมการเชิงตรรกยะ ให้บวกจำนวนตรรกยะเดียวกันเข้าไปด้วย

∀ ก,ข,ค∈ ถาม ⇒ เอ+ซี

15. ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ลำดับกับการดำเนินการคูณ- ด้านซ้ายและขวาของอสมการเชิงตรรกยะสามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นลบอันเดียวกันได้

∀ ก,ข,ค∈ คิว ค>0∧ ก ⇒ ก⋅ ค ⋅ ค

16. สัจพจน์ของอาร์คิมีดีส- ไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ตาม กมันง่ายที่จะเอาหลายหน่วยจนผลรวมของมันมากขึ้น ก.

หัวข้อเรื่องจำนวนตรรกยะค่อนข้างครอบคลุม คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ไม่รู้จบและเขียนผลงานทั้งหมดทุกครั้งที่รู้สึกประหลาดใจกับฟีเจอร์ใหม่ ๆ

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในอนาคต ในบทนี้เราจะเจาะลึกหัวข้อจำนวนตรรกยะให้ลึกลงไปอีกเล็กน้อย รวบรวมข้อมูลที่จำเป็นจากข้อมูลนั้นแล้วเดินหน้าต่อไป

เนื้อหาบทเรียน

จำนวนตรรกยะคืออะไร

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก—นี่คือตัวเศษของเศษส่วน ขเป็นตัวส่วนของเศษส่วน นอกจากนี้ ขต้องไม่เป็นศูนย์เพราะไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์

จำนวนตรรกยะประกอบด้วยหมวดหมู่ของตัวเลขต่อไปนี้:

• จำนวนเต็ม (เช่น −2, −1, 0 1, 2 เป็นต้น)

• เศษส่วนทศนิยม (เช่น 0.2 เป็นต้น)

• เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด (เช่น 0, (3) เป็นต้น)

ตัวเลขแต่ละตัวในหมวดหมู่นี้สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 1จำนวนเต็ม 2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าเลข 2 ไม่เพียงแต่ใช้กับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่างที่ 2จำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

ซึ่งหมายความว่าจำนวนคละเป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 3ทศนิยม 0.2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงเศษส่วนทศนิยม 0.2 เป็นเศษส่วนร่วม หากคุณมีปัญหาในตอนนี้ ให้ทำซ้ำหัวข้อนี้

เพราะว่า ทศนิยม 0.2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่ามันเป็นของจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่างที่ 4เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด 0, (3) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงเศษส่วนคาบบริสุทธิ์ให้เป็นเศษส่วนสามัญ หากคุณมีปัญหาในตอนนี้ ให้ทำซ้ำหัวข้อนี้

เนื่องจากเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด 0, (3) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จึงหมายความว่าเศษส่วนนั้นเป็นของจำนวนตรรกยะด้วย

ในอนาคต เราจะเรียกตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนต่อหนึ่งวลีได้มากขึ้น - สรุปตัวเลข.

จำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด

เราดูเส้นพิกัดเมื่อเราศึกษา ตัวเลขติดลบ- จำไว้ว่านี่คือเส้นตรงที่มีหลายจุดอยู่ ดังนี้:

รูปนี้แสดงส่วนเล็กๆ ของเส้นพิกัดตั้งแต่ −5 ถึง 5

การทำเครื่องหมายจำนวนเต็มในรูปแบบ 2, 0, −3 บนเส้นพิกัดนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ตัวเลขอื่นๆ จะน่าสนใจกว่ามาก เช่น เศษส่วนธรรมดา ตัวเลขคละ ทศนิยม ฯลฯ ตัวเลขเหล่านี้อยู่ระหว่างจำนวนเต็มและมีตัวเลขเหล่านี้มากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น ลองทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด เบอร์นี้อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่งพอดี

ลองทำความเข้าใจว่าทำไมเศษส่วนจึงอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ระหว่างจำนวนเต็มจะมีตัวเลขอื่น ๆ อยู่ - เศษส่วนสามัญ, ทศนิยม, ตัวเลขคละ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น หากคุณเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 0 เป็น 1 คุณจะเห็นภาพต่อไปนี้

จะเห็นได้ว่าระหว่างจำนวนเต็ม 0 ถึง 1 มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ อยู่ ซึ่งเป็นเศษส่วนทศนิยมที่คุ้นเคย ที่นี่คุณจะเห็นเศษส่วนของเราซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 0.5 การตรวจสอบตัวเลขนี้อย่างละเอียดจะช่วยตอบคำถามว่าเหตุใดเศษส่วนจึงอยู่ตรงจุดนั้น

เศษส่วนหมายถึงการหาร 1 ด้วย 2 และถ้าเราหาร 1 ด้วย 2 เราจะได้ 0.5

เศษส่วนทศนิยม 0.5 สามารถปลอมตัวเป็นเศษส่วนอื่นได้ จากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน เรารู้ว่าถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง

หากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วยตัวเลขใดๆ เช่น 4 เราก็จะได้เศษส่วนใหม่และเศษส่วนนี้ก็เท่ากับ 0.5 เช่นกัน

ซึ่งหมายความว่าบนเส้นพิกัด เศษส่วนสามารถวางในตำแหน่งเดียวกับตำแหน่งของเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 2ลองทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนพิกัดกัน หมายเลขนี้อยู่ระหว่างหมายเลข 1 และ 2 พอดี

ค่าเศษส่วนคือ 1.5

หากเราเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 1 เป็น 2 เราจะเห็นภาพต่อไปนี้:

จะเห็นได้ว่าระหว่างจำนวนเต็ม 1 ถึง 2 มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ อยู่ด้วย ซึ่งเป็นเศษส่วนทศนิยมที่คุ้นเคย ที่นี่คุณจะเห็นเศษส่วนของเราซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 1.5

เราขยายบางส่วนบนเส้นพิกัดเพื่อดูจำนวนที่เหลืออยู่บนส่วนนี้ เป็นผลให้เราค้นพบเศษส่วนทศนิยมที่มีหนึ่งหลักหลังจุดทศนิยม

แต่ตัวเลขเหล่านี้ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่อยู่ในกลุ่มเหล่านี้ มีตัวเลขมากมายนับไม่ถ้วนอยู่บนเส้นพิกัด

เดาได้ไม่ยากว่าระหว่างเศษส่วนทศนิยมที่มีเลขหลักหลังจุดทศนิยมยังมีเศษส่วนทศนิยมอื่นๆ ที่มีเลข 2 หลักหลังจุดทศนิยม กล่าวอีกนัยหนึ่งหนึ่งในร้อยของเซ็กเมนต์

เช่น ลองมาดูตัวเลขที่อยู่ระหว่างเศษส่วนทศนิยม 0.1 กับ 0.2

ตัวอย่างอื่น. เศษส่วนทศนิยมที่มีตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยมและอยู่ระหว่างศูนย์และจำนวนตรรกยะ 0.1 มีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 3ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด จำนวนตรรกยะนี้จะใกล้กับศูนย์มาก

ค่าของเศษส่วนคือ 0.02

หากเราเพิ่มส่วนจาก 0 เป็น 0.1 เราจะเห็นว่าจำนวนตรรกยะอยู่ที่ใด

จะเห็นได้ว่าจำนวนตรรกยะของเราอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 0.02

ตัวอย่างที่ 4ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะ 0 บนเส้นพิกัด (3)

จำนวนตรรกยะ 0, (3) เป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด เศษส่วนของมันไม่มีที่สิ้นสุด มันไม่มีที่สิ้นสุด

และเนื่องจากตัวเลข 0,(3) มีส่วนที่เป็นเศษส่วนอนันต์ ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถหาตำแหน่งที่แน่นอนบนเส้นพิกัดซึ่งเป็นตำแหน่งของตัวเลขนี้ได้ เราสามารถระบุสถานที่นี้ได้ประมาณเท่านั้น

จำนวนตรรกยะ 0.33333... จะอยู่ใกล้กับเศษส่วนทศนิยมสามัญ 0.3 มาก

ตัวเลขนี้ไม่ได้แสดงตำแหน่งที่แน่นอนของเลข 0,(3) นี่เป็นเพียงภาพประกอบเพื่อแสดงให้เห็นว่าเศษส่วนคาบ 0.(3) สามารถเข้าใกล้เศษส่วนทศนิยมปกติ 0.3 ได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 5ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด จำนวนตรรกยะนี้จะอยู่ตรงกลางระหว่างเลข 2 และ 3

นี่คือ 2 (จำนวนเต็มสองจำนวน) และ (หนึ่งวินาที) เศษส่วนเรียกอีกอย่างว่า "ครึ่ง" ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายสองส่วนทั้งหมดและอีกครึ่งหนึ่งบนเส้นพิกัด

ถ้าเราแปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน เราจะได้เศษส่วนสามัญ เศษส่วนบนเส้นพิกัดนี้จะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วน

ค่าของเศษส่วนคือ 2.5

หากเราเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 2 เป็น 3 เราจะเห็นภาพต่อไปนี้:

จะเห็นได้ว่าจำนวนตรรกยะของเราอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 2.5

ลบก่อนจำนวนตรรกยะ

ในบทเรียนที่แล้วซึ่งมีชื่อว่า เราได้เรียนรู้วิธีหารจำนวนเต็มแล้ว ทั้งจำนวนบวกและลบสามารถทำหน้าที่เป็นเงินปันผลและตัวหารได้

ลองพิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด

(−6) : 2 = −3

ในนิพจน์นี้ เงินปันผล (−6) เป็นจำนวนลบ

ตอนนี้ให้พิจารณานิพจน์ที่สอง

6: (−2) = −3

โดยที่ตัวหาร (−2) นั้นเป็นจำนวนลบอยู่แล้ว แต่ในทั้งสองกรณี เราได้คำตอบเดียวกันคือ -3

เมื่อพิจารณาว่าการหารใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ เราก็สามารถเขียนตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นเศษส่วนได้:

และเนื่องจากในทั้งสองกรณี ค่าของเศษส่วนจะเท่ากัน ค่าลบของตัวเศษหรือตัวส่วนจึงสามารถทำให้เป็นค่าร่วมได้โดยวางไว้หน้าเศษส่วน

ดังนั้น คุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างสำนวนต่างๆ และ เนื่องจากสำนวนเหล่านี้มีความหมายเหมือนกัน

ในอนาคต เมื่อทำงานกับเศษส่วน ถ้าเราเจอลบในตัวเศษหรือตัวส่วน เราจะทำให้ค่าลบนี้เป็นค่าร่วมโดยวางไว้หน้าเศษส่วน

จำนวนตรรกยะตรงข้าม

เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะจะมีจำนวนตรงข้ามกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนตรรกยะ หมายเลขตรงข้ามเป็น . มันตั้งอยู่บนเส้นพิกัดอย่างสมมาตรกับตำแหน่งที่สัมพันธ์กับที่มาของพิกัด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสองนี้มีระยะห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน

การแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

เรารู้ว่าในการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน เราต้องคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษของเศษส่วน จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกตัวเศษของเศษส่วน:

ลองคำนวณนิพจน์นี้:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

ผลลัพธ์หมายเลข 5 จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ แต่ตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม:

เต็มที่ ขั้นตอนนี้เขียนดังนี้:

หากต้องการคืนจำนวนคละเดิม ให้เลือกทั้งส่วนในเศษส่วนก็เพียงพอแล้ว

แต่วิธีการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินวิธีนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคละเป็นบวกเท่านั้น วิธีนี้จะใช้กับจำนวนลบไม่ได้

ลองพิจารณาเศษส่วนกัน. ลองเลือกส่วนทั้งหมดของเศษส่วนนี้. เราได้รับ

หากต้องการส่งกลับเศษส่วนเดิม คุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน แต่ถ้าเราใช้กฎเก่า กล่าวคือ คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกตัวเศษของเศษส่วนเข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ เราจะได้ข้อขัดแย้งดังต่อไปนี้:

เราได้รับเศษส่วน แต่เราควรจะได้รับเศษส่วน

เราสรุปได้ว่าจำนวนคละถูกแปลงเป็นเศษส่วนเกินอย่างไม่ถูกต้อง

หากต้องการแปลงจำนวนคละลบให้เป็นเศษส่วนเกินอย่างถูกต้อง คุณต้องคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วน และจากจำนวนผลลัพธ์ ลบตัวเศษของเศษส่วน ในกรณีนี้ทุกอย่างจะเข้าที่สำหรับเรา

จำนวนคละที่เป็นลบจะตรงข้ามกับจำนวนคละ หากจำนวนบวกคละอยู่ทางด้านขวาและมีลักษณะเช่นนี้

คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ:

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวเป็นของเซตของจำนวนเต็ม และตัวส่วนเป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ

เหตุใดตัวเลขจึงเรียกว่าตรรกยะ?

ในภาษาลาติน อัตราส่วน หมายถึง อัตราส่วน สรุปตัวเลขสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์ได้เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นเศษส่วน

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

จำนวน 2/3 เป็นจำนวนตรรกยะ ทำไม จำนวนนี้แสดงเป็นเศษส่วน โดยตัวเศษเป็นของเซตจำนวนเต็ม และตัวส่วนของเซตของจำนวนธรรมชาติ

หากต้องการดูตัวอย่างเพิ่มเติมของจำนวนตรรกยะ โปรดดูบทความ

จำนวนตรรกยะเท่ากัน

เศษส่วนเบ็ดเตล็ดสามารถแทนจำนวนตรรกยะได้หนึ่งจำนวน

พิจารณาจำนวนตรรกยะ 3/5 จำนวนตรรกยะนี้เท่ากับ

ลดตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมของ 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

เราได้เศษส่วน 3/5 ซึ่งหมายความว่า

จำนวนเต็ม

คำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนธรรมชาติใช้ในการนับวัตถุและเพื่อวัตถุประสงค์อื่นๆ อีกมากมาย นี่คือตัวเลข:

นี่คือชุดตัวเลขตามธรรมชาติ
ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่? ไม่ 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ
มีจำนวนธรรมชาติกี่จำนวน? มีจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนอนันต์
จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคืออะไร? หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร? ไม่สามารถระบุได้ เนื่องจากมีจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนอนันต์

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การบวกจำนวนธรรมชาติ a และ b:

ผลคูณของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ a และ b:

c เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ

ผลต่างของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าค่า minuend มากกว่าค่า subtrahend ผลต่างของจำนวนธรรมชาติจะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นจะไม่เป็นเช่นนั้น

ผลหารของจำนวนธรรมชาติไม่ใช่จำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ a และ b

โดยที่ c เป็นจำนวนธรรมชาติ หมายความว่า a หารด้วย b ลงตัว ในตัวอย่างนี้ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหาร

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติที่จำนวนแรกหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนหารด้วยหนึ่งและตัวมันเองได้

จำนวนธรรมชาติเฉพาะนั้นหารด้วยตัวมันเองและตัวเดียวเท่านั้น ในที่นี้เราหมายถึงการแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างหมายเลข 2; 3; 5; 7 หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น. พวกนี้เป็นจำนวนธรรมชาติธรรมดา

หนึ่งไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะ

จำนวนที่มากกว่า 1 และไม่เป็นจำนวนเฉพาะจะเรียกว่าจำนวนประกอบ ตัวอย่าง ตัวเลขประกอบ:

หนึ่งไม่ถือเป็นจำนวนประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติคือหนึ่ง จำนวนเฉพาะและตัวเลขประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน อักษรละตินเอ็น.

คุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติ:

สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก

ทรัพย์สินร่วมของการบวก

(ก + ข) + ค = ก + (ข + ค);

สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ

สมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ

(ab) ค = ก (bc);

สมบัติการกระจายของการคูณ

ก (b + c) = ab + ac;

จำนวนทั้งหมด

จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ ศูนย์ และสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็มลบ เช่น

1; -2; -3; -4;...

เซตของจำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษรละติน Z

สรุปตัวเลข

จำนวนตรรกยะคือจำนวนเต็มและเศษส่วน

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนเป็นคาบได้ ตัวอย่าง:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

จากตัวอย่างจะเห็นชัดเจนว่าจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นเศษส่วนเป็นคาบและมีจุดเป็นศูนย์

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน m/n โดยที่ m จำนวนเต็ม,nจำนวนธรรมชาติ ลองจินตนาการถึงเลข 3 (6) จากตัวอย่างที่แล้วว่าเป็นเศษส่วนดังกล่าว

เด็กนักเรียนโตและนักเรียนคณิตศาสตร์อาจจะตอบคำถามนี้ได้อย่างง่ายดาย แต่สำหรับผู้ที่อยู่ห่างไกลจากอาชีพนี้ก็จะยากขึ้น จริงๆแล้วมันคืออะไร?

สาระสำคัญและการกำหนด

จำนวนตรรกยะหมายถึงจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญได้ ค่าบวก ค่าลบ และศูนย์ก็รวมอยู่ในชุดนี้ด้วย ตัวเศษของเศษส่วนต้องเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนต้องเป็นจำนวนเต็ม

ชุดคณิตศาสตร์นี้แสดงเป็น Q และเรียกว่า "ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ" ประกอบด้วยจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ซึ่งแสดงตามลำดับเป็น Z และ N ชุด Q นั้นรวมอยู่ในชุด R ซึ่งเป็นตัวอักษรนี้ที่แสดงถึงสิ่งที่เรียกว่าจำนวนจริงหรือ

ผลงาน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว จำนวนตรรกยะคือชุดที่รวมค่าจำนวนเต็มและเศษส่วนทั้งหมด สามารถนำเสนอได้ใน รูปแบบที่แตกต่างกัน- ประการแรก ในรูปเศษส่วนสามัญ: 5/7, 1/5, 11/15 เป็นต้น แน่นอนว่าจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่คล้ายกัน: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 เป็นต้น ประการที่สอง การแสดงอีกประเภทหนึ่งคือเศษส่วนทศนิยมที่มีเศษส่วนสุดท้าย: 0.01, -15.001006 เป็นต้น นี่อาจเป็นรูปแบบหนึ่งที่พบบ่อยที่สุด

แต่ก็มีอันที่สามด้วย - เศษส่วนเป็นงวด ประเภทนี้ไม่ธรรมดามากแต่ยังคงใช้อยู่ เช่น เศษส่วน 10/3 สามารถเขียนเป็น 3.33333... หรือ 3,(3) โดยที่ มุมมองที่แตกต่างกันจะถือว่าเลขใกล้เคียงกัน เศษส่วนที่เท่ากันก็จะเรียกว่าเศษส่วนเท่ากัน เช่น 3/5 และ 6/10 ดูเหมือนว่าจะชัดเจนว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร แต่เหตุใดคำนี้จึงใช้เพื่ออ้างถึงพวกเขา?

ที่มาของชื่อ

คำว่า "เหตุผล" ในภาษารัสเซียสมัยใหม่โดยทั่วไปมีความหมายแตกต่างออกไปเล็กน้อย มันเหมือนกับ "สมเหตุสมผล" "คิดออก" มากกว่า แต่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับความหมายโดยตรงของสิ่งนี้ ในภาษาละติน "อัตราส่วน" คือ "อัตราส่วน" "เศษส่วน" หรือ "การหาร" ดังนั้นชื่อจึงรวบรวมสาระสำคัญของจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตามความหมายที่สอง

ไม่ไกลจากความจริง

การกระทำกับพวกเขา

เมื่อตัดสินใจ ปัญหาทางคณิตศาสตร์เราเจอจำนวนตรรกยะอยู่ตลอดเวลาโดยที่เราไม่รู้ตัว และพวกเขาก็ใกล้จะถึงแล้ว คุณสมบัติที่น่าสนใจ- ทั้งหมดเป็นไปตามคำจำกัดความของชุดหรือจากการกระทำ

ประการแรก จำนวนตรรกยะมีคุณสมบัติความสัมพันธ์ลำดับ ซึ่งหมายความว่าสามารถมีความสัมพันธ์ได้เพียงความสัมพันธ์เดียวระหว่างตัวเลขสองตัว - ทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน หรือค่าหนึ่งมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าอีกค่าหนึ่ง นั่นคือ:

หรือ ก = ข ;หรือ ก > ข,หรือ ก< b.

นอกจากนี้ การผ่านของความสัมพันธ์ยังตามมาจากคุณสมบัตินี้ด้วย นั่นก็คือถ้า กมากกว่า ข, ขมากกว่า ค, ที่ กมากกว่า ค- ในภาษาคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้:

(ก > ข) ^ (ข > ค) => (ก > ค)

ประการที่สอง มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนตรรกยะ นั่นคือ การบวก การลบ การหาร และแน่นอนว่าเป็นการคูณ ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการเปลี่ยนแปลง ยังสามารถระบุคุณสมบัติจำนวนหนึ่งได้

• a + b = b + a (การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของเงื่อนไขการสับเปลี่ยน);
• 0 + ก = ก + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (การเชื่อมโยง);
• ก + (-ก) = 0;
• AB = บริติชแอร์เวย์;
• (ab)c = a(bc) (การกระจายตัว);
• ก x 1 = 1 x ก = ก;
• a x (1 / a) = 1 (ในกรณีนี้ a ไม่เท่ากับ 0)
• (ก + ข)ค = เอซี + ab;
• (ก > ข) ^ (ค > 0) => (เอซี > บีซี)

เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับตัวเลขธรรมดาและไม่ใช่จำนวนเต็ม การดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้อาจทำให้เกิดปัญหาบางประการได้ ดังนั้นการบวกและการลบจะทำได้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนเท่ากันเท่านั้น หากต่างกันในตอนแรก คุณควรหาค่าร่วมโดยการคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยตัวเลขที่กำหนด การเปรียบเทียบมักเป็นไปได้เฉพาะเมื่อตรงตามเงื่อนไขนี้เท่านั้น

การหารและการคูณเศษส่วนสามัญจะดำเนินการตามความเพียงพอ กฎง่ายๆ- นำไปสู่ ตัวส่วนร่วมไม่จำเป็น. ตัวเศษและตัวส่วนจะถูกคูณแยกกัน และหากเป็นไปได้ในกระบวนการดำเนินการ เศษส่วนควรจะลดลงและทำให้ง่ายขึ้นมากที่สุด

ในส่วนของการแบ่งนั้น การกระทำนี้จะคล้ายกับครั้งแรกที่มีความแตกต่างเล็กน้อย สำหรับเศษส่วนที่สอง คุณควรหาค่าผกผัน นั่นคือ

"พลิก" มันไป ดังนั้นตัวเศษของเศษส่วนแรกจะต้องคูณกับตัวส่วนของส่วนที่สองและในทางกลับกัน

สุดท้าย คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของจำนวนตรรกยะเรียกว่าสัจพจน์ของอาร์คิมิดีส บ่อยครั้งในวรรณกรรมมักพบชื่อ "หลักการ" ด้วย มันใช้ได้สำหรับทั้งชุด ตัวเลขจริงแต่ไม่ใช่ทุกที่ ดังนั้น หลักการนี้ใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันตรรกยะบางชุด โดยพื้นฐานแล้ว สัจพจน์นี้หมายความว่าเมื่อมีปริมาณ a และ b อยู่สองปริมาณ คุณสามารถเอา a มากพอที่จะเกิน b ได้ตลอดเวลา

พื้นที่ใช้งาน

ดังนั้น สำหรับผู้ที่ได้เรียนรู้หรือจำได้ว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร จะเห็นได้ชัดว่ามีการใช้ตัวเลขเหล่านี้ทุกที่ ทั้งในการบัญชี เศรษฐศาสตร์ สถิติ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาศาสตร์อื่นๆ โดยธรรมชาติแล้วพวกเขาก็มีที่ทางคณิตศาสตร์ด้วย โดยที่เราไม่รู้เสมอไปว่าเรากำลังเผชิญกับพวกมัน เราใช้จำนวนตรรกยะอยู่ตลอดเวลา แม้แต่เด็กเล็ก ๆ การเรียนรู้ที่จะนับสิ่งของ หั่นแอปเปิ้ลเป็นชิ้น ๆ หรือทำอะไรง่ายๆ ก็ต้องเผชิญหน้ากัน พวกเขาล้อมรอบเราอย่างแท้จริง แต่ยังไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาบางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นตัวอย่าง เราสามารถเข้าใจถึงความจำเป็นในการแนะนำแนวคิดนี้