หารด้วยเศษส่วน. การเขียนระบบสมการ

ครั้งสุดท้ายที่เราได้เรียนรู้วิธีบวกและลบเศษส่วน (ดูบทเรียน “การบวกและการลบเศษส่วน”) ที่สุด ช่วงเวลาที่ยากลำบากในการกระทำเหล่านั้นมีการลดเศษส่วนลง ตัวส่วนร่วม.

ตอนนี้ถึงเวลาจัดการกับการคูณและการหารแล้ว ข่าวดีก็คือว่าการดำเนินการเหล่านี้ง่ายกว่าการบวกและการลบด้วยซ้ำ ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า กรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อมีเศษส่วนบวกสองตัวโดยไม่มีจำนวนเต็มแยกกัน

หากต้องการคูณเศษส่วนทั้งสอง คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนแยกจากกัน ตัวเลขตัวแรกจะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และตัวที่สองจะเป็นตัวส่วน

หากต้องการหารเศษส่วนสองส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยเศษส่วนที่สองที่ "กลับหัว"

การกำหนด:

จากคำจำกัดความพบว่าการหารเศษส่วนลดลงเป็นการคูณ หากต้องการ "พลิก" เศษส่วน เพียงสลับตัวเศษและส่วน ดังนั้นตลอดบทเรียนเราจะพิจารณาการคูณเป็นหลัก

จากการคูณ เศษส่วนที่ลดลงสามารถเกิดขึ้นได้ (และมักจะเกิดขึ้น) - แน่นอนว่าจะต้องลดลง หากหลังจากการลดลงทั้งหมดแล้วเศษส่วนไม่ถูกต้อง ควรเน้นส่วนทั้งหมด แต่สิ่งที่จะไม่เกิดขึ้นแน่นอนกับการคูณคือการลดตัวส่วนร่วม: ไม่มีวิธีกากบาท ตัวประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด และตัวคูณร่วมน้อย

ตามคำจำกัดความที่เรามี:

การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนทั้งหมดและเศษส่วนติดลบ

หากเศษส่วนมีส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม จะต้องแปลงเศษส่วนเป็นส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วจึงคูณตามรูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้นเท่านั้น

หากมีเครื่องหมายลบในตัวเศษของเศษส่วนในตัวส่วนหรือข้างหน้าเศษส่วนก็สามารถลบออกจากการคูณหรือลบออกทั้งหมดได้ตามกฎต่อไปนี้:

1. บวกด้วยลบให้ลบ;
2. แง่ลบสองประการทำให้มีการยืนยัน

จนถึงขณะนี้กฎเหล่านี้พบเฉพาะเมื่อบวกและลบเศษส่วนลบเมื่อจำเป็นต้องกำจัดส่วนทั้งหมดออก สำหรับงานสามารถสรุปเพื่อ "เผา" ข้อเสียหลายประการในคราวเดียว:

1. เราขีดฆ่าเชิงลบเป็นคู่ ๆ จนกว่าพวกมันจะหายไปอย่างสมบูรณ์ ในกรณีที่รุนแรง เครื่องหมายลบหนึ่งตัวสามารถอยู่รอดได้ - อันที่ไม่มีคู่ครอง
2. หากไม่มีข้อเสียเหลืออยู่ การดำเนินการจะเสร็จสิ้น - คุณสามารถเริ่มการคูณได้ หากเครื่องหมายลบสุดท้ายไม่ถูกขีดฆ่า เนื่องจากไม่มีคู่ เราจะนำมันออกจากขีดจำกัดของการคูณ ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่เป็นลบ

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

เราแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนเกิน แล้วนำเครื่องหมายลบออกจากการคูณ เราคูณสิ่งที่เหลืออยู่ กฎปกติ- เราได้รับ:

ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าเครื่องหมายลบที่ปรากฏหน้าเศษส่วนที่มีการไฮไลท์ไว้ ทั้งส่วนอ้างถึงเศษส่วนทั้งหมดโดยเฉพาะ และไม่ใช่แค่เศษส่วนทั้งหมดเท่านั้น (ใช้กับสองตัวอย่างสุดท้าย)

หมายเหตุด้วย ตัวเลขติดลบ: เมื่อคูณจะอยู่ในวงเล็บ ทำเช่นนี้เพื่อแยกเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายคูณ และทำให้สัญกรณ์ทั้งหมดแม่นยำยิ่งขึ้น

การลดเศษส่วนได้ทันที

การคูณเป็นการดำเนินการที่ต้องใช้แรงงานมาก ตัวเลขที่นี่ค่อนข้างมาก และเพื่อลดความซับซ้อนของปัญหา คุณสามารถลองลดเศษส่วนลงอีกได้ ก่อนการคูณ- โดยพื้นฐานแล้ว ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นปัจจัยธรรมดา ดังนั้นจึงสามารถลดทอนได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ตามคำจำกัดความที่เรามี:

ในตัวอย่างทั้งหมด ตัวเลขที่ลดลงและสิ่งที่เหลืออยู่จะถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดง

โปรดทราบ: ในกรณีแรก ตัวคูณจะลดลงจนหมด ในสถานที่ของพวกเขายังมีหน่วยที่ไม่จำเป็นต้องเขียนโดยทั่วไป ในตัวอย่างที่สอง ไม่สามารถลดได้ทั้งหมด แต่จำนวนการคำนวณทั้งหมดยังคงลดลง

อย่างไรก็ตาม อย่าใช้เทคนิคนี้ในการบวกและลบเศษส่วนเด็ดขาด! ใช่ บางครั้งก็มีตัวเลขคล้ายกันที่คุณต้องการลด ที่นี่ดู:

คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้!

ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากเมื่อบวก ตัวเศษของเศษส่วนจะสร้างผลรวม ไม่ใช่ผลคูณของตัวเลข ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะนำคุณสมบัติหลักของเศษส่วนไปใช้เนื่องจากในคุณสมบัตินี้ เรากำลังพูดถึงโดยเฉพาะเรื่องการคูณเลข

ไม่มีเหตุผลอื่นใดในการลดเศษส่วนดังนั้น การตัดสินใจที่ถูกต้องงานก่อนหน้านี้มีลักษณะดังนี้:

วิธีแก้ไขที่ถูกต้อง:

อย่างที่คุณเห็นคำตอบที่ถูกต้องกลับกลายเป็นว่าไม่สวยงามนัก โดยทั่วไปควรระมัดระวัง

ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ จากหลักสูตรคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ คุณจะต้องหารเศษส่วน วิธีนี้ทำได้ง่ายมากหากคุณรู้กฎเกณฑ์บางประการในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้

ก่อนที่เราจะไปสู่การกำหนดกฎสำหรับการหารเศษส่วน เรามาจำคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์กันก่อน:

1. ส่วนบนของเศษส่วนเรียกว่าตัวเศษ และส่วนล่างเรียกว่าตัวส่วน
2. เมื่อหารจะเรียกตัวเลขดังนี้: เงินปันผล: ตัวหาร = ผลหาร

วิธีแบ่งเศษส่วน: เศษส่วนอย่างง่าย

หากต้องการหารเศษส่วนอย่างง่าย 2 ตัว ให้คูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร เศษส่วนนี้เรียกอีกอย่างว่ากลับด้านเพราะได้มาจากการสลับตัวเศษและตัวส่วน ตัวอย่างเช่น:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

วิธีหารเศษส่วน: เศษส่วนคละ

หากเราต้องหารเศษส่วนคละ ทุกอย่างที่นี่ก็ค่อนข้างเรียบง่ายและชัดเจนเช่นกัน ขั้นแรก เราแปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษส่วนเกินปกติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวส่วนของเศษส่วนดังกล่าวด้วยจำนวนเต็มแล้วบวกตัวเศษเข้ากับผลลัพธ์ที่ได้ เป็นผลให้เราได้รับตัวเศษใหม่ของเศษส่วนคละ แต่ตัวส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง นอกจากนี้ การหารเศษส่วนจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการหารเศษส่วนอย่างง่ายทุกประการ ตัวอย่างเช่น:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

วิธีหารเศษส่วนด้วยตัวเลข

ในการที่จะหารเศษส่วนอย่างง่ายด้วยตัวเลข ควรเขียนเศษส่วนหลังเป็นเศษส่วน (ไม่ปกติ) ทำได้ง่ายมาก: ตัวเลขนี้เขียนแทนตัวเศษ และตัวส่วนของเศษส่วนนั้นเท่ากับ 1 มีการแบ่งส่วนเพิ่มเติม ตามปกติ- ลองดูตัวอย่างนี้:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

วิธีหารทศนิยม

บ่อยครั้งที่ผู้ใหญ่มีปัญหาในการหารจำนวนเต็มหรือเศษส่วนทศนิยมด้วยเศษส่วนทศนิยมโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

ดังนั้น ในการหารทศนิยม คุณเพียงแค่ต้องขีดฆ่าลูกน้ำในตัวหารและหยุดสนใจมัน ในการจ่ายเงินปันผล จะต้องเลื่อนลูกน้ำไปทางขวาให้มากเท่ากับตำแหน่งที่เป็นเศษส่วนของตัวหาร โดยเติมศูนย์หากจำเป็น แล้วพวกเขาก็ทำการหารด้วยจำนวนเต็มตามปกติ. เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

§ 87 การบวกเศษส่วน

การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกับการบวกจำนวนเต็มหลายประการ การบวกเศษส่วนเป็นการกระทำที่ประกอบด้วยตัวเลข (เงื่อนไข) ที่กำหนดหลายจำนวนรวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งมีหน่วยและเศษส่วนทั้งหมดของหน่วยของคำศัพท์

เราจะพิจารณาสามกรณีตามลำดับ:

1. การบวกเศษส่วนด้วย ตัวส่วนเดียวกัน.
2. การบวกเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกัน.
3. การบวกเลขคละ

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน

ลองพิจารณาตัวอย่าง: 1/5 + 2/5

ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 17) มาเป็นหนึ่งแล้วหารด้วย 5 ส่วนที่เท่ากันจากนั้น AC ส่วนของกลุ่มนี้จะเท่ากับ 1/5 ของส่วน AB และส่วนหนึ่งของ CD ส่วนเดียวกันจะเท่ากับ 2/5 AB

จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าถ้าเราหาส่วน AD จะเท่ากับ 3/5 AB; แต่ส่วน AD เป็นผลรวมของส่วน AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และผลรวม เราจะเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการบวกตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากที่นี่เราได้รับ กฎถัดไป: หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน

ลองดูตัวอย่าง:

2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8 ได้ เราเขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน

ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน เพิ่มตัวเศษและติดป้ายกำกับตัวส่วนร่วม

ลองพิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนตัวประกอบเพิ่มเติมเหนือเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):

3. การบวกเลขคละ

มาบวกตัวเลขกัน: 2 3/8 + 3 5/6

ก่อนอื่น เรามานำเศษส่วนของตัวเลขของเรามาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:

ตอนนี้เราเพิ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:

§ 88 การลบเศษส่วน

การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่คือการกระทำที่ได้รับความช่วยเหลือ เมื่อพิจารณาจากผลรวมของคำศัพท์สองคำและหนึ่งในนั้น ก็จะพบคำศัพท์อีกคำหนึ่ง ให้เราพิจารณาสามกรณีติดต่อกัน:

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ลองดูตัวอย่าง:

13 / 15 - 4 / 15

ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 18) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้น AC ส่วนหนึ่งของส่วนนี้จะแสดงถึง 1/15 ของ AB และส่วนหนึ่งของ AD ของกลุ่มเดียวกันจะสอดคล้องกับ 13/15 AB ให้เรากันส่วน ED อีกส่วนหนึ่งไว้เท่ากับ 4/15 AB

เราต้องลบเศษส่วน 4/15 จาก 13/15. ในรูปวาดหมายความว่าส่วน ED จะต้องถูกลบออกจากส่วน AD ด้วยเหตุนี้ ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งก็คือ 9/15 ของส่วน AB ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษ แต่ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม

ดังนั้น หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของตัวลบออกจากตัวเศษของเครื่องหมายลบและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน

2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8

ขั้นแรก ลองลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

ลิงค์กลาง 6 / 8 - 5 / 8 เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ตั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไป

ดังนั้น ในการที่จะลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน คุณต้องลดมันให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน จากนั้นจึงลบตัวเศษของเครื่องหมายลบออกจากตัวเศษของเครื่องหมายตัวส่วนร่วมภายใต้ผลต่างของมัน

ลองดูตัวอย่าง:

3. การลบจำนวนคละ

ตัวอย่าง. 10 3/4 - 7 2/3.

ให้เราลดเศษส่วนของ minuend และลบให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

เราลบจำนวนเต็มออกจากจำนวนเต็ม และลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของสิ่งที่ถูกลบออกนั้นมากกว่าเศษส่วนของสิ่งที่ถูกลดทอน ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องนำหนึ่งหน่วยจากส่วน minuend ทั้งหมด แยกออกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน และเพิ่มเข้าไปในส่วนที่เป็นเศษส่วนของ minuend จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:

§ 89 การคูณเศษส่วน

เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วนเราจะพิจารณา คำถามต่อไปนี้:

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ
6. แนวคิดเรื่องความสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวประกอบ) หมายถึงการสร้างผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน โดยแต่ละพจน์จะเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์จะเท่ากับตัวคูณ

ซึ่งหมายความว่าหากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 ก็สามารถทำได้ดังนี้:

เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำลดลงเหลือเพียงการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะฉะนั้น,

การพิจารณาการกระทำนี้แสดงให้เห็นว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มจะเท่ากับการเพิ่มเศษส่วนนี้หลายเท่าของจำนวนหน่วยที่มีอยู่ในจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มเศษส่วนสามารถทำได้โดยการเพิ่มตัวเศษ

หรือโดยการลดตัวส่วนของมัน จากนั้นเราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มหรือหารตัวส่วนด้วยก็ได้ หากเป็นไปได้

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนั้นและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม หรือถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยจำนวนนั้น โดยไม่เปลี่ยนแปลงตัวเศษ

เมื่อคูณจะใช้ตัวย่อได้ เช่น

2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างปัญหาเหล่านี้กับปัญหาอื่นๆ ก็คือให้จำนวนของวัตถุหรือหน่วยวัด และคุณจำเป็นต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ ซึ่งมีเศษส่วนจำนวนหนึ่งระบุด้วย เพื่อช่วยให้เกิดความเข้าใจ ก่อนอื่นเราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวแล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ไข

ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล ฉันใช้เงินจำนวนนี้ไป 1/3 เพื่อซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?

ภารกิจที่ 2รถไฟจะต้องเดินทางระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะนี้แล้ว นี่กี่กิโลครับ?

ภารกิจที่ 3ในหมู่บ้านมีบ้าน 400 หลัง 3/4 หลังเป็นอิฐ ที่เหลือเป็นบ้านไม้ บ้านอิฐมีทั้งหมดกี่หลัง?

เหล่านี้คือปัญหาบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขที่เราพบ มักเรียกว่าปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด

วิธีแก้ปัญหา 1.จาก 60 ถู ฉันใช้เวลา 1/3 ไปกับหนังสือ ซึ่งหมายความว่าในการหาราคาหนังสือคุณต้องหารเลข 60 ด้วย 3:

การแก้ปัญหา2.ประเด็นของปัญหาคือคุณต้องหา 2/3 ของ 300 กม. ก่อนอื่นมาคำนวณ 1/3 ของ 300 ก่อน ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:

300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)

หากต้องการค้นหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารผลลัพธ์เป็นสองเท่า เช่น คูณด้วย 2:

100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)

การแก้ปัญหา3.ที่นี่คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐที่มี 3/4 ของ 400 ก่อนอื่นต้องหา 1/4 ของ 400 ก่อน

400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)

ในการคำนวณสามในสี่ของ 400 ผลหารผลลัพธ์จะต้องเพิ่มเป็นสามเท่า นั่นคือ คูณด้วย 3:

100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)

จากแนวทางแก้ไขปัญหาเหล่านี้ เราสามารถหากฎต่อไปนี้ได้:

ในการค้นหาค่าเศษส่วนจากจำนวนที่กำหนด คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนและคูณผลหารผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ

3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ก่อนหน้านี้ (มาตรา 26) มีการกำหนดไว้ว่าควรเข้าใจการคูณจำนวนเต็มเป็นการบวกพจน์ที่เหมือนกัน (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) ในย่อหน้านี้ (จุดที่ 1) เป็นที่ยอมรับว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการค้นหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้

ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการค้นหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน

ตอนนี้เรามาดูการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนกัน ที่นี่เราจะพบกับการคูณ: 9 2 / 3 เป็นที่ชัดเจนว่าคำจำกัดความก่อนหน้าของการคูณใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการเพิ่มจำนวนที่เท่ากันได้

ด้วยเหตุนี้ เราจึงต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ ตอบคำถามว่าการคูณเศษส่วนควรเข้าใจอะไร และการกระทำนี้ควรเข้าใจอย่างไร

ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนนั้นชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (คูณ) ด้วยเศษส่วน (คูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนนี้ของตัวคูณ

กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของเก้าหน่วย ในย่อหน้าที่แล้วปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะคิดว่าเราจะได้ 6.

แต่ตอนนี้มีความน่าสนใจและ คำถามสำคัญ: ทำไมพวกเขาถึงเป็นแบบนี้ตั้งแต่แรกเห็น? การกระทำต่างๆการหาผลรวมของจำนวนเท่ากันและการหาเศษส่วนของจำนวนที่เรียกว่า "การคูณ" ในเลขคณิตเป็นอย่างไร

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้า (การทำซ้ำตัวเลขด้วยเงื่อนไขหลาย ๆ ครั้ง) และการกระทำใหม่ (การค้นหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการต่อจากข้อพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำเดียวกัน

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 4 เมตรราคาเท่าไหร่?

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)

ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่ในนั้นปริมาณผ้าจะแสดงเป็นเศษส่วน: “ ผ้า 1 เมตรมีราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 3/4 เมตรจะราคาเท่าไหร่”

ปัญหานี้ต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)

คุณสามารถเปลี่ยนตัวเลขได้หลายครั้ง โดยไม่เปลี่ยนความหมายของปัญหา เช่น ใช้เวลา 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น

เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและต่างกันเพียงตัวเลข เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยคำเดียวกัน - การคูณ

คุณจะคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองใช้ตัวเลขที่พบในปัญหาสุดท้าย:

ตามคำจำกัดความ เราต้องหา 3/4 ของ 50 หา 1/4 ของ 50 ก่อนแล้วจึงหา 3/4

1/4 ของ 50 คือ 50/4;

3/4 ของจำนวน 50 คือ .

เพราะฉะนั้น.

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 12 5/8 =?

1/8 ของจำนวน 12 คือ 12/8

5/8 ของจำนวน 12 คือ .

เพราะฉะนั้น,

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

หากต้องการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วน และทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ และลงชื่อตัวส่วนของเศษส่วนนี้เป็นตัวส่วน

มาเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจน ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ในมาตรา 38

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) การลดลง, ตัวอย่างเช่น:

4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน กล่าวคือ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณจะต้องค้นหาเศษส่วนในตัวประกอบจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)

กล่าวคือ การคูณ 3/4 ด้วย 1/2 (ครึ่งหนึ่ง) หมายถึงการหาครึ่งหนึ่งของ 3/4

คุณจะคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองมาตัวอย่าง: 3/4 คูณด้วย 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องหา 5/7 ของ 3/4 ขั้นแรกให้หา 1/7 ของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7

1/7 ของจำนวน 3/4 จะแสดงได้ดังนี้:

5/7 ตัวเลข 3/4 จะแสดงดังนี้:

ดังนั้น,

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 คูณด้วย 4/9

1/9 ของ 5/8 คือ ,

4/9 ของจำนวน 5/8 คือ .

ดังนั้น,

จากตัวอย่างเหล่านี้สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้ได้:

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน จากนั้นให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และผลิตภัณฑ์ตัวที่สองเป็นตัวส่วนของผลคูณ

นี่คือกฎใน มุมมองทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้:

เมื่อคูณจำเป็นต้องลด (ถ้าเป็นไปได้) ลองดูตัวอย่าง:

5. การคูณจำนวนคละเนื่องจากจำนวนคละสามารถแทนที่ได้อย่างง่ายดายด้วยเศษส่วนเกิน จึงมักใช้สถานการณ์นี้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่า ในกรณีที่ตัวคูณ ตัวคูณ หรือทั้งสองตัวแสดงเป็นตัวเลขคละ จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนเกิน ลองคูณตัวเลขคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 ลองเปลี่ยนแต่ละเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วคูณเศษส่วนที่ได้ตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:

กฎ.หากต้องการคูณจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินก่อนแล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน

บันทึก.ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการแจกแจงดังนี้

6. แนวคิดเรื่องความสนใจเมื่อแก้ปัญหาและคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกประเภท แต่ต้องคำนึงว่าปริมาณจำนวนมากไม่อนุญาตให้มีการแบ่งแยกตามธรรมชาติสำหรับปริมาณเหล่านั้น ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้รูเบิลได้หนึ่งร้อย (1/100) มันจะเป็น kopeck สองในร้อยคือ 2 kopeck สามในร้อยคือ 3 kopeck คุณสามารถรับ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 โกเปค หรือสิบโกเปคชิ้น คุณสามารถรับหนึ่งในสี่ของรูเบิล เช่น 25 โกเปค ครึ่งรูเบิล เช่น 50 โกเปค (ห้าสิบโกเปค) แต่ ในทางปฏิบัติพวกเขาไม่ได้ใช้มัน เช่น 2/7 ของรูเบิล เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นเจ็ดส่วน

หน่วยของน้ำหนัก เช่น กิโลกรัม อนุญาตให้มีการหารทศนิยมเป็นหลัก เช่น 1/10 กิโลกรัม หรือ 100 กรัม และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1/13 นั้นไม่ธรรมดา

โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งทศนิยมได้

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าการใช้วิธีแบ่งย่อยปริมาณแบบเดียวกัน (สม่ำเสมอ) มีประโยชน์และสะดวกอย่างยิ่งในหลายกรณี ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าแผนกที่สมเหตุสมผลเช่นนี้คือแผนกที่ "ร้อย" ขอให้เราพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการปฏิบัติของมนุษย์ในด้านต่างๆ ที่หลากหลายที่สุด

1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 จากราคาเดิม

ตัวอย่าง. ราคาหนังสือก่อนหน้านี้คือ 10 รูเบิล ลดลง 1 รูเบิล 20 โคเปค

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ฝากเพื่อการออมในระหว่างปี

ตัวอย่าง. ฝาก 500 รูเบิลในเครื่องบันทึกเงินสด รายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนแห่งหนึ่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนที่โรงเรียน ซึ่ง 60 คนที่สำเร็จการศึกษา

ส่วนที่ร้อยของจำนวนเรียกว่าเปอร์เซ็นต์.

คำว่า "เปอร์เซ็นต์" ยืมมาจาก ภาษาละตินและรากของคำว่า "เซ็นต์" แปลว่า หนึ่งร้อย เมื่อรวมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้แปลว่า "หนึ่งร้อย" ความหมายของสำนวนดังกล่าวนั้นสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในขั้นต้นนั้น โรมโบราณดอกเบี้ยคือเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ “ทุก ๆ ร้อย” คำว่า "เซ็นต์" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม) เซนติเมตร (พูดเป็นเซนติเมตร)

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าในเดือนที่ผ่านมาโรงงานผลิตสินค้าชำรุด 1/100 ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด เราจะพูดแบบนี้: ในเดือนที่ผ่านมาโรงงานผลิตสินค้าชำรุดหนึ่งเปอร์เซ็นต์ แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตผลิตภัณฑ์ได้มากกว่าแผนที่กำหนดไว้ 4/100 รายการ เราจะพูดว่า: โรงงานทำได้เกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:

1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 จากราคาเดิม

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝากร้อยละ 2 ต่อปีของจำนวนเงินที่ฝาก

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือร้อยละ 5 ของนักเรียนทั้งหมด

หากต้องการย่อตัวอักษรให้สั้นลง เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนสัญลักษณ์ % แทนคำว่า "เปอร์เซ็นต์"

อย่างไรก็ตาม คุณต้องจำไว้ว่าในการคำนวณ เครื่องหมาย % มักจะไม่ได้เขียนไว้ในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณจะต้องเขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100 แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์นี้

คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

ในทางกลับกัน คุณต้องคุ้นเคยกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ที่ระบุ แทนที่จะเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

7. การหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด

ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลูกบาศก์เมตร. m ฟืนโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีฟืนเบิร์ชมากแค่ไหน?

ความหมายของปัญหานี้คือ ฟืนเบิร์ชประกอบขึ้นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งให้กับโรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วน 30/100 ซึ่งหมายความว่าเรามีหน้าที่ต้องหาเศษส่วนของจำนวน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (ปัญหาในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ได้ด้วยการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน)

ซึ่งหมายความว่า 30% ของ 200 เท่ากับ 60

เศษส่วน 30/100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 เป็นไปได้ที่จะดำเนินการลดนี้ตั้งแต่เริ่มต้น แนวทางแก้ไขปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ภารกิจที่ 2ในค่ายมีเด็กหลากหลายวัยจำนวน 300 คน เด็กอายุ 11 ปีคิดเป็น 21% เด็กอายุ 12 ปีคิดเป็น 61% และในที่สุดเด็กอายุ 13 ปีคิดเป็น 18% มีเด็กในแต่ละวัยกี่คนในค่าย?

ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามรายการ ได้แก่ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี จากนั้น 12 ปี และสุดท้ายคือ 13 ปี

ซึ่งหมายความว่าคุณจะต้องหาเศษส่วนของจำนวนสามครั้งที่นี่ มาทำสิ่งนี้กัน:

1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?

2) มีเด็กอายุ 12 ปีกี่คน?

3) มีเด็กอายุ 13 ปีกี่คน?

หลังจากแก้ไขปัญหาแล้ว จะมีประโยชน์ในการเพิ่มตัวเลขที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:

63 + 183 + 54 = 300

ควรสังเกตว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหาคือ 100:

21% + 61% + 18% = 100%

นี่แสดงให้เห็นว่า จำนวนทั้งหมดเด็กในค่ายถูกจับได้ 100%

3 วัน วัน ชั่วโมง 3.คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่ายเรื่องอาหาร 65%, อพาร์ทเมนต์และเครื่องทำความร้อน 6%, ค่าน้ำมัน, ไฟฟ้าและวิทยุ 4%, ความต้องการด้านวัฒนธรรม 10% และประหยัดเงิน 15% มีการใช้เงินไปเท่าไรกับความต้องการที่ระบุไว้ในปัญหา?

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาเศษส่วนของ 1,200 5 ครั้ง ลองทำกันดู

1) ใช้เงินไปเท่าไหร่กับค่าอาหาร? ปัญหาบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้คือ 65% ของรายได้ทั้งหมด เช่น 65/100 ของจำนวน 1,200 มาคำนวณกันดีกว่า:

2) คุณจ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? การให้เหตุผลคล้ายกับเหตุผลก่อนหน้า เราได้การคำนวณต่อไปนี้:

3) คุณจ่ายค่าน้ำมัน ค่าไฟ และวิทยุไปเท่าไหร่?

4) ใช้เงินไปเท่าไรกับความต้องการทางวัฒนธรรม?

5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?

หากต้องการตรวจสอบ จะเป็นประโยชน์ในการบวกตัวเลขที่พบในคำถามทั้ง 5 ข้อนี้ จำนวนควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดถือเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการบวกจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา

เราแก้ไขปัญหาสามข้อแล้ว แม้ว่าปัญหาเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับเรื่องต่างๆ (การส่งฟืนให้กับโรงเรียน จำนวนเด็กที่มีอายุต่างกัน ค่าใช้จ่ายของคนงาน) แต่ก็ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในทุกปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขที่กำหนดหลายเปอร์เซ็นต์

§ 90. การหารเศษส่วน

เมื่อเราศึกษาการหารเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารเลขคละ
6. การค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนที่กำหนด
7. การค้นหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ลองพิจารณาตามลำดับ

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม

ดังที่ระบุไว้ในส่วนของจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาผลคูณของตัวประกอบสองตัว (เงินปันผล) และตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่ง (ตัวหาร) ก็จะพบตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง

เราดูที่การหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มในส่วนของจำนวนเต็ม เราพบกรณีของการหารสองกรณี: การหารโดยไม่มีเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 เศษ) ดังนั้นเราจึงกล่าวได้ว่าในสาขาจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เพราะเงินปันผลไม่ได้เป็นผลคูณของตัวหารด้วยจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากแนะนำการคูณด้วยเศษส่วนแล้ว เราสามารถพิจารณาว่ากรณีใดๆ ก็ตามของการหารจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ (ไม่รวมการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)

เช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 เท่ากับ 7 จำนวนดังกล่าวคือเศษส่วน 7 / 12 เพราะ 7 / 12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14

ดังนั้น หากต้องการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับเงินปันผลและตัวส่วนเท่ากับตัวหาร

2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

หารเศษส่วน 6/7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ระบุข้างต้น เราได้ผลลัพธ์ (6/7) และหนึ่งในปัจจัย (3) จำเป็นต้องค้นหาปัจจัยที่สองซึ่งเมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลลัพธ์เป็น 6/7 แน่นอนว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้ถึงสามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่เราตั้งไว้ก่อนหน้าคือลดเศษส่วน 6/7 ลง 3 เท่า

เรารู้อยู่แล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นคุณจึงสามารถเขียนได้ว่า:

ใน ในกรณีนี้ตัวเศษของ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเศษจึงควรถูกลดลงครึ่งหนึ่ง.

ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 หารด้วย 2 ในที่นี้ตัวเศษ 5 ไม่สามารถหารด้วย 2 ลงตัวได้ ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:

จากนี้ สามารถสร้างกฎได้: หากต้องการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้) โดยปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากันหรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ โดยปล่อยให้ตัวเศษเท่ากัน

3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ปล่อยให้จำเป็นต้องหาร 5 ด้วย 1/2 กล่าวคือ หาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ผลลัพธ์เป็น 5 แน่นอนว่าตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1/2 เป็นเศษส่วนแท้ และเมื่อคูณตัวเลขผลคูณของเศษส่วนแท้จะต้องน้อยกว่าผลคูณที่กำลังคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาเขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = เอ็กซ์ ซึ่งหมายถึง x 1/2 = 5

เราจะต้องค้นหาตัวเลขดังกล่าว เอ็กซ์ ซึ่งหากคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ เท่ากับ 5 และเป็นจำนวนเต็ม เอ็กซ์ สองเท่าเช่น 5 2 = 10

ดังนั้น 5: 1/2 = 5 2 = 10

มาตรวจสอบกัน:

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าคุณต้องการหาร 6 ด้วย 2/3 ก่อนอื่นเรามาลองค้นหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)

รูปที่ 19

ให้เราวาดส่วน AB เท่ากับ 6 หน่วยแล้วแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3/3) ของส่วน AB ทั้งหมดมีขนาดใหญ่กว่า 6 เท่า นั่นคือ จ. 18/3 ใช้วงเล็บขนาดเล็กเราเชื่อมต่อส่วนที่เป็นผลลัพธ์ 18 ส่วนจาก 2; จะมีเพียง 9 ภาคเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 2/3 มี 6 หน่วย 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่า 6 หน่วยทั้งหมด 9 เท่า เพราะฉะนั้น,

วิธีรับผลลัพธ์นี้โดยไม่ต้องวาดรูปโดยใช้การคำนวณเพียงอย่างเดียว ลองให้เหตุผลแบบนี้: เราต้องหาร 6 ด้วย 2/3 กล่าวคือ เราต้องตอบคำถามว่า 2/3 มีอยู่ใน 6 กี่ครั้ง มาดูกันก่อนว่า 1/3 มีอยู่ใน 6 กี่ครั้ง? ในหนึ่งหน่วยมี 3 ใน 3 ส่วนใน 6 หน่วยมีมากกว่า 6 เท่า เช่น 18 ใน 3 หากต้องการค้นหาตัวเลขนี้ เราจะต้องคูณ 6 ด้วย 3 ซึ่งหมายความว่า 1/3 อยู่ในหน่วย b 18 ครั้ง และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 ครั้ง แต่ครึ่งหนึ่งของหลายๆ ครั้ง เช่น 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2/3 เราได้ดังนี้:

จากตรงนี้ เราจะได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน หากต้องการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ แล้วหารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด

มาเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจน ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ในมาตรา 38 โปรดทราบว่าได้รับสูตรเดียวกันที่นั่น

เมื่อทำการหารจะสามารถใช้คำย่อได้ เช่น

4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน

สมมุติว่าเราต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8. ตัวเลขที่เกิดจากการหารจะหมายถึงอะไร? มันจะตอบคำถามว่ามีเศษส่วน 3/8 อยู่ในเศษส่วน 3/4 กี่ครั้ง เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหานี้ มาวาดภาพกัน (รูปที่ 20)

ลองเอาส่วน AB มารวมกันเป็นหนึ่งแล้วแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันและทำเครื่องหมาย 3 ส่วนนั้น ส่วน AC จะเท่ากับ 3/4 ของส่วน AB ตอนนี้ให้เราแบ่งแต่ละส่วนเดิมทั้งสี่ส่วนออกครึ่งหนึ่ง จากนั้นส่วน AB จะถูกแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนดังกล่าวจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB ให้เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวด้วยส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าส่วนที่เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในส่วนที่เท่ากับ 3/4 2 ครั้งพอดี ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าเราต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:

เราให้เหตุผลเช่นนี้: เราต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 3/32 แล้ว จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15/16 มาเขียนการคำนวณดังนี้:

15 / 16: 3 / 32 = เอ็กซ์

3 / 32 เอ็กซ์ = 15 / 16

3/32 ไม่ทราบหมายเลข เอ็กซ์ คือ 15/16

1/32 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ เป็น ,

32/32 เบอร์ เอ็กซ์ แต่งหน้า

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที แล้วทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และตัวที่สองเป็นตัวส่วน

มาเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เมื่อทำการหารจะสามารถใช้คำย่อได้ เช่น

5. การหารเลขคละ

เมื่อทำการหารจำนวนคละ จะต้องแปลงเป็นเศษส่วนเกินก่อน จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะต้องหารตามกฎการหารเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:

มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน:

ทีนี้มาแบ่งกัน:

ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วจึงหารโดยใช้กฎการหารเศษส่วน

6. การค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนที่กำหนด

ในบรรดาปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับเศษส่วน บางครั้งมีปัญหาที่ให้ค่าเศษส่วนบางส่วนของตัวเลขที่ไม่รู้จักมา และคุณจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้ ปัญหาประเภทนี้จะเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีการให้ตัวเลขไว้และจำเป็นต้องหาเศษส่วนของจำนวนนี้ ที่นี่ให้เศษส่วนของตัวเลขและจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้เอง แนวคิดนี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นหากเราหันมาแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ภารกิจที่ 1ในวันแรก ช่างกระจกได้เคลือบหน้าต่าง 50 บาน ซึ่งคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้างขึ้น บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?

สารละลาย.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดมากกว่า 3 เท่า กล่าวคือ

บ้านหลังนี้มีหน้าต่าง 150 บาน

ภารกิจที่ 2ร้านค้าขายแป้งได้ 1,500 กิโลกรัม ซึ่งคิดเป็น 3/8 ของสต็อกแป้งทั้งหมดที่ร้านมี แป้งที่ทางร้านมีให้ในตอนแรกคือเท่าใด

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหาพบว่าแป้งที่ขายได้ 1,500 กิโลกรัมคิดเป็น 3/8 ของสต๊อกทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า 1/8 ของทุนสำรองนี้จะน้อยกว่า 3 เท่านั่นคือ ในการคำนวณคุณต้องลด 1,500 ลง 3 เท่า:

1,500: 3 = 500 (นี่คือ 1/8 ของทุนสำรอง)

แน่นอนว่าอุปทานทั้งหมดจะมีขนาดใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะฉะนั้น,

500 8 = 4,000 (กก.)

สต๊อกแป้งเริ่มแรกในร้านคือ 4,000 กิโลกรัม

จากการพิจารณาปัญหานี้ จะได้กฎเกณฑ์ต่อไปนี้

หากต้องการค้นหาตัวเลขจากค่าเศษส่วนที่กำหนด ก็เพียงพอที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน

เราได้แก้ไขปัญหาสองข้อในการค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาดังกล่าวดังที่เห็นได้ชัดจากข้อที่แล้ว ได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำสองประการ: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)

อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราเรียนรู้การหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการกระทำเพียงครั้งเดียว ซึ่งก็คือ การหารด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ด้วยการดำเนินการเดียวดังนี้:

ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาในการค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนด้วยการหารการกระทำเดียว

7. การค้นหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ในปัญหาเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลขที่รู้เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนั้น

ภารกิจที่ 1เมื่อต้นปีนี้ฉันได้รับ 60 รูเบิลจากธนาคารออมสิน รายได้จากจำนวนเงินที่ฉันสะสมไว้เมื่อปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่แล้ว? (โต๊ะเงินสดให้ผลตอบแทนแก่ผู้ฝาก 2% ต่อปี)

ความหมายของปัญหาคือฉันฝากเงินจำนวนหนึ่งไว้ในธนาคารออมสินและอยู่ที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไปฉันได้รับเงิน 60 รูเบิลจากเธอ รายได้ซึ่งก็คือ 2/100 ของเงินที่ฉันฝาก ฉันใส่เงินไปเท่าไหร่?

ดังนั้นเมื่อรู้ส่วนหนึ่งของเงินนี้ซึ่งแสดงออกมาในสองวิธี (เป็นรูเบิลและเศษส่วน) เราจะต้องค้นหาจำนวนเงินทั้งหมดโดยที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาทั่วไปในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยการแบ่ง:

ซึ่งหมายความว่ามีเงินฝาก 3,000 รูเบิลในธนาคารออมสิน

ภารกิจที่ 2ชาวประมงบรรลุแผนรายเดือนได้ 64% ภายในสองสัปดาห์ โดยสามารถจับปลาได้ 512 ตัน พวกเขามีแผนอะไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ทราบกันว่าชาวประมงได้ดำเนินการเสร็จสิ้นตามแผนบางส่วนแล้ว ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน คิดเป็น 64% ของแผน เราไม่รู้ว่าต้องเตรียมปลากี่ตันตามแผน การค้นหาหมายเลขนี้จะเป็นวิธีแก้ปัญหา

ปัญหาดังกล่าวแก้ไขได้ด้วยการแบ่ง:

ซึ่งหมายความว่าตามแผนจะต้องเตรียมปลาจำนวน 800 ตัน

ภารกิจที่ 3รถไฟไปจากริกาไปมอสโก เมื่อผ่านไปกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งถามพนักงานควบคุมรถที่ผ่านไปมาว่าได้เดินทางไปแล้วกี่กิโลเมตร ผู้ควบคุมวงตอบว่า: “เราได้ครอบคลุมการเดินทางทั้งหมดแล้ว 30%” ระยะทางจากรีกาไปมอสโกคือเท่าไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ชัดเจนว่า 30% ของเส้นทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราจำเป็นต้องค้นหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ เช่น ในส่วนนี้ ให้ค้นหาทั้งหมด:

§ 91. หมายเลขซึ่งกันและกัน การแทนที่การหารด้วยการคูณ

ลองหาเศษส่วน 2/3 แล้วแทนที่ตัวเศษแทนตัวส่วน เราจะได้ 3/2 เราได้อินเวอร์สของเศษส่วนนี้.

เพื่อให้ได้ค่าผกผันของเศษส่วนที่กำหนด คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และให้ตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ. ตัวอย่างเช่น:

3/4, ย้อนกลับ 4/3; 5/6 ย้อนกลับ 6/5

เศษส่วน 2 ตัวที่มีคุณสมบัติว่าเศษของตัวแรกเป็นตัวส่วนของวินาที และส่วนของของตัวแรกคือเศษของวินาที เรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน

ทีนี้ ลองคิดว่าเศษส่วนจะเป็นส่วนกลับของ 1/2. แน่นอน มันจะเป็น 2/1 หรือแค่ 2 เมื่อหาเศษส่วนผกผันของค่าที่กำหนด เราก็ได้จำนวนเต็ม และคดีนี้ไม่ได้แยกออกจากกัน ในทางตรงกันข้าม เศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม เช่น

1/3, ย้อนกลับ 3; 1/5, ย้อนกลับ 5

เนื่องจากในการค้นหาเศษส่วนกลับ เราจึงพบจำนวนเต็มด้วย ต่อไปนี้เราจะไม่พูดถึงเศษส่วนกลับ แต่เกี่ยวกับจำนวนกลับกัน

ลองหาวิธีเขียนค่าผกผันของจำนวนเต็มกัน สำหรับเศษส่วน สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยคุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถได้ค่าผกผันของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถมีส่วนเป็น 1 ได้ ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันของ 7 จะเป็น 1/7 เพราะ 7 = 7/1; สำหรับเลข 10 ค่าผกผันจะเป็น 1/10 เนื่องจาก 10 = 10/1

แนวคิดนี้สามารถแสดงออกได้แตกต่างออกไป: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดได้มาโดยการหารหนึ่งด้วย หมายเลขที่กำหนด - ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่กับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนด้วย อันที่จริง หากเราต้องเขียนค่าผกผันของเศษส่วน 5/9 เราก็สามารถหา 1 แล้วหารด้วย 5/9 ได้ กล่าวคือ

ตอนนี้เราขอชี้ให้เห็นสิ่งหนึ่ง คุณสมบัติตัวเลขกลับกันซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับเรา: ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับหนึ่งในความเป็นจริง:

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะสามารถค้นหาตัวเลขส่วนกลับได้ดังต่อไปนี้ สมมุติว่าเราต้องหาค่าผกผันของ 8

เรามาแสดงด้วยตัวอักษรกันดีกว่า เอ็กซ์ จากนั้น 8 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1/8. ลองหาตัวเลขอีกตัวที่เป็นอินเวอร์สของ 7/12 แล้วเขียนแทนด้วยตัวอักษร เอ็กซ์ จากนั้น 7/12 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1: 7 / 12 หรือ เอ็กซ์ = 12 / 7 .

เรานำเสนอแนวคิดเรื่องจำนวนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเกี่ยวกับการหารเศษส่วนเล็กน้อย

เมื่อเราหารตัวเลข 6 ด้วย 3/5 เราจะทำดังต่อไปนี้:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสำนวนและเปรียบเทียบกับสำนวนที่กำหนด: .

หากเราแยกนิพจน์ออกจากกันโดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามว่ามาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีสิ่งเดียวกันเกิดขึ้น ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ การหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยการคูณเงินปันผลด้วยค่าผกผันของตัวหาร

ตัวอย่างที่เราให้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างสมบูรณ์

เศษส่วนคือส่วนหนึ่งของส่วนหนึ่งหรือหลายส่วนของทั้งหมด ซึ่งโดยปกติจะถือเป็นหนึ่ง (1) เช่นเดียวกับตัวเลขธรรมชาติ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานทั้งหมดได้ (การบวก การลบ การหาร การคูณ) ด้วยเศษส่วน ในการดำเนินการนี้ คุณจำเป็นต้องรู้คุณสมบัติของการทำงานกับเศษส่วนและแยกแยะระหว่างประเภทของเศษส่วน เศษส่วนมีหลายประเภท: ทศนิยมและสามัญ หรือแบบง่าย เศษส่วนแต่ละประเภทมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง แต่เมื่อคุณเข้าใจวิธีจัดการกับเศษส่วนอย่างถ่องแท้แล้ว คุณจะสามารถแก้ตัวอย่างเศษส่วนได้ เนื่องจากคุณจะรู้หลักการพื้นฐานของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยเศษส่วน มาดูตัวอย่างวิธีการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มโดยใช้ ประเภทต่างๆเศษส่วน

จะหารเศษส่วนอย่างง่ายด้วยจำนวนธรรมชาติได้อย่างไร?
เศษส่วนสามัญหรือเศษส่วนอย่างง่ายคือเศษส่วนที่เขียนในรูปแบบของอัตราส่วนของตัวเลขโดยระบุเงินปันผล (ตัวเศษ) ที่ด้านบนของเศษส่วน และตัวหาร (ตัวส่วน) ของเศษส่วนจะแสดงที่ด้านล่าง จะหารเศษส่วนดังกล่าวด้วยจำนวนเต็มได้อย่างไร? ลองดูตัวอย่างสิ! สมมุติว่าเราต้องหาร 8/12 ด้วย 2.

ในการดำเนินการนี้ เราจะต้องดำเนินการหลายประการ:
ดังนั้น หากเราต้องเผชิญกับภารกิจในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม แผนภาพการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหารเศษส่วนธรรมดา (อย่างง่าย) ด้วยจำนวนเต็มได้

จะหารทศนิยมด้วยจำนวนเต็มได้อย่างไร?
ทศนิยมคือเศษส่วนที่ได้จากการแบ่งหน่วยออกเป็นสิบ ส่วนพัน และอื่นๆ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีทศนิยมนั้นค่อนข้างง่าย

มาดูตัวอย่างการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มกัน สมมติว่าเราต้องหารเศษส่วนทศนิยม 0.925 ด้วยจำนวนธรรมชาติ 5

โดยสรุป ให้เราอาศัยประเด็นหลักสองประการที่มีความสำคัญเมื่อดำเนินการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนเต็ม:

• เพื่อการแยก ทศนิยมการแบ่งคอลัมน์ใช้สำหรับจำนวนธรรมชาติ
  
• ลูกน้ำจะถูกวางไว้ในผลหารเมื่อการหารเงินปันผลทั้งหมดเสร็จสิ้น
  

การประยุกต์สิ่งเหล่านี้ กฎง่ายๆคุณสามารถหารทศนิยมหรือเศษส่วนอย่างง่ายด้วยจำนวนเต็มได้อย่างง่ายดายเสมอ

ต ประเภทบทเรียน: ONZ (การค้นพบความรู้ใหม่ - การใช้เทคโนโลยีวิธีการสอนตามกิจกรรม)

เป้าหมายหลัก:

1. อนุมานวิธีการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ
2. พัฒนาความสามารถในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ
3. ทำซ้ำและเสริมการหารเศษส่วน
4. ฝึกความสามารถในการลดเศษส่วน วิเคราะห์ และแก้ปัญหา

วัสดุสาธิตอุปกรณ์:

1. งานสำหรับการปรับปรุงความรู้:

เปรียบเทียบนิพจน์:

อ้างอิง:

2. งานทดลอง (ส่วนบุคคล)

1. ดำเนินการแบ่ง:

2. ทำการหารโดยไม่ต้องทำการคำนวณทั้งหมด: .

มาตรฐาน:

• เมื่อหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณสามารถคูณตัวส่วนด้วยจำนวนนั้นได้ แต่ปล่อยให้ตัวเศษเท่าเดิม

• หากตัวเศษหารด้วยจำนวนธรรมชาติ เมื่อหารเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ คุณสามารถหารตัวเศษด้วยตัวเลขและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. แรงจูงใจ (การตัดสินใจด้วยตนเอง) สำหรับกิจกรรมการศึกษา

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดให้มีการปรับปรุงข้อกำหนดสำหรับนักเรียนในแง่ของกิจกรรมการศึกษา (“ต้อง”);
2. จัดกิจกรรมนักศึกษาเพื่อสร้างกรอบการทำงานเฉพาะเรื่อง (“ฉันทำได้”);
3. สร้างเงื่อนไขสำหรับนักเรียนในการพัฒนาความต้องการภายในเพื่อรวมไว้ในกิจกรรมการศึกษา (“ฉันต้องการ”)

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 1

สวัสดี! ฉันดีใจที่ได้พบพวกคุณทุกคนในบทเรียนคณิต ฉันหวังว่ามันจะเป็นของกันและกัน

พวกคุณคุณได้รับความรู้ใหม่อะไรบ้างในบทเรียนที่แล้ว? (การหารเศษส่วน).

ขวา. อะไรช่วยคุณในการหารเศษส่วน? (กฎคุณสมบัติ)

เราต้องการความรู้นี้ที่ไหน? (ในตัวอย่าง สมการ ปัญหา)

ทำได้ดี! คุณทำได้ดีกับงานที่ได้รับมอบหมายในบทเรียนที่แล้ว วันนี้คุณต้องการที่จะค้นพบความรู้ใหม่ ๆ ด้วยตัวคุณเองหรือไม่? (ใช่).

ถ้าอย่างนั้น - ไปกันเลย! และคติประจำบทเรียนคือข้อความที่ว่า “คุณไม่สามารถเรียนรู้คณิตศาสตร์ด้วยการดูเพื่อนบ้านทำ!”

ครั้งที่สอง การปรับปรุงความรู้และแก้ไขปัญหาส่วนบุคคลในการดำเนินการทดลอง

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดระเบียบการปรับปรุงวิธีการเรียนรู้ที่เพียงพอที่จะสร้างองค์ความรู้ใหม่ บันทึกวิธีการเหล่านี้ทั้งทางวาจา (คำพูด) และเชิงสัญลักษณ์ (มาตรฐาน) และสรุปวิธีการเหล่านี้
2. จัดระเบียบการดำเนินงานทางจิตและกระบวนการรับรู้ที่เกิดขึ้นจริงเพียงพอที่จะสร้างความรู้ใหม่
3. จูงใจให้ดำเนินการทดลองและการดำเนินการและการให้เหตุผลอย่างเป็นอิสระ
4. นำเสนองานแต่ละงานสำหรับการดำเนินการทดลองและวิเคราะห์เพื่อระบุเนื้อหาทางการศึกษาใหม่
5. จัดระเบียบเป้าหมายการศึกษาและหัวข้อของบทเรียน
6. จัดระเบียบการดำเนินการทดลองและแก้ไขปัญหา
7. จัดระเบียบการวิเคราะห์การตอบสนองที่ได้รับและบันทึกความยากลำบากของแต่ละบุคคลในการดำเนินการทดลองหรือให้เหตุผล

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 2

ด้านหน้าใช้แท็บเล็ต (แต่ละบอร์ด)

1. เปรียบเทียบนิพจน์:

(สำนวนเหล่านี้เท่ากัน)

คุณสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอะไรบ้าง? (ตัวเศษและส่วนของเงินปันผล ตัวเศษและส่วนของตัวหารในแต่ละนิพจน์เพิ่มขึ้นด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน ดังนั้น เงินปันผลและตัวหารในนิพจน์จึงแสดงด้วยเศษส่วนที่เท่ากัน)

ค้นหาความหมายของสำนวนและจดลงบนแท็บเล็ตของคุณ (2)

ฉันจะเขียนตัวเลขนี้เป็นเศษส่วนได้อย่างไร?

คุณดำเนินการแบ่งส่วนอย่างไร? (เด็กออกเสียงกฎ ครูติดสัญลักษณ์ตัวอักษรไว้บนกระดาน)

2. คำนวณและบันทึกผลลัพธ์เท่านั้น:

3. เพิ่มผลลัพธ์และเขียนคำตอบ (2)

หมายเลขที่ได้รับในภารกิจที่ 3 ชื่ออะไร? (เป็นธรรมชาติ)

คุณคิดว่าคุณสามารถหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติได้หรือไม่ เพราะเหตุใด (ใช่ เราจะพยายาม)

ลองสิ่งนี้

4. งานส่วนบุคคล (ทดลอง)

ดำเนินการแบ่ง: (ตัวอย่าง ก เท่านั้น)

คุณใช้กฎอะไรในการแบ่ง? (ตามกฎการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน)

ตอนนี้หารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า ด้วยวิธีง่ายๆโดยไม่ต้องดำเนินการคำนวณทั้งหมด: (ตัวอย่าง b) ฉันจะให้เวลาคุณ 3 วินาทีสำหรับสิ่งนี้

ใครทำภารกิจให้เสร็จภายใน 3 วินาทีไม่ได้บ้าง?

ใครทำ? (ไม่มีสิ่งนั้น)

ทำไม (เราไม่รู้ทาง)

คุณได้อะไร? (ความยาก)

คุณคิดว่าเราจะทำอะไรในชั้นเรียน? (การหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ)

ถูกต้อง เปิดสมุดบันทึกแล้วจดหัวข้อบทเรียน: “การหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ”

เหตุใดหัวข้อนี้จึงฟังดูใหม่เมื่อคุณรู้วิธีหารเศษส่วนอยู่แล้ว (ต้องหาทางใหม่)

ขวา. วันนี้เราจะมาสร้างเทคนิคที่ทำให้การหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติง่ายขึ้น

III. การระบุสถานที่และสาเหตุของปัญหา

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดระเบียบการฟื้นฟูการดำเนินงานที่เสร็จสมบูรณ์และบันทึก (ด้วยวาจาและสัญลักษณ์) สถานที่ - ขั้นตอนการดำเนินการ - ที่ความยากลำบากเกิดขึ้น
2. จัดระเบียบความสัมพันธ์ระหว่างการกระทำของนักเรียนกับวิธีการ (อัลกอริทึม) ที่ใช้ และการแก้ไขคำพูดภายนอกถึงสาเหตุของความยากลำบาก - ความรู้ ทักษะ หรือความสามารถเฉพาะที่ยังขาดในการแก้ปัญหาเบื้องต้นประเภทนี้

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 3

คุณต้องทำงานอะไรให้สำเร็จ? (หารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติโดยไม่ต้องผ่านการคำนวณทั้งหมด)

อะไรทำให้คุณลำบาก? (ไม่สามารถตัดสินใจได้. เวลาอันสั้นวิธีที่รวดเร็ว)

เราตั้งเป้าหมายอะไรสำหรับตัวเราเองในบทเรียน? (หา วิธีที่รวดเร็วการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ)

จะช่วยคุณได้อย่างไร? (กฎการหารเศษส่วนที่ทราบกันดีอยู่แล้ว)

IV. สร้างโครงการเพื่อแก้ไขปัญหา

จุดประสงค์ของเวที:

1. ชี้แจงเป้าหมายโครงการ
2. การเลือกวิธีการ (ชี้แจง);
3. การกำหนดค่าเฉลี่ย (อัลกอริทึม)
4. การสร้างแผนเพื่อให้บรรลุเป้าหมาย

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 4

กลับไปที่งานทดสอบกันเถอะ คุณบอกว่าคุณหารตามกฎการหารเศษส่วนเหรอ? (ใช่)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่จำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนหรือไม่? (ใช่)

คุณคิดว่าขั้นตอน (หรือขั้นตอน) ใดที่สามารถข้ามได้

(ห่วงโซ่โซลูชันเปิดอยู่บนกระดาน:

วิเคราะห์และสรุปผล (ขั้นตอนที่ 1)

หากไม่มีคำตอบ เราจะนำคุณไปสู่คำถาม:

ตัวหารตามธรรมชาติหายไปไหน? (เข้าตัวส่วน)

ตัวเศษมีการเปลี่ยนแปลงหรือไม่? (เลขที่)

แล้วคุณ “ละเว้น” ขั้นตอนไหนได้บ้าง? (ขั้นตอนที่ 1)

แผนปฏิบัติการ:

• คูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ
• เราไม่เปลี่ยนตัวเศษ.
• เราได้เศษส่วนใหม่

V. การดำเนินโครงการที่สร้างขึ้น

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดระเบียบปฏิสัมพันธ์การสื่อสารเพื่อดำเนินโครงการที่สร้างขึ้นโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อรับความรู้ที่ขาดหายไป
2. จัดระเบียบการบันทึกวิธีการกระทำที่สร้างขึ้นทั้งคำพูดและสัญญาณ (โดยใช้มาตรฐาน)
3. จัดระเบียบแนวทางแก้ไขปัญหาเบื้องต้นและบันทึกวิธีการเอาชนะความยากลำบาก
4. จัดงานชี้แจง ทั่วไปความรู้ใหม่

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 5

ตอนนี้รันกรณีทดสอบด้วยวิธีใหม่อย่างรวดเร็ว

ตอนนี้คุณสามารถทำงานให้เสร็จได้อย่างรวดเร็วแล้วหรือยัง? (ใช่)

อธิบายว่าคุณทำเช่นนี้ได้อย่างไร? (เด็ก ๆ พูดคุย)

ซึ่งหมายความว่าเราได้รับความรู้ใหม่: กฎสำหรับการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

ทำได้ดี! พูดเป็นคู่..

จากนั้นนักเรียนคนหนึ่งพูดกับชั้นเรียน เราแก้ไขกฎอัลกอริธึมด้วยวาจาและในรูปแบบของมาตรฐานบนกระดาน

ตอนนี้ป้อนการกำหนดตัวอักษรและจดสูตรสำหรับกฎของเรา

นักเรียนเขียนบนกระดานโดยบอกว่ากฎ: เมื่อหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณสามารถคูณตัวส่วนด้วยจำนวนนี้ได้ แต่ปล่อยให้ตัวเศษเท่าเดิม

(ทุกคนเขียนสูตรลงในสมุดบันทึก)

ตอนนี้วิเคราะห์ห่วงโซ่ของการแก้งานทดสอบอีกครั้งโดยให้ความสนใจเป็นพิเศษกับคำตอบ คุณทำอะไร? (ตัวเศษของเศษส่วน 15 ถูกหาร (ลด) ด้วยเลข 3)

หมายเลขนี้คืออะไร? (ธรรมชาติ ตัวหาร)

แล้วคุณจะหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติได้อย่างไร? (ตรวจสอบ: หากตัวเศษของเศษส่วนหารด้วยจำนวนธรรมชาตินี้ คุณสามารถหารตัวเศษด้วยจำนวนนี้ เขียนผลลัพธ์เป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม)

เขียนวิธีนี้ลงไปเป็นสูตร (นักเรียนเขียนกฎบนกระดานขณะออกเสียง ทุกคนเขียนสูตรลงในสมุดจด)

กลับไปที่วิธีแรกกัน คุณสามารถใช้มันได้ถ้า a:n? (ใช่แล้ว วิธีการทั่วไป)

และสะดวกใช้วิธีที่สองเมื่อใด? (เมื่อตัวเศษหารด้วยจำนวนธรรมชาติโดยไม่มีเศษ)

วี. การรวมหลักด้วยการออกเสียงคำพูดภายนอก

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดระเบียบการดูดซึมวิธีการปฏิบัติแบบใหม่ของเด็กเมื่อแก้ไขปัญหามาตรฐานด้วยการออกเสียงคำพูดภายนอก (ด้านหน้า, เป็นคู่หรือเป็นกลุ่ม)

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 6

คำนวณด้วยวิธีใหม่:

• หมายเลข 363 (a; d) - แสดงที่กระดานโดยออกเสียงกฎ
• หมายเลข 363 (e; f) - คู่กับการตรวจสอบตามตัวอย่าง

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว ทำงานอิสระด้วยการทดสอบตัวเองตามมาตรฐาน

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดระเบียบการทำงานให้เสร็จสิ้นโดยอิสระของนักเรียนเพื่อแนวทางใหม่ในการดำเนินการ
2. จัดให้มีการทดสอบตัวเองโดยเปรียบเทียบกับมาตรฐาน
3. ขึ้นอยู่กับผลการดำเนินการ งานอิสระจัดให้มีการไตร่ตรองเกี่ยวกับการนำแนวทางปฏิบัติแบบใหม่มาใช้

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 7

คำนวณด้วยวิธีใหม่:

• หมายเลข 363 (ข; ค)

นักเรียนตรวจสอบกับมาตรฐานและทำเครื่องหมายความถูกต้องของการดำเนินการ มีการวิเคราะห์สาเหตุของข้อผิดพลาดและแก้ไขข้อผิดพลาด

ครูถามนักเรียนที่ทำผิดว่าเพราะอะไร?

ในขั้นตอนนี้ สิ่งสำคัญคือนักเรียนแต่ละคนจะตรวจสอบงานของตนเองอย่างเป็นอิสระ

8. รวมอยู่ในระบบความรู้และการทำซ้ำ

จุดประสงค์ของเวที:

1. จัดระเบียบการระบุขอบเขตของการประยุกต์ใช้ความรู้ใหม่
2. จัดระเบียบการทำซ้ำเนื้อหาด้านการศึกษาที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่ามีความต่อเนื่องที่มีความหมาย

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 8

จัดระเบียบการบันทึกความยากลำบากที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในบทเรียนเพื่อเป็นแนวทางสำหรับกิจกรรมการศึกษาในอนาคต

จัดการอภิปรายและบันทึกการบ้าน

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 9

1. บทสนทนา:

พวกคุณค้นพบความรู้ใหม่อะไรในวันนี้? (เรียนการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติแบบง่ายๆ)

กำหนดวิธีการทั่วไป (พวกเขาพูด)

คุณสามารถใช้มันในลักษณะใดและในกรณีใด? (พวกเขาพูด)

ข้อดีของวิธีการใหม่คืออะไร?

เราบรรลุเป้าหมายบทเรียนของเราแล้วหรือยัง? (ใช่)

คุณใช้ความรู้อะไรเพื่อให้บรรลุเป้าหมายของคุณ? (พวกเขาพูด)

ทุกอย่างได้ผลสำหรับคุณหรือไม่?

ความยากลำบากคืออะไร?

2. การบ้าน: ข้อ 3.2.4.; เลขที่ 365(ล, เอ็น, โอ, พี); หมายเลข 370.

3. ครู:ฉันดีใจที่ทุกคนกระตือรือร้นในวันนี้และสามารถหาทางออกจากความยากลำบากได้ และที่สำคัญพวกเขาไม่ใช่เพื่อนบ้านในช่วงเปิดใหม่และการรวมตัว ขอบคุณสำหรับบทเรียนนะเด็กๆ!