การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์) การอ่านกราฟอนุพันธ์

สวัสดี! มาเข้าสู่การสอบ Unified State ที่กำลังจะมาถึงด้วยการเตรียมการอย่างเป็นระบบคุณภาพสูงและความพากเพียรในการบดหินแกรนิตแห่งวิทยาศาสตร์!!! ในมีภารกิจการแข่งขันอยู่ท้ายโพสต์เป็นคนแรก! ในบทความหนึ่งในส่วนนี้ คุณและฉัน ซึ่งมีการให้กราฟของฟังก์ชันและมีคำถามต่างๆ เกี่ยวกับสุดขั้ว ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น (ลดลง) และอื่นๆ

ในบทความนี้เราจะพิจารณาปัญหาที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีการกำหนดกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันและถามคำถามต่อไปนี้:

1. ณ จุดใดของเซกเมนต์ที่กำหนด ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (หรือน้อยที่สุด)

2. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

3. ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

4. ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

5. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) และในคำตอบจะระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่รวมอยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

6. ค้นหาช่วงของการเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ของฟังก์ชัน ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุดของช่วงเหล่านี้

7. ค้นหาจำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นในรูปแบบ y = kx + b

8. ค้นหาจุด Abscissa ของจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Abscissa หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

อาจมีคำถามอื่น ๆ แต่จะไม่ทำให้คุณลำบากหากคุณเข้าใจและ (มีลิงก์ไปยังบทความที่ให้ข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา ฉันแนะนำให้ทำซ้ำ)

ข้อมูลพื้นฐาน (สั้นๆ):

1. อนุพันธ์ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นมีสัญญาณบวก

ถ้าอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงใดช่วงหนึ่งได้ ค่าบวกจากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

2. เมื่อระยะห่างลดลง อนุพันธ์จะมีเครื่องหมายลบ

หากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าเป็นลบ กราฟของฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

3. อนุพันธ์ที่จุด x เท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่วาดกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดเดียวกัน

4. ที่จุดสุดขั้ว (สูงสุด-ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ขนานกับแกน x

เรื่องนี้ต้องเข้าใจและจดจำให้ชัดเจน!!!

กราฟอนุพันธ์ “สับสน” หลายๆ คน บางคนเข้าใจผิดว่าเป็นกราฟของฟังก์ชันโดยไม่ได้ตั้งใจ ดังนั้นในอาคารดังกล่าวที่คุณเห็นว่าได้รับกราฟให้มุ่งความสนใจไปที่เงื่อนไขของสิ่งที่ได้รับทันที: กราฟของฟังก์ชันหรือกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน?

หากเป็นกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ให้ถือว่ากราฟนั้นเป็น "การสะท้อน" ของฟังก์ชัน ซึ่งจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันนั้นแก่คุณ

พิจารณางาน:

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–2;21)

เราจะตอบคำถามต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันอยู่ที่จุดใดของเซกเมนต์ ฉ(เอ็กซ์)ยอมรับ มูลค่าสูงสุด.

ในช่วงที่กำหนด อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะลดลง (ลดลงจากขอบเขตด้านซ้ายของช่วงไปทางขวา) ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันจึงได้มาจากขอบด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ นั่นคือ ที่จุดที่ 7

คำตอบ: 7

2. ฟังก์ชันอยู่ที่จุดใดของเซ็กเมนต์ ฉ(เอ็กซ์)

จากกราฟอนุพันธ์นี้ เราสามารถพูดได้ดังนี้ ในช่วงที่กำหนด อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้น (เพิ่มขึ้นจากขอบเขตด้านซ้ายของช่วงไปทางด้านขวา) ดังนั้น, ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชันเกิดขึ้นที่ขอบเขตด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ นั่นคือ ณ จุด x = 3

คำตอบ: 3

3. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)

จุดสูงสุดสอดคล้องกับจุดที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ ลองพิจารณาว่าเครื่องหมายเปลี่ยนแปลงไปตรงไหนในลักษณะนี้

ในส่วน (3;6) อนุพันธ์เป็นบวก ส่วน (6;16) เป็นลบ

ในส่วน (16;18) อนุพันธ์เป็นบวก ส่วน (18;20) เป็นลบ

ดังนั้น ในส่วนที่กำหนด ฟังก์ชันจะมีจุดสูงสุดสองจุด x = 6 และ x = 18

คำตอบ: 2

4. ค้นหาจำนวนจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่อยู่ในส่วนนั้น

คะแนนขั้นต่ำสอดคล้องกับจุดที่เครื่องหมายอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก อนุพันธ์ของเราเป็นลบในช่วงเวลา (0;3) และเป็นบวกในช่วงเวลา (3;4)

ดังนั้น ในส่วนของฟังก์ชันจะมีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียว x = 3

*โปรดใช้ความระมัดระวังในการเขียนคำตอบ - จำนวนคะแนนจะถูกบันทึกไว้ ไม่ใช่ค่า x ข้อผิดพลาดดังกล่าวอาจเกิดขึ้นได้เนื่องจากไม่ตั้งใจ

คำตอบ: 1

5. ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่อยู่ในส่วนนั้น

โปรดทราบว่าคุณต้องค้นหาอะไร ปริมาณจุดสุดขั้ว (เป็นทั้งคะแนนสูงสุดและต่ำสุด)

จุดสุดโต่งสอดคล้องกับจุดที่สัญญาณของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลง (จากบวกเป็นลบหรือในทางกลับกัน) ในกราฟที่กำหนดในเงื่อนไข ค่าเหล่านี้คือศูนย์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะหายไปที่จุดที่ 3, 6, 16, 18

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงมีจุดปลายสุด 4 จุดบนเซ็กเมนต์

คำตอบ: 4

6. ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)

ช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้ ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงที่อนุพันธ์ของมันเป็นบวก นั่นคือ ช่วง (3;6) และ (16;18) โปรดทราบว่าขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในนั้น (วงเล็บกลม - ขอบเขตจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา, วงเล็บเหลี่ยม - รวมอยู่ด้วย) ช่วงเหล่านี้มีจุดจำนวนเต็ม 4, 5, 17 ผลรวมของพวกเขาคือ: 4 + 5 + 17 = 26

คำตอบ: 26

7. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง ฉ(เอ็กซ์)ในช่วงเวลาที่กำหนด ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

การลดช่วงเวลาของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ ในปัญหานี้ เหล่านี้คือช่วงเวลา (–2;3), (6;16), (18:21)

ช่วงเหล่านี้มีจุดจำนวนเต็มต่อไปนี้: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20 ผลรวมของพวกเขาคือ:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

คำตอบ: 140

*ให้ความสนใจกับเงื่อนไข: ไม่ว่าจะรวมขอบเขตไว้ในช่วงเวลาหรือไม่ หากรวมขอบเขตไว้ด้วย ดังนั้นในช่วงเวลาที่พิจารณาในกระบวนการแก้ปัญหา จะต้องคำนึงถึงขอบเขตเหล่านี้ด้วย

8. ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)

ช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก เราได้ระบุไว้แล้ว: (3;6) และ (16:18) ที่ใหญ่ที่สุดคือช่วงเวลา (3;6) ความยาวคือ 3

คำตอบ: 3

9. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

การลดช่วงเวลาของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ เราได้ระบุไว้แล้ว นี่คือช่วง (–2;3), (6;16), (18;21) ความยาวของพวกเขาคือ 5, 10, 3 ตามลำดับ

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดคือ 10

คำตอบ: 10

10. ค้นหาจำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง y = 2x + 3

ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์จะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง y = 2x + 3 หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน ดังนั้นพวกมัน ค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากับ 2 ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องค้นหาจำนวนจุดที่ y′(x 0) = 2 ในเชิงเรขาคณิต ค่านี้สอดคล้องกับจำนวนจุดที่ตัดกันของกราฟของอนุพันธ์ที่มีเส้นตรง y = 2 มีจุดดังกล่าวอยู่ 4 จุดในช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 4

11. ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่อยู่ในส่วนนั้น

จุดปลายสุดของฟังก์ชันคือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์ และในบริเวณใกล้กับจุดนี้ อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากบวกเป็นลบหรือกลับกัน) ในส่วนนั้น กราฟอนุพันธ์จะตัดแกน x ซึ่งอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้น จุด x = 3 คือจุดสุดขั้ว

คำตอบ: 3

12. ค้นหาจุด Abscissa ของจุดที่แทนเจนต์ของกราฟ y = f (x) ขนานกับแกน abscissa หรือตรงกับจุดนั้น ในคำตอบของคุณ ให้ระบุสิ่งที่ใหญ่ที่สุด

แทนเจนต์ของกราฟ y = f (x) สามารถขนานกับแกน abscissa หรือตรงกับมัน เฉพาะที่จุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ (อาจเป็นจุดสุดขั้วหรือจุดที่หยุดนิ่งในบริเวณใกล้เคียงที่อนุพันธ์ทำ ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย) กราฟนี้แสดงว่าอนุพันธ์เป็นศูนย์ที่จุด 3, 6, 16,18 ที่ใหญ่ที่สุดคือ 18

คุณสามารถจัดโครงสร้างการใช้เหตุผลได้ดังนี้:

ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์จะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ เนื่องจากแทนเจนต์ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับแกน x ความชันของมันคือ 0 (อันที่จริง แทนเจนต์ของมุมที่เป็นศูนย์องศาจะเป็นศูนย์) ดังนั้นเราจึงมองหาจุดที่ความชันเท่ากับศูนย์ และอนุพันธ์จึงเท่ากับศูนย์ อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ณ จุดที่กราฟตัดแกน x และนี่คือจุด 3, 6, 16,18

คำตอบ: 18

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–8;4) ฟังก์ชันอยู่ที่จุดใดของเซ็กเมนต์ [–7;–3] ฉ(เอ็กซ์)ใช้ค่าที่น้อยที่สุด

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–7;14) ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่เป็นของกลุ่ม [–6;9]

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–18;6) ค้นหาจำนวนจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่เป็นของกลุ่ม [–13;1]

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–11; –11) ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่เป็นของกลุ่ม [–10; -10].

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–7;4) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–5;7) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–11;3) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

F รูปนี้แสดงกราฟ

เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน (ซึ่งเราพิจารณาแล้ว) ค้นหาผลรวมของตัวเลขสามตัว:

1. ผลรวมของกำลังสองของส่วนปลายของฟังก์ชัน f (x)

2. ความแตกต่างระหว่างกำลังสองของผลรวมของคะแนนสูงสุดและผลรวมของคะแนนต่ำสุดของฟังก์ชัน f (x)

3. จำนวนแทนเจนต์ถึง f (x) ขนานกับเส้นตรง y = –3x + 5

ผู้ที่ตอบถูกคนแรกจะได้รับรางวัลจูงใจ 150 รูเบิล เขียนคำตอบของคุณในความคิดเห็น หากนี่เป็นความคิดเห็นแรกของคุณในบล็อก ความคิดเห็นนั้นจะไม่ปรากฏขึ้นทันที แต่หลังจากนั้นเล็กน้อย (ไม่ต้องกังวล เวลาที่เขียนความคิดเห็นจะถูกบันทึกไว้)

ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitsikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

B8- การสอบแบบรวมรัฐ

1. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุดด้วย Abscissa x0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 คำตอบ: 2

2.

คำตอบ: -5

3.

ในช่วงเวลา (–9;4)

คำตอบ:2

4.

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 คำตอบ: 0.5

5. ค้นหาจุดสัมผัสของเส้นตรง y = 3x + 8 และกราฟของฟังก์ชัน y = x3+x2-5x-4 ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจุดขาดของจุดนี้ คำตอบ: -2

6.

กำหนดจำนวนค่าจำนวนเต็มของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นลบ คำตอบ: 4

7.

คำตอบ: 2

8.

จงหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง y=5–x คำตอบ: 3

9.

ช่วงเวลา (-8; 3)

เส้นตรง y = -20 คำตอบ: 2

10.

คำตอบ: -0.5

11

คำตอบ: 1

12. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี Abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 คำตอบ: 0.5

13. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี Abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 คำตอบ: -0.25

14.

จงหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง y = x+7 คำตอบ: 4

15

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 คำตอบ: -2

16.

ช่วงเวลา (-14;9)

ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วน [-12;7] คำตอบ: 3

17

ในช่วงเวลา (-10;8)

ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วน [-9;7] คำตอบ: 4

18. เส้นตรง y = 5x-7 แตะกราฟของฟังก์ชัน y = 6x2 + bx-1 ที่จุดที่มี abscissa น้อยกว่า 0 จงหา b คำตอบ: 17

19

คำตอบ:-0,25

20

คำตอบ: 6

21. ค้นหาเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=x2+6x-7 ขนานกับเส้นตรง y=5x+11 ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจุดหักล้างของจุดสัมผัส คำตอบ: -0,5

22.

คำตอบ: 4

23. ฉ "(x) ในช่วงเวลา (-16;4)

ในส่วน [-11;0] ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน คำตอบ: 1

B8 กราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การวิจัยฟังก์ชั่น - การสอบแบบรวมรัฐ

1. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุดด้วย Abscissa x0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

2. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-6; 5)

ณ จุดใดของส่วน [-5; -1] f(x) รับค่าที่น้อยที่สุด?

3. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ที่กำหนด

ในช่วงเวลา (–9;4)

จงหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขนานกับเส้นตรง

y = 2x-17 หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

4. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

5. ค้นหาจุดสัมผัสของเส้นตรง y = 3x + 8 และกราฟของฟังก์ชัน y = x3+x2-5x-4 ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจุดขาดของจุดนี้

6. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-7; 5)

กำหนดจำนวนค่าจำนวนเต็มของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นลบ

7. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f "(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-8; 8)

ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่อยู่ในส่วน [-4; 6].

8. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f "(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-8; 4)

จงหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขนานกับเส้นตรง y=5–x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

9. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งนิยามไว้

ช่วงเวลา (-8; 3)

หาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกัน

เส้นตรง y = -20

10. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี Abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

11 - รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-9;9)

ค้นหาจำนวนจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ บนเซ็กเมนต์ [-6;8] 1

12. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี Abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

13. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี Abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

14. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-6;8)

จงหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง y = x+7

15 - รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

16. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งนิยามไว้

ช่วงเวลา (-14;9)

ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วน [-12;7]

17 - รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนด

ในช่วงเวลา (-10;8)

ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วน [-9;7]

18. เส้นตรง y = 5x-7 แตะกราฟของฟังก์ชัน y = 6x2 + bx-1 ที่จุดที่มี abscissa น้อยกว่า 0 จงหา b

19 - รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุดที่มี abscissa x0

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0

20 - ค้นหาจำนวนจุดบนช่วง (-1;12) ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ที่แสดงบนกราฟเท่ากับ 0

21. ค้นหาเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=x2+6x-7 ขนานกับเส้นตรง y=5x+11 ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจุดหักล้างของจุดสัมผัส

22. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ค้นหาจำนวนจุดจำนวนเต็มในช่วง (-2;11) ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นบวก

23. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=ฉ "(x) ในช่วงเวลา (-16;4)

ในส่วน [-11;0] ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

เส้นตรง y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 จงหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่าน้อยกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า Abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่านไป

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งก็คือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) (ซึ่งเป็นเส้นแบ่งที่ประกอบด้วยส่วนตรงสามส่วน) ใช้รูปนี้คำนวณ F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x)

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ตามสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ผลต่าง F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่จำกัด โดยกราฟของฟังก์ชัน y=f(x), เส้นตรง y=0 , x=9 และ x=5 จากกราฟ เราพบว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ระบุนั้นเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐานเท่ากับ 4 และ 3 และความสูง 3

พื้นที่ของมันเท่ากัน \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์- เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-4; 10) ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง f(x) ในคำตอบของคุณ ระบุความยาวของที่ใหญ่ที่สุด

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ดังที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชัน f(x) จะลดลงในช่วงเวลาเหล่านั้น ณ แต่ละจุดที่อนุพันธ์ f"(x) น้อยกว่าศูนย์ เมื่อพิจารณาว่าจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด จึงมีสามช่วงดังกล่าวคือ แตกต่างจากรูปโดยธรรมชาติ: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9)

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขา - (5; 9) คือ 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-8; 7) ค้นหาจำนวนคะแนนสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่เป็นของ ช่วงเวลา [-6; -2]

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

กราฟแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ f"(x) ของฟังก์ชัน f(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ที่จุดดังกล่าวจะมีค่าสูงสุด) ที่จุดหนึ่งพอดี (ระหว่าง -5 ถึง -4) จากช่วงเวลา [ -6; -2 ] ดังนั้นจึงมีจุดสูงสุดหนึ่งจุดในช่วง [-6; -2]

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับ 0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ที่จุดหนึ่งถึงศูนย์หมายความว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่วาด ณ จุดนี้ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (จุดสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้ว 5 จุด

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-3x+4 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงต่อกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5 ซึ่งหมายถึง y" (x_0)=-2x_0+5 ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ -3 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ดังนั้นเราจึงพบค่า x_0 โดยที่ = -2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และจุด -6, -1, 1, 4 ถูกทำเครื่องหมายไว้บน abscissa จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่เล็กที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

ปัญหา B9 ให้กราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ที่คุณต้องการหาปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อไปนี้:

1. มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0
2. คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด (คะแนนสุดขีด)
3. ช่วงของฟังก์ชันการเพิ่มและลด (ช่วงของความน่าเบื่อ)

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องกันอยู่เสมอ ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก แม้ว่างานนี้จะอยู่ในส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่แม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดก็สามารถทำได้ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงทฤษฎีเชิงลึกที่นี่

ในการค้นหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซ้อน มีอัลกอริธึมที่ง่ายและเป็นสากล - ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างละเอียดเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดโง่ๆ: บางครั้งคุณอาจพบข้อความที่ค่อนข้างยาว เงื่อนไขที่สำคัญซึ่งมีอิทธิพลต่อการตัดสินใจมีน้อย

การคำนวณมูลค่าอนุพันธ์ วิธีสองจุด

หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์กับกราฟนี้ที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำไปใช้:

1. ค้นหาจุด "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของมันต้องเป็นจำนวนเต็ม เรามาแสดงจุดเหล่านี้ A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) เขียนพิกัดอย่างถูกต้อง - นี่คือ ช่วงเวลาสำคัญวิธีแก้ไขและข้อผิดพลาดใดๆ ที่นี่ส่งผลให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
2. เมื่อรู้พิกัดแล้ว ง่ายต่อการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1 .
3. ในที่สุด เราก็พบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหารการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ และนี่จะเป็นคำตอบ

โปรดทราบอีกครั้ง: จะต้องค้นหาจุด A และ B บนเส้นสัมผัสกันอย่างแม่นยำ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) ดังที่มักเกิดขึ้น เส้นสัมผัสกันจะต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้นจะกำหนดโจทย์ไม่ถูกต้อง

พิจารณาจุด A (−3; 2) และ B (−1; 6) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4

มาหาค่าของอนุพันธ์กันดีกว่า: D = Δy/Δx = 4/2 = 2

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .

พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3

ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์แล้ว: D = Δy/Δx = −3/3 = −1

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .

พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0

ยังคงต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0

จากตัวอย่างสุดท้าย เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์จะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องนับอะไรเลย เพียงแค่ดูกราฟ

การคำนวณคะแนนสูงสุดและต่ำสุด

บางครั้ง แทนที่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน ปัญหา B9 จะให้กราฟของอนุพันธ์ และจำเป็นต้องค้นหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์นี้ วิธีสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอีกวิธีหนึ่งที่ง่ายกว่า ขั้นแรก เรามากำหนดคำศัพท์กันก่อน:

1. จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≥ f(x)
2. จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≤ f(x)

หากต้องการค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดจากกราฟอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เขียนกราฟอนุพันธ์ใหม่ โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกทั้งหมด ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ข้อมูลที่ไม่จำเป็นจะรบกวนการตัดสินใจเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - เท่านี้ก็เรียบร้อย
2. ค้นหาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าในบางจุด x 0 ทราบว่า f'(x 0) ≠ 0 แสดงว่าเป็นไปได้เพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ระบุได้ง่ายจากภาพวาดต้นฉบับ: หากกราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX แล้ว f'(x) ≥ 0 และในทางกลับกัน หากกราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX แล้ว f'(x) ≤ 0
3. เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง โดยที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกคือจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ

รูปแบบนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น - ไม่มีฟังก์ชันอื่นในปัญหา B9

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−5; 5]. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้

มากำจัดกันเถอะ ข้อมูลที่ไม่จำเป็น— ปล่อยให้เหลือเพียงขอบเขต [−5; 5] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 เรายังสังเกตสัญญาณ:

แน่นอนว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7]. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้

ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 ให้เราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−6; 4]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่อยู่ในเซ็กเมนต์ [−4; 3].

จากเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปตามว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ถูกจำกัดโดยเซกเมนต์ [−4; 3]. ดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่โดยทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [−4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ข้างใน กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:

บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 ณ จุดนี้เองที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

หมายเหตุเล็กๆ เกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ข้อสุดท้ายถือว่าจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราก็สามารถหา x = −3.4 ได้ หากรวบรวมปัญหาอย่างถูกต้องการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ควรส่งผลกระทบต่อคำตอบเนื่องจากคะแนน“ ที่ไม่มีที่อยู่อาศัยที่แน่นอน” ไม่ได้มีส่วนร่วมในการแก้ไขปัญหาโดยตรง แน่นอนว่าเคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเต็ม

การหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด ขอเสนอให้ใช้กราฟอนุพันธ์เพื่อค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ก่อนอื่น เรามานิยามกันก่อนว่าอะไรเพิ่มขึ้นและลดลง:

1. ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าอาร์กิวเมนต์มากขึ้น ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นตามไปด้วย
2. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการลดลงบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) เหล่านั้น. มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

มากำหนดกัน เงื่อนไขที่เพียงพอขึ้นและลง:

1. เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) เพิ่มขึ้นในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นค่าบวก เช่น ฉ'(x) ≥ 0
2. เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ลดลงในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นลบเช่น ฉ’(x) ≤ 0.

ให้เรายอมรับข้อความเหล่านี้โดยไม่มีหลักฐาน ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงซึ่งคล้ายกับอัลกอริทึมในการคำนวณจุดสุดขั้วหลายประการ:

1. ลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด ในกราฟดั้งเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก ดังนั้นเราจะเหลือไว้เพียงศูนย์เท่านั้น
2. ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ เมื่อ f’(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f’(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหาทำให้เกิดข้อจำกัดกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายตัวแปรเหล่านั้นบนกราฟใหม่เพิ่มเติม
3. ตอนนี้เรารู้พฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว ยังคงต้องคำนวณปริมาณที่ต้องการในปัญหา

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7.5]. ค้นหาช่วงการลดลงของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [−3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:

เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงต้องรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−10; 4]. ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

มากำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นกันเถอะ ให้เราเหลือเพียงขอบเขต [−10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ ซึ่งคราวนี้มีสี่ตัว: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 ลองทำเครื่องหมายเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วได้ภาพต่อไปนี้:

เราสนใจในช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เช่น โดยที่ f’(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
ลิตร 1 = − 6 − (−8) = 2;
ลิตร 2 = 2 − (−3) = 5

เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 เป็นคำตอบ

รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วง [–5; 6]. จงหาจำนวนจุดบนกราฟของ f(x) โดยที่แต่ละจุดสัมผัสกันที่กราฟของฟังก์ชันเกิดขึ้นพร้อมกันหรือขนานกับแกน x

รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์ y = f(x)

ค้นหาจำนวนจุดบนกราฟฟังก์ชันที่อยู่ในเซ็กเมนต์ [–7; 7] โดยที่แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรงที่ระบุโดยสมการ y = –3x

วัสดุจุด M เริ่มเคลื่อนที่จากจุด A และเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเป็นเวลา 12 วินาที กราฟแสดงให้เห็นว่าระยะทางจากจุด A ถึงจุด M เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป แกนแอบซิสซาแสดงเวลา t มีหน่วยเป็นวินาที และแกนพิกัดแสดงระยะทาง s มีหน่วยเป็นเมตร กำหนดจำนวนครั้งระหว่างการเคลื่อนที่ความเร็วของจุด M เปลี่ยนเป็นศูนย์ (อย่าคำนึงถึงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการเคลื่อนไหว)

รูปนี้แสดงส่วนของกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x = 0 เป็นที่ทราบกันดีว่าแทนเจนต์นี้ขนานกับเส้นที่ผ่านจุดของกราฟด้วย abscissa x = -2 และ x = 3 ใช้สิ่งนี้ หาค่าของอนุพันธ์ f"(o)

รูปนี้แสดงกราฟของ y = f’(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนเซ็กเมนต์ (−11; 2) ค้นหาจุดแอบซิสซาของจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับจุดแอบซิสซา

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3 โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 2 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากตำแหน่งเริ่มต้นไปยังตำแหน่งสุดท้าย รูปภาพแสดงกราฟการเคลื่อนที่ แกนแอบซิสซาแสดงเวลาเป็นวินาที และแกนกำหนดแสดงระยะห่างจากตำแหน่งเริ่มต้นของจุด (หน่วยเป็นเมตร) หา ความเร็วเฉลี่ยการเคลื่อนไหวของจุด ให้คำตอบเป็นเมตรต่อวินาที

ฟังก์ชัน y = f (x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [-4; 4]. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของมัน ค้นหาจำนวนจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งเป็นค่าแทนเจนต์ที่สร้างมุม 45° โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox

ฟังก์ชัน y = f (x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [-2; 4]. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของมัน ค้นหา abscissa ของจุดในกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งรับค่าที่น้อยที่สุดบนส่วน [-2; -0.001].

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุด x0 ค่าแทนเจนต์ได้จากสมการ y = -2x + 15 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = -(1/4)f(x) + 5 ที่จุด x0

บนกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y = f (x) มีจุดเจ็ดจุด: x1,.., x7 ค้นหาจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมดซึ่งมีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) มากกว่าศูนย์ ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจำนวนคะแนนเหล่านี้

รูปนี้แสดงกราฟ y = f"(x) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-10; 2) ค้นหาจำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) ขนานกับเส้นตรง y = -2x-11 หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) มีจุดเก้าจุดที่ทำเครื่องหมายไว้บนแกน abscissa: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8,x9.
มีจุดเหล่านี้กี่จุดที่อยู่ในช่วงของฟังก์ชัน f(x) ที่ลดลง?

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุด x0 แทนเจนต์ได้มาจากสมการ y = 1.5x + 3.5 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = 2f(x) - 1 ที่จุด x0

รูปนี้แสดงกราฟ y=F(x) ของหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x) บนกราฟมีจุดหกจุดที่มีจุดหักล้าง x1, x2, ..., x6 ฟังก์ชัน y=f(x) รับค่าลบที่จุดเหล่านี้กี่จุด?

รูปภาพแสดงกราฟของรถที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทาง แกนแอบซิสซาแสดงเวลา (เป็นชั่วโมง) และแกนกำหนดแสดงระยะทางที่เดินทาง (เป็นกิโลเมตร) หาความเร็วเฉลี่ยของรถบนเส้นทางนี้ ให้คำตอบเป็นกม./ชม

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1 โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิง (หน่วยเป็นเมตร) t คือเวลา ของการเคลื่อนไหว (เป็นวินาที) ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t=6 วินาที

รูปนี้แสดงกราฟของแอนติเดริเวทีฟ y = F(x) ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-6; 7) ใช้รูปนี้เพื่อกำหนดจำนวนศูนย์ของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลานี้

รูปนี้แสดงกราฟของ y = F(x) ของหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-7; 5) ใช้รูปนี้ หาจำนวนคำตอบของสมการ f(x) = 0 ในช่วงเวลา [- 5; 2].

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y=f(x) มีจุดเก้าจุดที่ทำเครื่องหมายไว้บนแกน x: x1, x2, ... x9 ค้นหาจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมดซึ่งมีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นลบ ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจำนวนคะแนนเหล่านี้

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t)=12t^3−3t^2+2t โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงมีหน่วยเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาทีที่วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t=6 วินาที

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุด x0 สมการแทนเจนต์แสดงในรูป หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=4*f(x)-3 ที่จุด x0