วิธีที่น่าสนใจในการค้นหาโหนดและโหนด พยักหน้าและนกของตัวเลข - ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัว

ตัวหารหลายตัว

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: ค้นหาตัวหารของตัวเลข 140 แน่นอนว่าตัวเลข 140 ไม่มีตัวหารเพียงตัวเดียวแต่มีหลายตัว ในกรณีเช่นนี้มีการกล่าวถึงปัญหา มากมายการตัดสินใจ มาหาพวกเขาทั้งหมดกันเถอะ ก่อนอื่นมาย่อยสลายกันก่อน หมายเลขที่กำหนดเป็นปัจจัยสำคัญ:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

ตอนนี้เราสามารถเขียนตัวหารทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย. เริ่มจากปัจจัยหลักกันก่อน นั่นคือปัจจัยที่มีอยู่ในส่วนขยายที่ระบุข้างต้น:

จากนั้นเราเขียนสิ่งที่ได้จากการคูณตัวหารเฉพาะเป็นคู่:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

จากนั้น - ตัวที่มีตัวหารเฉพาะสามตัว:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

สุดท้ายนี้ อย่าลืมหน่วยและจำนวนที่สลายตัวด้วย:

ตัวหารทั้งหมดที่เราพบมีรูปแบบ มากมายตัวหารของตัวเลข 140 ซึ่งเขียนด้วยเครื่องหมายปีกกา:

เซตตัวหารของตัวเลข 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

เพื่อความสะดวกในการรับรู้ เราได้เขียนตัวหารไว้ที่นี่ ( องค์ประกอบของชุด) ตามลำดับจากน้อยไปมาก แต่โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ไม่จำเป็น นอกจากนี้เรายังแนะนำตัวย่อ แทนที่จะเขียนว่า “เซตตัวหารของตัวเลข 140” เราจะเขียนเป็น “D(140)” ดังนั้น,

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาเซตตัวหารของจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ได้ เช่นจากการย่อยสลาย

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

เราได้รับ:

ง(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105)

จากเซตของตัวหารทั้งหมด ควรแยกเซตของตัวหารอย่างง่าย ซึ่งสำหรับตัวเลข 140 และ 105 จะเท่ากันตามลำดับ:

PD(140) = (2, 5, 7)

PD(105) = (3, 5, 7)

ควรเน้นเป็นพิเศษว่าในการสลายตัวของจำนวน 140 ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ ทั้งสองจะปรากฏขึ้นสองครั้ง ในขณะที่ในชุด PD(140) มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น โดยพื้นฐานแล้ว เซตของ PD(140) คือคำตอบของปัญหาทั้งหมด: “จงหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวน 140” เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ควรตอบคำตอบเดียวกันซ้ำมากกว่าหนึ่งครั้ง

การลดเศษส่วน ตัวหารร่วมมาก

พิจารณาเศษส่วน

เรารู้ว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ด้วยตัวเลขที่เป็นทั้งตัวหารของตัวเศษ (105) และตัวหารของตัวส่วน (140) มาดูเซต D(105) และ D(140) แล้วเขียนองค์ประกอบร่วมของมันกัน

ง(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

ด(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140)

องค์ประกอบทั่วไปของเซต D(105) และ D(140) =

ความเสมอภาคสุดท้ายสามารถเขียนให้สั้นลงได้ กล่าวคือ:

ง(105) ∩ ง(140) = (1, 5, 7, 35)

ไอคอนพิเศษ “∩” (“กระเป๋าที่มีรูอยู่ด้านล่าง”) แสดงถึงกระเป๋าทั้งสองชุดที่เขียนตาม ด้านที่แตกต่างกันจากนั้นคุณจะต้องเลือกเฉพาะองค์ประกอบทั่วไปเท่านั้น รายการ “D(105) ∩ D(140)” อ่านว่า “ จุดตัดชุดของ De จาก 105 และ De จาก 140”

[โปรดทราบว่าคุณสามารถดำเนินการไบนารี่ต่างๆ ด้วยเซตได้ เกือบจะเหมือนกับตัวเลข การดำเนินการไบนารีทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคือ สมาคมซึ่งระบุด้วยไอคอน “∪” (“กระเป๋าโดยหงายรูขึ้น”) การรวมกันของสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของทั้งสองชุด:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

พีดี(105) ∪ พีดี(140) = (2, 3, 5, 7) -

เราจึงพบว่าเศษส่วน

สามารถลดจำนวนลงด้วยตัวเลขใดๆ ที่อยู่ในเซตได้

ง(105) ∩ ง(140) = (1, 5, 7, 35)

และไม่สามารถลดลงเป็นจำนวนธรรมชาติอื่นได้ นั่นคือทั้งหมดที่ วิธีที่เป็นไปได้คำย่อ (ยกเว้นคำย่อที่ไม่น่าสนใจโดยหนึ่ง):

แน่นอนว่า วิธีที่ดีที่สุดคือการลดเศษส่วนด้วยจำนวนที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ใน ในกรณีนี้นี่คือหมายเลข 35 ที่พวกเขาบอกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก (จีซีดี) หมายเลข 105 และ 140 เขียนว่า

GCD(105, 140) = 35.

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ หากเราได้รับตัวเลขสองตัวมาและจำเป็นต้องหาตัวหารร่วมมากของพวกมัน เราไม่ควรสร้างเซตใดๆ เลย ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวเลขทั้งสองออกเป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นปัจจัยเหล่านี้ซึ่งพบได้ทั่วไปในการสลายตัวทั้งสอง เช่น:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

การคูณตัวเลขที่ขีดเส้นใต้ (ในส่วนขยายใดๆ) เราจะได้:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

แน่นอนว่าอาจมีปัจจัยที่ขีดเส้นใต้ไว้มากกว่า 2 ปัจจัย:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

จากนี้ก็ชัดเจนว่า

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

สถานการณ์นี้สมควรได้รับการกล่าวถึงเป็นพิเศษเมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกันเลยและไม่มีอะไรต้องเน้น เช่น:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

ในกรณีนี้

GCD(42, 55) = 1.

เรียกจำนวนธรรมชาติสองตัวที่ GCD เท่ากับหนึ่ง สำคัญซึ่งกันและกัน- หากคุณสร้างเศษส่วนจากตัวเลขดังกล่าว เช่น

แล้วเศษส่วนนั้นก็คือ ลดไม่ได้.

โดยทั่วไป กฎการลดเศษส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้:

		ก/ gcd( ก, ข)
		ข/ gcd( ก, ข)

นี่ก็สันนิษฐานว่า กและ ขเป็นจำนวนธรรมชาติ และเศษส่วนทั้งหมดเป็นบวก หากตอนนี้เราเพิ่มเครื่องหมายลบทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน เราจะได้กฎที่สอดคล้องกันสำหรับเศษส่วนลบ

การบวกและการลบเศษส่วน ตัวคูณร่วมน้อย

สมมติว่าคุณต้องคำนวณผลรวมของเศษส่วนสองส่วน:

เรารู้แล้วว่าตัวส่วนถูกแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะอย่างไร:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

จากการขยายนี้จะตามมาทันทีเพื่อลดเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วมก็เพียงพอที่จะคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 2 ∙ 2 (ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ได้เน้นของตัวส่วนที่สอง) และตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย 3 ("ผลคูณ" ของ ตัวประกอบเฉพาะของตัวส่วนตัวแรกที่ไม่ได้เน้น) เป็นผลให้ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองจะเท่ากับตัวเลขซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

จะสังเกตได้ง่ายว่าทั้งตัวส่วนดั้งเดิม (ทั้ง 105 และ 140) เป็นตัวหารของตัวเลข 420 และตัวเลข 420 ก็เป็นจำนวนทวีคูณของตัวส่วนทั้งสอง - และไม่ใช่แค่ตัวคูณเท่านั้น ตัวคูณร่วมน้อย (NOC) หมายเลข 105 และ 140 เขียนดังนี้:

ล.ซม.(105, 140) = 420.

เมื่อพิจารณาการสลายตัวของตัวเลข 105 และ 140 ให้ละเอียดยิ่งขึ้น เราจะเห็นเช่นนั้น

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140)

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ขและ ง:

ข ∙ ง= ล็อค( ข, ง) ∙ GCD( ข, ง).

ทีนี้มาสรุปผลรวมเศษส่วนของเรากัน:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

บันทึก.ในการแก้ปัญหาบางอย่าง คุณต้องรู้ว่ากำลังสองของตัวเลขคืออะไร ยกกำลังสองตัวเลข กหมายเลขที่เรียก กคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือ ก∙ก- (ตามที่สังเกตง่ายจะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก).

ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ทำให้การทำงานกับเศษส่วนเป็นเรื่องง่าย LCM และมักใช้เพื่อค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว

แนวคิดพื้นฐาน

ตัวหารของจำนวนเต็ม X คือจำนวนเต็ม Y อีกจำนวนหนึ่ง โดยที่ X หารกันโดยไม่เหลือเศษ ตัวอย่างเช่น ตัวหารของ 4 คือ 2 และ 36 คือ 4, 6, 9 ผลคูณของจำนวนเต็ม X คือตัวเลข Y ที่หารด้วย X ลงตัวโดยไม่มีเศษ ตัวอย่างเช่น 3 เป็นผลคูณของ 15 และ 6 เป็นผลคูณของ 12

สำหรับคู่ตัวเลขใดๆ เราสามารถหาตัวหารร่วมและตัวคูณได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ 6 และ 9 ตัวคูณร่วมคือ 18 และตัวหารร่วมคือ 3 แน่นอนว่าคู่สามารถมีตัวหารและตัวคูณได้หลายตัว ดังนั้นการคำนวณจึงใช้ GCD ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดและ LCM ตัวคูณที่เล็กที่สุด

ตัวหารที่น้อยที่สุดนั้นไม่มีความหมาย เนื่องจากสำหรับจำนวนใดๆ ก็ตามจะเป็นหนึ่งเสมอ ผลคูณที่ยิ่งใหญ่ที่สุดก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เนื่องจากลำดับของผลคูณไปจนถึงค่าอนันต์

กำลังค้นหา gcd

มีหลายวิธีในการค้นหาตัวหารร่วมมาก วิธีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ:

• การค้นหาตัวหารตามลำดับ การเลือกตัวร่วมสำหรับคู่ และค้นหาตัวที่ใหญ่ที่สุด
• การสลายตัวของตัวเลขเป็นปัจจัยที่แบ่งแยกไม่ได้
• อัลกอริธึมแบบยุคลิด;
• อัลกอริธึมไบนารี

ปัจจุบันในสถาบันการศึกษา วิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือการจำแนกออกเป็นปัจจัยเฉพาะและอัลกอริธึมแบบยุคลิด ในทางกลับกันจะใช้เมื่อแก้สมการไดโอแฟนไทน์: จำเป็นต้องค้นหา GCD เพื่อตรวจสอบสมการเพื่อหาความเป็นไปได้ในการแก้ไขเป็นจำนวนเต็ม

การค้นหา NOC

ตัวคูณร่วมน้อยยังถูกกำหนดโดยการแจงนับตามลำดับหรือการแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบที่หารไม่ได้ นอกจากนี้ยังง่ายต่อการค้นหา LCM หากได้กำหนดตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแล้ว สำหรับตัวเลข X และ Y นั้น LCM และ GCD มีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

จอแอลซีดี(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y)

ตัวอย่างเช่น ถ้า GCM(15,18) = 3 แล้ว LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการใช้ LCM คือการหาตัวส่วนร่วมซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ เศษส่วนที่กำหนด

ตัวเลขโคไพรม์

ถ้าคู่ของตัวเลขไม่มีตัวหารร่วมกัน คู่ดังกล่าวจะเรียกว่าโคไพรม์ gcd สำหรับคู่ดังกล่าวจะเท่ากับ 1 เสมอ และขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวหารและตัวคูณ gcd สำหรับคู่โคไพรม์จะเท่ากับผลคูณของตัวหาร ตัวอย่างเช่น จำนวน 25 และ 28 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีตัวหารร่วม และ LCM(25, 28) = 700 ซึ่งสอดคล้องกับผลคูณของจำนวนนั้น จำนวนที่แบ่งแยกไม่ได้สองตัวใดๆ จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ

ตัวหารร่วมและเครื่องคิดเลขหลายตัว

การใช้เครื่องคิดเลขของเราทำให้คุณสามารถคำนวณ GCD และ LCM เพื่อเลือกตัวเลขได้ตามใจชอบ งานในการคำนวณตัวหารร่วมและตัวคูณพบได้ในเลขคณิตเกรด 5 และ 6 แต่ GCD และ LCM เป็น แนวคิดหลักคณิตศาสตร์และใช้ในทฤษฎีจำนวน ระนาบ และพีชคณิตเชิงการสื่อสาร

ตัวอย่างชีวิตจริง

ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน

ตัวคูณร่วมน้อยใช้ในการค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว สมมติว่าในโจทย์เลขคณิตคุณต้องรวมเศษส่วน 5 ตัว:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ในการบวกเศษส่วน นิพจน์ต้องถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งจะช่วยลดปัญหาในการหา LCM เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกตัวเลข 5 ตัวในเครื่องคิดเลขและป้อนค่าของตัวส่วนในเซลล์ที่เหมาะสม โปรแกรมจะคำนวณ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ตอนนี้คุณต้องคำนวณตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วนซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของ LCM ต่อตัวส่วน ดังนั้นตัวคูณเพิ่มเติมจะมีลักษณะดังนี้:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

หลังจากนั้น เราคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องแล้วได้:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

เราสามารถรวมเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างง่ายดายแล้วได้ผลลัพธ์เป็น 159/360 เราลดเศษส่วนลง 3 และดูคำตอบสุดท้าย - 53/120

การแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นคือนิพจน์ในรูปแบบ ax + by = d ถ้าอัตราส่วน d / gcd(a, b) เป็นจำนวนเต็ม สมการก็จะแก้ได้ในจำนวนเต็ม ลองตรวจสอบสมการสองสามสมการเพื่อดูว่าสมการเหล่านี้มีค่าเฉลยเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ก่อนอื่น ลองตรวจสอบสมการ 150x + 8y = 37 เมื่อใช้เครื่องคิดเลข เราจะพบว่า GCD (150.8) = 2 หาร 37/2 = 18.5 ตัวเลขไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นสมการจึงไม่มีรากของจำนวนเต็ม

ลองตรวจสอบสมการ 1320x + 1760y = 10120 ใช้เครื่องคิดเลขหา GCD(1320, 1760) = 440 หาร 10120/440 = 23 ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็ม ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์จึงแก้ได้ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม .

บทสรุป

GCD และ LCM มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน และแนวคิดเหล่านี้ก็ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในส่วนใหญ่ พื้นที่ที่แตกต่างกันคณิตศาสตร์. ใช้เครื่องคิดเลขของเราคำนวณตัวหารที่มากที่สุดและผลคูณน้อยที่สุดของจำนวนตัวเลขใดๆ ก็ได้

ตัวหารร่วมมาก

คำจำกัดความ 2

หากจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ $b$ ลงตัว แล้ว $b$ จะเรียกว่าตัวหารของ $a$ และ $a$ จะเรียกว่าผลคูณของ $b$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน $c$ เรียกว่าตัวหารร่วมของทั้ง $a$ และ $b$

เซตของตัวหารร่วมของตัวเลข $a$ และ $b$ นั้นมีจำกัด เนื่องจากไม่มีตัวหารใดมากกว่า $a$ ได้ ซึ่งหมายความว่าในบรรดาตัวหารเหล่านี้ จะมีตัวหารที่มากที่สุด ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข $a$ และ $b$ และเขียนแทนด้วยสัญกรณ์ต่อไปนี้:

$GCD\(a;b)\ หรือ \D\(a;b)$

หากต้องการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวที่คุณต้องการ:

1. หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา gcd ของตัวเลข $121$ และ $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

เลือกตัวเลขที่รวมอยู่ในส่วนขยายของตัวเลขเหล่านี้

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$GCD=2\cdot 11=22$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา gcd ของ monomials $63$ และ $81$

เราจะค้นหาตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

ลองแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

เราเลือกตัวเลขที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขเหล่านี้

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ลองหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 กัน จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$GCD=3\cdot 3=9$

คุณสามารถค้นหา gcd ของตัวเลขสองตัวได้ด้วยวิธีอื่น โดยใช้ชุดตัวหารของตัวเลข

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหา gcd ของตัวเลข $48$ และ $60$

สารละลาย:

ลองหาเซตตัวหารของตัวเลข $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ทีนี้ ลองหาเซตตัวหารของจำนวน $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ลองหาจุดตัดของชุดเหล่านี้: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ชุดนี้จะกำหนดชุดของตัวหารร่วมของตัวเลข $48$ และ $60 $. องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในชุดนี้จะเป็นตัวเลข $12$ ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข $48$ และ $60$ คือ $12$

คำจำกัดความของ NPL

คำจำกัดความ 3

ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติ$a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นพหุคูณของทั้ง $a$ และ $b$

ผลคูณร่วมของตัวเลขคือตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเดิมโดยไม่มีเศษ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข $25$ และ $50$ ตัวคูณร่วมจะเป็นตัวเลข $50,100,150,200$ เป็นต้น

ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดจะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อย และจะแสดงแทน LCM$(a;b)$ หรือ K$(a;b).$

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

1. แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนแรกและเพิ่มปัจจัยที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนที่สองและไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนแรกลงไป

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข $99$ และ $77$

เราจะพบตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้

แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$99=3\cdot 3\cdot 11$

เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในข้อแรก

เพิ่มตัวคูณที่เป็นส่วนหนึ่งของวินาทีและไม่ใช่ส่วนหนึ่งของตัวแรก

หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการ

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

การรวบรวมรายการตัวหารของตัวเลขมักเป็นงานที่ต้องใช้แรงงานมาก มีวิธีค้นหา GCD ที่เรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด

ข้อความที่ใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ และ $a\vdots b$ แล้ว $D(a;b)=b$

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น $b

เมื่อใช้ $D(a;b)= D(a-b;b)$ เราจะสามารถลดจำนวนที่กำลังพิจารณาได้อย่างต่อเนื่องจนกว่าจะถึงคู่ของตัวเลข โดยที่หนึ่งในนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว จากนั้นตัวเลขที่น้อยกว่านี้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่สุดเท่าที่ต้องการสำหรับตัวเลข $a$ และ $b$

คุณสมบัติของ GCD และ LCM

1. ตัวคูณร่วมของ $a$ และ $b$ หารด้วย K$(a;b)$ ลงตัว
2. ถ้า $a\vdots b$ ดังนั้น К$(a;b)=a$

ถ้า K$(a;b)=k$ และ $m$ เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น K$(am;bm)=km$

ถ้า $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a$ และ $b$ แล้ว K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

ถ้า $a\vdots c$ และ $b\vdots c$ แล้ว $\frac(ab)(c)$ จะเป็นผลคูณร่วมของ $a$ และ $b$

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ $a$ และ $b$ จะถือว่ามีความเท่าเทียมกัน

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

ตัวหารร่วมของตัวเลข $a$ และ $b$ คือตัวหารของ $D(a;b)$

แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากก็หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น:

จำนวน 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12 ลงตัว;

เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่จำนวนหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (สำหรับ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารของตัวเลข- ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ ก- เป็นจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด กไร้ร่องรอย เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัว คอมโพสิต- โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12

ตัวหารร่วมของตัวเลขที่กำหนดสองตัว กและ ข- คือจำนวนที่ใช้หารตัวเลขที่ให้มาทั้งสองจำนวนโดยไม่มีเศษเหลือ กและ ข. ตัวหารร่วมของจำนวนหลายจำนวน (GCD)คือตัวเลขที่ใช้เป็นตัวหารของแต่ละตัว

ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขโดยย่อ กและ ขเขียนแบบนี้:

ตัวอย่าง: GCD (12; 36) = 12.

ตัวหารของตัวเลขในบันทึกการแก้ปัญหาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"

ตัวอย่าง:

GCD (7; 9) = 1

ตัวเลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - เลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า สำคัญซึ่งกันและกันชีสลามี.

ซึ่งกันและกัน หมายเลขเฉพาะ - เหล่านี้เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว คือ 1 โดย gcd ของพวกมันคือ 1

คุณสมบัติตัวหารร่วมมาก (GCD)

• คุณสมบัติพื้นฐาน: ตัวหารร่วมมาก มและ nหารด้วยตัวหารร่วมของจำนวนเหล่านี้ลงตัว ตัวอย่าง: สำหรับหมายเลข 12 และ 18 ตัวหารร่วมมากคือ 6 มันถูกหารด้วยตัวหารร่วมทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้: 1, 2, 3, 6
• ข้อพิสูจน์ที่ 1: เซตของตัวหารร่วม มและ nเกิดขึ้นพร้อมกับเซตของตัวหาร GCD( ม, n).
• ข้อพิสูจน์ที่ 2: เซตของตัวคูณร่วม มและ nเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของ LCM หลายตัว ( ม, n).

ซึ่งหมายความว่าหากต้องการลดเศษส่วนให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้ คุณจะต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย gcd

• ตัวหารร่วมมากของตัวเลข มและ nสามารถกำหนดได้ว่าเป็นองค์ประกอบบวกที่เล็กที่สุดของเซตของชุดค่าผสมเชิงเส้นทั้งหมด:

แล้วจึงแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวเลข มและ n:

อัตราส่วนนี้เรียกว่า ความสัมพันธ์ของเบซูต์และค่าสัมประสิทธิ์ คุณและ โวลต์ — ค่าสัมประสิทธิ์เบซูต์- ค่าสัมประสิทธิ์ Bezout คำนวณอย่างมีประสิทธิภาพโดยอัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย ข้อความนี้ใช้กับชุดของจำนวนธรรมชาติทั่วไป - ความหมายของมันคือกลุ่มย่อยของกลุ่มที่สร้างโดยชุดนั้นเป็นแบบวนรอบและสร้างโดยองค์ประกอบเดียว: GCD ( ก 1 , ก 2 , … , หนึ่ง).

คำนวณตัวหารร่วมมาก (GCD)

วิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณ gcd ของตัวเลขสองตัวคือ อัลกอริทึมแบบยุคลิดและ ไบนารี่อัลกอริทึม- นอกจากนี้ ค่าของ gcd ( ม,n) สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายหากทราบการขยายตัวเลขตามรูปแบบบัญญัติ มและ nเป็นปัจจัยสำคัญ:

โดยที่ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (สามารถเป็นศูนย์ได้ ถ้าจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกันไม่อยู่ในส่วนขยาย) จากนั้น GCD ( ม,n) และ NOC ( ม,n) แสดงได้โดยสูตร:

หากมีตัวเลขมากกว่าสองตัว: ระบบจะพบ gcd โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

- นี่คือ GCD ที่ต้องการ

นอกจากนี้เพื่อที่จะได้ค้นพบ ตัวหารร่วมมากคุณสามารถแยกตัวประกอบตัวเลขแต่ละจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ จากนั้นเขียนแยกเฉพาะปัจจัยที่รวมอยู่ในตัวเลขที่กำหนดทั้งหมด จากนั้นเราคูณตัวเลขที่เขียนเข้าด้วยกัน - ผลลัพธ์ของการคูณคือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด .

มาดูการคำนวณตัวหารร่วมมากทีละขั้นตอนกัน:

1. แยกตัวหารของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

สะดวกในการเขียนการคำนวณโดยใช้แถบแนวตั้ง เราเขียนเงินปันผลทางด้านซ้ายของเส้นก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร ต่อไปในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าผลหาร มาอธิบายทันทีพร้อมตัวอย่าง ลองแยกตัวเลข 28 และ 64 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

2. เราเน้นตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันในทั้งสองจำนวน:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. ค้นหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันแล้วเขียนคำตอบ:

กซีดี (28; 64) = 2. 2 = 4

คำตอบ: GCD (28; 64) = 4

คุณสามารถจัดวางตำแหน่งของ GCD อย่างเป็นทางการได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ดังที่ทำข้างต้น) หรือ "ในแถว"

วิธีแรกในการเขียน GCD:

ค้นหา gcd 48 และ 36

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

วิธีที่สองในการเขียน GCD:

ตอนนี้เรามาเขียนวิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหา GCD กันเป็นบรรทัด ค้นหา gcd 10 และ 15

ง (10) = (1, 2, 5, 10)

ง (15) = (1, 3, 5, 15)

ง (10, 15) = (1, 5)

บทความนี้กล่าวถึงประเด็นการหาตัวหารร่วมมาก ก่อนอื่นเราจะอธิบายว่ามันคืออะไร พร้อมยกตัวอย่าง แนะนำคำจำกัดความของตัวหารร่วมมากของ 2, 3 หรือมากกว่านั้น แล้วเน้นที่ คุณสมบัติทั่วไป แนวคิดนี้และเราจะพิสูจน์พวกเขา

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ตัวหารร่วมคืออะไร

เพื่อทำความเข้าใจว่าตัวหารร่วมมากคืออะไร ก่อนอื่นเราต้องกำหนดว่าตัวหารร่วมสำหรับจำนวนเต็มโดยทั่วไปคืออะไร

ในบทความเกี่ยวกับตัวคูณและตัวหาร เราบอกว่าจำนวนเต็มจะต้องมีตัวหารหลายตัวเสมอ ในกรณีนี้ เราสนใจตัวหารของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งพร้อมกัน โดยเฉพาะตัวหารร่วม (เหมือนกัน) สำหรับทุกคน มาเขียนคำจำกัดความหลักกัน

คำจำกัดความ 1

ตัวหารร่วมของจำนวนเต็มหลายตัวคือตัวเลขที่สามารถเป็นตัวหารของแต่ละจำนวนจากชุดที่ระบุได้

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือตัวอย่างของตัวหาร: 3 จะเป็นตัวหารร่วมของตัวเลข - 12 และ 9 เนื่องจากค่าเท่ากัน 9 = 3 · 3 และ − 12 = 3 · (− 4) เป็นจริง ตัวเลข 3 และ - 12 มีตัวประกอบอื่นๆ ร่วมกัน เช่น 1, − 1 และ − 3 ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง จำนวนเต็มสี่จำนวน 3, − 11, − 8 และ 19 จะมีตัวประกอบร่วม 2 ตัว: 1 และ - 1

เมื่อทราบคุณสมบัติของการหารลงตัว เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนเต็มใดๆ สามารถหารด้วย 1 และลบ 1 ได้ ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนเต็มใดๆ จะมีตัวหารร่วมอย่างน้อยสองตัวอยู่แล้ว

โปรดทราบว่าถ้าเรามีตัวหารร่วม b สำหรับตัวเลขหลายจำนวน ก็สามารถหารจำนวนเดียวกันได้ หมายเลขตรงข้ามนั่นคือบน - ข โดยหลักการแล้ว เราหาได้เฉพาะตัวหารบวกเท่านั้น แล้วตัวหารร่วมทั้งหมดก็จะมากกว่า 0 เช่นกัน วิธีการนี้ก็สามารถใช้ได้เช่นกัน แต่ไม่ต้องสนใจเลย ตัวเลขติดลบไม่ควร

ตัวหารร่วมมาก (GCD) คืออะไร

ตามคุณสมบัติของการหารลงตัว ถ้า b เป็นตัวหารของจำนวนเต็ม a ซึ่งไม่เท่ากับ 0 แล้วโมดูลัสของ b ต้องไม่มากกว่าโมดูลัสของ a ดังนั้น จำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 จึงมีจำนวนตัวหารจำกัด . ซึ่งหมายความว่าจำนวนตัวหารร่วมของจำนวนเต็มหลายจำนวน อย่างน้อยหนึ่งตัวที่แตกต่างจากศูนย์ก็จะมีจำกัดเช่นกัน และจากเซตทั้งหมดนั้น เราสามารถเลือกตัวได้มากที่สุดเสมอ จำนวนมาก(ก่อนหน้านี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับแนวคิดของจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด เราขอแนะนำให้คุณทำซ้ำเนื้อหานี้)

ในการอภิปรายต่อไป เราจะถือว่าชุดตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งชุดที่เราต้องหาตัวหารร่วมมากจะแตกต่างจาก 0 หากพวกมันทั้งหมดเท่ากับ 0 ตัวหารของพวกมันอาจเป็นจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ และเนื่องจากมีจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด เราจึงไม่สามารถเลือกตัวที่มากที่สุดได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปไม่ได้ที่จะหาตัวหารร่วมมากสำหรับชุดตัวเลขที่เท่ากับ 0

เรามาดูการกำหนดคำจำกัดความหลักกันดีกว่า

คำจำกัดความ 2

ตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนหลายจำนวนคือจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่หารตัวเลขเหล่านั้นทั้งหมด

ในการเขียน ตัวหารร่วมมากมักเขียนแทนด้วยตัวย่อ GCD สำหรับตัวเลขสองตัวสามารถเขียนเป็น gcd (a, b)

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างของ gcd สำหรับจำนวนเต็มสองตัวคืออะไร? ตัวอย่างเช่น สำหรับ 6 และ - 15 จะเป็น 3 ลองพิสูจน์เรื่องนี้ดู ขั้นแรก เราเขียนตัวหารทั้งหมดของหก: ± 6, ± 3, ± 1 จากนั้นตัวหารทั้งหมดของสิบห้า: ± 15, ± 5, ± 3 และ ± 1 หลังจากนั้นเราเลือกค่าทั่วไป: เหล่านี้คือ −3, −1, 1 และ 3 คุณต้องเลือกจำนวนที่มากที่สุด นี่จะเป็น 3.

สำหรับตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป การหาตัวหารร่วมมากจะเกือบจะเท่ากัน

คำจำกัดความ 3

ตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสามตัวขึ้นไปจะเป็นจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่จะหารตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดพร้อมกัน

สำหรับตัวเลข a 1, a 2, …, a n จะสะดวกในการแสดงว่าตัวหารเป็น GCD (a 1, a 2, …, a n) ค่าของตัวหารนั้นเขียนเป็น GCD (a 1, a 2, ..., a n) = b

ตัวอย่างที่ 3

นี่คือตัวอย่างตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มหลายตัว: 12, - 8, 52, 16 มันจะเท่ากับสี่ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้ว่า GCD (12, - 8, 52, 16) = 4

คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของประโยคนี้ได้โดยจดตัวหารทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ จากนั้นเลือกตัวที่มากที่สุด

ในทางปฏิบัติ มักมีกรณีที่ตัวหารร่วมมากเท่ากับตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดสามารถหารด้วยตัวเลขที่กำหนดได้ (ในย่อหน้าแรกของบทความ เราได้จัดเตรียมหลักฐานของข้อความนี้ไว้)

ตัวอย่างที่ 4

ดังนั้น ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข 60, 15 และ - 45 คือ 15 เนื่องจาก 15 ไม่เพียงหารด้วย 60 และ - 45 เท่านั้น แต่ยังหารด้วยตัวมันเองด้วย และไม่มีตัวหารที่มากกว่าสำหรับตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด

กรณีพิเศษประกอบด้วยเลขโคไพรม์ เป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1

คุณสมบัติพื้นฐานของอัลกอริทึม GCD และยุคลิด

ตัวหารร่วมมากมีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่าง ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบทและพิสูจน์แต่ละอัน

โปรดทราบว่าคุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการกำหนดสูตรสำหรับจำนวนเต็มที่มากกว่าศูนย์ และเราจะพิจารณาเฉพาะตัวหารที่เป็นบวกเท่านั้น

คำจำกัดความที่ 4

จำนวน a และ b มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ gcd สำหรับ b และ a นั่นคือ gcd (a, b) = gcd (b, a) การกลับหมายเลขไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย

คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความของ GCD และไม่จำเป็นต้องมีการพิสูจน์

คำจำกัดความที่ 5

หากจำนวน a สามารถหารด้วยจำนวน b ได้ เซตของตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวนี้จะคล้ายกับเซตของตัวหารของตัวเลข b นั่นคือ gcd (a, b) = b

ลองพิสูจน์ข้อความนี้กัน

หลักฐานที่ 1

หากตัวเลข a และ b มีตัวหารร่วม ตัวเลขใดตัวหนึ่งก็สามารถหารด้วยตัวหารเหล่านั้นได้ ในเวลาเดียวกัน ถ้า a เป็นผลคูณของ b แล้วตัวหารใดๆ ของ b ก็จะเป็นตัวหารของ a เนื่องจากการหารลงตัวมีคุณสมบัติแบบทรานซิติวิตี ซึ่งหมายความว่าตัวหาร b ใดๆ จะเหมือนกันกับจำนวน a และ b นี่พิสูจน์ว่าถ้าเราหาร a ด้วย b ได้ เซตของตัวหารทั้งหมดของตัวเลขทั้งสองจะตรงกับเซตของตัวหารของ b ตัวเดียว และเนื่องจากตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนใดๆ ก็คือจำนวนนี้เอง ดังนั้นตัวหารร่วมมากของจำนวน a และ b ก็จะเท่ากับ b เช่นกัน กล่าวคือ GCD (ก , ข) = ข . ถ้า a = b ดังนั้น gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b เช่น gcd (132, 132) = 132

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะสามารถหาตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสองตัวได้ หากตัวใดตัวหนึ่งสามารถหารด้วยอีกตัวได้ ตัวหารนี้เท่ากับหนึ่งในสองจำนวนนี้ซึ่งสามารถหารจำนวนที่สองได้ ตัวอย่างเช่น gcd (8, 24) = 8 เนื่องจาก 24 เป็นผลคูณของแปด

คำจำกัดความ 6 หลักฐาน 2

ลองพิสูจน์คุณสมบัตินี้ดู ในตอนแรกเรามีความเท่าเทียมกัน a = b · q + c และตัวหารร่วมของ a และ b ก็จะหาร c ด้วยเช่นกัน ซึ่งอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติการหารลงตัวที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ตัวหารร่วมของ b และ c จะหาร a ซึ่งหมายความว่าเซตของตัวหารร่วม a และ b จะตรงกับเซตของตัวหาร b และ c รวมถึงตัวหารที่ใหญ่ที่สุดด้วย ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกัน gcd (a, b) = gcd (b, c) เป็นจริง

คำนิยาม 7

คุณสมบัติต่อไปนี้เรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถคำนวณตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสองตัวได้ รวมทั้งพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ของ GCD ได้

ก่อนที่จะกำหนดคุณสมบัติ เราแนะนำให้คุณทำซ้ำทฤษฎีบทที่เราพิสูจน์แล้วในบทความเรื่องการหารด้วยเศษ ตามที่กล่าวไว้ จำนวนที่หารลงตัว a สามารถแสดงเป็น b · q + r โดยที่ b ในที่นี้เป็นตัวหาร q เป็นจำนวนเต็ม (หรือเรียกอีกอย่างว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์) และ r เป็นเศษเหลือที่ตรงตามเงื่อนไข 0 ≤ r ≤ ข.

สมมติว่าเรามีจำนวนเต็มสองตัวที่มากกว่า 0 ซึ่งความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

ก = ข คิว 1 + ร 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้จะสิ้นสุดเมื่อ r k + 1 เท่ากับ 0 สิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน เนื่องจากลำดับ b > r 1 > r 2 > r 3, ... เป็นชุดของจำนวนเต็มลดลง ซึ่งสามารถรวมได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ซึ่งหมายความว่า r k คือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ a และ b ซึ่งก็คือ r k = gcd (a, b)

ก่อนอื่น เราต้องพิสูจน์ว่า rk เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข a และ b และหลังจากนั้น rk ไม่ใช่แค่ตัวหาร แต่เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลขที่กำหนดสองตัวด้วย

ลองดูรายการความเท่าเทียมกันด้านบน จากล่างขึ้นบน ตามความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด
r k − 1 สามารถหารด้วย r k ได้ จากข้อเท็จจริงนี้ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ของตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด จึงสามารถโต้แย้งได้ว่า rk - 2 สามารถหารด้วย r k ได้ เนื่องจาก
r k − 1 หารด้วย r k และ r k หารด้วย r k

ความเท่าเทียมกันประการที่สามจากด้านล่างทำให้เราสรุปได้ว่า rk − 3 สามารถหารด้วย rk ได้ เป็นต้น อันที่สองจากล่างคือ b หารด้วย r k ลงตัว และอันแรกคือ a หารด้วย r k ลงตัว จากทั้งหมดนี้ เราสรุปได้ว่า r k คือตัวหารร่วมของ a และ b

ทีนี้ลองพิสูจน์ว่า r k = GCD (a , b) . จะต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้? แสดงว่าตัวหารร่วมของ a และ b จะหาร r k ลองแสดงว่ามัน r 0 .

ลองดูรายการความเท่าเทียมกันเดียวกัน แต่จากบนลงล่าง จากคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เราสามารถสรุปได้ว่า r 1 หารด้วย r 0 ลงตัว ซึ่งหมายความว่า ตามความเท่าเทียมกันประการที่สอง r 2 หารด้วย r 0 เราลงไปที่ความเท่าเทียมกันทั้งหมด และจากอันสุดท้ายเราสรุปได้ว่า rk หารด้วย r 0 ลงตัว ดังนั้น r k = gcd (a , b)

เมื่อพิจารณาคุณสมบัตินี้แล้ว เราจึงสรุปได้ว่าเซตของตัวหารร่วม a และ b คล้ายคลึงกับเซตของตัวหาร GCD ของตัวเลขเหล่านี้ คำสั่งนี้ซึ่งเป็นผลมาจากอัลกอริทึมของยุคลิด จะทำให้เราสามารถคำนวณตัวหารร่วมทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนดสองตัวได้

มาดูคุณสมบัติอื่นกันดีกว่า

คำจำกัดความ 8

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มไม่เท่ากับ 0 ก็จะต้องมีจำนวนเต็มอีกสองตัว u 0 และ v 0 ซึ่ง GCD ที่เท่ากัน (a, b) = a · u 0 + b · v 0 จะใช้ได้

ความเท่าเทียมกันที่กำหนดในงบคุณสมบัติคือการแสดงเชิงเส้นของตัวหารร่วมมากของ a และ b เรียกว่าความสัมพันธ์เบซูต์ และตัวเลข u 0 และ v 0 เรียกว่าสัมประสิทธิ์เบซูต์

หลักฐานที่ 3

มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน ให้เราเขียนลำดับความเท่าเทียมกันโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

ก = ข คิว 1 + ร 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

ความเท่าเทียมกันประการแรกบอกเราว่า r 1 = a − b · q 1 ให้เราแสดงว่า 1 = s 1 และ − q 1 = t 1 แล้วเขียนความเท่าเทียมกันนี้ใหม่ในรูปแบบ r 1 = s 1 · a + t 1 · b ที่นี่ตัวเลข s 1 และ t 1 จะเป็นจำนวนเต็ม ความเท่าเทียมกันประการที่สองช่วยให้เราสรุปได้ว่า r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · คิว 2) ข . ให้เราแทน − s 1 · q 2 = s 2 และ 1 − t 1 · q 2 = t 2 และเขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็น r 2 = s 2 · a + t 2 · b โดยที่ s 2 และ t 2 จะเป็นดังนี้ จำนวนเต็ม เนื่องจากผลรวมของจำนวนเต็ม ผลคูณ และผลต่างก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ในทำนองเดียวกันที่เราได้รับจากความเสมอภาคที่สาม r 3 = s 3 · a + t 3 · b จากอันถัดไป r 4 = s 4 · a + t 4 · b เป็นต้น ในที่สุดเราก็สรุปได้ว่า r k = s k · a + t k · b สำหรับจำนวนเต็ม sk และ t k เนื่องจาก r k = GCD (a, b) เราจึงแทน s k = u 0 และ t k = v 0 ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถรับการแสดงเชิงเส้นตรงของ GCD ในรูปแบบที่ต้องการได้: GCD (a, b) = a · u 0 + ข · โวลต์ 0

คำนิยาม 9

GCD (ma, m b) = m GCD (a, b) สำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ m

หลักฐาน 4

คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้ ลองคูณทั้งสองข้างของแต่ละความเท่าเทียมกันในอัลกอริทึมแบบยุคลิดด้วยตัวเลข m แล้วได้ GCD (m · a, m · b) = m · r k และ r k คือ GCD (a, b) ซึ่งหมายความว่า gcd (ma, m b) = m gcd (a, b) มันเป็นคุณสมบัติของตัวหารร่วมมากที่ใช้เมื่อค้นหา GCD โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบ

คำนิยาม 10

ถ้าตัวเลข a และ b มีตัวหารร่วม p ดังนั้น gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p ในกรณีที่ p = GCD (a, b) เราได้รับ GCD (a: GCD (a, b), b: GCD (a, b) = 1 ดังนั้น ตัวเลข a: GCD (a, b) และ b : GCD (a , b) ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ

เนื่องจาก a = p (a: p) และ b = p (b: p) ดังนั้น จากคุณสมบัติก่อนหน้า เราจึงสามารถสร้างความเท่าเทียมกันของรูปแบบ gcd (a, b) = gcd (p (a: p) p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) ซึ่งจะมีการพิสูจน์คุณสมบัตินี้ด้วย เราใช้ข้อความนี้เมื่อเราให้ เศษส่วนทั่วไปสู่รูปแบบที่ลดไม่ได้

คำนิยาม 11

ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ 1, a 2, …, a k จะเป็นตัวเลข d k ซึ่งหาได้จากการคำนวณ GCD ตามลำดับ (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3 , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , หรือ k) = d k .

คุณสมบัตินี้มีประโยชน์เมื่อค้นหาตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสามตัวขึ้นไป เมื่อใช้มัน คุณสามารถลดการกระทำนี้เป็นการดำเนินการด้วยตัวเลขสองตัวได้ พื้นฐานของมันคือข้อพิสูจน์จากอัลกอริทึมแบบยุคลิด: ถ้าเซตของตัวหารร่วม a 1, 2 และ 3 เกิดขึ้นพร้อมกันกับเซต d 2 และ a 3 มันก็จะตรงกับตัวหาร d 3 ด้วย ตัวหารของตัวเลข a 1, 2, 3 และ 4 จะตรงกับตัวหารของ d 3 ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะตรงกับตัวหารของ d 4 ด้วย เป็นต้น ท้ายที่สุดแล้ว เราพบว่าตัวหารร่วมของตัวเลข a 1, a 2, ..., a k จะตรงกับตัวหาร d k และเนื่องจากตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข d k จะเป็นตัวเลขนี้เอง ดังนั้น GCD (a 1, ก 2, ..., ก) = ง ก

นั่นคือทั้งหมดที่เราอยากจะบอกคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวหารร่วมมาก

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter