จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกคืออะไร ตัวเลขใหญ่มีชื่อใหญ่

ตอบคำถามยาก ๆ ว่ามันคืออะไรซึ่งเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกก่อนอื่นควรสังเกตว่าวันนี้มีการตั้งชื่อตัวเลข 2 วิธีที่ยอมรับได้ - อังกฤษและอเมริกัน ตาม ระบบภาษาอังกฤษในแต่ละจำนวนมากจะมีการบวกคำต่อท้าย - พันล้านหรือ - ล้านตามลำดับ ส่งผลให้มีจำนวนเป็นล้าน พันล้าน ล้านล้าน ล้านล้าน และอื่นๆ หากเราดำเนินการต่อจากระบบอเมริกัน ตามนั้น จะต้องบวกส่วนต่อท้าย -million เข้ากับตัวเลขจำนวนมากแต่ละตัว ส่งผลให้เกิดการก่อตัวของตัวเลขล้านล้าน สี่ล้านล้าน และขนาดใหญ่ ควรสังเกตที่นี่ด้วยว่าระบบตัวเลขภาษาอังกฤษนั้นพบได้ทั่วไปมากกว่า โลกสมัยใหม่และตัวเลขในนั้นก็เพียงพอต่อการทำงานปกติของทุกระบบในโลกของเรา

แน่นอนว่าคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับจำนวนที่มากที่สุดจากมุมมองเชิงตรรกะนั้นไม่สามารถคลุมเครือได้ เพราะหากคุณบวกหนึ่งตัวเข้ากับแต่ละหลักถัดไป คุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นใหม่ ดังนั้น กระบวนการนี้จึงไม่มีขีดจำกัด อย่างไรก็ตาม น่าแปลกที่ยังคงมีตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกและมีรายชื่ออยู่ใน Guinness Book of Records

เลขเกรแฮมเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลก

เป็นตัวเลขนี้ที่ได้รับการยอมรับในโลกว่าใหญ่ที่สุดใน Book of Records แต่เป็นการยากมากที่จะอธิบายว่ามันคืออะไรและมีขนาดใหญ่แค่ไหน ในความหมายทั่วไป สิ่งเหล่านี้คือแฝดสามคูณกัน ส่งผลให้ตัวเลขที่มีขนาด 64 ลำดับความสำคัญสูงกว่าความเข้าใจของแต่ละคน ด้วยเหตุนี้ เราจึงให้เลขเกรแฮมได้เพียง 50 หลักสุดท้ายเท่านั้น – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

เบอร์กูเกิล

ประวัติความเป็นมาของตัวเลขนี้ไม่ซับซ้อนเท่าที่กล่าวไว้ข้างต้น ดังนั้น Edward Kasner นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่พูดคุยกับหลานชายเกี่ยวกับตัวเลขจำนวนมากจึงไม่สามารถตอบคำถามว่าจะตั้งชื่อตัวเลขที่มีศูนย์ 100 ตัวขึ้นไปได้อย่างไร หลานชายผู้มีไหวพริบแนะนำชื่อของตัวเองสำหรับตัวเลขดังกล่าว - googol ควรสังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีความสำคัญเชิงปฏิบัติมากนัก แต่บางครั้งก็ใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อแสดงค่าอนันต์

กูเกิลเพล็กซ์

ตัวเลขนี้ยังถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ Edward Kasner และหลานชายของเขา Milton Sirotta โดยทั่วไปแล้วมันแสดงถึงตัวเลขยกกำลังสิบของ googol ตอบคำถามของผู้อยากรู้อยากเห็นจำนวนศูนย์ใน Googleplex เป็นที่น่าสังเกตว่าในเวอร์ชันคลาสสิกไม่มีทางที่จะแทนตัวเลขนี้ได้แม้ว่าคุณจะครอบคลุมกระดาษทั้งหมดบนโลกด้วยศูนย์คลาสสิกก็ตาม

ตัวเลขสกิว

ผู้เข้าแข่งขันอีกคนสำหรับตำแหน่งหมายเลขที่มากที่สุดคือหมายเลข Skewes ซึ่งพิสูจน์โดย John Littwood ในปี 1914 ตามหลักฐานที่ให้มา ตัวเลขนี้อยู่ที่ประมาณ 8.185 10370

หมายเลขโมเซอร์

วิธีการชื่อนี้เป็นอย่างมาก จำนวนมากถูกคิดค้นโดย Hugo Steinhaus ผู้เสนอให้แทนด้วยรูปหลายเหลี่ยม จากผลการคำนวณทางคณิตศาสตร์สามครั้ง เลข 2 จึงเกิดเป็นรูปเมกะเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเมกะ)

ดังที่คุณสังเกตเห็นแล้วว่า จำนวนมากนักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหามันซึ่งเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก แน่นอนว่าความพยายามเหล่านี้ประสบความสำเร็จนั้นไม่ได้มีไว้สำหรับเราที่จะตัดสิน แต่ต้องสังเกตว่าการใช้งานจริงของตัวเลขดังกล่าวนั้นเป็นที่น่าสงสัยเนื่องจากไม่คล้อยตามความเข้าใจของมนุษย์ด้วยซ้ำ นอกจากนี้ จะมีตัวเลขที่มากกว่าเสมอหากคุณดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายๆ +1

มีตัวเลขจำนวนมากมายมหาศาลอย่างไม่น่าเชื่อ จนต้องใช้ทั้งจักรวาลในการเขียนลงไป แต่นี่คือสิ่งที่บ้าจริงๆ... จำนวนมหาศาลที่ไม่อาจหยั่งรู้เหล่านี้บางส่วนมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจโลก

เมื่อฉันพูดว่า "จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจักรวาล" ฉันหมายถึงจำนวนที่ใหญ่ที่สุดจริงๆ สำคัญ number คือจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้ซึ่งมีประโยชน์ในทางใดทางหนึ่ง มีผู้เข้าแข่งขันหลายคนสำหรับชื่อนี้ แต่ฉันจะเตือนคุณทันที: มีความเสี่ยงจริงๆ ที่การพยายามคิดออกทั้งหมดจะทำให้คุณทึ่ง และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าคณิตมากเกินไป คุณจะไม่สนุกเลย

กูกอลและกูกอลเพล็กซ์

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์

เราอาจเริ่มต้นด้วยตัวเลขที่น่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองตัวที่คุณเคยได้ยินมา และนี่คือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองตัวที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในคำจำกัดความ ภาษาอังกฤษ- (มีการใช้ระบบการตั้งชื่อที่ค่อนข้างแม่นยำเพื่อระบุตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่าที่คุณต้องการ แต่ทุกวันนี้ คุณจะไม่พบตัวเลขสองตัวนี้ในพจนานุกรม) Googol นับตั้งแต่โด่งดังไปทั่วโลก (ถึงแม้จะมีข้อผิดพลาด โปรดสังเกต จริงๆ แล้วมันคือ googol ) ในรูปแบบของ Google ถือกำเนิดในปี 1920 เพื่อเป็นช่องทางให้เด็กๆ สนใจเรื่องจำนวนมาก

ด้วยเหตุนี้ Edward Kasner (ในภาพ) จึงพาหลานชายสองคนของเขา Milton และ Edwin Sirott เดินเล่นใน New Jersey Palisades เขาเชิญชวนให้พวกเขาเสนอไอเดีย จากนั้นมิลตันวัย 9 ขวบก็เสนอชื่อ "googol" ไม่ทราบที่มาที่เขาได้รับคำนี้ แต่แคสเนอร์ตัดสินใจอย่างนั้น หรือตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตามหลังหน่วยจะเรียกว่า googol

แต่มิลตันในวัยเยาว์ไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น เขาเสนอ googolplex จำนวนมากยิ่งขึ้น ตามข้อมูลของมิลตัน นี่คือตัวเลข โดยที่อันดับแรกคือ 1 แล้วตามด้วยเลขศูนย์มากเท่าที่คุณสามารถเขียนได้ก่อนที่คุณจะรู้สึกเหนื่อย แม้ว่าแนวคิดนี้จะน่าสนใจ แต่ Kasner ก็ตัดสินใจว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการกว่านี้ ดังที่เขาอธิบายไว้ในหนังสือคณิตศาสตร์และจินตนาการของเขาเมื่อปี 1940 คำจำกัดความของมิลตันเปิดโอกาสที่มีความเสี่ยงที่ตัวตลกสุ่มอาจกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เพียงเพราะเขามีความแข็งแกร่งมากกว่า

Kasner จึงตัดสินใจว่า googolplex จะเป็น หรือ 1 แล้วก็ googol ที่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น และในรูปแบบที่คล้ายกับที่เราจะจัดการกับตัวเลขอื่นๆ เราจะบอกว่า googolplex คือ เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้น่าหลงใหลเพียงใด คาร์ล เซแกนเคยตั้งข้อสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพที่จะเขียนเลขศูนย์ทั้งหมดของ googolplex เนื่องจากมีพื้นที่ในจักรวาลไม่เพียงพอ หากเราเติมฝุ่นขนาดเล็กขนาดประมาณ 1.5 ไมครอนเข้าไปเต็มปริมาตรของเอกภพที่สังเกตได้ แล้วจำนวนนั้น ในรูปแบบต่างๆตำแหน่งของอนุภาคเหล่านี้จะเท่ากับหนึ่ง googolplex โดยประมาณ

ในทางภาษาศาสตร์ googol และ googolplex อาจเป็นตัวเลขนัยสำคัญสองตัวที่ใหญ่ที่สุด (อย่างน้อยก็ในภาษาอังกฤษ) แต่ดังที่เราจะพิสูจน์กันในตอนนี้ มีหลายวิธีในการนิยาม "ความสำคัญ" อย่างไม่สิ้นสุด

โลกแห่งความเป็นจริง

หากเราพูดถึงจำนวนนัยสำคัญที่มากที่สุด ก็มีข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลว่านั่นหมายความว่าเราต้องค้นหาจำนวนที่มากที่สุดโดยมีค่าที่มีอยู่จริงในโลก เราสามารถเริ่มจากจำนวนประชากรมนุษย์ในปัจจุบันซึ่งปัจจุบันมีอยู่ประมาณ 6920 ล้านคน GDP โลกในปี 2010 คาดว่าจะอยู่ที่ประมาณ 61,960 พันล้านดอลลาร์ แต่ตัวเลขทั้งสองนี้ไม่มีนัยสำคัญเลยเมื่อเทียบกับเซลล์ประมาณ 100 ล้านล้านเซลล์ที่ประกอบเป็นร่างกายมนุษย์ แน่นอนว่าไม่มีตัวเลขใดที่สามารถเปรียบเทียบกับจำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาลซึ่งโดยทั่วไปถือว่ามีค่าประมาณ และจำนวนนี้มีขนาดใหญ่มากจนภาษาของเราไม่มีคำอธิบาย

เราสามารถเล่นกับระบบการวัดได้นิดหน่อย ทำให้ตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น มวลของดวงอาทิตย์มีหน่วยเป็นตันจะน้อยกว่าหน่วยปอนด์ วิธีที่ดีในการทำเช่นนี้คือการใช้ระบบหน่วยพลังค์ ซึ่งเป็นมาตรการที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งยังคงใช้กฎฟิสิกส์อยู่ ตัวอย่างเช่น อายุของจักรวาลในเวลาพลังค์คือประมาณ หากเราย้อนกลับไปในหน่วยเวลาพลังค์แรกหลังบิกแบง เราจะเห็นว่าตอนนั้นความหนาแน่นของจักรวาลอยู่ที่ เราได้รับมากขึ้นเรื่อยๆ แต่เรายังไปไม่ถึง googol ด้วยซ้ำ

ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดพร้อมการใช้งานจริง - หรือใน ในกรณีนี้ การใช้งานจริงในโลก - อาจเป็น - หนึ่งในการประมาณการล่าสุดของจำนวนจักรวาลในลิขสิทธิ์ จำนวนนี้มีมากขนาดนั้น สมองของมนุษย์จะไม่สามารถรับรู้จักรวาลต่างๆ เหล่านี้ได้อย่างแท้จริง เนื่องจากสมองมีความสามารถในการกำหนดค่าโดยประมาณเท่านั้น อันที่จริงแล้ว ตัวเลขนี้น่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่สมเหตุสมผลในทางปฏิบัติ เว้นแต่คุณจะคำนึงถึงแนวคิดเรื่องลิขสิทธิ์โดยรวมด้วย อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขอีกมากมายที่ซุ่มซ่อนอยู่ที่นั่น แต่เพื่อที่จะค้นหาพวกมัน เราต้องเข้าไปในอาณาจักรแห่งคณิตศาสตร์ล้วนๆ ไม่ใช่เลย เริ่มดีกว่า, ยังไง หมายเลขเฉพาะ.

ไพรม์เมอร์แซนน์

ความยากลำบากส่วนหนึ่งกำลังเกิดขึ้น ความหมายที่ดีตัวเลขที่ “สำคัญ” คืออะไร วิธีหนึ่งคือการคิดในแง่ของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ จำนวนเฉพาะ ดังที่คุณคงจำได้จากคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คือจำนวนธรรมชาติใดๆ (หมายเหตุไม่เท่ากับ 1) ที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้น และ เป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นจำนวนประกอบ ซึ่งหมายความว่าจำนวนประกอบใดๆ ก็สามารถแทนได้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมันในที่สุด ในบางแง่ ตัวเลขมีความสำคัญมากกว่า เช่น เนื่องจากไม่มีทางจะแสดงมันในรูปผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าได้

แน่นอนว่าเราสามารถไปได้ไกลกว่านี้อีกสักหน่อย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วเป็นเพียง ซึ่งหมายความว่าในโลกสมมติที่ความรู้เกี่ยวกับตัวเลขของเราถูกจำกัดอยู่เพียงเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ยังคงสามารถแสดงจำนวนได้ แต่จำนวนถัดไปเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าวิธีเดียวที่จะแสดงออกได้คือต้องรู้โดยตรงเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดจะเล่น บทบาทที่สำคัญแต่สมมุติว่า googol ซึ่งสุดท้ายแล้วเป็นเพียงชุดตัวเลขและ คูณด้วยกัน จริงๆ แล้วไม่ใช่ และเนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วจำนวนเฉพาะจะเป็นแบบสุ่ม จึงไม่มีทางทราบได้ว่าจำนวนเฉพาะจำนวนมากนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ จนถึงทุกวันนี้ การค้นพบจำนวนเฉพาะใหม่ๆ เป็นเรื่องยาก

นักคณิตศาสตร์ กรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะอย่างน้อยเร็วที่สุดในช่วง 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 2,000 ปีต่อมา ผู้คนยังคงรู้ว่าตัวเลขใดเป็นจำนวนเฉพาะไม่เกิน 750 เท่านั้น นักคิดในสมัยยุคลิดมองเห็นความเป็นไปได้ของการทำให้ง่ายขึ้น แต่จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ยุคเรอเนซองส์ไม่สามารถเข้าใจได้จริงๆ มันเข้าสู่การปฏิบัติ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne ซึ่งตั้งชื่อตาม Marin Mersenne นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้ค่อนข้างง่าย: หมายเลข Mersenne คือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่อยู่ในรูปแบบ ตัวอย่างเช่น และจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ก็เป็นจริงสำหรับ เช่นกัน

การระบุจำนวนเฉพาะของ Mersenne ได้เร็วและง่ายกว่ามากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะชนิดอื่นๆ และคอมพิวเตอร์ก็ทำงานหนักในการค้นหาจำนวนเฉพาะเหล่านี้มาตลอดหกทศวรรษที่ผ่านมา จนถึงปี 1952 จำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดคือตัวเลข ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีตัวเลข ในปีเดียวกันนั้น คอมพิวเตอร์คำนวณว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข ซึ่งทำให้มีขนาดใหญ่กว่า googol มาก

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา คอมพิวเตอร์ก็ถูกตามล่า และในปัจจุบัน หมายเลข Mersenne ถือเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์รู้จัก ค้นพบในปี พ.ศ. 2551 มีจำนวนเกือบล้านหลัก เป็นตัวเลขที่ทราบมากที่สุดซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าได้ และหากคุณต้องการความช่วยเหลือในการค้นหาหมายเลข Mersenne ที่มากขึ้น คุณ (และคอมพิวเตอร์ของคุณ) สามารถเข้าร่วมการค้นหาได้ที่ http://www.mersenne org /.

ตัวเลขสกิว

สแตนลีย์ สกิวส์

มาดูเลขเด่นกันอีกครั้ง อย่างที่ผมบอกไป พวกมันมีพฤติกรรมผิดขั้นพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะคาดเดาได้ว่าจำนวนเฉพาะตัวต่อไปจะเป็นเท่าใด นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้หันไปใช้การวัดที่น่าอัศจรรย์บางอย่างเพื่อหาวิธีทำนายจำนวนเฉพาะในอนาคต แม้จะคลุมเครือก็ตาม ความพยายามที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ซึ่งคิดค้นขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 โดยนักคณิตศาสตร์ในตำนาน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

ฉันจะเว้นคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ไว้ให้คุณ - เรายังมีอะไรอีกมากมายที่รออยู่ - แต่สาระสำคัญของฟังก์ชันคือ: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ คุณสามารถประมาณได้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนเท่าใดที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า ฟังก์ชันคาดการณ์ว่าควรมีจำนวนเฉพาะ ควรมีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า และถ้า แสดงว่าต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า

การจัดเรียงจำนวนเฉพาะนั้นไม่ปกติและเป็นเพียงการประมาณจำนวนจริงของจำนวนเฉพาะเท่านั้น อันที่จริง เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และจำนวนเฉพาะน้อยกว่า แน่นอนว่านี่เป็นการประมาณการที่ดีเยี่ยม แต่จะเป็นเพียงการประมาณการเสมอ... และที่เจาะจงกว่านั้นคือการประมาณการจากด้านบน

ในกรณีที่ทราบทั้งหมดจนถึง ฟังก์ชันที่ค้นหาจำนวนเฉพาะจะประเมินค่าสูงเกินไปเล็กน้อยกับจำนวนจริงของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า นักคณิตศาสตร์เคยคิดว่าจะเป็นเช่นนี้ตลอดไป และแน่นอนว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับจำนวนมหาศาลอย่างเหลือเชื่อ แต่ในปี 1914 จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูด พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนมหาศาลที่ไม่รู้จักจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันนี้จะเริ่มสร้างจำนวนเฉพาะน้อยลง จากนั้นจะสลับระหว่างค่าประมาณด้านบนและค่าประมาณด้านล่างเป็นจำนวนไม่จำกัด

การตามล่าเป็นจุดเริ่มต้นของการแข่งขัน และจากนั้น Stanley Skewes ก็ปรากฏตัวขึ้น (ดูรูป) ในปีพ.ศ. 2476 เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดบนเมื่อฟังก์ชันประมาณจำนวนเฉพาะจะสร้างค่าที่น้อยกว่าได้ก่อนคือตัวเลข เป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจอย่างแท้จริงแม้ในแง่นามธรรมที่สุดว่าตัวเลขนี้แสดงถึงอะไร และจากมุมมองนี้ ตัวเลขดังกล่าวเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง นับแต่นั้นมานักคณิตศาสตร์สามารถลดขอบเขตบนให้เหลือจำนวนที่ค่อนข้างน้อยได้ แต่จำนวนเดิมยังคงเรียกว่าหมายเลข Skewes

แล้วจำนวนคนแคระแม้แต่ googolplex อันยิ่งใหญ่นั้นใหญ่แค่ไหน? ใน The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells เล่าถึงวิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ Hardy สามารถกำหนดแนวคิดเกี่ยวกับขนาดของตัวเลข Skuse ได้:

“ฮาร์ดีคิดว่ามันเป็น “ตัวเลขที่มากที่สุดเท่าที่เคยมีมาเพื่อจุดประสงค์เฉพาะใดๆ ในวิชาคณิตศาสตร์” และแนะนำว่าหากเล่นเกมหมากรุกโดยให้อนุภาคทั้งหมดของจักรวาลเป็นชิ้นๆ การเคลื่อนไหวหนึ่งครั้งจะประกอบด้วยการสลับอนุภาคสองตัว และ เกมจะหยุดเมื่อตำแหน่งเดิมซ้ำเป็นครั้งที่สาม จากนั้นจำนวนเกมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวน Skuse โดยประมาณ

สิ่งสุดท้ายก่อนที่เราจะไปต่อ: เราได้พูดถึงตัวเลข Skewes ที่เล็กกว่าสองตัวแล้ว มีหมายเลข Skuse อีกหมายเลขหนึ่งซึ่งนักคณิตศาสตร์ค้นพบในปี 1955 จำนวนแรกได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมมติฐานที่เรียกว่ารีมันน์เป็นจริง - นี่เป็นสมมติฐานที่ยากเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์และมีประโยชน์มากเมื่อ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นเท็จ Skuse พบว่าจุดเริ่มต้นของการกระโดดเพิ่มขึ้นเป็น

ปัญหาขนาด

ก่อนที่เราจะไปถึงตัวเลขที่ทำให้แม้แต่ตัวเลข Skewes ดูเล็ก เราต้องคุยกันเรื่องมาตราส่วนสักหน่อย เพราะไม่เช่นนั้น เราจะไม่มีทางประเมินได้ว่าเรากำลังจะไปที่ไหน ก่อนอื่น เรามาพิจารณาตัวเลขกันก่อน มันเป็นตัวเลขเล็กๆ น้อยๆ มากจนผู้คนสามารถเข้าใจความหมายได้โดยสัญชาตญาณ มีตัวเลขน้อยมากที่ตรงกับคำอธิบายนี้ เนื่องจากตัวเลขที่มากกว่า 6 จะไม่แยกจากกันและกลายเป็น "หลาย" "หลาย" ฯลฯ

ทีนี้มาใช้เวลากัน นั่นคือ - แม้ว่าจริงๆ แล้วเราไม่สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับที่เราทำกับจำนวน แต่เข้าใจว่ามันคืออะไร มันง่ายมากที่จะจินตนาการว่ามันคืออะไร จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราย้ายไป? นี่เท่ากับ หรือ เราไม่สามารถจินตนาการถึงปริมาณนี้ได้มากนัก เช่นเดียวกับปริมาณที่ใหญ่มากอื่นๆ เราสูญเสียความสามารถในการเข้าใจแต่ละส่วนประมาณล้านส่วน (บ้าจริง. จำนวนมากอาจต้องใช้เวลาสักระยะหนึ่งกว่าจะนับอะไรได้เป็นล้านจริงๆ แต่ความจริงก็คือเรายังคงสามารถรับรู้จำนวนนั้นได้)

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้เราจะจินตนาการไม่ออก แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจได้ โครงร่างทั่วไปเท่ากับ 7600 พันล้าน อาจเทียบกับ GDP ของสหรัฐฯ เราได้ย้ายจากสัญชาตญาณไปสู่การเป็นตัวแทนไปสู่ความเข้าใจที่เรียบง่าย แต่อย่างน้อยเราก็ยังคงมีช่องว่างในการทำความเข้าใจว่าตัวเลขคืออะไร นั่นกำลังจะเปลี่ยนไปเมื่อเราขยับอีกขั้นขึ้นบันได

ในการดำเนินการนี้ เราต้องย้ายไปยังสัญลักษณ์ที่ Donald Knuth แนะนำ หรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ลูกศร สัญกรณ์นี้สามารถเขียนเป็น . เมื่อเราไปแล้วเราจะได้ตัวเลขเป็น นี่เท่ากับจำนวนรวมของสามคือ ขณะนี้เราได้เหนือกว่าตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดที่เราได้พูดถึงไปแล้วอย่างแท้จริง ท้ายที่สุดแล้ว แม้แต่กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดก็มีเพียงสามหรือสี่พจน์ในชุดตัวบ่งชี้ ตัวอย่างเช่น แม้แต่หมายเลข super-Skuse ก็ยัง "เท่านั้น" - แม้ว่าทั้งฐานและเลขชี้กำลังจะมีขนาดใหญ่กว่ามาก แต่ก็ยังไม่มีอะไรเลยเมื่อเทียบกับขนาดของหอคอยตัวเลขที่มีสมาชิกนับพันล้านคน .

แน่นอนว่าไม่มีทางที่จะเข้าใจจำนวนมหาศาลเช่นนี้ได้... แต่ถึงกระนั้น กระบวนการที่พวกมันถูกสร้างขึ้นก็ยังสามารถเข้าใจได้ เราไม่สามารถเข้าใจปริมาณที่แท้จริงที่ได้รับจากหอคอยแห่งพลังที่มีแฝดสามพันล้าน แต่โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถจินตนาการถึงหอคอยที่มีเงื่อนไขหลายเงื่อนไขได้ และซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีจริงๆ จะสามารถจัดเก็บหอคอยดังกล่าวไว้ในหน่วยความจำได้ แม้ว่าจะ ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แท้จริงได้

สิ่งนี้กำลังกลายเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อยๆ แต่จะแย่ลงเท่านั้น คุณอาจคิดว่าหอคอยแห่งองศาที่มีความยาวเลขชี้กำลังเท่ากัน (อันที่จริง ในเวอร์ชันก่อนหน้าของโพสต์นี้ ฉันทำผิดข้อนี้จริงๆ) แต่มันง่ายมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองจินตนาการถึงความสามารถในการคำนวณค่าที่แน่นอนของหอคอยพลังของแฝดสามที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ จากนั้นคุณก็นำค่านั้นมาสร้างหอคอยใหม่ที่มีจำนวนมากในนั้นเท่ากับ... ที่ให้

ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับแต่ละหมายเลขถัดไป ( บันทึกเริ่มจากทางขวา) จนกระทั่งคุณทำครั้ง และสุดท้ายคุณก็จะได้ . นี่เป็นตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มาก แต่อย่างน้อยขั้นตอนในการทำให้มันดูเหมือนเข้าใจได้ถ้าคุณทำทุกอย่างช้าๆ เราไม่สามารถเข้าใจตัวเลขหรือจินตนาการถึงขั้นตอนที่ได้รับอีกต่อไป แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจอัลกอริธึมพื้นฐานได้ในเวลานานพอสมควรเท่านั้น

ทีนี้เรามาเตรียมใจให้ระเบิดจริงๆกันดีกว่า

หมายเลขเกรแฮม (เกรแฮม)

โรนัลด์ เกรแฮม

นี่คือวิธีที่คุณจะได้หมายเลขของ Graham ซึ่งถูกบันทึกลงใน Guinness Book of World Records ว่าเป็นจำนวนที่มากที่สุดเท่าที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่ามันใหญ่แค่ไหน และยากพอๆ กันที่จะอธิบายว่ามันคืออะไร โดยพื้นฐานแล้ว หมายเลขของ Graham จะปรากฏขึ้นเมื่อต้องรับมือกับไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎี รูปทรงเรขาคณิตที่มีมิติมากกว่าสามมิติ นักคณิตศาสตร์ Ronald Graham (ดูรูป) ต้องการทราบว่ามีอะไรบ้าง จำนวนน้อยที่สุดเมื่อวัดค่าแล้ว คุณสมบัติบางอย่างของไฮเปอร์คิวบ์จะยังคงเสถียร (ขออภัยสำหรับคำอธิบายที่คลุมเครือ แต่ฉันแน่ใจว่าเราทุกคนจำเป็นต้องได้รับปริญญาทางคณิตศาสตร์อย่างน้อยสององศาเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น)

ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลขเกรแฮมจะเป็นค่าประมาณด้านบนของจำนวนมิติขั้นต่ำนี้ แล้วขอบบนนี่ใหญ่แค่ไหน? กลับไปที่ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มากจนเราสามารถเข้าใจอัลกอริธึมในการรับมันได้อย่างคลุมเครือเท่านั้น ตอนนี้ แทนที่จะกระโดดขึ้นไปอีกระดับหนึ่งเป็น เราจะนับจำนวนที่มีลูกศรอยู่ระหว่างสามตัวแรกและตัวสุดท้าย ตอนนี้เราอยู่ไกลเกินความเข้าใจแม้แต่น้อยว่าตัวเลขนี้คืออะไร หรือแม้แต่สิ่งที่เราต้องทำเพื่อคำนวณมัน

ตอนนี้เรามาทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกครั้งหนึ่ง ( บันทึกในแต่ละขั้นตอนถัดไปเราจะเขียนจำนวนลูกศรเท่ากับจำนวนที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า)

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ นี่คือตัวเลขของเกรแฮม ซึ่งเป็นลำดับความสำคัญที่สูงกว่าความเข้าใจของมนุษย์ มันคือจำนวนที่มากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณสามารถจินตนาการได้—มันมากกว่าค่าอนันต์ใดๆ ที่คุณเคยหวังที่จะจินตนาการ—มันท้าทายแม้แต่คำอธิบายที่เป็นนามธรรมที่สุด

แต่นี่คือสิ่งที่แปลก เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเลขเกรแฮมเป็นเพียงแฝดสามคูณกัน เราจึงทราบคุณสมบัติบางอย่างของมันโดยไม่ต้องคำนวณจริงๆ เราไม่สามารถแสดงเลขเกรแฮมโดยใช้สัญกรณ์ที่คุ้นเคยได้ แม้ว่าเราจะใช้จักรวาลทั้งหมดเขียนลงไปก็ตาม แต่ฉันสามารถบอกคุณได้ว่าเลขสิบสองหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮมในตอนนี้: และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด อย่างน้อยเราก็รู้เลขหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮม

แน่นอนว่า ควรจำไว้ว่าตัวเลขนี้เป็นเพียงขอบเขตบนของปัญหาเดิมของเกรแฮม เป็นไปได้ว่าต้องวัดจำนวนจริงในการดำเนินการ คุณสมบัติที่ต้องการมากน้อยกว่ามาก ตามข้อมูลของผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ในสาขานี้ เชื่อกันมาตั้งแต่ทศวรรษ 1980 ว่าแท้จริงแล้วมีเพียงหกมิติ ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยมากจนเราสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ขอบเขตล่างถูกยกขึ้นเป็น แต่ยังคงมีโอกาสที่ดีที่วิธีแก้ปัญหาของเกรแฮมไม่ได้อยู่ใกล้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่ากับจำนวนของเกรแฮม

ไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด

แล้วมีจำนวนมากกว่าเลขของเกรแฮมหรือเปล่า? แน่นอนว่าสำหรับผู้เริ่มต้น จะต้องมีหมายเลขเกรแฮมด้วย เกี่ยวกับ จำนวนนัยสำคัญ...เอาล่ะ มีบางสาขาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างร้ายกาจ (โดยเฉพาะสาขาที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขมากกว่าเลขของเกรแฮมด้วยซ้ำ แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่ฉันหวังว่าจะได้รับการอธิบายอย่างมีเหตุผลแล้ว สำหรับผู้ที่โง่เขลาพอที่จะไปไกลกว่านี้ แนะนำให้อ่านเพิ่มเติมโดยยอมรับความเสี่ยงเอง

ตอนนี้เป็นคำพูดที่น่าทึ่งซึ่งมาจาก Douglas Ray ( บันทึกจริงๆ แล้วฟังดูตลกดี:

“ฉันเห็นกลุ่มตัวเลขคลุมเครือที่ซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงสว่างที่เทียนแห่งเหตุผลให้ไว้ พวกเขากระซิบกัน สมรู้ร่วมคิดเกี่ยวกับใครจะรู้อะไร บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากนักที่นึกถึงน้องชายคนเล็กของพวกเขาในใจเรา หรือบางทีพวกเขาก็แค่ใช้ชีวิตหลักเดียว นอกนั้น เกินกว่าความเข้าใจของเรา

นับไม่ถ้วน ตัวเลขที่แตกต่างกันล้อมรอบเราทุกวัน แน่นอนว่าหลายๆ คนคงเคยสงสัยมาก่อนว่าตัวเลขใดที่ถือว่าใหญ่ที่สุด คุณสามารถพูดกับเด็กได้ว่านี่คือหนึ่งล้าน แต่ผู้ใหญ่เข้าใจดีว่าตัวเลขอื่นตามหลังล้าน ตัวอย่างเช่น สิ่งที่คุณต้องทำคือเพิ่มหนึ่งเข้าไปในตัวเลขในแต่ละครั้ง และมันจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ - สิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด แต่ถ้าคุณดูตัวเลขที่มีชื่อจะพบว่าหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกเรียกว่าอะไร

การปรากฏตัวของชื่อตัวเลข: ใช้วิธีการใดบ้าง?

วันนี้มี 2 ระบบตามชื่อที่ตั้งให้กับตัวเลข - อเมริกันและอังกฤษ อย่างแรกนั้นค่อนข้างเรียบง่าย และอย่างที่สองนั้นพบได้ทั่วไปทั่วโลก คนอเมริกันอนุญาตให้คุณตั้งชื่อให้กับจำนวนมากได้ดังนี้: ขั้นแรกให้ระบุเลขลำดับในภาษาละตินจากนั้นจึงเติมคำต่อท้าย "ล้าน" (ข้อยกเว้นที่นี่คือล้านซึ่งหมายถึงพัน) ระบบนี้ใช้โดยชาวอเมริกัน ฝรั่งเศส แคนาดา และใช้ในประเทศของเราด้วย

ภาษาอังกฤษใช้กันอย่างแพร่หลายในอังกฤษและสเปน ตามที่ระบุไว้ตัวเลขมีชื่อดังต่อไปนี้: ตัวเลขในภาษาละตินคือ "บวก" โดยมีคำต่อท้าย "illion" และหมายเลขถัดไป (มากกว่าพันเท่า) คือ "บวก" "พันล้าน" ตัวอย่างเช่น หนึ่งล้านล้านมาก่อน ตามด้วยหนึ่งล้านล้าน ตามด้วยสี่ล้านล้าน และอื่นๆ

ดังนั้น จำนวนเดียวกันในระบบที่ต่างกันอาจหมายถึงสิ่งที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น พันล้านอเมริกันในระบบอังกฤษเรียกว่าพันล้าน

หมายเลขระบบพิเศษ

นอกจากตัวเลขที่เขียนตามระบบที่รู้จัก (ตามที่ระบุข้างต้น) ยังมีตัวเลขที่ไม่เป็นระบบอีกด้วย พวกเขามีชื่อเป็นของตัวเองซึ่งไม่รวมคำนำหน้าภาษาละติน

คุณสามารถเริ่มพิจารณาด้วยตัวเลขที่เรียกว่าจำนวนมากมาย มันถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งร้อยร้อย (10,000) แต่ตามจุดประสงค์ที่ตั้งใจไว้ คำนี้ไม่ได้ใช้ แต่ใช้เพื่อแสดงจำนวนคนมากมายนับไม่ถ้วน แม้แต่พจนานุกรมของ Dahl ก็กรุณาให้คำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวด้วย

ถัดมาจากจำนวนมากมายคือ googol ซึ่งหมายถึง 10 ยกกำลัง 100 ชื่อนี้ถูกใช้ครั้งแรกในปี 1938 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน อี. แคสเนอร์ ซึ่งตั้งข้อสังเกตว่าชื่อนี้คิดค้นโดยหลานชายของเขา

Google ได้รับชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ googol ( เครื่องมือค้นหา- จากนั้น 1 โดยมี googol เป็นศูนย์ (1010100) แสดงถึง googolplex - Kasner ก็คิดชื่อนี้ขึ้นมาด้วย

ที่ใหญ่กว่า googolplex ก็คือเลข Skuse (e ยกกำลัง e ยกกำลัง e79) เสนอโดย Skuse ในการพิสูจน์การคาดเดาของ Rimmann เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ (1933) มีหมายเลข Skuse อีกหมายเลขหนึ่ง แต่จะใช้เมื่อสมมติฐานของ Rimmann ไม่เป็นความจริง อันไหนใหญ่กว่านั้นค่อนข้างยากที่จะพูดโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึง ระดับสูง- อย่างไรก็ตามตัวเลขนี้แม้จะมี "ความใหญ่โต" ก็ไม่ถือว่าดีที่สุดในบรรดาทั้งหมดที่มีชื่อเป็นของตัวเอง

และผู้นำในบรรดาตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกคือเลขเกรแฮม (G64) ถูกใช้เป็นครั้งแรกเพื่อทำการพิสูจน์ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (1977)

เมื่อพูดถึงตัวเลขดังกล่าว คุณต้องรู้ว่าคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีระบบ 64 ระดับพิเศษที่สร้างโดย Knuth เหตุผลก็คือการเชื่อมโยงของตัวเลข G กับไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสี คนุธคิดค้นซูเปอร์ดีกรีขึ้นมา และเพื่อให้สะดวกในการบันทึก เขาจึงเสนอให้ใช้ลูกศรขึ้น ดังนั้นเราจึงพบว่าหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกเรียกว่าอะไร เป็นที่น่าสังเกตว่าหมายเลข G นี้รวมอยู่ในหน้าของ Book of Records ที่มีชื่อเสียง

บางครั้งคนที่ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ก็สงสัยว่า: จำนวนที่มากที่สุดคืออะไร? ในด้านหนึ่ง คำตอบนั้นชัดเจน - อนันต์ บอเรสจะชี้แจงด้วยว่านักคณิตศาสตร์ใช้ "บวกอนันต์" หรือ "+∞" แต่คำตอบนี้จะไม่โน้มน้าวให้คำตอบที่มีฤทธิ์กัดกร่อนมากที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนี่ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ แต่เมื่อเข้าใจปัญหาดีแล้ว พวกเขาก็สามารถค้นพบปัญหาที่น่าสนใจมากได้

อันที่จริงไม่มีการจำกัดขนาดในกรณีนี้ แต่จินตนาการของมนุษย์ก็มีขีดจำกัด แต่ละหมายเลขมีชื่อ: สิบ หนึ่งร้อย พันล้าน เจ็ดล้าน และอื่นๆ แต่จินตนาการของผู้คนจะจบลงที่ไหน?

อย่าสับสนกับเครื่องหมายการค้าของ Google Corporation แม้ว่าจะมีต้นกำเนิดร่วมกันก็ตาม ตัวเลขนี้เขียนเป็น 10100 นั่นคือ 1 ตามด้วยศูนย์ 100 ตัว เป็นการยากที่จะจินตนาการ แต่มีการใช้อย่างแข็งขันในวิชาคณิตศาสตร์

เป็นเรื่องตลกที่เด็กประดิษฐ์ขึ้น - หลานชายของนักคณิตศาสตร์ Edward Kasner ในปี 1938 ลุงของฉันให้ความบันเทิงแก่ญาติที่อายุน้อยกว่าด้วยการพูดคุยเกี่ยวกับคนจำนวนมาก สำหรับความขุ่นเคืองของเด็กปรากฎว่าตัวเลขที่ยอดเยี่ยมเช่นนี้ไม่มีชื่อและเขาก็ให้เวอร์ชั่นของเขาเอง ต่อมาลุงของฉันใส่มันลงในหนังสือของเขาเล่มหนึ่งและคำนี้ติดอยู่

ตามทฤษฎี googol เป็นจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากสามารถใช้ในการนับได้ แต่ไม่น่าเป็นไปได้ที่ทุกคนจะมีความอดทนในการนับจนจบ ดังนั้นในทางทฤษฎีเท่านั้น

สำหรับชื่อของบริษัท Google มีข้อผิดพลาดทั่วไปเกิดขึ้นที่นี่ นักลงทุนรายแรกและผู้ร่วมก่อตั้งคนหนึ่งรีบเขียนเช็คและพลาดตัวอักษร "O" แต่เพื่อที่จะขึ้นเงิน บริษัทจะต้องลงทะเบียนด้วยการสะกดคำนี้โดยเฉพาะ

กูเกิลเพล็กซ์

จำนวนนี้เป็นอนุพันธ์ของ googol แต่มากกว่าจำนวนนั้นมาก คำนำหน้า “เพล็กซ์” หมายถึงการยกกำลัง 10 ให้เท่ากับเลขฐาน ดังนั้น กูโลเพล็กซ์จึงเป็น 10 ยกกำลัง 10 ยกกำลัง 100 หรือ 101000

จำนวนผลลัพธ์ที่ได้เกินจำนวนอนุภาคในเอกภพที่สังเกตได้ ซึ่งประมาณว่าอยู่ที่ประมาณ 1,080 องศา แต่สิ่งนี้ไม่ได้หยุดนักวิทยาศาสตร์จากการเพิ่มจำนวนเพียงเพิ่มคำนำหน้า "plex" เข้าไป: googolplexplex, googolplexplex เป็นต้น และสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ในทางที่ผิดโดยเฉพาะพวกเขาคิดค้นรูปแบบการขยายโดยไม่ต้องเติมคำนำหน้า "เพล็กซ์" ซ้ำอย่างไม่สิ้นสุด - พวกเขาเพียงแค่ใส่ตัวเลขกรีกไว้ข้างหน้า: เตตร้า (สี่), เพนตา (ห้า) และอื่น ๆ จนถึงเดคา ( สิบ). ตัวเลือกสุดท้ายดูเหมือน googoldecaplex และหมายถึงการทำซ้ำสะสมสิบเท่าของขั้นตอนการยกหมายเลข 10 ให้เป็นกำลังของฐาน สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจินตนาการถึงผลลัพธ์ คุณยังไม่สามารถตระหนักได้ แต่เป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับบาดเจ็บทางจิตใจ

หมายเลขเมอร์เซนที่ 48

ตัวละครหลัก: คูเปอร์ คอมพิวเตอร์ของเขา และหมายเลขเฉพาะใหม่

เมื่อไม่นานมานี้ ประมาณหนึ่งปีที่แล้ว เราสามารถค้นพบหมายเลขเมอร์เซนลำดับที่ 48 ถัดไปได้ ปัจจุบันเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดในโลก ขอให้เราจำไว้ว่าจำนวนเฉพาะคือจำนวนที่หารได้โดยไม่มีเศษเหลือเพียงตัวเดียวและตัวมันเอง ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ 3, 5, 7, 11, 13, 17 และอื่นๆ ปัญหาก็คือ ยิ่งเข้าไปในป่ามากเท่าไหร่ ตัวเลขดังกล่าวก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น แต่สิ่งที่มีค่ามากกว่าคือการค้นพบสิ่งต่อไป เช่น จำนวนเฉพาะใหม่ประกอบด้วย 17,425,170 หลัก หากแสดงอยู่ในระบบเลขทศนิยมที่เราคุ้นเคย ก่อนหน้านี้มีอักขระประมาณ 12 ล้านตัว

มันถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เคอร์ติส คูเปอร์ ซึ่งสร้างความพึงพอใจให้กับชุมชนนักคณิตศาสตร์ด้วยสถิติที่คล้ายกันเป็นครั้งที่สาม คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลของเขาใช้เวลา 39 วันในการตรวจสอบผลลัพธ์และพิสูจน์ว่าตัวเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ

นี่คือลักษณะของเลข Graham ในรูปแบบลูกศร Knuth เป็นการยากที่จะบอกว่าจะถอดรหัสสิ่งนี้อย่างไรโดยไม่ต้องกรอกข้อมูลให้ครบถ้วน อุดมศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎี เป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนมันลงในรูปแบบทศนิยมตามปกติของเรา: จักรวาลที่สังเกตได้ไม่สามารถรองรับมันได้ การสร้างทีละระดับ เช่นเดียวกับกรณีของ googolplexes ก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเช่นกัน

สูตรดีแต่ไม่ชัดเจน

แล้วทำไมเราถึงต้องการตัวเลขที่ดูเหมือนไร้ประโยชน์นี้? ประการแรก สำหรับผู้ที่อยากรู้อยากเห็น มันถูกบันทึกไว้ใน Guinness Book of Records และนี่ก็เป็นจำนวนมากแล้ว ประการที่สอง มันถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาที่รวมอยู่ในปัญหาแรมซีย์ ซึ่งยังไม่ชัดเจนเช่นกัน แต่ฟังดูจริงจัง ประการที่สาม หมายเลขนี้ได้รับการยอมรับว่าเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยมีมาในวิชาคณิตศาสตร์ และไม่ใช่ในการพิสูจน์การ์ตูนหรือเกมทางปัญญา แต่ใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงมาก

ความสนใจ! ข้อมูลต่อไปนี้เป็นอันตรายต่อคุณ สุขภาพจิต- เมื่ออ่านแล้ว แสดงว่าคุณยอมรับความรับผิดชอบต่อผลที่ตามมาทั้งหมด!

สำหรับใครที่อยากทดสอบจิตใจและนั่งสมาธิเลขเกรแฮม เราก็ลองอธิบายได้นะ (แต่ลองเท่านั้น)

ลองนึกภาพ 33 ง่ายมาก ปรากฎว่า 3*3*3=27 จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มสามเป็นจำนวนนี้? ผลลัพธ์คือ 3 3 ยกกำลัง 3 หรือ 3 27 ในรูปแบบทศนิยม จะเท่ากับ 7,625,597,484,987 มาก แต่ตอนนี้สามารถเข้าใจได้แล้ว

ในสัญลักษณ์ลูกศรของ Knuth หมายเลขนี้สามารถแสดงได้ค่อนข้างง่ายกว่า - 33 แต่ถ้าคุณเพิ่มลูกศรเพียงลูกเดียว มันจะซับซ้อนมากขึ้น: 33 ซึ่งหมายถึง 33 ยกกำลัง 33 หรือในรูปแบบกำลัง ถ้าเราขยายเป็นทศนิยม เราจะได้ 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987 คุณยังสามารถติดตามความคิดของคุณได้หรือไม่?

ขั้นต่อไป: 33= 33 33 . นั่นคือคุณต้องคำนวณตัวเลขเสริมนี้จากการกระทำครั้งก่อนและเพิ่มเป็นกำลังเดียวกัน

และ 33 เป็นเพียงเทอมแรกจาก 64 เทอมของจำนวนเกรแฮม เพื่อให้ได้อันที่ 2 คุณต้องคำนวณผลลัพธ์ของสูตรที่น่าทึ่งนี้ และแทนที่จำนวนลูกศรที่สอดคล้องกันลงในแผนภาพ 3(...)3 เป็นเช่นนี้อีก 63 ครั้ง

ฉันสงสัยว่ามีใครนอกจากเขาและนักคณิตศาสตร์ชั้นยอดอีกนับสิบคน จะสามารถไปถึงกลางลำดับเป็นอย่างน้อยโดยไม่บ้าไปเลยได้ไหม?

คุณเข้าใจอะไรบางอย่างไหม? เราไม่ได้. แต่ช่างน่าตื่นเต้นจริงๆ!

ทำไมเราต้องมีตัวเลขมากที่สุด? นี่เป็นเรื่องยากสำหรับคนทั่วไปที่จะเข้าใจและเข้าใจ แต่ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ผู้เชี่ยวชาญบางคนจึงสามารถแนะนำของเล่นเทคโนโลยีใหม่ ๆ ให้กับคนทั่วไปได้ เช่น โทรศัพท์ คอมพิวเตอร์ แท็บเล็ต คนธรรมดายังไม่เข้าใจวิธีการทำงานของพวกเขา แต่พวกเขายินดีที่จะใช้มันเพื่อความบันเทิง และทุกคนก็มีความสุข คนธรรมดาได้ของเล่น ส่วน "ซุปเปอร์เนิร์ด" มีโอกาสเล่นเกมฝึกสมองต่อไป

ไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้อย่างถูกต้องเพราะว่า ชุดตัวเลขไม่มีขีดจำกัดบน ดังนั้น สำหรับตัวเลขใดๆ คุณเพียงแค่ต้องบวกหนึ่งตัวเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น แม้ว่าตัวเลขจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็มีชื่อเฉพาะไม่มากนัก เนื่องจากส่วนใหญ่จะพอใจกับชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลขมีชื่อของตัวเองว่า "หนึ่ง" และ "หนึ่งร้อย" และชื่อของตัวเลขนั้นประกอบขึ้นแล้ว ("หนึ่งร้อยหนึ่ง") เป็นที่ชัดเจนว่าในชุดตัวเลขอันจำกัดที่มนุษยชาติมอบให้ ชื่อของตัวเอง, จะต้องมีจำนวนมากที่สุดจำนวนหนึ่ง แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองคิดดูและในขณะเดียวกันก็ค้นหาว่านักคณิตศาสตร์มีจำนวนเท่าใด

ระดับ "สั้น" และ "ยาว"

เรื่องราว ระบบที่ทันสมัยชื่อของตัวเลขจำนวนมากย้อนกลับไปในช่วงกลางศตวรรษที่ 15 เมื่อในอิตาลีพวกเขาเริ่มใช้คำว่า "ล้าน" (ตามตัวอักษร - พันใหญ่) สำหรับหนึ่งพันกำลังสอง "สองล้าน" สำหรับหนึ่งล้านกำลังสองและ "ล้านล้าน" สำหรับ หนึ่งล้านลูกบาศก์ เรารู้เกี่ยวกับระบบนี้ต้องขอบคุณ Nicolas Chuquet นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส (แคลิฟอร์เนีย 1450 - แคลิฟอร์เนีย 1500): ในบทความของเขาเรื่อง "The Science of Numbers" (Triparty en la science des nombres, 1484) เขาได้พัฒนาแนวคิดนี้โดยเสนอให้ใช้ต่อไป เลขคาร์ดินัลละติน (ดูตาราง) โดยบวกเข้าที่ส่วนท้ายของ “-million” ดังนั้น "พันล้าน" สำหรับ Schuke กลายเป็นหนึ่งพันล้าน "trimillion" กลายเป็นล้านล้าน และล้านยกกำลังสี่กลายเป็น "quadrillion"

ในระบบ Chuquet จำนวนระหว่างหนึ่งล้านถึงหนึ่งพันล้านไม่มีชื่อของตัวเองและเรียกง่ายๆว่า "พันล้าน" หรือเรียกในทำนองเดียวกันว่า "พันล้าน" "พันล้านล้าน" เป็นต้น สิ่งนี้ไม่สะดวกนัก และในปี 1549 นักเขียนและนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jacques Peletier du Mans (1517–1582) เสนอให้ตั้งชื่อตัวเลข "กลาง" ดังกล่าวโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินเดียวกัน แต่ลงท้ายด้วย "-billion" ดังนั้นจึงเริ่มถูกเรียกว่า "พันล้าน" - "บิลเลียด" - "ล้านล้าน" เป็นต้น

ระบบ Chuquet-Peletier ค่อยๆ ได้รับความนิยมและเริ่มใช้ทั่วยุโรป อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 17 เกิดปัญหาที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้น ปรากฎว่าด้วยเหตุผลบางอย่างนักวิทยาศาสตร์บางคนเริ่มสับสนและเรียกตัวเลขไม่ใช่ "พันล้าน" หรือ "พันล้าน" แต่เป็น "พันล้าน" ในไม่ช้าข้อผิดพลาดนี้ก็แพร่กระจายอย่างรวดเร็วและสถานการณ์ที่ขัดแย้งกันก็เกิดขึ้น - "พันล้าน" ก็มีความหมายเหมือนกันกับ "พันล้าน" () และ "ล้านล้าน" () พร้อม ๆ กัน

ความสับสนนี้ดำเนินต่อไปเป็นเวลานานและนำไปสู่ความจริงที่ว่าสหรัฐอเมริกาสร้างระบบของตนเองในการตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมาก ตามระบบอเมริกัน ชื่อของตัวเลขถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับในระบบ Schuquet - คำนำหน้าภาษาละตินและคำลงท้าย "ล้าน" อย่างไรก็ตาม ขนาดของตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกัน หากในระบบ Schuquet ชื่อที่ลงท้ายด้วย "illion" ได้รับเลขยกกำลังหนึ่งล้าน ในระบบอเมริกัน ชื่อที่ลงท้ายด้วย "-illion" จะได้รับเลขยกกำลังหนึ่งพัน นั่นคือหนึ่งพันล้าน () เริ่มถูกเรียกว่า "พันล้าน", () - "ล้านล้าน", () - "สี่ล้านล้าน" ฯลฯ

ระบบการตั้งชื่อตัวเลขแบบเก่ายังคงใช้กันในบริเตนใหญ่แบบอนุรักษ์นิยม และเริ่มถูกเรียกว่า "บริติช" ทั่วโลก แม้ว่าจะถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย French Chuquet และ Peletier ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในช่วงทศวรรษ 1970 สหราชอาณาจักรได้เปลี่ยนมาใช้ "ระบบอเมริกัน" อย่างเป็นทางการ ซึ่งนำไปสู่การเรียกระบบหนึ่งว่าอเมริกันและอีกระบบหนึ่งกลายเป็นเรื่องแปลกไป เป็นผลให้ระบบอเมริกันในปัจจุบันถูกเรียกว่า "มาตราส่วนสั้น" และระบบอังกฤษหรือชูเกต์-เปเลติเยร์เรียกว่า "มาตราส่วนยาว"

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้สรุป:

ชื่อหมายเลข	ค่าสเกลสั้น	ค่าสเกลยาว
ล้าน
พันล้าน
พันล้าน
บิลเลียด	-
ล้านล้าน
ล้านล้าน	-
สี่ล้านล้าน
สี่ล้านล้าน	-
ควินทิลเลียน
ควินติลลีอาร์ด	-
เซ็กส์ทิลเลี่ยน
เซ็กส์ทิลเลี่ยน	-
เซทิลเลียน
เซติลีอาร์ด	-
แปดล้าน
ออคติลลีอาร์ด	-
ควินทิลเลียน
นอนิลเลียด	-
ล้านล้าน
เดซิลเลียด	-
Vigintillion
วิกินติลลีอาร์ด	-
ร้อยล้าน
เซนติลเลียร์ด	-
ล้าน
พันล้าน	-

ปัจจุบันมีการใช้มาตราส่วนการตั้งชื่อแบบสั้นในสหรัฐอเมริกา สหราชอาณาจักร แคนาดา ไอร์แลนด์ ออสเตรเลีย บราซิล และเปอร์โตริโก รัสเซีย เดนมาร์ก ตุรกี และบัลแกเรียก็ใช้มาตราส่วนระยะสั้นเช่นกัน ยกเว้นตัวเลขที่เรียกว่า "พันล้าน" มากกว่า "พันล้าน" สเกลยาวยังคงใช้ในประเทศอื่นๆ ส่วนใหญ่

เป็นที่น่าสงสัยว่าในประเทศของเราการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายไปสู่ระดับสั้นเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เท่านั้น ตัวอย่างเช่น Yakov Isidorovich Perelman (2425-2485) ใน "เลขคณิตบันเทิง" ของเขากล่าวถึงการดำรงอยู่คู่ขนานของสองระดับในสหภาพโซเวียต ตามข้อมูลของ Perelman มาตราส่วนสั้นถูกใช้ในชีวิตประจำวันและการคำนวณทางการเงิน และมาตราส่วนยาวถูกใช้ในหนังสือวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม ตอนนี้การใช้สเกลยาวในรัสเซียเป็นเรื่องผิด แม้ว่าจะมีจำนวนมากก็ตาม

แต่ลองกลับไปค้นหาหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดกันดีกว่า หลังจากหน่วยล้าน ชื่อของตัวเลขจะได้มาจากการรวมคำนำหน้า สิ่งนี้ทำให้เกิดตัวเลขเช่น undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ชื่อเหล่านี้ไม่น่าสนใจสำหรับเราอีกต่อไป เนื่องจากเราตกลงที่จะค้นหาจำนวนที่มากที่สุดด้วยชื่อที่ไม่ใช่ชื่อประกอบของมันเอง

หากเราหันไปใช้ไวยากรณ์ละตินเราจะพบว่าชาวโรมันมีชื่อที่ไม่ประสมเพียงสามชื่อสำหรับตัวเลขที่มากกว่าสิบ: viginti - "ยี่สิบ", centum - "ร้อย" และ mille - "พัน" ชาวโรมันไม่มีชื่อของตนเองสำหรับจำนวนที่มากกว่าหนึ่งพัน เช่น หนึ่งล้าน () ชาวโรมันเรียกสิ่งนี้ว่า "decies centena milia" ซึ่งก็คือ "สิบคูณแสน" ตามกฎของ Chuquet เลขละตินทั้งสามที่เหลือนี้ให้ชื่อตัวเลขเช่น "vigintillion", "centillion" และ "millillion"

ดังนั้นเราจึงพบว่าใน "สเกลสั้น" จำนวนสูงสุดที่มีชื่อของตัวเองและไม่ได้ประกอบกับจำนวนที่น้อยกว่าคือ "ล้าน" ()

หากรัสเซียใช้ "สเกลยาว" ในการตั้งชื่อตัวเลข จำนวนที่มากที่สุดที่มีชื่อของตัวเองก็จะเป็น "พันล้าน" ()

อย่างไรก็ตาม ยังมีชื่อสำหรับตัวเลขที่ใหญ่กว่าอีกด้วย

ตัวเลขนอกระบบ

ตัวเลขบางตัวมีชื่อเป็นของตัวเอง โดยไม่เกี่ยวข้องกับระบบการตั้งชื่อโดยใช้คำนำหน้าภาษาละติน และมีตัวเลขดังกล่าวมากมาย ตัวอย่างเช่น คุณสามารถจำตัวเลข e ตัวเลข "pi" โหล จำนวนของสัตว์ร้าย เป็นต้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากตอนนี้เราสนใจตัวเลขจำนวนมาก เราจะพิจารณาเฉพาะตัวเลขเหล่านั้นที่ไม่ใช่แบบประกอบของมันเอง ชื่อที่มากกว่าล้าน จนถึงศตวรรษที่ 17 มีการใช้ในรัสเซียชื่อของตัวเลข นับหมื่นถูกเรียกว่า "ความมืด" หลายแสนถูกเรียกว่า "พยุหเสนา" หลายล้านถูกเรียกว่า "ลีโอเดอร์" หลายสิบล้านถูกเรียกว่า "อีกา" และหลายร้อยล้านถูกเรียกว่า "สำรับ" การนับจำนวนมากถึงหลายร้อยล้านนี้เรียกว่า "การนับน้อย" และในต้นฉบับบางฉบับผู้เขียนยังถือว่า "การนับมาก" ซึ่งใช้ชื่อเดียวกันสำหรับตัวเลขจำนวนมาก แต่มีความหมายต่างกัน ดังนั้น “ความมืด” จึงไม่ได้หมายถึงหมื่นอีกต่อไป แต่หมายถึงหมื่น () , “พยุหะ” - ความมืดของสิ่งเหล่านั้น () - "leodr" - กองพันพยุหเสนา () , "กา" - ลีโอเดอร์ ลีโอดรอฟ (). ด้วยเหตุผลบางประการ "ดาดฟ้า" ในการนับสลาฟที่ยิ่งใหญ่ไม่ได้ถูกเรียกว่า "อีกาแห่งอีกา" () แต่มีเพียง "อีกา" เพียงสิบตัวเท่านั้น (ดูตาราง)

ชื่อหมายเลข	ความหมายในคำว่า "จำนวนน้อย"	ความหมายในคำว่า "นับมาก"	การกำหนด
ความมืด
พยุหะ
ลีโอเดร
เรเวน (คอร์วิด)
เด็ค
ความมืดของหัวข้อ

ตัวเลขนี้ยังมีชื่อของตัวเองและประดิษฐ์โดยเด็กชายวัย 9 ขวบ และมันก็เป็นเช่นนี้ ในปีพ.ศ. 2481 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์ (พ.ศ. 2421-2498) กำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนและปรึกษาหารือกันเป็นจำนวนมาก ในระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์นับร้อยซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง มิลตัน ซิรอตต์ หลานชายคนหนึ่งวัย 9 ขวบ แนะนำให้เรียกหมายเลขนี้ว่า "googol" ในปี 1940 Edward Kasner ร่วมกับ James Newman ได้เขียนหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง "Mathematics and the Imagination" ซึ่งเขาเล่าให้คนรักคณิตศาสตร์ฟังเกี่ยวกับเลข googol Googol เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางมากขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1990 ต้องขอบคุณเครื่องมือค้นหาของ Google ที่ตั้งชื่อตามมัน

ชื่อของจำนวนที่มากกว่า googol เกิดขึ้นในปี 1950 ต้องขอบคุณบิดาแห่งวิทยาการคอมพิวเตอร์ Claude Elwood Shannon (1916–2001) ในบทความของเขาเรื่อง "การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อเล่นหมากรุก" เขาพยายามประมาณจำนวน ตัวเลือกที่เป็นไปได้เกมหมากรุก ตามที่ระบุไว้ แต่ละเกมใช้เวลาโดยเฉลี่ยของการเคลื่อนไหว และในแต่ละการเคลื่อนไหว ผู้เล่นจะเลือกตัวเลือกโดยเฉลี่ย ซึ่งสอดคล้องกับ (ประมาณเท่ากับ) ตัวเลือกของเกม งานนี้เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและ หมายเลขที่กำหนดกลายเป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขแชนนอน

ในตำราทางพุทธศาสนาที่มีชื่อเสียงเรื่อง Jaina Sutra ย้อนหลังไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล ตัวเลข “อสังเหยา” มีค่าเท่ากับ

เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนรอบจักรวาลที่ต้องใช้เพื่อบรรลุนิพพาน

Stanley Skewes นักคณิตศาสตร์ชาวแอฟริกาใต้ (พ.ศ. 2442-2531) เสนอตัวเลขที่ใหญ่กว่า googolplex อีกสองตัวเพื่อพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์ ตัวเลขตัวแรกซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อ "ตัวเลข Skuse" มีค่าเท่ากับ ยกกำลัง ยกกำลัง ของ นั่นคือ .

อย่างไรก็ตาม “หมายเลข Skewes ที่สอง” จะมีขนาดใหญ่กว่าและมีจำนวนเท่ากับ

แน่นอนว่า ยิ่งมีพลังมากเท่าไร การเขียนตัวเลขและเข้าใจความหมายเมื่ออ่านก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น ยิ่งกว่านั้นเป็นไปได้ที่จะเกิดตัวเลขดังกล่าว (และโดยวิธีการนั้นพวกมันได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อระดับองศาไม่พอดีกับหน้า ใช่แล้ว นั่นมันหน้าเพจ! พวกมันไม่สามารถบรรจุลงในหนังสือที่มีขนาดเท่าจักรวาลได้เลยด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้เกิดคำถามว่าจะเขียนตัวเลขดังกล่าวอย่างไร โชคดีที่ปัญหาสามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการในการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่สงสัยเกี่ยวกับปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเองซึ่งนำไปสู่การมีวิธีการเขียนจำนวนมากที่ไม่เกี่ยวข้องกันหลายวิธี - นี่คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhaus เป็นต้น ตอนนี้เราต้องจัดการ กับบางส่วนของพวกเขา

สัญกรณ์อื่น ๆ ในปี 1938 ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่ Milton Sirotta วัย 9 ขวบคิดค้นตัวเลข googol และ googolplex ซึ่งเป็นหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง A Mathematical Kaleidoscope ซึ่งเขียนโดย Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972) ได้รับการตีพิมพ์ในโปแลนด์ หนังสือเล่มนี้ได้รับความนิยมอย่างมาก ผ่านการพิมพ์หลายฉบับ และได้รับการแปลเป็นหลายภาษา รวมถึงภาษาอังกฤษและรัสเซีย ในนั้น ชไตน์เฮาส์กล่าวถึงตัวเลขจำนวนมาก เสนอวิธีง่ายๆ ในการเขียนโดยใช้สามตัวรูปทรงเรขาคณิต

- สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงกลม:
“ในรูปสามเหลี่ยม” แปลว่า “”,
“กำลังสอง” แปลว่า “ในรูปสามเหลี่ยม”

"ในวงกลม" หมายถึง "ในสี่เหลี่ยม"

เมื่อพิจารณาตัวเลข "เมกะ" แล้ว Steinhaus ขอเชิญชวนผู้อ่านให้ประมาณตัวเลขอื่นอย่างอิสระ - "เมดซอน" ซึ่งเท่ากันในวงกลม ในหนังสือฉบับอื่น Steinhaus แทนที่จะใช้ medzone แนะนำให้ประมาณจำนวนที่มากขึ้น - "megiston" ซึ่งเท่ากันในวงกลม ตาม Steinhaus ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านแยกตัวออกจากข้อความนี้สักพักแล้วลองเขียนตัวเลขเหล่านี้ด้วยตนเองโดยใช้พลังธรรมดาเพื่อที่จะรู้สึกถึงขนาดมหึมา

อย่างไรก็ตาม มีชื่อสำหรับตัวเลขจำนวนมาก ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดา Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) จึงแก้ไขสัญกรณ์ Steinhaus ซึ่งถูกจำกัดด้วยความจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่า megiston มาก ปัญหาและความไม่สะดวกก็จะเกิดขึ้น เนื่องจากมันจะ จำเป็นต้องวาดวงกลมหลายๆ วงเข้าหากัน โมเซอร์แนะนำว่าหลังจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว อย่าวาดวงกลม แต่วาดเป็นรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นก็เป็นรูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้เขายังเสนอสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดภาพที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:

"สามเหลี่ยม" = = ;
"กำลังสอง" = = "สามเหลี่ยม" = ;
"ในรูปห้าเหลี่ยม" = = "เป็นรูปสี่เหลี่ยม" = ;
"ใน -gon" = = "ใน -gon" =

ดังนั้น ตามสัญกรณ์ของโมเซอร์ "เมกะ" ของสไตน์เฮาส์จึงเขียนว่า "เมดโซน" เป็น และ "เมกิสตัน" เป็น « นอกจากนี้ Leo Moser ยังเสนอให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ - "เมกะกอน" และแนะนำเบอร์มา

ในเมกะกอน" กล่าวคือ หมายเลขนี้เป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขโมเซอร์หรือเรียกง่ายๆ ว่า "โมเซอร์"แต่แม้แต่ “โมเซอร์” ก็ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือ "จำนวนเกรแฮม" หมายเลขนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน โรนัลด์ เกรแฮม ในปี 1977 เพื่อพิสูจน์ค่าประมาณหนึ่งในทฤษฎีแรมซีย์ กล่าวคือ เมื่อคำนวณมิติของค่าจำนวนหนึ่ง

-มิติ

ไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสี หมายเลขของ Graham มีชื่อเสียงหลังจากที่มีการอธิบายไว้ในหนังสือของ Martin Gardner ในปี 1989 เรื่อง From Penrose Mosaics to Trusted Ciphers

การคูณจำนวนธรรมชาติสามารถนิยามได้โดยการดำเนินการบวกซ้ำๆ (“บวกสำเนาของตัวเลข”):

ตัวอย่างเช่น,

การเพิ่มจำนวนเป็นกำลังสามารถกำหนดได้ว่าเป็นการดำเนินการคูณซ้ำๆ ("การคูณสำเนาของตัวเลข") และในสัญกรณ์ของ Knuth สัญกรณ์นี้ดูเหมือนลูกศรเดียวชี้ขึ้น:

ตัวอย่างเช่น,

ลูกศรขึ้นเดี่ยวนี้ถูกใช้เป็นไอคอนองศาในภาษาการเขียนโปรแกรม Algol

ตัวอย่างเช่น,

ที่นี่และด้านล่าง นิพจน์จะถูกประเมินจากขวาไปซ้ายเสมอ และตัวดำเนินการลูกศรของ Knuth (รวมถึงการดำเนินการยกกำลัง) ตามคำจำกัดความมีความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง (ลำดับจากขวาไปซ้าย) ตามคำจำกัดความนี้

สิ่งนี้นำไปสู่ตัวเลขที่ค่อนข้างมาก แต่ระบบสัญกรณ์ไม่ได้จบเพียงแค่นั้น ตัวดำเนินการลูกศรสามตัวใช้เพื่อเขียนการยกกำลังซ้ำของตัวดำเนินการลูกศรคู่ (หรือที่เรียกว่า Pentation):

จากนั้นตัวดำเนินการ "ลูกศรรูปสี่เหลี่ยม":

ฯลฯ กฎทั่วไปตัวดำเนินการ "-ฉันลูกศร" ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง จะดำเนินต่อไปทางขวาในชุดตัวดำเนินการตามลำดับ « ลูกศร” โดยเชิงสัญลักษณ์สามารถเขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่น:

แบบฟอร์มสัญลักษณ์มักจะใช้สำหรับสัญลักษณ์ที่มีลูกศร

ตัวเลขบางตัวมีขนาดใหญ่มากจนแม้แต่การเขียนด้วยลูกศรของ Knuth ก็ยุ่งยากเกินไป ในกรณีนี้ การใช้ตัวดำเนินการ -arrow จะดีกว่า (และสำหรับคำอธิบายที่มีจำนวนลูกศรแปรผันด้วย) หรือเทียบเท่ากับตัวดำเนินการไฮเปอร์เปอร์เตอร์ แต่ตัวเลขบางตัวก็ใหญ่มากจนแม้แต่สัญกรณ์ดังกล่าวยังไม่เพียงพอ เช่น เลขเกรแฮม

การใช้สัญลักษณ์ลูกศรของ Knuth สามารถเขียนเลข Graham ได้เป็น

โดยที่จำนวนลูกศรในแต่ละชั้นโดยเริ่มจากด้านบนถูกกำหนดโดยหมายเลขในชั้นถัดไป นั่นคือ โดยที่ โดยที่ตัวยกของลูกศรระบุจำนวนลูกศรทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำนวณเป็นขั้นตอน: ในขั้นตอนแรกเราคำนวณด้วยลูกศรสี่ลูกระหว่างสาม ในวินาที - ด้วยลูกศรระหว่างสาม ในขั้นตอนที่สาม - ด้วยลูกศรระหว่างสาม และอื่นๆ ในตอนท้ายเราคำนวณด้วยลูกศรระหว่างแฝดสาม

สิ่งนี้สามารถเขียนเป็น , โดยที่ โดยที่ตัวยก y หมายถึงการวนซ้ำของฟังก์ชัน

หากสามารถจับคู่ตัวเลขอื่นที่มี "ชื่อ" กับจำนวนวัตถุที่สอดคล้องกันได้ (เช่น จำนวนดาวฤกษ์ในส่วนที่มองเห็นได้ของเอกภพนั้นประมาณไว้ที่หกล้านล้าน - และจำนวนอะตอมที่ประกอบกันเป็น โลกมีลำดับของ dodecalions) ดังนั้น googol จึงเป็น "เสมือน" อยู่แล้ว ไม่ต้องพูดถึงหมายเลข Graham ระดับของเทอมแรกเพียงอย่างเดียวนั้นใหญ่มากจนแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเข้าใจ แม้ว่าสัญลักษณ์ข้างต้นจะค่อนข้างเข้าใจง่ายก็ตาม แม้ว่านี่จะเป็นเพียงจำนวนหอคอยในสูตรนี้ แต่จำนวนนี้ก็มีจำนวนมากมายอยู่แล้ว ปริมาณมากขึ้นปริมาตรพลังค์ (ปริมาตรทางกายภาพที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) ที่มีอยู่ในจักรวาลที่สังเกตได้ (ประมาณ )