สมการออนไลน์ วิธีทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้น

ตัวอย่างพีชคณิตบางตัวอย่างเพียงอย่างเดียวอาจทำให้เด็กนักเรียนหวาดกลัวได้ สำนวนยาวๆ ไม่เพียงแต่เป็นการข่มขู่เท่านั้น แต่ยังทำให้การคำนวณยากมากอีกด้วย การพยายามเข้าใจทันทีว่าอะไรตามมา จะทำให้สับสนได้ไม่นาน ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงพยายามลดความซับซ้อนของปัญหาที่ "แย่มาก" ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และจากนั้นจึงเริ่มแก้ไข เคล็ดลับนี้ทำให้กระบวนการทำงานเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด

การทำให้เข้าใจง่ายเป็นหนึ่งในประเด็นพื้นฐานในพีชคณิต หากคุณยังสามารถทำได้โดยไม่มีปัญหาง่ายๆ ตัวอย่างที่ยากในการคำนวณก็อาจกลายเป็นเรื่องยากเกินไป นี่คือจุดที่ทักษะเหล่านี้มีประโยชน์! ยิ่งไปกว่านั้น ไม่จำเป็นต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน เพียงจำและเรียนรู้ที่จะประยุกต์ใช้เทคนิคและสูตรพื้นฐานบางประการในทางปฏิบัติก็เพียงพอแล้ว

ไม่ว่าการคำนวณจะซับซ้อนเพียงใดเมื่อแก้ไขนิพจน์ใด ๆ ก็เป็นสิ่งสำคัญ ปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการด้วยตัวเลข:

1. วงเล็บ;
2. การยกกำลัง;
3. การคูณ;
4. แผนก;
5. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป;
6. การลบ

สองจุดสุดท้ายสามารถสลับกันได้อย่างง่ายดายและจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์แต่อย่างใด แต่การบวกเลขสองตัวที่อยู่ติดกันเมื่อมีเครื่องหมายคูณอยู่ข้างๆ ตัวใดตัวหนึ่งนั้นเป็นสิ่งต้องห้ามโดยเด็ดขาด! คำตอบถ้ามีก็ไม่ถูกต้อง ดังนั้นคุณต้องจำลำดับไว้

การใช้งานดังกล่าว

องค์ประกอบดังกล่าวรวมถึงตัวเลขที่มีตัวแปรในลำดับเดียวกันหรือระดับเดียวกัน นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่าคำศัพท์ฟรีที่ไม่มีการกำหนดตัวอักษรสำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักอยู่ข้างๆ

ประเด็นก็คือว่าในกรณีที่ไม่มีวงเล็บ คุณสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้โดยการเพิ่มหรือลบคำที่คล้ายกัน.

ตัวอย่างภาพประกอบบางส่วน:

• 8x 2 และ 3x 2 - ตัวเลขทั้งสองมีตัวแปรลำดับที่สองเหมือนกัน ดังนั้นจึงคล้ายกัน และเมื่อบวกกันจะลดรูปลงเป็น (8+3)x 2 =11x 2 ในขณะที่เมื่อลบออกจะได้ (8-3)x 2 =5x 2 ;
• 4x 3 และ 6x - และที่นี่ "x" มีองศาต่างกัน
• 2y 7 และ 33x 7 - มีตัวแปรที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่เหมือนกันในกรณีก่อนหน้านี้

แยกตัวประกอบตัวเลข

เคล็ดลับทางคณิตศาสตร์เล็กๆ น้อยๆ นี้หากคุณเรียนรู้ที่จะใช้อย่างถูกต้อง จะช่วยให้คุณรับมือกับปัญหาที่ยุ่งยากได้หลายครั้งในอนาคต และไม่ยากที่จะเข้าใจว่า "ระบบ" ทำงานอย่างไร: การสลายตัวเป็นผลคูณขององค์ประกอบหลายอย่างซึ่งการคำนวณจะให้ค่าดั้งเดิม- ดังนั้น 20 สามารถแสดงเป็น 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 หรือวิธีอื่นได้

บันทึก: ตัวประกอบจะเหมือนกับตัวหารเสมอ ดังนั้นคุณต้องมองหา "คู่" ที่ใช้งานได้เพื่อหาการสลายตัวของตัวเลขที่ต้นฉบับหารลงตัวโดยไม่มีเศษ

การดำเนินการนี้สามารถทำได้ทั้งกับเงื่อนไขอิสระและตัวเลขในตัวแปร สิ่งสำคัญคืออย่าสูญเสียสิ่งหลังระหว่างการคำนวณ - เท่ากัน หลังจากการสลายตัว สิ่งที่ไม่รู้จักไม่สามารถเพียงแค่ "ไปไหนไม่ได้" มันยังคงอยู่ที่ตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง:

• 15x=3(5x);
• 60ปี 2 = (15ปี 2)4.

จำนวนเฉพาะที่สามารถหารได้ด้วยตัวเองเท่านั้นหรือ 1 จะไม่ถูกขยาย มันไม่สมเหตุสมผลเลย.

วิธีการพื้นฐานของการทำให้เข้าใจง่าย

สิ่งแรกที่สะดุดตาคุณ:

• การมีวงเล็บ;
• เศษส่วน;
• ราก.

ตัวอย่างพีชคณิตใน หลักสูตรของโรงเรียนมักเขียนด้วยแนวคิดว่าสามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างสวยงามได้

การคำนวณในวงเล็บ

สังเกตป้ายหน้าวงเล็บให้ดี!การคูณหรือการหารจะใช้กับแต่ละองค์ประกอบภายใน และเครื่องหมายลบจะกลับเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ที่มีอยู่

วงเล็บจะคำนวณตามกฎหรือใช้สูตรคูณแบบย่อหลังจากนั้นจึงให้สูตรที่คล้ายกัน

การลดเศษส่วน

ลดเศษส่วนนอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่าย พวกเขาเองก็ "เต็มใจหนี" เป็นระยะ ๆ ทันทีที่มีการดำเนินการเพื่อนำสมาชิกดังกล่าวเข้ามา แต่คุณสามารถทำให้ตัวอย่างง่ายขึ้นได้ก่อนหน้านั้น: ให้ความสนใจกับตัวเศษและส่วน- มักจะมีองค์ประกอบที่ชัดเจนหรือซ่อนเร้นซึ่งสามารถลดขนาดลงร่วมกันได้ จริงอยู่ที่ถ้าในกรณีแรกคุณต้องขีดฆ่าสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไป ในกรณีที่สองคุณจะต้องคิดโดยนำส่วนหนึ่งของนิพจน์มาจัดรูปแบบเพื่อทำให้ง่ายขึ้น วิธีการที่ใช้:

• ค้นหาและถ่ายคร่อมที่ใหญ่ที่สุด ตัวหารร่วมที่ตัวเศษและส่วน;
• หารแต่ละองค์ประกอบบนด้วยตัวส่วน

เมื่อการแสดงออกหรือบางส่วนอยู่ภายใต้รากงานหลักของการทำให้เข้าใจง่ายเกือบจะคล้ายกับกรณีที่มีเศษส่วน มีความจำเป็นต้องมองหาวิธีกำจัดมันให้หมดหรือหากเป็นไปไม่ได้ให้ลดเครื่องหมายที่รบกวนการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น จนถึงค่า √(3) หรือ √(7) ที่ไม่สร้างความรำคาญ

วิธีที่ถูกต้องลดความซับซ้อนของการแสดงออกที่รุนแรง - พยายามแยกตัวประกอบซึ่งบางส่วนจะถือออกไปนอกป้าย ตัวอย่างประกอบ: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)

เทคนิคและความแตกต่างเล็กน้อยอื่น ๆ :

• การดำเนินการลดความซับซ้อนนี้สามารถดำเนินการได้ด้วยเศษส่วนโดยนำออกจากเครื่องหมายทั้งโดยรวมและแยกจากกันเป็นตัวเศษหรือตัวส่วน
• ส่วนหนึ่งของผลรวมหรือส่วนต่างไม่สามารถขยายและนำไปเกินรากได้;
• เมื่อทำงานกับตัวแปร ต้องคำนึงถึงระดับของตัวแปรด้วย โดยจะต้องเท่ากับหรือทวีคูณของรากจึงจะสามารถนำออกมาได้: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• บางครั้งเป็นไปได้ที่จะกำจัดตัวแปรรากโดยการเพิ่มกำลังเศษส่วน: √(y 3)=y 3/2

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง

หากในกรณีการคำนวณอย่างง่ายด้วยลบหรือบวกตัวอย่างทำให้ง่ายขึ้นโดยอ้างอิงสิ่งที่คล้ายกันแล้วต้องทำอย่างไรเมื่อคูณหรือหารตัวแปรด้วย องศาที่แตกต่างกัน- สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการจดจำประเด็นหลักสองประเด็น:

1. หากมีเครื่องหมายคูณระหว่างตัวแปร เลขยกกำลังจะรวมกัน
2. เมื่อหารกันแล้ว ยกกำลังเท่ากันของตัวส่วนจะถูกลบออกจากยกกำลังของตัวเศษ

เงื่อนไขเดียวสำหรับการทำให้เข้าใจง่ายคือทั้งสองคำมีพื้นฐานเหมือนกัน ตัวอย่างเพื่อความชัดเจน:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

โปรดทราบว่าการดำเนินงานด้วย ค่าตัวเลขยืนอยู่หน้าตัวแปรเกิดขึ้นตามกฎทางคณิตศาสตร์ตามปกติ และถ้าคุณมองใกล้ ๆ จะเห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบพลังงานของสำนวน "ทำงาน" ในลักษณะเดียวกัน:

• การยกพจน์ยกกำลังหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองด้วยจำนวนครั้งที่กำหนด เช่น x 2 =x×x;
• การหารจะคล้ายกัน: หากคุณขยายกำลังของตัวเศษและส่วน ตัวแปรบางตัวจะถูกยกเลิก ในขณะที่ตัวแปรที่เหลือจะถูก "รวบรวม" ซึ่งเทียบเท่ากับการลบ

เช่นเดียวกับสิ่งอื่นๆ การทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้นไม่เพียงแต่ต้องอาศัยความรู้พื้นฐานเท่านั้น แต่ยังต้องฝึกฝนอีกด้วย หลังจากผ่านไปเพียงไม่กี่บทเรียน ตัวอย่างที่ครั้งหนึ่งเคยดูซับซ้อนจะลดลงโดยไม่ยากนัก และกลายเป็นตัวอย่างที่สั้นและแก้ไขได้ง่าย

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจและจดจำวิธีการทำให้สำนวนง่ายขึ้น

ไม่ได้รับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? แนะนำหัวข้อให้กับผู้เขียน

สะดวกและเรียบง่าย เครื่องคิดเลขออนไลน์เศษส่วนพร้อมเฉลยอย่างละเอียดอาจจะ:

• บวก ลบ คูณ หารเศษส่วน ออนไลน์
• รับโซลูชันสำเร็จรูปสำหรับเศษส่วนพร้อมรูปภาพและถ่ายโอนได้อย่างสะดวก



ผลการแก้เศษส่วนจะอยู่ที่นี่...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
เครื่องหมายเศษส่วน "/" + - * :
_ลบล้าง
เครื่องคำนวณเศษส่วนออนไลน์ของเรามีการป้อนข้อมูลที่รวดเร็ว- เช่น หากต้องการแก้เศษส่วน ให้เขียนง่ายๆ 1/2+2/7 ลงในเครื่องคิดเลขแล้วกดปุ่ม " แก้เศษส่วน" เครื่องคิดเลขจะเขียนถึงคุณ การแก้เศษส่วนอย่างละเอียดและจะออก รูปภาพที่ง่ายต่อการคัดลอก.

ป้ายที่ใช้เขียนเครื่องคิดเลข

คุณสามารถพิมพ์ตัวอย่างสำหรับโซลูชันจากแป้นพิมพ์หรือใช้ปุ่มก็ได้

คุณสมบัติของเครื่องคิดเลขเศษส่วนออนไลน์

เครื่องคำนวณเศษส่วนสามารถดำเนินการกับเศษส่วนอย่างง่าย 2 ตัวเท่านั้น พวกเขาสามารถเป็นได้ทั้งถูก (ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) หรือไม่ถูกต้อง (ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน) ตัวเลขในตัวเศษและส่วนต้องไม่เป็นลบหรือมากกว่า 999
เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเราแก้เศษส่วนและให้คำตอบ ชนิดที่ถูกต้อง- ลดเศษส่วนและเลือกทั้งส่วนหากจำเป็น

หากคุณต้องการแก้เศษส่วนที่เป็นลบ ก็แค่ใช้คุณสมบัติของลบ เมื่อคูณและหารเศษส่วนลบ ลบด้วยลบจะได้บวก นั่นคือผลคูณและการหารเศษส่วนลบจะเท่ากับผลคูณและการหารเศษส่วนบวกอันเดียวกัน หากเศษส่วนหนึ่งเป็นลบเมื่อคูณหรือหาร ให้ลบเครื่องหมายลบออกแล้วบวกเข้ากับคำตอบ เมื่อบวกเศษส่วนลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับการบวกเศษส่วนบวกเดียวกัน หากคุณบวกเศษส่วนลบหนึ่งตัว ก็จะเท่ากับการลบเศษส่วนบวกตัวเดียวกัน
เมื่อลบเศษส่วนที่เป็นลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับว่าเศษส่วนนั้นถูกสลับและทำให้เป็นบวก นั่นคือ ลบทีละลบใน ในกรณีนี้ให้บวกแต่การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง เราใช้กฎเดียวกันในการลบเศษส่วน ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นลบ

เพื่อแก้ปัญหา เศษส่วนผสม(เศษส่วนซึ่ง ทั้งส่วน) แค่ขับส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษ

หากคุณต้องการแก้เศษส่วน 3 ตัวขึ้นไปทางออนไลน์ คุณควรแก้เศษส่วนทีละตัว ขั้นแรก ให้นับเศษส่วน 2 ตัวแรก จากนั้นแก้เศษส่วนถัดไปด้วยคำตอบที่คุณได้รับ เป็นต้น ดำเนินการทีละส่วน ครั้งละ 2 ส่วน แล้วคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องในที่สุด

ภาษาใดก็ได้สามารถแสดงข้อมูลเดียวกันได้ ด้วยคำพูดที่แตกต่างกันและการปฏิวัติ ภาษาคณิตศาสตร์ก็ไม่มีข้อยกเว้น แต่นิพจน์เดียวกันสามารถเขียนได้เหมือนกันในรูปแบบที่ต่างกัน และในบางสถานการณ์ รายการใดรายการหนึ่งจะง่ายกว่า เราจะพูดถึงการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นในบทเรียนนี้

ผู้คนสื่อสารกัน ภาษาที่แตกต่างกัน- สำหรับเรา การเปรียบเทียบที่สำคัญคือคู่ "ภาษารัสเซีย - ภาษาคณิตศาสตร์" ข้อมูลเดียวกันสามารถสื่อสารได้ในภาษาต่างๆ แต่นอกจากนี้ ยังสามารถออกเสียงได้หลายวิธีในภาษาเดียว

ตัวอย่างเช่น: "Petya เป็นเพื่อนกับ Vasya", "Vasya เป็นเพื่อนกับ Petya", "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" พูดต่างกันแต่เรื่องเดียวกัน จากวลีเหล่านี้เราจะเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึง

ลองดูวลีนี้: “ เด็กชาย Petya และเด็กชาย Vasya เป็นเพื่อนกัน” เราเข้าใจสิ่งที่เราหมายถึง เรากำลังพูดถึง- แต่เราไม่ชอบเสียงของวลีนี้ เราไม่สามารถทำให้มันง่ายขึ้น พูดในสิ่งเดียวกัน แต่ง่ายกว่านี้ได้ไหม? “ เด็กชายและเด็กชาย” - คุณสามารถพูดได้ครั้งเดียว:“ เด็กชาย Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน”

“เด็กผู้ชาย”... ดูจากชื่อแล้วไม่ใช่เด็กผู้หญิงเหรอ? เราลบ "เด็กผู้ชาย": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" และคำว่า "เพื่อน" สามารถแทนที่ด้วย "เพื่อน" ได้: "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" เป็นผลให้วลีแรกยาวและน่าเกลียดถูกแทนที่ด้วยข้อความที่เทียบเท่าซึ่งพูดง่ายกว่าและเข้าใจง่ายกว่า เราได้ทำให้วลีนี้ง่ายขึ้น to simplify หมายถึง พูดให้ง่ายขึ้น แต่ต้องไม่สูญเสียหรือบิดเบือนความหมาย

ในภาษาคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นโดยประมาณ สิ่งเดียวกันอาจกล่าวได้เขียนต่างกัน การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าสำหรับสำนวนดั้งเดิมนั้นมีสำนวนที่เทียบเท่ากันมากมาย กล่าวคือ สำนวนที่หมายถึงสิ่งเดียวกัน และจากความหลากหลายทั้งหมดนี้เราต้องเลือกสิ่งที่ง่ายที่สุดในความคิดของเราหรือที่เหมาะสมที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ต่อไปของเรา

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข มันจะเท่ากับ.

มันจะเทียบเท่ากับสองรายการแรกด้วย: .

ปรากฎว่าเราทำให้นิพจน์ของเราง่ายขึ้นและพบนิพจน์ที่สั้นที่สุดที่เทียบเท่ากัน

สำหรับ การแสดงออกทางตัวเลขคุณต้องดำเนินการทั้งหมดเสมอและรับนิพจน์ที่เทียบเท่าในรูปแบบของตัวเลขตัวเดียว

ลองดูตัวอย่างของการแสดงออกตามตัวอักษร . แน่นอนว่ามันจะง่ายกว่า

เมื่อทำให้ง่ายขึ้น การแสดงออกตามตัวอักษรจำเป็นต้องดำเนินการทั้งหมดที่เป็นไปได้

จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเสมอหรือไม่? ไม่ บางครั้งการเข้าร่วมที่เทียบเท่าแต่นานกว่าจะสะดวกกว่าสำหรับเรา

ตัวอย่าง: คุณต้องลบตัวเลขออกจากตัวเลข

คุณสามารถคำนวณได้ แต่หากตัวเลขแรกแสดงด้วยสัญกรณ์ที่เทียบเท่า: การคำนวณก็จะเป็นแบบทันที:

นั่นคือนิพจน์ที่เรียบง่ายไม่ได้เป็นประโยชน์สำหรับเราในการคำนวณเพิ่มเติมเสมอไป

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับงานที่ดูเหมือน "ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น"

ลดความซับซ้อนของนิพจน์: .

สารละลาย

1) ดำเนินการในวงเล็บตัวแรกและตัวที่สอง: .

2) มาคำนวณผลิตภัณฑ์กัน: .

แน่นอนว่านิพจน์สุดท้ายมีรูปแบบที่ง่ายกว่านิพจน์เริ่มต้น เราทำให้มันง่ายขึ้น

เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น จะต้องแทนที่ด้วยค่าที่เทียบเท่า (เท่ากับ)

ในการกำหนดนิพจน์ที่เทียบเท่าที่คุณต้องการ:

1) ดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมด

2) ใช้คุณสมบัติของการบวก ลบ คูณ หาร เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

คุณสมบัติของการบวกและการลบ:

1. สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง

2. สมบัติการบวกรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของตัวเลขสองตัว คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับเลขตัวแรกได้

3. คุณสมบัติของการลบผลรวมจากตัวเลข: หากต้องการลบผลรวมจากตัวเลข คุณสามารถลบแต่ละเทอมแยกกันได้

คุณสมบัติของการคูณและการหาร

1. สมบัติการสลับของการคูณ: การจัดเรียงตัวประกอบใหม่จะไม่ทำให้ผลคูณเปลี่ยน

2. คุณสมบัติเชิงรวมกัน: หากต้องการคูณตัวเลขด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัว คุณสามารถคูณด้วยตัวประกอบแรกก่อน จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบที่สอง

3. คุณสมบัติการกระจายของการคูณ: ในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม คุณต้องคูณด้วยแต่ละเทอมแยกกัน

มาดูกันว่าจริงๆ แล้วเราคำนวณทางจิตอย่างไร

คำนวณ:

สารละลาย

1) ลองจินตนาการดูว่า

2) ลองจินตนาการถึงปัจจัยแรกเป็นผลรวม เงื่อนไขบิตและทำการคูณ:

3) คุณสามารถจินตนาการได้ว่าอย่างไรและทำการคูณ:

4) แทนที่ตัวประกอบแรกด้วยผลรวมที่เท่ากัน:

กฎการกระจายสามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้าม: .

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1) 2)

สารละลาย

1) เพื่อความสะดวก คุณสามารถใช้กฎการกระจายได้ แต่ให้ใช้ในทิศทางตรงกันข้ามเท่านั้น - นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

2) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จำเป็นต้องซื้อเสื่อน้ำมันสำหรับห้องครัวและโถงทางเดิน บริเวณห้องครัว - , โถงทางเดิน - . เสื่อน้ำมันมีสามประเภท: สำหรับและรูเบิลสำหรับ แต่ละอันราคาเท่าไหร่คะ? สามประเภทเสื่อน้ำมัน? (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับคำชี้แจงปัญหา

สารละลาย

วิธีที่ 1 คุณสามารถแยกหาจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการซื้อเสื่อน้ำมันสำหรับห้องครัวจากนั้นไปที่โถงทางเดินและเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้

ในบรรดาสำนวนต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials ครอบครองสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

ให้เราแสดงเงื่อนไขทั้งหมดในรูปแบบของ monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

สำหรับ ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงจากเลขชี้กำลังจากมากไปหาน้อย ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากการถ่ายคร่อมเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราได้ใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

คุณต้องจัดการกับนิพจน์บางนิพจน์ในการแปลงพีชคณิตบ่อยกว่านิพจน์อื่นๆ บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ เช่น \((a + b)^2 \) แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b . อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณประสบปัญหาดังกล่าวแล้วเมื่อทำการคูณพหุนาม : :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวม เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมและเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถเปลี่ยนแปลงเพื่อแทนที่ชิ้นส่วนด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนที่ถูกต้อง และในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนด้านขวาด้วยชิ้นส่วนด้านซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์ v.1.0

เครื่องคิดเลขทำงาน การดำเนินการดังต่อไปนี้: การบวก ลบ คูณ หาร ทำงานกับทศนิยม การถอนราก การยกกำลัง การคำนวณเปอร์เซ็นต์ และการดำเนินการอื่นๆ

สารละลาย:

วิธีใช้เครื่องคิดเลขคณิต

สำคัญ	การกำหนด	คำอธิบาย
5	หมายเลข 0-9	เลขอารบิก การป้อนจำนวนเต็มธรรมชาติเป็นศูนย์ หากต้องการรับจำนวนเต็มลบ คุณต้องกดปุ่ม +/-
.	ระยะเวลา (ลูกน้ำ)	ตัวคั่นเพื่อระบุเศษส่วนทศนิยม หากไม่มีตัวเลขอยู่หน้าจุด (ลูกน้ำ) เครื่องคิดเลขจะแทนที่ศูนย์ก่อนจุดโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่น: .5 - 0.5 จะถูกเขียน
+	เครื่องหมายบวก	การบวกตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
-	เครื่องหมายลบ	การลบตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
÷	สัญลักษณ์การแบ่ง	การหารตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
เอ็กซ์	เครื่องหมายคูณ	การคูณตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
√	ราก	การแยกรากของตัวเลข เมื่อคุณกดปุ่ม "root" อีกครั้ง ระบบจะคำนวณรากของผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น รากของ 16 = 4; รากของ 4 = 2
x2	กำลังสอง	กำลังสองจำนวน เมื่อคุณกดปุ่ม "กำลังสอง" อีกครั้ง ผลลัพธ์จะเป็นกำลังสอง ตัวอย่างเช่น กำลังสอง = 4; สี่เหลี่ยม 4 = 16
1/x	เศษส่วน	ส่งออกเป็นเศษส่วนทศนิยม ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือตัวเลขที่ป้อน
%	เปอร์เซ็นต์	รับเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข ในการทำงานคุณต้องป้อน: จำนวนที่จะคำนวณเปอร์เซ็นต์, เครื่องหมาย (บวก, ลบ, หาร, คูณ), กี่เปอร์เซ็นต์ในรูปแบบตัวเลข, ปุ่ม "%"
(	วงเล็บเปิด	วงเล็บเปิดเพื่อระบุลำดับความสำคัญในการคำนวณ ต้องมีวงเล็บปิด ตัวอย่าง: (2+3)*2=10
)	วงเล็บปิด	วงเล็บปิดเพื่อระบุลำดับความสำคัญในการคำนวณ ต้องมีวงเล็บเปิด
±	บวกลบ	เครื่องหมายย้อนกลับ
=	เท่ากับ	แสดงผลการแก้ปัญหา เหนือเครื่องคิดเลขในช่อง "โซลูชัน" การคำนวณระดับกลางและผลลัพธ์จะปรากฏขึ้น
←	การลบตัวละคร	ลบอักขระตัวสุดท้าย
กับ	รีเซ็ต	ปุ่มรีเซ็ต รีเซ็ตเครื่องคิดเลขไปที่ตำแหน่ง "0" โดยสมบูรณ์

อัลกอริทึมของเครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้ตัวอย่าง

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.

การบวกจำนวนเต็มธรรมชาติ (5 + 7 = 12)

นอกจากนี้จากธรรมชาติทั้งหมดและ ตัวเลขติดลบ { 5 + (-2) = 3 }

การบวกทศนิยม ตัวเลขเศษส่วน { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

การลบ

การลบจำนวนเต็มธรรมชาติ ( 7 - 5 = 2 )

การลบจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ ( 5 - (-2) = 7 )

การลบเศษส่วนทศนิยม ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

การคูณ

ผลคูณของจำนวนเต็มธรรมชาติ (3 * 7 = 21)

ผลคูณของจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ ( 5 * (-3) = -15 )

ผลคูณเศษส่วนทศนิยม ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

แผนก.

การหารจำนวนเต็มธรรมชาติ (27/3 = 9)

การหารจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ (15 / (-3) = -5)

การหารเศษส่วนทศนิยม (6.2 / 2 = 3.1)

การแยกรากของตัวเลข

แยกรากของจำนวนเต็ม ( root(9) = 3)

การสกัดรากจาก ทศนิยม( รูท(2.5) = 1.58 )

แยกรากของผลรวมของตัวเลข ( root(56 + 25) = 9)

แยกรากของผลต่างระหว่างตัวเลข (ราก (32 – 7) = 5)

กำลังสองจำนวน

กำลังสองจำนวนเต็ม ( (3) 2 = 9 )

การยกกำลังสองทศนิยม ((2,2)2 = 4.84)

การแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม

การคำนวณเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข

เพิ่มจำนวน 230 ขึ้น 15% ( 230 + 230 * 0.15 = 264.5 )

ลดจำนวน 510 ลง 35% ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5)

18% ของจำนวน 140 คือ (140 * 0.18 = 25.2)