Murakkab kasrlarni qo'shish va ayirish. Kasrlarni qo'shish

Dars mazmuni

O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish

Kasrlarni qo'shishning ikki turi mavjud:

1. bilan kasrlarni qo'shish bir xil maxrajlar
2. bilan kasrlarni qo'shish turli denominatorlar

Birinchidan, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Masalan, va kasrlarni qo'shamiz. Numeratorlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Vazifaning oxiri kelganda, noto'g'ri fraktsiyalardan xalos bo'lish odatiy holdir. Noto'g'ri fraktsiyadan qutulish uchun uning butun qismini tanlashingiz kerak. Bizning holatda butun qismi Osonlik bilan ajralib turadi - ikkita ikkiga bo'lingan, birga teng:

Ikki qismga bo'lingan pizza haqida eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa olasiz:

3-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Shunga qaramay, biz sonlarni qo'shamiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, oson tushunish mumkin. Agar siz pizzaga ko'proq pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

4-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Numeratorlar qo'shilishi va maxraj o'zgarishsiz qolishi kerak:

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz va ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz 1 ta to'liq pitsa va yana ko'proq pitsa olasiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

1. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Kasrlarni qo'shishda kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lishi kerak. Lekin ular har doim ham bir xil emas.

Masalan, kasrlarni qo'shish mumkin, chunki ularning maxrajlari bir xil.

Ammo kasrlarni darhol qo'shib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Kasrlarni bir xil maxrajga kamaytirishning bir necha usullari mavjud. Bugun biz ulardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz, chunki boshqa usullar yangi boshlanuvchilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin.

Bu usulning mohiyati shundan iboratki, avval ikkala kasrning maxrajlarining LKM i izlanadi. Keyin LCM birinchi qo'shimcha omilni olish uchun birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi. Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi - LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi.

Keyin kasrlarning sonlari va maxrajlari ularning qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiriladi. Ushbu harakatlar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz.

1-misol. Kasrlarni qo'shamiz va

Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karralini topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 2 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng.

LCM (2 va 3) = 6

Endi kasr va ga qaytaylik. Birinchidan, LCMni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling va birinchi qo'shimcha omilni oling. LCM - 6 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 6 ni 3 ga bo'ling, biz 2 ni olamiz.

Olingan 2 raqami birinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni birinchi kasrga yozamiz. Buni amalga oshirish uchun kasr ustiga kichik qiyshiq chiziq qo'ying va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. Biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz va ikkinchi qo'shimcha omilni olamiz. LCM - 6 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 2. 6 ni 2 ga bo'ling, biz 3 ni olamiz.

Olingan 3 raqami ikkinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni ikkinchi kasrga yozamiz. Shunga qaramay, biz ikkinchi kasr ustiga kichik qiya chiziq qilamiz va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozamiz:

Endi bizda qo'shimcha qilish uchun hamma narsa tayyor. Kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Nimaga kelganimizga diqqat bilan qarang. Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:

Bu misolni to'ldiradi. Qo'shish uchun chiqadi.

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa va yana oltidan bir qismini olasiz:

Kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Kasrlarni qisqartirish umumiy maxraj, biz kasrlarni oldik va . Bu ikki kasr bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi. Yagona farq shundaki, bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi).

Birinchi rasm kasrni (oltitadan to'rttasini), ikkinchisi esa kasrni (oltitadan uchtasini) ifodalaydi. Ushbu qismlarni qo'shib, biz (oltitadan etti dona) olamiz. Bu kasr noto'g'ri, shuning uchun biz uning butun qismini ta'kidladik. Natijada biz (bitta butun pitsa va boshqa oltinchi pitsa) oldik.

E'tibor bering, biz ushbu misolni juda batafsil tasvirlab berdik. Ta'lim muassasalarida bunday batafsil yozish odat emas. Siz ikkala maxrajning va ularga qo'shimcha omillarning LKM ni tezda topa olishingiz, shuningdek, topilgan qo'shimcha omillarni o'zingizning hisoblagichlaringiz va maxrajlaringiz bilan tezda ko'paytirishingiz kerak. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni quyidagicha yozishimiz kerak edi:

Ammo tanganing boshqa tomoni ham bor. Agar siz matematikani o'rganishning birinchi bosqichlarida batafsil qayd qilmasangiz, unda bunday savollar paydo bo'la boshlaydi. “Bu raqam qayerdan keladi?”, “Nima uchun kasrlar birdan butunlay boshqa kasrlarga aylanadi? «.

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishni osonlashtirish uchun siz quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:

1. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping;
2. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling;
3. Kasrlarning son va maxrajlarini ularning qo'shimcha ko'paytmalariga ko'paytirish;
4. Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shing;
5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang;

2-misol. Ifodaning qiymatini toping .

Keling, yuqorida keltirilgan ko'rsatmalardan foydalanamiz.

1-qadam. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping

Ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Kasrlarning maxrajlari 2, 3 va 4 sonlaridir

2-qadam. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling

LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 2. 12 ni 2 ga bo'lamiz, biz 6 ga erishamiz. Biz birinchi qo'shimcha koeffitsientni oldik 6. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ga erishamiz. Ikkinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 4. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni uchinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Uchinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 3. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:

3-qadam. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiring

Numeratorlar va maxrajlarni qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiramiz:

Qadam 4. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shing

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Qolgan narsa bu kasrlarni qo'shishdir. Uni qo'shing:

Qo'shish bir qatorga to'g'ri kelmadi, shuning uchun biz qolgan ifodani keyingi qatorga o'tkazdik. Bu matematikada ruxsat etiladi. Ifoda bir satrga to`g`ri kelmasa, u keyingi qatorga o`tkaziladi va birinchi qatorning oxiriga va yangi qatorning boshiga tenglik belgisini (=) qo`yish kerak bo`ladi. Ikkinchi qatordagi tenglik belgisi bu birinchi qatordagi ifodaning davomi ekanligini ko'rsatadi.

Qadam 5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang

Javobimizda noto'g'ri kasr oldik. Biz uning butun bir qismini ta'kidlashimiz kerak. Biz ta'kidlaymiz:

Biz javob oldik

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishning ikki turi mavjud:

1. O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Birinchidan, keling, o'xshash maxrajli kasrlarni qanday ayirishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish kerak, lekin maxrajni bir xil qoldirish kerak.

Masalan, ifoda qiymatini topamiz. Bu misolni yechish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrning payini ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Keling buni qilamiz:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Shunga qaramay, birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning hisobini ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, oson tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning hisoblagichidan qolgan kasrlarning sonlarini ayirish kerak:

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda hech qanday murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

1. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;
2. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz uning butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Masalan, kasrni kasrdan ayirish mumkin, chunki kasrlar bir xil maxrajga ega. Ammo kasrdan kasrni ayirib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Umumiy maxraj biz turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shganda qo‘llagan printsip asosida topiladi. Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Keyin LCM birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omil olinadi, bu birinchi kasrning ustiga yoziladi. Xuddi shunday, LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi, bu ikkinchi kasrning ustiga yoziladi.

Keyin kasrlar qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu amallar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylantiriladi. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz.

1-misol. Ifodaning ma'nosini toping:

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Avval ikkala kasrning maxrajlarining LCM ni topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 4 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga teng.

LCM (3 va 4) = 12

Endi kasrlarga qaytaylik va

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. Buning uchun LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Birinchi kasrning ustiga to'rttasini yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Ikkinchi kasrning ustiga uchtani yozing:

Endi biz ayirish uchun tayyormiz. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:

Biz javob oldik

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pizza kessangiz, siz pizza olasiz

Bu batafsil versiyasi yechimlar. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni qisqaroq hal qilishimiz kerak edi. Bunday yechim quyidagicha ko'rinadi:

Kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Ushbu kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirib, biz kasrlarni oldik va . Bu kasrlar bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi, ammo bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi):

Birinchi rasmda kasr (o'n ikkitadan sakkizta bo'lak), ikkinchi rasmda esa kasr (o'n ikki qismdan uchtasi) ko'rsatilgan. Sakkiz qismdan uchta bo'lakni kesib, biz o'n ikkitadan beshta bo'lak olamiz. Kasr bu besh qismni tasvirlaydi.

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun avval ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Bu kasrlarning maxrajlarining LKM ni topamiz.

Kasrlarning maxrajlari 10, 3 va 5 raqamlari. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 30 ga teng.

LCM(10, 3, 5) = 30

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling.

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. LCM - 30 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 10. 30 ni 10 ga bo'ling, biz birinchi qo'shimcha koeffitsient 3 ni olamiz. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz ikkinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 30 ni 3 ga bo'ling, biz ikkinchi qo'shimcha koeffitsient 10 ni olamiz. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi uchinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCMni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 5. 30 ni 5 ga bo'lamiz, uchinchi qo'shimcha koeffitsient 6 ni olamiz. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi hamma narsa ayirish uchun tayyor. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni tugatamiz.

Misolning davomi bir qatorga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatordagi tenglik belgisini (=) unutmang:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga mos keladigan ko'rinadi, lekin bu juda og'ir va xunuk. Biz buni oddiyroq qilishimiz kerak. Nima qilish mumkin? Siz bu qismni qisqartirishingiz mumkin.

Kasrni kamaytirish uchun uning payini va maxrajini 20 va 30 raqamlarining (GCD) ga bo'lish kerak.

Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlarining gcd ni topamiz:

Endi biz misolimizga qaytamiz va kasrning soni va maxrajini topilgan gcd ga, ya'ni 10 ga bo'lamiz.

Biz javob oldik

Kasrni songa ko'paytirish

Kasrni songa ko'paytirish uchun berilgan kasrning payini shu songa ko'paytirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.

1-misol. Kasrni 1 raqamiga ko'paytiring.

Kasrning sonini 1 raqamiga ko'paytiring

Yozishni yarim 1 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz bir marta pitsa iste'mol qilsangiz, siz pitsa olasiz

Ko'paytirish qonunlaridan shuni bilamizki, agar ko'paytma va omil almashtirilsa, ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifoda quyidagicha yozilsa, u holda mahsulot baribir ga teng bo'ladi. Yana butun son va kasrni ko'paytirish qoidasi ishlaydi:

Bu belgini bittaning yarmini olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar 1 ta butun pitsa bo'lsa va biz uning yarmini olsak, unda bizda pitsa bo'ladi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Kasrning sonini 4 ga ko'paytiring

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

Ifoda ikki chorakni 4 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 4 ta pitsa olsangiz, ikkita butun pitsa olasiz

Va agar biz ko'paytma va ko'paytmani almashtirsak, biz ifodani olamiz. Shuningdek, u 2 ga teng bo'ladi. Bu iborani to'rtta pitsadan ikkita pitsa olish sifatida tushunish mumkin:

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini ajratib ko'rsatish kerak.

1-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Javob oldik. Ushbu fraktsiyani kamaytirish tavsiya etiladi. Kasrni 2 ga kamaytirish mumkin. Keyin yakuniy yechim quyidagi shaklni oladi:

Bu iborani yarim pitsadan pitsa olish deb tushunish mumkin. Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Bu yarmidan uchdan ikki qismini qanday olish mumkin? Avval siz bu yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:

Va bu uchta bo'lakdan ikkitasini oling:

Biz pizza tayyorlaymiz. Pitsa uch qismga bo'linganda qanday ko'rinishini eslang:

Ushbu pizzaning bir bo'lagi va biz olgan ikkita bo'lak bir xil o'lchamlarga ega bo'ladi:

Boshqa so'z bilan, haqida gapiramiz taxminan bir xil o'lchamdagi pizza. Shuning uchun ifodaning qiymati

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi, lekin qisqartirilsa yaxshi bo'lardi. Ushbu kasrni kamaytirish uchun siz ushbu kasrning payini va maxrajini eng kattaga bo'lishingiz kerak umumiy bo'luvchi(GCD) raqamlari 105 va 450.

Shunday qilib, 105 va 450 raqamlarining gcd ni topamiz:

Endi javobimizning sonini va maxrajini hozir topgan gcd ga, ya'ni 15 ga bo'lamiz.

Butun sonni kasr shaklida ifodalash

Har qanday butun sonni kasr sifatida ifodalash mumkin. Masalan, 5 raqami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu beshning ma'nosini o'zgartirmaydi, chunki ibora "besh soni birga bo'lingan" degan ma'noni anglatadi va bu, biz bilganimizdek, beshga teng:

O'zaro raqamlar

Endi biz juda ko'p tanishamiz qiziqarli mavzu matematikada. Bu "teskari raqamlar" deb ataladi.

Ta'rif. Raqamga teskaria ga ko'paytirilganda bu raqama birini beradi.

Keling, ushbu ta'rifda o'zgaruvchi o'rniga almashtiraylik a 5 raqami va ta'rifni o'qishga harakat qiling:

Raqamga teskari 5 ga ko'paytirilganda bu raqam 5 birini beradi.

5 ga ko'paytirilganda bitta bo'ladigan sonni topish mumkinmi? Bu mumkin ekan. Keling, beshni kasr sifatida tasavvur qilaylik:

Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat pay va maxrajni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'ziga ko'paytiramiz, faqat teskari:

Buning natijasida nima bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishda davom etsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bu shuni anglatadiki, 5 raqamining teskarisi raqamdir, chunki 5 ni ko'paytirganda bitta bo'ladi.

Raqamning o'zaro nisbati boshqa har qanday butun son uchun ham topilishi mumkin.

Boshqa har qanday kasrning teskarisini ham topishingiz mumkin. Buning uchun uni ag'daring.

Kasrni songa bo'lish

Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Keling, uni ikkiga teng taqsimlaymiz. Har bir kishi qancha pitsa oladi?

Ko'rinib turibdiki, pitsaning yarmini bo'lingandan so'ng, ikkita teng bo'lak olingan, ularning har biri pizza tashkil qiladi. Shunday qilib, hamma pizza oladi.

Kasrlarni bo'lish o'zaro nisbatlar yordamida amalga oshiriladi. O'zaro raqamlar bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirishga imkon beradi.

Kasrni songa bo'lish uchun kasrni bo'luvchining teskari qismiga ko'paytirish kerak.

Ushbu qoidadan foydalanib, biz pitsaning yarmini ikki qismga bo'linishini yozamiz.

Shunday qilib, kasrni 2 raqamiga bo'lishingiz kerak. Bu erda dividend kasr va bo'luvchi 2 raqamidir.

Kasrni 2 raqamiga bo'lish uchun bu kasrni bo'luvchining o'zaro nisbatiga ko'paytirish kerak 2. Bo'luvchi 2 ning o'zaro qismi kasrdir. Shunday qilib, siz ko'paytirishingiz kerak

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish qoidalari juda oddiy.

Keling, har xil maxrajli kasrlarni bosqichma-bosqich qo'shish qoidalarini ko'rib chiqaylik:

1. Maxrajlarning LCM (eng kichik umumiy karrali) ni toping. Olingan LCM kasrlarning umumiy maxraji bo'ladi;

2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring;

3. Umumiy maxrajga qisqartirilgan kasrlarni qo‘shing.

Yoniq oddiy misol Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish qoidalarini qo'llashni o'rganamiz.

Misol

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishga misol.

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shing:

1	+	5
6		12

Biz bosqichma-bosqich qaror qilamiz.

1. Maxrajlarning LCM (eng kichik umumiy karrali) ni toping.

12 raqami 6 ga bo'linadi.

Bundan xulosa qilamizki, 12 6 va 12 sonlarining eng kichik umumiy karrali.

Javob: 6 va 12 raqamlari soni 12 ga teng:

LCM(6, 12) = 12

Olingan LCM 1/6 va 5/12 ikkita kasrning umumiy maxraji bo'ladi.

2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

Bizning misolimizda faqat birinchi kasrni umumiy maxraj 12 ga kamaytirish kerak, chunki ikkinchi kasr allaqachon 12 ga teng.

12 ning umumiy maxrajini birinchi kasrning maxrajiga ajrating:

2 qo'shimcha multiplikatorga ega.

Birinchi kasrning (1/6) soni va maxrajini qo'shimcha 2 koeffitsientiga ko'paytiring.

Farzandingiz olib keldi Uy vazifasi maktabdan va uni qanday hal qilishni bilmayapsizmi? Unda bu mini dars siz uchun!

O'nli kasrlarni qanday qo'shish kerak

Ustunga o'nli kasrlarni qo'shish qulayroqdir. Qo'shishni amalga oshirish uchun o'nli kasrlar, siz bitta oddiy qoidaga amal qilishingiz kerak:

• Joy o'rin ostida, vergul vergul ostida bo'lishi kerak.

Misolda ko'rib turganingizdek, butun birliklar bir-birining ostida joylashgan, o'ninchi va yuzinchi raqamlar bir-birining ostida joylashgan. Endi biz vergulni e'tiborsiz qoldirib, raqamlarni qo'shamiz. Vergul bilan nima qilish kerak? Vergul butun son toifasida turgan joyga ko'chiriladi.

Maxrajlari teng bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

Umumiy maxraj bilan qo'shishni amalga oshirish uchun siz maxrajni o'zgarishsiz saqlashingiz, sonlarning yig'indisini topib, umumiy yig'indi bo'ladigan kasrni olishingiz kerak.

Umumiy ko'plik usuli yordamida har xil maxrajli kasrlarni qo'shish

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu denominatorlar. Maxrajlar har xil, ular bir-biriga boʻlinmaydimi, toʻgʻrimi tub sonlar. Avval siz uni bitta umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, buni qilishning bir necha yo'li mavjud:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu misolni hal qilish uchun biz 2 maxrajga bo'linadigan eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishimiz kerak. a va b ning eng kichik karralini belgilash uchun - LCM (a;b). Ushbu misolda LCM (3;4)=12. Biz tekshiramiz: 12:3=4; 12:4=3.
• Biz omillarni ko'paytiramiz va natijada olingan raqamlarni qo'shamiz, biz 13/12 - noto'g'ri kasrni olamiz.

• Noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga aylantirish uchun payni maxrajga bo'lamiz, biz butun sonni olamiz 1, qolgan 1 - ayirma va 12 - maxraj.

O'zaro ko'paytirish usuli yordamida kasrlarni qo'shish

Turli xil denominatorlarga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun "xochdan o'tish" formulasidan foydalanadigan yana bir usul mavjud. Bu maxrajlarni tenglashtirishning kafolatlangan usuli bo'lib, buning uchun hisoblagichlarni bir kasrning maxraji bilan ko'paytirish kerak va aksincha. Agar siz hozir bo'lsangiz dastlabki bosqich kasrlarni o'rganish, keyin bu usul har xil maxrajli kasrlarni qo'shganda to'g'ri natijani olishning eng oddiy va eng aniq usuli hisoblanadi.

Keling, kasrlarni o'rganishni davom ettiramiz. Bugun biz ularni taqqoslash haqida gaplashamiz. Mavzu qiziqarli va foydali. Bu yangi boshlanuvchiga o'zini oq xalatdagi olim kabi his qilish imkonini beradi.

Kasrlarni solishtirishning mohiyati ikki kasrdan qaysi biri katta yoki kichik ekanligini aniqlashdir.

Ikki kasrdan qaysi biri katta yoki kichik degan savolga javob berish uchun koʻproq (>) yoki kamroq ( kabilardan foydalaning.<).

Matematiklar allaqachon qaysi kasr kattaroq va qaysi biri kichikroq degan savolga darhol javob berishga imkon beruvchi tayyor qoidalar haqida g'amxo'rlik qilishgan. Ushbu qoidalar xavfsiz tarzda qo'llanilishi mumkin.

Biz ushbu qoidalarning barchasini ko'rib chiqamiz va nima uchun bu sodir bo'lishini aniqlashga harakat qilamiz.

Dars mazmuni

Bir xil maxrajli kasrlarni solishtirish

Taqqoslash kerak bo'lgan kasrlar boshqacha. Eng yaxshi holat, kasrlar bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, lekin har xil hisoblagichlarga ega bo'lsa. Bunday holda, quyidagi qoida qo'llaniladi:

Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrning soni kattaroq bo'lgan kasr kattaroqdir. Va shunga ko'ra, kichikroq hisoblagichga ega bo'lgan kasr kichikroq bo'ladi.

Masalan, kasrlarni solishtiramiz va bu kasrlardan qaysi biri kattaroq ekanligiga javob beramiz. Maxrajlar bir xil, lekin hisoblagichlar boshqacha. Kasr kasrga qaraganda kattaroq hisoblagichga ega. Bu kasr dan katta ekanligini bildiradi. Shunday qilib, biz javob beramiz. Ko'proq (>) belgisidan foydalanib javob berishingiz kerak.

Agar to'rt qismga bo'lingan pitssalarni eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Pitsalardan ko'ra ko'proq pitsa bor:

Birinchi pitsa ikkinchisidan kattaroq ekanligiga hamma rozi bo'ladi.

Kasrlarni bir xil hisoblagichlar bilan solishtirish

Biz kirishimiz mumkin bo'lgan keyingi holat, kasrlarning numeratorlari bir xil, lekin maxrajlari boshqacha bo'lsa. Bunday holatlar uchun quyidagi qoida nazarda tutilgan:

Numeratorlari bir xil bo'lgan ikkita kasrdan kichikroq maxrajli kasr kattaroqdir. Va shunga ko'ra, maxraji kattaroq bo'lgan kasr kichikroq bo'ladi.

Masalan, kasrlarni solishtiramiz va . Bu fraktsiyalar bir xil sonlar. Kasr kasrga qaraganda kichikroq maxrajga ega. Bu kasr kasrdan katta ekanligini anglatadi. Shunday qilib, biz javob beramiz:

Agar uch va to'rt qismga bo'lingan pitssalarni eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Pitsalardan ko'ra ko'proq pitsa bor:

Birinchi pitsa ikkinchisidan kattaroq ekanligiga hamma rozi bo'ladi.

Har xil sanoqli va har xil maxrajli kasrlarni solishtirish

Ko'pincha kasrlarni har xil hisoblagichlar va turli xil maxrajlar bilan solishtirish kerak bo'ladi.

Masalan, kasrlarni solishtiring va . Bu kasrlarning qaysi biri katta yoki kichik degan savolga javob berish uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga olib kelish kerak. Keyin qaysi kasr katta yoki kichik ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin.

Kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltiramiz. Ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni topamiz. Kasrlarning maxrajlarining LCM va bu 6 raqami.

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Keling, LCMni birinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 6 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 2. 6 ni 2 ga bo'ling, biz qo'shimcha 3 koeffitsientini olamiz. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi ikkinchi qo'shimcha omilni topamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 6 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3 raqami. 6 ni 3 ga bo'lamiz, biz qo'shimcha 2 koeffitsientini olamiz. Biz uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Keling, kasrlarni ularning qo'shimcha ko'rsatkichlariga ko'paytiramiz:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday solishtirishni bilamiz. Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrning soni kattaroq bo'lgan kasr kattaroqdir:

Qoida qoidadir va biz nima uchun u dan ortiq ekanligini aniqlashga harakat qilamiz. Buning uchun kasrdagi butun qismni tanlang. Kasrda biror narsani ajratib ko'rsatishning hojati yo'q, chunki kasr allaqachon to'g'ri.

Butun qismni kasrda ajratib bo'lgach, biz quyidagi ifodani olamiz:

Endi nima uchun ko'proq ekanligini osongina tushunishingiz mumkin. Keling, bu kasrlarni pizza shaklida chizamiz:

2 ta butun pitsa va pitsa, pitsadan ko'ra ko'proq.

Aralash sonlarni ayirish. Qiyin holatlar.

Aralash raqamlarni ayirish paytida, ba'zida ishlar siz xohlagan darajada silliq ketmasligini ko'rishingiz mumkin. Ko'pincha shunday bo'ladiki, misolni echishda javob u bo'lishi kerak emas.

Raqamlarni ayirishda minuend ayirishdan katta bo'lishi kerak. Faqat bu holatda oddiy javob olinadi.

Masalan, 10−8=2

10 - kamaytirilishi mumkin

8 - ayirboshlash

2 - farq

Minuend 10 qo'shimcha 8 dan kattaroqdir, shuning uchun biz oddiy javob 2 ni olamiz.

Keling, agar minuend subtrahenddan kichik bo'lsa, nima bo'lishini ko'rib chiqamiz. Misol 5−7=−2

5 - kamaytirish mumkin

7 - ayirboshlash

−2 - farq

Bunday holda, biz o'zimizga o'rganib qolgan raqamlar chegarasidan chiqib ketamiz va o'zimizni salbiy sonlar olamida topamiz, bu erda biz yurish uchun hali erta va hatto xavfli. Bilan ishlash uchun manfiy raqamlar, bizga tegishli matematik tayyorgarlik kerak, biz hali olmaganmiz.

Agar ayirish misollarini yechishda siz minuend ayirishdan kichik ekanligini aniqlasangiz, hozircha bunday misolni o'tkazib yuborishingiz mumkin. Salbiy raqamlar bilan faqat ularni o'rganib chiqqandan keyin ishlashga ruxsat beriladi.

Vaziyat kasrlar bilan bir xil. Minuend subtrahenddan kattaroq bo'lishi kerak. Faqat bu holatda oddiy javob olish mumkin bo'ladi. Va kamaytirilayotgan kasr ayirilayotgan kasrdan kattaroq yoki yo'qligini tushunish uchun siz ushbu kasrlarni taqqoslashingiz kerak.

Masalan, misolni hal qilaylik.

Bu ayirishning misolidir. Uni yechish uchun kamaytirilayotgan kasr ayirilayotgan kasrdan katta yoki yo‘qligini tekshirish kerak. Bundan ko'proq

Shunday qilib, biz misolga ishonch bilan qaytishimiz va uni hal qilishimiz mumkin:

Endi bu misolni hal qilaylik

Biz kamaytirilayotgan kasr ayirilayotgan kasrdan katta yoki yo'qligini tekshiramiz. Biz uning kamroq ekanligini aniqlaymiz:

Bunday holda, to'xtash va keyingi hisob-kitoblarni davom ettirmaslik oqilona. Keling, salbiy sonlarni o'rganayotganda ushbu misolga qaytaylik.

Ayirishdan oldin aralash raqamlarni tekshirish ham tavsiya etiladi. Masalan, ifoda qiymatini topamiz.

Birinchidan, qazib olinayotgan aralash son ayiriluvchi aralash sondan katta yoki yo'qligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:

Biz har xil hisoblagichlar va har xil maxrajli kasrlarni oldik. Bunday kasrlarni solishtirish uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak. Buni qanday qilishni batafsil tasvirlab bermaymiz. Agar sizda qiyinchilik bo'lsa, takrorlashni unutmang.

Kasrlarni bir xil maxrajga qisqartirgandan so'ng, biz quyidagi ifodani olamiz:

Endi kasrlarni solishtirish kerak va . Bular maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlardir. Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrning soni kattaroq bo'lgan kasr kattaroqdir.

Kasr kasrga qaraganda kattaroq hisoblagichga ega. Bu kasr kasrdan katta ekanligini anglatadi.

Bu minuend subtrahenddan kattaroq ekanligini anglatadi

Bu bizning misolimizga qaytishimiz va uni xavfsiz hal qilishimiz mumkinligini anglatadi:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Minuend subtrahenddan katta yoki yo'qligini tekshiramiz.

Keling, aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:

Biz har xil hisoblagichlar va har xil maxrajli kasrlarni oldik. Keling, bu kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltiramiz.