Kasrlarni qanday ko'paytirish kerak. Kasrlarni butun songa ko'paytirish qoidasi

Butun sonni kasrga ko'paytirish qiyin ish emas. Ammo maktabda siz tushungan, lekin keyin unutgan nozikliklar bor.

Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish kerak - bir nechta shartlar

Numerator va maxraj nima ekanligini va to'g'ri kasr noto'g'ri kasrdan qanday farq qilishini eslasangiz, ushbu paragrafni o'tkazib yuboring. Bu nazariyani butunlay unutganlar uchun.

Numerator yuqori qismi kasrlar biz ajratadigan narsadir. Maxraj pastroq. Bu biz ajratadigan narsadir.
To'g'ri kasr - ayiruvchisi maxrajidan kichik bo'lgan kasr. Noto'g'ri kasr - bu uning soni maxrajidan katta yoki teng bo'lgan kasrdir.

Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish kerak

Butun sonni kasrga ko'paytirish qoidasi juda oddiy - biz raqamni butun songa ko'paytiramiz, lekin maxrajga tegmang. Masalan: ikki beshdan birga ko'paytiriladi - biz beshdan ikkini olamiz. To'rtdan uchta o'n oltiga ko'paytirilsa, o'n ikki o'n oltiga teng.

Kamaytirish

Ikkinchi misolda olingan kasrni kamaytirish mumkin.
Bu nima degani? E'tibor bering, bu kasrning soni ham, maxraji ham to'rtga bo'linadi. Ikkala raqamni ham bo'ling umumiy bo'luvchi va kasrni kamaytirish deyiladi. Biz to'rtdan uch qismini olamiz.

Noto'g'ri fraktsiyalar

Ammo to'rtni beshdan ikkiga ko'paytiramiz deylik. Bu sakkizdan beshdan iborat bo'lib chiqdi. Bu noto'g'ri fraktsiya.
Uni albatta olib kelish kerak to'g'ri turdagi. Buni amalga oshirish uchun siz undan butun qismini tanlashingiz kerak.
Bu erda siz qoldiq bilan bo'linishdan foydalanishingiz kerak. Qoldiq sifatida bitta va uchtani olamiz.
Bir butun va beshdan uch bizning to'g'ri kasrdir.

O'ttiz besh sakkizni to'g'ri shaklga keltirish biroz qiyinroq, sakkizga bo'linadigan o'ttiz ettiga eng yaqin raqam o'ttiz ikkidir. Bo'linganda biz to'rtta olamiz. O'ttiz beshdan o'ttiz ikkini ayirib, uchtani olamiz. Natija: to'rtta butun va sakkizdan uch.

Numerator va maxrajning tengligi. Va bu erda hamma narsa juda oddiy va chiroyli. Agar hisob va maxraj teng bo'lsa, natija bitta bo'ladi.

) va maxraj bo‘yicha maxraj (ko‘paytmaning maxrajini olamiz).

Kasrlarni ko'paytirish formulasi:

Masalan:

Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishni boshlashdan oldin, kasrni kamaytirish mumkinligini tekshirishingiz kerak. Agar siz kasrni kamaytirsangiz, keyingi hisob-kitoblarni amalga oshirish osonroq bo'ladi.

Oddiy kasrni kasrga bo'lish.

Natural sonlar ishtirokidagi kasrlarni bo'lish.

Bu ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas. Qo'shishda bo'lgani kabi, biz butun sonni maxrajida bitta bo'lgan kasrga aylantiramiz. Masalan:

Aralash kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirish qoidalari (aralash):

• aralash kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantirish;
• kasrlarning son va maxrajlarini ko'paytirish;
• fraktsiyani kamaytirish;
• Agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, unda noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiramiz.

Eslatma! Ko'paytirish uchun aralash fraktsiya boshqa aralash kasrga, avval ularni noto'g'ri kasrlar shakliga o'tkazishingiz kerak, keyin esa ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytiring. oddiy kasrlar.

Kasrni natural songa ko'paytirishning ikkinchi usuli.

Oddiy kasrni songa ko'paytirishning ikkinchi usulini qo'llash qulayroq bo'lishi mumkin.

Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Yuqorida keltirilgan misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linganda bu variantdan foydalanish qulayroqdir.

Ko'p qavatli kasrlar.

O'rta maktabda uch qavatli (yoki undan ko'p) kasrlar tez-tez uchraydi. Misol:

Bunday kasrni odatiy shaklga keltirish uchun 2 nuqtaga bo'linishdan foydalaning:

Eslatma! Kasrlarni bo'lishda bo'lish tartibi juda muhimdir. Ehtiyot bo'ling, bu erda chalkashib ketish oson.

Eslatma, Masalan:

Birni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari:

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bo'yicha amaliy maslahatlar:

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va diqqatlilikdir. Barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan va aniq, diqqat bilan va aniq bajaring. Aqliy hisob-kitoblarda adashib qolgandan ko‘ra, qoralamaga bir necha qo‘shimcha satr yozgan ma’qul.

2. Bilan topshiriqlarda har xil turlari kasrlar - oddiy kasrlar shakliga o'ting.

3. Endi kamaytirish mumkin bo'lmaguncha barcha fraktsiyalarni kamaytiramiz.

4. Ko'p darajali kasr ifodalarini 2 nuqtaga bo'lish orqali oddiyga aylantiramiz.

5. Boshingizdagi birlikni kasrga bo'ling, shunchaki kasrni aylantiring.

Oddiy kasrlar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan yana bir amal - ko'paytirish. Biz masalalarni yechishda uning asosiy qoidalarini tushuntirishga harakat qilamiz, oddiy kasrni natural songa qanday ko'paytirishni va uchta yoki undan ortiq oddiy kasrni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ko'rsatamiz.

Avval asosiy qoidani yozamiz:

Ta'rif 1

Agar bitta oddiy kasrni ko'paytirsak, hosil bo'lgan kasrning payi asl kasrlar sonining ko'paytmasiga, maxraji esa ularning maxrajlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi. To'g'ridan-to'g'ri shaklda a / b va c / d ikkita kasr uchun bu b · c d = a · c b · d sifatida ifodalanishi mumkin.

Keling, ushbu qoidani qanday qilib to'g'ri qo'llashni misol qilib ko'rib chiqaylik. Aytaylik, bizda tomoni bitta son birlikka teng bo'lgan kvadrat bor. Keyin rasmning maydoni 1 kvadrat bo'ladi. birlik. Kvadratni tomonlari 1 4 va 1 8 son birlikka teng bo'lgan teng to'rtburchaklarga bo'lsak, endi u 32 ta to'rtburchakdan iborat ekanligini bilib olamiz (chunki 8 4 = 32). Shunga ko'ra, ularning har birining maydoni butun raqamning maydonining 1 32 ga teng bo'ladi, ya'ni. 1 32 kv. birliklar.

Bizda 5 8 raqamli birlik va 3 4 raqamli birlikka teng tomonlari bo'lgan soyali parcha bor. Shunga ko'ra, uning maydonini hisoblash uchun birinchi kasrni ikkinchisiga ko'paytirish kerak. U 5 8 · 3 4 sq ga teng bo'ladi. birliklar. Ammo biz fragmentga qancha to'rtburchaklar kiritilganligini oddiygina sanashimiz mumkin: ulardan 15 tasi bor, ya'ni umumiy maydoni 15 32 kvadrat birlik.

5 3 = 15 va 8 4 = 32 bo'lgani uchun biz quyidagi tenglikni yozishimiz mumkin:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Bu oddiy kasrlarni ko'paytirish uchun biz ishlab chiqqan qoidani tasdiqlaydi, bu a b · c d = a · c b · d shaklida ifodalanadi. To'g'ri va noto'g'ri fraktsiyalar uchun bir xil ishlaydi; U har xil va bir xil maxrajli kasrlarni ko'paytirish uchun ishlatilishi mumkin.

Keling, oddiy kasrlarni ko'paytirishga oid bir nechta masalalarning yechimlarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

7 11 ni 9 8 ga ko'paytiring.

Yechim

Birinchidan, 7 ni 9 ga ko'paytirish yo'li bilan ko'rsatilgan kasrlarning numeratorlarining mahsulotini hisoblaymiz. Bizda 63 bor. Keyin maxrajlarning ko'paytmasini hisoblaymiz va olamiz: 11 · 8 = 88. Keling, ikkita raqamni birlashtiramiz va javob: 63 88.

Butun yechim quyidagicha yozilishi mumkin:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Javob: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Agar javobimizda kamaytiriladigan kasrni oladigan bo'lsak, biz hisobni yakunlashimiz va uni qisqartirishni bajarishimiz kerak. Agar biz noto'g'ri kasrni olsak, undan butun qismni ajratishimiz kerak.

2-misol

Kasrlar mahsulotini hisoblang 4 15 va 55 6.

Yechim

Yuqorida o'rganilgan qoidaga ko'ra, sonni hisoblagichga, maxrajni esa maxrajga ko'paytirishimiz kerak. Yechim yozuvi quyidagicha ko'rinadi:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Biz kamaytiriladigan kasrni oldik, ya'ni. 10 ga bo'linadigan bitta.

Kasrni kamaytiramiz: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Natijada, biz noto'g'ri kasrni olamiz, undan biz butun qismni tanlaymiz va aralash raqamni olamiz: 22 9 = 2 4 9.

Javob: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Hisoblash qulayligi uchun ko'paytirish amalini bajarishdan oldin dastlabki kasrlarni ham qisqartirishimiz mumkin, buning uchun kasrni a · c b · d ko'rinishiga keltirishimiz kerak. Keling, o'zgaruvchilar qiymatlarini oddiy omillarga ajratamiz va bir xillarini kamaytiramiz.

Keling, ma'lum bir vazifadagi ma'lumotlardan foydalanish qanday ko'rinishini tushuntirib beraylik.

3-misol

4 15 55 6 mahsulotini hisoblang.

Yechim

Keling, ko'paytirish qoidasi asosida hisob-kitoblarni yozamiz. Biz olamiz:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 va 6 = 2 3 bo'lgani uchun 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Javob: 4 15 · 55 6 = 2 4 9.

Raqamli ifoda, unda oddiy kasrlarni ko'paytirish sodir bo'ladi, kommutativ xususiyatga ega, ya'ni agar kerak bo'lsa, omillarning tartibini o'zgartirishimiz mumkin:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kasrni natural songa qanday ko'paytirish kerak

Keling, darhol asosiy qoidani yozamiz va keyin uni amalda tushuntirishga harakat qilamiz.

Ta'rif 2

Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish uchun bu kasrning payini shu songa ko'paytirish kerak. Bunday holda, yakuniy kasrning maxraji dastlabki oddiy kasrning maxrajiga teng bo'ladi. Muayyan a b kasrni natural n songa ko'paytirish a b · n = a · n b formulasi sifatida yozilishi mumkin.

Agar har qanday natural sonni maxraji birga teng bo'lgan oddiy kasr sifatida ko'rsatish mumkinligini eslasangiz, bu formulani tushunish oson, ya'ni:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Keling, fikrimizni aniq misollar bilan tushuntiraylik.

4-misol

Mahsulotni 2 27 marta 5 hisoblang.

Yechim

Asl kasrning numeratorini ikkinchi omilga ko'paytirish natijasida biz 10 ni olamiz. Yuqorida aytib o'tilgan qoidaga ko'ra, natijada biz 10 27 ni olamiz. To'liq yechim ushbu postda keltirilgan:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Javob: 2 27 5 = 10 27

Natural sonni kasr bilan ko'paytirganda, biz ko'pincha natijani qisqartirishimiz yoki aralash son sifatida ko'rsatishimiz kerak.

5-misol

Shart: mahsulot 8 ni 5 12 ga hisoblang.

Yechim

Yuqoridagi qoidaga ko'ra, natural sonni sanoqchiga ko'paytiramiz. Natijada, biz 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 ni olamiz. Yakuniy kasr 2 ga bo'linish belgilariga ega, shuning uchun biz uni kamaytirishimiz kerak:

LCM (40, 12) = 4, shuning uchun 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Endi biz butun qismni tanlashimiz va tayyor javobni yozishimiz kerak: 10 3 = 3 1 3.

Ushbu yozuvda siz butun yechimni ko'rishingiz mumkin: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Paytuvchi va maxrajni tub ko‘paytmalarga ajratib, kasrni kamaytirishimiz ham mumkin va natija aynan bir xil bo‘ladi.

Javob: 5 12 8 = 3 1 3.

Natural son kasrga ko'paytiriladigan sonli ifoda ham siljish xususiyatiga ega, ya'ni omillarning tartibi natijaga ta'sir qilmaydi:

a b · n = n · a b = a · n b

Uch yoki undan ortiq oddiy kasrlarni qanday ko'paytirish kerak

Oddiy kasrlarni ko'paytirish amaliga natural sonlarni ko'paytirishga xos bo'lgan bir xil xususiyatlarni kengaytirishimiz mumkin. Bu tushunchalarning aniq ta'rifidan kelib chiqadi.

Birlashtiruvchi va kommutativ xususiyatlarni bilish tufayli siz uch yoki undan ortiq oddiy kasrlarni ko'paytirishingiz mumkin. Ko'proq qulaylik uchun omillarni qayta joylashtirish yoki qavslarni hisoblashni osonlashtiradigan tarzda joylashtirish maqbuldir.

Buning qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.

6-misol

To'rtta oddiy kasr 1 20, 12 5, 3 7 va 5 8 ni ko'paytiring.

Yechish: Birinchidan, ishni yozamiz. Biz 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 ni olamiz. Biz barcha sonlarni va barcha maxrajlarni birga ko'paytirishimiz kerak: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Ko'paytirishni boshlashdan oldin, biz o'zimizni biroz osonlashtiramiz va keyinchalik kamaytirish uchun ba'zi raqamlarni asosiy omillarga aylantiramiz. Bu allaqachon tayyor bo'lgan hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytirishdan ko'ra osonroq bo'ladi.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

Javob: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

7-misol

5 ta raqamni ko'paytiring 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Yechim

Qulaylik uchun biz 7 8 kasrni 8 raqami bilan va 12 raqamini 5 36 kasr bilan guruhlashimiz mumkin, chunki kelajakdagi qisqartmalar bizga aniq bo'ladi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 101 3 = 2 3

Javob: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

O'rta va o'rta maktab kurslarida talabalar "Kasrlar" mavzusini yoritgan. Biroq, bu tushuncha o'quv jarayonida berilganidan ancha kengroqdir. Bugungi kunda kasr tushunchasi juda tez-tez uchrab turadi va hamma ham biron bir ifodani hisoblay olmaydi, masalan, kasrlarni ko'paytirish.

Kasr nima?

Tarixiy jihatdan shunday bo'lgan kasr sonlar o‘lchash zaruratidan kelib chiqqan. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, ko'pincha segmentning uzunligini va to'rtburchaklar to'rtburchakning hajmini aniqlashga misollar mavjud.

Dastlab talabalarga ulush tushunchasi kiritiladi. Misol uchun, agar siz tarvuzni 8 qismga ajratsangiz, unda har bir kishi tarvuzning sakkizdan bir qismini oladi. Bu sakkizning bir qismi ulush deb ataladi.

Har qanday qiymatning ½ qismiga teng ulush yarim deb ataladi; ⅓ - uchinchi; ¼ - chorak. 5/8, 4/5, 2/4 ko'rinishdagi yozuvlar oddiy kasrlar deyiladi. Oddiy kasr son va maxrajga bo'linadi. Ularning orasida kasr satri yoki kasr satri joylashgan. Kasr chizig'i gorizontal yoki qiya chiziq sifatida chizilishi mumkin. IN Ushbu holatda bo'linish belgisini ifodalaydi.

Maxraj miqdor yoki ob'ektning nechta teng qismga bo'linishini ko'rsatadi; va hisoblagich - qancha bir xil aktsiyalar olinadi. Numerator kasr chizig'ining tepasida, maxraj esa uning ostida yoziladi.

Koordinata nurida oddiy kasrlarni ko'rsatish eng qulaydir. Agar birlik segmenti 4 ta teng qismga bo'lingan bo'lsa, har bir qismni belgilang Lotin harfi, keyin natija ajoyib bo'lishi mumkin vizual material. Shunday qilib, A nuqtasi butun birlik segmentining 1/4 qismiga teng ulushni ko'rsatadi va B nuqtasi berilgan segmentning 2/8 qismini belgilaydi.

Kasrlar turlari

Kasrlar oddiy, o'nlik va aralash sonlar bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, kasrlarni to'g'ri va noto'g'ri bo'lish mumkin. Bu tasnif oddiy fraktsiyalar uchun ko'proq mos keladi.

To'g'ri kasr - ayiruvchisi maxrajidan kichik bo'lgan son. Shunga ko'ra, noto'g'ri kasr deb, uning soni maxrajidan katta bo'lgan sondir. Ikkinchi tur odatda aralash son sifatida yoziladi. Bu ifoda butun son va kasr qismdan iborat. Masalan, 1½. 1 - butun qismi, ½ - kasr. Biroq, agar siz ifoda bilan ba'zi manipulyatsiyalarni bajarishingiz kerak bo'lsa (kasrlarni bo'lish yoki ko'paytirish, ularni kamaytirish yoki aylantirish), aralash raqam noto'g'ri kasrga aylanadi.

To'g'ri kasr ifodasi har doim birdan kichik, noto'g'ri esa har doim 1 dan katta yoki teng bo'ladi.

Bu ifodaga kelsak, biz har qanday son ifodalangan, kasr ifodasining maxraji bir nechta nol bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan yozuvni nazarda tutamiz. Agar kasr to'g'ri bo'lsa, o'nli kasr yozuvidagi butun qism nolga teng bo'ladi.

O'nli kasrni yozish uchun avval butun qismni yozish, uni kasrdan vergul yordamida ajratish va keyin kasr ifodasini yozish kerak. Shuni esda tutish kerakki, o'nli kasrdan keyin hisoblagichda maxrajdagi nollar bo'lgani kabi raqamli belgilar soni ham bir xil bo'lishi kerak.

Misol. 7 21 / 1000 kasrni kasr tizimida ifodalang.

Noto'g'ri kasrni aralash songa va aksincha o'tkazish algoritmi

Muammoning javobida noto'g'ri kasrni yozish noto'g'ri, shuning uchun uni aralash raqamga aylantirish kerak:

• hisoblagichni mavjud bo'lgan maxrajga bo'lish;
• V aniq misol to'liq bo'lmagan qism - butun;
• qolgan qismi esa kasr qismining soni bo‘lib, maxraj o‘zgarishsiz qoladi.

Misol. Noto'g'ri kasrni aralash songa aylantiring: 47/5.

Yechim. 47: 5. Qisman qism 9, qoldiq = 2. Demak, 47/5 = 9 2/5.

Ba'zan siz aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatishingiz kerak. Keyin quyidagi algoritmdan foydalanishingiz kerak:

• butun qism kasr ifodasining maxrajiga ko'paytiriladi;
• olingan mahsulot hisoblagichga qo'shiladi;
• natija hisoblagichda yoziladi, maxraj o'zgarmasdan qoladi.

Misol. Raqamni aralash shaklda noto'g'ri kasr sifatida ko'rsating: 9 8 / 10.

Yechim. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - bu raqam.

Javob: 98 / 10.

Kasrlarni ko'paytirish

Oddiy kasrlar ustida turli algebraik amallarni bajarish mumkin. Ikki raqamni ko'paytirish uchun siz hisoblagichni hisoblagichga, maxrajni esa maxrajga ko'paytirishingiz kerak. Bundan tashqari, har xil maxrajli kasrlarni ko'paytirish bir xil maxrajli kasrlarni ko'paytirishdan farq qilmaydi.

Natijani topgandan so'ng, kasrni kamaytirish kerak bo'ladi. Olingan ifodani iloji boricha soddalashtirish zarur. Albatta, javobdagi noto'g'ri kasrni xato deb aytish mumkin emas, lekin uni to'g'ri javob deb atash ham qiyin.

Misol. Ikki oddiy kasrning mahsulotini toping: ½ va 20/18.

Misoldan ko'rinib turibdiki, mahsulot topilgandan so'ng, kamaytiriladigan kasr yozuvi olingan. Bu holda hisoblagich ham, maxraj ham 4 ga bo'linadi va natijada 5/9 javob olinadi.

O'nli kasrlarni ko'paytirish

O'nli kasrlarning ko'paytmasi o'z printsipiga ko'ra oddiy kasrlarning ko'paytmasidan ancha farq qiladi. Shunday qilib, kasrlarni ko'paytirish quyidagicha bo'ladi:

• ikkita o'nli kasr bir-birining ostiga yozilishi kerak, shunda eng o'ngdagi raqamlar bir-birining ostida bo'ladi;
• yozma sonlarni vergullarga qaramay, ya'ni natural sonlar sifatida ko'paytirish kerak;
• har bir sondagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanash;
• ko'paytirishdan so'ng olingan natijada o'nli kasrdan keyin ikkala omildagi yig'indidagi qancha raqamli belgilarni o'ngdan hisoblashingiz va ajratish belgisini qo'yishingiz kerak;
• agar mahsulotda kamroq raqamlar mavjud bo'lsa, unda bu raqamni qoplash uchun ularning oldiga shuncha ko'p nol yozishingiz kerak, vergul qo'ying va butun qismni nolga teng qo'shing.

Misol. Ikki o'nli kasrning mahsulotini hisoblang: 2,25 va 3,6.

Yechim.

Aralash kasrlarni ko'paytirish

Ikki aralash kasrning mahsulotini hisoblash uchun siz kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanishingiz kerak:

• aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantirish;
• sanoqchilarning ko'paytmasini toping;
• maxrajlarning ko‘paytmasini toping;
• natijani yozing;
• ifodani iloji boricha soddalashtiring.

Misol. 4½ va 6 2/5 ko‘paytmasini toping.

Raqamni kasrga ko'paytirish (kasrlarni songa)

Ikki kasr va aralash sonlarning mahsulotini topishdan tashqari, kasrga ko'paytirish kerak bo'lgan vazifalar mavjud.

Shunday qilib, mahsulotni topish uchun kasr va natural son uchun sizga kerak:

• raqamni kasr ostiga yozing, shunda eng o'ngdagi raqamlar bir-biridan yuqori bo'ladi;
• vergulga qaramasdan hosilni toping;
• natijada kasrdagi kasrdan keyin joylashgan raqamlar sonini o'ngdan sanab, vergul yordamida butun sonni kasr qismidan ajrating.

Oddiy kasrni songa ko'paytirish uchun siz hisoblagich va natural ko'paytmani topishingiz kerak. Agar javob kamaytirilishi mumkin bo'lgan kasrga olib kelsa, uni aylantirish kerak.

Misol. 5/8 va 12 ko'paytmasini hisoblang.

Yechim. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Javob: 7 1 / 2.

Oldingi misoldan ko'rinib turibdiki, natijada olingan natijani kamaytirish va noto'g'ri kasr ifodasini aralash songa aylantirish kerak edi.

Kasrlarni ko'paytirish aralash shakldagi sonning ko'paytmasini va natural omilni topishga ham tegishli. Bu ikki raqamni ko'paytirish uchun aralash omilning butun qismini raqamga ko'paytirish kerak, hisoblagichni bir xil qiymatga ko'paytirish va denominatorni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Agar kerak bo'lsa, natijada olingan natijani iloji boricha soddalashtirishingiz kerak.

Misol. 9 5/6 va 9 ko‘paytmasini toping.

Yechim. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Javob: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 yoki 0,1 koeffitsientlarga ko'paytirish; 0,01; 0,001

Bu avvalgi xatboshidan kelib chiqadi keyingi qoida. O'nli kasrni 10, 100, 1000, 10000 va hokazolarga ko'paytirish uchun o'nli kasrni birdan keyin koeffitsientda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljitish kerak.

1-misol. 0,065 va 1000 ko‘paytmasini toping.

Yechim. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Javob: 65.

2-misol. 3.9 va 1000 koʻpaytmasini toping.

Yechim. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Javob: 3900.

Agar natural sonni ko'paytirish kerak bo'lsa va 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 va hokazo bo'lsa, natijada hosil bo'lgan vergulni chapga, birdan oldin qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga siljitish kerak. Agar kerak bo'lsa, natural sondan oldin etarli miqdordagi nollar yoziladi.

1-misol. 56 va 0,01 ko‘paytmasini toping.

Yechim. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Javob: 0,56.

2-misol. 4 va 0,001 ko‘paytmasini toping.

Yechim. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Javob: 0,004.

Shunday qilib, turli kasrlar mahsulotini topish hech qanday qiyinchiliklarga olib kelmasligi kerak, ehtimol natijani hisoblashdan tashqari; bu holda siz kalkulyatorsiz qilolmaysiz.

Kasrni kasrga yoki kasrni raqamga to'g'ri ko'paytirish uchun siz bilishingiz kerak oddiy qoidalar. Endi biz ushbu qoidalarni batafsil tahlil qilamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish.

Kasrni kasrga ko'paytirish uchun siz bu kasrlarning numeratorlari va maxrajlarining mahsulotini hisoblashingiz kerak.

\ (\ bf \ frac (a) (b) \ marta \ frac (c) (d) = \ frac (a \ marta c) (b \ marta d) \\\)

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Biz birinchi kasrning ayiruvchisini ikkinchi kasrning soniga ko'paytiramiz va birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ham ko'paytiramiz.

\ (\ frac (6) (7) \ marta \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ marta 2) (7 \ marta 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \ marta 3) (7 \ marta 3) = \ frac (4) (7) \\\)

Kasr \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 ga kamaytirildi.

Kasrni songa ko'paytirish.

Birinchidan, qoidani eslaylik, har qanday son kasr sifatida ifodalanishi mumkin \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Keling, ko'paytirishda ushbu qoidadan foydalanamiz.

\(5 \marta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \marta \frac(4)(7) = \frac(5 \marta 4)(1 \marta 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Noto'g'ri kasr \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) aralash kasrga aylantirildi.

Boshqa so'z bilan, Raqamni kasrga ko'paytirishda biz sonni hisob raqamiga ko'paytiramiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz. Misol:

\ (\ frac (2) (5) \ marta 3 = \ frac (2 \ marta 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Aralash kasrlarni ko'paytirish.

Aralash kasrlarni ko'paytirish uchun avval har bir aralash kasrni noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatishingiz kerak, keyin esa ko'paytirish qoidasidan foydalaning. Numeratorni ayiruvchiga, maxrajni esa maxrajga ko'paytiramiz.

Misol:
\(2\frac(1)(4) \marta 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \frac(23)(6) = \frac(9 \marta 23) (4 \ marta 6) = \ frac (3 \ marta \ rang (qizil) (3) \ marta 23) (4 \ marta 2 \ marta \ rang (qizil) (3)) = \ frac (69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)

O'zaro kasrlar va sonlarni ko'paytirish.

\(\bf \frac(a)(b)\) kasr a≠0,b≠0 berilgan \(\bf \frac(b)(a)\ kasrning teskarisi.
\(\bf \frac(a)(b)\) va \(\bf \frac(b)(a)\) kasrlar o'zaro kasrlar deyiladi. O'zaro kasrlarning mahsuloti 1 ga teng.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Misol:
\ (\ frac (5) (9) \ marta \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \\\)

Mavzu bo'yicha savollar:
Kasrni kasrga qanday ko'paytirish kerak?
Javob: Oddiy kasrlarning ko‘paytmasi hisobni ayiruvchiga, maxrajni ayiruvchiga ko‘paytirishdir. Aralash fraksiyalarning mahsulotini olish uchun ularni noto'g'ri kasrga aylantirish va qoidalarga muvofiq ko'paytirish kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni qanday ko'paytirish mumkin?
Javob: kasrlar bir xil yoki turli xil maxrajlarga ega bo'lishidan qat'i nazar, ko'paytirish ayiruvchi bo'lgan sonning, maxrajining maxrajining ko'paytmasini topish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.

Aralash kasrlarni qanday ko'paytirish mumkin?
Javob: birinchi navbatda, aralash kasrni noto'g'ri kasrga aylantirishingiz kerak va keyin ko'paytirish qoidalaridan foydalanib mahsulot toping.

Raqamni kasrga qanday ko'paytirish kerak?
Javob: biz raqamni raqam bilan ko'paytiramiz, lekin maxrajni bir xil qoldiramiz.

1-misol:
Mahsulotni hisoblang: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Yechim:
a) \ (\ frac (8) (9) \ marta \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ marta 7) (9 \ marta 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
b) \ (\ frac (2) (15) \ marta \ frac (10) (13) = \ frac (2 \ marta 10) (15 \ marta 13) = \ frac (2 \ marta 2 \ marta \ rang( qizil) (5)) (3 \ marta \ rang (qizil) (5) \ marta 13) = \ frac (4) (39) \)

2-misol:
Son va kasrning ko‘paytmalarini hisoblang: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Yechim:
a) \(3 \marta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \marta \frac(17)(23) = \frac(3 \marta 17)(1 \marta 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

3-misol:
\(\frac(1)(3)\) kasrning teskarisini yozing?
Javob: \(\frac(3)(1) = 3\)

4-misol:
Ikki o'zaro teskari kasrning ko'paytmasini hisoblang: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Yechim:
a) \(\ frac (104) (215) \ marta \ frac (215) (104) = 1\)

5-misol:
O'zaro kasrlar bo'lishi mumkin:
a) to'g'ri kasrlar bilan bir vaqtda;
b) bir vaqtda noto'g'ri kasrlar;
v) bir vaqtda natural sonlar?

Yechim:
a) birinchi savolga javob berish uchun misol keltiramiz. \(\frac(2)(3)\) kasr to'g'ri, uning teskari qismi \(\frac(3)(2)\) - noto'g'ri kasrga teng bo'ladi. Javob: yo'q.

b) kasrlarning deyarli barcha sanablarida bu shart bajarilmaydi, lekin bir vaqtning o'zida noto'g'ri kasr bo'lish shartini bajaradigan ba'zi sonlar mavjud. Masalan, noto'g'ri kasr \(\frac(3)(3)\), teskari kasr \(\frac(3)(3)\) ga teng. Biz ikkita noto'g'ri kasrni olamiz. Javob: hisob va maxraj teng bo'lganda har doim ham ma'lum sharoitlarda emas.

c) natural sonlar - biz hisoblashda ishlatadigan raqamlar, masalan, 1, 2, 3, .... Agar \(3 = \frac(3)(1)\) sonini olsak, uning teskari qismi \(\frac(1)(3)\) bo'ladi. \(\frac(1)(3)\) kasr natural son emas. Agar biz barcha raqamlarni ko'rib chiqsak, sonning teskarisi har doim kasr bo'ladi, 1 dan tashqari. Agar biz 1 raqamini olsak, uning o'zaro ulushi \(\frac(1)(1) = \frac(1) bo'ladi. )(1) = 1\). 1 raqami natural sondir. Javob: ular bir vaqtning o'zida faqat bitta holatda natural sonlar bo'lishi mumkin, agar bu raqam 1 bo'lsa.

6-misol:
Aralash kasrlar ko‘paytmasini bajaring: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Yechim:
a) \(4 \qat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \marta \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\\)
b) \(1\frac(1)(4) \marta 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

7-misol:
Ikki o'zaro mumkin o'zaro raqamlar bir vaqtning o'zida aralash raqamlar bo'ladimi?

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. \(1\frac(1)(2)\ aralash kasrni olaylik, uning teskari kasrini topamiz, buning uchun uni noto'g'ri kasrga aylantiramiz \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Uning teskari kasri \(\frac(2)(3)\) ga teng bo'ladi. \(\frac(2)(3)\) kasr to'g'ri kasrdir. Javob: O'zaro teskari bo'lgan ikkita kasr bir vaqtning o'zida aralash raqamlar bo'lishi mumkin emas.