Ilmiy-tadqiqot loyihasi “Kashka qog'oz geometriyasida rasm formulasi. Maktab planimetriya kursida tepalik formulasi

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

Men 6-sinf o‘quvchisiman. Men o‘tgan yili geometriyani o‘rganishni boshladim, chunki maktabda “Matematika” darsligidan foydalanib o‘qiyman. Arifmetika. Geometriya” muharriri E.A. Bunimovich, L.V Kuznetsova, S.S. Minaeva va boshqalar.

Eng ko'p e'tiborni tortgan mavzular "Raqamlar sohalari" va "Formulalarni tuzish" edi. Men bir xil raqamlarning maydonlarini topish mumkinligini payqadim turli yo'llar bilan. Kundalik hayotda biz ko'pincha bo'sh joy topish muammosiga duch kelamiz. Masalan, bo'yash kerak bo'lgan zaminning maydonini toping. Sotib olish qiziq kerakli miqdor ta'mirlash uchun devor qog'ozi, siz xonaning o'lchamini bilishingiz kerak, ya'ni. devor maydoni. Kvadrat, to'rtburchak va to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash men uchun hech qanday qiyinchilik tug'dirmadi.

Ushbu mavzuga qiziqib, men Internetda qo'shimcha materiallarni qidira boshladim. Qidiruvlarim natijasida men Pik formulasini uchratdim - bu katakli qog'ozga chizilgan ko'pburchakning maydonini hisoblash formulasi. Menimcha, ushbu formuladan foydalanib, maydonni hisoblash har qanday talaba uchun mavjud. Shuning uchun men dirijyorlik qilishga qaror qildim tadqiqot ishi.

Mavzuning dolzarbligi:

Ushbu mavzu geometriya kursini o'rganishni to'ldiradi va chuqurlashtiradi.

Ushbu mavzuni o'rganish sizga olimpiada va imtihonlarga yaxshiroq tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.

Ishning maqsadi:

Peak formulasi bilan tanishing.

Pick formulasidan foydalanib, geometrik masalalarni yechish usullarini o'zlashtiring.

Nazariy va amaliy materiallarni tizimlashtirish va umumlashtirish.

Tadqiqot maqsadlari:

Muammolarni hal qilishda formuladan foydalanish samaradorligi va maqsadga muvofiqligini tekshiring.

Har xil murakkablikdagi masalalarda Peak formulasini qo'llashni o'rganing.

Pick formulasi va an’anaviy usul yordamida yechilgan masalalarni solishtiring.

Asosiy qism

1.1. Tarixiy ma'lumotnoma

Georg Aleksandr Pik - avstriyalik matematik, 1859 yil 10 avgustda tug'ilgan. U iqtidorli bola edi, unga xususiy institutni boshqargan otasi dars bergan. 16 yoshida Georg maktabni tugatdi va Vena universitetiga o'qishga kirdi. 20 yoshida u fizika va matematikadan dars berish huquqini oldi. Uning ko'pburchak panjara maydonini aniqlash formulasi unga dunyo miqyosida shuhrat keltirdi. U o'z formulasini 1899 yilda maqolasida e'lon qildi. Polsha olimi Gyugo Shtaynxaus uni 1969 yilda matematik suratlar nashriga kiritganida mashhur bo'ldi.

Georg Pik Vena universitetida tahsil olgan va 1880 yilda nomzodlik dissertatsiyasini himoya qilgan. Doktorlik darajasini olgach, Pragadagi Sherl-Ferdinand universitetida Ernest Machning yordamchisi etib tayinlandi. U erda u o'qituvchi bo'ldi. U 1927 yilda nafaqaga chiqqunga qadar Pragada qoldi va keyin Venaga qaytdi.

Pik 1911 yilda Eynshteynni matematik fizika kafedrasiga professor etib tayinlagan Praga Germaniya universiteti qo'mitasiga raislik qildi.

U Chexiya fan va sanʼat akademiyasining aʼzosi etib saylangan, biroq fashistlar Pragani egallab olganidan soʻng haydab chiqarilgan.

1938 yil 12 martda fashistlar Avstriyaga kirgach, u Pragaga qaytib keldi. 1939 yil mart oyida fashistlar Chexoslovakiyaga bostirib kirishdi. 1942-yil 13-iyulda Pik Shimoliy Chexiyadagi natsistlar tomonidan tashkil etilgan Teresyenshtadt lageriga deportatsiya qilindi va u yerda ikki hafta o‘tib, 82 yoshida vafot etdi.

1.2. Tadqiqot va isbot

Men tadqiqot ishimni savol berishdan boshladim: raqamlarning qaysi sohalarini topa olaman? Maydonni hisoblash formulasini yozing turli uchburchaklar va to'rtburchaklar mumkin edi. Ammo besh, olti va umuman ko'pburchaklar haqida nima deyish mumkin?

Turli saytlardagi tadqiqotlarim davomida men besh, olti va boshqa ko'pburchaklar maydonini hisoblash bilan bog'liq muammolarning echimlarini ko'rdim. Bu masalalarni yechishga imkon beruvchi formula Pik formulasi deb ataldi. U shunday ko'rinadi: S =B+G/2-1, Qayerda IN- ko'pburchak ichida joylashgan tugunlar soni, G- ko'pburchak chegarasida yotgan tugunlar soni. Bu formulaning o'ziga xosligi shundaki, uni faqat katakli qog'ozga chizilgan ko'pburchaklar uchun ishlatish mumkin.

Har qanday bunday ko'pburchakni panjara tugunlarida uchlari bo'lgan va ichida ham, yon tomonlarida ham tugunlari bo'lmagan uchburchaklarga osongina bo'linishi mumkin. Bu barcha uchburchaklarning maydonlari bir xil va ½ ga teng ekanligini ko'rsatish mumkin, shuning uchun ko'pburchakning maydoni ularning sonining yarmiga teng. T.

Bu sonni topish uchun ko‘pburchakning tomonlar sonini n bilan belgilaymiz IN- uning ichidagi tugunlar soni, orqali G- yon tomonlardagi tugunlar soni, shu jumladan uchlari. umumiy qiymat barcha uchburchaklarning burchaklari 180°. T.

Endi yig‘indini boshqa yo‘l bilan topamiz.

Har qanday ichki tugundagi vertex bilan burchaklar yig'indisi 2,180 ° ga teng, ya'ni. burchaklarning umumiy yig'indisi 360° ga teng. IN; Cho'qqilarda emas, balki yon tomonlardagi tugunlar uchun burchaklarning umumiy yig'indisi ( G-n) 180° va ko'pburchakning uchlaridagi burchaklar yig'indisi ( ga teng bo'ladi. G- 2) 180°. Shunday qilib, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Qavslarni ochib, 360° ga bo'lish orqali biz ko'pburchakning S maydoni uchun Pik formulasi deb ataladigan formulani olamiz.

2. Amaliy qism

Men ushbu formulani OGE-2017 to'plamidagi vazifalarda sinab ko'rishga qaror qildim. Uchburchak, to'rtburchak va beshburchakning maydonini hisoblashda muammolarga duch keldi. Men javoblarni ikki yo'l bilan echishga qaror qildim: 1) raqamlarni to'rtburchaklar bilan to'ldirdim va olingan to'rtburchaklar maydonidan to'g'ri burchakli uchburchaklar maydonini ayirdim; 2) Pick formulasini qo'llagan.

S = 18-1,5-4,5 = 12 va S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 va S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 va S = 43+14/2-1 = 49

Natijalarni taqqoslab, ikkala formula ham bir xil javob beradi degan xulosaga keldim. Pik formulasi yordamida figuraning maydonini topish tezroq va osonroq bo'ldi, chunki hisoblar kamroq edi. Yechimning qulayligi va hisob-kitoblarga vaqtni tejash men uchun kelajakda OGEni qabul qilishda foydali bo'ladi.

Bu meni Pick formulasini murakkabroq raqamlarga qo'llash imkoniyatini tekshirishga undadi.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Xulosa

Peak formulasini tushunish oson va ulardan foydalanish oson. Birinchidan, hisoblash, 2 ga bo'lish, qo'shish va ayirish qobiliyatiga ega bo'lish kifoya. Ikkinchidan, siz ko'p vaqt sarflamasdan murakkab figuraning maydonini topishingiz mumkin. Uchinchidan, bu formula har qanday ko'pburchak uchun ishlaydi.

Kamchilik shundaki, Pick Formula faqat katak qog'ozga chizilgan va uchlari katak qog'ozning tugunlarida yotadigan raqamlarga tegishli.

Ishonchim komilki, yakuniy imtihonlarni topshirishda raqamlar maydonini hisoblashdagi muammolar qiyinchilik tug'dirmaydi. Axir, men Peak formulasi bilan allaqachon tanishman.

Adabiyotlar ro'yxati

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. va boshqalar. Arifmetika. Geometriya. 5-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun adj bilan tashkilotlar. elektron uchun tashuvchi - 3-nashr - M.: Ta'lim, 2014.- 223, s. : kasal. - (Sharalar).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. va boshqalar. Arifmetika. Geometriya. 6-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun tashkilotlar-5-nashr.-M.: Ta'lim, 2016.-240 b. : kasal.- (Sharalar).

Vasilev N.B. Tanlash formulasi atrofida. //Kvant.- 1974.-No 2. -39-43-betlar

Rassolov V.V. Planimetriyadagi muammolar. / 5-nashr, rev. Va qo'shimcha - M.: 2006.-640-yillar.

I.V. Yashchenko. Matematika: standart imtihon variantlari: O-39 36 variant - M.: nashriyot uyi " Milliy ta'lim", 2017. -240 b. - (OGE. FIPI-maktab).

"Men OGEni hal qilaman": matematika. Dmitriy Gushchinning o'quv tizimi. OGE-2017: vazifalar, javoblar, yechimlar [Elektron resurs]. Kirish rejimi: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (kirish sanasi 04/02/2017)

Pik formulasidan foydalanib, siz qafasdagi qog'oz varag'ida qurilgan figuraning maydonini topishingiz mumkin (uchburchak, kvadrat, trapezoid, to'rtburchak, ko'pburchak).

Yagona davlat imtihonida bo'ladigan muammolarda ko'pburchak berilgan, kvadratda qog'oz varag'ida qurilgan va savol maydonni topish bilan bog'liq bo'lgan vazifalarning butun guruhi mavjud. Hujayra shkalasi bir kvadrat santimetrga teng.

Taqdimot mazmunini ko'rish

Georg Pik

Georg Aleksandr Pik,

Avstriyalik matematik

(10.08.1859 - 13.07.1942)

Formula 1899 yilda kashf etilgan.

Istalgan raqamning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

• M - uchburchak chegarasidagi tugunlar soni (tomonlari va cho'qqilarida):
• N – uchburchak ichidagi tugunlar soni;

* "Tugunlar" deganda biz chiziqlarning kesishishini nazarda tutamiz.

Keling, uchburchakning maydonini topamiz:

Keling, tugunlarni belgilaymiz:

1 hujayra = 1 sm

• M = 15 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)
• N=34 (ko‘k rangda)

Keling, parallelogrammning maydonini topamiz:

Keling, tugunlarni belgilaymiz:

• M = 18 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)
• N = 20 (ko'k rangda)

Trapetsiyaning maydonini topamiz:

Keling, tugunlarni belgilaymiz:

• M = 24 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)
• N = 25 (ko'k rangda)

Ko'pburchakning maydonini topamiz:

Keling, tugunlarni belgilaymiz:

• M = 14 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)
• N=43 (ko‘k rangda)

Keling, tugunlarni belgilaymiz:

• M = 11 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)
• N = 5 (ko'k rangda)

O'zingiz uchun qaror qiling:

1. 1 sm x 1 sm katakchali qog'ozda tasvirlangan to'rtburchakning maydonini toping, javobingizni kvadrat santimetrda bering.

4. 1 sm x 1 sm katakchali qog'ozda tasvirlangan to'rtburchakning maydonini toping, javobingizni kvadrat santimetrda bering .

Keling, uning atrofida to'rtburchak chizamiz:

• To'rtburchakning maydonidan (in Ushbu holatda bu kvadrat) olingan oddiy raqamlarning maydonlarini ayirish:

Javoblar:

№ vazifalar

Variant 1

Variant 2

Variant 3

Variant 4

Pik formulasi

Sajina Valeriya Andreevna, Irkutsk viloyati Ust-Ilimsk shahridagi MAOU "11-sonli o'rta maktab" ning 9-sinf o'quvchisi

Nazoratchi: Gubar Oksana Mixaylovna, yuqori malakali toifali matematika o'qituvchisi MAOU "11-sonli o'rta maktab" Ust-Ilimsk, Irkutsk viloyati

2016 yil

Kirish

"Ko'pburchaklar sohalari" geometriya mavzusini o'rganar ekanman, men bilishga qaror qildim: biz sinfda o'rganganimizdan farq qiladigan sohalarni topishning yo'li bormi?

Bu usul Pick formula hisoblanadi. L.V.Gorina "Talabalarning o'z-o'zini tarbiyalash materiallari" asarida ushbu formulani quyidagicha ta'riflagan: "Pik formulasi bilan tanishish bir kun oldin juda muhimdir. yagona davlat imtihonidan o'tish va GIA. Ushbu formuladan foydalanib, siz imtihonlarda taklif qilinadigan muammolarning katta sinfini osongina echishingiz mumkin - bu katakli qog'ozda tasvirlangan ko'pburchakning maydonini topish muammolari. Pikning kichik formulasi bunday muammolarni hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha formulalar to'plamini almashtiradi. Peak formulasi “hamma uchun bir kishi...” ishlaydi!

Yagona davlat imtihonlari materiallarida men er uchastkalari maydonini topishda amaliy mazmun bilan bog'liq muammolarga duch keldim. Men ushbu formula maktab hududi, shahar, viloyat mikrorayonlari maydonini topish uchun qo'llanilishini tekshirishga qaror qildim. Va muammolarni hal qilish uchun undan foydalanish oqilonami?

O'rganish ob'ekti: Pik formulasi.

Tadqiqot predmeti: masalani yechishda Pik formulasini oqilona qo‘llash.

Ishning maqsadi: katakli qog'ozda tasvirlangan figuralar maydonini topish masalalarini hal qilishda Pik formulasidan foydalanishning oqilonaligini asoslash.

Tadqiqot usullari: modellashtirish, taqqoslash, umumlashtirish, analogiya, adabiy va internet resurslarini o'rganish, axborotni tahlil qilish va tasniflash.

Kerakli adabiyotlarni tanlash, olingan ma'lumotlarni tahlil qilish va tizimlashtirish;

O'ylab ko'ring turli usullar katakli qog'ozdagi masalalarni yechish usullari va usullari;

Tekshirish eksperimental tarzda Pick formulasidan foydalanishning oqilonaligi;

Ushbu formulaning qo'llanilishini ko'rib chiqing.

Gipoteza: agar siz ko'pburchakning maydonini topish uchun Pik formulasini qo'llasangiz, u holda siz hududning maydonini topishingiz mumkin va katakli qog'ozdagi muammolarni hal qilish yanada oqilona bo'ladi.

Asosiy qism

Nazariy qism

Biz ko'pincha chizish va chizishni afzal ko'radigan katakli qog'oz (aniqrog'i, uning tugunlari) tekislikdagi nuqta panjarasining eng muhim misollaridan biridir. Bu oddiy panjara allaqachon K. Gauss uchun aylananing maydonini uning ichida joylashgan butun koordinatali nuqtalar soni bilan solishtirish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qilgan. Tekislikdagi figuralar haqidagi ba'zi oddiy geometrik gaplar arifmetik tadqiqotlarda chuqur oqibatlarga olib kelishini G.Minkovskiy 1896 yilda son nazariy masalalarni ko'rib chiqishda geometrik usullardan foydalanganda yaqqol payqagan.

Keling, katakli qog'ozga bir nechta ko'pburchak chizamiz (1-ilova, 1-rasm). Endi uning maydonini hisoblashga harakat qilaylik. Buni qanday qilish kerak? Ehtimol, eng oson yo'li - uni to'g'ri uchburchaklar va trapezoidlarga bo'lish, ularning maydonlarini hisoblash va natijalarni qo'shish oson.

Amaldagi usul oddiy, lekin juda og'ir va bundan tashqari, u barcha ko'pburchaklar uchun mos emas. Shunday qilib, keyingi ko'pburchakni to'g'ri burchakli uchburchaklarga bo'linib bo'lmaydi, chunki biz buni oldingi holatda qilganmiz (2-ilova, 2-rasm). Biz, masalan, uni bizga kerak bo'lgan "yaxshi" ga, ya'ni biz tasvirlangan tarzda hisoblashimiz mumkin bo'lgan maydonga to'ldirishga harakat qilishimiz mumkin, keyin olingan sondan qo'shilgan qismlarning maydonlarini ayirishimiz mumkin.

Biroq, kvadrat panjara tugunlarida uchlari bo'lgan bunday ko'pburchaklarning maydonlarini hisoblash imkonini beruvchi juda oddiy formula borligi ma'lum bo'ldi.

Bu formulani avstriyalik matematik Peak Georg Aleksandrov (1859 - 1943) 1899 yilda kashf etgan. Bu formuladan tashqari Georg Pik Pik, Pik-Juliya, Pik-Nevalina teoremalarini kashf etdi va Shvarts-Pik tengsizligini isbotladi.

Bu formulani Pik nashr qilganidan keyin bir muncha vaqt e'tibordan chetda qoldi, ammo 1949 yilda polshalik matematik Gyugo Shtaynxaus o'zining mashhur "Matematik kaleydoskop" asariga teoremani kiritdi. Shu vaqtdan boshlab Pik teoremasi keng ma'lum bo'ldi. Germaniyada Pik formulasi maktab darsliklariga kiritilgan.

Bu kombinator geometriya va sonlar geometriyasining klassik natijasidir.

Pik formulasining isboti

ABCD to'r chiziqlari bo'ylab cho'qqilari va tomonlari bo'lgan to'rtburchak bo'lsin (3-ilova, 3-rasm).

To'rtburchak ichida yotgan tugunlar sonini B bilan, chegarasidagi tugunlar sonini G bilan belgilaymiz. Keling, katakchani yarim katakchani o'ngga va yarim katakka o'tkazamiz

pastga. Keyin to'rtburchaklar hududi tugunlar o'rtasida quyidagicha taqsimlanishi mumkin: B tugunlarining har biri siljigan panjaraning butun yacheykasini "nazorat qiladi" va G tugunlarining har biri 4 ta chegara bo'lmagan burchak tugunlarini - yarim katakchani boshqaradi. , va burchak nuqtalarining har biri hujayraning to'rtdan bir qismini boshqaradi. Shunday qilib, to'rtburchaklar maydoni S ga teng

S = B + + 4 · = B + - 1 .

Shunday qilib, panjara chiziqlari bo'ylab tugunlari va yon tomonlarida uchlari bo'lgan to'rtburchaklar uchun biz S = B + - 1 formulasini o'rnatdik. . Bu Peak formulasi.

Ma'lum bo'lishicha, bu formula faqat to'rtburchaklar uchun emas, balki to'r tugunlarida uchlari bo'lgan ixtiyoriy ko'pburchaklar uchun ham to'g'ri keladi.

Amaliy qism

Geometrik usul va Pick formulasidan foydalanib, raqamlar maydonini topish

Ko'rib chiqilgan barcha misollar uchun Pik formulasi to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilishga qaror qildim.

Ma'lum bo'lishicha, agar ko'pburchakni panjara tugunlarida uchlari bo'lgan uchburchaklarga kesish mumkin bo'lsa, u holda Pik formulasi to'g'ri keladi.

1 sm1 sm kvadratlar bilan katak qog'ozdagi ba'zi masalalarni ko'rib chiqdim va bajardim qiyosiy tahlil muammoni hal qilish bo'yicha (1-jadval).

1-jadval Masalalarni turli usullarda yechish.

Chizma

Geometriya formulasiga muvofiq

Pik formulasiga ko'ra

Vazifa № 1

S=S va boshqalar -(2S 1 +2S 2 )

S va boshqalar =4*5=20 sm 2

S 1 =(2*1)/2=1 sm 2

S 2 =(2*4)/2=4 sm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 sm 2

Javob :10 sm ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (sm²)

Javob: 10 sm².

Vazifa № 2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 sm 2

Javob : 8 sm ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (sm²)

Javob: 8 sm².

Vazifa № 3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 sm 2

S 1 =(3*3)/2=4,5sm 2

S 2 =(1*4)/2=2sm 2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 sm 2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (sm²)

Javob: 7,5 sm².

Vazifa № 4

S=S va boshqalar -(S 1 +S 2+ S 3 )

S va boshqalar =4 * 3=12 sm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 sm 2

S 2 =(1*2)/2=1 sm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 sm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 sm 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (sm²)

Javob: 7,5 sm².

Vazifa raqami. 5.

S=S va boshqalar -(S 1 +S 2+ S 3 )

S va boshqalar =6 * 5=30 sm 2

S 1 =(2*5)/2=5 sm 2

S 2 =(1*6)/2=3 sm 2

S 3 =(4*4)/2=8 sm 2

S=30-(5+3+8)=14 sm 2

Javob: 14 sm²

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (sm²)

Javob: 14 sm²

Vazifa №6.

S tr =(4+9)/2*3=19,5 sm 2

Javob: 19,5 sm 2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (sm²)

Javob: 19,5 sm 2

Vazifa №7. 1 sm - 200 m masshtabda 1 × 1 (sm) kvadrat panjarali rejada ko'rsatilgan o'rmon maydonini (m²) toping.

S= S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 m 2

S 2 =(200*600)/2=60000 m 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 m 2

S= 80000+60000+240000=

42 000 m 2

Javob: 420 000 m²

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (sm²)

1 sm² - 200² m²; S= 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Javob: 420 000 m²

Muammo № 8 . O'lchov uchun 1 × 1 (sm) kvadrat panjara bilan rejada ko'rsatilgan maydonning maydonini (m²) toping.

1 sm - 200 m.

S= S kv -2( S tr + S narvon)

S kv =800 * 800 = 640000 m 2

S tr =(200*600)/2=60000m 2

S narvon =(200+800)/2*200=

100000 m 2

S=640000-2(60000+10000)=

320 000 m2

Javob: 320 000 m²

Yechim. Keling, topamiz SPik formulasi yordamida katakli qog'ozga chizilgan to'rtburchakning maydoni:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (sm²)

1 sm² - 200² m²; S= 40 000 8 = 320 000 (m²)

Javob: 320 000 m²

Muammo № 9 . Hududni topingS sektorlar, kvadrat kataklarning tomonlarini hisobga olgan holda 1 ga teng. Javobingizda, ko'rsating .

Sektor aylananing to'rtdan bir qismini tashkil qiladi va shuning uchun uning maydoni doira maydonining to'rtdan bir qismini tashkil qiladi. Doira maydoni p ga tengR 2 , Qayerda R - aylana radiusi. Bizning holatdaR =√5 va shuning uchun hududS sektor 5p/4. QayerdaS/p=1,25.

Javob. 1.25.

G= 5, V= 2, S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Javob. 1.11.

Vazifa № 10. Hududni toping S halqalar, kvadrat kataklarning tomonlarini hisobga olgan holda 1 ga teng. Javobingizda ko'rsating .

Ringning maydoni tashqi va ichki doiralar orasidagi farqga teng. RadiusR tashqi doira teng

2 , radius r ichki doira 2. Demak, halqaning maydoni 4 ga tengva shuning uchun. Javob: 4.

G= 8, V= 8, S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Javob: 3.5

Xulosa: Ko'rib chiqilgan vazifalar nazorat va o'lchash variantlari topshirig'iga o'xshaydi Yagona davlat imtihon materiallari matematikadan (masalalar No5,6),.

Muammolarning ko'rib chiqilgan echimlaridan men ularning ba'zilarini, masalan, № 2.6 muammolarni hal qilishda osonroq ekanligini ko'rdim. geometrik formulalar, chunki balandlik va poydevor chizmadan aniqlanishi mumkin. Ammo ko'pchilik vazifalarni bajarish uchun raqamni oddiyroqlarga ajratish (topshiriq No7) yoki uni to'rtburchaklar (topshiriqlar No1,4,5), kvadrat (topshiriqlar No3,8) qilish kerak.

9 va 10-sonli masalalarni yechishdan ko‘rdimki, ko‘pburchak bo‘lmagan raqamlarga Pik formulasini qo‘llash taxminiy natija beradi.

Peak formulasidan foydalanishning ratsionalligini tekshirish uchun men sarflangan vaqt bo'yicha tadqiqot o'tkazdim (4-ilova, 2-jadval).

Xulosa: jadval va diagrammadan (4-ilova, 1-diagramma) ko'rinib turibdiki, Peak formulasidan foydalangan holda muammolarni echishda ancha kam vaqt sarflanadi.

Fazoviy shakllarning sirt maydonini topish

Keling, ushbu formulaning fazoviy shakllarga qo'llanilishini tekshiramiz (5-ilova, 4-rasm).

Hududni toping to'liq sirt to'rtburchaklar parallelepiped, kvadrat kataklarning tomonlarini 1 ga teng hisobga olgan holda.

Bu formuladagi kamchilik.

Hududning maydonini topish uchun Peak formulasini qo'llash

Amaliy mazmundagi muammolarni hal qilishda (muammolar № 7, 8; № 1 jadval) men maktabimiz hududini, Ust-Ilimsk, Irkutsk mikrorayonlarini topish uchun ushbu usuldan foydalanishga qaror qildim. mintaqa.

"Ust-Ilimsk 11-sonli MAOUSOSH er uchastkasining chegaralari loyihasi" (6-ilova) bilan tanishib, men maktabimiz hududini topdim va uni hudud bilan solishtirdim. yer uchastkasining loyiha chegaralari (9-ilova, 3-jadval).

Ust-Ilimskning o'ng qirg'oq qismining xaritasini (7-ilova) o'rganib chiqib, men mikrorayonlarning maydonlarini hisoblab chiqdim va ularni "Irkutsk viloyati Ust-Ilimsk bosh rejasi" ma'lumotlari bilan taqqosladim. Natijalar jadvalda keltirilgan (9-ilova, 4-jadval).

Irkutsk viloyati xaritasini (7-ilova) o'rganib chiqib, men hududning maydonini topdim va uni Vikipediya ma'lumotlari bilan taqqosladim. Natijalar jadvalda keltirilgan (9-ilova, 5-jadval).

Natijalarni tahlil qilib, men shunday xulosaga keldim: Peak formulasidan foydalanib, bu joylarni ancha oson topish mumkin, ammo natijalar taxminiy.

O'tkazilgan tadqiqotlar natijasida men maktab hududining maydonini topishda eng aniq qiymatni oldim (10-ilova, 2-diagramma). Natijalarda ko'proq tafovutlar Irkutsk viloyati hududini topishda olingan (10-ilova, 3-diagramma). Bu shu bilan bog'liq. Barcha maydon chegaralari ko'pburchaklarning tomonlari emas va cho'qqilar tugun nuqtalari emas.

Xulosa

Faoliyatim natijasida katak qog‘ozdagi masalalar yechish haqidagi bilimlarimni kengaytirdim va o‘rganilayotgan masalalarning tasnifini o‘zim uchun belgilab oldim.

Ish davomida katakli qog'ozda tasvirlangan ko'pburchaklar maydonini ikki usulda topish bo'yicha muammolar hal qilindi: geometrik va Pick formulasi yordamida.

Yechimlarni tahlil qilish va sarflangan vaqtni aniqlash bo'yicha tajriba shuni ko'rsatdiki, formuladan foydalanish ko'pburchakning maydonini topish muammolarini yanada oqilona hal qilish imkonini beradi. Bu matematikadan Yagona davlat imtihonida vaqtni tejash imkonini beradi.

Qatlakli qog'ozda tasvirlangan turli xil raqamlarning maydonini topish bizga Pick formulasidan dumaloq sektor va halqaning maydonini hisoblash uchun noto'g'ri, chunki u taxminiy natija beradi va Pick formulasi emas degan xulosaga kelishimizga imkon berdi. kosmosdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi.

Ish, shuningdek, Peak formulasidan foydalangan holda turli hududlarning hududlarini topdi. Xulosa qilishimiz mumkin: formuladan foydalanib, turli hududlarning maydonini topish mumkin, ammo natijalar taxminiy.

Men ilgari surgan faraz tasdiqlandi.

Meni qiziqtirgan mavzu ancha serqirra, katakli qog‘ozdagi masalalar xilma-xil, ularni yechish usullari va usullari ham xilma-xil degan xulosaga keldim. Shuning uchun men ushbu yo'nalishda ishlashni davom ettirishga qaror qildim.

Adabiyot

Volkov S.D.. Er chegaralari loyihasi, 2008, p. 16.

Gorina L.V., Matematika. O'qituvchi uchun hamma narsa, M:Nauka, 2013. No 3, p. 28.

Prokopyeva V.P., Petrov A.G., Irkutsk viloyati, Ust-Ilimsk shahrining bosh rejasi, Rossiyaning Gosstroy, 2004. p. 65.

Riess E. A., Jarkovskaya N. M., katakli qog'oz geometriyasi. Peak formulasi. - Moskva, 2009 yil, № 17, 1-bet. 24-25.

Smirnova I.M.,. Smirnov V. A. Qatlakli qog'ozdagi geometriya. – Moskva, Chistye Prudy, 2009, 1-bet. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., Amaliy mazmunli geometrik masalalar. – Moskva, Chistye Prudy, 2010, 13-bet. 150

Matematika bo'yicha ochiq topshiriqlar banki muammolari FIPI, 2015 yil.

Ust-Ilimsk shahri xaritasi.

Irkutsk viloyati xaritasi.

Vikipediya.

Pik formulasi

1.Kirish

2. Pik formulasi. Ko'rgazma I.

Dalil II.

Isbot Sh.

3. Maqsadlar.

4. Cho'qqilarning koordinatalaridan foydalangan holda ko'pburchak maydoni uchun formula.

5. Vazifalar.

6. Adabiyot

Peak formulasi.

1.Kirish.

Biz tarixdan donolik olamiz,

she'riyatda - aql,

matematikada - tushuncha.

F. Bekon

Syujet oddiy katak qog'ozda ochiladi.

Hujayralarning yon tomonlari bo'ylab o'tadigan chiziqlar to'r hosil qiladi va kataklarning tepalari bu to'rning tugunlari hisoblanadi. Varaqda tugunlarida uchlari bo'lgan ko'pburchak chizamiz va uning maydonini topamiz.

Siz uni turli yo'llar bilan qidirishingiz mumkin. Misol uchun, siz ko'pburchakni etarlicha kesib olishingiz mumkin oddiy raqamlar, ularning maydonlarini toping va ularni qo'shing.

Ammo bu erda bizni juda ko'p muammolar kutmoqda. Shakl osongina to'rtburchaklar, trapezoidlar va uchburchaklarga bo'linadi va uning maydoni harakat qilmasdan hisoblanadi.

Ko'pburchak etarlicha sodda ko'rinsa-da, uning maydonini hisoblash juda ko'p mehnat talab qiladi. Agar ko'pburchak yanada chiroyli ko'rinsa-chi? Ma’lum bo‘lishicha, uchlari to‘r tugunlarida joylashgan ko‘pburchaklar maydonlarini ancha soddaroq hisoblash mumkin: ularning maydonini ko‘pburchak ichida va chegarasida joylashgan tugunlar soniga bog‘lovchi formula mavjud. Bu ajoyib va ​​oddiy formula Pick formula deb ataladi.

2. Pik formulasi.

Ko'pburchakning uchlari (qavariq bo'lishi shart emas) butun sonli panjara tugunlarida joylashgan. Uning ichida B panjara tugunlari, chegarasida esa G tugunlari joylashgan. Uning maydoni B + ga teng ekanligini isbotlaylik – 1 (formulani tanlash).

Ko'rgazma I.

Cho'qqilari butun sonli panjara tugunlarida joylashgan, ya'ni butun son koordinatalariga ega bo'lgan ko'pburchakni ko'rib chiqamiz.

Biz ko'pburchakni panjara tugunlarida uchlari bo'lgan uchburchaklarga ajratamiz, ularning ichida ham, yon tomonlarida ham tugunlari yo'q.

Belgilaymiz:

n- ko'pburchakning tomonlar soni;

m- ichki yoki yon tomonlarida tugunlari bo'lmagan panjara tugunlarida uchlari bo'lgan uchburchaklar soni;

B - ko'pburchak ichidagi tugunlar soni,

G - yon tomonlardagi tugunlar soni, shu jumladan cho'qqilar.

Bu barcha uchburchaklarning maydonlari bir xil va tengdir.

Shunday qilib, ko'pburchakning maydoni
.

180 0 m .

Endi bu miqdorni boshqa usulda topamiz.

Har qanday ichki tugundagi uchi bo'lgan burchaklar yig'indisi 360 0 ga teng.

U holda barcha ichki tugunlardagi uchlari bo'lgan burchaklar yig'indisi 360 0 V ga teng.

Cho'qqilarda emas, yon tomonlardagi tugunlar uchun burchaklarning umumiy yig'indisi 180 0 ni tashkil qiladi (G - n).

Ko'pburchak uchlaridagi burchaklar yig'indisi 180 0 ( n – 2) .

Barcha uchburchaklar burchaklarining umumiy yig'indisi 360 0 V + 180 0 (G - n) + 180 0 (n – 2).

Shunday qilib, 180 0 m= 360 0 V + 180 0 (G - n) + 180 0 (n – 2),

180 0 m= 360 0 V + 180 0 G - 180 0 n + 180 0 n– 180 0 2,

180 0 m= 360 0 V + 180 0 G - 360 0,

= B + – 1 ,

undan ko'pburchakning S maydonining ifodasini olamiz:

S= B + – 1 ,

Pik formulasi sifatida tanilgan.

Rasmda: B = 24, D = 9, shuning uchun,S = 24 + – 1 = 27,5.

Birinchi ko‘pburchakning maydonini Peak formulasidan foydalanib topamiz:

B = 28 (yashil nuqta);

G = 20 (ko'k nuqta).

Biz S = olamiz
= 37 kv. birlik

Dalil II.

Butun sonli panjara tugunlarida uchlari bo'lgan har bir M ko'pburchak uchun f (M) = raqamini beramiz.
, bu erda yig'ish M ga tegishli barcha panjara tugunlari va burchak ustida amalga oshiriladi quyidagicha aniqlanadi: =
ko'pburchakning ichki nuqtasi uchun, =
cho'qqidan boshqa chegara nuqtasi uchun va – cho‘qqi burchagi, agar bu tugun cho‘qqi bo‘lsa. f(M) = ekanligini ko'rish oson
+
= B + – 1. F (M) soni M ko‘pburchakning maydoniga teng ekanligini tekshirish qoladi.

M ko‘pburchak to‘r tugunlarida uchlari bo‘lgan M 1 va M 2 ko‘pburchaklarga kesilsin. Keyin f (M) = f (M 1) + f (M 2), chunki har bir tugun uchun burchaklar qo'shiladi. Demak, Pik formulasi M, M 1 va M 2 ko‘pburchaklarning ikkitasi uchun to‘g‘ri bo‘lsa, uchinchisi uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi.

Agar M tomonlari bo'lgan to'rtburchak bo'lsa p Va q, panjara chiziqlari bo'ylab yo'naltirilgan, keyin

f (M) = (p – 1)(q – 1) +
= pq.

Bunday holda, Peak formulasi haqiqiydir. Diagonali M to‘rtburchakni M 1 va M 2 uchburchaklarga kesib, f (M) = f (M 1) + f (M 2) va f (M 1) = f (M 2) ekanligini ishlatib, u oyoqlari panjara chiziqlari bo'ylab yo'naltirilgan har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun Pik formulasining to'g'riligini isbotlash oson. Ushbu uchburchaklarning bir nechtasini to'rtburchakdan kesib, har qanday uchburchakni olishingiz mumkin.

Pik formulasini isbotlash uchun shuni ta'kidlash kerakki, har qanday ko'pburchakni ajratilgan diagonallar orqali uchburchaklarga kesish mumkin.

Isbot Sh.

Shaklning maydoni va ushbu rasmga kiritilgan tugunlar soni o'rtasidagi bog'liqlik, ayniqsa, to'rtburchaklar holatida aniq ko'rinadi.

Mayli A B C D- to'r chiziqlari bo'ylab cho'zilgan tugunlari va yon tomonlarida uchlari bo'lgan to'rtburchaklar.

bilan belgilaymiz IN to'rtburchaklar ichida yotgan tugunlar soni va orqali G- uning chegarasidagi tugunlar soni. Keling, katakchani yarim katakchani o'ngga va yarim katakchani pastga siljitamiz.

Keyin to'rtburchaklar hududi tugunlar o'rtasida quyidagicha "tarqatilishi" mumkin: har biri IN tugunlar o'zgartirilgan to'rning har bir yacheykasini "nazorat qiladi" G– 4 ta chegara burchaksiz tugunlar yarim katak, burchak nuqtalarining har biri esa hujayraning chorak qismidir. Shunday qilib, to'rtburchaklar maydoni S ga teng

Shunday qilib, to'r chiziqlari bo'ylab tugunlari va yon tomonlarida uchlari bo'lgan to'rtburchaklar uchun biz formulani o'rnatdik.

Keling, bu formula faqat to'rtburchaklar uchun emas, balki to'r tugunlarida uchlari bo'lgan ixtiyoriy ko'pburchaklar uchun ham to'g'ri ekanligini isbotlaylik.

bilan belgilaymiz S m poligon maydoniM tugunlarda uchlari bilan va orqaliP m - hajmi
, QayerdaIN m - ichidagi tugunlar soniM, A G m - chegaradagi tugunlar soni. Keyin Pik formulasini quyidagicha yozish mumkin
.

Formulaning isbotini bir necha bosqichlarga ajratamiz.

1-qadam.

Agar ko'pburchak bo'lsaM 2 ko'pburchakga kesilgan to'rli tugunlardagi uchlari bilanM 1 Va M 2 , Bundan tashqari, faqat panjara tugunlarida cho'qqilarga ega, keyin
. Ko'pburchak bo'lsinM ko'pburchaklarga kesiladiM 1 Va M 2 segment tomonidan tugunlarda uchlari bilan AB. Segmentga tushadiganlardan tashqari barcha tugunlarAB, formulaning chap va o'ng tomonlariga teng hissa qo'shing. AB segmentida yotgan tugunlarni ko'rib chiqamiz.

Agar bunday tugun A va B (masalan, C) o'rtasida joylashgan bo'lsa, u holda ko'pburchak uchunM u ichki va ko'pburchaklar uchunM 1 Va M 2 - chegara. Shuning uchun uning hissasiP m 1 ga teng va ifodalarning har birida
Va
– har biri 0,5, ya'ni bunday tugunning hissasiP m Va
teng.

Keling, A va B tugunlarini ko'rib chiqaylik. Ular ikkalasi uchun chegara tugunlari M, va uchun M 1 , M 2 .

Shuning uchun, bu tugunlarning har birining hissasiP m 0,5 a dyuymga teng
- birlik. Bu A va B tugunlarining umumiy hissasini bildiradiP m 1 ga teng, bu ularning hissasidan 1 ga kam
. Lekin
, A .

Barcha tugunlarning umumiy "hissasi" dan P m 1 ayiriladi va dan
2 ayiriladi va bu A va B tugunlarining hissalaridagi farqni qoplaydi.

Shunday qilib,
.

2-qadam.

Agar ko'pburchak bo'lsa M ikki ko'pburchak kesilgan to'r tugunlarida uchlari bilan M 1 Va M 2 (shuningdek, tugunlardagi uchlari bilan) va formula ba'zi ikkita ko'pburchak uchun to'g'ri MM 1 , M 2 , u holda uchinchi ko'pburchak uchun ham to'g'ri bo'ladi.

Misol uchun, bu to'g'ri bo'lsinM 1 Va M 2 , ya'ni
. Keyin (birinchi bosqichda), lekin yoqilgan birinchi qadam) oxirgi ifoda tengP m , va tenglik
va Peak formulasi mavjud.

3-qadam.

To‘r tugunlarida uchlari va to‘r chiziqlarida yotgan oyoqlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak uchun Pik formulasini isbotlaylik.

Uchburchak ABC uni to'rtburchak qilib quring A B C D .

To'rtburchaklar uchun Pik formulasi to'g'ri: S A B C D = P A B C D . Birinchi bosqichga ko'ra P A B C D = P ABC + P ACD , P ABC = P ACD , shunday qilib P A B C D = 2P ABC . Lekin S A B C D = 2 S ABC . Shunung uchun S ABC = P ABC .

4-qadam.

Pik formulasi to'r tugunlarida uchlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchak uchun amal qiladi.

Shaklni o'rganib chiqqandan so'ng, tushunish oson: har qanday bunday uchburchakni ma'lum bir to'rtburchakdan panjara chiziqlari bo'ylab tomonlari, bir nechta to'rtburchaklar va panjara chiziqlaridagi oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdan "kesish" orqali olish mumkin. Peak formulasi to'rtburchaklar va to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun to'g'ri bo'lgani uchun (2-bosqichni eslang) bu asl uchburchak uchun ham to'g'ri.

Biz isbotladikki, agar ko'pburchakni to'r tugunlarida uchlari bo'lgan uchburchaklarga kesish mumkin bo'lsa, unda Peak formulasi buning uchun to'g'ri keladi.

3. Maqsadlar.

Raqamlar maydonini toping:

1
.

B=9

G = 4

B=9

G = 5