Sonning moduli (sonning mutlaq qiymati), ta'riflar, misollar, xossalar. Raqamning mutlaq qiymati. Nima uchun kerakligi haqidagi ilmiy asoslanmagan tushuntirish Haqiqiy son modulining asosiy xossalari

Avval modul belgisi ostida ifoda belgisini aniqlaymiz, so'ngra modulni kengaytiramiz:

• agar ifodaning qiymati noldan katta bo'lsa, biz uni modul belgisi ostidan olib tashlaymiz,
• agar ifoda noldan kichik bo'lsa, biz uni modul belgisi ostidan olib tashlaymiz, biz ilgari misollarda qilganimizdek, belgini o'zgartiramiz.

Xo'sh, harakat qilaylikmi? Keling, baholaymiz:

(Unutdim, takrorlang.)

Agar shunday bo'lsa, unda qanday belgi bor? Xo'sh, albatta,!

Va shuning uchun biz modulning belgisini ifoda belgisini o'zgartirib kengaytiramiz:

Tushundim? Keyin o'zingiz sinab ko'ring:

Javoblar:

Modul yana qanday xususiyatlarga ega?

Agar modul belgisi ichidagi raqamlarni ko'paytirish kerak bo'lsa, biz bu raqamlarning modullarini osongina ko'paytirishimiz mumkin!!!

Matematik nuqtai nazardan, Raqamlar ko‘paytmasining moduli bu sonlar modullarining ko‘paytmasiga teng.

Masalan:

Agar modul belgisi ostida ikkita raqamni (iborani) bo'lish kerak bo'lsa-chi?

Ha, ko'paytirish bilan bir xil! Keling, uni modul belgisi ostida ikkita alohida raqamga (iboralarga) ajratamiz:

sharti bilan (chunki siz nolga bo'la olmaysiz).

Modulning yana bir xususiyatini esga olish kerak:

Raqamlar yig'indisining moduli har doim bu raqamlarning modullari yig'indisidan kichik yoki teng bo'ladi:

Nega bunday? Hammasi juda oddiy!

Biz eslaganimizdek, modul har doim ijobiydir. Ammo modul belgisi ostida har qanday raqam bo'lishi mumkin: ijobiy va salbiy. Faraz qilaylik, va ikkala raqamlar ham ijobiy. Keyin chap ifoda o'ng ifodaga teng bo'ladi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Agar modul belgisi ostida bitta raqam manfiy, ikkinchisi ijobiy bo'lsa, chap ifoda har doim o'ngdan kichik bo'ladi:

Bu xususiyat bilan hamma narsa aniq ko'rinadi, keling, modulning yana bir nechta foydali xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

Agar bizda shunday ifoda bo'lsa nima bo'ladi:

Bu ifoda bilan nima qilishimiz mumkin? X qiymati biz uchun noma'lum, lekin biz allaqachon bilamiz, bu nimani anglatadi.

Raqam noldan katta, ya'ni siz shunchaki yozishingiz mumkin:

Shunday qilib, biz boshqa mulkka keldik, uni umuman quyidagicha ifodalash mumkin:

Bu ifoda nimaga teng:

Shunday qilib, modul ostidagi belgini aniqlashimiz kerak. Bu erda belgini belgilash kerakmi?

Albatta, yo'q, agar har qanday raqamning kvadrati har doim noldan katta ekanligini eslasangiz! Esingizda bo'lmasa, mavzuni ko'ring. Xo'sh, nima bo'ladi? Mana nima:

Ajoyib, to'g'rimi? Juda qulay. Va endi mustahkamlash uchun aniq bir misol:

Xo'sh, nega shubhalar? Keling, jasorat bilan harakat qilaylik!

Hammasini tushundingizmi? Keyin davom eting va misollar bilan mashq qiling!

1. If ifodasining qiymatini toping.

2. Qaysi sonlarning moduli bir xil?

3. Ifodalarning ma’nosini toping:

Agar hali hamma narsa aniq bo'lmasa va echimlarda qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, keling, buni aniqlaymiz:

Yechim 1:

Shunday qilib, keling, qiymatlarni va ifodaga almashtiramiz

Yechim 2:

Biz eslaganimizdek, qarama-qarshi sonlar modul bo'yicha tengdir. Bu modul qiymati ikki raqamga teng ekanligini anglatadi: va.

Yechim 3:

A)
b)
V)
G)

Hammasini ushladingizmi? Keyin murakkabroq narsaga o'tish vaqti keldi!

Keling, ifodani soddalashtirishga harakat qilaylik

Yechim:

Shunday qilib, modul qiymati noldan kam bo'lmasligini eslaymiz. Agar modul belgisi ijobiy raqamga ega bo'lsa, keyin biz shunchaki belgini bekor qilishimiz mumkin: raqamning moduli bu raqamga teng bo'ladi.

Ammo modul belgisi ostida salbiy raqam bo'lsa, keyin modul qiymati qarama-qarshi songa teng bo'ladi (ya'ni "-" belgisi bilan olingan raqam).

Har qanday ifodaning modulini topish uchun avvalo u musbat yoki manfiy qiymat olishini aniqlash kerak.

Ma'lum bo'lishicha, modul ostidagi birinchi ifodaning qiymati.

Shuning uchun modul belgisi ostidagi ifoda manfiydir. Modul belgisi ostidagi ikkinchi ifoda har doim ijobiy bo'ladi, chunki biz ikkita ijobiy raqamni qo'shmoqdamiz.

Shunday qilib, modul belgisi ostidagi birinchi ifodaning qiymati salbiy, ikkinchisi ijobiy:

Bu shuni anglatadiki, birinchi ifodaning modul belgisini kengaytirishda biz ushbu ifodani "-" belgisi bilan olishimiz kerak. Mana bunday:

Ikkinchi holda, biz modul belgisini bekor qilamiz:

Keling, ushbu ifodani to'liq soddalashtiramiz:

Raqam moduli va uning xossalari (qattiq ta'riflar va dalillar)

Ta'rif:

Raqamning moduli (mutlaq qiymat) sonning o'zi, agar bo'lsa va raqam, agar:

Masalan:

Misol:

Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Modulning asosiy xususiyatlari

Barcha uchun:

Misol:

5-sonli mulkni isbotlang.

Isbot:

Faraz qilaylik, bundaylar bor

Keling, tengsizlikning chap va o'ng tomonlarini kvadratga aylantiramiz (buni qilish mumkin, chunki tengsizlikning ikkala tomoni ham har doim manfiy emas):

va bu modul ta'rifiga zid keladi.

Binobarin, bunday odamlar mavjud emas, demak, tengsizlik hamma uchun amal qiladi

Mustaqil yechimlarga misollar:

1) 6-sonli mulkni isbotlang.

2) Ifodani soddalashtiring.

Javoblar:

1) 3-sonli xossadan foydalanamiz: , va beri, keyin

Soddalashtirish uchun siz modullarni kengaytirishingiz kerak. Va modullarni kengaytirish uchun siz modul ostidagi iboralar ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlashingiz kerakmi?

a. Keling, raqamlarni solishtiramiz va:

b. Endi taqqoslaylik:

Biz modullarning qiymatlarini qo'shamiz:

Raqamning mutlaq qiymati. Asosiy narsa haqida qisqacha.

Raqamning moduli (mutlaq qiymat) sonning o'zi, agar bo'lsa va raqam, agar:

Modul xususiyatlari:

1. Sonning moduli manfiy bo'lmagan son: ;
2. Qarama-qarshi sonlarning modullari teng: ;
3. Ikki (yoki undan ortiq) sonlar ko'paytmasining moduli ularning modullari ko'paytmasiga teng: ;
4. Ikki sonning bo'linmasining moduli ularning modullari qismiga teng: ;
5. Sonlar yig'indisining moduli har doim shu sonlar modullari yig'indisidan kichik yoki teng bo'ladi: ;
6. Modul belgisidan doimiy musbat ko'paytuvchini olish mumkin: at;

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Darsning maqsad va vazifalari Haqiqiy son modulining ta’rifi bilan tanishish, xossalarini ko‘rib chiqish va modulning geometrik ma’nosini tushuntirish; y = |x | funksiyasini kiriting , uning grafigini qurish qoidalarini ko'rsating; Modulni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishni turli usullarda o'rgatish; Matematikaga qiziqish, mustaqillik, mantiqiy fikrlash, matematik nutqni rivojlantirish, aniqlik va mehnatsevarlikni tarbiyalash.

Ta'rif. Masalan: |8|=8 ; | -8 | =-(-8)=8;

Modul xususiyatlari

Modulning geometrik ma'nosi Raqam chizig'i haqiqiy sonlar to'plamining yaxshi namunasidir. Sonlar chizig‘ida ikkita a va b nuqtani belgilab, bu nuqtalar orasidagi r(a ; b) masofani topishga harakat qilaylik. Ko'rinib turibdiki, bu masofa b-a ga teng bo'lsa, b>a Agar o'rinlarni almashtirsak, ya'ni a > b, masofa a - b ga teng bo'ladi. Agar a = b bo'lsa, masofa nolga teng, chunki natija nuqtadir. Biz uchta holatni bir xilda tasvirlashimiz mumkin:

Misol. Tenglamani yeching: a) |x-3|=6 b) |x+5|=3 c) |x|=2,8 d) Yechish. a) 3-nuqtadan 6 ga teng masofada joylashgan koordinata chizig'idagi nuqtalarni topishimiz kerak. Bunday nuqtalar 9 va -3 ga teng. (Uchdan oltitasini qo‘shdik va ayirdik.) Javob: x=9 va x=-3 b) | x +5|=3, tenglamani | ko'rinishida qayta yozamiz x -(-5)|=3. 3 ga olib tashlangan -5 nuqtadan masofani topamiz. Bu masofa ikki nuqtadan: x=2 va x=-8 Javob: x=2 va x=-8. c) | x |=2,8, |x-0|=2,8 sifatida ifodalanishi mumkin yoki aniq, x=-2,8 yoki x=2,8 Javob: x=-2,8 va x=2,8. d) ekvivalent Ko'rinib turibdiki

y = |x| funksiyasi

|x-1| tenglamasini yeching = 4 1-usul (analitik) 2-topshiriq

2-usul (grafik)

Haqiqiy sonning moduli. Identity ifodani ko'rib chiqing, agar a>0 bo'lsa, biz buni bilamiz. Lekin agar a 0 bo'lsa nima bo'ladi. 2. Keling, umumlashtiramiz: Modulning ta'rifi bo'yicha: Ya'ni

Haqiqiy sonning moduli. Misol. Ifodani soddalashtiring, agar: a) a-2≥0 b) a -2

Haqiqiy sonning moduli. Misol. Yechimni hisoblash. Biz shuni bilamizki: Modullarni kengaytirish uchun birinchi iborani ko'rib chiqing:

Ikkinchi ifodani ko'rib chiqamiz: Ta'rifdan foydalanib, modullarning belgilarini kengaytiramiz: Natijada, biz olamiz: Javob: 1.

Yangi materialni birlashtirish. 16.2-son, 16.3-son, 16.4-son, 16.12-son, 16.16-son (a, d), 16.19-son.

Mustaqil hal qilish uchun muammolar. 1. Tenglamani yeching: a) | x -10|=3 b) | x +2|=1 c) | x |=2,8 d) 2. Tenglamani yeching: a) |3 x -9|=33 b) |8-4 x |=16 c) | x +7|=-3 3. Ifodani soddalashtiring, agar a) a-3≥0 b) a -3

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati: Zvavich L.I. Algebra. Chuqur o'rganish. 8-sinf: muammoli kitob / L.I. Zvavich, A.R. Ryazanovskiy. – 4-nashr, rev. – M.: Mnemosyne, 2006. – 284 b. Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A.G. Mordkovich. – 12-nashr, oʻchirilgan. – M.: Mnemosyne, 2014. – 215 b. Mordkovich A.G. va boshqalar. 8-sinf. 2 soat ichida 2-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun muammoli kitob / ed. A.G. Mordkovich. – 12-nashr, rev. va qo'shimcha – M.: Mnemosyne, 2014. – 271 b.

§ 1 Haqiqiy sonning moduli

Ushbu darsda biz har qanday haqiqiy son uchun "modul" tushunchasini o'rganamiz.

Haqiqiy son modulining xossalarini yozamiz:

§ 2 Tenglamalarni yechish

Haqiqiy son modulining geometrik ma'nosidan foydalanib, biz bir nechta tenglamalarni yechamiz.

Demak, tenglamaning 2 ta ildizi bor: -1 va 3.

Shunday qilib, tenglama 2 ta ildizga ega: -3 va 3.

Amalda modullarning turli xossalari qo'llaniladi.

Keling, buni 2-misolda ko'rib chiqaylik:

Shunday qilib, ushbu darsda siz "haqiqiy son moduli" tushunchasini, uning asosiy xususiyatlari va geometrik ma'nosini o'rgandingiz. Haqiqiy son modulining xossalari va geometrik tasviri yordamida bir qancha tipik masalalarni ham yechdik.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. – 9-nashr, qayta koʻrib chiqilgan. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 b.: kasal.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8-sinf. 14:00 da 2-qism. Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya.. – 8-nashr, – M.: Mnemosyne, 2006. – 239 b.
3. Algebra. 8-sinf. L.A. ta'lim muassasalari talabalari uchun testlar. Aleksandrov, ed. A.G. Mordkovich 2-nashr, o'chirilgan. - M .: Mnemosyne, 2009. - 40 p.
4. Algebra. 8-sinf. Ta'lim muassasalari talabalari uchun mustaqil ish: darslikka A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, ed. A.G. Mordkovich, 9-nashr, o'chirildi. - M .: Mnemosyne, 2013. - 112 p.

Ushbu maqolada biz batafsil tahlil qilamiz raqamning mutlaq qiymati. Biz raqam moduliga turli xil ta'riflar beramiz, yozuvlarni kiritamiz va grafik tasvirlarni beramiz. Shu bilan birga, ta'rifi bo'yicha sonning modulini topishning turli misollarini ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz modulning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz va asoslaymiz. Maqolaning oxirida biz kompleks sonning moduli qanday aniqlanishi va topilishi haqida gapiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Raqam moduli - ta'rifi, belgilanishi va misollar

Avval tanishtiramiz raqam modulining belgilanishi. Biz a sonining modulini deb yozamiz, ya'ni sonning chap va o'ng tomoniga modul belgisini hosil qilish uchun vertikal chiziqchalar qo'yamiz. Keling, bir-ikkita misol keltiraylik. Masalan, −7 moduli quyidagicha yozilishi mumkin; moduli 4.125 kabi yoziladi va modulda shaklning yozuvi mavjud.

Modulning quyidagi taʼrifi haqiqiy sonlar toʻplamining tarkibiy qismlari sifatida , demak, , va butun sonlar, ratsional va irratsional sonlarni bildiradi. Kompleks sonning moduli haqida gapiramiz.

Ta'rif.

a soni moduli– bu a sonining o‘zi, agar a musbat son bo‘lsa, yoki a sonining teskarisi −a soni, agar a manfiy son bo‘lsa, yoki a=0 bo‘lsa 0.

Raqam modulining ovozli ta'rifi ko'pincha quyidagi shaklda yoziladi , bu yozuv a>0 bo'lsa, a=0 bo'lsa va a bo'lsa, degan ma'noni anglatadi<0 .

Yozuv yanada ixcham shaklda taqdim etilishi mumkin . Bu belgi, agar (a 0 dan katta yoki teng bo'lsa) va agar a<0 .

Kirish ham bor . Bu erda a=0 bo'lgan holatni alohida tushuntirishimiz kerak. Bu holda bizda , lekin −0=0 bo‘ladi, chunki nol o‘ziga qarama-qarshi son hisoblanadi.

beraylik sonning modulini topishga misollar belgilangan ta'rifdan foydalanish. Masalan, 15 va sonlarining modullarini topamiz. Keling, topishdan boshlaylik. 15 raqami musbat bo'lganligi sababli, uning moduli, ta'rifiga ko'ra, bu raqamning o'ziga teng, ya'ni. Raqamning moduli nima? Manfiy son bo'lgani uchun uning moduli songa qarama-qarshi bo'lgan songa, ya'ni songa teng . Shunday qilib, .

Ushbu fikrni yakunlash uchun biz sonning modulini topishda amaliyotda foydalanish uchun juda qulay bo'lgan bitta xulosani keltiramiz. Raqam modulining ta'rifidan kelib chiqadiki sonning moduli uning belgisini hisobga olmagan holda modul belgisi ostidagi songa teng, va yuqorida muhokama qilingan misollardan bu juda aniq ko'rinadi. Belgilangan bayonot nima uchun raqamning moduli ham chaqirilishini tushuntiradi raqamning mutlaq qiymati. Demak, sonning moduli va sonning mutlaq qiymati bir va bir xil.

Raqamning masofa sifatidagi moduli

Geometrik jihatdan sonning moduli quyidagicha talqin qilinishi mumkin masofa. beraylik masofa bo'yicha raqamning modulini aniqlash.

Ta'rif.

a soni moduli– bu koordinata chizig‘idagi bosh nuqtadan a soniga mos keladigan nuqtagacha bo‘lgan masofa.

Ushbu ta'rif birinchi xatboshida berilgan sonning moduli ta'rifiga mos keladi. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik. Boshidan musbat songa mos keladigan nuqtagacha bo'lgan masofa bu raqamga teng. Nol boshlang'ichga to'g'ri keladi, shuning uchun koordinatasi 0 bo'lgan boshlang'ich nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa nolga teng (birlik segmentining biron bir qismini tashkil etuvchi bitta segmentni emas, balki bitta birlik segmentini ajratish shart emas. O nuqtadan koordinatasi 0 bo'lgan nuqtaga o'tish uchun). Koordinatasi manfiy bo'lgan nuqtadan boshlanish nuqtasigacha bo'lgan masofa bu nuqtaning koordinatasiga qarama-qarshi songa teng, chunki u koordinatasi qarama-qarshi son bo'lgan nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofaga teng.

Masalan, 9 raqamining moduli 9 ga teng, chunki koordinata 9 ga teng bo'lgan boshlang'ich nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa to'qqizga teng. Yana bir misol keltiraylik. Koordinatasi -3,25 bo'lgan nuqta O nuqtadan 3,25 masofada joylashgan, shuning uchun .

Raqam modulining ko'rsatilgan ta'rifi ikkita sonning farq modulini aniqlashning alohida holatidir.

Ta'rif.

Ikki raqam farqining moduli a va b koordinatalari a va b bo'lgan koordinata chizig'ining nuqtalari orasidagi masofaga teng.

Ya'ni, agar A(a) va B(b) koordinata chizig'idagi nuqtalar berilgan bo'lsa, u holda A nuqtadan B nuqtagacha bo'lgan masofa a va b sonlari orasidagi farq moduliga teng bo'ladi. Agar biz O nuqtani (kelib chiqishi) B nuqtasi sifatida olsak, u holda biz ushbu bandning boshida berilgan son modulining ta'rifini olamiz.

Arifmetik kvadrat ildiz yordamida sonning modulini aniqlash

Vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladi arifmetik kvadrat ildiz orqali modulni aniqlash.

Masalan, −30 sonlarining modullarini hisoblab chiqamiz va shu ta’rifga asoslanib. Bizda ... bor. Xuddi shunday, biz uchdan ikki modulni hisoblaymiz: .

Arifmetik kvadrat ildiz orqali raqam modulining ta'rifi ham ushbu moddaning birinchi bandida keltirilgan ta'rifga mos keladi. Keling, ko'rsataylik. a musbat son, −a manfiy son bo‘lsin. Keyin Va , agar a=0 bo'lsa, u holda .

Modul xususiyatlari

Modul bir qator xarakterli natijalarga ega - modul xususiyatlari. Endi biz ulardan asosiy va eng ko'p ishlatiladiganlarini taqdim etamiz. Bu xossalarni asoslashda biz raqam modulining masofa bo‘yicha ta’rifiga tayanamiz.

Modulning eng aniq xususiyatidan boshlaylik - Raqamning moduli manfiy son bo'lishi mumkin emas. To'g'ridan-to'g'ri shaklda bu xususiyat istalgan a soni uchun shaklga ega. Bu xususiyatni asoslash juda oson: sonning moduli masofadir va masofani manfiy son sifatida ifodalab bo'lmaydi.

Keyingi modul xususiyatiga o'tamiz. Agar bu raqam nolga teng bo'lsa, raqamning moduli nolga teng. Nolning moduli ta'rifi bo'yicha nolga teng. Nol koordinata chizig'idagi boshqa nuqtaga mos kelmaydi, chunki har bir haqiqiy son koordinata chizig'idagi bitta nuqta bilan bog'langan. Xuddi shu sababga ko'ra, noldan boshqa har qanday raqam boshdan farqli nuqtaga mos keladi. Va boshlang'ichdan O nuqtasidan boshqa har qanday nuqtagacha bo'lgan masofa nolga teng emas, chunki ikkita nuqta orasidagi masofa, agar bu nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelsa, nolga teng. Yuqoridagi mulohazalar faqat nolning moduli nolga teng ekanligini isbotlaydi.

Davom etishga ruxsat. Qarama-qarshi sonlar teng modullarga ega, ya'ni har qanday a soni uchun. Haqiqatan ham, koordinatalari qarama-qarshi sonlar bo'lgan koordinata chizig'idagi ikkita nuqta koordinata boshidan bir xil masofada joylashgan, ya'ni qarama-qarshi sonlarning modullari tengdir.

Modulning quyidagi xususiyati: Ikki sonning ko'paytmasining moduli bu raqamlar modullarining ko'paytmasiga teng, ya'ni, . Ta'rifga ko'ra, a va b sonlar ko'paytmasining moduli a·b bo'lsa, yoki −(a·b) ga teng. Haqiqiy sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan a va b sonlar modullarining ko‘paytmasi a·b, , yoki −(a·b) ga teng ekanligi ko‘rib chiqilayotgan xususiyatni isbotlaydi.

a ning b ga bo'lingan qismi moduli son modulining b moduliga bo'lingan qismiga teng., ya'ni, . Keling, modulning ushbu xususiyatini oqlaylik. Ko'rsatkich mahsulotga teng bo'lgani uchun, demak. Oldingi mulkimiz tufayli . Faqat tenglikdan foydalanish qoladi, bu raqam modulining ta'rifi tufayli amal qiladi.

Modulning quyidagi xossasi tengsizlik sifatida yoziladi: , a , b va c ixtiyoriy haqiqiy sonlardir. Yozma tengsizlik bundan boshqa narsa emas uchburchak tengsizligi. Buni aniqroq qilish uchun koordinata chizig‘idagi A(a), B(b), C(c) nuqtalarni olaylik va uchlari bir xil to‘g‘rida yotgan degenerativ ABC uchburchakni ko‘rib chiqamiz. Ta'rifga ko'ra, farqning moduli AB segmentining uzunligiga, - AC segmentining uzunligiga va - CB segmentining uzunligiga teng. Uchburchakning istalgan tomonining uzunligi qolgan ikki tomonining uzunliklari yig‘indisidan oshmaganligi sababli, tengsizlik to‘g‘ri bo‘ladi. , shuning uchun tengsizlik ham to'g'ri.

Hozirgina isbotlangan tengsizlik shaklda ancha keng tarqalgan . Yozma tengsizlik odatda quyidagi formula bilan modulning alohida xususiyati sifatida ko'rib chiqiladi: " Ikki raqam yig'indisining moduli bu raqamlarning modullari yig'indisidan oshmaydi" Lekin tengsizlik to'g'ridan-to'g'ri tengsizlikdan kelib chiqadi, agar biz b o'rniga -b qo'ysak va c=0 ni qabul qilsak.

Kompleks sonning moduli

beraylik kompleks son modulining ta'rifi. Bizga nasib etsin murakkab son, algebraik shaklda yozilgan, bu erda x va y ba'zi haqiqiy sonlar bo'lib, mos ravishda berilgan kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlarini ifodalovchi z va xayoliy birlikdir.