Berilgan sonning teskarisini topish. O'zaro raqam

Tarkib:

Barcha turlarni yechish uchun o'zaro raqamlar kerak bo'ladi algebraik tenglamalar. Misol uchun, agar siz birini ajratishingiz kerak bo'lsa kasr son boshqasiga, siz birinchi raqamni ikkinchi raqamga ko'paytirasiz. Bundan tashqari, to'g'ri chiziq tenglamasini topishda o'zaro sonlar qo'llaniladi.

Qadamlar

1 Kasr yoki butun sonning teskarisini topish

1. 1 Kasrning teskari qismini teskarisiga aylantirib toping."O'zaro raqam" juda sodda tarzda ta'riflangan. Uni hisoblash uchun "1 ÷ (asl raqam)" iborasining qiymatini hisoblash kifoya. Kasr son uchun kasrning o'zaro nisbati kasrni "teskari aylantirish" (hisob va maxraj joylarini almashtirish) orqali hisoblanishi mumkin bo'lgan boshqa kasr sonidir.
   • Masalan, 3/4 kasrning o'zaro nisbati 4 / 3 .
2. 2 Butun sonning teskari qismini kasr shaklida yozing. Va bu holda, o'zaro raqam 1 ÷ (asl raqam) sifatida hisoblanadi. Butun son uchun o'zaro raqamni kasr sifatida yozing, hech qanday hisob-kitob qilishning hojati yo'q kasr.
   • Masalan, 2 ning o'zaro nisbati 1 ÷ 2 = ga teng 1 / 2 .

2 Aralash kasrning teskari qismini topish

1. 1 Nima bo'ldi " aralash fraktsiya". Aralash kasr - bu butun son va oddiy kasr sifatida yozilgan son, masalan, 2 4/5. Aralash kasrning teskari qismini topish quyida tavsiflangan ikki bosqichda amalga oshiriladi.
2. 2 Aralash kasrni noto'g'ri kasr shaklida yozing. Siz, albatta, esda tutingki, birlik (raqam)/(bir xil raqam) va kasrlar bilan yozilishi mumkin. bir xil maxrajlar(chiziq ostidagi raqam) bir-biriga qo'shilishi mumkin. Buni 2 4/5 kasr uchun qanday qilish kerak:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Kasrni teskari aylantiring. Aralash kasr noto'g'ri kasr sifatida yozilsa, hisob va maxrajni almashtirish orqali o'zaro kasrni osongina topishimiz mumkin.
   • Yuqoridagi misol uchun o'zaro raqam 14/5 bo'ladi - 5 / 14 .

3 O‘nli kasrning o‘zaro nisbatini topish

1. 1 Iloji bo'lsa, o'nli kasrni kasr shaklida ifodalang. Ko'p o'nli kasrlarni kasrlarga osongina aylantirish mumkinligini bilishingiz kerak. Masalan, 0,5 = 1/2 va 0,25 = 1/4. Raqamni oddiy kasr sifatida yozganingizdan so'ng, kasrni ag'darish orqali uning o'zaroligini osongina topishingiz mumkin.
   • Masalan, 0,5 ning o'zaro nisbati 2/1 = 2 ga teng.
2. 2 Masalani bo‘linish yordamida yeching. Agar o'nli kasrni kasr sifatida yoza olmasangiz, masalani bo'linish yo'li bilan yechish orqali o'zaro hisobni hisoblang: 1 ÷ (o'nlik). Buni hal qilish uchun kalkulyatordan foydalanishingiz yoki qiymatni qo'lda hisoblashni istasangiz, keyingi bosqichga o'tishingiz mumkin.
   • Masalan, 0,4 ning o'zaro nisbati 1 ÷ 0,4 sifatida hisoblanadi.
3. 3 Butun sonlar bilan ishlash uchun ifodani o‘zgartiring. O'nli kasrni bo'lishning birinchi bosqichi ifodadagi barcha sonlar butun son bo'lguncha o'nli kasrni siljitishdir. O'nli kasrni dividend va bo'luvchida bir xil sonli joylarga ko'chirganingiz uchun siz to'g'ri javob olasiz.
4. 4 Masalan, siz 1 ÷ 0,4 ifodasini olasiz va uni 10 ÷ 4 sifatida yozasiz. Bunday holda, siz o'nli kasrni bir o'ngga o'tkazdingiz, bu har bir raqamni o'nga ko'paytirish bilan bir xil.
5. 5 Raqamlarni ustunga bo'lish orqali muammoni hal qiling. Uzun bo'linish yordamida siz o'zaro raqamni hisoblashingiz mumkin. Agar siz 10 ni 4 ga bo'lsangiz, siz 2,5 ni olishingiz kerak, bu 0,4 ning o'zaro nisbati.

• Salbiy o'zaro sonning qiymati -1 ga ko'paytiriladigan o'zaro songa teng bo'ladi. Masalan, 3/4 ning salbiy o'zaro nisbati - 4/3.
• Raqamning o'zaro kelishigi ba'zan "o'zaro" yoki "o'zaro" deb ataladi.
• 1 raqami o'ziga xosdir, chunki 1 ÷ 1 = 1.
• Nolning o'zaro ta'siri yo'q, chunki 1 ÷ 0 ifodaning yechimlari yo'q.

Ko'paytmasi birga teng bo'lgan juft sonlar deyiladi o'zaro teskari.

Misollar: 5 va 1/5, -6/7 va -7/6, va

Nolga teng bo'lmagan har qanday a soni uchun teskari 1/a mavjud.

Nolning aksi cheksizlikdir.

Teskari kasrlar- bu ko'paytmasi 1 ga teng bo'lgan ikkita kasr. Masalan, 3/7 va 7/3; 5/8 va 8/5 va boshqalar.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "teskari raqam" nima ekanligini ko'ring:

Berilgan songa koʻpaytmasi bittaga teng boʻlgan son. Bunday ikkita raqam o'zaro deb ataladi. Bular, masalan, 5 va 1/5, 2/3 va 3/2 va boshqalar ... Katta ensiklopedik lug'at

o'zaro raqam- - [A.S.Goldberg. Inglizcha-ruscha energiya lug'ati. 2006] Umumiy energiya mavzulari EN teskari sonlar o'zaro raqam ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Berilgan songa koʻpaytmasi bittaga teng boʻlgan son. Bunday ikkita raqam o'zaro deb ataladi. Bular, masalan, 5 va 1/5, 2/3 va 3/2, va hokazo. * * * teskari raqam teskari son, berilgan son bo'yicha mahsuloti ... ... ga teng bo'lgan raqam. ensiklopedik lug'at

Berilgan raqam bilan mahsuloti bittaga teng bo'lgan son. Bunday ikkita raqam o'zaro deb ataladi. Bular, masalan, 5 va a, nolga teng emas, teskari... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Berilgan son bo'yicha ko'paytmasi bittaga teng bo'lgan son. Bunday ikkita raqam chaqiriladi. o'zaro teskari. Bular, masalan, 5 va 1/5. 2/3 va 3/2 va boshqalar ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Raqam (maʼnolari). Raqam - bu matematikada ob'ektlarni hisoblash, solishtirish va raqamlash uchun ishlatiladigan asosiy tushuncha. Ibtidoiy jamiyatda ehtiyojlardan kelib chiqqan holda... ... Vikipediya

Shuningdek qarang: Son (tilshunoslik) Raqam — obʼyektlarni miqdoriy xarakterlash uchun qoʻllaniladigan abstraksiya. Ibtidoiy jamiyatda sanash ehtiyojidan kelib chiqqan holda, son tushunchasi o‘zgarib, boyidi va eng muhim matematika... Vikipediya.

Drenaj paytida suvning teskari aylanishi - bu lavabo yoki vannaning drenaj teshigiga oqib tushganda yuzaga keladigan girdobdagi suvning harakatiga Koriolis effektini noto'g'ri qo'llashga asoslangan psevdo-ilmiy afsona. Afsonaning mohiyati shundaki, suv... ... Vikipediya

IRRATIONS SON Kasr shaklida ifodalab bo'lmaydigan son. Masalan, T2 va p raqami. Demak, irratsional sonlar cheksiz sonli (davriy bo'lmagan) kasrli sonlardir. (Ammo buning aksi to'g'ri emas ... ... Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

Laplas konvertatsiyasi murakkab o'zgaruvchining (tasvir) funktsiyasini haqiqiy o'zgaruvchining (original) funktsiyasi bilan bog'laydigan integral transformatsiyadir. U xususiyatlarni o'rganish uchun ishlatiladi dinamik tizimlar va differentsial va ... Vikipediya hal qilinadi

Kitoblar

• Baxtli xotinlar klubi, Uiver von. Dunyoning turli burchaklaridan kelgan, bir-biriga tanish bo'lmagan, turli taqdirlarga ega 27 ayol. Ularning umumiy hech narsasi yo'q, faqat bitta narsa - ular 25 yildan ortiq nikohda aql bovar qilmaydigan darajada baxtlidirlar, chunki ular sirni bilishadi...Qachon...

Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya

Teskari raqam(o'zaro qiymat, o'zaro qiymat) berilgan songa x ga ko'paytiriladigan son x, birini beradi. Qabul qilingan ariza: $\backslash frac(1)x$ yoki $x^(-1)$. Ko'paytmasi bittaga teng bo'lgan ikkita raqam chaqiriladi o'zaro teskari. Raqamning o'zaro munosabatini funktsiyaning o'zaro munosabati bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Masalan, $\backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; cos\; (x))$ kosinusga teskari funktsiya qiymatidan farq qiladi - yoy kosinus, bu belgilanadi $\backslash cos^(-1)x$ yoki $\backslash arccos\; x$.

Haqiqiy raqamga teskari

Murakkab son shakllari	Raqam $(z)$	Teskari $\backslash chap\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash o\text{'}ng)$
Algebraik	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrik	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Indikativ	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Isbot:
Algebraik va trigonometrik shakllar uchun biz kasrning asosiy xususiyatidan foydalanamiz, hisob va maxrajni murakkab konjugatga ko'paytiramiz:

• Algebraik shakl:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrik shakl:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Namoyish shakli:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Shunday qilib, kompleks sonning teskari sonini topishda uning ko'rsatkichli shaklidan foydalanish qulayroqdir.

Misol:

Murakkab son shakllari	Raqam $(z)$	Teskari $\backslash chap\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash o\text{'}ng)$
Algebraik	$1+i\backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trigonometrik	$2\; \backslash chap\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash o\text{'}ng)$ yoki $2\; \backslash chap\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash o\text{'}ng)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash o\text{'}ng)$ yoki $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash o\text{'}ng)$
Indikativ	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Xayoliy birlikka teskari

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Shunday qilib, biz olamiz

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ yoki__ $i^(-1)=-i$

Xuddi shunday uchun $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ yoki __ $-i^(-1)=i$

"Teskari raqam" maqolasi haqida sharh yozing

Eslatmalar

Shuningdek qarang

Teskari raqamni tavsiflovchi parcha

Hikoyalarda shunday deyiladi va bularning barchasi mutlaqo adolatsizlikdir, masalaning mohiyatiga chuqurroq kirmoqchi bo'lgan har bir kishi osongina ko'rishi mumkin.
Ruslar yaxshiroq pozitsiyani topa olmadilar; ammo, aksincha, chekinishda ular Borodinodan yaxshiroq bo'lgan ko'plab pozitsiyalardan o'tishdi. Ular bu pozitsiyalarning birortasiga ham rozi bo'lmadilar: Kutuzov o'zi tanlamagan pozitsiyani qabul qilishni istamagani uchun ham, xalq jangi talabi hali etarlicha kuchli ifoda etilmaganligi uchun va Miloradovich hali yaqinlashmaganligi sababli. militsiya bilan, shuningdek, son-sanoqsiz boshqa sabablar tufayli. Gap shundaki, avvalgi pozitsiyalar kuchliroq edi va Borodino pozitsiyasi (jang olib borilgan) nafaqat kuchli emas, balki ba'zi sabablarga ko'ra dunyodagi boshqa joylarga qaraganda unchalik ko'p emas. Rossiya imperiyasi, bu, taxmin qilganda, xaritada pin bilan ko'rsatiladi.
Ruslar nafaqat Borodino dalasining chap tomonida yo'lning o'ng burchagida (ya'ni jang bo'lgan joy) pozitsiyasini mustahkamlamadilar, balki 1812 yil 25 avgustgacha hech qachon jang olib borishi mumkin deb o'ylamaganlar. bu joyga joylashtiring. Buni, birinchidan, bu yerda nafaqat 25-da istehkomlar boʻlmagan, balki 25-da boshlangan, hatto 26-da ham qurib bitkazilmaganligi ham tasdiqlaydi; ikkinchidan, dalil Shevardinskiy redutuning pozitsiyasidir: Shevardinskiy reduti, jang qaror qilingan pozitsiyadan oldin, hech qanday ma'noga ega emas. Nima uchun bu redobut boshqa barcha nuqtalardan kuchliroq edi? Nega uni 24-kuni kechgacha himoya qilib, barcha kuchlar tugab, olti ming kishi halok bo'ldi? Dushmanni kuzatish uchun kazak patruli kifoya edi. Uchinchidan, jang bo'lib o'tgan pozitsiyaning oldindan ko'rilmaganligi va Shevardinskiy redutu bu pozitsiyaning oldingi nuqtasi emasligining isboti shundaki, Barklay de Tolli va Bagration 25-yilgacha Shevardinskiy redutu chap qanot ekanligiga ishonch hosil qilganlar. Kutuzovning o'zi jangdan keyingi lahzalarda yozgan ma'ruzasida Shevardinskiy redobutini pozitsiyaning chap qanoti deb ataydi. Ko'p o'tmay, Borodino jangi to'g'risida ochiq xabarlar yozilar ekan, (ehtimol, aybsiz bo'lishi kerak bo'lgan bosh qo'mondonning xatolarini oqlash uchun) Shevardinskiy redobuti haqida adolatsiz va g'alati guvohlik o'ylab topildi. oldinga post bo'lib xizmat qilgan (bu chap qanotning faqat mustahkamlangan nuqtasi edi) va go'yo Borodino jangi biz tomonidan mustahkamlangan va oldindan tanlangan holatda qabul qilindi, holbuki bu butunlay kutilmagan va deyarli mustahkamlanmagan joyda sodir bo'ldi.
Gap, shubhasiz, bu edi: pozitsiya asosiy yo'lni to'g'ridan-to'g'ri emas, balki ostidan kesib o'tuvchi Koloche daryosi bo'ylab tanlangan. o'tkir burchak, shuning uchun chap qanot Shevardinda, o'ngda Novy qishlog'i yaqinida va markaz Borodinoda, Kolocha va Voina daryolarining qo'shilishida edi. Kolocha daryosi ostidagi bu pozitsiya, maqsadi dushmanning Smolensk yo'li bo'ylab Moskvaga harakatlanishini to'xtatish bo'lgan armiya uchun jang qanday bo'lganini unutib, Borodino maydoniga qaragan har bir kishiga ayon.
24-kuni Valuevga borgan Napoleon (hikoyalarda aytilganidek) ruslarning Utitsadan Borodingacha bo'lgan pozitsiyasini ko'rmadi (u bu pozitsiyani ko'ra olmadi, chunki u yo'q edi) va forvardni ko'rmadi. rus armiyasining postini egalladi, lekin rus pozitsiyasining chap qanotiga, Shevardinskiy redutuga ta'qib qilishda rus orqa gvardiyasiga qoqildi va ruslar uchun kutilmaganda Kolocha orqali qo'shinlarni o'tkazdi. Va ruslar umumiy jangga kirishishga ulgurmay, chap qanotlari bilan o'zlari egallashni mo'ljallagan pozitsiyadan orqaga chekindilar va oldindan ko'rilmagan va mustahkamlanmagan yangi pozitsiyani egalladilar. ga borish orqali chap tomoni Kolochi, yo'lning chap tomonida, Napoleon butun kelajakdagi jangni o'ngdan chapga (Rossiya tomonidan) o'tkazdi va uni Utitsa, Semenovskiy va Borodin o'rtasidagi maydonga o'tkazdi (pozitsiya uchun foydaliroq narsa yo'q). Rossiyadagi boshqa maydonlarga qaraganda ) va bu maydonda butun jang 26-da bo'lib o'tdi. Taxminiy shaklda, taklif qilingan jang va bo'lib o'tgan jangning rejasi quyidagicha bo'ladi:

Agar Napoleon 24-kuni kechqurun Kolochaga ketmaganida va kechqurun darhol redutga hujum qilishni buyurmagan bo'lsa, lekin ertasi kuni ertalab hujum boshlaganida edi, Shevardinskiy redutuning mavjudligiga hech kim shubha qilmagan bo'lardi. bizning pozitsiyamizning chap qanoti; va jang biz kutgandek bo'lardi. Bu holatda, ehtimol, Shevardinskiy redutu, chap qanotimizni, yana ham qaysarlik bilan himoya qilardik; Napoleon markazda yoki o'ngda hujumga uchragan bo'lardi va 24-da mustahkamlangan va oldindan ko'rsatilgan pozitsiyada umumiy jang bo'lib o'tadi. Ammo chap qanotimizga hujum kechqurun, orqa qo'riqchilarimiz chekinishidan keyin, ya'ni Gridneva jangidan so'ng sodir bo'lganligi sababli va rus harbiy boshliqlari umumiy jangni boshlashni xohlamaganlari yoki vaqtlari yo'qligi sababli. 24-kunning o'sha kuni kechqurun Borodinskiyning birinchi va asosiy harakati Jang 24-da yutqazildi va, shubhasiz, 26-da jang qilganlarning yo'qolishiga olib keldi.
Shevardinskiy redotu yo'qolganidan so'ng, 25-kuni ertalab biz chap qanotda pozitsiyasiz qoldik va chap qanotimizni orqaga burishga va uni shoshilinch ravishda istalgan joyda kuchaytirishga majbur bo'ldik.
Ammo 26 avgust kuni rus qo'shinlari nafaqat zaif, tugallanmagan istehkomlar himoyasida turdi, balki bu vaziyatning noqulayligi rus harbiy rahbarlarining to'liq amalga oshirilgan haqiqatni tan olmaganligi bilan oshdi. chap qanot va butun kelajakdagi jang maydonini o'ngdan chapga o'tkazish ), Novy qishlog'idan Utitsagacha cho'zilgan holatda qoldi va natijada jang paytida o'z qo'shinlarini o'ngdan chapga siljitishga majbur bo'ldi. Shunday qilib, butun jang davomida ruslar bizning chap qanotimizga qaratilgan butun frantsuz armiyasiga qarshi ikki baravar kuchsiz kuchlarga ega edilar. (Poniatovskining Frantsiyaning o'ng qanotida Utitsa va Uvarovga qarshi harakatlari jang jarayonidan alohida harakatlar edi.)
Shunday qilib, Borodino jangi ular ta'riflaganidek bo'lmadi (harbiy boshliqlarimizning xatolarini yashirishga urinib, buning natijasida rus armiyasi va xalqining shon-shuhratini pasaytirdi). Borodino jangi tanlangan va mustahkamlangan holatda, Rossiya tomonida biroz zaifroq bo'lgan kuchlar bilan o'tkazilmadi, ammo Borodino jangi Shevardinskiy reduti yo'qolganligi sababli ruslar tomonidan ochiq, deyarli qabul qilindi. frantsuzlarga qarshi kuchlari ikki baravar zaif bo'lgan mustahkamlanmagan hudud, ya'ni bunday sharoitda o'n soat davomida jang qilish va jangni qat'iyatsiz qilish nafaqat aqlga sig'mas, balki armiyani to'liq mag'lubiyatdan va uch yil davomida qochib ketishdan saqlab qolish ham aqlga sig'mas edi. soat.

25-kuni ertalab Per Mojayskni tark etdi. Shahar tashqarisiga chiqadigan ulkan tik va qiyshiq tog'dan tushayotganda, tog'da o'ng tomonda turgan, xizmat va xushxabar va'z qilinayotgan sobor yonidan o'tib, Per vagondan tushdi va davom etdi. oyoq. Uning orqasida, oldinda qo'shiqchilar bilan bir necha otliq polk tog'ga tushayotgan edi. Kechagi ishda yaralanganlar bilan aravalar poyezdi unga qarab kelayotgan edi. Dehqon haydovchilari otlarga baqirib, qamchi bilan qamchilab, u yoqdan bu tomonga yugurib ketishdi. Uch-to‘rtta yarador askar yotib o‘tirgan aravalar tik qiyalikda yo‘lak shaklida tashlangan toshlar ustidan sakrab o‘tdi. Yaradorlar, latta bilan bog‘langan, rangi oqarib ketgan, lablarini burishtirib, qoshlarini chimirgan holda, karavotlardan ushlab, sakrab, aravalarni itarib yuborishdi. Hamma Perning oq shlyapasi va yashil paltosiga deyarli sodda bolalarcha qiziqish bilan qaradi.

O'zaro sonlarga ta'rif berib, misollar keltiramiz. Keling, natural sonning teskari va oddiy kasrning teskarisini qanday topishni ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, biz o'zaro sonlar yig'indisining xususiyatini aks ettiruvchi tengsizlikni yozamiz va isbotlaymiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

O'zaro raqamlar. Ta'rif

Ta'rif. O'zaro raqamlar

O'zaro sonlar - mahsuloti bittaga teng bo'lgan sonlar.

Agar a · b = 1 bo'lsa, u holda b soni a soniga teskari bo'lgani kabi, a soni b soniga teskari deb aytishimiz mumkin.

O'zaro sonlarning eng oddiy misoli ikkita birlikdir. Darhaqiqat, 1 · 1 = 1, shuning uchun a = 1 va b = 1 o'zaro teskari sonlardir. Yana bir misol, 3 va 1 3, - 2 3 va - 3 2, 6 13 va 13 6, log 3 17 va log 17 3 raqamlari. Yuqoridagi har qanday juft raqamlarning mahsuloti bittaga teng. Agar bu shart bajarilmasa, masalan, 2 va 2 3 raqamlari uchun, u holda raqamlar o'zaro teskari emas.

O'zaro sonlarning ta'rifi har qanday son uchun amal qiladi - natural, butun, haqiqiy va murakkab.

Berilgan sonning teskarisini qanday topish mumkin

Keling, umumiy holatni ko'rib chiqaylik. Agar asl son a ga teng bo'lsa, uning teskari soni 1 a yoki a - 1 shaklida yoziladi. Haqiqatan ham, a · 1 a = a · a - 1 = 1.

Natural sonlar uchun va oddiy kasrlar o'zaro raqamni topish juda oddiy. Buni hatto aniq aytish mumkin. Agar siz irratsional yoki murakkab songa teskari sonni topsangiz, bir qator hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi.

Keling, amaliyotda o'zaro sonni topishning eng keng tarqalgan holatlarini ko'rib chiqaylik.

Oddiy kasrning teskarisi

Shubhasiz, a b oddiy kasrning teskarisi b a kasrdir. Demak, kasrning teskari qismini topish uchun kasrni ag‘darish kifoya. Ya'ni, hisoblagich va maxrajni almashtiring.

Ushbu qoidaga ko'ra, har qanday oddiy kasrning o'zaro nisbatini deyarli darhol yozishingiz mumkin. Shunday qilib, 28 57 kasr uchun o'zaro raqam 57 28 kasr, 789 256 kasr uchun esa 256 789 raqami bo'ladi.

Natural sonning teskarisi

Har qanday natural sonning teskari qismini kasrning teskari qismini topish kabi topish mumkin. A natural sonini oddiy kasr a 1 ko'rinishida ifodalash kifoya. Keyin uning teskari soni 1 a soni bo'ladi. 3 natural soni uchun uning o'zaro nisbati 1 3 kasr, 666 soni uchun o'zaro 1 666 va hokazo.

Biriga alohida e'tibor berilishi kerak, chunki bu o'zaro o'zaro teng bo'lgan yagona raqam.

Ikkala komponent teng bo'lgan boshqa o'zaro raqamlar juftlari yo'q.

Aralash sonning teskarisi

Aralash raqam a b c ga o'xshaydi. Uning teskari sonini topish uchun aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatish kerak, so'ngra hosil bo'lgan kasr uchun teskari sonni tanlash kerak.

Masalan, 7 2 5 ning o'zaro sonini topamiz. Birinchidan, 7 2 5 ni noto'g'ri kasr sifatida tasavvur qilaylik: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Noto'g'ri kasr 37 5 uchun o'zaro 5 37 ga teng.

O'nli kasrning o'zaro

O'nli kasr kasr sifatida ham ifodalanishi mumkin. O'nli sonning o'zaro nisbatini topish o'nli kasrni kasr sifatida ifodalash va uning o'zaro sonini topishga to'g'ri keladi.

Masalan, 5, 128 kasr mavjud. Uning teskari sonini topamiz. Birinchidan, o'nli kasrni oddiy kasrga aylantiring: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Olingan kasr uchun o'zaro raqam 125 641 kasr bo'ladi.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol. O'nli kasrning o'zaro nisbatini topish

Davriy o‘nli kasr 2, (18) uchun o‘zaro sonni topamiz.

O'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Tarjimadan so'ng biz 24 11 kasr uchun o'zaro raqamni osongina yozishimiz mumkin. Bu raqam 11 24 bo'lishi aniq.

Cheksiz va davriy bo'lmagan o'nli kasr uchun o'zaro son kasr sifatida yoziladi, birligi hisobda, kasrning o'zi esa maxrajda. Masalan, cheksiz kasr 3 uchun, 6025635789. . . o'zaro raqam 1 3, 6025635789 bo'ladi. . . .

Xuddi shunday, davriy bo'lmagan cheksiz kasrlarga mos keladigan irratsional sonlar uchun o'zaro sonlar kasrli ifodalar shaklida yoziladi.

Masalan, p + 3 3 80 uchun o'zaro 80 p + 3 3, 8 + e 2 + e soni uchun esa o'zaro 1 8 + e 2 + e kasr bo'ladi.

Ildizli o'zaro raqamlar

Agar ikkita sonning turi a va 1 a dan farq qiladigan bo'lsa, u holda raqamlar o'zaro yoki yo'qligini aniqlash har doim ham oson emas. Bu, ayniqsa, yozuvida ildiz belgisi bo'lgan raqamlar uchun to'g'ri keladi, chunki odatda maxrajdagi ildizdan qutulish odatiy holdir.

Keling, amaliyotga murojaat qilaylik.

Keling, savolga javob beraylik: 4 - 2 3 va 1 + 3 2 raqamlari o'zaro bog'liqmi?

Raqamlar o'zaro yoki yo'qligini bilish uchun ularning mahsulotini hisoblaymiz.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Mahsulot bittaga teng, ya'ni raqamlar o'zaro.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol. Ildizli o'zaro raqamlar

5 3 + 1 ning qarama-qarshiligini yozing.

Biz darhol o'zaro raqam 1 5 3 + 1 kasrga teng ekanligini yozishimiz mumkin. Biroq, yuqorida aytganimizdek, maxrajdagi ildizdan qutulish odat tusiga kiradi. Buning uchun pay va maxrajni 25 3 - 5 3 + 1 ga ko'paytiring. Biz olamiz:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Quvvatli o'zaro raqamlar

Aytaylik, a sonining qandaydir kuchiga teng son bor. Boshqacha qilib aytganda, a soni n darajasiga ko'tariladi. a n sonining teskarisi a - n sonidir. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Haqiqatan ham: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Misol. Quvvatli o'zaro raqamlar

5 - 3 + 4 uchun o'zaro raqamni topamiz.

Yuqorida yozilganlarga ko'ra, kerakli raqam 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Logarifmlar bilan o'zaro raqamlar

B ning asosiga bo'lgan sonning logarifmi uchun teskari raqam b ning a asosiga bo'lgan logarifmiga teng sondir.

log a b va log b a o'zaro teskari sonlardir.

Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Logarifmning xossalaridan log a b = 1 log b a, ya’ni log a b · log b a degani kelib chiqadi.

Misol. Logarifmlar bilan o'zaro raqamlar

Log 3 5 - 2 3 ning o'zaro nisbatini toping.

3 ning asosi 3 5 - 2 bo‘lgan logarifmning o‘zaro ko‘rinishi 3 5 - 2 ning asosi 3 ning logarifmidir.

Kompleks sonning teskarisi

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, o'zaro raqamlarning ta'rifi nafaqat uchun amal qiladi haqiqiy raqamlar, balki murakkab bo'lganlar uchun ham.

Kompleks sonlar odatda z = x + i y algebraik shaklda ifodalanadi. Berilgan sonning teskarisi kasrdir

1 x + i y . Qulaylik uchun siz ushbu ifodani hisoblagich va maxrajni x - i y ga ko'paytirish orqali qisqartirishingiz mumkin.

Misol. Kompleks sonning teskarisi

z = 4 + i kompleks son bo'lsin. Keling, uning teskarisini topamiz.

z = 4 + i ning o'zaro nisbati 1 4 + i ga teng bo'ladi.

Numerator va maxrajni 4 - i ga ko'paytiring va quyidagini oling:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Algebraik shaklga qo'shimcha ravishda, kompleks sonni trigonometrik yoki eksponensial shaklda quyidagicha ifodalash mumkin:

z = r cos ph + i sin ph

z = r e i ph

Shunga ko'ra, teskari raqam quyidagicha ko'rinadi:

1 r cos (- ph) + i sin (- ph)

Keling, bunga ishonch hosil qilaylik:

r cos ph + i sin ph 1 r cos (- ph) + i sin (- ph) = r r cos 2 ph + sin 2 ph = 1 r e i ph 1 r e i (- ph) = r r e 0 = 1

Kompleks sonlarni trigonometrik va eksponensial shaklda ifodalash misollarini ko'rib chiqamiz.

2 3 cos p 6 + i · sin p 6 uchun teskari sonni topamiz.

r = 2 3, ph = p 6 ekanligini hisobga olib, teskari sonni yozamiz.

3 2 cos - p 6 + i sin - p 6

Misol. Kompleks songa teskari sonni toping

Qaysi son 2 · e i · - 2 p 5 ning o'zaro nisbati bo'ladi.

Javob: 1 2 e i 2 p 5

O'zaro sonlar yig'indisi. Tengsizlik

Ikki o'zaro teskari sonning yig'indisi haqida bir teorema mavjud.

O'zaro sonlar yig'indisi

Ikki musbat va o'zaro sonlarning yig'indisi har doim 2 dan katta yoki teng.

Keling, teoremaning isbotini keltiramiz. Ma'lumki, har qanday musbat a va b sonlar uchun arifmetik o'rtacha geometrik o'rtachadan katta yoki unga teng bo'ladi. Bu tengsizlik sifatida yozilishi mumkin:

a + b 2 ≥ a b

Agar b soni o'rniga a ning teskarisini olsak, tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Keling, ushbu xususiyatni ko'rsatadigan amaliy misol keltiraylik.

Misol. O'zaro sonlar yig'indisini toping

Keling, 2 3 sonlarining yig'indisini va uning teskarisini hisoblaymiz.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Teoremada aytilganidek, natijada olingan son ikkitadan katta.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

O'zaro - yoki o'zaro o'zaro - raqamlar juft raqamlar bo'lib, ular ko'paytirilganda 1 ni beradi. umumiy ko'rinish o'zaro raqamlar raqamlardir. O'zaro raqamlarning xarakterli maxsus holati juftlikdir. Teskari raqamlar, aytaylik, raqamlar; .

Raqamning teskarisini qanday topish mumkin

Qoida: siz 1 (bir) ni berilgan raqamga bo'lishingiz kerak.

Misol № 1.

8 raqami berilgan, uning teskarisi 1: 8 yoki (ikkinchi variant afzalroqdir, chunki bu belgi matematik jihatdan to'g'riroq).

Oddiy kasr uchun o'zaro raqamni qidirganda, uni 1 ga bo'lish unchalik qulay emas, chunki yozib olish qiyin. Bunday holda, ishlarni boshqacha qilish juda oson: kasr oddiygina aylantirilib, hisoblagich va maxrajni almashtiradi. Agar to'g'ri kasr berilgan bo'lsa, uni aylantirgandan so'ng, hosil bo'lgan kasr noto'g'ri, ya'ni. butun bir qismini ajratib olish mumkin bo'lgan biri. Buni qilish yoki qilmaslik har bir holatda alohida hal qilinishi kerak. Shunday qilib, agar siz natijada olingan teskari kasr bilan ba'zi harakatlarni bajarishingiz kerak bo'lsa (masalan, ko'paytirish yoki bo'linish), unda siz butun qismni tanlamasligingiz kerak. Olingan fraktsiya yakuniy natija bo'lsa, ehtimol butun qismni izolyatsiya qilish maqsadga muvofiqdir.

Misol № 2.

Kasr berilgan. Unga teskari: .

Agar siz o'nlik kasrning o'zaro qismini topishingiz kerak bo'lsa, birinchi qoidadan foydalaning (1ni raqamga bo'lish). Bunday vaziyatda siz ikkita usuldan birida harakat qilishingiz mumkin. Birinchisi, 1 ni shu raqamga oddiygina ustunga bo'lish. Ikkinchisi, ayirgichdagi 1 va maxrajdagi o'nlik kasrni hosil qilish, so'ngra son va maxrajni 10, 100 yoki 1 va shuncha noldan iborat boshqa raqamga ko'paytirishdir. maxrajdagi kasr. Natijada oddiy kasr bo'ladi, bu esa natijadir. Agar kerak bo'lsa, siz uni qisqartirishingiz, undan butun qismini tanlashingiz yoki o'nlik shaklga o'tkazishingiz kerak bo'lishi mumkin.

Misol № 3.

Berilgan raqam 0,82. O'zaro raqam: . Endi kasrni kamaytiramiz va butun qismni tanlaymiz: .

Ikki raqam o'zaro yoki yo'qligini qanday tekshirish mumkin

Tekshirish printsipi o'zaro raqamlarni aniqlashga asoslangan. Ya'ni, raqamlar bir-birining o'zaro ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ularni ko'paytirish kerak. Agar natija bitta bo'lsa, unda raqamlar o'zaro teskari bo'ladi.

Misol № 4.

0,125 va 8 raqamlari berilganmi?

Imtihon. 0,125 va 8 ko'paytmasini topish kerak. Aniqlik uchun bu raqamlarni oddiy kasrlar ko'rinishida keltiramiz: (1-kasrni 125 ga kamaytiramiz). Xulosa: 0,125 va 8 raqamlari o'zaro.

O'zaro sonlarning xossalari

Mulk № 1

0 dan tashqari har qanday raqam uchun o'zaro bog'liqlik mavjud.

Ushbu cheklov siz 0 ga bo'linmasligingiz bilan bog'liq va o'zaro raqamni nol uchun aniqlashda uni maxrajga o'tkazish kerak bo'ladi, ya'ni. aslida unga bo'linadi.

Mulk № 2

Bir juft o'zaro sonlarning yig'indisi har doim 2 dan kam emas.

Matematik jihatdan bu xossa tengsizlik bilan ifodalanishi mumkin: .

Mulk № 3

Raqamni ikkita o'zaro songa ko'paytirish bittaga ko'paytirishga teng. Bu xususiyatni matematik tarzda ifodalaylik: .

Misol № 5.

Ifodaning qiymatini toping: 3,4·0,125·8. 0,125 va 8 raqamlari o'zaro bo'lganligi sababli (4-misolga qarang), 3,4 ni 0,125 ga, keyin esa 8 ga ko'paytirishning hojati yo'q. Shunday qilib, bu erda javob 3,4 bo'ladi.