Onlaynda kasrni kasr soniga qanday o'zgartirish mumkin. Onlayn kalkulyator o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish

O'nli kasr ikki qismdan iborat bo'lib, vergul bilan ajratiladi. Birinchi qism butun birlik, ikkinchi qism oʻnlik (agar oʻnli kasrdan keyin bitta raqam boʻlsa), yuzlik (oʻnli kasrdan keyin ikkita raqam, yuzlik kasrda ikkita nol kabi), minglik va hokazo. O'nli kasrlarga misollarni ko'rib chiqamiz: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. Bularning barchasi o'nli kasrlardir. O'nli kasrni oddiy kasrga qanday o'tkazish mumkin?

Bir misol

Bizda kasr bor, masalan, 0,5. Yuqorida aytib o'tilganidek, u ikki qismdan iborat. Birinchi raqam, 0, kasrning nechta butun birliklari borligini ko'rsatadi. Bizning holatlarimizda ular yo'q. Ikkinchi raqam o'nlarni ko'rsatadi. Kasr hatto nol nuqta beshni o'qiydi. O'nlik son kasrga aylantirish Endi qiyin bo'lmaydi, biz 5/10 yozamiz. Agar raqamlar umumiy omilga ega ekanligini ko'rsangiz, kasrni kamaytirishingiz mumkin. Bizda bu 5 raqami bor, kasrning ikkala tomonini 5 ga bo'lib, biz - 1/2 ni olamiz.

Ikkinchi misol

Keling, ko'proq olaylik murakkab kasr- 2.25. U shunday o'qiydi: ikki nuqta ikki va yigirma besh yuzdan bir. E'tibor bering - yuzlik, chunki kasrdan keyin ikkita raqam mavjud. Endi siz uni oddiy kasrga aylantirishingiz mumkin. Biz yozamiz - 2 25/100. Butun qism 2, kasr qismi 25/100. Birinchi misolda bo'lgani kabi, bu qismni qisqartirish mumkin. 25 va 100 raqamlari uchun umumiy omil 25 raqamidir. E'tibor bering, biz har doim eng katta umumiy omilni tanlaymiz. Kasrning ikkala tomonini GCD ga bo'lsak, biz 1/4 ni oldik. Demak, 2,25 2 1/4 ga teng.

Uchinchi misol

Va materialni birlashtirish uchun 4.112 o'nlik kasrni olaylik - to'rt nuqta bir va bir yuz o'n ikki mingdan. Nima uchun mingdan bir, menimcha, aniq. Endi biz 4 112/1000 ni yozamiz. Algoritmdan foydalanib, biz 112 va 1000 raqamlarining gcd ni topamiz. Bizning holatimizda bu 6 raqami. Biz 4 14/125 ni olamiz.

Xulosa

Kasrni butun va kasr qismlarga ajratamiz.
Keling, kasrdan keyin nechta raqam borligini bilib olaylik. Agar biri o'nlik, ikkitasi yuzlik, uchtasi mingdan birlik va hokazo.
Biz kasrni oddiy shaklda yozamiz.
Kasrning soni va maxrajini kamaytiring.
Olingan kasrni yozamiz.
Biz tekshiramiz va ajratamiz yuqori qismi kasrlarni pastga. Agar bo'lsa butun qismi, olingan o'nlik kasrga qo'shing. Asl versiya ajoyib chiqdi, demak siz hamma narsani to'g'ri qildingiz.

Misollar yordamida men o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish mumkinligini ko'rsatdim. Ko'rib turganingizdek, buni qilish juda oson va oddiy.

Biz allaqachon kasrlar borligini aytdik oddiy Va kasr. Bu vaqtda biz kasrlar haqida bir oz ma'lumot oldik. Biz muntazam va noto'g'ri kasrlar borligini bilib oldik. Biz oddiy kasrlarni kamaytirish, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkinligini ham bilib oldik. Shuningdek, biz butun son va kasr qismdan tashkil topgan aralash sonlar mavjudligini bilib oldik.

Biz hali umumiy kasrlarni to'liq o'rganmadik. Ko'p nozikliklar va tafsilotlar haqida gapirish kerak, ammo bugun biz o'rganishni boshlaymiz kasr kasrlar, chunki oddiy va o'nli kasrlar ko'pincha birlashtirilishi kerak. Ya'ni, masalalarni yechishda har ikkala turdagi kasrlardan ham foydalanish kerak.

Bu dars murakkab va chalkash tuyulishi mumkin. Bu juda normal holat. Bunday darslar ularni o'rganishni talab qiladi va yuzaki o'rganilmaydi.

Dars mazmuni

Miqdorlarni kasr shaklida ifodalash

Ba'zan biror narsani kasr shaklida ko'rsatish qulay. Misol uchun, dekimetrning o'ndan bir qismi quyidagicha yoziladi:

Bu ifoda bir dekimetr o'n qismga bo'linganligini va shu o'n qismdan bir qism olinganligini anglatadi:

Rasmda ko'rib turganingizdek, dekimetrning o'ndan bir qismi bir santimetrga teng.

Quyidagi misolni ko'rib chiqing. 6 sm va yana 3 mm santimetrni kasr shaklida ko'rsating.

Shunday qilib, siz 6 sm va 3 mm ni santimetrda ifodalashingiz kerak, lekin kasr shaklida. Bizda allaqachon 6 santimetr bor:

lekin hali ham 3 millimetr qoldi. Bu 3 millimetrni va santimetrda qanday ko'rsatish mumkin? Fraksiyalar yordamga keladi. 3 millimetr - santimetrning uchinchi qismi. Va santimetrning uchinchi qismi sm sifatida yoziladi

Kasr bir santimetr o'nga bo'linganligini anglatadi teng qismlar, va bu o'n qismdan ular uchta qismni oldilar (o'ndan uchtasi).

Natijada, bizda olti butun santimetr va santimetrning o'ndan uch qismi bor:

Bunday holda, 6 butun santimetr sonini, kasr esa kasr santimetr sonini ko'rsatadi. Bu kasr shunday o'qiladi "olti nuqta uch santimetr".

Mahrajida 10, 100, 1000 raqamlari bo‘lgan kasrlarni maxrajsiz yozish mumkin. Avval butun qismni, keyin esa kasr qismining hisobini yozing. Butun qism kasr qismining numeratoridan vergul bilan ajratiladi.

Masalan, maxrajsiz yozamiz. Buning uchun avval butun qismini yozamiz. Butun qism 6 raqamidir. Avval bu raqamni yozamiz:

Butun qism yozib olinadi. Butun qismni yozgandan so'ng darhol vergul qo'yamiz:

Va endi biz kasr qismining numeratorini yozamiz. Aralash sonda kasr qismining hisoblagichi 3 raqamidir. O'nli kasrdan keyin uchni yozamiz:

Ushbu shaklda ifodalangan har qanday raqam chaqiriladi kasr.

Shuning uchun siz o'nlik kasr yordamida 6 sm va yana 3 mm ni santimetrda ko'rsatishingiz mumkin:

6,3 sm

Bu shunday ko'rinadi:

Aslida, o'nli kasrlar oddiy kasrlar va aralash sonlar bilan bir xil. Bunday kasrlarning o'ziga xos xususiyati shundaki, ularning kasr qismining maxrajida 10, 100, 1000 yoki 10000 raqamlari mavjud.

Aralash son kabi o'nli kasr ham butun va kasr qismiga ega. Masalan, aralash sonda butun qism 6 ga, kasr qismi esa ga teng.

6.3 o'nlik kasrda butun qism 6 raqami, kasr qismi esa kasrning soni, ya'ni 3 raqamidir.

Bundan tashqari, maxrajida 10, 100, 1000 raqamlari butun qismsiz berilgan oddiy kasrlar sodir bo'ladi. Masalan, kasr butun qismsiz beriladi. Bunday kasrni o'nli kasr sifatida yozish uchun avval 0 ni yozing, keyin vergul qo'ying va kasrning sonini yozing. Maxraji bo'lmagan kasr quyidagicha yoziladi:

kabi o'qiydi "nol nuqta besh".

Aralash sonlarni o‘nli kasrlarga aylantirish

Biz aralash raqamlarni maxrajsiz yozganimizda, biz ularni o'nli kasrlarga aylantiramiz. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda siz bilishingiz kerak bo'lgan bir nechta narsa bor, biz hozir ular haqida gaplashamiz.

Butun qism yozib bo'lingandan so'ng, kasr qismining maxrajidagi nollar sonini hisoblash kerak, chunki kasr qismining nollari soni va o'nli kasrdagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soni bo'lishi kerak. bir xil. Bu nima degani? Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

Boshida

Va siz darhol kasr qismining numeratorini yozishingiz mumkin va o'nli kasr tayyor, lekin siz aniq kasr qismining maxrajidagi nol sonini hisoblashingiz kerak.

Shunday qilib, biz aralash sonning kasr qismidagi nol sonini hisoblaymiz. Kasr qismining maxraji bitta nolga ega. Bu shuni anglatadiki, o'nli kasrda o'nli kasrdan keyin bitta raqam bo'ladi va bu raqam aralash sonning kasr qismining, ya'ni 2 raqami bo'ladi.

Shunday qilib, o'nli kasrga aylantirilganda, aralash son 3,2 ga aylanadi.

Ushbu o'nli kasr quyidagicha o'qiydi:

"Uch nuqta ikki"

"O'ndan" chunki 10 raqami aralash sonning kasr qismida.

2-misol. Aralash sonni kasrga aylantiring.

Butun qismni yozing va vergul qo'ying:

Va siz darhol kasr qismining numeratorini yozib, o'nlik kasr 5.3 ni olishingiz mumkin edi, lekin qoidada aytilishicha, o'nli kasrdan keyin aralash sonning kasr qismining maxrajida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam bo'lishi kerak. Va kasr qismining maxraji ikkita nolga ega ekanligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, bizning o'nli kasrimiz kasrdan keyin bitta emas, ikkita raqamga ega bo'lishi kerak.

Bunday hollarda kasr qismining hisobini biroz o'zgartirish kerak: hisoblagichdan oldin, ya'ni 3 raqamidan oldin nol qo'shing.

Endi siz bu aralash sonni o'nlik kasrga o'tkazishingiz mumkin. Butun qismni yozing va vergul qo'ying:

Va kasr qismining numeratorini yozing:

5.03 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"Besh nuqta uch"

“Yuzlik” chunki aralash sonning kasr qismining maxrajida 100 raqami mavjud.

3-misol. Aralash sonni kasrga aylantiring.

Oldingi misollardan biz aralash sonni o‘nli kasrga muvaffaqiyatli o‘tkazish uchun kasr hisobidagi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo‘lishi kerakligini bilib oldik.

Aralash sonni o'nli kasrga o'tkazishdan oldin, uning kasr qismini biroz o'zgartirish kerak, ya'ni kasr qismining hisoblagichidagi raqamlar soni va kasr qismining maxrajidagi nollar soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilish uchun. bir xil.

Avvalo, kasr qismining maxrajidagi nollar soniga qaraymiz. Biz uchta nol borligini ko'ramiz:

Bizning vazifamiz kasr qismining numeratorida uchta raqamni tashkil qilishdir. Bizda allaqachon bitta raqam bor - bu raqam 2. Yana ikkita raqamni qo'shish qoladi. Ular ikkita nolga teng bo'ladi. Ularni 2 raqamidan oldin qo'shing. Natijada, maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil bo'ladi:

Endi siz bu aralash sonni o'nlik kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin. Avval biz butun qismni yozamiz va vergul qo'yamiz:

va kasr qismining hisobini darhol yozing

3,002

Ko'ramiz, o'nli kasrdan keyingi raqamlar soni va aralash sonning kasr qismining maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi.

3.002 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"Uch nuqta ikki mingdan bir"

"Minginchi", chunki aralash sonning kasr qismining maxraji 1000 raqamini o'z ichiga oladi.

Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Maxrajlari 10, 100, 1000 yoki 10000 boʻlgan oddiy kasrlarni ham oʻnli kasrlarga aylantirish mumkin. Oddiy kasr butun songa ega bo'lmagani uchun avval 0 ni yozing, so'ngra vergul qo'ying va kasr qismining sonini yozing.

Bu erda ham maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil bo'lishi kerak. Shuning uchun ehtiyot bo'lishingiz kerak.

1-misol.

Butun qism yo'q, shuning uchun avval biz 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi biz maxrajdagi nollar soniga qaraymiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Va hisoblagich bitta raqamga ega. Bu kasrli kasrdan keyin 5 raqamini yozib, o'nli kasrni xavfsiz davom ettirishingiz mumkinligini anglatadi

Olingan 0,5 o'nli kasrda kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

O'nlik kasr 0,5 quyidagicha o'qiladi:

"Nol nuqta besh"

2-misol. Kasrni kasrga aylantiring.

Butun bir qismi etishmayapti. Avval 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi biz maxrajdagi nollar soniga qaraymiz. Biz ikkita nol borligini ko'ramiz. Va hisoblagich faqat bitta raqamga ega. Raqamlar soni va nol sonini bir xil qilish uchun 2 raqamidan oldin hisoblagichga bitta nol qo'shing. Keyin kasr shaklni oladi. Endi maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil. Shunday qilib, o'nlik kasrni davom ettirishingiz mumkin:

Olingan o'nlik kasr 0,02da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

O'nlik kasr 0,02 quyidagicha o'qiladi:

"Nol nuqta ikki."

3-misol. Kasrni kasrga aylantiring.

0 yozing va vergul qo'ying:

Endi kasrning maxrajidagi nol sonini hisoblaymiz. Biz beshta nol borligini ko'ramiz va hisoblagichda faqat bitta raqam mavjud. Maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar sonini bir xil qilish uchun 5 raqamidan oldin hisoblagichga to'rtta nol qo'shishingiz kerak:

Endi maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil. Shunday qilib, biz o'nlik kasr bilan davom etishimiz mumkin. Kasrning sonini kasrdan keyin yozing

Hosil bo‘lgan 0,00005 o‘nli kasrda kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo‘ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

0,00005 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"Nol nuqta besh yuz mingdan bir".

Noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish

Noto'g'ri kasr - bu aylanmasi maxrajdan katta bo'lgan kasr. Noto'g'ri kasrlar mavjud bo'lib, unda maxrajda 10, 100, 1000 yoki 10000 raqamlari mavjud. Bunday kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish mumkin. Ammo o'nli kasrga aylantirishdan oldin, bunday kasrlarni butun qismga ajratish kerak.

1-misol.

Kasr noto'g'ri kasrdir. Bunday kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun avval uning butun qismini tanlash kerak. Noto'g'ri fraktsiyalarning butun qismini qanday ajratish kerakligini eslaylik. Agar unutgan bo'lsangiz, unga qaytib, o'rganishingizni maslahat beramiz.

Shunday qilib, keling, butun qismni noto'g'ri kasrda ajratib ko'rsatamiz. Eslatib o'tamiz, kasr bo'linish degan ma'noni anglatadi Ushbu holatda 112 raqamini 10 raqamiga bo'lish

Keling, ushbu rasmni ko'rib chiqaylik va bolalar qurilish to'plami kabi yangi aralash raqamni yig'amiz. 11 soni butun qism, 2 soni kasr qismining soni, 10 soni esa kasr qismining maxraji bo'ladi.

Biz aralash raqamni oldik. Keling, uni o'nli kasrga aylantiramiz. Va biz bunday raqamlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni allaqachon bilamiz. Birinchidan, butun qismini yozing va vergul qo'ying:

Endi kasr qismining maxrajidagi nol sonini hisoblaymiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Kasr qismining numeratori esa bitta raqamga ega. Demak, kasr qismining maxrajidagi nollar soni va kasr qismining numeratoridagi raqamlar soni bir xil bo'ladi. Bu bizga kasr qismining hisobini kasrdan keyin darhol yozish imkoniyatini beradi:

Olingan o'nlik kasr 11.2da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

Demak, o'nli kasrga aylantirilganda noto'g'ri kasr 11,2 ga aylanadi.

11.2 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"O'n bir nuqta ikkinchi."

2-misol. Noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Bu noto'g'ri kasr, chunki hisoblagich maxrajdan katta. Ammo uni o'nlik kasrga aylantirish mumkin, chunki maxrajda 100 raqami mavjud.

Avvalo, bu kasrning butun qismini tanlaymiz. Buning uchun burchak bilan 450 ga 100 ni bo'ling:

Keling, yangi aralash raqamni to'playmiz - biz olamiz. Va biz aralash raqamlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni allaqachon bilamiz.

Butun qismni yozing va vergul qo'ying:

Endi kasr qismining maxrajidagi nollar sonini va kasr qismining numeratoridagi raqamlar sonini hisoblaymiz. Biz maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil ekanligini ko'ramiz. Bu bizga kasr qismining hisobini kasrdan keyin darhol yozish imkoniyatini beradi:

Olingan o'nlik kasr 4.50da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

Demak, o'nli kasrga aylantirilganda noto'g'ri kasr 4,50 ga aylanadi.

Masalalarni yechishda o'nli kasr oxirida nollar bo'lsa, ularni tashlab yuborish mumkin. Keling, javobimizda nolni ham tushiraylik. Keyin biz 4,5 ni olamiz

Bu biri qiziqarli xususiyatlar o'nli kasrlar. Bu kasr oxirida paydo bo'ladigan nollar bu kasrga hech qanday og'irlik bermasligidadir. Boshqacha aytganda, 4,50 va 4,5 o'nli kasrlar tengdir. Ularning orasiga teng belgi qo'yaylik:

4,50 = 4,5

Savol tug'iladi: nima uchun bu sodir bo'ladi? Axir u 4,50 va 4,5 ga o'xshaydi turli fraktsiyalar. Butun sir biz ilgari o'rgangan kasrlarning asosiy xususiyatida yotadi. Nima uchun 4,50 va 4,5 o'nli kasrlar teng ekanligini isbotlashga harakat qilamiz, ammo keyingi mavzuni o'rganib chiqqandan so'ng, bu "o'nli kasrni aralash songa aylantirish" deb ataladi.

O'nli kasrni aralash songa aylantirish

Har qanday o'nli kasrni aralash raqamga qaytarish mumkin. Buning uchun o'nli kasrlarni o'qiy olish kifoya. Masalan, 6,3 ni aralash songa aylantiramiz. 6.3 - olti ball uch. Avval oltita butun sonni yozamiz:

va o'ndan uchdan keyin:

2-misol. 3.002 kasrini aralash songa aylantiring

3.002 - uchta butun va ikki mingdan bir. Avval uchta butun sonni yozamiz

va uning yonida biz ikki mingdan bir qismini yozamiz:

3-misol. O'nlik 4,50ni aralash songa aylantiring

4.50 - to'rt ball ellik. To'rtta butun sonni yozing

va keyingi ellik yuzdan bir qismi:

Aytgancha, oldingi mavzudagi oxirgi misolni eslaylik. 4.50 va 4.5 oʻnli kasrlar teng ekanligini aytdik. Biz nolni tashlab yuborish mumkinligini ham aytdik. Keling, 4,50 va 4,5 o'nli kasrlar teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun ikkala o'nli kasrni aralash sonlarga aylantiramiz.

Aralash songa aylantirilganda kasr 4,50 ga, kasr esa 4,5 ga aylanadi.

Bizda ikkita aralash raqam bor va . Keling, bu aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:

Endi bizda ikkita kasr bor va . Kasrning asosiy xossasini eslash vaqti keldi, ya'ni kasrning hisob va maxrajini bir xil songa ko'paytirish (yoki bo'lish) paytida kasrning qiymati o'zgarmaydi.

Birinchi kasrni 10 ga ajratamiz

Bizga ega bo'ldik va bu ikkinchi kasr. Bu shuni anglatadiki, ikkalasi ham bir-biriga teng va bir xil qiymatga teng:

Kalkulyatordan foydalanib, avval 450 ni 100 ga, keyin esa 45 ni 10 ga bo‘lishga harakat qilib ko‘ring. Bu kulgili bo‘ladi.

O'nli kasrni kasrga aylantirish

Har qanday kasr kasrni kasrga aylantirish mumkin. Buning uchun yana o'nli kasrlarni o'qiy olish kifoya. Masalan, 0,3 ni oddiy kasrga aylantiramiz. 0,3 nol nuqta uch. Avval nol butun sonlarni yozamiz:

va o'ndan uch 0 yonida. Nol an'anaviy tarzda yozilmaydi, shuning uchun yakuniy javob 0 emas, balki oddiygina bo'ladi.

2-misol. 0,02 o'nlik kasrni kasrga aylantiring.

0,02 - nol nuqta ikki. Biz nolni yozmaymiz, shuning uchun biz darhol ikki yuzdan bir qismini yozamiz

3-misol. 0,00005 ni kasrga aylantiring

0.00005 - nol besh nuqta. Biz nolni yozmaymiz, shuning uchun darhol besh yuz mingdan bir qismini yozamiz

Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi VKontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang

Kasr butun songa yoki kasrga aylantirilishi mumkin. Numeratori maxrajdan katta va unga qoldiqsiz bo'linadigan noo'rin kasr butun songa aylantiriladi, masalan: 20/5. 20 ni 5 ga bo'ling va 4 raqamini oling. Agar kasr to'g'ri bo'lsa, ya'ni hisoblagich maxrajdan kichik bo'lsa, uni songa (o'nlik kasr) aylantiring. Kasrlar haqida ko'proq ma'lumotni bizning bo'limdan olishingiz mumkin -.

Kasrni songa aylantirish usullari

Kasrni songa aylantirishning birinchi usuli o'nli kasr bo'lgan raqamga aylantirilishi mumkin bo'lgan kasr uchun mos keladi. Birinchidan, berilgan kasrni o'nli kasrga aylantirish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlaymiz. Buning uchun maxrajga (chiziq ostidagi yoki qiyalik chizig'ining o'ng tomonida joylashgan raqam) e'tibor beramiz. Agar maxrajni faktorlarga ajratish mumkin bo'lsa (bizning misolimizda - 2 va 5), uni takrorlash mumkin bo'lsa, unda bu kasr aslida yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin. Masalan: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Bu oddiy kasr chekli sonli kasrli songa (o'nlik kasr) aylantiriladi. Lekin 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) kasr cheksiz sonli kasrli songa aylantiriladi. Ya'ni, raqamli qiymatni aniq hisoblashda, oxirgi kasrni aniqlash juda qiyin, chunki bunday belgilarning cheksiz soni mavjud. Shuning uchun muammolarni hal qilish odatda qiymatni yuzdan yoki mingdan biriga yaxlitlashni talab qiladi. Keyinchalik, ayirmachini ham, maxrajni ham shunday raqamga ko'paytirishingiz kerak, shunda maxraj 10, 100, 1000 va hokazo raqamlarni hosil qiladi. Masalan: 11/40 =(11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
Kasrni raqamga aylantirishning ikkinchi usuli oddiyroq: hisoblagichni maxrajga bo'lish kerak. Ushbu usulni qo'llash uchun biz shunchaki bo'linishni bajaramiz va natijada olingan raqam kerakli o'nli kasr bo'ladi. Misol uchun, 2/15 kasrni raqamga aylantirishingiz kerak. 2 ni 15 ga bo'ling. Biz 0,1333 ni olamiz ... - cheksiz kasr. Biz buni quyidagicha yozamiz: 0,13(3). Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, ya'ni hisoblagich maxrajdan katta bo'lsa (masalan, 345/100), uni raqamga aylantirish butun songa olib keladi. raqamli qiymat yoki butun kasr qismi bo'lgan o'nli kasr. Bizning misolimizda u 3,45 bo'ladi. 3 2 / 7 kabi aralash kasrni raqamga aylantirish uchun avval uni noto'g'ri kasrga aylantirishingiz kerak: (3∙7+2)/7 = 23/7. Keyin 23 ni 7 ga bo'ling va 3,2857143 raqamini oling, biz uni 3,29 ga kamaytiramiz.

Kasrni raqamga aylantirishning eng oson usuli kalkulyator yoki boshqa hisoblash moslamasidan foydalanishdir. Avval biz kasrning numeratorini ko'rsatamiz, keyin "bo'lish" belgisi bilan tugmani bosing va maxrajni kiriting. "=" tugmachasini bosgandan so'ng biz kerakli raqamni olamiz.

Agar 497 ni 4 ga bo'lish kerak bo'lsa, u holda bo'lishda biz 497 ni 4 ga teng bo'linmasligini ko'ramiz, ya'ni. bo'linishning qolgan qismi qoladi. Bunday hollarda u tugallangan deb aytiladi qoldiq bilan bo'linish, va yechim quyidagicha yoziladi:
497: 4 = 124 (1 qoldiq).

Tenglikning chap tomonidagi bo'linish komponentlari qoldiqsiz bo'lishdagi kabi deyiladi: 497 - dividend, 4 - ajratuvchi. Qoldiqqa bo'linganda bo'linish natijasi deyiladi to'liq bo'lmagan shaxsiy. Bizning holatda, bu 124 raqami. Va nihoyat, oddiy bo'linishda bo'lmagan oxirgi komponent. qolgan. Qoldiq bo'lmagan hollarda bir raqam boshqasiga bo'linadi izsiz yoki butunlay. Bunday bo'linish bilan qoldiq nolga teng deb ishoniladi. Bizning holatimizda qolgan 1 ga teng.

Qolganlari har doim bo'luvchidan kichik.

Bo'linishni ko'paytirish orqali tekshirish mumkin. Agar, masalan, 64: 32 = 2 tenglik bo'lsa, tekshirish quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: 64 = 32 * 2.

Ko'pincha qoldiq bilan bo'linish amalga oshirilgan hollarda, tenglikdan foydalanish qulay
a = b * n + r,
Bu erda a - dividend, b - bo'linuvchi, n - to'liq bo'lmagan qism, r - qoldiq.

Natural sonlar qismi kasr sifatida yozilishi mumkin.

Kasrning soni dividend, maxraji esa bo'luvchidir.

Kasrning soni dividend va maxraji bo'luvchi bo'lgani uchun, kasr chizig'i bo'linish ishini anglatadi, deb ishonamiz. Ba'zan ":" belgisini ishlatmasdan bo'linishni kasr shaklida yozish qulay.

m va n natural sonlarning bo‘linish qismi kasr shaklida yozilishi mumkin \(\frac(m)(n)\), bunda m soni dividend, maxraji esa bo‘luvchi hisoblanadi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Quyidagi qoidalar to'g'ri:

\(\frac(m)(n)\) kasrni olish uchun birlikni n ta teng qismga (ulushlarga) bo'lish va m shunday qismni olish kerak.

\(\frac(m)(n)\) kasrni olish uchun m sonini n soniga bo'lish kerak.

Butunning bir qismini topish uchun butunga mos keladigan sonni maxrajga bo'lish va natijani ushbu qismni ifodalovchi kasrning soniga ko'paytirish kerak.

Uning qismidan butunni topish uchun siz ushbu qismga mos keladigan sonni hisoblagichga bo'lishingiz va natijani ushbu qismni ifodalovchi kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak.

Agar kasrning soni ham, maxraji ham bir xil songa ko'paytirilsa (noldan tashqari), kasrning qiymati o'zgarmaydi:
\(\katta \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Agar kasrning soni ham, maxraji ham bir xil songa bo'linsa (noldan tashqari), kasrning qiymati o'zgarmaydi:
\(\katta \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Bu xususiyat deyiladi kasrning asosiy xossasi.

Oxirgi ikkita transformatsiya deyiladi kasrni kamaytirish.

Agar kasrlarni bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar sifatida ko'rsatish kerak bo'lsa, unda bu harakat deyiladi kasrlarni kamaytirish umumiy maxraj .

To'g'ri va noto'g'ri kasrlar. Aralash raqamlar

Bir butunni teng qismlarga bo'lish va bir nechta shunday qismlarni olish orqali kasrni olish mumkinligini allaqachon bilasiz. Masalan, \(\frac(3)(4)\) kasr birning to'rtdan uch qismini bildiradi. Oldingi paragrafdagi ko'pgina masalalarda kasrlar butunning qismlarini ifodalash uchun ishlatilgan. Sog'lom fikr qism har doim butundan kichik bo'lishi kerakligini ta'kidlaydi, lekin \(\frac(5)(5)\) yoki \(\frac(8)(5)\) kabi kasrlar haqida nima deyish mumkin? Bu endi birlikning bir qismi emasligi aniq. Numeratori maxrajdan katta yoki teng bo'lgan kasrlar shuning uchun ham deyiladi noto'g'ri fraktsiyalar. Qolgan kasrlar, ya'ni hisoblagichi maxrajdan kichik bo'lgan kasrlar deyiladi. to'g'ri kasrlar.

Ma’lumki, to‘g‘ri va noto‘g‘ri har qanday oddiy kasrni payni maxrajga bo‘lish natijasi deb hisoblash mumkin. Shuning uchun, matematikada, oddiy tildan farqli o'laroq, "noto'g'ri kasr" atamasi biz noto'g'ri ish qilganimizni anglatmaydi, faqat bu kasrning hisoblagichi maxrajdan katta yoki teng ekanligini anglatadi.

Agar son butun qism va kasrdan iborat bo'lsa, unda shunday kasrlar aralash deyiladi.

Masalan:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 butun son qism, \(\frac(2)(3) \) esa kasr qism.

Agar \(\frac(a)(b)\) kasrning soni n natural soniga bo'linadigan bo'lsa, bu kasrni n ga bo'lish uchun uning payini shu songa bo'lish kerak:
\(\katta \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Agar \(\frac(a)(b)\) kasrning soni n natural soniga bo'linmasa, bu kasrni n ga bo'lish uchun uning maxrajini shu songa ko'paytirish kerak:
\(\katta \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

E'tibor bering, ikkinchi qoida hisoblagich n ga bo'linganda ham to'g'ri bo'ladi. Shuning uchun kasrning numeratori n ga bo'linish yoki bo'linmasligini bir qarashda aniqlash qiyin bo'lgan hollarda foydalanishimiz mumkin.

Kasrlar bilan amallar. Kasrlarni qo'shish.

Natural sonlar kabi kasr sonlar bilan ham arifmetik amallarni bajarishingiz mumkin. Keling, avval kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqaylik. bilan kasrlarni osongina qo'shing bir xil maxrajlar. Masalan, \(\frac(2)(7)\) va \(\frac(3)(7)\) yig'indisini topamiz. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) ekanligini tushunish oson.

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.

Harflardan foydalanib, o'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish qoidasini quyidagicha yozish mumkin:
\(\katta \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Agar siz turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishingiz kerak bo'lsa, ular birinchi navbatda umumiy maxrajga qisqartirilishi kerak. Masalan:
\(\katta \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Kasrlar uchun, natural sonlar kabi, qo'shishning kommutativ va assotsiativ xossalari o'rinlidir.

Aralash kasrlarni qo'shish

\(2\frac(2)(3)\) kabi belgilar chaqiriladi aralash fraktsiyalar. Bunday holda, 2 raqami chaqiriladi butun qismi aralash kasr va \(\frac(2)(3)\) soni uning kasr qismi. \(2\frac(2)(3)\) yozuvi quyidagicha o'qiladi: "ikki va uchdan ikki".

8 raqamini 3 raqamiga bo'lishda siz ikkita javob olishingiz mumkin: \(\frac(8)(3)\) va \(2\frac(2)(3)\). Ular bir xil kasr sonni ifodalaydi, ya'ni \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Shunday qilib, noto'g'ri kasr \(\frac (8)(3)\) aralash kasr \(2\frac(2)(3)\) shaklida ifodalanadi. Bunday hollarda ular noto'g'ri kasrdan deyishadi butun qismini ta'kidladi.

Kasrlarni ayirish (kasr sonlar)

Ayirish kasr sonlar, natural sonlar kabi, qo'shish harakati asosida aniqlanadi: bir sondan boshqasini ayirish ikkinchisiga qo'shilganda birinchisini beradigan sonni topishni anglatadi. Masalan:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) beri \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish qoidasi bunday kasrlarni qo'shish qoidasiga o'xshaydi:
Bir xil maxrajli kasrlar orasidagi farqni topish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchining soni ayiriladi va maxrajni bir xil qoldirish kerak.

Harflar yordamida bu qoida quyidagicha yoziladi:
\(\ katta \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrni kasrga ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish va birinchi ko'paytmani sanoqchi, ikkinchisini esa maxraj sifatida yozish kerak.

Harflardan foydalanib, kasrlarni ko'paytirish qoidasini quyidagicha yozish mumkin:
\(\ katta \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Tuzilgan qoidadan foydalanib, siz kasrni tabiiy songa, aralash kasrga ko'paytirishingiz, shuningdek aralash kasrlarni ko'paytirishingiz mumkin. Buning uchun natural sonni maxraji 1 ga teng kasr, aralash kasrni esa noto'g'ri kasr sifatida yozish kerak.

Ko'paytirishning natijasi kasrni kamaytirish va noto'g'ri fraktsiyaning butun qismini izolyatsiya qilish orqali soddalashtirilishi kerak (agar iloji bo'lsa).

Kasrlar uchun, natural sonlar uchun bo'lgani kabi, ko'paytirishning kommutativ va kombinatsiyaviy xususiyatlari, shuningdek, ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlash xususiyati o'rinlidir.

Kasrlarning bo'linishi

Keling, \(\frac(2)(3)\) kasrni olamiz va uni “aylantiramiz”, hisoblagich va maxrajni almashtiramiz. Biz kasrni olamiz \ (\ frac (3) (2) \). Bu fraksiya deyiladi teskari kasrlar \ (\ frac (2) (3) \).

Agar biz \(\frac(3)(2)\ kasrni "teskari” qilsak, asl kasr \(\frac(2)(3)\)ni olamiz. Shuning uchun \(\frac(2)(3)\) va \(\frac(3)(2)\) kabi kasrlar deyiladi. o'zaro teskari.

Masalan, \(\frac(6)(5) \) va \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) va \(\frac (18) kasrlar )(7)\).

Harflar yordamida o'zaro kasrlarni quyidagicha yozish mumkin: \(\frac(a)(b) \) va \(\frac(b)(a) \)

Bu aniq o'zaro kasrlarning ko'paytmasi 1 ga teng. Masalan: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

O'zaro kasrlardan foydalanib, kasrlarning bo'linishini ko'paytirishga qisqartirishingiz mumkin.

Kasrni kasrga bo'lish qoidasi:
Bir kasrni boshqasiga bo'lish uchun dividendni bo'luvchining o'zaro nisbatiga ko'paytirish kerak.

Harflardan foydalanib, kasrlarni bo'lish qoidasini quyidagicha yozish mumkin:
\(\ katta \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Agar dividend yoki bo'luvchi natural son yoki bo'lsa aralash fraktsiya, keyin kasrlarni bo'lish qoidasidan foydalanish uchun uni birinchi navbatda noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatish kerak.

Hisob-kitoblarning qulayligi uchun siz oddiy kasrni o'nli kasrga va aksincha aylantirishingiz kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida ushbu maqolada gaplashamiz. Keling, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazish qoidalarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biz oddiy kasrlarni ma'lum bir ketma-ketlikka rioya qilgan holda o'nli kasrlarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, maxraji 10 ga karrali oddiy kasrlar qanday qilib o‘nli kasrlarga aylantirilishini ko‘rib chiqamiz: 10, 100, 1000 va hokazo. Bunday maxrajli kasrlar, aslida, o‘nli kasrlarning ancha murakkab yozuvidir.

Keyinchalik, 10 ga karrali emas, balki har qanday maxrajli oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda nafaqat chekli o'nli kasrlar, balki cheksiz davriy o'nli kasrlar ham olinadi.

Qani boshladik!

10, 100, 1000 va hokazo maxrajli oddiy kasrlarni tarjima qilish. o'nli kasrlarga

Avvalo, aytaylik, ba'zi kasrlar o'nlik shaklga o'tkazishdan oldin biroz tayyorgarlikni talab qiladi. Bu nima? Numeratordagi raqamdan oldin siz shunchalik ko'p nol qo'shishingiz kerak, shunda hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Masalan, 3100 kasr uchun hisoblagichdagi 3 ning chap tomoniga 0 raqami bir marta qo'shilishi kerak. 610-qism, yuqorida ko'rsatilgan qoidaga ko'ra, o'zgartirishga muhtoj emas.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, shundan so'ng biz birinchi navbatda foydalanish uchun qulay bo'lgan qoidani shakllantiramiz, lekin kasrlarni aylantirishda ko'p tajriba yo'q. Shunday qilib, hisoblagichga nollarni qo'shgandan keyin 1610000 kasr 001510000 kabi ko'rinadi.

Maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo'lgan oddiy kasrni qanday aylantirish mumkin. kasrga?

Oddiy to'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

0 ni yozing va undan keyin vergul qo'ying.
Biz nollarni qo'shgandan so'ng olingan raqamdan raqamni yozamiz.

Endi misollarga o'tamiz.

1-misol: Kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

39100 kasrni kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, biz kasrga qaraymiz va hech qanday tayyorgarlik harakatlarini bajarishning hojati yo'qligini ko'ramiz - hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga to'g'ri keladi.

Qoidaga rioya qilib, biz 0 yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,39 o'nlik kasrni olamiz.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha boshqa misolning echimini ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

105 10000000 kasrni kasr shaklida yozamiz.

Maxrajdagi nollar soni 7 ta, hisoblagich esa faqat uchta raqamdan iborat. Numeratordagi sondan oldin yana 4 ta nol qo'shamiz:

0000105 10000000

Endi biz 0 ni yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,0000105 o'nlik kasrni olamiz.

Barcha misollarda ko'rib chiqilgan kasrlar oddiy to'g'ri kasrlardir. Lekin qanday qilib noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantirasiz? Darhol aytaylik, bunday kasrlar uchun nol qo'shib tayyorgarlik ko'rishning hojati yo'q. Keling, qoida tuzamiz.

Oddiy noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

Numeratordagi raqamni yozing.
Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasr nuqtasidan foydalanamiz.

Quyida ushbu qoidadan qanday foydalanishga misol keltirilgan.

Misol 3. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

56888038009 100000 kasrni oddiy tartibsiz kasrdan o'nli kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, hisoblagichdan raqamni yozamiz:

Endi o'ng tomonda biz beshta raqamni kasr nuqtasi bilan ajratamiz (maxrajdagi nol soni beshta). Biz olamiz:

Tabiiyki, keyingi savol tug'iladi: aralash sonni o'nli kasrga qanday aylantirish kerak, agar uning kasr qismining maxraji 10, 100, 1000 va boshqalar bo'lsa. Bunday sonni o'nli kasrga aylantirish uchun siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin.

Aralash sonlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

Agar kerak bo'lsa, sonning kasr qismini tayyorlaymiz.
Biz asl raqamning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz.
Biz qo'shilgan nollar bilan birga kasr qismining numeratoridan raqamni yozamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol: Aralash sonlarni o‘nli kasrlarga aylantirish

23 17 10000 aralash sonini o'nli kasrga aylantiramiz.

Kasr qismida bizda 17 10000 ifodasi mavjud. Keling, uni tayyorlaymiz va hisoblagichning chap tomoniga yana ikkita nol qo'shamiz. Biz olamiz: 0017 10000.

Endi sonning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz: 23, . .

O'nli kasrdan keyin raqamni nol bilan birga yozing. Biz natijaga erishamiz:

23 17 10000 = 23 , 0017

Oddiy kasrlarni chekli va cheksiz davriy kasrlarga aylantirish

Albatta, siz maxraji 10, 100, 1000 va boshqalarga teng bo'lmagan o'nli va oddiy kasrlarga o'tkazishingiz mumkin.

Ko'pincha kasrni osongina yangi maxrajga qisqartirish mumkin, keyin esa ushbu maqolaning birinchi xatboshida ko'rsatilgan qoidadan foydalaning. Masalan, 25 kasrning payini va maxrajini 2 ga ko'paytirish kifoya va biz 410 kasrni olamiz, bu kasr 0,4 ga osonlik bilan aylanadi.

Biroq, kasrni o'nli kasrga aylantirishning bu usuli har doim ham qo'llanilmaydi. Quyida ko'rib chiqilgan usulni qo'llashning iloji bo'lmasa, nima qilish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Asosan yangi yo'l oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish hisobni maxrajga ustun bilan bo'lishgacha qisqartiriladi. Bu operatsiya natural sonlarni ustun bilan bo'lishga juda o'xshaydi, lekin o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Bo'lishda hisoblagich o'nli kasr sifatida ifodalanadi - vergul sonning oxirgi raqamining o'ng tomoniga qo'yiladi va nollar qo'shiladi. Olingan qismda, hisoblagichning butun qismining bo'linishi tugagach, o'nli nuqta qo'yiladi. Bu usul qanday aniq ishlashi misollarni ko'rib chiqqandan keyin aniq bo'ladi.

Misol 5. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

621 4 oddiy kasrni o'nlik shaklga o'tkazamiz.

O'nli kasrdan keyin bir necha nol qo'shib, hisoblagichdan olingan 621 raqamini o'nli kasr sifatida ko'rsatamiz. 621 = 621,00

Endi ustun yordamida 621,00 ni 4 ga ajratamiz. Bo'linishning dastlabki uchta bosqichi natural sonlarni bo'lish bilan bir xil bo'ladi va biz olamiz.

Dividendda o'nli kasrga yetib, qolgan qismi noldan farq qiladigan bo'lsa, biz kasrga kasr qo'yamiz va bo'linishni davom ettiramiz, endi dividenddagi vergulga e'tibor bermaymiz.

Natijada, 621 4 oddiy kasrni teskari aylantirish natijasi bo'lgan 155, 25 o'nli kasrni olamiz.

621 4 = 155 , 25

Materialni mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

21 800 oddiy kasrni teskari hisoblaymiz.

Buning uchun 21 000 kasrni 800 ga bo'linib, ustunga bo'ling. Butun qismning bo'linishi birinchi bosqichda tugaydi, shuning uchun darhol biz qismga kasrni qo'yamiz va nolga teng qoldiq olinmaguncha dividenddagi vergulga e'tibor bermasdan, bo'linishni davom ettiramiz.

Natijada, biz oldik: 21,800 = 0,02625.

Ammo bo'lish paytida biz hali ham 0 qoldig'ini ololmasak-chi. Bunday hollarda bo'linishni cheksiz davom ettirish mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Shunga ko'ra, qismdagi raqamlar takrorlanadi. Bu oddiy kasrning o'nlik cheksiz davriy kasrga aylantirilishini anglatadi. Keling, buni bir misol bilan tushuntirib beraylik.

7-misol. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

19 44 oddiy kasrni kasrga aylantiramiz. Buning uchun ustunga bo'linishni amalga oshiramiz.

Ko'ramiz, bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlanadi. Bunday holda, 1 va 8 raqamlari bo'lakda takrorlanadi. Bu o'nlik kasrdagi davr. Yozishda bu raqamlar qavs ichiga joylashtiriladi.

Shunday qilib, dastlabki oddiy kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylanadi.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Keling, qaytarilmas oddiy kasrni ko'raylik. U qanday shaklda bo'ladi? Qaysi oddiy kasrlar chekli o‘nli kasrlarga, qaysilari cheksiz davriy kasrlarga aylantiriladi?

Birinchidan, aytaylik, agar kasrni 10, 100, 1000... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, u holda u oxirgi o'nlik kasr shakliga ega bo'ladi. Kasr shu maxrajlardan biriga kamayishi uchun uning maxraji 10, 100, 1000 va hokazo sonlarning kamida bittasiga boʻluvchi boʻlishi kerak. Raqamlarni tub omillarga ajratish qoidalaridan raqamlarning bo'luvchisi 10, 100, 1000 va boshqalar ekanligi kelib chiqadi. tub omillarga ajratilganda faqat 2 va 5 raqamlarini o'z ichiga olishi kerak.

Keling, aytilganlarni umumlashtiramiz:

Oddiy kasrni oxirgi kasrga qisqartirish mumkin, agar uning maxraji 2 va 5 ning tub koeffitsientlariga ajratilsa.
Agar maxrajning kengayishida 2 va 5 raqamlariga qo'shimcha ravishda boshqa raqamlar mavjud bo'lsa tub sonlar, kasr cheksiz davriy o'nli kasr shakliga keltiriladi.

Keling, misol keltiraylik.

Misol 8. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Ushbu kasrlarning qaysi biri 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantiriladi. Keling, kasrni o'nli kasrga to'g'ridan-to'g'ri aylantirmasdan, bu savolga javob beraylik.

47 20 kasr, ko'rish oson bo'lganidek, pay va maxrajni 5 ga ko'paytirish orqali yangi maxraj 100 ga kamayadi.

47 20 = 235 100. Bundan xulosa qilamizki, bu kasr oxirgi o'nli kasrga aylantiriladi.

7 12 kasrning maxrajini koeffitsientga ajratganda 12 = 2 · 2 · 3 hosil bo‘ladi. Bosh koeffitsient 3 2 va 5 dan farq qilganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin cheksiz davriy kasr ko'rinishiga ega bo'ladi.

21 56 kasr, birinchi navbatda, qisqartirilishi kerak. 7 ga kamaytirilgandan so'ng biz kamaytirilmaydigan kasr 3 8 ni olamiz, uning maxraji koeffitsientlarga ajratilib, 8 = 2 · 2 · 2 ni beradi. Shuning uchun u oxirgi o'nlik kasrdir.

31 17 kasrda maxrajni faktorlarga ajratish tub son 17 ning o'zi hisoblanadi. Shunga ko'ra, bu kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrni cheksiz va davriy bo'lmagan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi

Yuqorida biz faqat chekli va cheksiz davriy kasrlar haqida gapirdik. Lekin har qanday oddiy kasrni cheksiz davriy bo'lmagan kasrga aylantirish mumkinmi?

Biz javob beramiz: yo'q!

Muhim!

Cheksiz kasrni o'nli kasrga o'tkazishda natijada chekli kasr yoki cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Bo'linishning qolgan qismi har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bo'linish teoremasiga ko'ra, qandaydir natural sonni q soniga bo'lsak, bo'linishning qolgan qismi har qanday holatda ham q-1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bo'linish tugagandan so'ng, quyidagi holatlardan biri mumkin:

Biz 0 ning qoldig'ini olamiz va bu erda bo'linish tugaydi.
Biz qoldiqni olamiz, bu keyingi bo'linishda takrorlanadi, natijada cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Kasrni kasrga o'tkazishda boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas. Yana aytaylik, cheksiz davriy kasrdagi davr uzunligi (raqamlar soni) har doim mos keladigan oddiy kasrning maxrajidagi raqamlar sonidan kichik bo'ladi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'ylab ko'rish vaqti keldi teskari jarayon o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish. Keling, uchta bosqichni o'z ichiga olgan tarjima qoidasini tuzamiz. O'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish mumkin?

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish qoidasi

Numeratorda biz asl o'nlik kasrdan raqamni yozamiz, agar mavjud bo'lsa, vergulni va chapdagi barcha nollarni tashlab qo'yamiz.
Maxrajda biz asl o'nli kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, bittadan keyin shuncha nol yozamiz.
Agar kerak bo'lsa, olingan oddiy fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollar yordamida ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol 8. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

Keling, 3.025 raqamini oddiy kasr sifatida tasavvur qilaylik.

Biz vergulni tashlab, o'nli kasrning o'zini raqamga yozamiz: 3025.
Maxrajga biz bitta, undan keyin esa uchta nol yozamiz - bu kasrdan keyin asl kasrda qancha raqam bor: 3025 1000.
Olingan kasr 3025 1000 ni 25 ga kamaytirish mumkin, natijada: 3025 1000 = 121 40.

Misol 9. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

0,0017 kasrni o'nlik kasrdan oddiy kasrga aylantiramiz.

Numeratorda biz chap tomonda vergul va nollarni tashlab, 0, 0017 kasrni yozamiz. Bu 17 bo'ladi.
Biz maxrajga bitta yozamiz va undan keyin to'rtta nol yozamiz: 17 10000. Bu fraktsiya kamaytirilmaydi.

Agar o'nli kasrda butun son bo'lsa, unda bunday kasr darhol aralash songa aylantirilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Keling, yana bir qoidani tuzamiz.

O'nli kasrlarni aralash sonlarga o'tkazish qoidasi.

Kasrdagi kasrdan oldingi son aralash sonning butun qismi sifatida yoziladi.
Numeratorda biz kasrdagi kasrdan keyin raqamni yozamiz, agar mavjud bo'lsa, chapdagi nollarni tashlab qo'yamiz.
Kasr qismining maxrajiga kasr qismidagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, bitta va shuncha nol qo'shamiz.

Keling, bir misol keltiraylik

10-misol. O'nli kasrni aralash songa aylantirish

155, 06005 kasrni aralash son sifatida tasavvur qilaylik.

155 raqamini butun qism sifatida yozamiz.
Numeratorda biz noldan voz kechib, kasrdan keyin raqamlarni yozamiz.
Biz maxrajga bir va besh nol yozamiz

Keling, aralash raqamni o'rganamiz: 155 6005 100000

Kasr qismini 5 ga qisqartirish mumkin. Biz uni qisqartiramiz va yakuniy natijaga erishamiz:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Cheksiz davriy o'nli kasrlarni kasrga aylantirish

Davriy o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish misollarini ko‘rib chiqamiz. Boshlashdan oldin, keling, aniqlab olaylik: har qanday davriy o'nli kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin.

Eng oddiy holat - kasr davri nolga teng bo'lganda. Nol davriga ega bo'lgan davriy kasr oxirgi o'nli kasr bilan almashtiriladi va bunday kasrni teskari o'zgartirish jarayoni oxirgi o'nli kasrni teskarisiga qisqartiradi.

Misol 11. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

3, 75 (0) davriy kasrni teskari aylantiramiz.

O'ngdagi nollarni olib tashlasak, biz oxirgi o'nlik kasr 3.75 ni olamiz.

Oldingi paragraflarda muhokama qilingan algoritmdan foydalanib, ushbu kasrni oddiy kasrga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Agar kasr davri noldan farq qilsa-chi? Davriy qismni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi deb hisoblash kerak, bu esa kamayadi. Buni misol bilan tushuntiramiz:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning hadlar yig'indisi formulasi mavjud. Progressiyaning birinchi hadi b bo'lsa va maxraji q 0 ga teng bo'lsa< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Keling, ushbu formuladan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 12. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

Bizda davriy kasr 0, (8) bo'lsin va biz uni oddiy kasrga aylantirishimiz kerak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Bu erda bizda birinchi had 0, 8 va maxraj 0, 1 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya mavjud.

Keling, formulani qo'llaymiz:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Bu talab qilinadigan oddiy kasr.

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolni ko'rib chiqing.

Misol 13. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

0, 43 (18) kasrni teskari hisoblaymiz.

Avval kasrni cheksiz yig'indi sifatida yozamiz:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Keling, qavs ichidagi atamalarni ko'rib chiqaylik. Ushbu geometrik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Natijani yakuniy kasrga 0, 43 = 43 100 qo'shamiz va natijani olamiz:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Ushbu kasrlarni qo'shib, kamaytirgandan so'ng, biz yakuniy javobni olamiz:

0 , 43 (18) = 19 44

Ushbu maqolani yakunlash uchun biz davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini aytamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing