Doira tenglamasi. Tekislikdagi nuqtalarning kartezian koordinatalari. Doira tenglamasi Doira tenglamasiga misollar

Darsning maqsadi: aylana tenglamasi bilan tanishtirish, o‘quvchilarni tayyor chizma yordamida aylana tenglamasini tuzishga o‘rgatish, berilgan tenglamadan foydalanib aylana qurish.

Uskunalar: interaktiv doska.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy vaqt - 3 min.
2. Takrorlash. Aqliy faoliyatni tashkil etish – 7 min.
3. Yangi materialni tushuntirish. Doira tenglamasini chiqarish – 10 min.
4. O'rganilayotgan materialni mustahkamlash - 20 min.
5. Dars xulosasi – 5 min.

Darsning borishi

2. Takrorlash:

− (1-ilova Slayd 2) segment o‘rtasining koordinatalarini topish formulasini yozing;

− (3-slayd) Z Nuqtalar orasidagi masofa (segment uzunligi) formulasini yozing.

3. Yangi materialni tushuntirish.

(Slaydlar 4-6) Doira tenglamasini aniqlang. Markazi nuqtada bo'lgan aylana tenglamalarini chiqaring ( A;b) va kelib chiqishida markazlashtirilgan.

(X – A ) 2 + (da – b ) 2 = R 2 – markaz bilan aylana tenglamasi BILAN (A;b) , radius R , X Va da – aylanadagi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari .

X 2 + y 2 = R 2 – markazi koordinatali aylana tenglamasi.

(7-slayd)

Doira tenglamasini yaratish uchun sizga kerak bo'ladi:

• markazning koordinatalarini bilish;
• radius uzunligini bilish;
• Aylana tenglamasiga markazning koordinatalarini va radius uzunligini almashtiring.

4. Muammoni hal qilish.

1 - No 6 topshiriqlarda tayyor chizmalar yordamida aylana tenglamalarini tuzing.

(14-slayd)

№ 7. Jadvalni to'ldiring.

(15-slayd)

№ 8. Tenglamalar bilan berilgan daftaringizga doiralar tuzing:

A) ( X – 5) 2 + (da + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (da– 7) 2 = 7 2 .

(16-slayd)

№ 9. Agar markazning koordinatalarini va radius uzunligini toping AB- doira diametri.

Berilgan:		Yechim:
		R	Markaz koordinatalari
1	A(0 ; -6) IN(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) IN(0 ; 2) BILAN(0 ; – 2) – markaz
2	A(-2 ; 0) IN(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) IN (4 ;0) BILAN(1 ; 0) – markaz

(17-slayd)

№ 10. Markazi boshida boʻlgan va nuqtadan oʻtuvchi aylana tenglamasini yozing TO(-12;5).

Yechim.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Doira tenglamasi: x 2 + y 2 = 169 .

(18-slayd)

№ 11. Bosh nuqtasidan oʻtuvchi va markazida joylashgan aylana tenglamasini yozing BILAN(3; - 1).

Yechim.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Doira tenglamasi: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19-slayd)

№ 12. Markazi bo‘lgan aylana tenglamasini yozing A(3;2), o'tish IN(7;5).

Yechim.

1. Doira markazi – A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Doira tenglamasi ( X – 3) 2 + (da − 2) 2 = 25.

(20-slayd)

№ 13. Ballar yolg'on yoki yo'qligini tekshiring A(1; -1), IN(0;8), BILAN(-3; -1) tenglama bilan aniqlangan doirada X + 3) 2 + (da − 4) 2 = 25.

Yechim.

I. Nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz A(1; -1) aylana tenglamasiga:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - tenglik noto'g'ri, bu degani A(1; -1) yolg'on gapirmaydi tenglama bilan berilgan aylana bo'yicha ( X + 3) 2 + (da − 4) 2 = 25.

II. Nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz IN(0;8) aylana tenglamasiga:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)yolg'on X + 3) 2 + (da − 4) 2 = 25.

III. Nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz BILAN(-3; -1) aylana tenglamasiga:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - tenglik to'g'ri, ya'ni BILAN(-3; -1) yolg'on tenglama bilan berilgan aylana bo'yicha ( X + 3) 2 + (da − 4) 2 = 25.

Dars xulosasi.

1. Takrorlang: aylana tenglamasi, markazi koordinata boshida joylashgan doira tenglamasi.
2. (21-slayd) Uy vazifasi.

Analitik geometriya geometrik masalalarni yechishning yagona usullarini ta'minlaydi. Buning uchun barcha berilgan va qidirilayotgan nuqta va chiziqlar bitta koordinata tizimiga biriktirilgan.

Koordinatalar tizimida har bir nuqta o'z koordinatalari bilan, har bir chiziq esa ikkita noma'lum tenglama bilan tavsiflanishi mumkin, bu chiziqning grafigi. Shunday qilib, geometrik masala algebraik masalaga qisqartiriladi, bu erda barcha hisoblash usullari yaxshi ishlab chiqilgan.

Doira - bu o'ziga xos xususiyatga ega bo'lgan nuqtalarning geometrik joylashuvi (aylanadagi har bir nuqta bir nuqtadan teng masofada joylashgan, markaz deb ataladi). Doira tenglamasi bu xususiyatni aks ettirishi va bu shartni qondirishi kerak.

Doira tenglamasining geometrik talqini aylana chizig'idir.

Agar siz aylanani koordinatalar tizimiga joylashtirsangiz, u holda aylananing barcha nuqtalari bitta shartni qondiradi - ulardan aylananing markazigacha bo'lgan masofa bir xil va aylanaga teng bo'lishi kerak.

Bir nuqtada markazi bo'lgan doira A va radius R uni koordinata tekisligiga joylashtiring.

Agar markaz koordinatsa (a;b) , va aylananing istalgan nuqtasining koordinatalari (x;y) , u holda aylananing tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Agar aylana radiusining kvadrati aylananing istalgan nuqtasi va uning markazining tegishli koordinatalari orasidagi ayirmalarning kvadratlari yig’indisiga teng bo’lsa, bu tenglama tekislik koordinata sistemasidagi aylana tenglamasidir.

Agar aylananing markazi koordinataga toʻgʻri kelsa, u holda aylana radiusi kvadrati aylananing istalgan nuqtasi koordinatalari kvadratlari yigʻindisiga teng boʻladi. Bunday holda, aylana tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

Binobarin, har qanday geometrik figura nuqtalar joylashuvi sifatida uning nuqtalarining koordinatalarini bog`lovchi tenglama bilan aniqlanadi. Aksincha, koordinatalar bilan bog'liq tenglama X Va da , koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi sifatida chiziqni aniqlang.

Doira tenglamasiga oid masalalar yechishga misollar

Vazifa. Berilgan aylana uchun tenglamani yozing

Markazi O nuqtada (2;-3) va radiusi 4 bo’lgan aylana tenglamasini yozing.

Yechim.
Keling, aylana tenglamasi formulasiga murojaat qilaylik:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Keling, qiymatlarni formulaga almashtiramiz.
Doira radiusi R = 4
Doira markazining koordinatalari (shartga ko'ra)
a = 2
b = -3

Biz olamiz:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
yoki
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Vazifa. Nuqta aylana tenglamasiga tegishlimi?

Nuqta tegishli ekanligini tekshiring A(2;3) aylana tenglamasi (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .

Yechim.
Agar nuqta aylanaga tegishli bo'lsa, uning koordinatalari aylana tenglamasini qanoatlantiradi.
Koordinatalari berilgan nuqta aylanaga tegishli ekanligini tekshirish uchun nuqta koordinatalarini berilgan aylana tenglamasiga almashtiring.

tenglamada ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
Shartga ko'ra A(2;3) nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz, ya'ni
x = 2
y=3

Olingan tenglikning haqiqatini tekshiramiz
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 tenglik noto'g'ri

Shunday qilib, berilgan nuqta tegishli emas berilgan aylana tenglamasi.

Atrof- markaz deb ataladigan berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalar to'plami.

Agar C nuqta aylananing markazi, R uning radiusi, M esa aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa, u holda aylananing ta'rifi bilan.

Tenglik (1) hisoblanadi aylana tenglamasi radiusi R, markazi C nuqtada.

To'rtburchak dekart koordinatalar tizimi (104-rasm) va C( nuqta) bo'lsin. A; b) radiusi R boʻlgan aylana markazi. M( X; da) bu aylananing ixtiyoriy nuqtasidir.

beri |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), keyin (1) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

(2) tenglama deyiladi aylananing umumiy tenglamasi yoki markazi nuqtada bo'lgan R radiusli doira tenglamasi ( A; b). Masalan, tenglama

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

markazi (1; -3) nuqtada bo'lgan R = 5 radiuli aylana tenglamasi.

Agar aylananing markazi koordinatalarning boshiga to'g'ri kelsa, (2) tenglama shaklni oladi

x 2 + da 2 = R 2. (3)

(3) tenglama deyiladi aylananing kanonik tenglamasi .

Vazifa 1. Radiusi R = 7 boʻlgan, markazi koordinata boshida boʻlgan aylana tenglamasini yozing.

Radius qiymatini (3) tenglamaga to'g'ridan-to'g'ri almashtirib, biz hosil qilamiz

x 2 + da 2 = 49.

Vazifa 2. Markazi C(3; -6) nuqtada boʻlgan radiusi R = 9 boʻlgan aylana tenglamasini yozing.

C nuqtaning koordinatalari qiymatini va radius qiymatini (2) formulaga almashtirib, biz olamiz

(X - 3) 2 + (da- (-6)) 2 = 81 yoki ( X - 3) 2 + (da + 6) 2 = 81.

Vazifa 3. Doira markazi va radiusini toping

(X + 3) 2 + (da-5) 2 =100.

Bu tenglamani aylana (2) umumiy tenglamasi bilan solishtirsak, buni ko'ramiz A = -3, b= 5, R = 10. Demak, C(-3; 5), R = 10.

Vazifa 4. Tenglama ekanligini isbotlang

x 2 + da 2 + 4X - 2y - 4 = 0

aylana tenglamasidir. Uning markazi va radiusini toping.

Keling, ushbu tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz:

x 2 + 4X + 4- 4 + da 2 - 2da +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (da - 1) 2 = 9.

Bu tenglama markazi (-2; 1) da joylashgan aylana tenglamasi; Doira radiusi 3 ga teng.

Vazifa 5. Markazi C(-1; -1) nuqtada AB toʻgʻri chiziqqa teguvchi aylana tenglamasini yozing, agar A (2; -1), B(- 1; 3) boʻlsa.

AB to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozamiz:

yoki 4 X + 3y-5 = 0.

Aylana berilgan chiziqqa tegib turganligi sababli, aloqa nuqtasiga chizilgan radius bu chiziqqa perpendikulyar. Radiusni topish uchun C(-1; -1) nuqtadan - aylananing markazidan 4-to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish kerak. X + 3y-5 = 0:

Kerakli aylana tenglamasini yozamiz

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

To'rtburchaklar koordinatalar sistemasida aylana berilgan bo'lsin x 2 + da 2 = R 2. Uning ixtiyoriy M nuqtasini ko'rib chiqing ( X; da) (105-rasm).

Radius vektori bo'lsin OM> M nuqta kattalik burchak hosil qiladi t O o'qining musbat yo'nalishi bilan X, u holda M nuqtaning abssissa va ordinatasi ga qarab o'zgaradi t

(0 t x va y orqali t, topamiz

x= Rcos t ; y= R gunoh t , 0 t

(4) tenglamalar deyiladi Markazi koordinatali aylananing parametrik tenglamalari.

Vazifa 6. Doira tenglamalar bilan berilgan

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Bu doiraning kanonik tenglamasini yozing.

Bu shartdan kelib chiqadi x 2 = 3 cos 2 t, da 2 = 3 gunoh 2 t. Ushbu tengliklarni atama bo'yicha qo'shib, biz olamiz

x 2 + da 2 = 3 (kos 2 t+ gunoh 2 t)

yoki x 2 + da 2 = 3

Doira radiusga ega bo'lsin , va uning markazi nuqtada
. Nuqta
aylana ustida yotadi, agar va faqat vektorning kattaligi
teng , ya'ni. Oxirgi tenglik, agar va faqat bo'lsa, qondiriladi

(1) tenglama aylananing kerakli tenglamasidir.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi berilgan vektorga perpendikulyar

vektorga perpendikulyar
.

Nuqta

Va
perpendikulyar. Vektorlar
Va
perpendikulyar bo'ladi, agar ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, ya'ni
. Koordinatalari bilan belgilangan vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash formulasidan foydalanib, kerakli chiziq tenglamasini shaklda yozamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. O‘tgan chiziq tenglamasini toping

nuqtalarning koordinatalari mos ravishda A(1;6), B(5;4) ga teng bo'lsa, AB segmentining o'rtasi ushbu segmentga perpendikulyar.

Biz quyidagicha fikr yuritamiz. To'g'ri chiziq tenglamasini topish uchun bu chiziq o'tadigan nuqtani va bu chiziqqa perpendikulyar vektorni bilishimiz kerak. Ushbu chiziqqa perpendikulyar vektor vektor bo'ladi, chunki masalaning shartlariga ko'ra, chiziq AB segmentiga perpendikulyar. To'liq to'xtash
To'g'ri chiziq AB ning o'rtasidan o'tishi shartidan aniqlaymiz. Bizda ... bor. Shunday qilib
va tenglama shaklni oladi.

Bu chiziq M(7;3) nuqtadan o'tadimi yoki yo'qligini aniqlaymiz.

Bizda bor, ya'ni bu chiziq ko'rsatilgan nuqtadan o'tmaydi.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan vektorga parallel bo'lgan chiziq tenglamasi

Chiziq nuqtadan o'tib ketsin
vektorga parallel
.

Nuqta
bir chiziqda yotadi, agar vektorlar bo'lsa
Va
kolinear. Vektorlar
Va
agar ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, kolinear bo'ladi, ya'ni

(3)

Olingan tenglama kerakli chiziqning tenglamasidir.

(3) tenglama shaklda ifodalanadi

, Qayerda har qanday qiymatlarni qabul qiladi
.

Shuning uchun biz yozishimiz mumkin

, Qayerda
(4)

(4) tenglamalar tizimi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Nuqtalardan o‘tuvchi chiziq tenglamasini toping. Agar nuqta va unga parallel yoki perpendikulyar vektorni bilsak, chiziq tenglamasini qurishimiz mumkin. Ikki nuqta mavjud. Ammo agar ikkita nuqta bir chiziqda yotsa, ularni bog'laydigan vektor bu chiziqqa parallel bo'ladi. Shuning uchun biz vektor sifatida (3) tenglamadan foydalanamiz
vektor
. olamiz

(5)

(5) tenglama berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi deyiladi.

Chiziqning umumiy tenglamasi

Ta'rif. Tekislikdagi birinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi shakldagi tenglamadir
, Qayerda
.

Teorema. Tekislikdagi har bir chiziq birinchi tartibli chiziq tenglamasi sifatida berilishi mumkin va birinchi tartibli chiziqning har bir tenglamasi tekislikdagi qandaydir chiziqning tenglamasidir.

Bu teoremaning birinchi qismini isbotlash oson. Har qanday to'g'ri chiziqda siz ma'lum bir nuqtani belgilashingiz mumkin
vektor unga perpendikulyar
. Keyin, (2) ga ko'ra, bunday chiziqning tenglamasi shaklga ega. belgilaylik
. Keyin tenglama shaklni oladi
.

Endi teoremaning ikkinchi qismiga o'tamiz. Tenglama bo'lsin
, Qayerda
. Keling, aniqlik uchun faraz qilaylik
.

Tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:

;

Samolyotdagi nuqtani ko'rib chiqing
, Qayerda
. Keyin hosil bo'lgan tenglama , ko'rinishga ega bo'ladi va nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasidir
vektorga perpendikulyar
. Teorema isbotlangan.

Teoremani isbotlash jarayonida biz bir vaqtning o'zida isbotladik

Bayonot. Shaklning to'g'ri chiziqli tenglamasi mavjud bo'lsa
, keyin vektor
bu chiziqqa perpendikulyar.

Shakl tenglamasi
tekislikdagi chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.

To'g'ri chiziq bo'lsin
va davr
. Belgilangan nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash talab qilinadi.

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing
to'g'ri chiziqda. Bizda ... bor
. Masofa nuqtadan
to'g'ri chiziqqa vektor proyeksiyasining moduliga teng
vektorga
, bu chiziqqa perpendikulyar. Bizda ... bor

,

aylantirish formulani olamiz:

Umumiy tenglamalar bilan aniqlangan ikkita chiziq berilsin

,
. Keyin vektorlar

mos ravishda birinchi va ikkinchi chiziqlarga perpendikulyar. Burchak
to'g'ri chiziqlar orasidagi vektorlar orasidagi burchakka teng
,
.

Keyin to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash formulasi quyidagi shaklga ega:

.

Chiziqlarning perpendikulyarligi sharti quyidagi shaklga ega:

.

Chiziqlar parallel yoki bir-biriga to'g'ri kelsa, faqat vektorlar

kolinear. Xuddi o'sha payt chiziqlarning mos kelishi sharti shaklga ega:
,

va hech qanday kesishish sharti quyidagicha yoziladi:
. Oxirgi ikkita shartni o'zingiz isbotlang.

Keling, to'g'ri chiziqning harakatini uning umumiy tenglamasidan foydalanib o'rganamiz.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan bo'lsin
. Agar
, keyin toʻgʻri chiziq koordinatadan oʻtadi.

Koeffitsientlarning hech biri nolga teng bo'lmagan holatni ko'rib chiqing
. Tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:

,

,

Qayerda
. Keling, parametrlarning ma'nosini bilib olaylik
. To'g'ri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. At
bizda ... bor
, va qachon
bizda ... bor
. Ya'ni
- bular koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlardir. Shuning uchun tenglama
segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi.

Bo'lgan holatda
bizda ... bor

. Bo'lgan holatda
bizda ... bor
. Ya'ni, to'g'ri chiziq o'qga parallel bo'ladi .

Shuni eslatib o'tamiz to'g'ri chiziqning qiyaligi bu to'g'ri chiziqning o'qga og'ish burchagi tangensi deyiladi
. To'g'ri chiziq o'qda kesilsin segment va qiyalikka ega . Nuqtaga ruxsat bering
bunga yotadi

Keyin
==. To'g'ri chiziq tenglamasi esa shaklda yoziladi

.

Chiziq nuqtadan o'tib ketsin
va qiyalikka ega . Nuqtaga ruxsat bering
bu chiziqda yotadi.

Keyin =
.

Hosil boʻlgan tenglama qiyalik bilan berilgan nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi deyiladi.

Ikki qator berilsin
,
. belgilaylik
- ular orasidagi burchak. Mayli ,mos keladigan to'g'ri chiziqlarning X o'qiga moyillik burchaklari

Keyin
=
,
.

Keyin parallel chiziqlar uchun shart shaklga ega
, va perpendikulyarlik sharti

Xulosa qilib aytganda, biz ikkita muammoni ko'rib chiqamiz.

Vazifa . ABC uchburchakning uchlari koordinatalariga ega: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Toping: a) tenglama va A cho'qqidan chiqarilgan mediana uzunligi;

b) A cho'qqidan chizilgan balandlik tenglamasi va uzunligi;

v) A cho'qqidan chizilgan bissektrisa tenglamasi;

AM medianasining tenglamasini aniqlaymiz.

M() nuqtasi BC segmentining o'rtasidir.

Keyin , . Shuning uchun M nuqta M(15;17) koordinatalariga ega. Analitik geometriya tilidagi median tenglama deganda =(11;15) vektorga parallel boʻlgan A(4;2) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi aytiladi. Keyin mediana tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: Median uzunligi AM= .

AS balandlik tenglamasi =(10;4) vektorga perpendikulyar A(4;2) nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasidir. U holda balandlik tenglamasi 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0 ko'rinishga ega bo'ladi.

Balandlikning uzunligi - A(4;2) nuqtadan BC to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa. Bu chiziq =(10;4) vektorga parallel ravishda B(10;10) nuqtadan o'tadi. Uning tenglamasi , 2x-5y+30=0. A(4;2) nuqtadan BC to'g'ri chiziqgacha bo'lgan AS masofasi shuning uchun AS= ga teng .

Bissektrisa tenglamasini aniqlash uchun shu chiziqqa parallel vektor topamiz. Buning uchun biz romb diagonalining xossasidan foydalanamiz. Agar A nuqtadan vektorlar bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lgan birlik vektorlarni chizamiz, u holda ularning yig'indisiga teng vektor bissektrisaga parallel bo'ladi. Keyin bizda =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Keyin = Berilganiga kollinear = (1;1) vektor kerakli to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lib xizmat qilishi mumkin. Keyin kerakli chiziq tenglamasi x-y-2=0 ko'rinadi.

Vazifa. Daryo toʻgʻri chiziq boʻylab A(4;3) va B(20;11) nuqtalardan oʻtadi. Qizil qalpoqcha C(4;8) nuqtada, buvisi esa D(13;20) nuqtada yashaydi. Qizil qalpoqcha har kuni ertalab uydan bo'sh chelak olib, daryoga borib, suv tortib, buvisiga olib boradi. Qizil qalpoqcha uchun eng qisqa marshrutni toping.

Daryoga nisbatan buviga simmetrik bo'lgan E nuqtasini topamiz.

Buning uchun avvalo daryo bo'ylab oqadigan to'g'ri chiziq tenglamasini topamiz. Bu tenglamani vektorga parallel ravishda A(4;3) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi sifatida qarash mumkin. U holda AB to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi.

Keyinchalik, AB ga perpendikulyar D nuqtadan o'tuvchi DE chiziq tenglamasini topamiz. Bu vektorga perpendikulyar D nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi sifatida qaralishi mumkin
. Bizda ... bor

Endi S nuqtani - D nuqtaning AB to'g'riga proyeksiyasini AB va DE to'g'ri chiziqning kesishmasi sifatida topamiz. Bizda tenglamalar tizimi mavjud

.

Shuning uchun S nuqta S(18;10) koordinatalariga ega.

S DE segmentining o'rta nuqtasi bo'lgani uchun, u holda.

Xuddi shunday.

Shuning uchun E nuqta E(23;0) koordinatalariga ega.

Ushbu chiziqning ikkita nuqtasining koordinatalarini bilib, CE to'g'ri chiziq tenglamasini topamiz

M nuqtani AB va CE to'g'ri chiziqlarning kesishishi sifatida topamiz.

Bizda tenglamalar tizimi mavjud

.

Shuning uchun M nuqta koordinatalariga ega
.

2-mavzu. Fazodagi sirt tenglamasi haqida tushuncha. Sfera tenglamasi. Berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi berilgan vektorga perpendikulyar. Umumiy tekislik tenglamasi va uni o'rganish Ikki tekislikning parallellik sharti. Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Chiziq tenglamasi haqida tushuncha. Kosmosda to'g'ri chiziq. Fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalari. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari. To'g'ri chiziq va tekislikning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

Birinchidan, fazodagi sirt tenglamasi tushunchasini aniqlaylik.

Kosmosga ruxsat bering
ba'zi sirt beriladi . Tenglama
sirt tenglamasi deb ataladi , agar ikkita shart bajarilsa:

1.har qanday nuqta uchun
koordinatalari bilan
sirt ustida yotgan, tugallangan
, ya'ni uning koordinatalari sirt tenglamasini qanoatlantiradi;

2. har qanday nuqta
, uning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi
, chiziq ustida yotadi.