1) Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство
Пусть ABC" - произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
2)
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
Отсюда следует
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорема доказана.
Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
3)
Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
4)
тупоугольный - больше 90 градусов
остроугольный - меньше 90 градусов
5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
б. Катеты и гипотенуза
6)
6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
7)
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
8) --- тоже самое, что и 7
9)
сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
10)
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
11)
1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.
Цели и задачи:
Образовательные:
Развивающие:
Воспитательные:
Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.
Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».
Тип урока : изучение нового материала.
Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.
С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?
Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.
Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:
Рисунок 1
Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?
Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.
Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).
Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:
а)
Рисунок 2
б)
Рисунок 3
в)
Рисунок 4
г)
Рисунок 5
д)
Рисунок 6
После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.
Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?
Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):
Рисунок 7
Рисунок 8
Чертежи высвечиваются на экране через проектор.
Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.
Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.
Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»
Рисунок 9
Доказательство:
а)
Рисунок 10
б)
Рисунок 11
в)
Рисунок 12
Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.
Рисунок 13
Дано: Δ АВС
Доказать: А + В + С = 180°.
Доказательство:
Что требовалось доказать.
Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .
Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .
Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .
Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .
Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)
Таблица 1
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
Прямоугольный | |||
Тупоугольный | |||
Остроугольный |
(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)
Задача 1. Найдите угол С.
Рисунок 14
Задача 2. Найдите угол F.
Рисунок 15
Задача 3. Найдите углы К и N.
Рисунок 16
Задача 4. Найдите углы P и T.
Рисунок 17
Рисунок 18
Рисунок 19
Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?
Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.
Рисунок 20
Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
Образовательные:
Развивающие:
Воспитательные:
Оборудование: ПК, мультимедийное оборудование, планшеты, листы задания с домашней работой, картонные треугольники, раздаточный материал.
Применяемые формы обучения: Фронтальная, индивидуальная работа учащихся и работа в парах. Для активизации внимания, воображения введены игровые моменты.
Структура урока:
Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. На доске тема урока и высказывание:
…Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Данте А.
Ребята, как вы думаете, о какой фигуре пойдет речь на этом уроке? Какие задачи урока?
Сформулируйте определение треугольника. (Треугольник это геометрическая фигура, образования тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)
Назовите элементы треугольника. (Углы, стороны, вершины.)
Назовите названия треугольников по сторонам. (Равносторонний, равнобедренный, разносторонний.)
Один из учащихся выбирает и показывает классу треугольники, заготовленные и лежащие на столе у учителя.
Треугольники различаются и по углам. Попробуем назвать треугольники по углам. (Другой учащийся выбирает: остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольники.)
Давайте ответим на ряд вопросов:
Может ли треугольник иметь:
К доске вызывается один ученик и выполняет следующие рисунки:
Далее идет «коллективное обсуждение». Построенные лучи не пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в первом случае равна 180°, во втором и третьем случае больше, чем 180°. В первом случае прямые параллельны, а во втором и третьем случае прямые расходятся. Делаем вывод: треугольники не могут иметь два прямых, два тупых. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы. Слайд 3.
Опять посмотрим на модели треугольников и сделаем вывод: в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два угла острых, в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два острых, в остроугольном треугольнике все углы острые. Но теоретически мы на этот вопрос ответить не можем, пока не узнаем, чему равна сумма углов треугольника.
Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. А как вы думаете, чему равна сумма углов любого треугольника? (Заслушать ответы). Давайте проверим, верны ли ваши предположения с помощью практической работы.
Практическая работа (способствует актуализации знаний и навыков самопознания). (Работа в парах.) Слайды 4-5.
У каждого из вас есть на парте по одному треугольнику разных цветов. Ребята, мы с вами измеряли углы и с помощью транспортира и находили их сумму еще в 5 классе. Сумма углов у всех получалась разная (так может получаться потому, что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).
Я предлагаю найти сумму углов треугольника двумя другими способами: возьмите треугольники, которые лежат у вас на парте. Они желтого или розового цвета. Обозначьте углы треугольника числами 1, 2, 3.
Учащиеся с желтыми треугольниками: оторвите два угла треугольника и приложите их к сторонам третьего угла так, чтобы все вершины были в одной точке. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.
Учащиеся с розовыми треугольниками: сложите углы во внутрь треугольника. Заметим, что перегибать треугольник надо по прямой параллельной к стороне, того угла который мы будем сгибать первым, а данный угол должен касаться данной стороны. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.
Чему равна градусная мера развернутого угла?
К какому выводу мы пришли?
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Выполнив практическую работу, мы установили, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.
В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.
Какую теорему нам нужно доказать?
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Слайды 6-7.
Прежде, чем доказать эту теорему решим две задачи устно они помогут нам при доказательстве теоремы:
Слайды 8-9
(Возможны три способа доказательства).
Доказательство теоремы (развивает способность анализировать, обобщать и делать логические выводы, используя ранее изученный материал).
Один учащийся доказывает теорему у доски, по ходу комментируя свои действия. Остальные учащиеся работают в тетрадях. В случае неточности, учитель проводит корректировку.
Учитель: Что нам дано?
Учащийся: Дан треугольник.
Учитель: Постройте у себя в тетрадях произвольный треугольник и обозначьте его вершины А, В и С. Что требуется доказать?
Учащийся: Что сумма углов треугольника равна 180°.
Дано: ∆ ABC Доказать: A+B+C=180° План доказательства: |
Но такой способ доказательства не единственный. Первое доказательство было дано еще Пифагором (5 в. до н.э.) В первой книге «Начала» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Слайд 10.
Ребята доказывают устно:
Доказательство: 1) Через вершину B проведем луч BD|| AC. 2) 4и 3- накрест лежащие при BD||AC и секущей BC. 3) BD|| AC и AB- секущая, то 1+ABD=180° – односторонние углы. 4) тогда 1+2+4=180° , т.к 4=3 ,то 1+2+3=180° или A+B+C=180° |
Попробуйте доказать дома эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора. (Ребятам раздается лист с чертежами всех трех доказательств на дом.) Слайд 11.
Слайды 12-14.
Теперь, пользуясь теоремой, можно обосновать, почему в треугольнике не может быть двух прямых углов, двух тупых углов, двух углов, один из которых тупой, а другой прямой.
Следствие из теоремы о сумме углов треугольника (выводится учащимися самостоятельно; это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее).
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .
Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным . Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным . Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .
Устная работа: (планшеты) Слайд 15.
Рефлексия:
Продолжите фразу:
Вопрос открыт 08.04.2017 в 12:25
Да___ Нет___
2.В равнобедренном треугольнике углы при основании тупые.
Да___ Нет___
3.При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны
соответственным углам.
Да___ Нет___
4.При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.
Да___ Нет___
5.Внешний угол треугольника равен разности двух углов треугольника, не смежных с ним.
Да___ Нет___
6.Диагонали параллелограмма равны.
Да___ Нет___
7.Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
Да___ Нет___
8.Диагонали прямоугольника делят углы прямоугольника пополам.
Да___ Нет___
9.Медиана треугольника делит стороны треугольника в отношении 2:1, считая от вершины.
Да___ Нет___
10.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Да___ Нет___
11.Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Да___ Нет___
12.Треугольник, у которого квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, прямоугольный.
Да___ Нет___
13.Четырехугольник, у которого две стороны параллельны,- трапеция.
Да___ Нет___
14.В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
Да___ Нет___
15.Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба.
Да___ Нет___
16.Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.
Да___ Нет___
17.Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
Да___ Нет___
18.Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
Да___ Нет___
19.Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Да___ Нет___
20.Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - квадрат.
Да___ Нет___
21.Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований.
Да___ Нет___
22.Точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины её оснований лежат на одной прямой.
Да___ Нет___
23.Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
Да___ Нет___
24.Средняя линия трапеции равна полуразности ее оснований.
Да___ Нет___
25.Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия.
Да___ Нет___
26.Диаметр, перпендикулярный хорде, делит стягиваемые ею дуги пополам.
Да___ Нет___
27.Из двух хорд больше та,которая более удалена от центра.
Да___ Нет___
28.Радиус окружности в два раза больше диаметра.
Да___ Нет___
29.Прямая, имеющая с окружностью две общие точки,-касательная.
Да___ Нет___
30.Центр окружности вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Да___ Нет___
31.Вершина вписанного угла лежит в центре окружности.
Да___ Нет___
32.Центры вписанной и описанной окружности равностороннего треугольника совпадают.
Да___ Нет___
33.В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.
Да___ Нет___
34.Длина окружности равна ∏d, где d- диаметр окружности.
Да___ Нет___
35.Сумма углов многоугольника равна 180°:(n-2).
Да___ Нет___
36.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету, деленному на синус угла, противолежащего этому катету.
Да___ Нет___
37.Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Да___ Нет___
38.Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в трех точках.
Да___ Нет___
39.точка пересечения биссектрис треугольника - центр окружности, описанной около этого треугольника.
Да___ Нет___
40.Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180°.
Да___ Нет___