Векторна проекция. Координатни оси. Точкова проекция. Координати на точки върху оста. Проекция (геометрична, алгебрична) на вектор върху ос. Свойства на проекциите Проекция на вектор върху ос в пространството

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Векторна концепция

Преди да научите всичко за векторите и операциите върху тях, настройте се за решаване на проста задача. Има вектор на вашето предприятие и вектор на вашите иновативни способности. Векторът на предприемачеството ви води към цел 1, а векторът на иновативните способности - към цел 2. Правилата на играта са такива, че не можете да се движите в посоките на тези два вектора едновременно и да постигнете две цели наведнъж. Векторите взаимодействат или, казано математически, върху векторите се извършва някаква операция. Резултатът от тази операция е векторът "Резултат", който ви води до Цел 3.

Сега ми кажете: резултатът от коя операция върху векторите "Предприятие" и "Иновационни способности" е векторът "Резултат"? Ако не можете да кажете веднага, не се обезсърчавайте. Докато изучавате този урок, ще можете да отговорите на този въпрос.

Както видяхме по-горе, векторът задължително идва от някаква точка Апо права линия до някаква точка б. Следователно всеки вектор има не само числова стойност - дължина, но и физическа и геометрична - посока. От това се извлича първата, най-проста дефиниция на вектор. И така, векторът е насочен сегмент, излизащ от точка Акъм основния въпрос б. Маркира се така:

И да започне различно векторни операции , трябва да се запознаем с още една дефиниция на вектор.

Векторът е вид представяне на точка, която трябва да бъде достигната от някаква начална точка. Например, триизмерен вектор обикновено се записва като (x, y, z) . Просто казано, тези числа показват колко далеч трябва да отидете в три различни посоки, за да стигнете до точката.

Нека е даден вектор. При което х = 3 (дясната ръка сочи надясно) г = 1 (лявата ръка сочи напред) z = 5 (под точката има стълба, водеща нагоре). От тези данни ще намерите точката, като вървите 3 метра в посоката, посочена от дясната ръка, след това 1 метър в посоката, посочена от лявата ръка, а след това ви очаква стълба и изкачвайки се 5 метра, накрая ще намерите себе си в крайната точка.

Всички други термини са уточнения на обяснението, представено по-горе, необходими за различни операции върху вектори, тоест за решаване на практически проблеми. Нека преминем през тези по-строги дефиниции, като се спрем на типичните векторни проблеми.

Физически примеривекторни величини могат да бъдат преместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея.

геометричен векторпредставени в двумерно и тримерно пространство във формата насочен сегмент. Това е сегмент, който има начало и край.

Ако Ае началото на вектора и бе неговият край, тогава векторът се означава със символа или с една малка буква . На фигурата краят на вектора е обозначен със стрелка (фиг. 1)

Дължина(или модул) на геометричен вектор е дължината на сегмента, който го генерира

Двата вектора се наричат равен , ако могат да се комбинират (когато посоките съвпадат) чрез паралелен превод, т.е. ако са успоредни, сочат в една посока и имат равни дължини.

Във физиката често се разглежда фиксирани вектори, дадени от точката на приложение, дължината и посоката. Ако точката на приложение на вектора няма значение, тогава той може да бъде прехвърлен, запазвайки дължината и посоката към всяка точка в пространството. В този случай векторът се нарича Безплатно. Съгласни сме да разгледаме само безплатни вектори.

Линейни операции върху геометрични вектори

Умножете вектор по число

Векторен продукт на бройВектор се нарича вектор, получен от вектор чрез разтягане (при ) или свиване (при ) пъти и посоката на вектора се запазва, ако , и се обръща, ако . (фиг. 2)

От определението следва, че векторите и = винаги са разположени на една или успоредни прави. Такива вектори се наричат колинеарен. (Можете също така да кажете, че тези вектори са успоредни, но във векторната алгебра е обичайно да се казва „колинеарни“.) Обратното също е вярно: ако векторите и са колинеарни, тогава те са свързани с връзката

Следователно равенството (1) изразява условието за колинеарност на два вектора.

Векторно събиране и изваждане

Когато добавяте вектори, трябва да знаете това сумавектори и се нарича вектор, чието начало съвпада с началото на вектора, а краят съвпада с края на вектора, при условие че началото на вектора е прикрепено към края на вектора. (фиг. 3)

Тази дефиниция може да бъде разпределена върху произволен краен брой вектори. Нека в даденото пространство нбезплатни вектори. При добавяне на няколко вектора тяхната сума се приема като затварящ вектор, чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят с края на последния вектор. Тоест, ако началото на вектора е прикрепено към края на вектора, а началото на вектора към края на вектора и т.н. и накрая до края на вектора - началото на вектора, тогава сумата от тези вектори е затварящият вектор , чието начало съвпада с началото на първия вектор , а краят съвпада с края на последния вектор . (фиг. 4)

Членовете се наричат ​​компоненти на вектора, а формулираното правило е правило на многоъгълника. Този многоъгълник може да не е плосък.

Когато един вектор се умножи по числото -1, се получава противоположният вектор. Векторите и имат еднаква дължина и противоположни посоки. Сборът им дава нулев вектор, чиято дължина е нула. Посоката на нулевия вектор не е дефинирана.

Във векторната алгебра няма нужда да разглеждаме операцията на изваждане отделно: да извадим вектор от вектор означава да добавим срещуположния вектор към вектора, т.е.

Пример 1Опростете израза:

.

,

тоест векторите могат да се добавят и умножават по числа по същия начин като полиномите (по-специално, също и проблеми за опростяване на изрази). Обикновено възниква необходимостта от опростяване на линейно подобни изрази с вектори, преди да се изчислят продуктите на векторите.

Пример 2Векторите и служат като диагонали на успоредника ABCD (фиг. 4а). Изразете по отношение на и векторите , , и , които са страните на този успоредник.

Решение. Пресечната точка на диагоналите на успоредника разполовява всеки диагонал. Дължините на векторите, необходими в условието на задачата, се намират или като половината от сумите на векторите, които образуват триъгълник с желаните, или като половината от разликите (в зависимост от посоката на вектора, служещ за диагонал), или, както в последния случай, половината от сумата, взета със знак минус. Резултатът са векторите, необходими в условието на проблема:

Има всички основания да вярваме, че вече сте отговорили правилно на въпроса за векторите „Предприятие“ и „Иновативни способности“ в началото на този урок. Правилен отговор: тези вектори са подложени на операция на добавяне.

Решете сами задачи върху вектори и след това разгледайте решенията

Как да намерим дължината на сумата от вектори?

Тази задача заема специално място в операциите с вектори, тъй като включва използването на тригонометрични свойства. Да приемем, че имате задача като следната:

Като се има предвид дължината на векторите и дължината на сумата от тези вектори. Намерете дължината на разликата на тези вектори.

Решения на този и други подобни проблеми и обяснения как да ги разрешите - в урока " Векторно събиране: дължината на сумата от вектори и косинусовата теорема ".

И можете да проверите решението на такива проблеми на Онлайн калкулатор "Неизвестна страна на триъгълник (векторно събиране и косинусова теорема)" .

Къде са продуктите на векторите?

Продуктите от вектор по вектор не са линейни операции и се разглеждат отделно. И имаме уроци „Точково произведение на вектори“ и „Векторно и смесено произведение на вектори“.

Проекция на вектор върху ос

Проекцията на вектор върху ос е равна на произведението на дължината на проектирания вектор и косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Както е известно, проекцията на точка Ана правата (равнината) е основата на перпендикуляра, пуснат от тази точка на правата (равнината).

Нека - произволен вектор (фиг. 5), и и - проекции на неговото начало (точки А) и край (точки б) на ос л. (За изграждане на проекцията на точка А) начертайте направо през точката Аравнина, перпендикулярна на правата. Пресечната точка на права и равнина ще определи необходимата проекция.

Компонент на вектора по оста lнаричаме такъв вектор, лежащ на тази ос, чието начало съвпада с проекцията на началото, а краят - с проекцията на края на вектора .

Проекцията на вектора върху оста лнарече номер

,

равна на дължината на компонентния вектор на тази ос, взета със знак плюс, ако посоката на компонента съвпада с посоката на оста л, и със знак минус, ако тези посоки са противоположни.

Основните свойства на векторните проекции върху оста:

1. Проекциите на еднакви вектори върху една и съща ос са равни една на друга.

2. Когато един вектор се умножи по число, неговата проекция се умножи по същото число.

3. Проекцията на сумата от вектори върху всяка ос е равна на сумата от проекциите върху същата ос на членовете на векторите.

4. Проекцията на вектор върху ос е равна на произведението на дължината на проектирания вектор и косинуса на ъгъла между вектора и оста:

.

Решение. Нека проектираме векторите върху оста лкакто е дефинирано в теоретичната справка по-горе. От фиг.5а е очевидно, че проекцията на сумата от вектори е равна на сумата от проекциите на векторите. Ние изчисляваме тези прогнози:

Намираме крайната проекция на сумата от вектори:

Връзка на вектор с правоъгълна декартова координатна система в пространството

Запознаване с правоъгълна декартова координатна система в пространството се проведе в съответния урок, за предпочитане го отворете в нов прозорец.

В подредена система от координатни оси 0xyzос волНаречен ос х, ос 0 г – у-ос, и ос 0z – приложна ос.

с произволна точка Мвектор на космическата връзка

Наречен радиус векторточки Ми го проектираме върху всяка от координатните оси. Нека обозначим стойностите на съответните проекции:

Числа x, y, zНаречен координати на точка М, съответно абсцисата, ординатаИ апликация, и се записват като подредена точка от числа: M(x; y; z)(фиг. 6).

Нарича се вектор с единична дължина, чиято посока съвпада с посоката на оста единичен вектор(или ортом) брадви. Означаваме с

Съответно единичните вектори на координатните оси вол, Ой, Оз

Теорема.Всеки вектор може да се разложи на единичните вектори на координатните оси:

(2)

Равенство (2) се нарича разширение на вектора по координатните оси. Коефициентите на това разширение са проекциите на вектора върху координатните оси. По този начин коефициентите на разширение (2) на вектора по координатните оси са координатите на вектора.

След избор на определена координатна система в пространството, векторът и тройката от неговите координати се определят еднозначно взаимно, така че векторът може да се запише във формата

Векторните изображения във формата (2) и (3) са идентични.

Състоянието на колинеарни вектори в координати

Както вече отбелязахме, векторите се наричат ​​колинеарни, ако са свързани с релацията

Нека вектори . Тези вектори са колинеарни, ако координатите на векторите са свързани с релацията

,

тоест координатите на векторите са пропорционални.

Пример 6Дадени вектори . Колинеарни ли са тези вектори?

Решение. Нека разберем съотношението на координатите на тези вектори:

.

Координатите на векторите са пропорционални, следователно векторите са колинеарни или, което е същото, успоредни.

Дължина на вектор и косинуси на посоката

Поради взаимната перпендикулярност на координатните оси дължината на вектора

е равна на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед, построен върху векторите

и се изразява с равенството

(4)

Векторът е напълно дефиниран чрез указване на две точки (начало и край), така че координатите на вектора могат да бъдат изразени чрез координатите на тези точки.

Нека началото на вектора в дадената координатна система е в точката

и краят е в точката

От равенството

Следва това

или в координатна форма

следователно координатите на вектора са равни на разликите на едноименните координати на края и началото на вектора . Формула (4) в този случай приема формата

Определя се посоката на вектора насочващи косинуси . Това са косинусите на ъглите, които векторът сключва с осите вол, ОйИ Оз. Нека обозначим съответно тези ъгли α , β И γ . Тогава косинусите на тези ъгли могат да бъдат намерени по формулите

Насочващите косинуси на вектора също са координатите на вектора на вектора и следователно вектора на вектора

.

Като се има предвид, че дължината на векторния вектор е равна на една единица, т.е.

,

получаваме следното равенство за насочващите косинуси:

Пример 7Намерете дължината на вектор х = (3; 0; 4).

Решение. Дължината на вектора е

Пример 8Дадени точки:

Разберете дали триъгълникът, построен върху тези точки, е равнобедрен.

Решение. Използвайки формулата за дължина на вектора (6), намираме дължините на страните и откриваме дали две от тях са еднакви:

Намерени са две равни страни, така че няма нужда да се търси дължината на третата страна, а дадения триъгълник е равнобедрен.

Пример 9Намерете дължината на вектор и косинусите на неговата посока, ако .

Решение. Координатите на вектора са дадени:

.

Дължината на вектора е равна на корен квадратен от сумата от квадратите на координатите на вектора:

.

Намиране на косинуси на посоката:

Решете сами задачата върху векторите и след това вижте решението

Операции с вектори, дадени в координатна форма

Нека са дадени два вектора и дадени чрез техните проекции:

Нека посочим действия върху тези вектори.

Отговор:

Проекционни свойства:

Свойства на векторната проекция

Имот 1.

Проекцията на сумата от два вектора върху една ос е равна на сумата от проекциите на векторите върху същата ос:

Това свойство ви позволява да замените проекцията на сумата от вектори със сумата на техните проекции и обратно.

Имот 2.Ако векторът се умножи по числото λ, тогава неговата проекция върху оста също се умножава по това число:

Имот 3.

Проекцията на вектор върху оста l е равна на произведението на модула на вектора и косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Ортова ос. Разлагане на вектор по отношение на координатни вектори. Векторни координати. Координатни свойства

Отговор:

Хълмове брадви.

Правоъгълна координатна система (с всякакво измерение) също се описва от набор от единични вектори, подравнени с координатните оси. Броят на ортите е равен на размерността на координатната система и всички те са перпендикулярни един на друг.

В тримерния случай ортовете обикновено се обозначават

И символи със стрелки и също могат да се използват.

Освен това в случай на дясна координатна система са валидни следните формули с векторни произведения на вектори:

Разлагане на вектор по отношение на координатни вектори.

Ортът на координатната ос е означен с , осите - с , осите - с (фиг. 1)

За всеки вектор, който лежи в равнина, се извършва следното разлагане:

Ако векторът се намира в пространството, тогава разширението по отношение на единичните вектори на координатните оси има формата:

векторни координати:

За да изчислите координатите на вектор, като знаете координатите (x1; y1) на неговото начало A и координатите (x2; y2) на неговия край B, трябва да извадите координатите на началото от крайните координати: (x2 - x1; y2 - y1).

Координатни свойства.

Да разгледаме координатна права с начало в точка O и единичен вектор i. Тогава за всеки вектор a на тази права: a = axi.

Числото ax се нарича координата на вектора a върху координатната ос.

Имот 1.При добавяне на вектори върху оста се добавят техните координати.

Имот 2.Когато вектор се умножи по число, неговата координата се умножи по това число.

Скаларно произведение на вектори. Имоти.

Отговор:

Скаларното произведение на два ненулеви вектора е число,

равно на произведението на тези вектори по косинуса на ъгъла между тях.

Имоти:

1. Скаларното произведение има комутативно свойство: ab=ba

Скаларно произведение на координатни вектори. Определяне на скаларното произведение на вектори, зададени от техните координати.

Отговор:

Точково произведение (×) орт

(Х)	аз	Дж	К
аз
Дж
К

Определяне на скаларното произведение на вектори, зададени от техните координати.

Скаларното произведение на два вектора и дадено от техните координати може да се изчисли по формулата

Векторно произведение на два вектора. Векторни свойства на продукта.

Отговор:

Три некомпланарни вектора образуват дясна тройка, ако от края на третия вектор въртенето от първия вектор към втория е обратно на часовниковата стрелка. Ако по часовниковата стрелка - тогава наляво., ако не, тогава обратно ( покажи как той показа с "дръжки")

Кръстосано произведение на вектор Ана вектор bнаречен вектор с който:

1. Перпендикулярни на вектори АИ b

2. Има дължина, числено равна на площта на успоредника, образуван върху аИ bвектори

3. Вектори, а,б, И ° Собразуват дясната тройка от вектори

Имоти:

1.

3.

4.

Векторно произведение на координатни вектори. Определяне на векторното произведение на вектори, зададени от техните координати.

Отговор:

Векторно произведение на координатни вектори.

Определяне на векторното произведение на вектори, зададени от техните координати.

Нека векторите a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2) са дадени чрез техните координати в правоъгълната декартова координатна система O, i, j, k, а тройката i, j, k е точно.

Ние разширяваме a и b по отношение на базисни вектори:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Използвайки свойствата на векторния продукт, получаваме

[A; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

По дефиницията на векторно произведение намираме

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Като се имат предвид тези равенства, формула (1) може да бъде записана по следния начин:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) дава израз за кръстосаното произведение на два вектора, дадени от техните координати.

Получената формула е тромава.Използвайки нотацията на детерминантите, можете да я напишете в друга форма, която е по-удобна за запомняне:

Обикновено формула (3) се записва още по-кратко:

Решаването на задачи за равновесието на сближаващи се сили чрез конструиране на затворени многоъгълници на сила е свързано с тромави конструкции. Универсален метод за решаване на такива проблеми е преходът към определяне на проекциите на дадени сили върху координатните оси и работа с тези проекции. Оста се нарича права линия, на която е зададена определена посока.

Проекцията на вектор върху ос е скаларна стойност, която се определя от сегмента на оста, отрязан от перпендикулярите, пуснати върху нея от началото и края на вектора.

Проекцията на вектор се счита за положителна, ако посоката от началото на проекцията до нейния край съвпада с положителната посока на оста. Проекцията на вектор се счита за отрицателна, ако посоката от началото на проекцията до нейния край е противоположна на положителната посока на оста.

Така проекцията на силата върху координатната ос е равна на произведението на модула на силата и косинуса на ъгъла между вектора на силата и положителната посока на оста.

Помислете за редица случаи на проектиране на сили върху ос:

Вектор на силата Е(фиг. 15) сключва остър ъгъл с положителната посока на оста x.

За да намерим проекцията, от началото и края на вектора на силата спускаме перпендикулярите към оста ох; получаваме

1. F x = Е cosα

Проекцията на вектора в този случай е положителна

Сила Е(фиг. 16) е с положителната посока на оста хтъп ъгъл α.

Тогава Е x= Е cos α, но тъй като α = 180 0 - φ,

Е x= Е cosα = Е cos180 0 - φ =- Езащото фи.

Проекция на сила Ена ос охв този случай е отрицателен.

Сила Е(фиг. 17) перпендикулярно на оста ох.

Проекция на сила F върху оста хнула

Е x= Е cos 90° = 0.

Сила, разположена в равнина хау(фиг. 18), може да се проектира върху две координатни оси оИ OU.

Сила Емогат да бъдат разделени на компоненти: Е x и Е y . Векторен модул Е x е равно на векторната проекция Ена ос вол, и модулът на вектора Е y е равно на проекцията на вектора Ена ос ой.

От Δ OAB: Е x= Е cosα, Е x= Е sinα.

От Δ SLA: Е x= Езащото фи, Е x= Егрях фи.

Модулът на силата може да се намери с помощта на Питагоровата теорема:

Проекцията на векторната сума или резултата върху която и да е ос е равна на алгебричната сума на проекциите на членовете на векторите върху същата ос.

Помислете за сближаващи се сили Е 1 , Е 2 , Е 3 и Е 4, (фиг. 19, а). Геометричният сбор или резултантната на тези сили Еопределена от затварящата страна на силовия полигон

Пуснете от върховете на силовия многоъгълник върху оста хперпендикуляри.

Отчитайки получените проекции на сили директно от завършената конструкция, имаме

Е= Е 1x+ Е 2x+ Е 3x+ Е 4x

където n е броят на членовете на векторите. Техните проекции влизат в горното уравнение със съответния знак.

В равнина геометричната сума на силите може да се проектира върху две координатни оси, а в пространството, съответно, върху три.

проекциявектор върху ос се нарича вектор, който се получава чрез умножаване на скаларната проекция на вектор върху тази ос и единичния вектор на тази ос. Например, ако x е скаларна проекциявектор Апо оста x, след това x i- неговата векторна проекция върху тази ос.

Обозначете векторна проекцияточно като самия вектор, но с индекса на оста, върху която е проектиран векторът. И така, векторната проекция на вектора Ана оста x означават Ах ( мазнабуква, обозначаваща вектор и долен индекс на името на оста) или (неудебелена буква, обозначаваща вектор, но със стрелка в горната част (!) и долен индекс на името на оста).

Скаларна проекциявектор на ос се нарича номер, чиято абсолютна стойност е равна на дължината на сегмента от оста (в избрания мащаб), ограден между проекциите на началната точка и крайната точка на вектора. Обикновено вместо израза скаларна проекцияпросто кажи - проекция. Проекцията се обозначава със същата буква като проектирания вектор (в нормално, неудебелено писане), с долен индекс (обикновено) на името на оста, върху която се проектира този вектор. Например, ако вектор се проектира върху оста x а,тогава неговата проекция се означава с x . Когато проектирате същия вектор върху друга ос, ако оста е Y, нейната проекция ще бъде означена като y.

За изчисляване на проекцията векторна ос (например оста X) е необходимо да се извади координатата на началната точка от координатата на крайната й точка, т.е.
и x \u003d x k - x n.
Проекцията на вектор върху ос е число.Освен това проекцията може да бъде положителна, ако стойността на x k е по-голяма от стойността на x n,

отрицателна, ако стойността на x k е по-малка от стойността на x n

и равно на нула, ако x k е равно на x n.

Проекцията на вектор върху ос също може да се намери, като се знае модулът на вектора и ъгълът, който сключва с тази ос.

От фигурата може да се види, че a x = a Cos α

т.е. проекцията на вектора върху оста е равна на произведението на модула на вектора и косинуса на ъгъла между посоката на оста и векторна посока. Ако ъгълът е остър, тогава
Cos α > 0 и a x > 0 и ако е тъп, тогава косинусът на тъп ъгъл е отрицателен и проекцията на вектора върху оста също ще бъде отрицателна.

Ъглите, броени от оста обратно на часовниковата стрелка, се считат за положителни, а в посока - за отрицателни. Въпреки това, тъй като косинусът е четна функция, т.е. Cos α = Cos (− α), при изчисляване на проекциите ъглите могат да се броят както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно на часовниковата стрелка.

За да се намери проекцията на вектор върху ос, модулът на този вектор трябва да се умножи по косинуса на ъгъла между посоката на оста и посоката на вектора.

Векторни координатиса коефициентите на единствената възможна линейна комбинация от базисни вектори в избраната координатна система, равна на дадения вектор.

където са координатите на вектора.

Точково произведение на вектори

КОАЛ ПРОДУКТ НА ВЕКТОРИ[- в крайномерен векторно пространствосе определя като сбор от произведенията на същите компоненти на умноженото вектори.

Например, S. p. а = (а 1 , ..., a n) И b = (b 1 , ..., b n):

(а , b ) = а 1 b 1 + а 2 b 2 + ... + a n b n

А. Проекцията на точка A върху оста PQ (фиг. 4) е основата a на перпендикуляра, пуснат от дадена точка към дадена ос. Оста, върху която проектираме, се нарича проекционна ос.

b. Нека са дадени две оси и вектор A B, както е показано на фиг. 5.

Векторът, чието начало е проекцията на началото и краят - проекцията на края на този вектор, се нарича проекция на вектора A B върху оста PQ, Записва се така;

Понякога индикаторът PQ не е изписан най-долу, това се прави в случаите, когато освен PQ няма друга ос, върху която може да се проектира.

с. Теорема I. Стойностите на векторите, лежащи на една и съща ос, са свързани като стойностите на техните проекции върху всяка ос.

Нека са дадени осите и векторите, показани на фиг.6 От подобието на триъгълниците се вижда, че дължините на векторите са свързани като дължините на техните проекции, т.е.

Тъй като векторите на чертежа са насочени в различни посоки, техните величини имат различни стойности, следователно,

Очевидно стойностите на проекцията също имат различен знак:

замествайки (2) в (3) в (1), получаваме

Обръщайки знаците, получаваме

Ако векторите са еднакво насочени, тогава ще има една посока и техните проекции; във формули (2) и (3) няма да има знаци минус. Замествайки (2) и (3) в равенство (1), веднага получаваме равенство (4). Така теоремата е доказана за всички случаи.

д. Теорема II. Стойността на проекцията на вектор върху всяка ос е равна на стойността на вектора, умножена по косинуса на ъгъла между оста на проекциите и оста на вектора. Нека векторът е даден на оста, както е показано на фиг. . 7. Да построим вектор, еднакво насочен с неговата ос и отложен, например, от точката на пресичане на осите. Нека дължината му е равна на единица. Тогава неговата стойност