Как да намерим инфлексните точки на функция. Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост на графика на функция Изпъкналост на графика на функция Примери за инфлексни точки

1. Концепцията за изпъкнали и вдлъбнати функции

Когато изследвате функция, може да бъде полезно да се установи на кои интервали функцията е изпъкнала и на кои интервали е вдлъбната.

За да определим изпъкналите и вдлъбнатите функции, начертаваме допирателни към графиките на функцията в произволни точки х 1 и х 2 (фиг. 15.1 и 15.2):

Графиката на функцията се нарича вдлъбнат върху интервала, ако се намира над която и да е допирателна към графиката на функцията върху дадения интервал.

Графиката на функцията се нарича изпъкнал върху интервала, ако се намира под която и да е допирателна към графиката на функцията върху дадения интервал.

Точката на графиката на непрекъсната функция, в която се променя характерът на изпъкналостта, се нарича инфлексна точка . В точката на инфлексия допирателната ще пресече кривата.

Една функция може да има няколко интервала на изпъкналост и вдлъбнатост, няколко инфлексни точки. При определяне на интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост диапазонът от стойности се избира като отговор: точките на инфлексия не се приписват нито на интервалите на изпъкналостта, нито на интервалите на вдлъбнатината.

И така, графиката на функцията на фиг. 15.3 е изпъкнала на интервалите (- ; х 1) и ( х 2; +); вдлъбнат на ( х 1 ;х 2). Графиката на функцията има две инфлексни точки: ( х 1 ;при 1) и ( х 2 ;при 2).

1. Критерий за изпъкналост-вдлъбнатост на функция и инфлексни точки.

Интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функция се намират с помощта на следната теорема:

Теорема. 1. Ако функцията има положителна втора производна, тогава графиката на функцията върху интервала е вдлъбната.

2. Ако функцията има отрицателна втора производна, тогава графиката на функцията върху интервала е изпъкнала.

Представете си критерий за изпъкналост-вдлъбнатост на функция под формата на диаграма:

По този начин, да се изследва функция за изпъкналост-вдлъбнатост означава да се намерят онези интервали от областта на дефиниране, в които втората производна запазва знака си.

Имайте предвид, че той може да промени знака си само в онези точки, където втората производна е равна на нула или не съществува. Такива точки се наричат критични точки от втори вид .

Само критичните точки могат да бъдат инфлексни точки. За намирането им се използва следната теорема:

Теорема (достатъчно условие за съществуването на инфлексни точки). Ако втората производна при преминаване през точка x oпроменя знака, след това точката на графиката с абсцисата x oе инфлексната точка.

Когато изследвате функция за изпъкналост-вдлъбнатост и точки на инфлексия, можете да използвате следното алгоритъм :

Пример 15.1.Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост, точките на инфлексия на графиката на функцията.

Решение. 1. Тази функция е дефинирана на множеството R.

2. Намерете първата производна на функцията: = .

3. Намерете втората производна на функцията: =2 х-6.

4. Дефинирайте критични точки от втори вид ( 0): 2 х-6= 0 х=3.

5. На реалната ос маркирайте критичната точка х=3. Той разделя областта на функцията на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Подредете знаците на втората производна на функцията 2 х-6 на всеки от получените интервали:

при х=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. флексия

6. Според критерия изпъкналост-вдлъбнатост графиката на функцията е изпъкнала при х(-∞;3), вдлъбнат при х (3;+ ∞).

Значение х=3 е абсцисата на инфлексната точка. Нека изчислим стойността на функцията за х=3:

2. И така, точката с координати (3;2) е инфлексната точка.

Отговор: графиката на функцията е изпъкнала при х (-∞;3),

вдлъбнат при х(3;+∞); (3;2) – инфлексна точка.

Пример 15.2. Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост, точките на инфлексия на графиката на функцията.

Решение. 1. Тази функция е дефинирана, когато знаменателят е различен от нула: х-7≠0 .

2. Намерете първата производна на функцията:

3. Намерете втората производна на функцията: = =

Извадете в числителя 2∙( х-7) външни скоби:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

конг.

6. Съгласно критерия за изпъкналост-вдлъбнатост, графиката на функцията е изпъкнала, когато х(-∞;7), вдлъбнат при х (7;+ ∞).

Точка с абсцисата х=7 не може да бъде инфлексна точка, защото в този момент функцията не съществува (разваля се).

Отговор: графиката на функцията е изпъкнала при х(-∞;7), вдлъбнат при х (7;+ ∞).

Контролни въпроси:

С онлайн калкулатор можете да намерите точки на инфлексия и интервали на изпъкналост на функционална графикас дизайна на решението в Word. Дали функция на две променливи f(x1,x2) е изпъкнала се определя с помощта на матрицата на Хесиан.

Правила за въвеждане на функция:

Посоката на изпъкналостта на графиката на функцията. Инфлексни точки

Определение: Крива y=f(x) се нарича изпъкнала надолу в интервала (a; b), ако лежи над допирателната във всяка точка от този интервал.

Определение: Кривата y=f(x) се нарича изпъкнала нагоре в интервала (a; b), ако лежи под допирателната във всяка точка от този интервал.

Определение: Интервалите, в които графиката на функцията е изпъкнала нагоре или надолу, се наричат ​​интервали на изпъкналост на графиката на функцията.

Изпъкналостта надолу или нагоре на кривата, която е графиката на функцията y=f(x) , се характеризира със знака на нейната втора производна: ако в някакъв интервал f''(x) > 0, то кривата е изпъкнала надолу на този интервал; ако f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точката от графиката на функцията y=f(x), която разделя интервалите на изпъкналост на противоположните посоки на тази графика, се нарича инфлексна точка.

Само критичните точки от втория вид могат да служат като точки на инфлексия; точки, принадлежащи към домейна на функцията y = f(x) , при които втората производна f''(x) изчезва или прекъсва.

Правилото за намиране на инфлексни точки на графиката на функцията y = f(x)

1. Намерете втората производна f''(x) .
2. Намерете критичните точки от втория вид на функцията y=f(x) , т.е. точката, в която f''(x) изчезва или прекъсва.
3. Изследвайте знака на втората производна f''(x) в интервалите, на които намерените критични точки разделят областта на функцията f(x) . Ако в този случай критичната точка x 0 разделя интервалите на изпъкналост с противоположни посоки, тогава x 0 е абсцисата на инфлексната точка на графиката на функцията.
4. Изчислете стойностите на функцията в точки на инфлексия.

Пример 1 . Намерете празнините на изпъкналостта и точките на инфлексия на следната крива: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Решение: Намерете f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x.
Нека намерим критичните точки чрез втората производна, като решим уравнението 12-6x=0 . x=2 .


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Отговор: Функцията е изпъкнала нагоре за x∈(2; +∞) ; функцията е изпъкнала надолу за x∈(-∞; 2) ; инфлексна точка (2;16) .

Пример 2 . Има ли функцията инфлексни точки: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Пример 3 . Намерете интервалите, където графиката на функцията е изпъкнала и изпъкнала: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Функционална графика г=f(x)Наречен изпъкнална интервала (a;b), ако се намира под някоя от неговите допирателни на този интервал.

Функционална графика г=f(x)Наречен вдлъбнатна интервала (a;b), ако е разположена над някоя от допирателните си в този интервал.

Фигурата показва изпъкнала крива на (a;b)и вдлъбнат към (b;c).

Примери.

Помислете за достатъчен знак, който ви позволява да определите дали графиката на функция в даден интервал ще бъде изпъкнала или вдлъбната.

Теорема. Позволявам г=f(x)диференцируеми по (a;b). Ако във всички точки на интервала (a;b)втора производна на функцията г = f(x)отрицателна, т.е. f ""(х) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(х) > 0 е вдлъбнат.

Доказателство. Да приемем за категоричност, че f""(х) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Вземете графиката на функцията y = f(x)произволна точка M0с абсцисата x0 Î ( а; b) и начертайте през точката M0допирателна. Нейното уравнение. Трябва да покажем, че графиката на функцията на (a;b)лежи под тази допирателна, т.е. със същата стойност хкрива ордината y = f(x)ще бъде по-малка от ординатата на тангентата.

Така че уравнението на кривата е y = f(x). Нека означим допирателната ордината, съответстваща на абсцисата х. Тогава . Следователно разликата между ординатите на кривата и допирателната при една и съща стойност хще .

Разлика f(x) – f(x0)трансформира според теоремата на Лагранж, където ° Смежду хИ x0.

По този начин,

Отново прилагаме теоремата на Лагранж към израза в квадратни скоби: , където c 1между c 0И x0. Според теоремата f ""(х) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Така всяка точка от кривата лежи под допирателната към кривата за всички стойности хИ x0 Î ( а; b), което означава, че кривата е изпъкнала. Втората част на теоремата се доказва по подобен начин.

Примери.

Точката от графиката на непрекъсната функция, която разделя нейната изпъкнала част от вдлъбната част, се нарича инфлексна точка.

Очевидно в точката на инфлексия допирателната, ако съществува, пресича кривата, т.к. от едната страна на тази точка кривата лежи под допирателната, а от другата страна над нея.

Нека дефинираме достатъчни условия дадена точка от кривата да бъде инфлексна точка.

Теорема. Нека кривата е определена от уравнението y = f(x). Ако f ""(х 0) = 0 или f ""(х 0) не съществува и при преминаване през стойността х = x0производна f ""(х) променя знака, след това точката на графиката на функцията с абсцисата х = x0има инфлексна точка.

Доказателство. Позволявам f ""(х) < 0 при х < x0И f ""(х) > 0 при х > x0. След това при х < x0кривата е изпъкнала и х > x0- вдлъбнат. Оттук и точката А, лежащ на кривата, с абсциса x0има инфлексна точка. По подобен начин можем да разгледаме втория случай, когато f ""(х) > 0 при х < x0И f ""(х) < 0 при х > x0.

По този начин точките на инфлексия трябва да се търсят само сред тези точки, където втората производна изчезва или не съществува.

Примери.Намерете точките на инфлексия и определете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на кривите.

АСИМПТОТИ НА ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯ

При изследване на функция е важно да се установи формата на нейната графика с неограничено премахване на точката на графиката от началото.

От особен интерес е случаят, когато графиката на функция, когато нейната променлива точка е отстранена до безкрайност, се приближава за неопределено време до определена права линия.

Директно обаждане асимптотафункционална графика г = f(x)ако разстоянието от променливата точка Мграфика към този ред, когато точката е премахната Мкъм безкрайност клони към нула, т.е. точката на графиката на функцията, тъй като клони към безкрайност, трябва да се приближава неограничено до асимптотата.

Кривата може да се доближи до своята асимптота, оставайки от едната й страна или от различни страни, пресичайки асимптото безкраен брой пъти и премествайки се от едната страна на другата.

Ако означим с d разстоянието от точката Мкрива към асимптотата, ясно е, че d клони към нула, когато точката се премахне Мдо безкрайност.

По-нататък ще правим разлика между вертикални и наклонени асимптоти.

ВЕРТИКАЛНИ АСИМПТОТИ

Нека при х→ x0от двете страни на функцията г = f(x)неограничено нараства по абсолютна стойност, т.е. или или . Тогава от дефиницията на асимптотата следва, че правата х = x0е асимптота. Обратното също е очевидно, ако линията х = x0е асимптота, така че .

Така вертикалната асимптота на графиката на функцията y = f(x)се нарича линия ако f(x)→ ∞ при поне едно от условията х→ x0– 0 или х → x0 + 0, х = x0

Следователно, за да намерите вертикалните асимптоти на графиката на функцията г = f(x)трябва да намерите тези стойности х = x0, при което функцията отива в безкрайност (претърпява безкраен прекъсване). Тогава вертикалната асимптота има уравнението х = x0.

Примери.

КОСИ АСИМПТОТИ

Тъй като асимптотата е права линия, тогава ако кривата г = f(x)има наклонена асимптота, тогава уравнението му ще бъде г = kx + b. Нашата задача е да намерим коефициентите кИ b.

Теорема. Направо г = kx + bслужи като наклонена асимптота при х→ +∞ за графиката на функцията г = f(x)ако и само ако . Подобно твърдение е вярно за х → –∞.

Доказателство. Позволявам MP- дължината на сегмента, равна на разстоянието от точката Мкъм асимптотата. По условие. Означаваме с φ ъгъла на наклона на асимптотота спрямо оста вол. Тогава от ΔMNPследва това. Тъй като φ е постоянен ъгъл (φ ≠ π/2), тогава , но

Когато начертаваме функция, е важно да дефинираме изпъкналите интервали и инфлексните точки. Нуждаем се от тях, заедно с интервалите на намаляване и нарастване, за ясно представяне на функцията в графична форма.

Разбирането на тази тема изисква да знаете какво е производната на функция и как да я изчислите в определен ред, както и да можете да решавате различни видове неравенства.

В началото на статията са дефинирани основните понятия. След това ще покажем каква връзка съществува между посоката на изпъкналостта и стойността на втората производна за определен интервал. След това ще посочим условията, при които могат да се определят точките на инфлексия на графиката. Всички разсъждения ще бъдат илюстрирани с примери за решения на проблеми.

Определение 1

В посока надолу на определен интервал в случай, че неговата графика е разположена не по-ниско от допирателната към него във всяка точка от този интервал.

Определение 2

Диференцируемата функция е изпъкналанагоре на определен интервал, ако графиката на тази функция се намира не по-високо от допирателната към нея във всяка точка от този интервал.

Изпъкнала надолу функция може също да се нарече вдлъбната. И двете определения са ясно показани на графиката по-долу:

Определение 3

Инфлексна точка на функциятае точката M (x 0 ; f (x 0)), в която има допирателна към графиката на функцията, при условие че производната съществува в близост до точката x 0 , където графиката на функцията има различни посоки на изпъкналост от лявата и дясната страна.

Казано по-просто, инфлексната точка е място на графиката, където има допирателна, и посоката на изпъкналостта на графиката при преминаване през това място ще промени посоката на изпъкналостта. Ако не си спомняте при какви условия е възможно съществуването на вертикална и невертикална допирателна, съветваме ви да повторите раздела за тангентата на графиката на функция в точка.

По-долу има графика на функция, която има множество инфлексни точки, подчертани в червено. Нека уточним, че наличието на инфлексни точки не е задължително. На графиката на една функция може да има една, две, няколко, безкрайно много или нито една.

В този раздел ще говорим за теорема, с която можете да определите интервалите на изпъкналост на графиката на определена функция.

Определение 4

Графиката на функцията ще има изпъкналост в посока надолу или нагоре, ако съответната функция y = f (x) има втора крайна производна на посочения интервал x, при условие че неравенството f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) ще бъде вярно.

Използвайки тази теорема, можете да намерите интервалите на вдлъбнатост и изпъкналост на всяка графика на функция. За да направите това, просто трябва да решите неравенствата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 в домейна на съответната функция.

Нека изясним, че онези точки, в които втората производна не съществува, но е дефинирана функцията y = f (x), ще бъдат включени в интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост.

Нека да разгледаме пример за конкретен проблем, как да приложим правилно тази теорема.

Пример 1

Състояние:дадена функция y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Определете на какви интервали неговата графика ще има изпъкналост и вдлъбнатост.

Решение

Домейнът на тази функция е цялото множество от реални числа. Нека започнем с изчисляване на втората производна.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Виждаме, че домейнът на втората производна съвпада с домейна на самата функция. Следователно, за да идентифицираме интервалите на изпъкналост, трябва да решим неравенствата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Получихме, че графиката на дадената функция ще има вдлъбнатост на отсечката [ 2 ; + ∞) и изпъкналост на сегмента (- ∞ ; 2 ] .

За по-голяма яснота ще начертаем графика на функцията и ще отбележим върху нея изпъкналата част със синьо, а вдлъбнатата с червено.

Отговор:графиката на дадената функция ще има вдлъбнатина на отсечката [ 2 ; + ∞) и изпъкналост на сегмента (- ∞ ; 2 ] .

Но какво да направите, ако домейнът на втората производна не съвпада с домейна на функцията? Тук забележката, направена по-горе, е полезна за нас: тези точки, където крайната втора производна не съществува, ние също ще включим в сегментите на вдлъбнатост и изпъкналост.

Пример 2

Състояние:дадена функция y = 8 x x - 1 . Определете в какви интервали неговата графика ще бъде вдлъбната и в какви интервали ще бъде изпъкнала.

Решение

Първо, нека разберем обхвата на функцията.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Сега изчисляваме втората производна:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Областта на втората производна е множеството x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Виждаме, че х равно на нула ще бъде в домейна на оригиналната функция, но не и в домейна на втората производна. Тази точка трябва да бъде включена в сегмента на вдлъбнатост или изпъкналост.

След това трябва да решим неравенствата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 върху домейна на дадената функция. За това използваме метода на интервала: при x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 или x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 числителят 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 става 0 и знаменателят е 0, когато x е нула или едно.

Нека поставим получените точки на графиката и определим знака на израза на всички интервали, които ще бъдат включени в домейна на оригиналната функция. На графиката тази област е обозначена със щриховка. Ако стойността е положителна, маркирайте интервала с плюс, ако е отрицателна, тогава с минус.

следователно

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) и f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Включваме предварително маркираната точка x = 0 и получаваме желания отговор. Графиката на оригиналната функция ще има изпъкналост надолу при 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , и нагоре - за x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Нека начертаем графика, маркирайки изпъкналата част в синьо, а вдлъбнатата в червено. Вертикалната асимптота е маркирана с черна пунктирана линия.

Отговор:Графиката на оригиналната функция ще има изпъкналост надолу при 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , и нагоре - за x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Условия на инфлексия за функционална графика

Нека започнем с формулирането на необходимото условие за огъване на графиката на някаква функция.

Определение 5

Да кажем, че имаме функция y = f(x), чиято графика има инфлексна точка. За x = x 0 той има непрекъсната втора производна, следователно равенството f "" (x 0) = 0 ще бъде в сила.

Като се има предвид това условие, трябва да търсим точки на инфлексия сред тези, при които втората производна ще се превърне в 0. Това условие няма да е достатъчно: не всички такива точки ще ни подхождат.

Също така имайте предвид, че според общата дефиниция ще ни трябва допирателна линия, вертикална или невертикална. На практика това означава, че за да се намерят инфлексните точки, трябва да се вземат тези, в които втората производна на тази функция става 0. Следователно, за да намерим абсцисите на точките на инфлексия, трябва да вземем всички x 0 от домейна на функцията, където lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . Най-често това са точки, в които знаменателят на първата производна става 0.

Първото достатъчно условие за наличието на инфлексна точка на графиката на функцията

Намерихме всички стойности x 0, които могат да се приемат за абсцисата на точките на инфлексия. След това трябва да приложим първото достатъчно условие за инфлексия.

Определение 6

Да кажем, че имаме функция y = f (x), която е непрекъсната в точка M (x 0 ; f (x 0)) . Освен това, тя има допирателна в тази точка, а самата функция има втора производна в близост до тази точка x 0 . В този случай, ако втората производна придобие противоположни знаци от лявата и дясната страна, тогава тази точка може да се счита за инфлексна точка.

Виждаме, че това условие не изисква втората производна задължително да съществува в тази точка, достатъчно е нейното присъствие в околността на точката x 0.

Всичко по-горе може удобно да се представи като последователност от действия.

1. Първо трябва да намерите всички абсциси x 0 на възможните точки на инфлексия, където f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Разберете в кои точки производната ще промени знака. Тези стойности са абсцисите на точките на инфлексия, а точките M (x 0 ; f (x 0)), съответстващи на тях, са самите точки на инфлексия.

За по-голяма яснота нека разгледаме два проблема.

Пример 3

Състояние:дадена функция y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Определете къде графиката на тази функция ще има точки на инфлексия и изпъкналост.

Решение

Тази функция е дефинирана върху цялото множество от реални числа. Разглеждаме първата производна:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 х + 2

Сега нека намерим домейна на първата производна. Това е и набор от всички реални числа. Следователно, равенствата lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ и lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ не могат да бъдат изпълнени за никакви стойности на x 0 .

Изчисляваме втората производна:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Намерихме абсцисите на две вероятни инфлексни точки - 2 и 3. Остава само да проверим в кой момент производната си сменя знака. Нека начертаем цифрова ос и нанесем тези точки върху нея, след което ще поставим знаците на втората производна върху получените интервали.

Дъгите показват посоката на изпъкналостта на графиката във всеки интервал.

Втората производна обръща знака (от плюс на минус) в точката с абсцисата 3 , преминавайки през нея отляво надясно, и прави същото (от минус на плюс) в точката с абсцисата 3 . И така, можем да заключим, че x = - 2 и x = 3 са абсцисите на инфлексните точки на графиката на функцията. Те ще съответстват на точките от графиката - 2; - 4 3 и 3 ; - 15 8 .

Нека отново да разгледаме изображението на числовата ос и получените знаци върху интервалите, за да направим изводи за местата на вдлъбнатост и изпъкналост. Оказва се, че издутината ще бъде разположена на сегмента - 2; 3 и вдлъбнатост на сегменти (- ∞ ; - 2 ] и [ 3 ; + ∞) .

Решението на проблема е ясно показано на графиката: син цвят - изпъкналост, червен - вдлъбнатост, черен цвят означава точки на инфлексия.

Отговор:изпъкналостта ще бъде разположена на сегмента - 2; 3 и вдлъбнатост на сегменти (- ∞ ; - 2 ] и [ 3 ; + ∞) .

Пример 4

Състояние:изчислете абсцисите на всички инфлексни точки на графиката на функцията y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Решение

Домейнът на дадената функция е множеството от всички реални числа. Изчисляваме производната:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

За разлика от функцията, нейната първа производна няма да бъде определена при x ​​стойност 3, а:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Това означава, че през тази точка ще минава вертикална допирателна към графиката. Следователно 3 може да бъде абсцисата на инфлексната точка.

Изчисляваме втората производна. Също така намираме областта на неговата дефиниция и точките, в които тя се превръща в 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Имаме още две възможни инфлексни точки. Поставяме ги всички на числова линия и маркираме получените интервали със знаци:

Промяната на знака ще настъпи при преминаване през всяка определена точка, което означава, че всички те са инфлексни точки.

Отговор:Нека начертаем графика на функцията, маркирайки вдлъбнатините в червено, изпъкналостите в синьо и точките на инфлексия в черно:

Познавайки първото достатъчно условие за инфлексия, можем да определим необходимите точки, където не е необходимо присъствието на втората производна. Въз основа на това първото условие може да се счита за най-универсално и подходящо за решаване на различни видове проблеми.

Имайте предвид, че има още две условия на инфлексия, но те могат да бъдат приложени само когато има крайна производна в определената точка.

Ако имаме f "" (x 0) = 0 и f """ (x 0) ≠ 0 , тогава x 0 ще бъде абсцисата на инфлексната точка на графиката y = f (x) .

Пример 5

Състояние:дадена е функцията y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Определете дали графиката на функцията ще има инфлексия в точка 3; 4 5 .

Решение

Първото нещо, което трябва да направите, е да се уверите, че дадената точка изобщо ще принадлежи на графиката на тази функция.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Посочената функция е дефинирана за всички аргументи, които са реални числа. Изчисляваме първата и втората производни:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Разбрахме, че втората производна ще отиде до 0, ако х е равно на 0. Това означава, че необходимото условие за инфлексия за тази точка ще бъде изпълнено. Сега използваме второто условие: намираме третата производна и откриваме дали ще се превърне в 0 при 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Третата производна няма да изчезне за никаква стойност на x. Следователно можем да заключим, че тази точка ще бъде инфлексната точка на графиката на функцията.

Отговор:Нека покажем решението на илюстрацията:

Да кажем, че f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . ., f (n) (x 0) = 0 и f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . В този случай, за дори n, получаваме, че x 0 е абсцисата на инфлексната точка на графиката y \u003d f (x) .

Пример 6

Състояние:дадена функция y = (x - 3) 5 + 1 . Изчислете точките на инфлексия на неговата графика.

Решение

Тази функция е дефинирана върху цялото множество от реални числа. Изчислете производната: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Тъй като той също ще бъде дефиниран за всички реални стойности на аргумента, тогава във всяка точка на неговата графика ще има невертикална допирателна.

Сега нека изчислим за какви стойности втората производна ще се превърне в 0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Установихме, че за x = 3 графиката на функцията може да има инфлексна точка. Използваме третото условие, за да потвърдим това:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Имаме n = 4 по третото достатъчно условие. Това е четно число, така че x \u003d 3 ще бъде абсцисата на инфлексната точка и точката на графиката на функцията (3; 1) съответства на нея.

Отговор:Ето графика на тази функция с маркирани изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексна точка:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Концепцията за изпъкналост на функция

Да разгледаме функцията \(y = f\left(x \right),\), която се приема, че е непрекъсната на сегмента \(\left[ (a,b) \right].\) Функцията \(y = f \left(x \right),\) )\) се извиква изпъкнал надолу (или просто изпъкнал), ако за всякакви точки \((x_1)\) и \((x_2)\) от \(\left[ (a,b) \right]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a, b) \right],\), така че \((x_1) \ne (x_2),\), тогава функцията \(f\left(x \right) \) се извикват строго изпъкнал надолу

Изпъкнала нагоре функция се дефинира по подобен начин. Извиква се функцията \(f\left(x \right)\). изпъкнал нагоре (или вдлъбнат), ако за всякакви точки \((x_1)\) и \((x_2)\) от отсечката \(\left[ (a,b) \right]\) неравенството \ Ако това неравенство е строго за всяко \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\), така че \((x_1) \ne (x_2),\) тогава функцията \(f\left(x \right ) \) се наричат строго изпъкнали нагоре върху сегмента \(\left[ (a,b) \right].\)

Геометрична интерпретация на изпъкналостта на функция

Въведените дефиниции на изпъкнала функция имат проста геометрична интерпретация.

За функцията, изпъкнал надолу (чертеж \(1\)), средната точка \(B\) на всяка хорда \((A_1)(A_2)\) се намира по-висок

По същия начин за функцията изпъкнал нагоре (чертеж \(2\)), средната точка \(B\) на всяка хорда \((A_1)(A_2)\) се намира По-долусъответстваща точка \((A_0)\) от графиката на функцията или съвпада с тази точка.

Изпъкналите функции имат друго визуално свойство, което е свързано с местоположението допирателна към графиката на функцията. Функцията \(f\left(x \right)\) е изпъкнал надолу върху сегмента \(\left[ (a,b) \right]\) ако и само ако неговата графика не лежи по-ниско от допирателната, начертана към него във всяка точка \((x_0)\) на сегмента \(\left [ (a ,b) \вдясно]\) (фигура \(3\)).

Съответно функцията \(f\left(x \right)\) е изпъкнал нагоре върху сегмента \(\left[ (a,b) \right]\) ако и само ако неговата графика не лежи по-високо от допирателната, начертана към него във всяка точка \((x_0)\) на сегмента \(\left [ (a ,b) \вдясно]\) (фигура \(4\)). Тези свойства са теорема и могат да бъдат доказани с помощта на определението за изпъкналост на функция.

Достатъчни условия за изпъкналост

Нека за функцията \(f\left(x \right)\) първата производна \(f"\left(x \right)\) съществува на сегмента \(\left[ (a,b) \right], \) и втората производна \(f""\left(x \right)\) − на интервала \(\left((a,b) \right).\) Тогава са валидни следните достатъчни критерии за изпъкналост:

Ако \(f""\left(x \right) \ge 0\) за всички \(x \in \left((a,b) \right),\), тогава функцията \(f\left(x \ точно )\) изпъкнал надолу на сегмента \(\left[ (a,b) \right];\)

Ако \(f""\left(x \right) \le 0\) за всички \(x \in \left((a,b) \right),\), тогава функцията \(f\left(x \ точно )\) изпъкнал нагоре върху сегмента \(\left[ (a,b) \right].\)

В случаите, когато втората производна е строго по-голяма от (по-малка от) нула, се говори съответно за строга изпъкналост надолу (или нагоре ).

Нека докажем горната теорема за случай на изпъкнала надолу функция. Нека функцията \(f\left(x \right)\) има неотрицателна втора производна на интервала \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Означаваме с \((x_0)\) средата на отсечката \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Да приемем, че дължината на тази отсечка е равно на \(2h.\) Тогава координатите \((x_1)\) и \((x_2)\) могат да бъдат записани като: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Разгънете функцията \(f\left(x \right)\) в точката \((x_0)\) в ред на Тейлър с остатъчен член във формата на Лагранж. Получаваме следните изрази: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Добавете двете равенства: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right)) \right].) \] Тъй като \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) вторите производни от дясната страна са неотрицателни . Следователно \ или \, което според дефиницията е функцията \(f\left(x \right)\) изпъкнал надолу .

Обърнете внимание, че необходимото условие за изпъкналост за функция (т.е. директна теорема, в която например от условието за изпъкналост следва, че \(f""\left(x \right) \ge 0\)) е изпълнено само за нестроги неравенства. В случай на строга изпъкналост необходимото условие обикновено не е изпълнено. Например функцията \(f\left(x \right) = (x^4)\) е строго изпъкнала надолу. В точката \(x = 0\) обаче неговата втора производна е равна на нула, т.е. строгото неравенство \(f""\left(x \right) \gt 0\) не е изпълнено в този случай.

Свойства на изпъкнали функции

Ние изброяваме някои свойства на изпъкнали функции, като приемаме, че всички функции са дефинирани и непрекъснати на сегмента \(\left[ (a,b) \right].\)

Ако функциите \(f\) и \(g\) са изпъкнали надолу (нагоре), тогава всяка от тях линейна комбинация \(af + bg,\), където \(a\), \(b\) са положителни реални числа, също изпъкнали надолу (нагоре).

Ако функцията \(u = g\left(x \right)\) е изпъкнала надолу и функцията \(y = f\left(u \right)\) е изпъкнала надолу и ненамаляваща, тогава сложна функция \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) също ще изпъкне надолу.

Ако функцията \(u = g\left(x \right)\) е изпъкнала нагоре и функцията \(y = f\left(u \right)\) е изпъкнала надолу и ненарастваща, тогава сложна функция \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) ще изпъкне надолу.

Местен максимум изпъкнала нагоре функция, дефинирана върху сегмента \(\left[ (a,b) \right],\) е едновременно негова най-висока стойност на този сегмент.

Местен минимум изпъкнала надолу функция, дефинирана на сегмента \(\left[ (a,b) \right],\) е едновременно неговата най-малката стойност на този сегмент.