Teorema o svojstvu linearnih uglova. Pronalaženje ugla između ravnina (diedarski ugao). Pogledajte šta je "linearni ugao" u drugim rečnicima

Diedarski ugao. Linearni diedarski ugao. Diedarski ugao je lik formiran od dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravni i imaju zajedničku granicu - pravu a. Poluravnine koje formiraju diedarski ugao nazivaju se njegove strane, a zajednička granica ovih poluravnina naziva se ivica diedarskog ugla. Linearni ugao diedarskog ugla je ugao čije su stranice zrake duž kojih su lica diedarskog ugla presečena ravninom koja je okomita na ivicu diedarskog ugla. Svaki diedarski ugao ima bilo koji broj linearnih uglova: kroz svaku tačku ivice može se povući ravan okomita na ovu ivicu; Zrake duž kojih ova ravan siječe strane diedarskog ugla formiraju linearne uglove.

Svi linearni uglovi diedarskog ugla su međusobno jednaki. Dokažimo da ako su diedarski uglovi koje formira ravan osnove piramide KABC i ravni njenih bočnih strana jednaki, onda je osnova okomice povučene iz temena K centar upisane kružnice u trouglu ABC.

Dokaz. Prije svega, konstruirajmo linearne uglove jednakih diedarskih uglova. Po definiciji, ravan linearnog ugla mora biti okomita na ivicu diedralnog ugla. Stoga ivica diedarskog ugla mora biti okomita na stranice linearnog ugla. Ako je KO okomit na osnovnu ravan, onda možemo nacrtati ILI okomitu AC, ILI okomitu SV, OQ okomitu AB, a zatim spojiti tačke P, Q, R SA tačkom K. Tako ćemo konstruisati projekciju kosih RK, QK , RK tako da su ivice AC, NE, AB okomite na ove projekcije. Shodno tome, ove ivice su okomite na same nagnute ivice. I stoga su ravni trouglova ROK, QOK, ROK okomite na odgovarajuće ivice diedarskog ugla i formiraju one jednake linearne uglove koji su navedeni u uslovu. Pravougli trouglovi ROK, QOK, ROK su podudarni (pošto imaju zajedničku krak OK i uglovi nasuprot ovoj kraci su jednaki). Prema tome, OR = OR = OQ. Ako nacrtamo kružnicu sa centrom O i poluprečnikom OP, tada su stranice trougla ABC okomite na poluprečnike OP, OR i OQ i stoga su tangente na ovu kružnicu.

Okomitost ravnina. Alfa i beta ravni nazivaju se okomiti ako je linearni ugao jednog od diedarskih uglova formiranih u njihovom preseku jednak 90." Znakovi okomitosti dve ravni Ako jedna od dve ravni prolazi kroz pravu koja je okomita na drugu ravninu, onda su ove ravni okomite.

Na slici je prikazan pravougaoni paralelepiped. Njegove osnove su pravokutnici ABCD i A1B1C1D1. A bočna rebra AA1 BB1, CC1, DD1 su okomita na baze. Iz toga slijedi da je AA1 okomita na AB, tj. bočna strana je pravougaonik. Dakle, možemo opravdati svojstva pravougaonog paralelepipeda: U pravougaonom paralelepipedu svih šest lica su pravokutnici. U pravokutnom paralelepipedu svih šest lica su pravokutnici. Svi diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda su pravi uglovi. Svi diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda su pravi uglovi.

Teorema Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije. Vratimo se ponovo na sliku i dokažimo da je AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Pošto je ivica CC1 okomita na osnovu ABCD, ugao ACC1 je pravi. Iz pravouglog trougla ACC1, koristeći Pitagorinu teoremu, dobijamo AC12 = AC2 + CC12. Ali AC je dijagonala pravougaonika ABCD, tako da je AC2 = AB2 + AD2. Dodatno, CC1 = AA1. Stoga je AC12= AB2+AD2+AA12 Teorema je dokazana.

TEKST TRANSKRIPTA ČASA:

U planimetriji, glavni objekti su linije, segmenti, zrake i tačke. Zrake koje izlaze iz jedne tačke formiraju jedan od svojih geometrijskih oblika - ugao.

Znamo da se linearni ugao mjeri u stepenima i radijanima.

U stereometriji se objektima dodaje ravan. Figura koju čine prava linija a i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom a koje u geometriji ne pripadaju istoj ravni naziva se diedarski ugao. Poluravnine su lica diedralnog ugla. Prava a je ivica diedarskog ugla.

Diedarski ugao, kao i linearni ugao, može se imenovati, izmeriti i konstruisati. To je ono što moramo saznati u ovoj lekciji.

Nađimo diedarski ugao na modelu ABCD tetraedra.

Diedarski ugao sa ivicom AB naziva se CABD, gde tačke C i D pripadaju različitim stranama ugla, a ivica AB se naziva sredinom

Oko nas ima dosta objekata sa elementima u obliku diedralnog ugla.

U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je napravljena u obliku dvije nagnute ravni koje se konvergiraju prema centru.

Prilikom izgradnje kuća često se koristi takozvani zabatni krov. Na ovoj kući krov je napravljen u obliku dvodelnog ugla od 90 stepeni.

Diedarski ugao se također mjeri u stepenima ili radijanima, ali kako ga izmjeriti.

Zanimljivo je da se krovovi kuća oslanjaju na rogove. A rogova obloga formira dva krovna nagiba pod određenim uglom.

Prebacimo sliku na crtež. Na crtežu, za pronalaženje diedarskog ugla, na njegovoj ivici je označena tačka B. Iz te tačke su povučene dve zrake BA i BC okomito na ivicu ugla. Ugao ABC koji formiraju ove zrake naziva se linearni diedarski ugao.

Mera stepena diedarskog ugla jednaka je stepenu mere njegovog linearnog ugla.

Izmjerimo ugao AOB.

Mera stepena datog diedralnog ugla je šezdeset stepeni.

Za diedarski ugao može se nacrtati beskonačan broj linearnih uglova; važno je znati da su svi jednaki.

Razmotrimo dva linearna ugla AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 leže na istoj strani i okomite su na pravu liniju OO1, pa su kosmjerne. Grede OB i O1B1 su također kousmjerene. Dakle, ugao AOB jednak je uglu A1O1B1 kao uglovi sa kosmernim stranicama.

Dakle, diedarski ugao karakteriše linearni ugao, a linearni uglovi su oštar, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedarskih uglova.

Tup ugao je ako je njegov linearni ugao između 90 i 180 stepeni.

Pravi ugao ako je njegov linearni ugao 90 stepeni.

Oštar ugao, ako je njegov linearni ugao od 0 do 90 stepeni.

Dokažimo jedno od važnih svojstava linearnog ugla.

Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu diedralnog ugla.

Neka je ugao AOB linearni ugao datog diedralnog ugla. Po konstrukciji, zrake AO i OB su okomite na pravu a.

Ravan AOB prolazi kroz dve prave AO i OB koje se seku prema teoremi: Ravan prolazi kroz dve prave koje se seku, i to samo jednu.

Prava a je okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ovoj ravni, što znači, na osnovu okomitosti prave i ravni, prava a je okomita na ravan AOB.

Za rješavanje problema važno je biti u stanju konstruirati linearni ugao datog diedralnog ugla. Konstruisati linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AB za tetraedar ABCD.

Riječ je o diedralnom kutu, kojeg formiraju, prvo, ivica AB, jedna strana ABD, a druga ABC.

Evo jednog načina da ga izgradite.

Nacrtajmo okomicu iz tačke D na ravan ABC Označimo tačku M kao osnovu okomice. Podsjetimo da se u tetraedru osnova okomice poklapa sa centrom upisane kružnice u osnovi tetraedra.

Nacrtajmo nagnutu liniju iz tačke D okomito na ivicu AB, označimo tačku N kao osnovu nagnute linije.

U trouglu DMN, segment NM će biti projekcija nagnutog DN na ravan ABC. Prema teoremi o tri okomice, ivica AB će biti okomita na projekciju NM.

To znači da su stranice ugla DNM okomite na ivicu AB, što znači da je konstruisani ugao DNM željeni linearni ugao.

Razmotrimo primjer rješavanja problema izračunavanja diedralnog ugla.

Jednakokraki trougao ABC i pravilan trougao ADB ne leže u istoj ravni. Segment CD je okomit na ravan ADB. Naći diedarski ugao DABC ako je AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Diedralni ugao DABC je jednak njegovom linearnom uglu. Hajde da izgradimo ovaj ugao.

Nacrtajmo nagnuti CM okomit na ivicu AB, pošto je trougao ACB jednakokračan, tada će se tačka M poklopiti sa sredinom ivice AB.

Prava linija CD je okomita na ravan ADB, što znači da je okomita na pravu liniju DM koja leži u ovoj ravni. A segment MD je projekcija nagnutog CM na ravan ADV.

Prava AB je po konstrukciji okomita na nagnutu CM, što znači da je po teoremi o tri okomice okomita na projekciju MD.

Dakle, dvije okomice CM i DM nalaze se na ivicu AB. To znači da formiraju linearni ugao CMD diedralnog ugla DABC. I sve što treba da uradimo je da ga pronađemo iz pravouglog trougla CDM.

Dakle, segment SM je medijan i visina jednakokračnog trougla ACB, tada je prema Pitagorinoj teoremi krak SM jednak 4 cm.

Iz pravouglog trougla DMB, prema Pitagorinoj teoremi, krak DM jednak je dvama korijenima od tri.

Kosinus ugla iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjednog kraka MD i hipotenuze CM i jednak je tri korijena od tri puta dva. To znači da je ugao CMD 30 stepeni.

Ova lekcija je namijenjena samostalnom proučavanju teme “Dihedralni ugao”. U ovoj lekciji učenici će se upoznati sa jednim od najvažnijih geometrijskih oblika, diedralnim uglom. Takođe u lekciji ćemo naučiti kako odrediti linearni ugao dotične geometrijske figure i koliki je diedarski ugao u osnovi figure.

Ponovimo šta je ugao na ravni i kako se mjeri.

Rice. 1. Avion

Razmotrimo ravan α (slika 1). Od tačke O dva zraka emaniraju - OB I OA.

Definicija. Figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke naziva se ugao.

Ugao se mjeri u stepenima i radijanima.

Prisjetimo se šta je radijan.

Rice. 2. Radian

Ako imamo centralni ugao čija je dužina luka jednaka poluprečniku, onda se takav centralni ugao naziva ugao od 1 radijan. ,∠ AOB= 1 rad (slika 2).

Odnos između radijana i stupnjeva.

drago.

Shvatili smo, drago mi je. (). onda,

Definicija. Diedarski ugao naziva se figura koju formira prava linija A i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom A, koji ne pripadaju istoj ravni.

Rice. 3. Poluravni

Razmotrimo dvije poluravnine α i β (slika 3). Njihova zajednička granica je A. Ova figura se naziva diedarski ugao.

Terminologija

Poluravnine α i β su lica diedralnog ugla.

Pravo A je ivica diedralnog ugla.

Na zajedničkoj ivici A diedarski ugao, izaberite proizvoljnu tačku O(Sl. 4). U poluravni α iz tačke O vrati okomicu OA na pravu liniju A. Iz iste tačke O u drugoj poluravni β konstruišemo okomicu OB do ivice A. Imam ugao AOB, koji se naziva linearni ugao diedralnog ugla.

Rice. 4. Mjerenje diedarskog ugla

Dokažimo jednakost svih linearnih uglova za dati diedarski ugao.

Neka imamo diedarski ugao (slika 5). Hajde da izaberemo tačku O i tačka O 1 na pravoj liniji A. Konstruirajmo linearni ugao koji odgovara tački O, tj. nacrtamo dvije okomice OA I OB u ravninama α i β do ivice A. Dobijamo ugao AOB- linearni ugao diedralnog ugla.

Rice. 5. Ilustracija dokaza

Od tačke O 1 nacrtajmo dvije okomice OA 1 I OB 1 do ivice A u ravninama α i β i dobijamo drugi linearni ugao A 1 O 1 B 1.

Rays O 1 A 1 I OA kosmjerne, jer leže u istoj poluravni i paralelne su jedna s drugom kao dvije okomite na istu pravu A.

Isto tako, zraci Otprilike 1 u 1 I OB su korežirani, što znači ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kao uglovi sa kosmjernim stranicama, što je trebalo dokazati.

Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu diedralnog ugla.

Dokazati: A ⊥ AOB.

Rice. 6. Ilustracija dokaza

Dokaz:

OA ⊥ A po izgradnji, OB ⊥ A po konstrukciji (slika 6).

Nalazimo da je linija A okomito na dve prave koje se seku OA I OB van aviona AOB, što znači da je ravna A okomito na ravan OAV, što je trebalo dokazati.

Diedarski ugao se mjeri njegovim linearnim uglom. To znači da onoliko stepeni radijana je sadržano u linearnom uglu, isti broj stepeni radijana je sadržan u njegovom diedralnom uglu. U skladu s tim razlikuju se sljedeće vrste diedarskih uglova.

akutna (slika 6)

Diedarski ugao je oštar ako je njegov linearni ugao oštar, tj. .

Ravno (sl. 7)

Diedarski ugao je pravi kada mu je linearni ugao 90° - tup (sl. 8)

Diedarski ugao je tup kada je njegov linearni ugao tup, tj. .

Rice. 7. Pravi ugao

Rice. 8. Tupi ugao

Primjeri konstruiranja linearnih uglova u realnim figurama

ABCD- tetraedar.

1. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AB.

Rice. 9. Ilustracija za problem

Izgradnja:

Govorimo o diedralnom uglu koji formira ivica AB i ivice ABD I ABC(Sl. 9).

Hajde da napravimo direktan DN okomito na ravan ABC, N- osnova okomice. Nacrtajmo nagnuto DM okomito na pravu liniju AB,M- nagnuta baza. Teoremom o tri okomice zaključujemo da je projekcija kose NM takođe okomito na pravu AB.

Odnosno, sa tačke gledišta M dvije okomite na ivicu su obnovljene AB na dvije strane ABD I ABC. Dobili smo linearni ugao DMN.

primeti, to AB, ivica diedarskog ugla, okomita na ravan linearnog ugla, tj. DMN. Problem je riješen.

Komentar. Diedarski ugao se može označiti na sljedeći način: DABC, Gdje

AB- ivica i tačke D I WITH leže na različitim stranama ugla.

2. Konstruisati linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AC.

Nacrtajmo okomicu DN u avion ABC i skloni DN okomito na pravu liniju AC. Koristeći teoremu o tri okomite, nalazimo to NN- kosa projekcija DN u avion ABC, takođe okomito na pravu AC.DNH- linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AC.

U tetraedru DABC sve ivice su jednake. Dot M- sredina rebra AC. Dokaži da je ugao DMV- linearni diedarski ugao TID, tj. diedarski ugao sa ivicom AC. Jedno od njegovih lica je ACD, sekunda - DIA(Sl. 10).

Rice. 10. Ilustracija za problem

Rješenje:

Trougao ADC- jednakostraničan, DM- medijana, a samim tim i visina. znači, DM ⊥ AC. Isto tako, trougao AINC- jednakostraničan, INM- medijana, a samim tim i visina. znači, VM ⊥ AC.

Dakle, sa tačke gledišta M rebra AC diedarski ugao restaurira dvije okomice DM I VM na ovu ivicu u licima diedarskog ugla.

Dakle, ∠ DMIN je linearni ugao diedralnog ugla, što je trebalo dokazati.

Dakle, definisali smo diedarski ugao, linearni ugao diedarskog ugla.

U sljedećoj lekciji ćemo pogledati okomitost pravih i ravnina, zatim ćemo naučiti šta je diedarski ugao u osnovi figura.

Spisak referenci na temu "Dihedarski ugao", "Dihedarski ugao u osnovi geometrijskih figura"

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove / Sharygin I. F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Drfa, 2008. - 233 str.: ilustr.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Domaća zadaća na temu "Dedarski ugao", određivanje diedarskog ugla u osnovi figura

Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (osnovni i specijalizovani nivoi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.

Zadaci 2, 3 str.67.

Šta je linearni diedarski ugao? Kako ga izgraditi?

ABCD- tetraedar. Konstruiraj linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom:

A) IND b) DWITH.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Konstruisati linearni ugao diedralnog ugla A 1 ABC sa rebrom AB. Odredite njegovu mjeru stepena.

Pojam diedralnog ugla

Da bismo uveli pojam diedralnog ugla, prisjetimo se najprije jednog od aksioma stereometrije.

Bilo koja ravan se može podijeliti na dvije poluravnine prave $a$ koja leži u ovoj ravni. U ovom slučaju, tačke koje leže u istoj poluravni nalaze se na jednoj strani prave $a$, a tačke koje leže u različitim poluravni su na suprotnim stranama prave $a$ (slika 1).

Slika 1.

Princip konstruisanja diedralnog ugla zasniva se na ovom aksiomu.

Definicija 1

Figura se zove diedarski ugao, ako se sastoji od prave i dvije poluravnine ove prave koje ne pripadaju istoj ravni.

U ovom slučaju se nazivaju poluravnine diedralnog ugla ivice, a prava linija koja razdvaja poluravnine je diedralni rub(Sl. 1).

Slika 2. Diedarski ugao

Stepen mjera diedralnog ugla

Definicija 2

Odaberimo proizvoljnu tačku $A$ na rubu. Ugao između dvije prave koje leže u različitim poluravninama, okomito na ivicu i sijeku se u tački $A$ naziva se linearni diedarski ugao(Sl. 3).

Slika 3.

Očigledno, svaki diedarski ugao ima beskonačan broj linearnih uglova.

Teorema 1

Svi linearni uglovi jednog diedarskog ugla su međusobno jednaki.

Dokaz.

Razmotrimo dva linearna ugla $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (slika 4).

Slika 4.

Pošto zrake $OA$ i $(OA)_1$ leže u istoj poluravni $\alpha $ i okomite su na istu pravu liniju, onda su kosmjerne. Pošto zrake $OB$ i $(OB)_1$ leže u istoj poluravni $\beta $ i okomite su na istu pravu liniju, onda su kosmjerne. Dakle

\[\ugao AOB=\ugao A_1(OB)_1\]

Zbog proizvoljnosti izbora linearnih uglova. Svi linearni uglovi jednog diedarskog ugla su međusobno jednaki.

Teorema je dokazana.

Definicija 3

Mera stepena diedarskog ugla je stepenska mera linearnog ugla diedarskog ugla.

Problemi sa uzorcima

Primjer 1

Neka su nam date dvije neprave ravni $\alpha $ i $\beta $ koje se sijeku duž prave $m$. Tačka $A$ pripada ravni $\beta$. $AB$ je okomito na pravu $m$. $AC$ je okomita na ravan $\alpha $ (tačka $C$ pripada $\alpha $). Dokažite da je ugao $ABC$ linearan ugao diedarskog ugla.

Dokaz.

Nacrtajmo sliku prema uslovima zadatka (slika 5).

Slika 5.

Da biste to dokazali, prisjetite se sljedeće teoreme

Teorema 2: Prava linija koja prolazi kroz bazu nagnute je okomita na nju, okomita na njenu projekciju.

Pošto je $AC$ okomito na ravan $\alpha $, tada je tačka $C$ projekcija tačke $A$ na ravan $\alpha $. Dakle, $BC$ je projekcija kosog $AB$. Prema teoremi 2, $BC$ je okomito na ivicu diedralnog ugla.

Tada ugao $ABC$ zadovoljava sve zahtjeve za definiranje linearnog diedralnog ugla.

Primjer 2

Diedarski ugao je $30^\circ$. Na jednoj od lica leži tačka $A$, koja se nalazi na udaljenosti od $4$ cm od druge strane.Nađite rastojanje od tačke $A$ do ivice diedralnog ugla.

Rješenje.

Pogledajmo sliku 5.

Po uslovu imamo $AC=4\cm$.

Po definiciji stepena mjere diedralnog ugla, imamo da je ugao $ABC$ jednak $30^\circ$.

Trougao $ABC$ je pravougli trokut. Po definiciji sinusa oštrog ugla

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

“Dihedralni ugao” - Pronađite rastojanje od tačke B do ravni. Ugao C je oštar. Trougao ABC je tup. Ugao C je tup. Udaljenost od tačke do prave. U tetraedru DAVS sve su ivice jednake. Ugao između kosih. Udaljenost između nagnutih baza. Linearni uglovi diedarskog ugla su jednaki. Algoritam za konstruisanje linearnog ugla.

“Geometrija diedarskog ugla” - ugao RSV - linearan za diedarski ugao sa ivicom AC. Nađi (vidi) ivicu i lica diedarskog ugla. Model može biti voluminozan ili sklopivi. Presjek diedarskog ugla ravninom okomitom na ivicu. Ivice. prava CP je okomita na ivicu CA (prema teoremi o tri okomice). ugao RKV - linearan za diedarski ugao sa RSAV.

“Triedarski ugao” - Znakovi jednakosti trokutnih uglova. Zadato: Oabc – trougao; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lekcija 6. Posljedice. 1) Za izračunavanje ugla između prave i ravni je primenljiva formula: Formula tri kosinusa. . Dat je trougao Oabc. Trouglasti ugao. Teorema. U pravilnoj trouglastoj piramidi, ravan ugao na vrhu je manji od 120°.

“Triedarski i poliedarski uglovi” - Triedarski uglovi dodekaedra. Triedarski i tetraedarski uglovi rombičnog dodekaedra. Tetraedarski uglovi oktaedra. Triedarski uglovi tetraedra. Mjerenje poliedarskih uglova. Zadatak. Poliedarski uglovi. Pentagonalni uglovi ikosaedra. Vertikalni poliedarski uglovi. Trouglasti ugao piramide. Neka je SA1…An konveksan n-fasetiran ugao.

“Ugao između prave i ravni” - U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čije su ivice jednake 1, pronađite ugao između prave linije AC1 i ravni ADE1. U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čije su ivice jednake 1, pronađite ugao između prave AA1 i ravni ACE1. Ugao između prave i ravni. U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čije su ivice jednake 1, pronađite ugao između prave AB1 i ravni ADE1.

“Polyhedral angle” - Konveksni poliedarski uglovi. Poliedarski uglovi. U zavisnosti od broja lica, poliedarski uglovi su triedarski, tetraedarski, pentaedarski itd. C) ikosaedar. Dva ravna ugla triedarskog ugla su 70° i 80°. Dakle, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Ukupno ima 9 prezentacija