Ako je kut oštar, koliki je koeficijent. Kako pronaći padinu

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i upotreba ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas će se možda tražiti da date svoje lične podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Ispod su neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada ostavite zahtjev na web mjestu, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i predstojeće događaje.
• Povremeno vaše osobne podatke možemo koristiti za slanje važnih obavještenja i poruka.
• Takođe možemo koristiti lične podatke u interne svrhe, poput provođenja revizija, analize podataka i različitih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i pružili vam preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u izvlačenju nagrada, takmičenju ili sličnom promotivnom događaju, podatke koje navedete možemo koristiti za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Informacije koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskim postupcima i / ili na osnovu javnih upita ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, lične podatke koje prikupimo možemo prenijeti odgovarajućoj trećoj strani - pravnom sljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Preduzimamo mjere predostrožnosti - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštujte svoju privatnost na nivou kompanije

Kako bismo bili sigurni da su vaši lični podaci sigurni, donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti naših zaposlenih i strogo nadgledamo provođenje mjera povjerljivosti.

Izvod funkcije jedna je od teških tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je izvedenica.

Ovaj članak objašnjava jednostavno i jasno šta je derivat i čemu služi.... Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Sjetimo se definicije:

Izvod je brzina promjene funkcije.

Slika prikazuje grafikone tri funkcije. Šta mislite, koji brže raste?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey su istovremeno dobili posao. Pogledajmo kako su se njihovi prihodi promijenili tijekom godine:

Sve možete vidjeti na grafikonu odmah, zar ne? Kostjin prihod se više nego udvostručio u šest meseci. I Grišin prihod je također porastao, ali samo neznatno. I Matveyev prihod je pao na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, derivat njegovog dohotka je generalno negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako ćemo to učiniti?

Zapravo gledamo koliko strmo graf funkcija ide prema gore (ili prema dolje). Drugim riječima, koliko se brzo mijenja y promjenom x. Očito je da ista funkcija u različitim točkama može imati različite vrijednosti izvoda - odnosno može se mijenjati brže ili sporije.

Označava se izvod funkcije.

Pokažimo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Crta se grafikon neke funkcije. Uzmimo tačku na kojoj je apscisa. Nacrtajmo u ovom trenutku tangentu na graf funkcije. Želimo procijeniti koliko je strm graf funkcije. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta kuta nagiba tangente.

Izvod funkcije u točki jednak je tangenti ugla nagiba tangente nacrtanoj na grafik funkcije u ovoj točki.

Obratite pažnju - kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.

Ponekad se studenti pitaju šta je tangentna funkcija. Ovo je ravna linija koja ima jednu zajedničku točku s grafom u ovom odjeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na krug.

Pronaći ćemo ga. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne noge i susjedne noge. Iz trokuta:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se problemi često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Sjetimo se da je prava linija data jednačinom

Količina u ovoj jednadžbi naziva se nagib ravne linije... Jednaka je tangenti ugla nagiba ravne linije prema osi.

.

Shvatili smo

Sjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje derivata.

Izvod funkcije u točki jednak je nagibu tangente povučenom na grafik funkcije u toj točki.

Drugim riječima, izvod je jednak tangenti ugla nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim točkama. Pogledajmo kako je izvedenica povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim i različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U određenom trenutku, funkcija se povećava. Tangenta na grafikon nacrtan u točki tvori oštri kut; s pozitivnim smjerom osi. To znači da je izvod u ovom trenutku pozitivan.

U tom se trenutku naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovom trenutku čini tupi kut; s pozitivnim smjerom osi. Budući da je tangenta tupog kuta negativna, izvod je negativan u točki.

Evo šta se događa:

Ako se funkcija povećava, njen je izvod pozitivan.

Ako se smanji, njegov derivat je negativan.

A šta će se dogoditi na maksimalnom i minimalnom broju bodova? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (minimalna tačka) tangenta vodoravna. Prema tome, tangenta kuta nagiba tangente u tim tačkama je nula, a izvod je takođe nula.

Tačka je maksimalna tačka. U ovom trenutku, povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Slijedom toga, znak izvedenice se mijenja u točki od "plus" do "minus".

U točki - minimalnoj točki - derivat je također nula, ali njegov znak se mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: pomoću izvedenice možete naučiti sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.

U maksimalnoj točki, izvedenica je nula i mijenja znak iz "plus" u "minus".

U minimalnoj točki, izvedenica je također nula i mijenja znak iz "minus" u "plus".

Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:

	se povećava	maksimalna tačka	opada	minimalni poen	se povećava
+	0	-	0	+

Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih trebat će vam prilikom rješavanja problema. Druga - u prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Slučaj je moguć kada je izvod funkcije u bilo kojoj točki jednak nuli, ali funkcija u ovom trenutku nema maksimum ili minimum. Ovo je tzv :

U tački je tangenta na graf vodoravna, a izvod nula. Međutim, do točke se funkcija povećavala - a nakon točke nastavlja se povećavati. Znak izvedenice se ne mijenja - kako je bio pozitivan, tako i ostaje.

Takođe se događa da derivat ne postoji na maksimumu ili na minimumu. Na grafikonu ovo odgovara oštrom zavoju kada se tangenta u datoj točki ne može povući.

A kako pronaći izvedenicu ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju,

Prava linija y = f (x) bit će tangenta na graf prikazan na slici u točki x0 ako prolazi kroz točku s koordinatama (x0; f (x0)) i ima nagib f "(x0). Nađite takav koeficijent, poznavanje karakteristika tangente je jednostavno.

Trebat će vam

• - matematički priručnik;
• - jednostavna olovka;
• - sveska;
• - uglomer;
• - kompasi;
• - olovka.

Instrukcije

Ako vrijednost f '(x0) ne postoji, tada ili nema tangente ili se odvija vertikalno. S obzirom na to, prisustvo izvedenice funkcije u točki x0 posljedica je postojanja ne vertikalne tangente u dodiru s grafom funkcije u točki (x0, f (x0)). U tom će slučaju nagib tangente biti f "(x0). Dakle, geometrijsko značenje izvedenice postaje jasno - izračunavanje nagiba tangente.

Nacrtajte dodatne tangente koje bi dodirivale grafikon funkcije u tačkama x1, x2 i x3, a također označite kutove koje tvore ove tangente osi apscise (ovaj kut se mjeri u pozitivnom smjeru od osi do tangente). Na primjer, kut, to jest α1, bit će oštar, drugi (α2) će biti tup, a treći (α3) će biti nula, jer je tangentna linija paralelna s OX osi. U ovom slučaju, tangenta tupog kuta je negativna, tangenta oštrog ugla je pozitivna, a pri tg0 rezultat je nula.

Bilješka

Pravilno odredite ugao tangente. Da biste to učinili, koristite kutomjer.

Koristan savjet

Dvije kose linije bit će paralelne ako su im nagibi jednaki; okomito ako je umnožak nagiba ovih tangenti -1.

Izvori:

• Tangenta funkcijskog grafa

Kosinus se, poput sinusa, naziva "direktnim" trigonometrijskim funkcijama. Tangenta (zajedno s kotangensom) naziva se još jednim parom koji se naziva "derivati". Postoji nekoliko definicija ovih funkcija koje omogućuju pronalaženje tangente zadate poznatom vrijednošću kosinusa iz iste vrijednosti.

Instrukcije

Od količnika oduzmite povišenu na vrijednost kosinusa zadanog ugla, a iz rezultata izvucite kvadratni korijen - to će biti vrijednost tangente ugla, izražena njegovim kosinusom: tg (α) = √ (1-1 / (cos (α)) ²) ... U ovom slučaju, obratite pažnju na činjenicu da se u formuli kosinus nalazi u nazivniku razlomka. Nemogućnost dijeljenja s nulom isključuje upotrebu ovog izraza za kutove jednake 90 °, kao i razlikovanje od ove vrijednosti višestrukim od 180 ° (270 °, 450 °, -90 °, itd.).

Postoji i alternativni način izračunavanja tangente iz poznate kosinusne vrijednosti. Može se primijeniti ako nema ograničenja za upotrebu drugih. Da biste primijenili ovu metodu, prvo odredite vrijednost ugla iz poznate kosinusne vrijednosti - to se može učiniti pomoću funkcije kosinusnog luka. Zatim samo izračunajte tangentu za kut rezultirajuće vrijednosti. Općenito, ovaj algoritam se može napisati na sljedeći način: tan (α) = tan (arccos (cos (α))).

Postoji i egzotična opcija koja koristi definiciju kosinusa i tangente kroz oštre kutove pravokutnog trokuta. Kosinus u ovoj definiciji odgovara omjeru dužine katete uz ugao koji se razmatra i dužine hipotenuze. Znajući vrijednost kosinusa, možete odabrati odgovarajuće dužine ove dvije stranice. Na primjer, ako je cos (α) = 0,5, tada se za susjednu može uzeti jednako 10 cm, a za hipotenuzu - 20 cm. Konkretni brojevi ovdje nisu bitni - dobit ćete isti i ispraviti jedan sa bilo kojim vrijednostima koje imaju iste. Zatim, koristeći Pitagorin teorem, odredite dužinu nedostajuće strane - suprotne noge. Bit će jednak kvadratnom korijenu razlike između dužina kvadratne hipotenuze i poznatog kateta: √ (20²-10²) = √300. Tangenta po definiciji odgovara omjeru duljina suprotnih i susjednih nogu (√300 / 10) - izračunajte je i dobijte vrijednost tangente pronađene pomoću klasične definicije kosinusa.

Izvori:

• kosinus kroz formulu tangente

Jedna od trigonometrijskih funkcija, koja se najčešće označava slovima tg, mada se susreću i oznake žute boje. Najjednostavniji način razmišljanja o tangenti je omjer sinusa ugao do svog kosinusa. Ovo je neparna periodična i neprekinuta funkcija, čiji je svaki ciklus jednak broju Pi, a točka prekida odgovara oznaci na polovici ovog broja.

Na slici je prikazan kut nagiba ravne linije i označena je vrijednost nagiba za različite opcije za položaj prave linije u odnosu na pravokutni koordinatni sistem.

Pronalaženje nagiba ravne linije pod poznatim uglom nagiba prema osi Vola ne predstavlja poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je upamtiti definiciju nagiba i izračunati tangentu nagiba.

Primjer.

Pronađite nagib ravne linije ako je kut njenog nagiba prema osi apscise.

Odluka.

Po stanju. Zatim, određivanjem nagiba ravne linije, izračunavamo .

Odgovor:

Problem pronalaženja kuta nagiba ravne linije prema osi apscise s poznatim nagibom je malo teži. Ovdje se mora uzeti u obzir znak nagiba. Pod uglom nagiba ravna linija je oštra i nalazi se kao. Kada je kut nagiba ravne linije tup i to se može odrediti formulom .

Primjer.

Odredite kut nagiba ravne linije prema osi apscise ako je njen nagib 3.

Odluka.

S obzirom da je nagib pozitivan, kut nagiba ravne linije prema osi Ox je oštar. Izračunavamo po formuli.

Odgovor:

Primjer.

Nagib ravne linije je. Odredite ugao nagiba ravne linije prema osi Ox.

Odluka.

Označavamo k je nagib ravne linije, je kut nagiba ove ravne linije u pozitivan smjer osi Ox. As , tada formulom koristimo za pronalaženje ugla nagiba prave linije sljedećeg oblika ... U njega zamjenjujemo podatke iz stanja :.

Odgovor:

Jednadžba prave linije sa nagibom.

Jednadžba prave linije sa nagibom ima oblik, gdje je k nagib ravne crte, b je neki stvarni broj. Bilo koja ravna linija koja nije paralelna s osom Oy može se odrediti jednadžbom ravne crte s nagibom (za ravnu liniju paralelnu s ordinatom nagib nije definiran).

Razumijemo značenje fraze: "Ravna crta na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu data je jednadžbom s nagibom oblika." To znači da jednačinu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke na pravoj liniji, a koordinate bilo koje druge točke na ravni ne. Dakle, ako se prilikom zamjene koordinata točke dobije ispravna jednakost, tada prava linija prolazi kroz ovu točku. Inače, točka ne leži na ravnoj liniji.

Primjer.

Prava crta data je jednačinom sa nagibom. Da li i bodovi pripadaju ovoj liniji?

Odluka.

Zamijenite koordinate točke u izvornu jednadžbu prave linije s nagibom: ... Dobili smo ispravnu jednakost, dakle, tačka M 1 leži na pravoj liniji.

Zamjenom koordinata točke dobivamo netačnu jednakost: ... Dakle, tačka M 2 ne leži na pravoj liniji.

Odgovor:

Point M 1 pripada liniji, M 2 ne.

Treba imati na umu da prava linija definirana jednadžbom prave linije s nagibom prolazi kroz točku, jer kada zamjenom svojih koordinata u jednačinu dobijemo ispravnu jednakost :.

Dakle, jednadžba prave s kutnim koeficijentom definira ravnu liniju na ravnini koja prolazi kroz točku i tvori kut s pozitivnim smjerom osi apscise.

Kao primjer, prikazat ćemo pravu liniju određenu jednadžbom prave linije s nagibom oblika. Ova linija prolazi kroz tačku i ima nagib. radijana (60 stepeni) do pozitivnog smera ose Ox. Njegov nagib je.

Jednadžba prave linije sa nagibom koji prolazi kroz datu tačku.

Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobivamo jednadžbu prave linije sa zadanim nagibom k i prolaska kroz točku.

Budući da prava linija prolazi kroz tačku, jednakost ... Ne znamo broj b. Da bismo ga se riješili, oduzimamo s lijeve i desne strane jednadžbe prave linije s nagibom, odnosno lijevu i desnu stranu posljednje jednakosti. U ovom slučaju dobivamo ... Ova jednakost je jednačina prave linije sa zadatim nagibom k koji prolazi kroz datu tačku.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Napiši jednadžbu prave kroz točku, nagib ove linije je -2.

Odluka.

Iz stanja koje imamo ... Tada će jednadžba prave linije s nagibom poprimiti oblik.

Odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu ravne linije ako je poznato da prolazi kroz točku i ako je kut nagiba u pozitivan smjer osi Ox jednak.

Odluka.

Prvo izračunavamo nagib pravca čiju jednadžbu tražimo (taj smo problem riješili u prethodnom paragrafu ovog članka). A-priory ... Sada imamo sve podatke za pisanje jednadžbe linije nagiba:

Odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu pravca s nagibom koji prolazi kroz točku paralelnu s pravom.

Odluka.

Očito se uglovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox poklapaju (ako je potrebno, pogledajte članak Paralelizam linija), pa su nagibi paralelnih linija jednaki. Tada je nagib pravca, čiju jednadžbu moramo dobiti 2, jer je nagib pravca 2. Sada možemo sastaviti traženu jednadžbu prave linije sa nagibom:

Odgovor:

Prijelaz s jednadžbe ravne crte s nagibom na druge tipove jednadžbe prave crte i obrnuto.

Uprkos svojoj poznatosti, jednadžba ravne linije s nagibom nije uvijek prikladna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim je slučajevima probleme lakše riješiti kada se jednadžba prave crte predstavi u drugačijem obliku. Na primjer, jednadžba ravne linije s nagibom ne dozvoljava vam da odmah napišete koordinate vektora usmjeravanja ravne crte ili koordinate normalnog vektora ravne crte. Zbog toga treba naučiti prelaziti s jednačine ravne linije s nagibom na druge vrste jednadžbi ove ravne crte.

Iz jednadžbe ravne crte s nagibom lako je dobiti kanoničku jednadžbu ravne crte na ravni oblika ... Da bismo to učinili, s desne strane jednadžbe prenosimo pojam b na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim dijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti nagibom k :. Te nas radnje vode od jednadžbe ravne linije s nagibom do kanonske jednadžbe ravne crte.

Primjer.

Dajte jednadžbu ravne linije sa nagibom kanonskom obliku.

Odluka.

Izvršimo potrebne transformacije :.

Odgovor:

Primjer.

Prava linija daje se jednadžbom prave linije sa nagibom. Je li vektor normalan vektor ove linije?

Odluka.

Da bismo riješili ovaj problem, prelazimo s jednadžbe ravne linije s nagibom na opću jednadžbu ove ravne crte: ... Znamo da su koeficijenti prije varijabli x i y u općoj jednadžbi prave crte odgovarajuće koordinate normalnog vektora ove ravne crte, to jest normalnog vektora ravne crte ... Očito je da je vektor kolinearan s vektorom, jer je veza istinita (po potrebi pogledajte članak). Dakle, izvorni vektor je ujedno i normalan vektor ravne linije , i, prema tome, normalni je vektor i originalna linija.

Odgovor:

Da, jeste.

A sada ćemo riješiti obrnuti problem - problem smanjenja jednadžbe ravne crte na ravni na jednadžbu prave crte s nagibom.

Iz opšte jednačine prave linije , u kojem je vrlo lako prijeći na jednadžbu s nagibom. Da biste to učinili, morate riješiti opću jednadžbu prave s obzirom na y. U ovom slučaju dobivamo. Rezultirajuća jednakost jednadžba je prave linije sa nagibom jednakim.