Экспоненциальный рост и отношения хищник—жертва. Законы силы в бизнесе Уравнение экспоненциального роста

Экспоненциальный рост

Когда Альберта Эйнштейна попросили назвать самую могучую силу на свете, он без колебаний ответил: «Сложные проценты».

Для того чтобы действительно понять природу и последствия длительного периода роста, нужно быть гением. Эксперименты показали, что даже образованным и хорошо разбирающимся в математике людям свойственно значительно недооценивать результаты роста. Например, в ходе одного исследования* испытуемых попросили оценить необходимую производительность тракторного завода, который начал работать в 1976 году с выпуска 1000 тракторов в год, после чего каждый год спрос увеличивался на 6 процентов. Сколько тракторов, спрашивали их, завод должен будет производить в 1990, 2020, 2050 и 2080 годах? Типичные ответы базировались на постепенном линейном увеличении, и поэтому оценки спроса до 1990 года были достаточно близки к правильному ответу. Но последующие цифры правильных ответов подскакивали «экспоненциально», в то время как оценки отвечающих продолжали основываться на стабильном приросте. Большинство респондентов ответили, что в 2080 году спрос составит около 30 000 тракторов, в то время как правильный ответ около 350 000, что в 10 с лишним раз больше!

А теперь отгадайте загадку. В пруду площадью 13 тысяч кв. футов плавает один лист кувшинки, занимающий площадь в 1 кв. фут. Через неделю листьев уже два. Через две недели четыре. Посчитайте, сколько времени понадобится кувшинкам, чтобы покрыть весь пруд.

Через 16 недель они покроют половину пруда. А теперь скажите, сколько еще пройдет времени, пока весь пруд не будет покрыт кувшинками? Для того чтобы покрыть половину пруда, кувшинкам понадобилось 16 недель. Но вот чтобы закрыть вторую половину, достаточно будет одной недели, так как площадь листьев каждую неделю удваивается. Окончательный ответ -17 недель.

* См.: ^ Дитрих Дернер. Логика неудачи: почему дела идут плохо и что мы можем сделать, чтобы их поправить (Dietrich Dorner. The Logic of Failure: Why Things Go Wrong and What We Can Do to Make Them Right. 1996, Metropolitan Books, New York). Оригинал опубликован в Германии в 1989 году под названием «Die Logik des Misslingcns» издательством Rowohlt Verlag.

А помните басню про индийского короля, который захотел наградить изобретателя шахмат? Изобретатель попросил всего лишь несколько зернышек риса: на одну клетку положить одно, на вторую два, на третью четыре, и так далее на все остальные клетки. Король думал, что мудрец поскромничал, - пока не выяснилось, что только на одну последнюю клетку пришлось бы положить 9 223 372 036 000 000 000 зерен, или около 153 миллиардов тонн, или больше двух с половиной миллионов огромных (по 60 000 тонн) сухогрузов, до самых бортов заполненных рисом. А всему виной «экспоненциальный» рост, в данном случае удвоение зерен риса на каждой клетке.

^ В чем суть экспоненциального роста?

Экспонента - это число, показывающее, сколько раз какая-то величина должна быть умножена сама на себя. Например, если экспонента равна 3, а величина 4, то выражение 4 3 означает 4 х 4x4, что составит 64. Математическое выражение у 2 означает у ху , а число 2 - это экспонента.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного? При линейном росте величина увеличивается на каждом этапе на одно и то оке, а не на кратное число. Если мой стартовый капитал составляет 1000 долларов и каждый год увеличивается на 100 долларов, то через 10 лет я его удвою и буду иметь 2000 долларов. Вот это и есть линейный рост, на одну и ту же сумму каждый год. Но если мой стартовый капитал в 1000 долларов каждый год будет увеличиваться на 10 процентов, то через десять лет у меня будет 2594 доллара. Это пример экспоненциального роста с постоянным кратным числом ежегодного увеличения 1,1. Если же я буду продолжать свой бизнес еще 10 лет, то линейный рост даст мне общую сумму 3000 долларов, в то время как экспоненциальный - 6727 долларов.

Любой рынок или бизнес, поддерживающий уровень роста 10 процентов или больше на протяжении длительного периода времени, получит гораздо больший эффект с плане создания стоимости, чем мы интуитивно оцениваем. Некоторые компании- такие как IBM или McDonald"s за период с 1950 по

1985 год или Microsoft в 1990-х годах- сумели обеспечить уровень роста, превышающий 15 процентов в год, и во много раз увеличили свои капиталы. Если вы начнете со 100 долларов и в течение 15 лет будете увеличивать капитал на 15 процентов в год, то в конце у вас будет уже 3292 доллара, то есть почти в 33 раза больше, чем в начале. Незначительное увеличение процента роста приводит к большой разнице в результатах.

К примеру, американский биржевой брокер Уильям О"Нил создал для своих одноклассников фонд и управлял им с 1961 по 1986 год. За это время первоначальные 850 долларов превратились в сумму 51 653 доллара после выплаты всех налогов*. За 25 лет средний рост составил 17,85 процента в год, что выразилось в увеличении первоначальной суммы в 61 раз. Таким образом, мы видим, что если за 25 лет 15-процентный рост увеличивает капитал в 33 раза, то добавление меньше чем 3 процентных пунктов к темпам годового прироста увеличивает результат в 61 раз.

Экспоненциальный рост меняет вещи не только количественно, но и качественно. Например, при быстром росте индустрии - Питер Дрюкер называет цифру 40 процентов за 10 лет - меняется сама ее структура, и на первый план выходят новые лидеры рынка. Быстрому росту рынков способствуют новаторство, отсутствие закономерности, новые продукты, технологии или потребители. Новаторы по определению ведут дела не так, как все. Новые способы редко уживаются с привычками, идеями, процедурами и структурами существующих фирм. Новаторы нередко получают возможность снимать пенки на протяжении нескольких лет, пока традиционные лидеры не решат пойти в контратаку, но тогда может быть уже поздно.

^ Кролики Фибоначчи

Хочу предложить вам любопытную загадку на тему экспоненциального роста. В 1220 году Леонардо Пизанский, получивший 600 лет спустя прозвище «Фибоначчи», придумал следую-

* ^ Уильям Дж. О "Нил. Как делать деньги на биржах (William J. О "Neil. How to Make Money in Stocks. 1991, McGraw-Hill, New York. P. 132).

щий сценарий. Начнем с пары кроликов. Затем представим, что каждая пара через год производит на свет другую пару, а через год - еще одну. После этого кролики становятся слишком старыми для размножения. Как будет увеличиваться количество пар, и есть ли в этой модели что-нибудь замечательное?

Если хотите, можете составить последовательность ежегодного количества пар самостоятельно, но можете посмотреть ответ сразу:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Не замечаете ничего необычного?

Собственно говоря, тут есть два интересных момента. Один заключается в том, что начиная с третьей, каждая последующая цифра является суммой двух предыдущих. Второй состоит в том, что отношение числа каждого года (после третьего) к числу предыдущего составляет практически постоянный коэффициент, который вскоре приближается к 1,618. Другими словами, тут наблюдается постоянная скорость прироста, составляющая чуть больше 60 процентов.

Со временем загадка ^ Кроликов Фибоначчи получила исчерпывающее математическое объяснение, но, к счастью, тут нет для него места*. Тем не менее эти кролики являются прекрасной иллюстрацией экспоненциального роста, равно как и того факта, что даже такой явно ограниченный рост не может продолжаться слишком долго. Через 144 года объем кроликов Фибоначчи превысит объем Вселенной, и все люди погибнут, задохнувшись под пушистой массой. Вот уж действительно притянуто за уши!

^ Большой Взрыв

Другая, более экстремальная форма экспоненциального роста, возможно, лежит в основе возникновения Вселенной. В наши дни практически все астрономы и физики согласились с Теорией Большого Взрыва, согласно которой Вселенная началась

* Любители математики могут полистать книгу Питера М. Хиггинса «Математика для любознательных» (Peter M. Higgins. Mathematics for the Curious. 1998, Oxford University Press, Oxford).

с невообразимо малого объема, а потом за долю секунды 100 раз удвоила свои размеры, что сделало ее похожей на небольшой грейпфрут. Затем этот период «вспучивания», или экспоненциального роста, закончился, уступив место линейному росту, в ходе которого расширяющийся огненный шар создал сегодняшнюю Вселенную.

Экспоненциальный рост - это неотъемлемая составляющая творчества любого рода. Интересный урок состоит в том, что при экспоненциальном росте не нужно начинать с чего-то большого. По сути дела, начать можно с самого малого. Если Вселенная могла возникнуть с чего-то настолько малого, что мы не можем себе этого представить, и расширилась до своих сегодняшних невообразимо бесконечных размеров, то фактор первоначальных размеров нового бизнеса следует признать не имеющим совершенно никакого значения. Ключевой показатель - это период экспоненциального роста, за которым следует более длительный период линейного роста.

^ Выводы из концепции роста

Самые лучшие возможности творчества и роста возникают в периоды нарушения равновесия или, иными словами, в момент достижения точки опрокидывания и сразу после него.

Нарушения равновесия и точки опрокидывания не происходят внезапно. Всегда существует период, иногда достаточно долгий, предварительной разминки, когда существующая система выказывает признаки нестабильности, а новая спокойно набирает силу. Во всем, что касается новых технологий или видов продукции, точка опрокидывания достигается только после того, как новшество получает «прописку» на массовом рынке. Это означает, что его продажа должна основываться на традиционных критериях выгоды, а революционная сущность перемены (если она есть) должна быть закамуфлирована.

Периоды стремительных изменений и высокого экспоненциального роста обычно не длятся долго. Пройдет немного времени, как установится новое равновесие с новой господствующей технологией и/или новой конкурентной ситуацией. Отсюда ощущение увлекательности и необычной неуверенности, связанное с периодами нарушения равновесия. Отсюда же те исключительные выгоды, которые извлекают люди, сумевшие в этот короткий период захватить господствующие позиции. Такое господство скорее является результатом искусного маркетинга и позиционирования, чем превосходства самой технологии.

Большинство новаторов терпят поражение. Чтобы оседлать успех, они должны «преодолеть пропасть» - или перейти точку опрокидывания - и внедриться на массовый рынок. Ключевым фактором тут является ускорение. Пока новая продукция или технология не начнет стремительно размножаться, у нее мало шансов на выживание.

^ Закон экономического арбитража Сэя

В 1803 году французский экономист Жан-Батист Сэй (1767- 1832) опубликовал замечательную работу «Трактат о политической экономии». Томас Джефферсон отозвался о ней так:

«Превосходный труд... блестящая компоновка, четкие идеи, ясный слог, а вся работа в два раза тоньше, чем книга [Адама] Смита"*.

В трактате содержалось множество поразительных новшеств, включая термин «entrepreneur» (предприниматель) и сформулированную в том же самом предложении первую теорию экономического арбитража.

Предприниматель перемещает экономические ресурсы из области с более низкой производительностью в область с более высокой производительностью и извлекает из этого выгоду.

Задолго до распространения понятия доходности капитала Сэй назвал один из наиболее важных двигателей экономического творчества и прогресса. Ресурсы по определению ограниченны, поэтому рост зависит не столько от разведки и эксплуатации природных ресурсов, сколько от возможности более пол-

* Томас Джефферсон в письме Джозефу Миллигану, 6 апреля 1816 года. Это превосходная статья, и я использовал ее в своем докладе.

ного использования каждой единицы ресурса. Отчасти это функция более совершенных технологий и методик, но нельзя сбрасывать со счетов умение предпринимателя доставить эти ресурсы туда, где они окажутся наиболее продуктивными.

^ Принцип реальности Фрейда

В 1900 году Зигмунд Фрейд (1856-1939) выпустил в свет «Толкование сновидений» и основал новую науку психоанализа. Одной из его ключевых концепций был Принцип реальности, утверждающий, что от использования других людей в корыстных целях нас удерживает только то, что они стремятся сделать то же самое с нами. Сталкиваясь с реальностью (действительностью), мы вынуждены приспосабливаться к потребностям других людей и требованиям внешнего мира, чтобы иметь возможность удовлетворить собственные инстинкты.

Концепция Фрейда определенно имеет большую ценность, но довольно неожиданный поворот той же идее придал его современник, драматург Джордж Бернард Шоу:

«Разумный человек приспосабливает себя к миру [в соответствии с принципом реальности Фрейда]: неразумный человек настойчиво пытается приспособить мир к себе. Следовательно, любой прогресс зависит от человека неразумного «.

Творчество и предпринимательство требуют подпитки новыми идеями, новыми методами и неразумными подходами. Вел ли себя разумно Генри Форд, когда настаивал на том, что автомобили должны быть доступны рабочему человеку? Он явно не следовал за спросом, так как спрос на автомобили существовал только среди богатых. Форд отказался согласиться с тем миром, который существовал вокруг него; он продолжал попытки подстроить мир под свое видение. Используя конвейер и максимальную стандартизацию, Форд снизил стоимость модели Т с 850 долларов в 1908 году до 300 долларов в 1922 году и преуспел в своей миссии «демократизации автомобиля».

^ Преуспевающий предприниматель

Книга Бытия и теория Большого Взрыва сходятся в одном: было только одно первоначальное сотворение мира. Следовательно, прогресс - это всего лишь перестановка слагаемых. Ничто не ново под луной.

Такую точку зрения никак нельзя считать мрачной, и это обнадеживает. Все, чего не хватает человеческому благосостоянию, это взять определенный набор ресурсов и переместить их из областей с низкой продуктивностью в области с высокой продуктивностью.

Весь экономический прогресс основан на экономическом арбитраже данного типа. Это хорошая новость. Заниматься арбитражем легче, чем творчеством. Каждый должен быть способен придумать что-нибудь такое, что может получить выгоду от экономического арбитража, от выявления ресурсов, которые можно использовать с большей эффективностью.

Истинные предприниматели не ждут, пока исследователи рынка скажут им, что делать. У них есть свое видение того, как сделать что-нибудь лучше и по-иному. Они разрабатывают способы достичь большего меньшими усилиями. Они меняют менее доходные варианты использования ресурсов на более доходные и продолжают оставаться настойчивыми и неразумными, пока мир не примет их точку зрения.

^ Закон убывающей доходности

Одной из наиболее влиятельных и популярных концепций работы рынков и предприятия является Закон убывающей доходности, который сформулировал примерно в 1767 году французский экономист Робер Жак Тюрго.

Закон гласит, что после определенного момента доходность дополнительных усилий или инвестиций уменьшается, то есть уменьшается прирост стоимости. Для голодного человека булка хлеба имеет очень большую ценность. Ценность второй булки меньше. Десятая уже не будет иметь почти никакой цены. Если вы наймете дополнительно несколько крестьян для обработки одного участка земли, то после определенной точки вступит в действие закон убывающей доходности.

Через сто лет британские классические экономисты, лидером которых был Альфред Маршалл, распространили эту идею на рынки и фирмы. Лидирующие на рынке продукты или компании попадают в ловушку убывающей доходности. Цена крупных размеров в бизнесе - большой рыночной доли, крупной фабрики, широкого ассортимента - достигает своего пика, а затем идет на спад. Что ж, звучит вполне разумно.

Но классические экономисты пошли дальше. Они заявили, что рано или поздно предсказуемое равновесие цен и рыночной доли будет достигнуто и что честная конкуренция в сотрудничестве с законом убывающей доходности в конечном итоге приведут к невозможности получения сверхприбылей. Такая теория оправдывала государственное регулирование рынков - если прибыли очень высоки, это значит только одно: монополисты искусственно раздувают цены и препятствуют честной конкуренции.

Экспоненциальная зависимость представляет собой математическую функцию, которая является полезной для описания процесса, где быстро увеличивается или быстро уменьшается количество каких-либо элементов. Существует множество примеров использования этой зависимости в биологии, физике, экономике, медицине и других сферах человеческой деятельности.

Определение экспоненциальной зависимости

Для того чтобы понимать, что означают слова "это количество растет экспоненциально" или "этот процесс характеризуется экспоненциальным спадом", необходимо рассмотреть понятие самой экспоненциальной функции. Для этого возьмем некоторое положительное число "a", которое не равно 1, и возведем его в степень "x", при этом переменная x может иметь как положительные, так и отрицательные значения, но не должна равняться нулю. Также возьмем некоторое постоянное число k (константа), которое не равно нулю. Теперь введем математическую функцию f(x) = k*a x . Возведение в степень "x" положительного числа "a" - это экспоненциальная зависимость, а сама функция f(x) называется показательной. В функции f(x) число "a" называется основанием, а "x" - это независимая переменная.

Отметим, что в математике часто фигурирует основание экспоненциальной функции "a", которое приблизительно равно 2,718. Это число обозначается латинской буквой "e" и называется числом Эйлера. Отмеченное число играет важную роль в математической теории пределов, а также во многих физических процессах в природе, например, давление воздуха с высотой на нашей планете уменьшается по экспоненциальному закону, в которого основанием выступает число Эйлера.

График экспоненциальной зависимости

Рассмотрим свойства экспоненциальной функции y = a x , для этого обратимся к графику, представленному выше. Первым важным свойством является то, что каким бы основанием "a" ни была представлена функция, она всегда будет проходить через точку с координатами (0,1), поскольку a 0 = 1.

Из графика экспоненциальной зависимости также видно, что функция a x для любых значений переменной "x" принимает только положительные значения. При больших отрицательных значениях "x" функция быстро приближается к оси абсцисс, то есть стремится к нулю. В свою очередь, уже при небольших положительных значениях "x" функция резко возрастает, при этом скорость ее увеличения постоянно увеличивается также по экспоненциальному закону, что можно показать, если взять производную от рассматриваемой функции ((a x)" = ln(a)*a x , где ln(a) - натуральный логарифм).

Таким образом, экспоненциальная зависимость - это резкое изменение некоторой величины как в сторону ее увеличения, так и в сторону уменьшения.

Пример из шахматной истории

Хорошей демонстрацией значимости экспоненциального увеличения объектов является древняя легенда, связанная с изобретением шахмат. Согласно этой легенде, для развлечения одного индусского короля, которого звали Белкиб, его близкий друг Брахман Сисса за 3000 лет до нашей эры придумал настольную игру шахматы.

Король так рад был новой игре, что пообещал дать Сиссе все, что тот пожелает. Тогда Брахман Сисса предложил ему дать столько зерна, сколько поместится на 64 шахматных клетках, при этом на 1-ю клетку он положил 1 зерно, на 2-ю - 2 зерна, на 3-ю - 4 зерна и так далее, удваивая каждый раз число. Белкиб сразу не понял, насколько много ему потребуется отдать зерна, поэтому принял без размышлений предложение своего друга.

Количество зерен, которое помещается на шахматной доске согласно описанному принципу, составит 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 - гигантское число!

Рост населения планеты

Еще одним ярким примером процессов, которые описываются согласно экспоненциальной зависимости, является рост населения планеты. Так, в 1500 году население планеты составляло около 500 млн., в 1800 году, то есть через 300 лет, оно удвоилось и стало равно 1 млрд., прошло менее 50 лет, и население планеты перешагнуло отметку 2 млрд, в настоящее время количество жителей на планете Земля составляет 7,5 млрд. человек.

Описанный на примере человечества рост популяции характерен для любого биологического вида, будь то млекопитающее или одноклеточная бактерия. Математически этот рост описывается следующей формулой: N t = N 0 *e k*t , где N t и N 0 - численность популяции в моменты времени t и нулевой, соответственно, k - некоторый положительный коэффициент. Данная математическая модель роста популяций получила название экспоненциальной зависимости в экологии.

Экспоненциальный рост населения планеты заставил задуматься еще в начале XIX века известного английского экономиста и демографа Томаса Роберта Мальтуса. Ученый в свое время предсказывал, что в середине XIX века на Земле должен будет наступить голод, поскольку производство продуктов питания увеличивается линейно, в то время как численность людей на планете увеличивается экспоненциально. Мальтус полагал, что единственным способом достигнуть равновесия в рассматриваемой системе, является массовая смертность, вызванная войнами, эпидемиями и другими катаклизмами.

Как известно, ученый ошибся в своих мрачных предсказаниях, по крайней мере он ошибся с указанной датой.

Возраст археологических останков

Еще одним ярким примером природных процессов, которые происходят согласно экспоненциальному закону, является распад радиоактивных элементов. Это физическое явление, которое заключается в превращении ядер тяжелых элементов в ядра более легких, описывается следующей математической формулой: N t = N 0 *e -k*t , где N t и N 0 - количество ядер более тяжелого элемента в момент времени t и в начальный момент соответственно. Из этой формулы видно, что она практически аналогична таковой для роста биологической популяции, единственное отличие заключается в знаке "минус" в показателе экспоненты, который говорит об убыли тяжелых ядер.

Отмеченную формулу используют для определения возраста горных пород и окаменелых организмов. В последнем случае работают с изотопом углерода 14 C, поскольку его период полураспада (время, за которое начальное число тяжелых ядер уменьшится вдвое) является относительно небольшим (5700 лет).

Другие процессы, подчиняющиеся экспоненциальному закону

Экспоненциальная зависимость описывает многие процессы в экономике, химии и медицине. Например, дозы медикаментов, попавших в организм человека, уменьшаются во времени по экспоненциальному закону. В экономике инвестиционная прибыль, исходя из определенного начального капитала, рассчитывается также по экспоненциальному закону.

Экспонента - это число, показывающее, сколько раз какая-то величина должна быть умножена сама на себя. Например, если экспонента равна 3, а величина 4, то выражение 4 3 означает 4 х 4x4, что составит 64. Математическое выражение у 2 означает у ху , ачисло 2 - это экспонента.

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, а t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка-Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Тематика : зимние шины.
Регион : Украина.
Маржа : 13%. Период продвижения : 1.09 - 31.12 2012 vs 1.09 - 31.12 2013.
Траты : 42 389 грн vs 131 341 грн. (включая оплату за услуги агентства).

Хотя я по образованию вовсе не математик, однако питаю симпатию к этой науке, поэтому в статье будут использоваться некоторые, на первый взгляд, сложные математические термины.

Цель данной статьи рассказать об одном любопытном феномене: увеличивая бюджет на рекламу вдвое, вы начинаете зарабатывать не вдвое больше, а в 2.5, 3 и т.д. раз больше. Конечно, до определенного момента. Этот феномен в математике называется экспоненциальным ростом. Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.

Тем из вас, кто сталкивался со сложным процентом, например, при расчете дохода по депозитам, сразу станет понятно о чем речь, так как сложный процент — как раз еще один пример экспоненциального роста. Если не снимать накопленные средства с депозита, то рост дохода происходит не линейно, а экспоненциально. Так же и с ростом дохода от продаж: при увеличении бюджета на рекламу доход растет экспоненциально. В рамках этой статьи хочется проиллюстрировать еще один феномен. Именно из-за этого феномена отдел контекстной рекламы более не именуется так, а называется отделом платного трафика. Речь идет об эффекте синергии.

Что же такое эффект синергии? Представим себе идеальную ситуацию: есть интернет-магазин, для его продвижения в первый месяц использовалась только контекстная реклама, которая принесла 20 продаж, а во второй месяц использовалось только SEO-продвижение, которое дало также 20 продаж. В третий месяц использовались и контекстная реклама, и SEO — что в итоге дало не 40 продаж, а 50. Это и есть эффект синергии: ситуация, когда взаимодействие двух и более факторов дает увеличение результата больше, чем мог бы дать каждый из этих факторов по отдельности.

Используя одновременно два и более каналов рекламы, мы получаем большую отдачу. Зная об эффекте синергии не понаслышке, наши интернет-маркетологи стремятся задействовать максимум каналов рекламы. Вот такую маленькую хитрость рекомендуем взять на заметку:) Теперь перейдем к конкретному примеру, который проиллюстрирует все вышесказанное — кейс по услуге «платный трафик» в тематике шин.

Сразу приложу свежий скриншотик из Google Analytics, так как знаю, что читатели кейсов их очень любят:

Этот кейс отражает дальнейшие результаты работы по проекту, кейс которого я выкладывала в прошлом году. Сравним эти два года. Для начала сравним расходы каждого сезона - 2012 и 2013 года (под сезоном подразумеваю период с 1.09. по 31.12):

реклама в прайс-агрегаторах;
контекстная реклама.

В сезоне 2012 года использовалась реклама в Google Ads и размещение на двух прайсах: Яндекс.Маркет и Hotline.ua. В аналогичном сезоне 2013 года уже использовалась реклама в Google Ads, Яндекс.Директе и на 10 прайс-агрегаторах. Использование дополнительных каналов рекламы увеличило расходы почти на 310%. Теперь посмотрим, как при увеличении затрат на рекламу на 310% вырос доход по проекту:

Таким образом, мы видим, что увеличив расходы на рекламу на 310%, мы увеличили доход клиента не на 310%, а на 573%. Замечательно, не так ли?! То есть рост дохода в сравнении с тратами проиходит не линейно, а экспоненциально.

В получении такого результата, конечно же, не обошлось без эффекта синергии.

Посмотрим на рост валовой прибыли:

Проиллюстрируем также, как выросло число транзакций:

Этот скриншот позволяет сделать выводы о ситуации со средним чеком. Если доход вырос на 573%, а количество продаж на 557%, то становится ясно, что немного вырос средний чек.

Обладая данными о доходе из Google Analytics, тратах и марже, посчитаем самый главный показатель эффективности — ROMI (возврат маркетинговых инвестиций) по следующей формуле:

ROMI = ((Доход × Маржа) — Траты клиента) / Траты клиента

Итак, сравним результаты по ROMI двух сезонов:

Важно отметить, что при расчете ROMI мы учитывали только тот доход, который показывает Google Analytics, а это говорит о том, что мы не учли еще 80% продаж, которые были осуществлены по телефону, то есть учли лишь 20% полученного дохода клиента — это всего лишь 5-я часть.

Очень интересная ситуация вырисовывается, когда мы посчитаем наш ROMI с учетом 80% заказов по телефону. Для этого умножим наш доход на 5, а дальше считаем как обычно:

Рост ROMI на более приближенном к реальности доходе выглядит еще привлекательнее. Однако дело ведь не только в ROMI, а в реальном увеличении оборотов: значительно больше клиентов -> значительно больше продаж.

Теперь еще раз итоги сезона 2013-го года

Траты клиента : 131 341 грн. (включая оплату за услуги агентства). Маржа : 13%. Количество транзакций : 880. Доход по Google Analytics : 1 317 166,2 грн. Валовая прибыль (с учетом заказов по телефону) : 856 158 грн. ROMI по валовой прибыли (с учетом заказов по телефону) : 551,86%.

Конечно, полученный результат — это еще далеко не предел: есть куда растить бюджет на рекламу > есть куда расти доходу клиента. В следующем сезоне мы обязательно задействуем дополнительные каналы рекламы (их количество, наверное, никогда не закончится).

Среди must have фишек нового сезона — использование инструмента отслеживания заказов по телефону ifTheyCall . Это новинка от Netpeak, которую мы просто не успели задействовать в сезоне сентябрь-декабрь 2013 года. Этот инструмент позволит корректнее оценить отдачу от каждого канала рекламы, перераспределить бюджет и быть еще эффективнее.

Проиллюстрирую итоги в виде картинок

Как видно из графика — внизу находится точка безубыточности. До этой точки вложения в рекламу не окупятся. К примеру, если вы потратите 100 грн. на то, чтобы получить 100 кликов — вероятность получить продажу, которая окупила бы эти вложения практически равна 0. Вторая точка на графике — это точка оптимума (назовем ее так) — это когда вы вкладываете в рекламу максимум средств и получаете максимальный доход. После этой точки наблюдается уход в насыщение, то есть рынок насыщен, рекламой охвачены все потенциальные покупатели, рост вложений в рекламу не дает более роста дохода. Если ваш рекламный бюджет находится за точкой безубыточности, то велика вероятность, что вкладывая в рекламу вдвое больше — ваш доход будет расти экспоненциально до достижения точки оптимума.

эффект синергии от использования 2-х и более каналов рекламы одновременно:

К этой иллюстрации остается только добавить — пробуйте новые каналы рекламы:)