Geometrinės plotų ir tūrių formulės. Formulės gretasienio tūriui rasti

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematika. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Bendra apžvalga. Stereometrijos formulės!

Sveiki, Mieli draugai! Šiame straipsnyje aš nusprendžiau tai padaryti bendra apžvalga stereometrijos užduotys, kurios bus įjungtos Vieningas valstybinis matematikos egzaminas e) Reikia pasakyti, kad šios grupės užduotys yra gana įvairios, tačiau nėra sunkios. Tai uždaviniai ieškant geometrinių dydžių: ilgių, kampų, plotų, tūrių.

Laikoma: kubas, stačiakampis, prizmė, piramidė, sudėtinis daugiakampis, cilindras, kūgis, rutulys. Liūdnas faktas, kad kai kurie abiturientai per patį egzaminą tokių problemų net nesiima, nors daugiau nei 50% jų išsprendžiama paprastai, beveik žodžiu.

Likusiai reikia nedaug pastangų, žinių ir specialios technikos. Kituose straipsniuose mes apsvarstysime šias užduotis, nepraleiskite to, užsiprenumeruokite tinklaraščio atnaujinimus.

Norėdami išspręsti, turite žinoti paviršiaus plotų ir tūrių formulės gretasienis, piramidė, prizmė, cilindras, kūgis ir rutulys. Sunkių problemų nėra, visos jos išsprendžiamos 2-3 žingsniais, svarbu „pažiūrėti“, kokią formulę reikia pritaikyti.

Visos reikalingos formulės pateiktos žemiau:

Rutulys arba rutulys. Sferinis arba sferinis paviršius (kartais tiesiog sfera) yra geometrinis taškų lokusas erdvėje, vienodu atstumu nuo vieno taško – rutulio centro.

Kamuolio tūris lygus piramidės, kurios pagrindo plotas toks pat kaip rutulio paviršiaus plotas, o aukštis yra rutulio spindulys, tūriui

Sferos tūris yra pusantro karto mažesnis nei aplink jį apibrėžiamo cilindro tūris.

Apvalus kūgis gali būti gaunamas sukant stačiakampį trikampį aplink vieną iš jo kojų, todėl apskritas kūgis dar vadinamas apsisukimo kūgiu. Taip pat žiūrėkite Apvalaus kūgio paviršiaus plotą

Apvalaus kūgio tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto S ir aukščio H sandaugos:

(H yra kubo krašto aukštis)

Lygiagretainis yra prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis. Lygiagretainis vamzdis turi šešis paviršius ir visi jie yra lygiagretainiai. Lygiagrečias, keturi šoniniai veidai kurie yra stačiakampiai, vadinami tiesia linija. Stačiakampiu vadinamas dešinysis gretasienis, kurio visi šeši paviršiai yra stačiakampiai.

Stačiakampio gretasienio tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai:

(S yra piramidės pagrindo plotas, h yra piramidės aukštis)

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas paviršius – piramidės pagrindas – savavališkas daugiakampis, o likusios – šoninės pusės – trikampiai su bendra viršūne, vadinama piramidės viršūne.

Atkarpa, lygiagreti piramidės pagrindui, padalija piramidę į dvi dalis. Piramidės dalis tarp jos pagrindo ir šios atkarpos yra nupjauta piramidė.

Nupjautos piramidės tūris lygus trečdaliui aukščio sandaugos h(OS) pagal viršutinio pagrindo plotų sumą S1 (abcde), apatinis nupjautinės piramidės pagrindas S2 (ABCDE) o vidurkis proporcingas tarp jų.

1.

V=

n – taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičius – pagrindai taisyklinga piramidė
a - taisyklingo daugiakampio kraštinė - taisyklingos piramidės pagrindas
h – taisyklingos piramidės aukštis

Taisyklinga trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio vienas paviršius – piramidės pagrindas – taisyklingas trikampis, o likusios – šoninės pusės – lygūs trikampiai su bendra viršūne. Aukštis nuo viršaus nusileidžia iki pagrindo centro.

Teisingas tūris trikampė piramidė lygus trečdaliui ploto sandaugos taisyklingas trikampis, kuris yra pagrindas S (ABC)į aukštį h(OS)

a - taisyklingo trikampio kraštinė - taisyklingos trikampės piramidės pagrindas
h - taisyklingos trikampės piramidės aukštis

Tetraedro tūrio formulės išvedimas

Tetraedro tūris apskaičiuojamas naudojant klasikinę piramidės tūrio formulę. Būtina pakeisti tetraedro aukštį ir taisyklingo (lygiakraščio) trikampio plotą.

Tetraedro tūris- yra lygi trupmenai, kurios skaitiklyje kvadratinė šaknis iš dviejų vardiklyje yra dvylika, padauginta iš tetraedro krašto ilgio kubo

(h yra rombo kraštinės ilgis)

Apimtis p yra maždaug trys sveiki ir viena septintoji apskritimo skersmens ilgio. Tikslus apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis nurodomas graikiška raide π

Dėl to apskritimo arba apskritimo perimetras apskaičiuojamas pagal formulę

π r n

(r – lanko spindulys, n – centrinis kampas lankai laipsniais.)

O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.

Mano knygose "Pradžia" garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana didelis skaičius daugelio plotų apskaičiavimo metodai geometrines figūras. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.

Šiandien su pagalba šiuolaikiniai metodai galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.

Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.

Stačiakampio ploto formulė

Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2 $.

Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.

Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.

Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.

Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.

1 paveikslas.

2 pav.

Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.

Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.

Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:

1 apibrėžimas

Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Turi vienodus skaičius lygių plotų ir vienodi perimetrai.

Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:

Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.

3 pav.

4 pav.

Atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į dvi dalis lygus trikampis: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.

2 apibrėžimas

Stačiakampis su lygios pusės paskambino kvadratas.

Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:

Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:

Apimtys

Vystantis prekybai ir statyboms dar senovės civilizacijų laikais, atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, nagrinėjanti erdvines figūras, vadinama stereometrija. Šios atskiros matematikos šakos paminėjimai buvo rasti jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.

Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.

Stačiakampio gretasienio tūris

Jei užpildysite formą šlapiu smėliu ir apverssite, gausite trimatė figūra, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.

5 pav.

Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.

Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:

$mm^3$ – kubinis milimetras,

$cm^3$ – kubinis centimetras,

$dm^3$ – kubinis decimetras,

$m^3$ – kubinis metras,

$km^3$ -- kubinis kilometras.

O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.

Mano knygose "Pradžia" Garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana daug būdų, kaip apskaičiuoti daugelio geometrinių figūrų plotus. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.

Šiandien, naudodami šiuolaikinius metodus, galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.

Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.

Stačiakampio ploto formulė

Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2 $.

Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.

Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.

Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.

Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.

1 paveikslas.

2 pav.

Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.

Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.

Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:

1 apibrėžimas

Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Vienodos figūros turi vienodus plotus ir vienodus perimetrus.

Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:

Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.

3 pav.

4 pav.

Linijos atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į du vienodus trikampius: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.

2 apibrėžimas

Vadinamas stačiakampis, kurio kraštinės yra lygios kvadratas.

Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:

Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:

Apimtys

Vystantis prekybai ir statyboms dar senovės civilizacijų laikais, atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, nagrinėjanti erdvines figūras, vadinama stereometrija. Šios atskiros matematikos šakos paminėjimai buvo rasti jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.

Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.

Stačiakampio gretasienio tūris

Jei užpildysite formą šlapiu smėliu, o paskui apverssite, gausite erdvinę figūrą, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.

5 pav.

Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.

Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:

$mm^3$ – kubinis milimetras,

$cm^3$ – kubinis centimetras,

$dm^3$ – kubinis decimetras,

$m^3$ – kubinis metras,

$km^3$ -- kubinis kilometras.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.