Sinusų ir kosinusų išplėtimo formulės. Įsigykite aukštojo mokslo diplomą nebrangiai

Tęsiame pokalbį apie dažniausiai naudojamas trigonometrijos formules. Svarbiausios iš jų – sudėjimo formulės.

1 apibrėžimas

Sudėjimo formulės leidžia išreikšti dviejų kampų skirtumo arba sumos funkcijas naudojant tų kampų trigonometrines funkcijas.

Norėdami pradėti, mes duosime visas sąrašas sudėjimo formules, tada jas įrodysime ir išanalizuosime kelis iliustruojančius pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pagrindinės sudėjimo formulės trigonometrijoje

Yra aštuonios pagrindinės formulės: sumos sinusas ir dviejų kampų skirtumo sinusas, sumos ir skirtumo kosinusai, atitinkamai sumos ir skirtumo liestinės ir kotangentai. Žemiau pateikiamos jų standartinės formulės ir skaičiavimai.

1. Dviejų kampų sumos sinusą galima gauti taip:

Apskaičiuojame pirmojo kampo sinuso ir antrojo kosinuso sandaugą;

Pirmojo kampo kosinusą padauginkite iš pirmojo kampo sinuso;

Sudėkite gautas vertes.

Grafinis formulės rašymas atrodo taip: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Skirtumo sinusas apskaičiuojamas beveik taip pat, tik gautus produktus reikia ne sudėti, o atimti vieną iš kito. Taigi pirmojo kampo sinuso sandaugas apskaičiuojame antrojo kosinusu, o pirmojo kampo kosinusą – antrojo sinusu ir randame jų skirtumą. Formulė parašyta taip: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Sumos kosinusas. Jai pirmojo kampo kosinuso sandaugas randame atitinkamai antrojo kosinusu ir pirmojo kampo sinuso sandaugą antrojo sinusu ir randame jų skirtumą: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Skirtumo kosinusas: apskaičiuokite šių kampų sinusų ir kosinusų sandaugas, kaip ir anksčiau, ir sudėkite. Formulė: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Sumos tangentas. Ši formulė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklis yra reikalingų kampų liestinių suma, o vardiklis – vienetas, iš kurio atimama norimų kampų liestinių sandauga. Viskas aišku iš jo grafinio žymėjimo: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Skirtumo liestinė. Mes apskaičiuojame šių kampų liestinių skirtumo ir sandaugos vertes ir elgiamės su jais panašiai. Vardiklyje pridedame prie vieneto, o ne atvirkščiai: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Sumos kotangentas. Norėdami apskaičiuoti pagal šią formulę, mums reikės šių kampų sandaugos ir kotangentų sumos, kurią atliekame taip: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Skirtumo kotangentas . Formulė panaši į ankstesnę, tačiau skaitiklis ir vardiklis yra minusas, o ne plius c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Tikriausiai pastebėjote, kad šios formulės yra panašios poromis. Naudodami ženklus ± (pliusas-minusas) ir ∓ (minusas-pliusas), galime juos sugrupuoti, kad būtų lengviau įrašyti:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± 1 t g β t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Atitinkamai turime vieną įrašymo formulę kiekvienos reikšmės sumai ir skirtumui, tiesiog vienu atveju atkreipiame dėmesį į viršutinį ženklą, kitu – į apatinį.

2 apibrėžimas

Galime paimti bet kokius kampus α ir β, jiems tiks kosinuso ir sinuso sudėjimo formulės. Jei galime teisingai nustatyti šių kampų liestinių ir kotangentų vertes, tada jiems taip pat galios tangento ir kotangento pridėjimo formulės.

Kaip ir dauguma algebros sąvokų, sudėjimo formules galima įrodyti. Pirmoji formulė, kurią įrodysime, yra skirtumo kosinuso formulė. Tada iš jo galima nesunkiai nustatyti likusius įrodymus.

Paaiškinkime pagrindines sąvokas. Mums reikės vieneto apskritimo. Tai pavyks, jei paimsime tam tikrą tašką A ir pasuksime kampus α ir β aplink centrą (tašką O). Tada kampas tarp vektorių O A 1 → ir O A → 2 bus lygus (α - β) + 2 π · z arba 2 π - (α - β) + 2 π · z (z yra bet koks sveikasis skaičius). Gauti vektoriai sudaro kampą, lygų α - β arba 2 π - (α - β), arba jis gali skirtis nuo šių verčių sveiku skaičiumi pilnų apsisukimų. Pažvelkite į paveikslėlį:

Mes panaudojome redukcijos formules ir gavome tokius rezultatus:

cos ((α – β) + 2 π z) = cos (α – β) cos (2 π – (α – β) + 2 π z) = cos (α – β)

Rezultatas: kampo tarp vektorių O A 1 → ir O A 2 → kosinusas lygus kampo α - β kosinusui, todėl cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Prisiminkime sinuso ir kosinuso apibrėžimus: sinusas yra kampo funkcija, lygi priešingo kampo kojos ir hipotenuzės santykiui, kosinusas yra papildomo kampo sinusas. Todėl taškai A 1 Ir A 2 turi koordinates (cos α, sin α) ir (cos β, sin β).

Gauname šiuos dalykus:

O A 1 → = (cos α, sin α) ir O A 2 → = (cos β, sin β)

Jei neaišku, pažiūrėkite į vektorių pradžioje ir pabaigoje esančių taškų koordinates.

Vektorių ilgiai lygūs 1, nes Mes turime vienetų ratą.

Dabar panagrinėkime vektorių O A 1 → ir O A 2 → skaliarinę sandaugą. Koordinatėse tai atrodo taip:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Iš to galime išvesti lygybę:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Taigi įrodyta skirtumo kosinuso formulė.

Dabar įrodysime tokią formulę – sumos kosinusą. Tai lengviau, nes galime naudoti ankstesnius skaičiavimus. Paimkime vaizdavimą α + β = α - (- β) . Mes turime:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Tai kosinuso sumos formulės įrodymas. Paskutinėje eilutėje naudojama priešingų kampų sinuso ir kosinuso savybė.

Sumos sinuso formulę galima išvesti iš skirtumo kosinuso formulės. Paimkime redukcijos formulę:

formos sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Taigi
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Ir čia yra skirtumo sinuso formulės įrodymas:

nuodėmė (α - β) = nuodėmė (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Atkreipkite dėmesį į priešingų kampų sinuso ir kosinuso savybių naudojimą paskutiniame skaičiavime.

Toliau mums reikia tangento ir kotangento pridėjimo formulių įrodymų. Prisiminkime pagrindinius apibrėžimus (liestinė – sinuso ir kosinuso santykis, o kotangentas – atvirkščiai) ir paimkime iš anksto jau išvestas formules. Mes padarėme tai:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Mes tai padarėme kompleksinė trupmena. Toliau jo skaitiklį ir vardiklį turime padalyti iš cos α · cos β, atsižvelgiant į tai, kad cos α ≠ 0 ir cos β ≠ 0, gauname:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Dabar sumažiname trupmenas ir gauname formulę tokio tipo: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
Gavome t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Tai yra liestinės pridėjimo formulės įrodymas.

Kita formulė, kurią įrodysime, yra skirtumo formulės liestinė. Viskas aiškiai parodyta skaičiavimuose:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Kotangento formulės įrodomos panašiai:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Toliau:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g

Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

|BD| - apskritimo lanko, kurio centras yra taške A, ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.

Tangentas ( įdegis α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .

Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .

Tangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.

Tangentinės funkcijos grafikas, y = tan x

Kotangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie užrašai:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangento ir kotangento savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = tg x ir y = ctg x yra periodiniai su periodu π.

Paritetas

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.

Apibrėžimo ir vertybių sritys didėja, mažėja

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).

	y = tg x	y = ctg x
Taikymo sritis ir tęstinumas
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Didėja		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y = 0	-

Formulės

Išraiškos naudojant sinusą ir kosinusą

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > išvedimo formulės ; kotangentui >>>

Integralai

Serijos išplėtimai

Norėdami gauti x laipsnio liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų plėtimosi narių laipsnių eilutėje nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų, . Taip gaunamos tokios formulės.

Prie .

adresu .
Kur Bn- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
Kur.
Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės liestinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai arktangentas ir arkotangentas.

Arktangentas, arktg

, Kur n- visas.

Arkotangentas, arcctg

, Kur n- visas.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams, 2012 m.

Sinuso (), kosinuso (), liestinės (), kotangento () sąvokos yra neatsiejamai susijusios su kampo sąvoka. Norėdami gerai suprasti šias, iš pirmo žvilgsnio, sudėtingas sąvokas (kurios daugeliui moksleivių kelia siaubą) ir įsitikinti, kad „velnias nėra toks baisus, koks jis nupieštas“, pradėkime nuo pradžioje ir suprasti kampo sąvoką.

Kampo samprata: radianas, laipsnis

Pažiūrėkime į paveikslėlį. Vektorius tam tikru dydžiu „pasuko“ taško atžvilgiu. Taigi šio sukimosi matas pradinės padėties atžvilgiu bus kampas.

Ką dar reikia žinoti apie kampo sąvoką? Na, žinoma, kampo vienetai!

Kampas tiek geometrijoje, tiek trigonometrijoje gali būti matuojamas laipsniais ir radianais.

Vadinamas (vieno laipsnio) kampas centrinis kampas apskritime, remiantis apskritimo lanku, lygiu apskritimo daliai. Taigi visas apskritimas susideda iš apskritimo lankų „gabalų“ arba apskritimo aprašytas kampas yra lygus.

Tai yra, aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas kampas, lygus, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio dydis yra apskritimas.

Kampas radianais yra centrinis apskritimo kampas, sudarytas iš apskritimo lanko, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Na, ar sugalvojai? Jei ne, tada išsiaiškinkime tai iš piešinio.

Taigi paveiksle parodytas kampas, lygus radianui, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (ilgis lygus ilgiui arba spindulys lygus lanko ilgis). Taigi, lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

Kur yra centrinis kampas radianais.

Na, žinodamas tai, ar galite atsakyti, kiek radianų yra apskritimo aprašytame kampe? Taip, tam reikia atsiminti apskritimo formulę. Štai ji:

Na, dabar suderinkime šias dvi formules ir išsiaiškinkime, kad apskritimu aprašytas kampas yra lygus. Tai yra, koreliuodami vertę laipsniais ir radianais, mes tai gauname. Atitinkamai,. Kaip matote, skirtingai nei "laipsniai", žodis "radianas" yra praleistas, nes matavimo vienetas paprastai yra aiškus iš konteksto.

Kiek yra radianų? Teisingai!

Supratau? Tada eikite į priekį ir pataisykite:

Turite sunkumų? Tada žiūrėk atsakymai:

Statusis trikampis: sinusas, kosinusas, liestinė, kampo kotangentas

Taigi, mes išsiaiškinome kampo sąvoką. Bet kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, mums padės stačiakampis trikampis.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė); kojos yra dvi likusios pusės ir (gretimos stačiu kampu), o jei atsižvelgsime į kojas kampo atžvilgiu, tada koja yra gretima koja, o koja priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo liestinė- tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje.

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio: , bet kampo kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio: . Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytam trikampiui randame.

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampą.

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnio ir radiano sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus. Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, spindulio vektoriaus pradinė padėtis fiksuojama išilgai teigiamos ašies krypties (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: ašies koordinatę ir ašies koordinatę. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį. Jis yra stačiakampis, nes yra statmenas ašiai.

Kam lygus trikampis? Teisingai. Be to, mes žinome, kad yra vieneto apskritimo spindulys, o tai reiškia . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

Kam lygus trikampis? Na žinoma, ! Pakeiskite spindulio reikšmę į šią formulę ir gaukite:

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas? Na, niekaip? Ką daryti, jei jūs tai suprantate ir esate tik skaičiai? Kurią koordinatę ji atitinka? Na, žinoma, koordinatės! O kokią koordinatę tai atitinka? Teisingai, koordinatės! Taigi, taškas.

Kas tada yra ir kas yra lygūs? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime, kad a.

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį: kampas (kaip greta kampo). Kokios yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra arba. Ar galima pasukti spindulio vektorių į arba į? Na, žinoma, galite! Todėl pirmuoju atveju spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje arba.

Antruoju atveju, tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje arba.

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi arba (kur yra bet koks sveikas skaičius), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas. Tas pats vaizdas atitinka kampą ir pan. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti parašyti pagal bendrą formulę arba (kur yra bet koks sveikasis skaičius)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas ties atitinka tašką su koordinatėmis, todėl:

Neegzistuoja;

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, sužinome, kad kampai atitinka atitinkamai taškus su koordinatėmis. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir, pateiktos toliau esančioje lentelėje, reikia atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną pavyzdį gana paprasta atsiminti atitinkamas reikšmes:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinuso reikšmes (), taip pat kampo liestinės reikšmę. Žinant šias vertes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

Žinodami tai, galite atkurti reikšmes. Skaitiklis „ “ atitiks, o vardiklis „ “. Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, pakaks atsiminti visas lentelės reikšmes.

Apskritimo taško koordinatės

Ar įmanoma apskritime rasti tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, jo spindulį ir sukimosi kampą?

Na, žinoma, galite! Išmeskime bendroji taško koordinačių radimo formulė.

Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums duota, kad taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško koordinates, gautas sukant tašką laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško koordinatė atitinka atkarpos ilgį. Atkarpos ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę, tai yra lygus. Atkarpos ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

Tada mes turime tai taško koordinatei.

Naudodami tą pačią logiką randame taško y koordinatės reikšmę. Taigi,

Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

Apskritimo centro koordinatės,

Apskritimo spindulys,

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

Na, pabandykime šias formules praktikuodami surasti taškus apskritime?

1. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

2. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautą sukant tašką.

3. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

4. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

5. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

Sunku rasti apskritimo taško koordinates?

Išspręskite šiuos penkis pavyzdžius (arba išmokite juos išspręsti) ir išmoksite juos rasti!

1.

Galite tai pastebėti. Bet mes žinome, kas atitinka visišką pradinio taško revoliuciją. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:

2. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Galite tai pastebėti. Mes žinome, kas atitinka du pilnus pradinio taško apsisukimus. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:

Sinusas ir kosinusas yra lentelės reikšmės. Prisimename jų reikšmes ir gauname:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

3. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Galite tai pastebėti. Pavaizduokime nagrinėjamą pavyzdį paveikslėlyje:

Spindulys sudaro kampus, lygius ašiai ir su ja. Žinodami, kad kosinuso ir sinuso lentelės reikšmės yra lygios, ir nustatę, kad kosinusas čia turi neigiamą reikšmę, o sinusas – teigiamą, turime:

Tokie pavyzdžiai išsamiau aptariami temoje tiriant trigonometrinių funkcijų mažinimo formules.

Taigi norimas taškas turi koordinates.

4.

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą)

Norėdami nustatyti atitinkamus sinuso ir kosinuso ženklus, sudarome vienetinį apskritimą ir kampą:

Kaip matote, vertė, tai yra, yra teigiama, o vertė, tai yra, yra neigiama. Žinodami atitinkamų trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes, gauname, kad:

Pakeiskime gautas reikšmes į savo formulę ir suraskime koordinates:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

5. Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formules bendra forma, kur

Apskritimo centro koordinatės (mūsų pavyzdyje

Apskritimo spindulys (pagal sąlygą)

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą).

Pakeiskime visas reikšmes į formulę ir gaukime:

ir - lentelės reikšmės. Prisiminkime ir pakeiskime juos į formulę:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Kampo sinusas yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė yra priešingos (tolimosios) pusės ir gretimos (artimos) pusės santykis.

Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) pusės ir priešingos (tolimosios) pusės santykis.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Siųsti į mūsų elektroninio pašto adresas nuskaityta kopija ar nuotrauka gera kokybė, ir mes padarysime reikiamą dublikatą.

Kokius mokėjimo tipus sutinkate? Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.

Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba skirtingi kampaišalių, per dieną parengdama per 10 dokumentų. Bėgant metams mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: už užsakymą sumokate gavę jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.

Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik visa dokumentų, išduotų beveik visų šalies ir už jos ribų, universitetų duomenų bazė. skirtingi metai išdavimas. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.

Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų? Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Pastebėjus rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, tačiau apie pastebėtus trūkumus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
IN kuo greičiau Dokumentą pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Siekdami išvengti tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą klientui el. paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą, kad būtų galima patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.

Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės? Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir pan.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. mums.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.

Naujausios apžvalgos

Aleksejus:

Man reikėjo įgyti diplomą, kad galėčiau įsidarbinti vadybininku. O svarbiausia, kad turiu ir patirties, ir įgūdžių, bet be dokumento negaliu įsidarbinti. Atsidūręs jūsų svetainėje, pagaliau nusprendžiau nusipirkti diplomą. Diplomas buvo baigtas per 2 dienas!! Dabar turiu darbą, apie kurį anksčiau nesvajojau!! Ačiū!

Trigonometrinės tapatybės- tai lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, leidžiančios rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .

Konvertuojant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.

Lietinės ir kotangento radimas naudojant sinusą ir kosinusą

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite į tai, tada pagal apibrėžimą ordinatė y yra sinusas, o abscisė x yra kosinusas. Tada liestinė bus lygi santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bus kotangentas.

Pridurkime, kad tik tokie kampai \alpha, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, galios tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Pavyzdžiui: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kampui \alpha, išskyrus \pi z, z yra sveikas skaičius.

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2) z. Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti.

Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, gauname tai tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Tai seka tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.

Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 liestinės kvadrato suma lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma yra lygi duoto kampo sinuso atvirkštiniam kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, kuri skiriasi nuo \pi z.

Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes

1 pavyzdys

Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, mes gauname:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Ši lygtis turi 2 sprendinius:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)

Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, taigi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Norėdami rasti tan \alpha, naudojame formulę tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

2 pavyzdys

Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 duotas numeris \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), mes gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, taigi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Norėdami rasti ctg \alpha, naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).