Kaip padauginti trupmenas. Trupmenų dauginimo iš sveikųjų skaičių taisyklė

Sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos nėra sudėtinga užduotis. Tačiau yra subtilybių, kurias tikriausiai supratote mokykloje, bet vėliau pamiršote.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos – keli terminai

Jei prisimenate, kas yra skaitiklis ir vardiklis ir kuo tinkama trupmena skiriasi nuo netinkamos trupmenos, praleiskite šią pastraipą. Jis skirtas tiems, kurie visiškai pamiršo teoriją.

Skaitiklis yra viršutinė dalis trupmenomis dalijame. Vardiklis yra mažesnis. Tai iš ko skirstome.
Tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Netinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos

Sveikojo skaičiaus dauginimo iš trupmenos taisyklė labai paprasta – skaitiklį dauginame iš sveikojo skaičiaus, bet vardiklio neliečiame. Pavyzdžiui: du padauginus iš penktadalio – gauname du penktadalius. Keturi, padauginti iš trijų šešioliktųjų, yra lygūs dvylikai šešioliktųjų.

Sumažinimas

Antrame pavyzdyje gautą frakciją galima sumažinti.
Ką tai reiškia? Atkreipkite dėmesį, kad šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš keturių. Padalinkite abu skaičius iš bendras daliklis ir tai vadinama trupmenos mažinimu. Mes gauname tris ketvirtadalius.

Netinkamos trupmenos

Bet tarkime, kad padauginsime keturis iš dviejų penktadalių. Paaiškėjo, kad aštuoni penktadaliai. Tai netinkama trupmena.
Ją būtinai reikia atvesti tinkamos rūšies. Norėdami tai padaryti, turite iš jo pasirinkti visą dalį.
Čia reikia naudoti padalijimą su likusia dalimi. Mes gauname vieną ir tris kaip likutį.
Viena visuma ir trys penktadaliai yra mūsų tinkama trupmena.

Trisdešimt penkias aštuntąsias suvesti į teisingą formą yra šiek tiek sunkiau. Artimiausias skaičius trisdešimt septyni, kuris dalijasi iš aštuonių, yra trisdešimt du. Padalinus gauname keturis. Iš trisdešimt penkių atimkite trisdešimt du ir gausime tris. Rezultatas: keturios sveikos ir trys aštuntosios.

Skaitiklio ir vardiklio lygybė. O čia viskas labai paprasta ir gražu. Jei skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, rezultatas yra tiesiog vienas.

) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų dauginimo formulė:

Pavyzdžiui:

Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.

Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Trupmenų, susijusių su natūraliaisiais skaičiais, dalyba.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

• mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
• trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
• sumažinti frakciją;
• Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišriąja trupmena.

Pastaba! Padauginti mišri frakcijaį kitą mišrią trupmeną, pirmiausia turite jas konvertuoti į netinkamų trupmenų formą, o tada padauginti pagal daugybos taisyklę paprastosios trupmenos.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Gali būti patogiau naudoti antrąjį bendrosios trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiaaukštės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, Pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.

2. Užduotyse su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastųjų trupmenų formą.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Kita operacija, kurią galima atlikti su paprastosiomis trupmenomis, yra daugyba. Bandysime paaiškinti pagrindines jo taisykles spręsdami uždavinius, parodysime, kaip paprastoji trupmena dauginama iš natūraliojo skaičiaus ir kaip teisingai padauginti tris paprastąsias trupmenas ar daugiau.

Pirmiausia užsirašykime pagrindinę taisyklę:

1 apibrėžimas

Jei padauginsime vieną paprastąją trupmeną, tai gautos trupmenos skaitiklis bus lygus pradinių trupmenų skaitiklių sandaugai, o vardiklis bus lygus jų vardiklių sandaugai. Tiesiogine forma dviem trupmenoms a / b ir c / d tai gali būti išreikšta kaip a b · c d = a · c b · d.

Pažvelkime į pavyzdį, kaip teisingai taikyti šią taisyklę. Tarkime, kad turime kvadratą, kurio kraštinė lygi vienam skaitiniam vienetui. Tada figūros plotas bus 1 kvadratas. vienetas. Jei kvadratą padalinsime į lygius stačiakampius, kurių kraštinės yra lygios 1 4 ir 1 8 skaitiniais vienetais, gausime, kad dabar jis susideda iš 32 stačiakampių (nes 8 4 = 32). Atitinkamai, kiekvieno iš jų plotas bus lygus 1 32 visos figūros ploto, t.y. 132 kv. vienetų.

Turime nuspalvintą fragmentą, kurio kraštinės yra lygios 5 8 skaitiniams vienetams ir 3 4 skaitiniams vienetams. Atitinkamai, norėdami apskaičiuoti jo plotą, turite padauginti pirmąją trupmeną iš antrosios. Jis bus lygus 5 8 · 3 4 kv. vienetų. Bet galime tiesiog suskaičiuoti, kiek stačiakampių yra fragmente: jų yra 15, o tai reiškia, kad bendras plotas yra 15 32 kvadratiniai vienetai.

Kadangi 5 3 = 15 ir 8 4 = 32, galime parašyti tokią lygybę:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Tai patvirtina mūsų suformuluotą paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę, kuri išreiškiama kaip a b · c d = a · c b · d. Jis veikia vienodai tinkamas ir netinkamas trupmenas; Jis gali būti naudojamas trupmenoms su skirtingais ir vienodais vardikliais padauginti.

Pažvelkime į kelių problemų, susijusių su paprastųjų trupmenų dauginimu, sprendimus.

1 pavyzdys

Padauginkite 7 11 iš 9 8.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuokime nurodytų trupmenų skaitiklių sandaugą, padaugindami 7 iš 9. Turime 63. Tada apskaičiuojame vardiklių sandaugą ir gauname: 11 · 8 = 88. Sudarykime du skaičius ir atsakymas yra: 63 88.

Visą sprendimą galima parašyti taip:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Atsakymas: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Jei savo atsakyme gauname redukuojamą trupmeną, turime užbaigti skaičiavimą ir atlikti jo sumažinimą. Jei gauname netinkamą trupmeną, turime nuo jos atskirti visą dalį.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite trupmenų sandaugą 4 15 ir 55 6 .

Sprendimas

Pagal aukščiau išnagrinėtą taisyklę turime padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį iš vardiklio. Sprendimo įrašas atrodys taip:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Gavome redukuojamą trupmeną, t.y. toks, kuris dalijasi iš 10.

Sumažinkime trupmeną: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Dėl to gavome netinkamą trupmeną, iš kurios pasirenkame visą dalį ir gauname mišrų skaičių: 22 9 = 2 4 9.

Atsakymas: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Kad būtų lengviau skaičiuoti, prieš atlikdami daugybos operaciją galime sumažinti ir pradines trupmenas, kurioms reikia trupmeną sumažinti iki formos a · c b · d. Išskaidykime kintamųjų reikšmes į paprastus veiksnius ir tuos pačius sumažinkime.

Paaiškinkime, kaip tai atrodo, naudodami konkrečios užduoties duomenis.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite sandaugą 4 15 55 6.

Sprendimas

Užrašykime skaičiavimus pagal daugybos taisyklę. Mes gausime:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Kadangi 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ir 6 = 2 3, tada 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Atsakymas: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Skaitinė išraiška, kuriame vyksta paprastųjų trupmenų dauginimas, turi komutacinę savybę, tai yra, jei reikia, galime pakeisti veiksnių eilę:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kaip padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus

Iš karto užsirašykime pagrindinę taisyklę, o tada pabandykime tai paaiškinti praktiškai.

2 apibrėžimas

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, tos trupmenos skaitiklį turite padauginti iš šio skaičiaus. Šiuo atveju galutinės trupmenos vardiklis bus lygus pradinės paprastosios trupmenos vardikliui. Tam tikros trupmenos a b padauginimas iš natūraliojo skaičiaus n gali būti parašytas formule a b · n = a · n b.

Šią formulę nesunku suprasti, jei atsimenate, kad bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui, tai yra:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Paaiškinkime savo idėją konkrečiais pavyzdžiais.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite sandaugą 2 27 kartus 5.

Sprendimas

Pradinės trupmenos skaitiklį padauginę iš antrojo koeficiento, gauname 10. Pagal aukščiau pateiktą taisyklę gausime 10 27. Visas sprendimas pateiktas šiame įraše:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Atsakymas: 2 27 5 = 10 27

Kai dauginame natūralųjį skaičių iš trupmenos, dažnai turime sutrumpinti rezultatą arba pateikti jį kaip mišrų skaičių.

5 pavyzdys

Sąlyga: apskaičiuokite sandaugą 8 iš 5 12.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą taisyklę, natūralųjį skaičių padauginame iš skaitiklio. Dėl to gauname, kad 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Galutinė trupmena turi dalijimosi iš 2 ženklų, todėl turime ją sumažinti:

LCM (40, 12) = 4, taigi 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Dabar tereikia pasirinkti visą dalį ir užsirašyti paruoštą atsakymą: 10 3 = 3 1 3.

Šiame įraše galite pamatyti visą sprendimą: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Taip pat galėtume sumažinti trupmeną, suskirstydami skaitiklį ir vardiklį į pirminius veiksnius, ir rezultatas būtų visiškai toks pat.

Atsakymas: 5 12 8 = 3 1 3.

Skaitinė išraiška, kurioje natūralusis skaičius padauginamas iš trupmenos, taip pat turi poslinkio savybę, tai yra, veiksnių tvarka neturi įtakos rezultatui:

a b · n = n · a b = a · n b

Kaip padauginti tris ar daugiau bendrųjų trupmenų

Paprastųjų trupmenų dauginimo veiksmui galime išplėsti tas pačias savybes, kurios būdingos natūraliųjų skaičių dauginimui. Tai išplaukia iš paties šių sąvokų apibrėžimo.

Dėl žinių apie kombinavimo ir komutavimo savybes galite padauginti tris ar daugiau paprastųjų trupmenų. Priimtinas veiksnius pertvarkyti, kad būtų patogiau, arba išdėstyti skliaustus taip, kad būtų lengviau skaičiuoti.

Parodykime pavyzdžiu, kaip tai daroma.

6 pavyzdys

Padauginkite keturias bendrąsias trupmenas iš 1 20, 12 5, 3 7 ir 5 8.

Sprendimas: Pirma, įrašykime darbą. Gauname 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Turime padauginti visus skaitiklius ir visus vardiklius: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Prieš pradėdami dauginti, galime šiek tiek palengvinti save ir kai kuriuos skaičius įtraukti į pagrindinius veiksnius, kad būtų galima toliau mažinti. Tai bus lengviau nei sumažinti gautą frakciją, kuri jau yra paruošta.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Atsakymas: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280.

7 pavyzdys

Padauginkite 5 skaičius 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Sprendimas

Kad būtų patogiau, trupmeną 7 8 galime sugrupuoti su skaičiumi 8, o skaičių 12 - su trupmena 5 36, nes būsimi sutrumpinimai mums bus akivaizdūs. Dėl to gausime:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3

Atsakymas: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Vidurinės ir vidurinės mokyklos kursuose studentai nagrinėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Taip istoriškai susiklostė trupmeniniai skaičiai atsirado dėl poreikio matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį ir stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių mokiniai supažindinami su akcijos sąvoka. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, kiekvienas žmogus gaus vieną aštuntąją arbūzo. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kurios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. 5/8, 4/5, 2/4 formos įrašai vadinami paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmenos juosta arba trupmenos juosta. Trupmeninė linija gali būti nubrėžta kaip horizontali arba įstriža linija. IN tokiu atveju tai reiškia padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalintas kiekis arba objektas; o skaitiklis – kiek paimama vienodų akcijų. Virš trupmenos linijos rašomas skaitiklis, po ja – vardiklis.

Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vieneto segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, pažymėkite kiekvieną dalį Lotyniška raidė, tada rezultatas gali būti puikus vaizdinė medžiaga. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 tam tikros atkarpos.

Trupmenų rūšys

Trupmenos gali būti paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažesnis už jo vardiklį. Atitinkamai, neteisinga trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už jo vardiklį. Antrasis tipas paprastai rašomas kaip mišrus skaičius. Ši išraiška susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Pavyzdžiui, 1½. 1 - visa dalis, ½ - trupmena. Tačiau jei jums reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalinti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.

Kalbant apie šią išraišką, turime omenyje įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienetu su keliais nuliais. Jei trupmena yra tinkama, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.

Norėdami parašyti dešimtainę trupmeną, pirmiausia turite parašyti visą dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmenos išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek pat skaitmeninių simbolių, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Išreikškite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu žymėjimu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme rašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

• padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
• V konkretus pavyzdys nepilnas koeficientas – visuma;
• o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5.

Sprendimas. 47: 5. Dalinis koeficientas yra 9, likusioji dalis = 2. Taigi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

• sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
• gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
• rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Pateikite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10.

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Trupmenų dauginimas

Su paprastosiomis trupmenomis galima atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas nesiskiria nuo trupmenų su tais pačiais vardikliais dauginimo.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. Būtina kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima sakyti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, bet sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą gaunamas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijami iš 4, o rezultatas yra 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

• dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas po kito;
• reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra, kaip natūraliuosius skaičius;
• suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename skaičiuje;
• rezultate, gautame po daugybos, reikia iš dešinės suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
• jei gaminyje yra mažiau skaičių, tada prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir pridėti visą nuliui lygią dalį.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

• paversti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
• rasti skaitiklių sandaugą;
• rasti vardiklių sandaugą;
• užrašykite rezultatą;
• kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų ir mišriųjų skaičių sandaugos radimo, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, norėdami rasti produktą dešimtainis ir natūralusis skaičius, jums reikia:

• parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
• rasti produktą nepaisant kablelio;
• gautame rezultate kableliu atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės skaitmenų, esančių po trupmenos kablelio, skaičių.

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš skaičiaus, turite rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymas sukuria trupmeną, kurią galima sumažinti, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, gautą rezultatą reikėjo sumažinti ir neteisingą trupmeninę išraišką paversti mišriu skaičiumi.

Trupmenų dauginimas taip pat susijęs su mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandauga. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, visą mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti gautą rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Padauginimas iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Tai išplaukia iš ankstesnės pastraipos kita taisyklė. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente po vieneto yra nulių.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralųjį skaičių ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant skirtingų trupmenų sandaugos neturėtų kilti jokių sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; šiuo atveju tiesiog neapsieisite be skaičiuotuvo.

Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastos taisyklės. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.

Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos.

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ kartus 3)(7 \kartai 3) = \frac(4)(7)\\\)

Trupmena \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) buvo sumažinta 3.

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.

Pirma, prisiminkime taisyklę, bet kurį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Naudokime šią taisyklę daugindami.

' (20) (7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Netinkama trupmena \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) paverčiama mišria trupmena.

Kitaip tariant, Dauginant skaičių iš trupmenos, skaičių dauginame iš skaitiklio, o vardiklį paliekame nepakeistą. Pavyzdys:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Mišrių trupmenų dauginimas.

Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną, o tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.

Pavyzdys:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \kartai 6) = \frac(3 \kartai \spalva(raudona) (3) \kartai 23)(4 \kartai 2 \kartai \spalva(raudona) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.

Trupmena \(\bf \frac(a)(b)\) yra atvirkštinė trupmenos \(\bf \frac(b)(a)\, jei a≠0,b≠0.
Trupmenos \(\bf \frac(a)(b)\) ir \(\bf \frac(b)(a)\) vadinamos abipusėmis trupmenomis. Atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Pavyzdys:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: Paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas paversti netinkama trupmena ir padauginti pagal taisykles.

Kaip padauginti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenos vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu sandaugos radimo taisyklę.

Kaip padauginti mišrias frakcijas?
Atsakymas: pirmiausia reikia paversti mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną ir tada pagal daugybos taisykles rasti sandaugą.

Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: skaičių padauginame iš skaitiklio, bet vardiklį paliekame tą patį.

1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Sprendimas:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \color( raudona) (5)) (3 \kartai \spalva(raudona) (5) \kartai 13) = \frac(4)(39)\)

2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugas: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Sprendimas:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3) (1) \times \frac(17) (23) = \frac(3 \times 17) (1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac(1)(3)\) atvirkštinį koeficientą?
Atsakymas: \(\frac(3)(1) = 3\)

4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų tarpusavyje atvirkštinių trupmenų sandaugą: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Sprendimas:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

5 pavyzdys:
Ar atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) kartu su tinkamomis trupmenomis;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) vienu metu natūraliuosius skaičius?

Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, pateiksime pavyzdį. Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama, jos atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(3)(2)\) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.

b) beveik visuose trupmenų sąrašuose ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie atitinka sąlygą, kad kartu yra ir netinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac(3)(3)\), atvirkštinė jos trupmena lygi \(\frac(3)(3)\). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.

c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac(3)(1)\), tada jo atvirkštinė trupmena bus \(\frac(1)(3)\). Trupmena \(\frac(1)(3)\) nėra natūralusis skaičius. Jei eisime per visus skaičius, skaičiaus atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tada jo grįžtamoji trupmena bus \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralūs skaičiai tik vienu atveju, jei tai yra skaičius 1.

6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \times 3\frac(2) (7)\ )

Sprendimas:
a) \(4 \kartai 2\frak(4)(5) = \frac(4)(1) \kartai \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

7 pavyzdys:
Gali du tarpusavyje abipusiai skaičiai būti mišriais skaičiais tuo pačiu metu?

Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac(1)(2)\, suraskime atvirkštinę trupmeną, kad tai padarytume, paverskime ją netinkamąja trupmena \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jo atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(2)(3)\) . Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišriais skaičiais vienu metu.