Teorema yra būtina ir pakankama įrašytojo keturkampio sąlyga. Apie keturkampį įbrėžti ir apibrėžti apskritimai

Išgaubtas keturkampis A B C D (\displaystyle \displaystyle ABCD) yra įrašytas tada ir tik tada, kai priešingi kampai sudaro 180°, tai yra, .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . (\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^(\circ ).)

Teorema buvo 22 pasiūlymas Euklido 3 knygoje Pradžios. Lygiai taip pat išgaubtas keturkampis įrašomas tada ir tik tada, kai gretimas kampas yra lygus priešingam vidiniam kampui.

p q = a c + b d . (\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.)

Jei dvi tiesios linijos, iš kurių vienoje yra atkarpa A.C., o kitas yra segmentas BD, susikerta taške P, tada keturi taškai A, B, C, D guli ant rato tada ir tik tada

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . (\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.)

Susikirtimo taškas P gali gulėti tiek apskritimo viduje, tiek už jos ribų. Pirmuoju atveju tai bus įrašytas keturkampis ABCD, o antrajame – įbrėžtasis keturkampis ABDC. Jei sankirta yra viduje, lygybė reiškia, kad segmentų, į kuriuos taškas, sandauga P dalija vieną įstrižainę ir yra lygi kitos įstrižainės atkarpų sandaugai. Šis teiginys yra žinomas kaip susikertančios stygos teorema, nes įbrėžto keturkampio įstrižainės yra apskritimo apskritimo stygos.

Išgaubtas keturkampis ABCDįrašytas tada ir tik tada

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))\tan (\frac (C)(2))=\tan (\frac (B)(2))\tan (\frac (D)(2))=1.)

Kvadratas

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) (\displaystyle S=(\sqrt ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))))

Ciklinis keturkampis turi didžiausią plotą tarp visų keturkampių, turinčių tą pačią kraštinių ilgių seką. Tai dar viena Brettschneiderio santykių pasekmė. Teiginį galima įrodyti naudojant matematinę analizę.

Keturi nevienodi ilgiai, kurių kiekvienas yra mažesnis už kitų trijų sumą, yra trijų nesuderinamų įrašytų keturkampių kraštinės, o pagal Brahmaguptos formulę visi šie trikampiai turi tą patį plotą. Visų pirma, šalims a, b, c Ir d pusėje a gali būti priešinga bet kuriai pusei b, c arba d. Bet kurių dviejų iš šių trijų įrašytų keturkampių įstrižainės ilgis yra toks pat.

Ciklinio keturkampio su iš eilės kraštinėmis plotas a, b, c, d ir kampas B tarp šalių a Ir b galima išreikšti formule

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B (\displaystyle S=(\tfrac (1) (2))(ab+cd)\sin (B)) S = 1 2 (a c + b d) sin ⁡ θ (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ac+bd)\sin (\theta ))

Kur θ - bet koks kampas tarp įstrižainių. Jei kampas A nėra tiesi, plotą galima išreikšti formule

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan⁡ A . (\displaystyle S=(\tfrac (1)(4))(a^(2)-b^(2)-c^(2)+d^(2))\tan (A).) S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ θ (\displaystyle S=2R^(2)\sin (A)\sin (B)\sin (\theta )) S ≤ 2 R 2 (\displaystyle S\leq 2R^(2)),

o nelygybė virsta lygybe tada ir tik tada, kai keturkampis yra kvadratas.

Įstrižainės

Su viršūnėmis A, B, C, D(tokia tvarka) ir šalys a = AB, b = B.C., c = CD Ir d = D.A.įstrižainės ilgiai p = A.C. Ir q = BD galima išreikšti šonais

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d (\displaystyle p=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)))) q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c (\displaystyle q=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc)))) p q = a c + b d . (\displaystyle pq=ac+bd.)

Pagal Antroji Ptolemėjaus teorema ,

p q = a d + b c a b + c d (\displaystyle (\frac (p)(q))=(\frac (ad+bc)(ab+cd)))

su ta pačia žyma kaip ir anksčiau.

Įstrižainių sumai turime nelygybę

p + q ≥ 2 a c + b d . (\displaystyle p+q\geq 2(\sqrt (ac+bd)).)

Nelygybė tampa lygybe tada ir tik tada, kai įstrižainės yra vienodo ilgio, o tai galima parodyti naudojant nelygybę tarp aritmetinio vidurkio ir geometrinio vidurkio.

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . (\displaystyle (p+q)^(2)\leq (a+c)^(2)+(b+d)^(2).)

Bet kuriame išgaubtame keturkampyje dvi įstrižainės padalija keturkampį į keturis trikampius. Cikliniame keturkampyje šių keturių trikampių priešingos poros yra panašios.

Jeigu M Ir N yra įstrižainių vidurio taškai A.C. Ir BD, Tai

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | (\displaystyle (\frac (MN)(EF))=(\frac (1)(2))\left|(\frac (AC)(BD))-(\frac (BD)(AC))\right |)

Kur E Ir F- priešingų pusių susikirtimo taškai.

Jeigu ABCD- įrašytas keturkampis ir A.C. kryžiai BD taške P, Tai

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . (\displaystyle (\frac (AP)(CP))=(\frac (AB)(CB))\cdot (\frac (AD)(CD)).)

Kampų formulės

a, b, c, d, pusiau perimetras s ir kampas A tarp šalių a Ir d trigonometrinių kampų funkcijos A lygus

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , (\displaystyle \cos A=(\frac (a^(2)+d^(2)-b^(2) -c^(2))(2(ad+bc))),) sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , (\displaystyle \sin A=(\frac (2(\sqrt ((s-a)) (s-b)(s-c)(s-d))))((ad+bc))),) tan⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac ((s-a)(s-d))((s-b)(s-c)))).)

Už kampą θ tarp įstrižainių atliekamas

tan⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (\theta )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d))((s-a)(s-c)))).)

Jei priešingų pusių tęsiniai a Ir c susikerta kampu ϕ (\displaystyle \phi ) , Tai

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) (\displaystyle \cos (\frac (\phi )(2))=(\ sqrt (\frac ((s-b)(s-d)(b+d)^(2))((ab+cd)(ad+bc)))))

Parameshwar formulė

Cikliniam keturkampiui su kraštinėmis a, b, c, d(nurodyta seka) ir pusiau perimetrą s apibrėžto apskritimo spindulys) pateikiama formule

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . (\displaystyle R=(\frac (1)(4))(\sqrt (\frac ((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))((s-a)(s-b)(s-c)(s-d )))))

Formulę išvedė indų matematikas Vathassery Parameshvara XV amžiuje.

Jeigu ciklinio keturkampio įstrižainės susikerta taške P, o įstrižainių vidurio taškai - V Ir W, tada keturkampio anticentras yra trikampio ortocentras VWP, o viršūnės centroidas yra atkarpos, jungiančios įstrižainių vidurio taškus, viduryje.

Įbrėžtame keturkampyje „srities centras“ G a, "viršūnės centroidas" Gv ir sankryža Pįstrižainės yra toje pačioje tiesėje. Atstumams tarp šių taškų lygybė

P G a = 4 3 P G v. (\displaystyle PG_(a)=(\tfrac (4)(3))PG_(v).)

Kitos savybės

• Cikliniame keturkampyje ABCD su apskritimo centru O leisti P- įstrižainių susikirtimo taškas A.C. Ir BD. Tada kampas APB yra kampų aritmetinis vidurkis AOB Ir MENKĖ.. Tai yra tiesioginė įrašytojo kampo teoremos ir pasekmė trikampio išorinio kampo teoremos.

• Jei ciklinio keturkampio kraštinių ilgiai sudaro aritmetinę progresiją, tada keturkampis taip pat yra išoriškai aprašytas.

Brahmagupta keturkampiai

Brahmagupta keturkampis yra ciklinis keturkampis, kurio kraštinių ilgiai sveiki, įstrižainės ir sveikasis plotas yra sveiki. Visi Brahmaguptos keturkampiai su šonais a, b, c, d, įstrižainės e, f, plotas S ir apibrėžtojo apskritimo spindulys R galima gauti pašalinus vardiklį šiose išraiškose (su racionaliais parametrais t, u Ir v):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] (\displaystyle a=) b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) (\displaystyle b=(1+u^(2))(v-t)(1+tv)) c = t (1 + u 2) (1 + v 2) (\displaystyle c=t(1+u^(2))(1+v^(2))) d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) (\displaystyle d=(1+v^(2))(u-t)(1+tu)) e = u (1 + t 2) (1 + v 2) (\displaystyle e=u(1+t^(2))(1+v^(2))) f = v (1 + t 2) (1 + u 2) (\displaystyle f=v(1+t^(2))(1+u^(2))) S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] (\displaystyle S= uv) 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . (\displaystyle 4R=(1+u^(2))(1+v^(2))(1+t^(2)).)

Stačiakampių ciklinių keturkampių savybės

Apriboto apskritimo plotas ir spindulys

Tegul cikliniam keturkampiui, kuris taip pat yra stačiakampis (t. y. turintis statmenas įstrižaines), įstrižainių sankirta padalija vieną įstrižainę į ilgio atkarpas p 1 ir p 2, o kitą padalija į ilgio segmentus q 1 ir q 2. Tada (pirmoji lygybė yra 11 pasiūlymas Archimedo knygoje „Lemos“)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\rodymo stilius D^(2)=p_(1)^(2)+p_( 2)^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2)=a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2)),

Kur D -

arba per keturkampio šonus

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^( 2)+d^(2))).)

Iš to taip pat seka

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . (\displaystyle a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2.)

Taigi pagal Eilerio formulę spindulį galima išreikšti įstrižainėmis p Ir q ir atstumas x tarp įstrižainių vidurio taškų

R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)

Formulė plotui Kįrašyto stačiakampio keturkampio galima gauti tiesiogiai per šonus, sujungus Ptolemėjaus teoremą (žr. aukščiau) ir stačiakampio keturkampio ploto formulę. Kaip rezultatas, mes gauname

Literatūra

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. Kai mažiau yra daugiau: pagrindinių nelygybių vizualizavimas, 4.3 skyrius Cikliniai, tangentiniai ir dvicentriniai keturkampiai. – Amerikos matematikų asociacija, 2009 m. – ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Ant ciklinio keturkampio įstrižainių // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7.
• Nathanas Altshilleris-Courtas. Kolegijos geometrija: įvadas į šiuolaikinę trikampio ir apskritimo geometriją. – 2-oji. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2.(org. 1952)
• =Titu Andreescu, Bogdanas Enescu. .
• Haroldas Scottas MacDonaldas Coxeteris, Samuelis L. Greitzeris. Peržiūrėta geometrija. 3.2 Cikliniai keturkampiai; Brahmaguptos formulė. – Amerikos matematikų asociacija, 1967 m. – ISBN 978-0-88385-619-2. Vertimas G. S. M. Coxeteris, S. L. Greitzeris. Nauji susitikimai su geometrija. 3.2 įbrėžtieji keturkampiai; Brahmaguptos teorema. - Maskva: "Mokslas", 1978. - (Matematikos būrelio biblioteka).
• Crux Mathematicorum. Siūlomos nelygybės Crux Mathematicorum. - 2007.
• D. Fraivertas.Įrašomo keturkampio ir Paskalio taškus sudarančio apskritimo teorija // Matematinių mokslų žurnalas: pažanga ir taikymas. - 2016. - T. 42. - P. 81–107. – DOI:10.18642/jmsaa_7100121742.
• C. V. Durellas, A. Robsonas. Išplėstinė trigonometrija. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8.(1930 m. kilmė)
• Mowaffaq Hajja. Sąlyga, kad apribojamas keturkampis būtų cikliškas // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8.
• Laris Hoehnas. Ciklinio keturkampio apskritimo spindulys // Matematikos leidinys. - 2000. - T. 84, leidimas. 499 kovo d.
• Rossas Honsbergeris. Devynioliktojo ir dvidešimtojo amžiaus euklido geometrijos epizodai. - Cambridge University Press, 1995. - T. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Rogeris A. Johnsonas. Išplėstinė euklido geometrija. – Dover Publ, 2007 m.(Orig. 1929)
• Tomas Petras. Keturkampio ploto padidinimas // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34, numeris. rugsėjo 4 d.
• Alfredas S. Posamentier, Charlesas T. Salkindas. Iššūkį keliančios geometrijos problemos. – 2-oji. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Skyrius: Sprendimai: 4-23 Įrodykite, kad atkarpų, sudarytų iš dviejų statmenų stygų, matų kvadratų suma yra lygi duoto apskritimo skersmens matavimo kvadratui.

• , Vertimas iš rusiško leidimo V.V. Prasolovas. Planimetrijos problemos. Pamoka. – 5-oji. – Maskva: MTsNMO OAO „Maskvos vadovėliai“, 2006 m. – ISBN 5-94057-214-6

Keturkampis yra įrašytas į apskritimą, jei visos jo viršūnės yra apskritime. Toks apskritimas yra apibrėžtas apie keturkampį.

Kaip ne kiekvienas keturkampis gali būti aprašytas aplink apskritimą, taip ne kiekvienas keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą.

Išgaubtas keturkampis, įrašytas į apskritimą, turi savybę, kad jo priešingi kampai sudaro 180°. Taigi, jei duotas keturkampis ABCD, kuriame kampas A yra priešingas kampui C, o kampas B yra priešingas kampui D, tada ∠A + ∠C = 180° ir ∠B + ∠D = 180°.

Apskritai, jei viena keturkampio priešingų kampų pora sudaro 180°, tai kita pora sudarys tiek pat. Tai išplaukia iš to, kad išgaubtame keturkampyje kampų suma visada lygi 360°. Savo ruožtu šis faktas išplaukia iš to, kad išgaubtiems daugiakampiams kampų suma nustatoma pagal formulę 180° * (n – 2), kur n yra kampų (arba kraštinių) skaičius.

Ciklinę keturkampę savybę galite įrodyti taip. Į apskritimą O įbrėžtas keturkampis ABCD. Turime įrodyti, kad ∠B + ∠D = 180°.

Kampas B įrašytas į apskritimą. Kaip žinote, toks kampas yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi. IN tokiu atveju kampą B palaiko lanko ADC, o tai reiškia ∠B = ½◡ADC. (Kadangi lankas lygus kampui tarp jį sudarančių spindulių, galime parašyti, kad ∠B = ½∠AOC, kurio vidinėje srityje yra taškas D.)

Kitoje pusėje keturkampio kampas D remiasi į lanką ABC, tai yra, ∠D = ½◡ABC.

Kadangi kampų B ir D kraštinės kerta apskritimą tuose pačiuose taškuose (A ir C), jie padalija apskritimą tik į du lankus – ◡ADC ir ◡ABC. Kadangi visas apskritimas sudaro 360°, tada ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Taigi gautos tokios lygybės:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Išreikškime kampų sumą:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Įdėkime ½ iš skliaustų:

∠B + ∠D = ½ (◡ADC + ◡ABC)

Pakeiskime lankų sumą jų skaitine verte:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Mes nustatėme, kad įbrėžto keturkampio priešingų kampų suma yra 180°. Tai ir reikėjo įrodyti.

Tai, kad įbrėžtasis keturkampis turi šią savybę (priešingų kampų suma yra 180°), nereiškia, kad į apskritimą galima įrašyti bet kurį keturkampį, kurio priešingų kampų suma yra 180°. Nors iš tikrųjų tai tiesa. Šis faktas vadinamas įrašytas keturkampis testas ir formuluojamas taip: jei išgaubto keturkampio priešingų kampų suma yra 180°, tai aplink jį galima aprašyti (arba įbrėžti į apskritimą) apskritimą.

Įbrėžto keturkampio testą galite įrodyti prieštaravimu. Tegu pateiktas keturkampis ABCD, kurio priešingi kampai B ir D sudaro 180°. Šiuo atveju kampas D nėra ant apskritimo. Tada paimkite tašką E tiesėje, kurioje yra segmentas CD, kad jis būtų ant apskritimo. Rezultatas yra ciklinis keturkampis ABCE. Šis keturkampis turi priešingus kampus B ir E, o tai reiškia, kad jie sudaro 180°. Tai išplaukia iš įbrėžto keturkampio savybės.

Pasirodo, ∠B + ∠D = 180° ir ∠B + ∠E = 180°. Tačiau keturkampio ABCD kampas D trikampio AED atžvilgiu yra išorinis, todėl didesnis už šio trikampio kampą E. Taigi, mes priėjome prie prieštaravimo. Tai reiškia, kad jei keturkampio priešingų kampų suma sudaro 180°, tada ją visada galima įrašyti į apskritimą.

Sakoma, kad apskritimas įrašytas į keturkampį, jei visos keturkampio kraštinės yra apskritimo liestinės.

Šio apskritimo centras yra keturkampio kampų pusiausvyros susikirtimo taškas. Šiuo atveju spinduliai, nubrėžti į liestinės taškus, yra statmeni keturkampio kraštinėms

Apskritimas vadinamas apibrėžtuoju apie keturkampį, jei jis eina per visas jo viršūnes.

Šio apskritimo centras yra keturkampio kraštinių statmenų pusiaukampių susikirtimo taškas

Ne kiekvienas keturkampis gali būti įbrėžtas apskritimu ir ne kiekvienas keturkampis gali būti įbrėžtas apskritimu.

UŽRAŠINIŲ IR APSKAIČIŲJŲ KETVIRČIŲ SAVYBĖS

TEOREMA Išgaubtame įbrėžtame keturkampyje priešingų kampų sumos yra lygios viena kitai ir lygios 180°.

TEOREMA Ir atvirkščiai: jei keturkampyje priešingų kampų sumos yra lygios, tai aplink keturkampį galima aprašyti apskritimą. Jo centras yra statmenų į šonus susikirtimo taškas.

TEOREMA Jei apskritimas įrašytas į keturkampį, tai jo priešingų kraštinių sumos yra lygios.

TEOREMA Ir atvirkščiai: jei keturkampyje priešingų kraštinių sumos lygios, tai į jį galima įrašyti apskritimą. Jo centras yra pusiausvyros susikirtimo taškas.

Išvados: iš visų lygiagretainių tik aplink stačiakampį (ypač apie kvadratą) galima apibūdinti apskritimą.

Iš visų lygiagretainių tik rombas (ypač kvadratas) gali būti įrašytas apskritimu (centras yra įstrižainių susikirtimo taškas, spindulys lygus pusei aukščio).

Jei aplink trapeciją galima apibūdinti apskritimą, tada jis yra lygiašonis. Apskritimas gali būti aprašytas aplink bet kurią lygiašonę trapeciją.

Jeigu į trapeciją įrašytas apskritimas, tai jo spindulys lygus pusei aukščio.

Užduotys su sprendimais

1. Raskite stačiakampio, įbrėžto į apskritimą, kurio spindulys lygus 5, įstrižainę.

Aplink stačiakampį apibrėžto apskritimo centras yra jo įstrižainių susikirtimo taškas. Todėl įstrižainė AC lygus 2 R. Tai yra AC=10
Atsakymas: 10.

2. Aplink trapeciją aprašomas apskritimas, kurio pagrindai yra 6 cm ir 8 cm, o aukštis 7 cm. Raskite šio apskritimo plotą.

Leisti DC=6, AB=8. Kadangi aplink trapeciją yra apibrėžtas apskritimas, jis yra lygiašonis.

Nubrėžkime du aukščius DM ir CN.Kadangi trapecija lygiašonė, tai AM = NB=

Tada AN=6+1=7

Iš trikampio ANS naudodamiesi Pitagoro teorema randame AC.

Iš trikampio CВN naudodamiesi Pitagoro teorema randame Saulė.

Apribotasis trapecijos apskritimas taip pat yra ir trikampio apibrėžtasis apskritimas. DIA

Raskime šio trikampio plotą dviem būdais, naudodami formules

Kur h- ūgis ir - trikampio pagrindas

Kur R yra apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Iš šių išraiškų gauname lygtį. Kur

Apskritimo plotas bus lygus

3. Kampai ir keturkampiai yra susiję kaip . Raskite kampą, jei galima apibūdinti apskritimą aplink nurodytą keturkampį. Atsakymą pateikite laipsniais

Iš sąlygos išplaukia, kad .Kadangi aplink keturkampį galima aprašyti apskritimą, tai

Gauname lygtį . Tada . Visų keturkampio kampų suma yra 360º. Tada

. iš kur mes tai gauname

4.Apskritimo trapecijos kraštinės yra 3 ir 5. Raskite trapecijos vidurio liniją.

Tada vidurinė linija lygus

5. Stačiakampės trapecijos, apribotos apskritimu, perimetras yra 22, jos didžiausias pusėje yra lygus 7. Raskite apskritimo spindulį.

Trapecijoje įbrėžto apskritimo spindulys lygus pusei aukščio. Nubrėžkime SC aukštį.

Tada .

Kadangi apskritimas yra įbrėžtas į trapeciją, priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios. Tada

Tada perimetras

Gauname lygtį

6. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 8 ir 6. Apriboto apskritimo spindulys lygus 5. Raskite trapecijos aukštį.

Tegu O yra apie trapeciją apibrėžto apskritimo centras. Tada .

Per tašką O nubrėžkime aukštį KH

Tada , kur KO ir OH yra lygiašonių trikampių DOC ir AOB aukščiai ir tuo pačiu medianos. Tada

Pagal Pitagoro teoremą.

"Ratas" Matėme, kad apskritimas gali būti apibrėžiamas aplink bet kurį trikampį. Tai reiškia, kad kiekvienam trikampiui yra toks apskritimas, kad ant jo „sėdi“ visos trys trikampio viršūnės. Kaip šitas:

Klausimas: ar tą patį galima pasakyti apie keturkampį? Ar tiesa, kad visada bus apskritimas, ant kurio „sėdės“ visos keturios keturkampio viršūnės?

Pasirodo, tai NĖRA TIKRAI! Keturkampis NE VISADA gali būti įrašytas į apskritimą. Yra labai svarbi sąlyga:

Mūsų paveikslėlyje:

.

Žiūrėkite, kampai ir yra priešais vienas kitą, o tai reiškia, kad jie yra priešingi. O kaip tada su kampais ir? Atrodo, kad jie taip pat yra priešingi dalykai? Ar galima imti kampus ir vietoj kampų ir?

Žinoma, jūs galite! Svarbiausia, kad keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma bus tokia. Tada likę du kampai taip pat susidės savaime. Netikiu? Įsitikinkime. Žiūrėk:

Leisti būti. Ar atsimenate, kokia yra visų keturių bet kurio keturkampio kampų suma? Be abejo,. Tai yra - visada! . Tačiau → .

Magija čia pat!

Taigi atsiminkite tai labai tvirtai:

Jei keturkampis įbrėžtas į apskritimą, tai bet kurių dviejų jo priešingų kampų suma yra lygi

ir atvirkščiai:

Jei keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma yra lygi, tai keturkampis yra ciklinis.

Mes viso to čia neįrodysime (jei jus domina, pažvelkite į kitus teorijos lygius). Bet pažiūrėkime, prie ko veda šis nuostabus faktas: kad įbrėžtame keturkampyje priešingų kampų suma yra lygi.

Pavyzdžiui, iškyla klausimas: ar galima apibūdinti apskritimą aplink lygiagretainį? Pirmiausia pabandykime „kišti metodą“.

Kažkaip nesiseka.

Dabar pritaikykime žinias:

Tarkime, kad mums kažkaip pavyko sutalpinti apskritimą ant lygiagretainio. Tada tikrai turi būti: , tai yra.

Dabar prisiminkime lygiagretainio savybes:

Kiekvienas lygiagretainis turi lygius priešingus kampus.

Paaiškėjo, kad

O kaip su kampais ir? Na, žinoma, tas pats.

Užrašyta → →

Lygiagretainė → →

Nuostabu, tiesa?

Pasirodo, jei lygiagretainis įrašytas į apskritimą, tai visi jo kampai yra lygūs, tai yra, tai yra stačiakampis!

Ir tuo pačiu metu - apskritimo centras sutampa su šio stačiakampio įstrižainių susikirtimo tašku. Taip sakant, tai įtraukta kaip premija.

Na, tai reiškia, kad mes išsiaiškinome, kad į apskritimą įrašytas lygiagretainis yra stačiakampis.

Dabar pakalbėkime apie trapeciją. Kas atsitiks, jei trapecija bus įrašyta į apskritimą? Bet, pasirodo, bus lygiašonė trapecija . Kodėl?

Tegu trapecija įbrėžta į apskritimą. Tada vėl, bet dėl ​​linijų lygiagretumo ir.

Tai reiškia, kad turime: → → lygiašonę trapeciją.

Net lengviau nei su stačiakampiu, tiesa? Bet jūs turite tvirtai atsiminti - tai bus naudinga:

Dar kartą išvardinkime svarbiausius pagrindiniai teiginiaiį apskritimą įbrėžto keturkampio liestinė:

1. Keturkampis įbrėžiamas į apskritimą tada ir tik tada, kai jo dviejų priešingų kampų suma yra lygi
2. Į apskritimą įbrėžtas lygiagretainis – tikrai stačiakampis o apskritimo centras sutampa su įstrižainių susikirtimo tašku
3. Į apskritimą įbrėžta trapecija yra lygiakraštė.

Įbrėžtas keturkampis. Vidutinis lygis

Yra žinoma, kad kiekvienam trikampiui yra apibrėžtas apskritimas (tai įrodėme temoje „Apribotas ratas“). Ką galima pasakyti apie keturkampį? Paaiškėjo, kad NE KIEKVIENAS keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą, ir yra tokia teorema:

Keturkampis įbrėžiamas į apskritimą tada ir tik tada, kai jo priešingų kampų suma yra lygi.

Mūsų piešinyje -

Pabandykime suprasti, kodėl taip yra? Kitaip tariant, dabar įrodysime šią teoremą. Tačiau prieš įrodydami, turite suprasti, kaip veikia pats teiginys. Ar pastebėjote teiginyje žodžius „tada ir tik tada“? Tokie žodžiai reiškia, kad žalingi matematikai sugrūdo du teiginius į vieną.

Iššifruokime:

1. "Tada" reiškia: Jei keturkampis yra įbrėžtas į apskritimą, tada bet kurių dviejų priešingų kampų suma yra lygi.
2. „Tik tada“ reiškia: Jei keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma yra lygi, tai toks keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą.

Visai kaip Alisa: „Aš galvoju, ką sakau“ ir „Aš sakau, ką galvoju“.

Dabar išsiaiškinkime, kodėl 1 ir 2 yra teisingi?

Pirmas 1.

Tegu į apskritimą įbrėžtas keturkampis. Pažymėkime jo centrą ir nubrėžkime spindulius ir. Kas nutiks? Ar prisimenate, kad įbrėžtas kampas yra perpus mažesnis už atitinkamą centrinį kampą? Jei prisiminsite, mes juo pasinaudosime dabar, o jei ne, pažiūrėkite į temą "Ratas. Įrašytas kampas".

Užrašyta

Užrašyta

Bet žiūrėk:.

Gauname, kad jei - yra įrašyta, tada

Na, aišku, kad tai taip pat pridedama. (mes taip pat turime apsvarstyti).

Dabar „atvirkščiai“, tai yra, 2.

Tegul paaiškėja, kad keturkampyje kai kurių dviejų priešingų kampų suma yra lygi. Tarkime, tegul

Mes dar nežinome, ar galime apibūdinti ratą aplink jį. Bet mes tikrai žinome, kad garantuotai galėsime apibūdinti apskritimą aplink trikampį. Taigi padarykime tai.

Jei taškas „nesėdi“ ant apskritimo, jis neišvengiamai atsiduria išorėje arba viduje.

Panagrinėkime abu atvejus.

Tegul taškas pirmiausia būna išorėje. Tada atkarpa tam tikru momentu kerta apskritimą. Prisijunkime ir. Rezultatas yra įrašytas (!) keturkampis.

Mes jau žinome apie tai, kad jo priešingų kampų suma yra lygi, tai yra, ir pagal mūsų būklę.

Pasirodo, taip ir turi būti.

Bet taip negali būti, nes - yra išorinis kampas ir priemonė.

O kaip viduje? Darykime panašius dalykus. Tegul esmė yra viduje.

Tada atkarpos tęsinys taške kerta apskritimą. Vėlgi - įrašytas keturkampis, ir pagal sąlygą jis turi būti tenkinamas, bet - išorinis kampas už ir reiškia, tai vėl negali būti toks.

Tai yra, taškas negali būti nei apskritimo išorėje, nei viduje - tai reiškia, kad jis yra apskritime!

Visa teorema įrodyta!

Dabar pažiūrėkime, kokias geras pasekmes duoda ši teorema.

1 išvada

Į apskritimą įrašytas lygiagretainis gali būti tik stačiakampis.

Supraskime, kodėl taip yra. Tegu lygiagretainis įbrėžtas į apskritimą. Tada tai turėtų būti padaryta.

Tačiau iš lygiagretainio savybių mes tai žinome.

Ir tas pats, žinoma, dėl kampų ir.

Taigi pasirodo stačiakampis – visi kampai išilgai.

Tačiau, be to, yra dar vienas malonus faktas: apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras sutampa su įstrižainių susikirtimo tašku.

Supraskime kodėl. Tikiuosi, kad gerai atsimenate, kad kampas, kurį sudaro skersmuo, yra tiesi linija.

skersmuo,

Skersmuo

o tai reiškia, kad tai centras. Tai viskas.

2 išvada

Į apskritimą įbrėžta trapecija yra lygiašonė.

Tegu trapecija įbrėžta į apskritimą. Tada.

Ir taip pat.

Ar viską aptarėme? Ne visai. Tiesą sakant, yra ir kitas, „slaptas“ būdas atpažinti įrašytą keturkampį. Šio metodo nesuformuluosime labai griežtai (bet aiškiai), o įrodysime tik paskutiniame teorijos lygyje.

Jeigu keturkampyje galima stebėti tokį paveikslą kaip čia paveiksle (čia kampai “žiūri” į taškų šoną ir yra lygūs), tai toks keturkampis yra įrašytas.

Tai labai svarbus piešinys – problemose jį dažnai lengviau rasti vienodi kampai, nei kampų suma ir.

Nepaisant visiško mūsų formuluotės griežtumo trūkumo, ji yra teisinga, be to, ją visada priima vieningo valstybinio egzamino egzaminuotojai. Turėtumėte parašyti kažką panašaus į tai:

"- įrašyta" - ir viskas bus gerai!

Nepamirškite šio svarbaus ženklo – atsiminkite paveikslėlį ir galbūt jis laiku patrauks jūsų dėmesį sprendžiant problemą.

Įbrėžtas keturkampis. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Jei keturkampis įbrėžtas į apskritimą, tai bet kurių dviejų jo priešingų kampų suma yra lygi

ir atvirkščiai:

Jei keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma yra lygi, tai keturkampis yra ciklinis.

Keturkampis įbrėžiamas į apskritimą tada ir tik tada, kai jo dviejų priešingų kampų suma yra lygi.

Į apskritimą įrašyta lygiagretė- tikrai stačiakampis, o apskritimo centras sutampa su įstrižainių susikirtimo tašku.

Į apskritimą įbrėžta trapecija yra lygiašonė.

Apibūdintų keturkampių pavyzdžiai yra deltiniai raumenys, įskaitant rombus, kurie savo ruožtu apima kvadratus. Deltai yra būtent tie apibrėžti keturkampiai, kurie taip pat yra stačiakampiai. Jei keturkampis yra apibrėžtas ir ciklinis keturkampis, jis vadinamas dvicentris.

Savybės

Apibrėžtajame keturkampyje apskritimo centre susikerta keturi bisektoriniai. Atvirkščiai, išgaubtas keturkampis, kurio viename taške susikerta keturios pusės, turi būti apibrėžiamas, o pusiaukampių susikirtimo taškas yra apskritimo centras.

Jei priešingos pusės išgaubtame keturkampyje ABCD(ne trapecija) susikerta taškuose E Ir F, tada jie yra apskritimo liestinės tada ir tik tada

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E − E C = A F − F C . (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

Antroji lygybė yra beveik tokia pati kaip ir lygybė Urquharto teorema. Skiriasi tik ženklai – Urquharto sumos teoremoje, o čia skirtumai (žr. paveikslą dešinėje).

Kita būtina ir pakankama sąlyga – išgaubtas keturkampis ABCD aprašomas tada ir tik tada, kai įrašytas į trikampius ABC Ir ADC apskritimai liečia vienas kitą.

Įstrižainės suformuotų kampų aprašymas BD su keturkampio kraštinėmis ABCD, priklauso Iosifescu. 1954 m. jis įrodė, kad išgaubtas keturkampis turi apskritimą tada ir tik tada

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\angle ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\angle BDC)(2))=\tan (\frac (\angle ADB)(2))\cdot \tan (\frac (\angle DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

Kur R a , R b , R c , R d yra apskritimų, išoriškai liečiančių kraštines, spinduliai a, b, c, d atitinkamai ir gretimų pusių tęsiniai kiekvienoje pusėje.

Kai kurie kiti keturių trikampių, sudarytų iš įstrižainių, aprašymai.

Specialūs skyriai

Aštuoni liestinės segmentai aprašyto keturkampio yra atkarpos tarp viršūnių ir sąlyčio taškų šonuose. Kiekviena viršūnė turi du lygius liestinės segmentus.

Liestinės taškai sudaro įbrėžtą keturkampį.

Kvadratas

Netrigonometrinės formulės

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^(2)))),

suteikiant plotą įstrižainių atžvilgiu p, q ir vakarėlius a, b, c, d liestinės keturkampis.

Plotas taip pat gali būti pavaizduotas liestinės atkarpomis (žr. aukščiau). Jei juos žymėsime e, f, g, h, tada liestinės keturkampis turi plotą

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).)

Be to, liestinės keturkampio plotas gali būti išreikštas kraštinėmis a, b, c, d ir atitinkamus liestinių atkarpų ilgius e, f, g, h

K = a b c d − (e g − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(eg-fh)^(2))).)

Nes pvz = fh jei ir tik tada, kai jis taip pat įrašytas, gauname, kad didžiausias plotas a b c d (\displaystyle (\sqrt (abcd))) galima pasiekti tik keturkampiuose, kurie yra ir apriboti, ir įbrėžti tuo pačiu metu.

Trigonometrinės formulės

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

Tam tikros kraštinių sandaugos plotas bus didžiausias, kai keturkampis taip pat yra ciklinis. Tokiu atveju K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))) nes priešingi kampai papildo vienas kitą. Tai galima įrodyti kitu būdu, naudojant matematinę analizę.

Kita apibrėžto keturkampio ploto formulė ABCD, naudojant du priešingus kampus

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin (\frac (A+C)(2) )),

Kur O yra įbrėžto apskritimo centras.

Tiesą sakant, plotas gali būti išreikštas tik dviem gretimomis kraštinėmis ir dviem priešingais kampais

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B) (2))\csc (\frac (D) (2))\sin (\frac (B+D) (2)). K = 1 2 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

Kur θ kampas (bet koks) tarp įstrižainių. Formulė netaikoma deltinių raumenų atveju, nes šiuo atveju θ lygus 90°, o liestinė neapibrėžta.

Nelygybės

Kaip minėta pirmiau, liestinės daugiakampio su kraštinėmis plotas a, b, c, d tenkina nelygybę

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

o lygybė pasiekiama tada ir tik tada, kai keturkampis yra dvicentris.

Pagal T. A. Ivanova (1976), pusperimetras s aprašyto keturkampio tenkina nelygybę

s ≥ 4 r (\displaystyle s\geq 4r),

Kur r- įbrėžto apskritimo spindulys. Nelygybė virsta lygybe tada ir tik tada, kai keturkampis yra kvadratas. Tai reiškia, kad sričiai K = rs, nelygybė galioja

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

su perėjimu į lygybę tada ir tik tada, kai keturkampis yra kvadratas.

Keturkampio dalių savybės

Keturios tiesios atkarpos tarp įbrėžto apskritimo centro ir liesties taškų padalija keturkampį į keturis stačiakampio deltinio raumens.

Jei tiesė padalija apibrėžtą keturkampį į du vienodo ploto ir vienodo perimetro daugiakampius, tai ši linija eina per įcentrą.

Įrašytas apskritimo spindulys

Apriboto keturkampio su kraštinėmis įbrėžtojo apskritimo spindulys a, b, c, d pateikiama pagal formulę

r = K s = K a + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( b+d))),

Kur K yra keturkampio plotas ir s- pusiau perimetras. Apribotųjų keturkampių, kurių pusperimetras yra duotas, įbrėžto apskritimo spindulys yra didžiausias, kai keturkampis taip pat yra įbrėžtinis.

Kalbant apie liestinės atkarpas, įbrėžto apskritimo spindulys.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h. (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h))).)

Įbrėžto apskritimo spindulį taip pat galima išreikšti atstumu nuo centro Oį apibrėžtojo keturkampio viršūnes ABCD. Jeigu u = AO, v = BO, x = CO Ir y = DO, Tai

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) (\displaystyle r=2(\sqrt (\) frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

Kur σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\displaystyle \sigma =(\tfrac (1)(2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

Kampų formulės

Jeigu e, f, g Ir h liestinės atkarpos iš viršūnių A, B, C Ir D atitinkamai į apskritimo keturkampio liesties taškus ABCD, tada keturkampio kampus galima apskaičiuoti naudojant formules

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac) (efg+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h)))),) sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) ​​(f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B)(2))=(\sqrt () \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h)))),) sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) ​​(g + f) (g + h) , (\displaystyle \sin (\frac (C)(2))=(\sqrt () \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h)))),) sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) ​​(h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g)))) .)

Kampas tarp akordų K.M. Ir LN pateikiama pagal formulę (žr. pav.)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) ​​. (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+ h )(h+e)))).)

Įstrižainės

Jeigu e, f, g Ir h yra liestinės atkarpos iš A, B, C Ir Dį keturkampiu įbrėžto apskritimo liesties taškus ABCD, tada įstrižainių ilgiai p = AC Ir q = BD lygus

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ Didelis ()(e+g)(f+h)+4fh(\Big)))),) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

Liečiamųjų taškų akordai

Jeigu e, f, g Ir h yra atkarpos nuo viršūnių iki lietimo taškų, tada stygų ilgiai iki priešingų liesties taškų yra lygūs

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))),) l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h)))),)

kur yra akordas k jungia šonus su ilgiais a = e + f Ir c = g + h, ir akordas l jungia šonus su ilgiu b = f + g Ir d = h + e. Akordo santykio kvadratas tenkina santykį

k 2 l 2 = b d a c . (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

Du akordai

Akordas tarp šonų AB Ir CD apibrėžtame keturkampyje ABCD ilgesnis nei styga tarp šonų B.C. Ir D.A. jei ir tik tada, kai vidurio linija tarp šonų AB Ir CD trumpesnė už vidurinę liniją tarp šonų B.C. Ir D.A. .

Jeigu apibrėžtasis keturkampis ABCD turi prisilietimo taškus Mįjungta AB Ir Nįjungta CD ir akordas MN kerta įstrižainę BD taške P, tada liestinių atkarpų santykis B M D N (\displaystyle (\tfrac (BM)(DN))) lygus santykiui B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP)))įstrižainės segmentai BD.

Kolineariniai taškai

Jeigu M 1 Ir M 2 yra įstrižainių vidurio taškai A.C. Ir BD atitinkamai apribotame keturkampyje ABCD O, o priešingų kraštinių poros susikerta taškuose E Ir F Ir M 3- segmento vidurys E.F., tada taškai M 3, M 1, O, Ir M 2 guli ant tos pačios tiesės.Šiuos taškus jungianti tiesė vadinama keturkampio Niutono tiesia.

E Ir F, o keturkampio priešingų kraštinių plėtiniai, sudaryti iš liestinės taškų, susikerta taškuose T Ir S, tada keturi taškai E, F, T Ir S gulėti ant tos pačios tiesios linijos

AB, B.C., CD, D.A. taškuose M, K, N Ir L atitinkamai ir jei T M, T K, T N, T L yra izotomiškai konjuguoti šių taškų taškai (ty AT M = B.M. ir tt), tada Nagel taškas apibrėžiamas kaip linijų sankirta T N T M Ir T K T L. Abi šios linijos padalija keturkampio perimetrą į dvi lygias dalis. Tačiau dar svarbiau yra Nagel taškas K, "ploto centroidas" G o įbrėžto apskritimo centras O gulėti ant tos pačios tiesios linijos ir tuo pačiu metu QG = 2EIK. Ši linija vadinama Nagel tiesi linija apibrėžtas keturkampis.

Apribotame keturkampyje ABCD su įbrėžto apskritimo centru O P, leisti H M, H K, H N, H L yra trikampių ortocentrai AOB, BOC, MENKĖ. Ir DOA atitinkamai. Tada taškai P, H M, H K, H N Ir H L gulėti ant tos pačios tiesios linijos.

Konkurencinės ir statmenos linijos

Dvi keturkampio įstrižainės ir dvi stygos, jungiančios priešingus liesties taškus (priešingos įbrėžto keturkampio viršūnės), yra konkurencijos (t. y. susikerta viename taške). Norėdami tai parodyti, galime naudoti specialų Brianchono teoremos atvejį, teigiantį, kad šešiakampis, kurio visos kraštinės yra liestinės su kūgio pjūviu, turi tris įstrižaines, kurios susikerta viename taške. Iš aprašyto keturkampio nesunku gauti šešiakampį su dviem 180° kampais, įterpiant dvi naujas viršūnes priešinguose sąlyčio taškuose. Visos šešios gauto šešiakampio kraštinės liečia apskritimą, todėl jo įstrižainės susikerta viename taške. Tačiau dvi šešiakampio įstrižainės sutampa su keturkampio įstrižainėmis, o trečioji eina per priešingus liesties taškus. Kartodami tuos pačius argumentus kitiems dviem sąlyčio taškams, gauname reikiamą rezultatą.

Jei apskritimas liečia šonus AB, B.C., CD Ir D.A. taškuose M, K, N, L atitinkamai, tada tiesiai MK, LN Ir A.C. konkurencingas.

Jei apibrėžtojo keturkampio priešingų kraštinių plėtiniai susikerta taškuose E Ir F, o įstrižainės susikerta taške P, tada tiesiai E.F. statmenai tęsiniui OP, Kur O- įbrėžto apskritimo centras.

Incircle savybės

Ryšys tarp dviejų priešingų apibrėžto keturkampio kraštinių gali būti išreikštas atstumais nuo apskritimo centro O atitinkamoms šalims

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).

Dviejų gretimų apibrėžtojo keturkampio kraštinių sandauga ABCD su įbrėžto apskritimo centru O patenkina santykį

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

Jeigu O- įbrėžto keturkampio apskritimo centras ABCD, Tai

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).

Įbrėžto apskritimo centras O sutampa su keturkampio „viršūnių centru“ tada ir tik tada

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

Jeigu M 1 Ir M 2 yra įstrižainių vidurio taškai A.C. Ir BD atitinkamai tada

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1)))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h)),)

Kur e, f, g Ir h- liestinės atkarpos viršūnėse A, B, C Ir D atitinkamai. Sujungus pirmąją lygybę su paskutine, gauname, kad apibrėžto keturkampio „viršūnių centras“ sutampa su įbrėžto apskritimo centru tada ir tik tada, kai įbrėžto apskritimo centras yra viduryje tarp įstrižainių vidurio taškų. .

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4. (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1) )(r_(4))).)

Šią savybę prieš penkerius metus įrodė Weinsteinas. Spręsdami savo problemą, panašų turtą suteikė Vasiljevas ir Senderovas. Jei per h M, h K, h N ir h L žymi tų pačių trikampių aukščius (praleidžiama įstrižainių sankirtoje P), tada keturkampis apribojamas tada ir tik tada

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1) )(h_(L))).)

Kita panaši savybė taikoma išorinių apskritimų spinduliams r M , r K , r N Ir r L tiems patiems keturiems trikampiams (keturi apskritimai liečia kiekvieną iš keturkampio kraštinių ir įstrižainių tęsinių). Keturkampis yra apribotas tada ir tik tada

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1) )(r_(L))).)

Jeigu R M, R K, R N ir R L - trikampių apskritimo spinduliai APB, BPC, CPD Ir DPA atitinkamai, tada trikampis ABCD aprašomas tada ir tik tada

R M + R N = R K + R L . (\displaystyle R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

Atrodo, kad 1996 m. Weinsteinas pirmasis įrodė kitą nepaprastą apibrėžtų keturkampių savybę, kuri vėliau pasirodė keliuose žurnaluose ir svetainėse. Savybė teigia, kad jei išgaubtas keturkampis yra padalintas į keturis nesutampančius trikampius pagal jo įstrižaines, šių trikampių centrai yra tame pačiame apskritime tada ir tik tada, kai keturkampis yra apibrėžtas. Tiesą sakant, įbrėžtų apskritimų centrai sudaro stačiakampį įbrėžtą keturkampį. Čia įrašytus apskritimus galima pakeisti išoriniais apskritimais (keturkampio įstrižainių liestinės kraštinės ir plėtiniai). Tada išgaubtasis keturkampis apibrėžiamas tada ir tik tada, kai išorinių apskritimų centrai yra įrašytojo keturkampio viršūnės.

Išgaubtas keturkampis ABCD, kurioje įstrižainės susikerta taške P, apibrėžiamas tada ir tik tada, kai keturi trikampių išorinių apskritimų centrai APB, BPC, CPD Ir DPA guli ant to paties apskritimo (čia išoriniai apskritimai kerta keturkampio kraštines, priešingai nei anksčiau pateiktame panašiame teiginyje, kur išoriniai apskritimai yra už keturkampio ribų). Jeigu R m, Rn, Rk Ir R l- apskritimų spinduliai APB, BPC, CPD Ir DPA atitinkamai priešingos viršūnėms B Ir D, tada bus dar viena būtina ir pakankama sąlyga, kad keturkampis būtų apribotas

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1) )(R_(l))).) m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) (\displaystyle (\frac (m)(\triangle (APB)))+(\frac (n)(\triangle (CPD)))=(\frac (k)(\trikampis (BPC)))+(\frac (l)(\trikampis (DPA))))

čia m, k, n, l yra kraštinių AB, BC, CD ir DA ilgiai ir ∆( APB) - trikampio plotas APB.

Pažymime atkarpas, kuriose taškas P dalija įstrižainę A.C. Kaip AP = p a ir PC = p c. Lygiai taip pat P padalinti įstrižainę BDį segmentus B.P. = p b ir P.D. = p d. Tada keturkampis aprašomas tada ir tik tada, kai galioja viena iš lygybių:

(m + p a - p b) (n + p c - p d) (m - p a + p b) (n - p c + p d) = (k + p c - p b) (l + p a - p d) (k - p c + p b) (l − p a + p d) . (\displaystyle (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d)))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d))))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d)))).)

Sąlygos, kad aprašytas keturkampis būtų kito tipo keturkampis.

Apribotasis keturkampis yra dvicentris (t. y. apibrėžiamas ir įbrėžiamas tuo pačiu metu) tada ir tik tada, kai apskritimo spindulys yra didžiausias tarp visų apibrėžtųjų keturkampių, turinčių tą pačią kraštinių ilgių seką, tada ir tik tada, kai yra viena iš šių sąlygų:

• Plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos
• Įstrižainės yra statmenos
• Du segmentai, jungiantys priešingus liesties taškus, yra vienodo ilgio
• Viena pora priešingų atkarpų nuo viršūnės iki liesties taško yra vienodo ilgio
C.V. Durellas, A. Robsonas. Išplėstinė trigonometrija // Doverio pakartotinis spausdinimas. – 2003 m.
• Viktoras Bryantas, Johnas Duncanas. Ratai ratuose // Mathematical Gazette. - 2010. - Išduotis. 94, lapkritis.
• Albrechtas Hessas. Ant apskritimo, kuriame yra liestinių keturkampių centrai // Forum Geometricorum. - 2014 m. - T. 14.
• Wu Wei Chao, Plamenas Simeonovas. Kai keturkampiai turi apskritimus (uždavinio 10698 sprendimas) // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107, leidimas. 7. - DOI: 10.2307/2589133.
• Mowaffaq Hajja. Sąlyga, kad apribojamas keturkampis būtų cikliškas // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8.

Laris Hoehnas. Nauja keturkampio įstrižainių ir kraštinių formulė. - 2011 m. - T. 11 T. 10.

Martinas Josefssonas. Kada tangentinis keturkampis yra aitvaras? // Forum Geometricorum. – 2011 m. – T. 11.

Martinas Josefssonas. Daugiau tangentinių keturkampių charakteristikų // Forum Geometricorum. – 2011b. – T. 11.

Martinas Josefssonas. Bicentrinio keturkampio plotas // Forum Geometricorum. – 2011 m. – T. 11.

Martinas Josefssonas. Panašios tangentinių ir ekstangentinių keturkampių metrinės charakteristikos // Forum Geometricorum. - 2012 m. - T. 12.

Martinas Josefssonas. Stačiakampių keturkampių charakteristikos. - 2012b. – T. 12.

Nikusor Minculete. Tangentinio keturkampio charakteristikos // Forum Geometricorum. - 2009. - T. 9.

Aleksejus Myakiševas. Ant dviejų nuostabių linijų, susijusių su keturkampiu // Forum Geometricorum. - 2006. - T. 6.

A.W. Siddonsas, R.T. Hughesas. Trigonometrija. - Kembridžo universitetas. Spauda, ​​1929 m.

I. Vainšteinas, N. Vasiljevas, V. Senderovas.(Problemos sprendimas) M1495 // Quantum. - 1995. - Laida. 6.

Michaelas De Villiersas. Lygiakampiai cikliniai ir lygiakraščiai apibrėžti daugiakampiai // Matematikos leidinys. - 2011. - Laida. 95, kovo mėn.