Y 3x1 grafikas. Kvadratinės ir kubinės funkcijos

Modulius turinčių funkcijų grafikų sudarymas paprastai sukelia didelių sunkumų moksleiviams. Tačiau viskas nėra taip blogai. Pakanka prisiminti keletą tokių problemų sprendimo algoritmų ir galite lengvai sukurti net sudėtingiausios funkcijos grafiką. Išsiaiškinkime, kokie tai yra algoritmai.

1. Funkcijos y = |f(x)| grafiko braižymas

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijų reikšmių rinkinys y = |f(x)| : y ≥ 0. Taigi tokių funkcijų grafikai visada yra tik viršutinėje pusplokštumoje.

Funkcijos y = |f(x)| grafiko braižymas susideda iš šių paprastų keturių žingsnių.

1) Atsargiai ir kruopščiai sukonstruokite funkcijos y = f(x) grafiką.

2) Palikite nepakeistus visus grafiko taškus, esančius virš 0x ašies arba ant jos.

3) Rodyti grafiko dalį, esančią žemiau 0x ašies, simetriškai 0x ašies atžvilgiu.

1 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = |x 2 – 4x + 3| grafiką

1) Sudarome funkcijos y = x 2 – 4x + 3 grafiką. Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė. Raskime visų parabolės susikirtimo su koordinačių ašimis taškų koordinates ir parabolės viršūnės koordinates.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Todėl parabolė taškuose (3, 0) ir (1, 0) kerta 0x ašį.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Todėl parabolė taške (0, 3) kerta 0y ašį.

Parabolės viršūnių koordinatės:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Todėl taškas (2, -1) yra šios parabolės viršūnė.

Naudodamiesi gautais duomenimis nubrėžkite parabolę (1 pav.)

2) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, rodoma simetriškai 0x ašies atžvilgiu.

3) Gauname pradinės funkcijos ( ryžių. 2, parodyta kaip punktyrinė linija).

2. Funkcijos y = f(|x|) braižymas

Atkreipkite dėmesį, kad y = f(|x|) formos funkcijos yra lyginės:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tai reiškia, kad tokių funkcijų grafikai yra simetriški 0y ašies atžvilgiu.

Funkcijos y = f(|x|) grafiko braižymas susideda iš tokios paprastos veiksmų grandinės.

1) Nubraižykite funkcijos y = f(x) grafiką.

2) Palikite tą grafiko dalį, kuriai x ≥ 0, tai yra, grafiko dalį, esančią dešinėje pusplokštumoje.

3) Rodyti (2) punkte nurodytą grafiko dalį simetriškai 0y ašiai.

4) Kaip galutinį grafiką pasirinkite (2) ir (3) punktuose gautų kreivių sąjungą.

2 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = x 2 – 4 · |x| grafiką + 3

Kadangi x 2 = |x| 2, tada pradinę funkciją galima perrašyti kaip sekančią formą: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Dabar galime taikyti aukščiau pasiūlytą algoritmą.

1) Kruopščiai ir kruopščiai sudarome funkcijos y = x 2 – 4 x + 3 grafiką (taip pat žr. ryžių. 1).

2) Paliekame tą grafiko dalį, kuriai x ≥ 0, tai yra grafiko dalį, esančią dešinėje pusplokštumoje.

3) Ekranas dešinioji pusė grafika yra simetriška 0y ašiai.

(3 pav.).

3 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = log 2 |x| grafiką

Taikome aukščiau pateiktą schemą.

1) Sudarykite funkcijos y = log 2 x grafiką (4 pav.).

3. Funkcijos y = |f(|x|)| braižymas

Atkreipkite dėmesį, kad y formos funkcijos = |f(|x|)| taip pat yra lygūs. Iš tiesų, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), todėl jų grafikai yra simetriški 0y ašiai. Tokių funkcijų reikšmių rinkinys: y ≥ 0. Tai reiškia, kad tokių funkcijų grafikai yra tik viršutinėje pusplokštumoje.

Norėdami nubrėžti funkciją y = |f(|x|)|, turite:

1) Atsargiai sukonstruokite funkcijos y = f(|x|) grafiką.

2) Palikite nepakeistą grafiko dalį, esančią virš 0x ašies arba ant jos.

3) Rodyti grafiko dalį, esančią žemiau 0x ašies, simetriškai 0x ašies atžvilgiu.

4) Kaip galutinį grafiką pasirinkite (2) ir (3) punktuose gautų kreivių sąjungą.

4 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = |-x 2 + 2|x| grafiką – 1|.

1) Atkreipkite dėmesį, kad x 2 = |x| 2. Tai reiškia, kad vietoj pradinės funkcijos y = -x 2 + 2|x| – 1

galite naudoti funkciją y = -|x| 2 + 2|x| – 1, nes jų grafikai sutampa.

Sudarome grafiką y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Tam naudojame 2 algoritmą.

a) Nubraižykite funkciją y = -x 2 + 2x – 1 (6 pav.).

b) Paliekame tą grafiko dalį, kuri yra dešinėje pusplokštumoje.

c) Gautą grafiko dalį atvaizduojame simetriškai 0y ašiai.

d) Gautas grafikas parodytas paveiksle punktyrine linija (7 pav.).

2) Virš 0x ašies taškų nėra, 0x ašies taškus paliekame nepakeistus.

3) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, rodoma simetriškai 0x atžvilgiu.

4) Gautas grafikas parodytas paveikslėlyje su punktyrine linija (8 pav.).

5 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Pirmiausia reikia nubraižyti funkciją y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Norėdami tai padaryti, grįžtame prie 2 algoritmo.

a) Atsargiai nubraižykite funkciją y = (2x – 4) / (x + 3) (9 pav.).

pastebėti, kad šią funkciją yra trupmeninė tiesinė, o jo grafikas yra hiperbolė. Norėdami nubrėžti kreivę, pirmiausia turite rasti grafiko asimptotes. Horizontaliai – y = 2/1 (x koeficientų santykis trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje), vertikaliai – x = -3.

2) Tą grafiko dalį, kuri yra virš 0x ašies arba ant jos, paliksime nepakeistą.

3) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, bus rodoma simetriškai 0x atžvilgiu.

4) Galutinis grafikas parodytas paveikslėlyje (11 pav.).

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Pamoka tema: "Funkcijos $y=x^3$ grafikas ir savybės. Grafikų braižymo pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 7 klasei
Elektroninis vadovėlis 7 klasei „Algebra per 10 minučių“
Edukacinis kompleksas 1C "Algebra, 7-9 klasės"

Funkcijos $y=x^3$ savybės

Apibūdinkime šios funkcijos savybes:

1. x yra nepriklausomas kintamasis, y yra priklausomas kintamasis.

2. Apibrėžimo sritis: akivaizdu, kad bet kuriai argumento (x) reikšmei galima apskaičiuoti funkcijos (y) reikšmę. Atitinkamai, šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.

3. Reikšmių diapazonas: y gali būti bet koks. Atitinkamai, reikšmių diapazonas taip pat yra visa skaičių eilutė.

4. Jei x= 0, tai y= 0.

Funkcijos $y=x^3$ grafikas

1. Sukurkime reikšmių lentelę:

2. Už teigiamas vertes x, funkcijos $y=x^3$ grafikas labai panašus į parabolę, kurios šakos labiau „prispaustos“ prie OY ašies.

3. Kadangi neigiamoms x reikšmėms funkcija $y=x^3$ turi priešingas reikšmes, funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu.

Dabar pažymėkime taškus koordinačių plokštumoje ir sukurkime grafiką (žr. 1 pav.).

Ši kreivė vadinama kubine parabole.

Pavyzdžiai

I. Mažame laive jis buvo visiškai pasibaigęs gėlo vandens. Iš miesto būtina atsivežti pakankamą kiekį vandens. Vanduo užsakomas iš anksto ir sumokamas už pilną kubą, net jei pripildai šiek tiek mažiau. Kiek kubelių turėčiau užsisakyti, kad nereikėtų permokėti už papildomą kubą ir visiškai užpildyti baką? Yra žinoma, kad bako ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs 1,5 m. Išspręskime šią problemą neatlikdami skaičiavimų.

Sprendimas:

1. Nubraižykime funkciją $y=x^3$.
2. Raskite tašką A, x koordinatę, kuri lygi 1,5. Matome, kad funkcijos koordinatė yra tarp reikšmių 3 ir 4 (žr. 2 pav.). Taigi reikia užsisakyti 4 kubelius.

Funkcija y=x^2 vadinama kvadratine funkcija. Tvarkaraštis kvadratinė funkcija yra parabolė. Bendra forma Parabolė parodyta paveikslėlyje žemiau.

Kvadratinė funkcija

1 pav. Bendras parabolės vaizdas

Kaip matyti iš grafiko, jis yra simetriškas Oy ašiai. Oy ašis vadinama parabolės simetrijos ašimi. Tai reiškia, kad jei grafike nubrėžiate tiesią liniją, lygiagrečią Ox ašiai virš šios ašies. Tada jis susikirs su parabole dviejuose taškuose. Atstumas nuo šių taškų iki Oy ašies bus toks pat.

Simetrijos ašis padalija parabolės grafiką į dvi dalis. Šios dalys vadinamos parabolės šakomis. O parabolės taškas, esantis ant simetrijos ašies, vadinamas parabolės viršūne. Tai yra, simetrijos ašis eina per parabolės viršūnę. Šio taško koordinatės yra (0;0).

Pagrindinės kvadratinės funkcijos savybės

1. Kai x =0, y=0 ir y>0, kai x0

2. Kvadratinė funkcija pasiekia mažiausią reikšmę savo viršūnėje. Ymin, kai x=0; Taip pat reikėtų pažymėti, kad funkcija neturi didžiausios vertės.

3. Funkcija mažėja intervale (-∞;0] ir didėja intervale)