Vieningas valstybinis matematikos egzaminas (profilis). Išvestinio grafiko skaitymas

Sveiki! Išlaikykime artėjantį Vieningą valstybinį egzaminą kokybišku sistemingu pasiruošimu ir užsispyrimu šlifuodami mokslo granitą!!! INĮrašo pabaigoje yra konkurso užduotis, būk pirmas! Viename iš šios skilties straipsnių tu ir aš, kuriame buvo pateiktas funkcijos grafikas ir iškelti įvairūs klausimai dėl ekstremalių, padidėjimo (sumažėjimo) intervalų ir kt.

Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, įtrauktas į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kuriame pateikiamas funkcijos išvestinės grafikas ir pateikiami šie klausimai:

1. Kuriame duotosios atkarpos taške funkcija įgyja didžiausią (arba mažiausią) reikšmę.

2. Raskite didžiausių (arba mažiausių) funkcijos taškų, priklausančių duotam atkarpai, skaičių.

3. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo taškų skaičių.

4. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo tašką.

5. Raskite didėjančios (arba mažėjančios) funkcijos intervalus ir atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų sveikųjų skaičių sumą.

6. Raskite funkcijos didėjimo (arba mažėjimo) intervalus. Savo atsakyme nurodykite didžiausio iš šių intervalų ilgį.

7. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su y = kx + b formos tiese, skaičių.

8. Raskite taško, kuriame funkcijos grafiko liestinė lygiagreti abscisių ašiai arba sutampa su ja, abscisę.

Gali kilti ir kitų klausimų, bet jie nesukels jums sunkumų, jei suprasite ir (pateikiamos nuorodos į straipsnius, kuriuose pateikiama sprendimui reikalinga informacija, rekomenduoju pakartoti).

Pagrindinė informacija (trumpai):

1. Išvestinė didėjančiais intervalais turi teigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiama vertė, tada funkcijos grafikas didėja per šį intervalą.

2. Mažėjančiais intervalais išvestinė turi neigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale mažėja.

3. Išvestinė taške x lygi funkcijos grafiko tame pačiame taške nubrėžtos liestinės nuolydžiui.

4. Funkcijos ekstremumo (maksimalaus-minimalumo) taškuose išvestinė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti x ašiai.

Tai reikia aiškiai suprasti ir atsiminti!!!

Išvestinis grafikas „supainioja“ daugybę žmonių. Kai kurie žmonės netyčia jį supainioja su pačios funkcijos grafiku. Todėl tokiuose pastatuose, kur matote, kad pateiktas grafikas, iš karto sutelkite dėmesį į tai, kas duota: funkcijos grafiką ar funkcijos išvestinės grafiką?

Jei tai funkcijos išvestinės grafikas, traktuokite jį kaip pačios funkcijos „atspindį“, kuris tiesiog suteikia informacijos apie tą funkciją.

Apsvarstykite užduotį:

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–2;21).

Atsakysime į šiuos klausimus:

1. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X) priima didžiausia vertė.

Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale mažėja (ji mažėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, ty 7 taške.

Atsakymas: 7

2. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X)

Iš šio išvestinio grafiko galime pasakyti taip. Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra teigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale didėja (ji didėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi, mažiausia vertė funkcija pasiekiama kairiojoje atkarpos riboje, ty taške x = 3.

Atsakymas: 3

3. Raskite funkcijos didžiausių taškų skaičių f(X)

Didžiausi taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Pasvarstykime, kur taip pasikeičia ženklas.

Segmente (3;6) išvestinė yra teigiama, segmente (6;16) – neigiama.

Segmente (16;18) išvestinė yra teigiama, segmente (18;20) – neigiama.

Taigi tam tikroje atkarpoje funkcija turi du didžiausius taškus x = 6 ir x = 18.

Atsakymas: 2

4. Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš neigiamo į teigiamą. Mūsų išvestinė yra neigiama intervale (0;3), o teigiama intervale (3;4).

Taigi atkarpoje funkcija turi tik vieną minimalų tašką x = 3.

*Būkite atsargūs rašydami atsakymą – įrašomas taškų skaičius, o ne x reikšmė, tokia klaida gali būti padaryta dėl neatidumo.

Atsakymas: 1

5. Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Atkreipkite dėmesį, ką reikia rasti kiekis ekstremalūs taškai (tai yra ir didžiausi, ir mažiausi taškai).

Ekstremalūs taškai atitinka taškus, kuriuose keičiasi išvestinės vertės ženklas (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Sąlygoje pateiktoje diagramoje tai yra funkcijos nuliai. Išvestinė dingsta 3, 6, 16, 18 taškuose.

Taigi funkcija atkarpoje turi 4 kraštutinius taškus.

Atsakymas: 4

6. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Šios funkcijos didinimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose jo išvestinė yra teigiama, tai yra intervalus (3;6) ir (16;18). Atkreipkite dėmesį, kad intervalo ribos į jį neįtrauktos (apvalūs skliaustai - ribos neįtraukiamos į intervalą, laužtiniai skliaustai - įtraukiami). Šiuose intervaluose yra sveikųjų skaičių taškai 4, 5, 17. Jų suma yra: 4 + 5 + 17 = 26

Atsakymas: 26

7. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X) tam tikru intervalu. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Šioje užduotyje tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18:21).

Šiuos intervalus sudaro šie sveikieji taškai: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jų suma yra tokia:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Atsakymas: 140

*Atkreipkite dėmesį į sąlygą: ar ribos įtraukiamos į intervalą, ar ne. Jei ribos įtraukiamos, tai intervaluose, kurie atsižvelgiama į sprendimo procesą, taip pat reikia atsižvelgti į šias ribas.

8. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Funkcijų didėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama. Juos jau nurodėme: (3;6) ir (16:18). Didžiausias iš jų – intervalas (3;6), jo ilgis – 3.

Atsakymas: 3

9. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Mes juos jau nurodėme, tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18;21), jų ilgiai yra atitinkamai 5, 10, 3.

Didžiausio ilgis 10.

Atsakymas: 10

10. Raskite taškų, kuriuose yra funkcijos grafiko liestinė, skaičių f(X) lygiagreti arba sutampa su tiese y = 2x + 3.

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė yra lygiagreti tiesei y = 2x + 3 arba su ja sutampa, tada jų šlaitai yra lygūs 2. Tai reiškia, kad reikia rasti taškų, kuriuose y′(x 0) = 2, skaičių. Geometriškai tai atitinka išvestinės grafiko susikirtimo su tiese y taškų skaičių. = 2. Tam tikrame intervale yra 4 tokie taškai.

Atsakymas: 4

11. Raskite funkcijos ekstremumo tašką f(X), priklausantis segmentui.

Funkcijos ekstremumo taškas yra taškas, kuriame jos išvestinė yra lygi nuliui, o šalia šio taško išvestinė keičia ženklą (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Atkarpoje išvestinis grafikas kerta x ašį, išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą. Todėl taškas x = 3 yra ekstremumo taškas.

Atsakymas: 3

12. Raskite taškų, kuriuose grafiko y = f (x) liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai arba su ja sutampa, abscises. Atsakyme nurodykite didžiausią iš jų.

Grafo liestinė y = f (x) gali būti lygiagreti abscisių ašiai arba sutapti su ja tik taškuose, kur išvestinė lygi nuliui (tai gali būti ekstremalieji taškai arba stacionarūs taškai, šalia kurių išvestinė yra nekeisti savo ženklo). Šis grafikas rodo, kad taškuose 3, 6, 16, 18 išvestinė yra lygi nuliui. Didžiausias yra 18.

Savo samprotavimus galite struktūrizuoti taip:

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė yra lygiagreti arba sutampa su x ašimi, jos nuolydis yra 0 (iš tikrųjų nulinio laipsnių kampo liestinė yra nulis). Todėl ieškome taško, kuriame nuolydis lygus nuliui, todėl išvestinė lygi nuliui. Išvestinė lygi nuliui taške, kuriame jos grafikas kerta x ašį, ir tai yra taškai 3, 6, 16, 18.

Atsakymas: 18

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–8;4). Kuriame atkarpos [–7;–3] taške yra funkcija f(X) užima mažiausią vertę.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;14). Raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–6;9].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–18;6). Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–13;1].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11; –11). Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–10; -10].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;4). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–5;7). Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11;3). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

F Paveikslėlyje parodytas grafikas

Problemos sąlygos yra tos pačios (ką mes svarstėme). Raskite trijų skaičių sumą:

1. Funkcijos f (x) ekstremalių kvadratų suma.

2. Funkcijos f (x) didžiausių taškų sumos ir mažiausių taškų sumos kvadratų skirtumas.

3. F (x) lygiagrečių tiesei y = –3x + 5 liestinių skaičius.

Pirmasis teisingai atsakęs gaus 150 rublių skatinamąjį prizą. Savo atsakymus rašykite komentaruose. Jei tai pirmas jūsų komentaras tinklaraštyje, jis pasirodys ne iš karto, o šiek tiek vėliau (nesijaudinkite, komentaro parašymo laikas įrašomas).

Sėkmės tau!

Pagarbiai, Aleksandras Krutitsikas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

B8. Vieningas valstybinis egzaminas

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške, kurio abscisė x0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: 2

2.

Atsakymas: -5

3.

Ant intervalo (–9;4).

Atsakymas: 2

4.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0 Atsakymas: 0,5

5. Raskite tiesės y = 3x + 8 liestinės tašką ir funkcijos y = x3+x2-5x-4 grafiką. Atsakyme nurodykite šio taško abscisę. Atsakymas: -2

6.

Nustatykite argumento, kurio funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama, sveikųjų skaičių skaičių. Atsakymas: 4

7.

Atsakymas: 2

8.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=5–x arba su ja sutampa, skaičių. Atsakymas: 3

9.

Intervalas (-8; 3).

Tiesi linija y = -20. Atsakymas: 2

10.

Atsakymas: -0,5

11

Atsakymas: 1

12. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: 0,5

13. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: -0,25

14.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = x+7, skaičių. Atsakymas: 4

15

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: -2

16.

intervalas (-14;9).

Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-12;7]. Atsakymas: 3

17

ant intervalo (-10;8).

Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje [-9;7]. Atsakymas: 4

18. Tiesė y = 5x-7 paliečia funkcijos y = 6x2 + bx-1 grafiką taške, kurio abscisė mažesnė už 0. Raskite b. Atsakymas: 17

19

Atsakymas:-0,25

20

Atsakymas: 6

21. Raskite funkcijos y=x2+6x-7 grafiko liestinę, lygiagrečią tiesei y=5x+11. Atsakyme nurodykite lietimo taško abscises. Atsakymas: -0,5

22.

Atsakymas: 4

23. f "(x) intervale (-16; 4).

Atkarpoje [-11;0] raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių. Atsakymas: 1

B8 Funkcijų grafikai, funkcijų išvestinės. Funkcijų tyrimas . Vieningas valstybinis egzaminas

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške, kurio abscisė x0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

2. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-6; 5) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Kuriame atkarpos taške [-5; -1] f(x) turi mažiausią reikšmę?

3. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x), apibrėžtos išvestinės grafikas

Ant intervalo (–9;4).

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei, skaičių

y = 2x-17 arba sutampa su juo.

4. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0

5. Raskite tiesės y = 3x + 8 liestinės tašką ir funkcijos y = x3+x2-5x-4 grafiką. Atsakyme nurodykite šio taško abscisę.

6. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x), apibrėžtos intervale (-7; 5), grafikas.

Nustatykite argumento, kurio funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama, sveikųjų skaičių skaičių.

7. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f "(x), apibrėžtos intervale (-8; 8), grafikas.

Raskite funkcijos f(x), priklausančių atkarpai [-4, ekstremumo taškų skaičių; 6].

8. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f "(x), apibrėžtos intervale (-8; 4), grafikas.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=5–x arba su ja sutampa, skaičių.

9. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas

Intervalas (-8; 3).

Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti, skaičių

Tiesi linija y = -20.

10. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

11 . Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-9;9) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Raskite funkcijos $f(x)$ minimalių taškų skaičių intervale [-6;8]. 1

12. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

13. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

14. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-6;8) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = x+7, skaičių.

15 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

16. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas on

intervalas (-14;9).

Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-12;7].

17 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos f(x), apibrėžtos išvestinės grafikas

ant intervalo (-10;8).

Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje [-9;7].

18. Tiesė y = 5x-7 paliečia funkcijos y = 6x2 + bx-1 grafiką taške, kurio abscisė mažesnė už 0. Raskite b.

19 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos f(x) išvestinės ir jos liestinės taške su abscise x0 grafikas.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

20 . Raskite intervalo (-1;12) taškų skaičių, kuriame grafike parodytos funkcijos y = f(x) išvestinė yra lygi 0.

21. Raskite funkcijos y=x2+6x-7 grafiko liestinę, lygiagrečią tiesei y=5x+11. Atsakyme nurodykite lietimo taško abscises.

22. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas. Raskite sveikųjų skaičių intervale (-2;11), kuriame funkcijos f(x) išvestinė yra teigiama.

23. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y= grafikas f "(x) intervale (-16; 4).

Atkarpoje [-11;0] raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių.

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b, atsižvelgiant į tai, kad liestinės taško abscisė yra mažesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, tai yra, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas vienu metu priklauso abiem funkcija ir liestinė, tai yra -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Gauname lygčių sistemą \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=9 ir x=5. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“ Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-4; 10). Raskite mažėjančios funkcijos f(x) intervalus. Jūsų atsakyme, nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Kaip žinoma, funkcija f(x) mažėja tuose intervaluose, kurių kiekviename taške išvestinė f"(x) yra mažesnė už nulį. Atsižvelgiant į tai, kad reikia rasti didžiausio iš jų ilgį, yra trys tokie intervalai. natūraliai skiriasi nuo figūros: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Didžiausio iš jų ilgis (5; 9) yra 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje pavaizduotas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 7). Raskite funkcijos f(x), priklausančių maksimalių taškų skaičių. intervalas [-6; -2].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Grafikas rodo, kad funkcijos f(x) išvestinė f"(x) keičia ženklą iš pliuso į minusą (tokiuose taškuose bus maksimumas) tiksliai viename taške (tarp -5 ir -4) iš intervalo [ -6; -2 ] Todėl intervale [-6; -2] yra tiksliai vienas maksimalus taškas.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x), apibrėžtos intervale (-2; 8), grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra lygi 0, skaičių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Išvestinės lygybė taške su nuliu reiškia, kad šiame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Šioje diagramoje tokie taškai yra ekstremalūs taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 5 ekstremalūs taškai.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei. Raskite liestinės taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko tiesės kampinis koeficientas savavališkame taške x_0 yra lygus y"(x_0). Bet y"=-2x+5, o tai reiškia y" (x_0)=-2x_0+5. Kampinis sąlygoje nurodytos tiesės y=-3x+4 koeficientas lygus -3. Lygiagrečios tiesės turi vienodus nuolydžio koeficientus.Todėl randame tokią reikšmę x_0, kad =- 2x_0 +5=-3.

Gauname: x_0 = 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas, o abscisėje pažymėti taškai -6, -1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

B9 uždavinys pateikia funkcijos arba išvestinės grafiką, iš kurio reikia nustatyti vieną iš šių dydžių:

1. Išvestinės vertė tam tikru tašku x 0,
2. Maksimalus arba minimalus balas (ekstremalūs taškai),
3. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalai (monotoniškumo intervalai).

Šioje užduotyje pateiktos funkcijos ir išvestiniai visada yra tęstiniai, todėl sprendimas yra daug lengvesnis. Nepaisant to, kad užduotis priklauso matematinės analizės skyriui, ją gali atlikti net patys silpniausi mokiniai, nes čia nereikia gilių teorinių žinių.

Norint rasti išvestinės vertės, ekstremumo taškų ir monotoniškumo intervalų reikšmę, yra paprasti ir universalūs algoritmai – visi jie bus aptarti toliau.

Atidžiai perskaitykite problemos B9 sąlygas, kad nepadarytumėte kvailų klaidų: kartais tenka susidurti su gana ilgais tekstais, bet svarbias sąlygas, kurios turi įtakos sprendimo eigai, yra nedaug.

Išvestinės vertės apskaičiavimas. Dviejų taškų metodas

Jei uždaviniui pateikiamas funkcijos f(x), liestinės šiam grafui tam tikrame taške x 0 grafikas ir reikia rasti išvestinės reikšmę šiame taške, taikomas toks algoritmas:

1. Lietinės grafike raskite du „adekvačius“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikosios. Pažymėkime šiuos taškus A (x 1 ; y 1) ir B (x 2 ; y 2). Teisingai užsirašykite koordinates – tai yra pagrindinis momentas sprendimus, o bet kokia klaida čia lemia neteisingą atsakymą.
2. Žinant koordinates, nesunku apskaičiuoti argumento Δx = x 2 − x 1 ir funkcijos Δy = y 2 − y 1 prieaugį.
3. Galiausiai randame išvestinės D = Δy/Δx reikšmę. Kitaip tariant, reikia padalyti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio – ir tai bus atsakymas.

Dar kartą pastebėkime: taškų A ir B reikia ieškoti būtent liestinėje, o ne funkcijos f(x) grafike, kaip dažnai nutinka. Tangentinėje linijoje būtinai bus bent du tokie taškai – kitaip problema nebus suformuluota teisingai.

Apsvarstykite taškus A (-3; 2) ir B (-1; 6) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Raskime išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Dabar randame išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Belieka rasti išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iš paskutinio pavyzdžio galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė lygiagreti OX ašiai, funkcijos išvestinė liesties taške yra lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į grafiką.

Maksimalių ir minimalių taškų skaičiavimas

Kartais vietoj funkcijos grafiko uždavinys B9 pateikia išvestinės grafiką ir reikalauja surasti funkcijos maksimalų arba mažiausią tašką. Šioje situacijoje dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra kitas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminologiją:

1. Taškas x 0 vadinamas maksimaliu funkcijos f(x) tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≥ f(x).
2. Taškas x 0 vadinamas funkcijos f(x) minimaliu tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≤ f(x).

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią taškus iš išvestinės grafiko, tiesiog atlikite šiuos veiksmus:

1. Perbraižykite išvestinį grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Kaip rodo praktika, nereikalingi duomenys tik trukdo priimti sprendimą. Todėl koordinačių ašyje pažymime išvestinės nulius - ir viskas.
2. Sužinokite išvestinės ženklus intervaluose tarp nulių. Jei kokiam nors taškui x 0 žinoma, kad f'(x 0) ≠ 0, tai galimi tik du variantai: f'(x 0) ≥ 0 arba f'(x 0) ≤ 0. Išvestinės ženklas yra nesunku nustatyti iš pirminio brėžinio: jei išvestinis grafikas yra virš OX ašies, tai f'(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei išvestinis grafikas yra žemiau OX ašies, tada f'(x) ≤ 0.
3. Dar kartą patikriname išvestinės nulius ir ženklus. Kai ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.

Ši schema veikia tik nuolatinėms funkcijoms – B9 užduotyje kitų nėra.

Užduotis. Paveiksle parodytas intervale [−5; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 5]. Raskite funkcijos f(x) mažiausią tašką šioje atkarpoje.

Atsikratykime nereikalinga informacija— palikime tik ribas [−5; 5] ir išvestinės x = −3 ir x = 2,5 nuliai. Taip pat atkreipiame dėmesį į ženklus:

Akivaizdu, kad taške x = −3 išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f(x) tašką šioje atkarpoje.

Perbraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir išvestinės x = −1,7 nuliai ir x = 5. Gautame grafike pažymėkime išvestinės požymius. Mes turime:

Akivaizdu, kad taške x = 5 išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą – tai didžiausias taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−6; 4]. Raskite atkarpai [−4 priklausančios funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių; 3].

Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad užtenka nagrinėti tik atkarpa ribojamą grafo dalį [−4; 3]. Todėl kuriame naują grafiką, kuriame pažymime tik ribas [−4; 3] ir jo viduje esančios išvestinės nuliai. Būtent taškai x = −3,5 ir x = 2. Gauname:

Šiame grafike yra tik vienas maksimalus taškas x = 2. Būtent šioje vietoje išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą.

Maža pastaba apie taškus, kurių koordinatės nėra sveikos. Pavyzdžiui, paskutinėje užduotyje buvo nagrinėjamas taškas x = −3,5, tačiau su tokia pat sėkme galime imti x = −3,4. Jei problema surašyta teisingai, tokie pakeitimai neturėtų turėti įtakos atsakymui, nes taškai „be fiksuotos gyvenamosios vietos“ tiesiogiai nedalyvauja sprendžiant problemą. Žinoma, šis triukas neveiks su sveikaisiais taškais.

Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų radimas

Esant tokiai problemai, kaip ir maksimalus bei minimalus taškai, išvestiniu grafiku siūloma rasti sritis, kuriose pati funkcija didėja arba mažėja. Pirmiausia apibrėžkime, kas yra didėjantis ir mažėjantis:

1. Laikoma, kad funkcija f(x) didėja atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Kitaip tariant, kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė funkcijos reikšmė.
2. Laikoma, kad funkcija f(x) atkarpoje mažėja, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Tie. didesnę vertę argumentas atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Suformuluokime pakankamai sąlygų didėjanti ir mažėjanti:

1. Kad atkarpoje ištisinė funkcija f(x) padidėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų teigiama, t.y. f’(x) ≥ 0.
2. Kad atkarpoje tolydi funkcija f(x) sumažėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų neigiama, t.y. f’(x) ≤ 0.

Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi gauname didėjimo ir mažėjimo intervalų nustatymo schemą, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:

1. Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pradiniame išvestinės grafike mus pirmiausia domina funkcijos nuliai, todėl paliksime tik juos.
2. Pažymėkite išvestinės ženklus intervalais tarp nulių. Kur f’(x) ≥ 0, funkcija didėja, o kur f’(x) ≤ 0, ji mažėja. Jei problema nustato apribojimus kintamajam x, juos papildomai pažymime naujame grafike.
3. Dabar, kai žinome funkcijos elgseną ir apribojimus, belieka apskaičiuoti užduotyje reikalingą kiekį.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7.5]. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Kaip įprasta, perbraižykime grafiką ir pažymėkime ribas [−3; 7.5], taip pat išvestinės x = −1,5 ir x = 5,3 nuliai. Tada pažymime išvestinės požymius. Mes turime:

Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (− 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka susumuoti visus sveikuosius skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−10; 4]. Raskite funkcijos f(x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikime tik ribas [−10; 4] ir išvestinės nuliai, kurių šį kartą buvo keturi: x = −8, x = −6, x = −3 ir x = 2. Pažymėkime išvestinės ženklus ir gausime tokį paveikslėlį:

Mus domina didėjančios funkcijos intervalai, t.y. toks kur f’(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgį:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, kaip atsakymą užrašome reikšmę l 2 = 5.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [–5; 6]. Raskite f(x) grafiko taškų skaičių, kurių kiekvienoje funkcijos grafiko liestinė sutampa su x ašimi arba yra lygiagreti jai

Paveiksle pavaizduotas diferencijuojamos funkcijos y = f(x) išvestinės grafikas.

Raskite funkcijų grafike taškų, priklausančių atkarpai [–7; 7], kurioje funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei, nurodytai lygtimi y = –3x.

Medžiagos taškas M pradeda judėti iš taško A ir juda tiesia linija 12 sekundžių. Grafike parodyta, kaip laikui bėgant keitėsi atstumas nuo taško A iki taško M. Abscisių ašyje laikas t rodomas sekundėmis, o ordinačių ašyje atstumas s metrais. Nustatykite, kiek kartų judėjimo metu taško M greitis pasisuko iki nulio (neatsižvelgiama į judėjimo pradžią ir pabaigą).

Paveiksle pavaizduotos funkcijos y=f(x) grafiko atkarpos ir jos liestinė taške, kurio abscisė x = 0. Yra žinoma, kad ši liestinė yra lygiagreti tiesei, einančia per grafiko taškus. su abscisėmis x = -2 ir x = 3. Tai naudodamiesi raskite išvestinės f"(o) reikšmę.

Paveikslėlyje parodytas y = f’(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta atkarpoje (−11; 2). Raskite taško, kuriame funkcijos y = f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti abscisei arba sutampa su ja, abscisę.

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kur x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judesio pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 2 m/s?

Materialus taškas juda tiesia linija nuo pradinės padėties iki galutinės. Paveikslėlyje parodytas jo judėjimo grafikas. Abscisių ašyje laikas rodomas sekundėmis, o ordinačių ašyje – atstumas nuo pradinės taško padėties (metrais). Rasti Vidutinis greitis taško judėjimas. Atsakymą pateikite metrais per sekundę.

Funkcija y = f (x) yra apibrėžta intervale [-4; 4]. Paveiksle parodytas jo išvestinės grafikas. Raskite funkcijos y = f (x) grafike taškų, kurių liestinė sudaro 45° kampą su teigiama Ox ašies kryptimi.

Funkcija y = f (x) yra apibrėžta intervale [-2; 4]. Paveiksle parodytas jo išvestinės grafikas. Funkcijos y = f (x) grafike raskite taško abscisę, kurioje jis įgyja mažiausią atkarpos reikšmę [-2; -0,001].

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške x0. Liestinė pateikiama lygtimi y = -2x + 15. Raskite funkcijos y = -(1/4)f(x) + 5 išvestinės reikšmę taške x0.

Diferencijuojamos funkcijos y = f (x) grafike pažymėti septyni taškai: x1,.., x7. Raskite visus pažymėtus taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra didesnė už nulį. Atsakyme nurodykite šių taškų skaičių.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas y = f"(x), apibrėžtas intervale (-10; 2). Raskite taškų skaičių, kuriame funkcijos f grafiko liestinė (x) yra lygiagreti tiesei y = -2x-11 arba sutampa su ja.

Paveiksle pavaizduotas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė. Abscisių ašyje pažymėti devyni taškai: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Kiek iš šių taškų priklauso mažėjančios funkcijos f(x) intervalams?

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške x0. Liestinė pateikiama pagal lygtį y = 1,5x + 3,5. Raskite funkcijos y = 2f(x) - 1 išvestinės reikšmę taške x0.

Paveiksle pavaizduotas vienos iš funkcijos f (x) antidarinių grafikas y=F(x). Grafike pažymėti šeši taškai abscisėmis x1, x2, ..., x6. Kiek iš šių taškų funkcija y=f(x) įgyja neigiamas reikšmes?

Paveikslėlyje parodytas automobilio, judančio maršrutu, grafikas. Abscisių ašyje rodomas laikas (valandomis), o ordinačių ašyje – nuvažiuotas atstumas (kilometrais). Raskite vidutinį automobilio greitį šiame maršrute. Atsakymą pateikite km/val

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kur x yra atstumas nuo atskaitos taško (metrais), t yra laikas judėjimo (sekundėmis). Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t=6 s

Paveikslėlyje parodytas tam tikros funkcijos y = f(x) antidarinės y = F(x), apibrėžtos intervale (-6; 7), grafikas. Naudodamiesi paveikslu, nustatykite funkcijos f(x) nulių skaičių šiame intervale.

Paveikslėlyje parodytas y = F(x) kai kurios funkcijos f(x), apibrėžtos intervale (-7; 5), antidarinių grafikas. Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f(x) = 0 sprendinių skaičių intervale [- 5; 2].

Paveiksle pavaizduotas diferencijuojamos funkcijos y=f(x) grafikas. X ašyje pažymėti devyni taškai: x1, x2, ... x9. Raskite visus pažymėtus taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama. Atsakyme nurodykite šių taškų skaičių.

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=12t^3−3t^2+2t, kur x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t=6 s.

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške x0. Tangento lygtis parodyta paveiksle. raskite funkcijos y=4*f(x)-3 išvestinės reikšmę taške x0.