Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Kuriuo momentu išvestinės priemonės vertė yra didžiausia

Pamokoje tema „Išvestinės naudojimas ieškant didžiausių ir mažiausių nuolatinės funkcijos reikšmių intervale“ bus nagrinėjamos gana paprastos problemos, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes per tam tikrą intervalą naudojant išvestinę. .

Tema: Darinys

Pamoka: Išvestinės naudojimas norint rasti didžiausias ir mažiausias nuolatinės funkcijos vertes intervale

Šioje pamokoje nagrinėsime paprastesnę problemą, būtent, bus nurodytas intervalas, šiame intervale bus nurodyta tolydžio funkcija. Būtina išsiaiškinti didžiausią ir mažiausią duotosios reikšmę funkcijas ant duoto intervalas.

Nr.32.1 (b). Atsižvelgiant:,. Nubraižykime funkcijos grafiką (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 1. Funkcijos grafikas.

Yra žinoma, kad ši funkcija didėja intervale, o tai reiškia, kad ji taip pat didėja intervale. Taigi, jei taškuose rasite funkcijos reikšmę ir tada bus žinomos šios funkcijos kitimo ribos, jos didžiausia ir mažiausia reikšmė.

Kai argumentas padidėja nuo iki 8, funkcija padidėja nuo iki.

Atsakymas: ; .

№ 32.2 (a) Duota: Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes duotame intervale.

Sukurkime šios funkcijos grafiką (žr. 2 pav.).

Jei argumentas intervale pasikeičia, tada funkcija padidėja nuo -2 iki 2. Jei argumentas didėja nuo, tada funkcija sumažėja nuo 2 iki 0.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikas.

Raskime išvestinę.

, ... Jei, tada ši reikšmė taip pat priklauso nurodytam segmentui. Jei tada. Nesunku patikrinti, ar reikia kitų verčių, atitinkami stacionarūs taškai išeina už nurodyto segmento. Palyginkime funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir pasirinktuose taškuose, kuriuose išvestinė lygi nuliui. Rasti

;

Atsakymas: ;.

Taigi, atsakymas gautas. Išvestinė šiuo atveju gali būti naudojama, jūs negalite jos naudoti, taikyti funkcijos savybes, kurios buvo ištirtos anksčiau. Taip būna ne visada, kartais išvestinės priemonės naudojimas yra vienintelis būdas, leidžiantis išspręsti tokias problemas.

Atsižvelgiant:,. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame segmente.

Jei ankstesniu atveju buvo galima apsieiti be išvestinės – žinojome, kaip elgiasi funkcija, tai šiuo atveju funkcija gana sudėtinga. Todėl technika, kurią minėjome ankstesnėje užduotyje, yra visiškai taikoma.

1. Raskite išvestinę. Raskime kritinius taškus, vadinasi, kritinius taškus. Iš jų atrenkame tuos, kurie priklauso tam segmentui:. Palyginkime funkcijos reikšmę taškuose,,. Tam mes randame

Rezultatą pavaizduokime paveikslėlyje (žr. 3 pav.).

Ryžiai. 3. Funkcijos reikšmių kitimo ribos

Matome, kad argumentui pasikeitus nuo 0 iki 2, funkcija keičiasi iš -3 į 4. Funkcija nesikeičia monotoniškai: arba didėja, arba mažėja.

Atsakymas: ;.

Taigi, trys pavyzdžiai buvo naudojami siekiant parodyti bendrą metodą, kaip rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos vertes intervale, šiuo atveju segmente.

Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių paieškos algoritmas:

1. Raskite funkcijos išvestinę.

2. Raskite funkcijos kritinius taškus ir pasirinkite tuos taškus, kurie yra duotame atkarpoje.

3. Raskite funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir pasirinktuose taškuose.

4. Palyginkite šias reikšmes ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Paimkime kitą pavyzdį.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Anksčiau buvo nagrinėjamas šios funkcijos grafikas (žr. 4 pav.).

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas.

Intervale šios funkcijos diapazonas yra ... Taškas yra maksimalus taškas. At – funkcija didėja, at – funkcija mažėja. Iš brėžinio matyti, kad, - neegzistuoja.

Taigi, pamokoje nagrinėjome didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės problemą, kai duotas intervalas yra atkarpa; suformulavo tokių problemų sprendimo algoritmą.

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (iš dviejų dalių). Vadovėlis švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A.G. Mordkovičius. -M .: Mnemosina, 2009 m.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A.G. Mordkovičius. -M .: Mnemosina, 2007 m.

3. Vilenkinas N.Ya., Ivaševas-Musatovas O.S., Schwarzburdas S.I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (vadovėlis mokyklų ir klasių mokiniams su išplėstiniu matematikos mokymu) .- M .: Edukacija, 1996 m.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas.-M .: Edukacija, 1997 m.

5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redaguoja MI Skanavi) .- M.: Aukštoji mokykla, 1992 m.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebrinis treniruoklis.-K .: A.S.K., 1997 m.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra ir analizės pradžia. 8-11 kl.: Vadovas mokykloms ir klasėms su išplėstiniu matematikos mokymu (didaktinė medžiaga) .- M .: Bustard, 2002 m.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros užduotys ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams) .- M .: Ugdymas, 2003 m.

9. Karpas A.P. Algebros uždavinių rinkinys ir analizės principai: vadovėlis. priedą už 10-11 klases su gilinimu studijuoti matematika.-M .: Švietimas, 2006 m.

10. Glazer G.I. Matematikos istorija mokykloje. 9-10 kl. (vadovas mokytojams) .- M .: Išsilavinimas, 1983 m.

Papildomi žiniatinklio ištekliai

2. Gamtos mokslų portalas ().

Gaminti namuose

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis) redagavo A. G. Mordkovich. -M .: Mnemozina, 2007.)

Praktikoje gana įprasta naudoti išvestinę, kad būtų galima apskaičiuoti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. Šį veiksmą atliekame tada, kai išsiaiškiname, kaip sumažinti išlaidas, padidinti pelną, apskaičiuoti optimalų gamybos apkrovą ir pan., tai yra tais atvejais, kai reikia nustatyti optimalią bet kurio parametro reikšmę. Norėdami teisingai išspręsti tokias problemas, turite gerai suprasti, kokios yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paprastai šias reikšmes apibrėžiame per tam tikrą intervalą x, kuris savo ruožtu gali atitikti visą funkcijos sritį arba jos dalį. Tai gali būti kaip atkarpa [a; b] ir atviras intervalas (a; b), (a; b], [a; b), begalinis intervalas (a; b), (a; b], [a; b) arba begalinis intervalas - ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

Šiame straipsnyje mes jums pasakysime, kaip apskaičiuojama didžiausia ir mažiausia aiškiai nurodytos funkcijos su vienu kintamuoju y = f (x) y = f (x) reikšmė.

Pagrindiniai apibrėžimai

Pradėkime, kaip visada, nuo pagrindinių apibrėžimų formulavimo.

1 apibrėžimas

Didžiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra maxy = f (x 0) x ∈ X, kuri bet kuriai xx ∈ X reikšmei x ≠ x 0 sudaro nelygybę f (x) ≤ f (x 0).

2 apibrėžimas

Mažiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė minx ∈ X y = f (x 0), kuri bet kuriai reikšmei x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Šie apibrėžimai yra gana akivaizdūs. Galima dar paprasčiau pasakyti: didžiausia funkcijos reikšmė yra didžiausia jos reikšmė žinomame intervale, kai x 0, o mažiausia yra mažiausia priimtina reikšmė tame pačiame intervale, kai x 0.

3 apibrėžimas

Stacionarieji taškai yra tos funkcijos argumento reikšmės, kuriose jos išvestinė išnyksta.

Kodėl turime žinoti, kas yra stacionarūs taškai? Norint atsakyti į šį klausimą, reikia prisiminti Ferma teoremą. Iš to išplaukia, kad stacionarus taškas yra taškas, kuriame yra diferencijuojamos funkcijos ekstremumas (t. y. jos vietinis minimumas arba maksimumas). Vadinasi, funkcija įgaus mažiausią arba didžiausią reikšmę per tam tikrą intervalą tiksliai viename iš stacionarių taškų.

Kita funkcija gali turėti didžiausią arba mažiausią reikšmę tuose taškuose, kuriuose pati funkcija yra apibrėžta, o pirmoji jos išvestinė neegzistuoja.

Pirmas klausimas, kylantis studijuojant šią temą: ar visais atvejais galime nustatyti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę tam tikrame segmente? Ne, mes negalime to padaryti, kai tam tikro intervalo ribos sutampa su apibrėžimo srities ribomis arba jei turime reikalą su begaliniu intervalu. Taip pat atsitinka, kad funkcija tam tikrame segmente arba begalybėje įgaus be galo mažas arba be galo dideles reikšmes. Tokiais atvejais neįmanoma nustatyti didžiausios ir (arba) mažiausios vertės.

Šie taškai taps aiškesni, kai bus parodyti diagramose:

Pirmame paveikslėlyje pavaizduota funkcija, kuri stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpoje [- 6; 6].

Išsamiai panagrinėkime antroje diagramoje nurodytą atvejį. Pakeiskime segmento reikšmę į [1; 6] ir gauname, kad didžiausia funkcijos reikšmė bus pasiekta taške, kurio abscisė yra dešinėje intervalo riboje, o mažiausia - stacionariame taške.

Trečiame paveiksle taškų abscisės žymi atkarpos ribinius taškus [- 3; 2]. Jie atitinka aukščiausią ir mažiausią nurodytos funkcijos reikšmes.

Dabar pažvelkime į ketvirtą paveikslą. Jame funkcija ima m a x y (didžiausia reikšmė) ir m i n y (mažiausią reikšmę) atviro intervalo stacionariuose taškuose (- 6; 6).

Jei imtume intervalą [1; 6), tada galime pasakyti, kad mažiausia funkcijos reikšmė bus pasiekta stacionariame taške. Didžiausia vertybė mums bus nežinoma. Funkcija galėtų gauti didžiausią reikšmę, kai x lygi 6, jei x = 6 priklausytų intervalui. Būtent šis atvejis pavaizduotas 5 diagramoje.

6 diagramoje ši funkcija įgauna mažiausią reikšmę dešinėje intervalo ribose (- 3; 2], todėl negalime daryti konkrečių išvadų apie didžiausią reikšmę.

7 paveiksle matome, kad funkcija m a x y stacionariame taške, kurio abscisė lygi 1. Funkcija pasieks mažiausią reikšmę intervalo dešinėje pusėje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3.

Jei imsime intervalą x ∈ 2; + ∞, tada pamatysime, kad duotoji funkcija neužims nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Jei x linkęs į 2, tada funkcijos reikšmės bus linkusios atėmus begalybę, nes tiesė x = 2 yra vertikali asimptotė. Jei abscisė linkusi padidinti begalybę, tada funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3. Būtent šis atvejis pavaizduotas 8 paveiksle.

Šiame poskyryje pateikiame veiksmų seką, kurią reikia atlikti norint rasti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę tam tikrame segmente.

1. Pirmiausia suraskime funkcijos sritį. Patikrinkime, ar sąlygoje nurodytas segmentas į jį įtrauktas.
2. Dabar apskaičiuokime taškus, esančius šiame segmente, kur pirmoji išvestinė neegzistuoja. Dažniausiai juos galima rasti funkcijose, kurių argumentas rašomas po modulio ženklu, arba laipsnio funkcijose, kurių eksponentas yra trupmeninis racionalusis skaičius.
3. Toliau išsiaiškinkime, kurie stacionarūs taškai patenka į nurodytą atkarpą. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti funkcijos išvestinę, tada prilyginti ją 0 ir išspręsti gautą lygtį, o tada pasirinkti atitinkamas šaknis. Jei negauname stacionarių taškų arba jie nepatenka į nurodytą atkarpą, pereiname prie kito žingsnio.
4. Nustatome, kokias reikšmes funkcija įgaus duotuose stacionariuose taškuose (jei yra), arba tuose taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), arba apskaičiuojame x = a ir x = reikšmes. b.
5. 5. Gavome eilę funkcijų reikšmių, iš kurių dabar turime pasirinkti didžiausią ir mažiausią. Tai bus didžiausios ir mažiausios funkcijos, kurią turime rasti, reikšmės.

Pažiūrėkime, kaip teisingai pritaikyti šį algoritmą sprendžiant problemas.

1 pavyzdys

Būklė: pateikta funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nustatykite jo didžiausią ir mažiausią reikšmę segmentuose [1; 4] ir [- 4; -1].

Sprendimas:

Pradėkime nuo šios funkcijos srities. Šiuo atveju tai bus visų realiųjų skaičių, išskyrus 0, rinkinys. Kitaip tariant, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Abu sąlygoje nurodyti segmentai bus apibrėžimo srityje.

Dabar apskaičiuojame funkcijos išvestinę pagal trupmenos diferencijavimo taisyklę:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Sužinojome, kad funkcijos išvestinė egzistuos visuose atkarpų taškuose [1; 4] ir [- 4; -1].

Dabar turime apibrėžti stacionarius funkcijos taškus. Tai darome naudodami lygtį x 3 - 8 x 3 = 0. Jis turi tik vieną galiojančią šaknį, kuri yra 2. Tai bus stacionarus funkcijos taškas ir pateks į pirmąjį segmentą [1; 4].

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pirmos atkarpos galuose ir tam tikrame taške, t.y. jei x = 1, x = 2 ir x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Gavome, kad didžiausia funkcijos m a x y x ∈ reikšmė [1; 4] = y (2) = 3 bus pasiektas, kai x = 1, o mažiausias m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 – jei x = 2.

Antrasis segmentas neapima stacionarių taškų, todėl funkcijos reikšmes turime skaičiuoti tik nurodyto segmento galuose:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Vadinasi, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Atsakymas: Segmentui [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, atkarpai [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Žiūrėkite paveikslėlį:

Prieš studijuojant šį metodą, patariame pakartoti, kaip teisingai apskaičiuoti vienpusę ribą ir ribą begalybėje, taip pat išmokti pagrindinius jų radimo būdus. Norėdami rasti didžiausią ir (arba) mažiausią funkcijos reikšmę atvirame arba begaliniame intervale, atlikite šiuos veiksmus iš eilės.

1. Pirmiausia turite patikrinti, ar nurodytas intervalas bus šios funkcijos apimties poaibis.
2. Nustatykime visus taškus, esančius reikiamame intervale ir kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Paprastai jie randami funkcijose, kuriose argumentas yra įterptas į modulio ženklą, ir laipsnio funkcijose su trupmeniniais racionaliais eksponentais. Jei šių punktų nėra, galite pereiti prie kito veiksmo.
3. Dabar nustatysime, kurie stacionarūs taškai patenka į nurodytą intervalą. Pirmiausia išvestinę prilyginame 0, išsprendžiame lygtį ir randame tinkamas šaknis. Jei neturime nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą intervalą, nedelsdami pereiname prie tolesnių veiksmų. Jie nustatomi pagal intervalo tipą.

• Jei intervalas yra [a; b), tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = a ir vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x).
• Jei intervalas turi formą (a; b], tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = b ir vienpusę ribą lim x → a + 0 f (x).
• Jei intervalas turi formą (a; b), tada turime apskaičiuoti vienpuses ribas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Jei intervalas yra [a; + ∞), tada reikia apskaičiuoti reikšmę taške x = a ir ribą plius begalybėje lim x → + ∞ f (x).
• Jei intervalas atrodo kaip (- ∞; b], apskaičiuokite reikšmę taške x = b ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x).
• Jei - ∞; b, tada priimame vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x)
• Jei - ∞; + ∞, tada atsižvelgiame į minuso ir pliuso begalybės ribas lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. Galų gale, remiantis gautomis funkcijų reikšmėmis ir ribomis, turite padaryti išvadą. Čia yra daug galimybių. Taigi, jei vienpusė riba lygi minus begalybei arba plius begalybei, tai iš karto aišku, kad apie mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmę nieko negalima pasakyti. Žemiau panagrinėsime vieną tipišką pavyzdį. Išsamūs aprašymai padės suprasti, kas yra kas. Jei reikia, galite grįžti prie 4 - 8 paveikslų pirmoje medžiagos dalyje.

2 pavyzdys

Sąlyga: duota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Apskaičiuokite jo didžiausias ir mažiausias vertes intervalais - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Sprendimas

Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos domeną. Trupmenos vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kuris neturėtų išnykti:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Gavome funkcijos sritį, kuriai priklauso visi sąlygoje nurodyti intervalai.

Dabar atskirkime funkciją ir gaukime:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​× + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Vadinasi, funkcijos išvestiniai egzistuoja visoje jos apibrėžimo srityje.

Pereikime prie stacionarių taškų paieškos. Funkcijos išvestinė išnyksta, kai x = - 1 2. Tai stacionarus taškas, esantis intervaluose (- 3; 1] ir (- 3; 2).

Apskaičiuojame funkcijos reikšmę x = - 4 intervalui (- ∞; - 4], taip pat ribą minus begalybėje:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kadangi 3 e 1 6 - 4> - 1, tai reiškia, kad maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tai neleidžia vienareikšmiškai nustatyti mažiausios Galime tik daryti išvadą, kad yra apribojimas - 1 apačioje, nes būtent iki šios reikšmės funkcija asimptotiškai artėja prie minus begalybės.

Antrojo intervalo ypatumas yra tas, kad jame nėra nei vieno stacionaraus taško, nei vienos griežtos ribos. Todėl negalime apskaičiuoti nei didžiausios, nei mažiausios funkcijos reikšmės. Nustačius ribą minus begalybėje ir argumentui link - 3 kairėje pusėje, gausime tik reikšmių diapazoną:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tai reiškia, kad funkcijos reikšmės bus intervale - 1; + ∞

Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę trečiajame intervale, nustatome jos reikšmę stacionariame taške x = - 1 2, jei x = 1. Taip pat turime žinoti vienpusę ribą tuo atveju, kai argumentas linkęs į - 3 dešinėje:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Mes nustatėme, kad funkcija įgis didžiausią reikšmę stacionariame taške maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Mažiausios reikšmės negalime nustatyti. , Ar apribojimo buvimas iš apačios į - 4.

Intervalui (- 3; 2) imame ankstesnio skaičiavimo rezultatus ir dar kartą apskaičiuojame, kam lygi vienpusė riba, kai kairėje pusėje linkstama į 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Vadinasi, m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, o mažiausia reikšmė negali būti nustatyta, o funkcijos reikšmės iš apačios ribojamos skaičiumi - 4.

Remdamiesi tuo, ką gavome atlikdami du ankstesnius skaičiavimus, galime teigti, kad intervale [1; 2) funkcija įgis didžiausią reikšmę, kai x = 1, o mažiausios rasti neįmanoma.

Intervale (2; + ∞) funkcija nepasieks nei didžiausios, nei mažiausios reikšmės, t.y. jis paims vertes iš intervalo - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Apskaičiavę, kokia bus funkcijos reikšmė, kai x = 4, sužinome, kad m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, o duotoji funkcija plius begalybėje asimptotiškai priartės prie tiesės y = - 1.

Palyginkime tai, ką gavome kiekviename skaičiavime, su pateiktos funkcijos grafiku. Paveiksle asimptotai pavaizduoti punktyrine linija.

Tai viskas, ką norėjome jums pasakyti apie didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės radimą. Mūsų pateiktos veiksmų sekos padės kuo greičiau ir paprasčiau atlikti reikiamus skaičiavimus. Tačiau atminkite, kad dažnai pravartu pirmiausia išsiaiškinti, kokiais intervalais funkcija mažės, o kokiais didės, o po to galima daryti tolesnes išvadas. Taip galima tiksliau nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę bei pagrįsti gautus rezultatus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Kartais problemos B14 susiduria su „blogomis“ funkcijomis, kurių išvestį sunku rasti. Anksčiau tai buvo daroma tik zonduose, tačiau dabar šios užduotys yra tokios dažnos, kad jų nebegalima ignoruoti ruošiantis tikram egzaminui. Šiuo atveju veikia kitos technikos, viena iš jų – monotonija. Apibrėžimas F (x) funkcija vadinama monotoniškai didėjančia atkarpoje, jei bet kuriems šios atkarpos taškams x 1 ir x 2 yra teisinga: x 1

Apibrėžimas. Funkcija f (x) vadinama monotoniškai mažėjančia atkarpoje, jei bet kuriems šios atkarpos taškams x 1 ir x 2 yra teisinga: x 1 f (x 2). Kitaip tariant, didėjančios funkcijos atveju, kuo didesnis x, tuo didesnis f (x). Mažėjančios funkcijos atveju yra atvirkščiai: kuo didesnis x, tuo mažesnis f (x).

Pavyzdžiai. Logaritmas didėja monotoniškai, jei bazė a> 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) > 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0 0. f (x) = log ax (a > 0) ; a 1; x> 0) "> 1 ir monotoniškai mažėja, jei 0 0. f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" title = "(! LANG: Pavyzdžiai . Logaritmas monotoniškai didėja, jei bazė a> 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)"> title="Pavyzdžiai. Logaritmas didėja monotoniškai, jei bazė a> 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> !}

Pavyzdžiai. Eksponentinė funkcija elgiasi panašiai kaip logaritmas: ji didėja, kai a> 1, ir mažėja, kai 0 0: 1 ir mažėja ties 0 0: "> 1 ir mažėja ties 0 0:"> 1 ir mažėja ties 0 0: "title =" (! LANG: Pavyzdžiai. Eksponentinė funkcija elgiasi panašiai kaip logaritmas: didėja ties a> 1 ir sumažėja ties 0 0:"> title="Pavyzdžiai. Eksponentinė funkcija elgiasi panašiai kaip logaritmas: ji didėja, kai a> 1, ir mažėja, kai 0 0:"> !}

0) arba žemyn (a 0) arba žemyn (a 9 Parabolės viršūnių koordinatės Dažniausiai funkcijos argumentas pakeičiamas kvadratiniu trinario formos Jo grafikas yra standartinė parabolė, kurioje mus domina šakos: Parabolės šakos gali kilti aukštyn (jeigu a> 0) arba žemyn (a 0) arba didžiausias (a 0) arba žemyn (a 0) arba žemyn (a 0) arba didžiausias (a 0) arba žemyn (a 0) arba žemyn (a title = "(! LANG: parabolės viršūnės koordinatės) Dažniausiai funkcijos argumentas pakeičiamas formos kvadratiniu trinomiu Jo grafikas yra standartinė parabolė, kurioje mus domina šakos: Parabolės šakos gali eiti aukštyn (jei a> 0) arba žemyn (a

Problemos teiginyje nėra segmento. Todėl f (a) ir f (b) skaičiuoti nereikia. Belieka atsižvelgti tik į kraštutinius dalykus; Bet toks taškas yra tik vienas, tai parabolės x 0 viršūnė, kurios koordinatės skaičiuojamos pažodžiui žodžiu ir be jokių išvestinių.

Taigi uždavinio sprendimas yra labai supaprastintas ir susideda tik iš dviejų žingsnių: Užrašykite parabolės lygtį ir raskite jos viršūnę pagal formulę: Raskite pradinės funkcijos reikšmę šiame taške: f (x 0). Jei nėra papildomų sąlygų, tai bus atsakymas.

0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "title =" (! LANG: Raskite mažiausią funkcijos reikšmę: Sprendimas: Yra a kvadratinė funkcija po šaknimi.parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Raskite mažiausią funkcijos reikšmę: Sprendimas: Po šaknimi yra kvadratinė funkcija Šios funkcijos grafikas yra parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" title = "(! LANG: Rasti mažiausia funkcijos reikšmė: Sprendimas: Kvadratinė funkcija yra po šaknimi Šios funkcijos grafikas yra parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Raskite mažiausią funkcijos reikšmę: Sprendimas: Po šaknimi yra kvadratinė funkcija Šios funkcijos grafikas yra parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę: Sprendimas Pagal logaritmą vėl kvadratinė funkcija. a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 > 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" title = "(! LANG: Raskite mažiausia funkcijos reikšmė: Sprendimas Pagal Logaritmas vėlgi yra kvadratinė funkcija Nubraižykite parabolę šakomis į viršų, nes a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1 ) = 2/2 = 1"> title="Raskite mažiausią funkcijos reikšmę: Sprendimas Pagal logaritmą vėl kvadratinė funkcija. a = 1> 0. Parabolės viršūnė: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę: Sprendimas: Rodinyje yra kvadratinė funkcija Perrašykime ją normalia forma: Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė, šakojasi žemyn (a = 1

Funkcijos srities pasekmės Kartais, norint išspręsti B14 uždavinį, neužtenka vien rasti parabolės viršūnę. Ieškoma vertė gali būti segmento pabaigoje, o ne kraštutiniame taške. Jei problema iš viso nenurodo segmento, žiūrime į leistinų pradinės funkcijos reikšmių diapazoną. Būtent:

0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui: "title =" (! LANG: 1. Logaritmo argumentas turi būti teigiamas: y = log af (x) ) f (x)> 0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Logaritmo argumentas turi būti teigiamas: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui: 0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui: "> 0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. A vardiklis trupmena neturi būti lygi nuliui:"> 0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui: "title =" (! LANG: 1. Logaritmo argumentas turi būti būti teigiamas: y = log af (x) f (x)> 0 2. Aritmetinis kvadratas šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui:"> title="1. Logaritmo argumentas turi būti teigiamas: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamų skaičių: 3. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui:"> !}

Sprendimas Po šaknimi vėl yra kvadratinė funkcija. Jo grafikas yra parabolė, bet šakos nukreiptos žemyn, nes a = 1
Dabar randame parabolės viršūnę: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 Dabar apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x 0, taip pat ir ODZ galuose: y (3) = y (1) = 0 Taigi, gavome skaičius 2 ir 0. Mūsų prašoma rasti didžiausias skaičius 2. Atsakymas: 2

Atkreipkite dėmesį: nelygybė yra griežta, todėl galai nepriklauso ODZ. Taip logaritmas skiriasi nuo šaknies, kur mums gana tinka atkarpos galai. Ieškome parabolės viršūnės: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 Bet kadangi mūsų nedomina atkarpos galai, tai funkcijos reikšmę atsižvelgiame tik taške x 0:

Y min = y (3) = log 0,5 (6) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Atsakymas: -2

Kartais problemos B15 susiduria su „blogomis“ funkcijomis, kurioms sunku rasti išvestinį. Anksčiau tai buvo daroma tik zonduose, tačiau dabar šios užduotys yra tokios dažnos, kad jų nebegalima ignoruoti ruošiantis tikram egzaminui.

Šiuo atveju veikia kiti triukai, vienas iš kurių yra monotoniškas.

Funkcija f (x) vadinama monotoniškai didėjančia atkarpoje, jei bet kuriems šios atkarpos taškams x 1 ir x 2 yra teisinga:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcija f (x) vadinama monotoniškai mažėjančia atkarpoje, jei bet kuriems šios atkarpos taškams x 1 ir x 2 yra teisinga:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).

Kitaip tariant, didėjančios funkcijos atveju, kuo didesnis x, tuo didesnis f (x). Mažėjančios funkcijos atveju yra atvirkščiai: kuo didesnis x, tuo mažesnis f (x).

Pavyzdžiui, logaritmas didėja monotoniškai, jei bazė a> 1, ir mažėja monotoniškai, jei 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Aritmetinė kvadratinė (ir ne tik kvadratinė) šaknis monotoniškai didėja visoje apibrėžimo srityje:

Eksponentinė funkcija elgiasi panašiai kaip logaritmas: ji auga, kai a> 1 ir mažėja, kai 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

Galiausiai laipsniai su neigiamu rodikliu. Galite rašyti juos kaip trupmeną. Turėkite nenutrūkstamo tašką, kuriame monotonija nutrūksta.

Visos šios funkcijos niekada nerandamos gryna forma. Jie prideda daugianario, trupmenos ir kitų nesąmonių, dėl kurių darosi sunku suskaičiuoti išvestinę. Kas atsitiks šiuo atveju - dabar mes analizuosime.

Parabolės viršūnių koordinatės

Dažniausiai funkcijos argumentas pakeičiamas kvadratinis trinaris formos y = ax 2 + bx + c. Jo grafikas yra standartinė parabolė, kuri mus domina:

1. Parabolės šakos – gali kilti aukštyn (jeigu a> 0) arba žemyn (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolės viršūnė yra kvadratinės funkcijos ekstremalus taškas, kuriame ši funkcija yra mažiausia (jeigu a> 0) arba didžiausia (a< 0) значение.

Didžiausią susidomėjimą kelia būtent parabolės viršūnė, kurios abscisė apskaičiuojama pagal formulę:

Taigi, mes radome kvadratinės funkcijos ekstremalų tašką. Bet jei pradinė funkcija yra monotoniška, jai taškas x 0 taip pat bus ekstremumo taškas. Taigi, mes suformuluosime pagrindinę taisyklę:

Kvadratinio trinalio ir kompleksinės funkcijos, į kurią jis patenka, ekstremalūs taškai sutampa. Todėl kvadratinio trinario galite ieškoti x 0 ir įvertinti funkciją.

Iš aukščiau pateiktų samprotavimų lieka neaišku, kurį tašką gauname: maksimalų ar minimumą. Tačiau užduotys yra specialiai sukurtos taip, kad tai nebūtų svarbu. Spręskite patys:

1. Problemos teiginyje nėra segmento. Todėl f (a) ir f (b) skaičiuoti nereikia. Belieka atsižvelgti tik į kraštutinius dalykus;
2. Tačiau toks taškas yra tik vienas – tai parabolės x 0 viršūnė, kurios koordinatės skaičiuojamos pažodžiui žodžiu ir be jokių išvestinių.

Taigi problemos sprendimas yra labai supaprastintas ir susideda tik iš dviejų žingsnių:

1. Parašykite parabolės y = ax 2 + bx + c lygtį ir raskite jos viršūnę pagal formulę: x 0 = −b / 2a;
2. Raskite pradinės funkcijos reikšmę šiame taške: f (x 0). Jei nėra papildomų sąlygų, tai bus atsakymas.

Iš pirmo žvilgsnio šis algoritmas ir jo pagrindimas gali atrodyti bauginantis. Sąmoningai nedarau „plikos“ sprendimo schemos, nes neapgalvotas tokių taisyklių taikymas yra kupinas klaidų.

Apsvarstykite tikras problemas iš bandomojo matematikos egzamino - čia dažniausiai susiduriama su šia technika. Tuo pačiu pasirūpinsime, kad tokiu būdu daugelis B15 problemų taptų kone verbalinėmis.

Po šaknimi yra kvadratinė funkcija y = x 2 + 6x + 13. Šios funkcijos grafikas yra parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1> 0.

Parabolės viršūnė:

x 0 = -b / (2a) = -6 / (2 1) = -6/2 = -3

Kadangi parabolės šakos nukreiptos į viršų, taške x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 įgyja mažiausią reikšmę.

Šaknis didėja monotoniškai, todėl x 0 yra mažiausias visos funkcijos taškas. Mes turime:

Užduotis. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pagal logaritmą vėl yra kvadratinė funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Grafas yra parabolė su šakomis į viršų, nes a = 1> 0.

Parabolės viršūnė:

x 0 = -b / (2a) = -2 / (2 1) = -2/2 = -1

Taigi taške x 0 = −1 kvadratinė funkcija įgyja mažiausią reikšmę. Tačiau funkcija y = log 2 x yra monotoniška, todėl:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Rodyklėje yra kvadratinė funkcija y = 1 - 4x - x 2. Perrašykime jį normalia forma: y = −x 2 - 4x + 1.

Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė, išsišakojanti žemyn (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = -b / (2a) = - (- 4) / (2 (-1)) = 4 / (- 2) = -2

Pradinė funkcija yra eksponentinė, ji yra monotoniška, todėl didžiausia reikšmė bus rastame taške x 0 = −2:

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai pastebės, kad mes nenurašėme šaknies ir logaritmo leistinų verčių diapazono. Bet to nereikėjo: viduje yra funkcijos, kurių vertės visada yra teigiamos.

Padariniai iš funkcijos srities

Kartais užduočiai B15 išspręsti nepakanka rasti parabolės viršūnę. Norima vertė gali meluoti segmento pabaigoje, bet ne kraštutiniame taške. Jei užduotyje iš viso nenurodytas segmentas, žiūrime galiojančių verčių diapazonas pradinė funkcija. Būtent:

Pastaba dar kartą: nulis gali būti po šaknimis, bet niekada logaritme ar trupmenos vardiklyje. Pažiūrėkime, kaip tai veikia su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę:

Po šaknimi vėl yra kvadratinė funkcija: y = 3 - 2x - x 2. Jo grafikas yra parabolė, bet šakojasi žemyn, nes a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Išrašome leistinų verčių diapazoną (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Dabar suraskime parabolės viršūnę:

x 0 = -b / (2a) = - (- 2) / (2 (-1)) = 2 / (- 2) = -1

Taškas x 0 = −1 priklauso atkarpai ODZ – ir tai gerai. Dabar apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x 0, taip pat ODZ galuose:

y (−3) = y (1) = 0

Taigi, mes gavome skaičius 2 ir 0. Mūsų prašoma rasti didžiausią – tai skaičius 2.

Užduotis. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritmo viduje yra kvadratinė funkcija y = 6x - x 2 - 5. Tai parabolė su šakomis žemyn, bet logaritme negali būti neigiamų skaičių, todėl rašome ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Atkreipkite dėmesį: nelygybė yra griežta, todėl galai nepriklauso ODZ. Taip logaritmas skiriasi nuo šaknies, kur mums gana tinka atkarpos galai.

Mes ieškome parabolės viršūnės:

x 0 = -b / (2a) = -6 / (2 (-1)) = -6 / (- 2) = 3

Parabolės viršūnė tinka ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet kadangi mūsų nedomina atkarpos galai, tai funkcijos reikšmę atsižvelgiame tik taške x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Mieli draugai! Užduočių, susijusių su išvestine, grupė apima užduotis - sąlyga pateikia funkcijos grafiką, keli šio grafiko taškai ir kyla klausimas:

Kuriame taške išvestinės priemonės vertė yra didžiausia (mažiausia)?

Trumpai apibendrinant:

Išvestinė taške yra lygi liestinės, einančios pro šalį, nuolydžiuišis taškas grafike.

Turipasaulinis liestinės koeficientas, savo ruožtu, yra lygus šios liestinės polinkio kampo liestinei.

* Tai reiškia kampą tarp liestinės ir abscisės.

1. Funkcijos didinimo intervaluose išvestinė turi teigiamą reikšmę.

2. Jo mažėjimo intervaluose išvestinė turi neigiamą reikšmę.

Apsvarstykite šį eskizą:

Taškuose 1,2,4 funkcijos išvestinė turi neigiamą reikšmę, nes šie taškai priklauso mažėjimo intervalams.

Taškuose 3,5,6 funkcijos išvestinė turi teigiamą reikšmę, nes šie taškai priklauso didėjantiems intervalams.

Kaip matote, su išvestinės reikšme viskas aišku, tai yra, nesunku nustatyti, kokį ženklą ji turi (teigiamą ar neigiamą) tam tikrame grafiko taške.

Be to, jei mintyse sukursime liestines šiuose taškuose, pamatysime, kad tiesės, einančios per taškus 3, 5 ir 6, sudaro kampus su oX ašimi, esančia intervale nuo 0 iki 90 o, o tiesės, einančios per taškus 1 , 2 ir 4 formos, kurių ašies ОХ kampai yra nuo 90 о iki 180 о.

* Ryšys aiškus: liestinės, einančios per taškus, priklausančius didėjančios funkcijos intervalams, sudaro smailius kampus su oX ašimi, liestinės, einančios per taškus, priklausančius mažėjančių funkcijų intervalams, sudaro bukus kampus su oX ašimi.

Dabar svarbus klausimas!

Kaip keičiasi išvestinės priemonės vertė? Juk liestinė skirtinguose tolydžios funkcijos grafiko taškuose sudaro skirtingus kampus, priklausomai nuo to, per kurį grafiko tašką ji eina.

* Arba, paprastai tariant, liestinė yra tarsi „horizontali“ arba „vertikali“. Pažiūrėk:

Tiesios linijos sudaro kampus su ОХ ašimi nuo 0 iki 90 о

Tiesios linijos sudaro kampus su ОХ ašimi nuo 90 о iki 180 о

Taigi, jei kyla klausimų:

- kuriame iš šių grafiko taškų išvestinė turi mažiausią reikšmę?

- kuriame iš šių grafiko taškų yra svarbiausia išvestinės vertės reikšmė?

tada atsakymui reikia suprasti, kaip kinta liestinės kampo liestinės reikšmė intervale nuo 0 iki 180 о.

* Kaip jau minėta, funkcijos išvestinės reikšmė taške yra lygi oX ašies liestinės polinkio kampo liestei.

Tangento reikšmė keičiasi taip:

Tiesės polinkio kampui pakitus nuo 0 o iki 90 o, liestinės reikšmė, taigi ir išvestinė, atitinkamai pasikeičia nuo 0 iki + ∞;

Kai tiesės polinkio kampas pasikeičia nuo 90 ° iki 180 °, liestinės reikšmė, taigi ir išvestinė, atitinkamai pasikeičia –∞ į 0.

Tai aiškiai matyti iš liestinės funkcijos grafiko:

Paprastais žodžiais:

Esant liestinės pasvirimo kampui nuo 0 o iki 90 o

Kuo jis arčiau 0 о, tuo labiau išvestinės vertės bus artima nuliui (pozityvioje pusėje).

Kuo kampas arčiau 90°, tuo labiau išvestinės vertė padidės link + ∞.

Esant liestinės pasvirimo kampui nuo 90 o iki 180 o

Kuo jis arčiau 90°, tuo labiau išvestinės vertė sumažės iki –∞.

Kuo kampas arčiau 180°, tuo labiau išvestinės vertė bus artima nuliui (neigiamoje pusėje).

317543. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = grafikas f(x) ir pažymėti taškai–2, –1, 1, 2. Kuriame iš šių taškų išvestinės vertė yra didžiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Turime keturis taškus: du iš jų priklauso intervalams, kuriuose funkcija mažėja (tai taškai –1 ir 1), ir du intervalus, kuriuose funkcija didėja (tai taškai –2 ir 2).

Iš karto galime daryti išvadą, kad taškuose –1 ir 1 išvestinė turi neigiamą reikšmę, taškuose –2 ir 2 – teigiamą. Todėl šiuo atveju reikia išanalizuoti taškus –2 ir 2 ir nustatyti, kuriame iš jų reikšmė bus didžiausia. Sukonstruokime liestines, eisiančias per nurodytus taškus:

Kampo tarp tiesės a ir abscisių ašies liestinė bus didesnė už kampo tarp tiesės b ir šios ašies liestinę. Tai reiškia, kad išvestinės vertės taške –2 bus didžiausia.

Atsakykime į tokį klausimą: kuriame iš taškų –2, –1, 1 ar 2 išvestinės vertė yra didžiausia neigiama? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Taškuose, priklausančiuose mažėjimo intervalams, išvestinė turės neigiamą reikšmę, todėl apsvarstykite taškus –2 ir 1. Sudarykite per juos einančias liestines:

Matome, kad bukas kampas tarp tiesės b ir oX ašies yra "arčiau" 180 O , todėl jo liestinė bus didesnė už tiesės a ir oX ašies suformuoto kampo liestinę.

Taigi taške x = 1 išvestinės vertė bus didžiausia neigiama.

317544. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = grafikas f(x) ir pažymėti taškai–2, –1, 1, 4. Kuriuose iš šių taškų išvestinės vertė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Turime keturis taškus: du iš jų priklauso intervalams, kuriuose funkcija mažėja (tai taškai –1 ir 4), ir du intervalus, kuriuose funkcija didėja (tai taškai –2 ir 1).

Iš karto galime daryti išvadą, kad taškuose –1 ir 4 išvestinė turi neigiamą reikšmę, taškuose –2 ir 1 – teigiamą. Todėl šiuo atveju reikia išanalizuoti taškus –1 ir 4 ir nustatyti – kuriame iš jų reikšmė bus mažiausia. Sukonstruokime liestines, eisiančias per nurodytus taškus:

Kampo tarp tiesės a ir abscisių ašies liestinė bus didesnė už kampo tarp tiesės b ir šios ašies liestinę. Tai reiškia, kad išvestinės reikšmė taške x = 4 bus mažiausia.

Atsakymas: 4

Tikiuosi tavęs „nepervargau“ rašymo kiekiu. Tiesą sakant, viskas labai paprasta, tereikia suprasti išvestinės savybes, jos geometrinę reikšmę ir kaip keičiasi kampo liestinės reikšmė nuo 0 iki 180 о.

1. Pirmiausia nustatykite išvestinės ženklus duotuose taškuose (+ arba -) ir pasirinkite reikiamus taškus (priklausomai nuo užduodamo klausimo).

2. Nubrėžkite šiuose taškuose liestinės.

3. Naudodami tangesoidinį grafiką, nubrėžkite kampus ir parodykiteAleksandras.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.