Две любые стороны параллелограмма параллельны. Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 233).

Для произвольного параллелограмма имеют место следующие свойства:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС. Треугольники ACD и АС В равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов, прилежащих к ней:

(как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, и как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, что и требовалось доказать.

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме и т. д.

Доказательство свойств 2 и 3 сразу получается из свойств углов при параллельных прямых.

4. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам. Иначе говоря,

Доказательство. Треугольники AOD и ВОС равны, так как равны их стороны AD и ВС (свойство 1) и углы, к ним прилежащие (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отсюда следует и равенство соответствующих сторон этих треугольников: АО что и требовалось доказать.

Каждое из названных четырех свойств характеризует параллелограмм, или, как говорят, является его характеристическим свойством, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, является параллелограммом (и, значит, обладает и всеми остальными тремя свойствами).

Проведем доказательство для каждого свойства отдельно.

1". Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть у четырехугольника ABCD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис. 233). Проведем диагональ АС. Треугольники ABC и CDА будут равны, как имеющие три пары равных сторон.

Но тогда углы ВАС и DCА равны и . Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

2. Если у четырехугольника две пары противоположных углов равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть . Так как то и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых).

3. Предоставляем формулировку и доказательство читателю.

4. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Если АО = ОС, BO = OD (рис. 233), то треугольники AOD и ВОС равны, как имеющие равные углы (вертикальные!) при вершине О, заключенные между парами равных сторон АО и СО, ВО и DO. Из равенства треугольников заключаем, что стороны AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по характеристическому свойству Г.

Таким образом, для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, достаточно убедиться в справедливости любого из четырех свойств. Читателю предлагается самостоятельно доказать еще одно характеристическое свойство параллелограмма.

5. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.

Иногда какая-нибудь пара параллельных сторон параллелограмма называется его основаниями, тогда две другие называются боковыми сторонами. Отрезок прямой, перпендикулярной к двум сторонам параллелограмма, заключенный между ними, называется высотой параллелограмма. Параллелограмм на рис. 234 имеет высоту h, проведенную к сторонам AD и ВС, вторая его высота представлена отрезком .

Понятие параллелограмма

Определение 1

Параллелограмм -- это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой (рис. 1).

Рисунок 1.

Параллелограмм имеет два основных свойства. Рассмотрим их без доказательства.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Признаки параллелограмма

Рассмотрим три признака параллелограмма и представим их в виде теорем.

Теорема 1

Если две стороны четырехугольника равны между собой, а также параллельны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$. В котором $AB||CD$ и $AB=CD$ Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$. Тогда

\[\angle CAB=\angle DCA\]

как накрест лежащие углы.

По $I$ признаку равенства треугольников,

так как $AC$ -- их общая сторона, а $AB=CD$ по условию. Значит

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Рассмотрим прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AD||CB$.}Следовательно, по определению $1$, данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

Теорема 2

Если противоположные стороны четырехугольника равны между собой, то он является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$. В котором $AD=BC$ и $AB=CD$. Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Так как $AD=BC$, $AB=CD$, а $AC$ -- общая сторона, то по $III$ признаку равенства треугольников,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Рассмотрим прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AD||CB$. Следовательно, по определению $1$, данный четырехугольник является параллелограммом.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AB||CD$. Следовательно, по определению 1, данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если диагонали, проведенные в четырехугольнике, своей точкой пересечения делятся на две равные части, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $O$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как, по условию $BO=OD,\ AO=OC$, а углы $\angle COB=\angle DOA$ как вертикальные, то, по $I$ признаку равенства треугольников,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и их секущую $BD$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $BC||AD$. Также $BC=AD$. Следовательно, по теореме $1$, данный четырехугольник является параллелограммом.

Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

1. Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
2. Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

1. , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.

,

Sпр-ма - площадь;

a и b - его стороны

α - угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

1. a и b, α - стороны и угол между ними;
2. d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
3. h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;

Параметр	Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними
по диагоналям и стороне
через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними

При-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма

1. Определение и основные свойства параллелограмма

Нач-нем с того, что вспом-ним опре-де-ле-ние па-рал-ле-ло-грам-ма.

Опре-де-ле-ние. Па-рал-ле-ло-грамм - че-ты-рех-уголь-ник, у ко-то-ро-го каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па-рал-ле-ло-грамм

Вспом-ним ос-нов-ные свой-ства па-рал-ле-ло-грам-ма :

Для того, чтобы иметь воз-мож-ность поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть уве-рен-ным, что фи-гу-ра, о ко-то-рой идет речь, - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого необ-хо-ди-мо знать такие факты, как при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма. Пер-вые два из них мы се-год-ня и рас-смот-рим.

2. Первый признак параллелограмма

Тео-ре-ма. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма. Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм . .

Рис. 2. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 2), она раз-би-ла его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках:

по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.

Из ра-вен-ства ука-зан-ных тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. Имеем, что:

До-ка-за-но.

3. Второй признак параллелограмма

Тео-ре-ма. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма. Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм . .

Рис. 3. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 3), она раз-би-ва-ет его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках, ис-хо-дя из фор-му-ли-ров-ки тео-ре-мы:

по тре-тье-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.

Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что и по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. По-лу-ча-ем:

па-рал-ле-ло-грамм по опре-де-ле-нию. Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

До-ка-за-но.

4. Пример на применение первого признака параллелограмма

Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние при-зна-ков па-рал-ле-ло-грам-ма.

При-мер 1. В вы-пук-лом че-ты-рех-уголь-ни-ке Найти: а) углы че-ты-рех-уголь-ни-ка; б) сто-ро-ну .

Ре-ше-ние. Изоб-ра-зим Рис. 4.

па-рал-ле-ло-грамм по пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.

А. по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о про-ти-во-по-лож-ных углах, по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о сумме углов, при-ле-жа-щих к одной сто-роне.

Б. по свой-ству ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-ных сто-рон.

ре-тий при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

5. Повторение: определение и свойства параллелограмма

На-пом-ним, что па-рал-ле-ло-грамм - это че-ты-рёх-уголь-ник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны по-пар-но па-рал-лель-ны. То есть, если - па-рал-ле-ло-грамм, то (см. Рис. 1).

Па-рал-ле-ло-грамм об-ла-да-ет целым рядом свойств: про-ти-во-по-лож-ные углы равны (), про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны (). Кроме того, диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, сумма углов, при-ле-жа-щих к любой сто-роне па-рал-ле-ло-грам-ма, равна и т.д.

Но для того, чтобы поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть аб-со-лют-но уве-рен-ны-ми в том, что рас-смат-ри-ва-е-мый че-ты-рёх-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого и су-ще-ству-ют при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма: то есть те факты, из ко-то-рых можно сде-лать од-но-знач-ный вывод, что че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом. На преды-ду-щем уроке мы уже рас-смот-ре-ли два при-зна-ка. Сей-час рас-смот-рим тре-тий.

6. Третий признак параллелограмма и его доказательство

Если в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то дан-ный че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом.

Дано:

Че-ты-рёх-уголь-ник; ; .

До-ка-зать:

Па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-тель-ство:

Для того чтобы до-ка-зать дан-ный факт, необ-хо-ди-мо до-ка-зать па-рал-лель-ность сто-рон па-рал-ле-ло-грам-ма. А па-рал-лель-ность пря-мых чаще всего до-ка-зы-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-крест ле-жа-щих углов при этих пря-мых. Таким об-ра-зом, на-пра-ши-ва-ет-ся сле-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство тре-уголь-ни-ков .

До-ка-жем ра-вен-ство этих тре-уголь-ни-ков. Дей-стви-тель-но, из усло-вия сле-ду-ет: . Кроме того, по-сколь-ку углы - вер-ти-каль-ные, то они равны. То есть:

(пер-вый при-знак ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков - по двум сто-ро-нам и углу между ними).

Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков: (так как равны внут-рен-ние на-крест ле-жа-щие углы при этих пря-мых и се-ку-щей ). Кроме того, из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что . Зна-чит, мы по-лу-чи-ли, что в че-ты-рёх-уголь-ни-ке две сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны. По пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-но.

7. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение

Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма.

При-мер 1

Дано:

- па-рал-ле-ло-грамм; . - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на (см. Рис. 2).

До-ка-зать: - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-тель-ство:

Зна-чит, в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. По тре-тье-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма из этого сле-ду-ет, что - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-но.

Если про-ве-сти ана-лиз тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можно за-ме-тить, что этот при-знак со-от-вет-ству-ет свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. То есть, то, что диа-го-на-ли де-лят-ся по-по-лам, яв-ля-ет-ся не про-сто свой-ством па-рал-ле-ло-грам-ма, а его от-ли-чи-тель-ным, ха-рак-те-ри-сти-че-ским свой-ством, по ко-то-ро-му его можно вы-де-лить из мно-же-ства че-ты-рёх-уголь-ни-ков.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На следующем рисунке представлен параллелограмм ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.

Как вы уже успели догадаться, параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим основные свойства параллелограмма.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство - рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке.

Диагональ BD разделяет его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны по стороне BD и двум прилежащим к ней углам, так как углы накрест лежащие при секущей BD параллельных прямых BC и AD и AB и CD соответственно. Следовательно, AB = CD и
BC = AD. А из равенства углов 1, 2 ,3 и 4 следует, что угол A = угол1 +угол3 = угол2 + угол4 = угол С.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О есть точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.

Тогда треугольник AOB и треугольник COD равны между собой, по стороне и двум прилежащим к ней углам. (AB=CD так как это противоположные стороны параллелограмма. А угол1 = угол2 и угол3 = угол4 как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно.) Из этого следует, что AO = OC и OB = OD, что и требовалось доказать.

Все основные свойства проиллюстрированы на следующих трех рисунках.