Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.
Способ сложения состоит из трёх простых шагов:
Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.
Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:
Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:
Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.
Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.
Вообще, существует два метода решения подобных систем:
Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.
Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.
Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.
Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.
\[\left\{ \begin{align}& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end{align} \right.\]
Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:
Решаем простейшую конструкцию:
Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:
\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]
Ответ: $\left(2;-3 \right)$.
\[\left\{ \begin{align}& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end{align} \right.\]
Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:
Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:
Теперь давайте найдем $x$:
Ответ: $\left(-3;3 \right)$.
Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:
В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.
\[\left\{ \begin{align}& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end{align} \right.\]
Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:
Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:
Ответ: $\left(2;5 \right)$.
\[\left\{ \begin{align}& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end{align} \right.\]
Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:
Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:
Ответ: $\left(-3;-2 \right)$.
Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.
Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.
Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.
\[\left\{ \begin{align}& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end{align} \right.\]
Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:
\[\left\{ \begin{align}& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end{align} \right.\]
Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:
Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:
\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]
Ответ: $\left(4;-2 \right)$.
\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end{align} \right.\]
Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:
\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align}& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end{align} \right.\]
Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:
Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:
Ответ: $\left(-2;1 \right)$.
Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:
Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.
\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end{align} \right.\]
Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:
\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end{align} \right.\]
Вычитаем уравнения друг из друга:
$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:
Ответ: $n=-4;m=5$
\[\left\{ \begin{align}& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end{align} \right.\]
Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:
\[\left\{ \begin{align}& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end{align} \right.\]
Применяем метод вычитания:
Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:
Ответ: $p=-4;k=-2$.
Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.
Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.
В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:
В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.
\[\left\{ \begin{align}& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right)-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end{align} \right.\]
Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.
Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:
\[\left\{ \begin{align}& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end{align} \right.\]
Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:
\[\left\{ \begin{align}& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end{align} \right.\]
Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$
Теперь найдем $y$:
Ответ: $\left(0;-\frac{1}{3} \right)$
\[\left\{ \begin{align}& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end{align} \right.\]
Преобразуем первое выражение:
Разбираемся со вторым:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Итого, наша первоначальная система примет такой вид:
\[\left\{ \begin{align}& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]
Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:
\[\left\{ \begin{align}& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]
Вычитаем из первой конструкции вторую:
Теперь найдем $a$:
Ответ: $\left(a=\frac{1}{2};b=0 \right)$.
Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!
Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой
Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений .
При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений .
Рассмотрим пример
1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:
2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7 :
3) Решаем полученное второе уравнение:
4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4 . Ответ: (1; -4) , записывается в скобках, на первой позиции значение x , на второй - y .
Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.
1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными . Умножим первое уравнение системы на "3".
2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.
3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.
Графическое решение системы
Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.
Рассмотрим решение системы
Введем замену , тогда
Переходим к первоначальным переменным
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Этими факторами объясняется причина создания данной статьи. Материал статьи подобран и структурирован так, что с его помощью Вы сможете
Краткое описание материала статьи.
Сначала дадим все необходимые определения, понятия и введем обозначения.
Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение. Во-первых, остановимся на методе Крамера, во-вторых, покажем матричный метод решения таких систем уравнений, в-третьих, разберем метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных переменных). Для закрепления теории обязательно решим несколько СЛАУ различными способами.
После этого перейдем к решению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных или основная матрица системы является вырожденной. Сформулируем теорему Кронекера - Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы. Также рассмотрим метод Гаусса и подробно опишем решения примеров.
Обязательно остановимся на структуре общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Дадим понятие фундаментальной системы решений и покажем, как записывается общее решение СЛАУ с помощью векторов фундаментальной системы решений. Для лучшего понимания разберем несколько примеров.
В заключении рассмотрим системы уравнений, сводящиеся к линейным, а также различные задачи, при решении которых возникают СЛАУ.
Навигация по странице.
Будем рассматривать системы из p
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными переменными (p
может быть равно n
) вида
Неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), - свободные члены (также действительные или комплексные числа).
Такую форму записи СЛАУ называют координатной .
В матричной форме
записи эта система уравнений имеет вид ,
где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.
Если к матрице А
добавить в качестве (n+1)-ого
столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу
системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т
, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной .
Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной .
Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной ; если решений больше одного, то – неопределенной .
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной , в противном случае – неоднородной .
Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными . Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.
Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, следом брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.
Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Разберем их.
Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, .
Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А
заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого
столбца соответственно на столбец свободных членов:
При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как . Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Пример.
Методом Крамера .
Решение.
Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью ):
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
Составим и вычислим необходимые определители (определитель получаем, заменив в матрице А
первый столбец на столбец свободных членов , определитель - заменив второй столбец на столбец свободных членов, - заменив третий столбец матрицы А
на столбец свободных членов):
Находим неизвестные переменные по формулам :
Ответ:
Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех.
Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.
Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Пример.
Решите систему линейных уравнений матричным методом.
Решение.
Перепишем систему уравнений в матричной форме:
Так как
то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как .
Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А
(при необходимости смотрите статью ):
Осталось вычислить - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов (при необходимости смотрите статью ):
Ответ:
или в другой записи x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .
Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.
Пусть нам требуется найти решение системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находится x n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .
Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а .
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а . Таким образом, переменная x 2
исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.
Пример.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение.
Исключим неизвестную переменную x 1
из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на и на соответственно:
Теперь из третьего уравнения исключим x 2
, прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на :
На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x 3
:
Из второго уравнения получаем .
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса .
Ответ:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .
В общем случае число уравнений системы p
не совпадает с числом неизвестных переменных n
:
Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам уравнений, основная матрица которых квадратная и вырожденная.
Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли
:
для того, чтобы система из p
уравнений с n
неизвестными (p
может быть равно n
) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T)
.
Рассмотрим на примере применение теоремы Кронекера – Капелли для определения совместности системы линейных уравнений.
Пример.
Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения.
Решение.
. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор второго порядка отличен от нуля. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной матрицы равен двум.
В свою очередь ранг расширенной матрицы равен трем, так как минор третьего порядка
отличен от нуля.
Таким образом, Rang(A) , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли можно сделать вывод, что исходная система линейных уравнений несовместна.
Ответ:
Система решений не имеет.
Итак, мы научились устанавливать несовместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли.
А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?
Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.
Минор наивысшего порядка матрицы А , отличный от нуля, называется базисным .
Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.
Для примера рассмотрим матрицу .
Все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как элементы третьей строки этой матрицы представляют собой сумму соответствующих элементов первой и второй строк.
Базисными являются следующие миноры второго порядка, так как они отличны от нуля
Миноры базисными не являются, так как равны нулю.
Теорема о ранге матрицы.
Если ранг матрицы порядка p на n равен r , то все элементы строк (и столбцов) матрицы, не образующие выбранный базисный минор, линейно выражаются через соответствующие элементы строк (и столбцов), образующих базисный минор.
Что нам дает теорема о ранге матрицы?
Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r ), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений).
В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая.
Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.
Пример.
.
Решение.
Ранг основной матрицы системы равен двум, так как минор второго порядка отличен от нуля. Ранг расширенной матрицы также равен двум, так как единственный минор третьего порядка равен нулю
а рассмотренный выше минор второго порядка отличен от нуля. На основании теоремы Кронекера – Капелли можно утверждать совместность исходной системы линейных уравнений, так как Rank(A)=Rank(T)=2
.
В качестве базисного минора возьмем . Его образуют коэффициенты первого и второго уравнений:
Третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, поэтому исключим его из системы на основании теоремы о ранге матрицы:
Так мы получили элементарную систему линейных алгебраических уравнений. Решим ее методом Крамера:
Ответ:
x 1 = 1, x 2 = 2 .
Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных переменных n , то в левых частях уравнений оставляем слагаемые, образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые части уравнений системы с противоположным знаком.
Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях уравнений, называются основными .
Неизвестные переменные (их n - r штук), которые оказались в правых частях, называются свободными .
Теперь считаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных будут выражаться через свободные неизвестные переменные единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.
Разберем на примере.
Пример.
Решите систему линейных алгебраических уравнений .
Решение.
Найдем ранг основной матрицы системы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем a 1 1 = 1
. Начнем поиск ненулевого минора второго порядка, окаймляющего данный минор:
Так мы нашли ненулевой минор второго порядка. Начнем поиск ненулевого окаймляющего минора третьего порядка:
Таким образом, ранг основной матрицы равен трем. Ранг расширенной матрицы также равен трем, то есть, система совместна.
Найденный ненулевой минор третьего порядка возьмем в качестве базисного.
Для наглядности покажем элементы, образующие базисный минор:
Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, участвующие в базисном миноре, остальные переносим с противоположными знаками в правые части:
Придадим свободным неизвестным переменным x 2
и x 5
произвольные значения, то есть, примем , где - произвольные числа. При этом СЛАУ примет вид
Полученную элементарную систему линейных алгебраических уравнений решим методом Крамера:
Следовательно, .
В ответе не забываем указать свободные неизвестные переменные.
Ответ:
Где - произвольные числа.
Подведем итог.
Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений общего вида, сначала выясняем ее совместность, используя теорему Кронекера – Капелли. Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то делаем вывод о несовместности системы.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то выбираем базисный минор и отбрасываем уравнения системы, которые не участвуют в образовании выбранного базисного минора.
Если порядок базисного минора равен числу неизвестных переменных, то СЛАУ имеет единственное решение, которое находим любым известным нам методом.
Если порядок базисного минора меньше числа неизвестных переменных, то в левой части уравнений системы оставляем слагаемые с основными неизвестными переменными, остальные слагаемые переносим в правые части и придаем свободным неизвестным переменным произвольные значения. Из полученной системы линейных уравнений находим основные неизвестные переменные методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.
Методом Гаусса можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого вида без предварительного их исследования на совместность. Процесс последовательного исключения неизвестных переменных позволяет сделать вывод как о совместности, так и о несовместности СЛАУ, а в случае существования решения дает возможность отыскать его.
С точки зрения вычислительной работы метод Гаусса является предпочтительным.
Смотрите его подробное описание и разобранные примеры в статье метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида .
В этом разделе речь пойдет о совместных однородных и неоднородных системах линейных алгебраических уравнений, имеющих бесконечное множество решений.
Разберемся сначала с однородными системами.
Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.
Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – это матрицы столбцы размерности n на 1 ), то общее решение этой однородной системы представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами С 1 , С 2 , …, С (n-r) , то есть, .
Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)?
Смысл прост: формула задает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянных С 1 , С 2 , …, С (n-r) , по формуле мы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ.
Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как .
Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.
Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1,0,0,…,0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X (1) - первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0,1,0,0,…,0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X (2) . И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0,0,…,0,1 и вычислим основные неизвестные, то получим X (n-r) . Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде .
Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде , где - общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0,0,…,0 и вычислив значения основных неизвестных.
Разберем на примерах.
Пример.
Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
Решение.
Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент a 1 1 = 9
основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:
Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:
Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум.
Базисным минором возьмем . Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:
Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:
Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:
Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X (1)
придадим свободным неизвестным переменным значения x 2 = 1, x 4 = 0
, тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений
.
Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры линейных уравнений:
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .
Примеры решения линейных уравнений:
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b:
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
2 x − 4 x = 2 − 1
Теперь поделим левую и правую часть на число (-2) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Ответ: x = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)
Примеры:
2 x − 4 = 2 x − 4
2 x − 2 x = − 4 + 4
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.
Ответ: x ∈ (− ∞ ; + ∞)
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как. Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.
Ответ: x ∈ ∅
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
Примеры решения квадратного уравнения:
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2
Ответ: x = 2
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D < 0 – решений нет.
Ответ: x ∈ ∅
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень, то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2
Если квадратный трехчлен является неполным, ((b = 0 или c = 0) то его можно разложить на множители следующими способами:
Пусть f (x) и g (x) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f (x) g (x) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f (x) g (x) = 0
ОДЗ: g (x) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
[ x 1 = 2 x 2 = − 3
Корни, полученные на предыдущем шаге:
[ x 1 = 2 x 2 = − 3
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Ответ: x = − 3.
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы уравнений
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.
Существует два метода решений систем линейных уравнений:
Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:
Пример:
Решить систему уравнений методом подстановки
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Решение:
{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4
{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4
{ x = 8 − 2 y 3 (8 − 2 y) − y = − 4
3 (8 − 2 y) − y = − 4
24 − 6 y − y = − 4
− 7 y = − 4 − 24
− 7 y = − 28
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0
Ответ можно записать одним из трех способов:
Решение системы уравнений методом сложения.
Метод сложения основывается на следующем свойстве:
(a + c) = (b + d)
Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.
Пример:
Решить систему уравнений методом сложения
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент (− 3) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на (− 3) .
Решить систему уравнений - это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y . Как решать уравнения с одним неизвестным , вы можете посмотреть в соответствующей теме.
3(2 + 4y ) - 2y = 16 |
6 + 12y - 2y = 16 |
6 + 10y = 16 |
10y = 16 - 6 |
10y = 10 |
y = 10: 10 |
y = 1 |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x , подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x :
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6
Ответ: x = 6, y = 1.
Способ сравнения - это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
Составляем из полученных выражений уравнение:
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y :
Ответ: x = 6, y = 1.
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
Рассмотрим систему:
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
Ответ: x = 6, y = 1.
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.