Factorii notează descompunerea numerelor. Factorizare - calculator online

Ce înseamnă factoring? Aceasta înseamnă găsirea numerelor al căror produs este egal cu numărul inițial.

Pentru a înțelege ce înseamnă factorizarea, să ne uităm la un exemplu.

Un exemplu de factorizare a unui număr

Factorizați numărul 8.

Numărul 8 poate fi reprezentat ca un produs de 2 cu 4:

Reprezentarea lui 8 ca produs de 2 * 4 înseamnă factorizare.

Rețineți că aceasta nu este singura factorizare a lui 8.

La urma urmei, 4 este factorizat astfel:

De aici pot fi reprezentate 8:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Să verificăm răspunsul nostru. Să aflăm cu ce este egală factorizarea:

Adică am primit numărul inițial, răspunsul este corect.

Factorizați numărul 24 în factori primi

Cum se descompune numărul 24 în factori primi?

Un număr se numește prim dacă este divizibil doar cu unul și cu el însuși.

Numărul 8 poate fi reprezentat ca produsul lui 3 cu 8:

Aici numărul 24 este factorizat. Dar atribuirea spune „factorizați numărul 24 în factori primi”, adică. Sunt factorii principali care sunt necesari. Și în expansiunea noastră, 3 este un factor prim, iar 8 nu este un factor prim.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Acest articol oferă răspunsuri la întrebarea factorării unui număr pe o foaie. Sa luam in considerare ideea generala despre descompunere cu exemple. Să analizăm forma canonică a expansiunii și algoritmul acesteia. Toate metodele alternative vor fi luate în considerare folosind semne de divizibilitate și tabele de înmulțire.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce înseamnă factorizarea unui număr în factori primi?

Să ne uităm la conceptul de factori primi. Se știe că fiecare factor prim este un număr prim. Într-un produs de forma 2 · 7 · 7 · 23 avem că avem 4 factori primi sub forma 2, 7, 7, 23.

Factorizarea presupune reprezentarea ei sub formă de produse de numere prime. Dacă trebuie să descompunăm numărul 30, atunci obținem 2, 3, 5. Intrarea va avea forma 30 = 2 · 3 · 5. Este posibil ca multiplicatorii să se repete. Un număr ca 144 are 144 = 2 2 2 2 3 3.

Nu toate numerele sunt predispuse la decădere. Numerele care sunt mai mari decât 1 și sunt numere întregi pot fi factorizate. Numerele prime, atunci când sunt factorizate, sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele, deci este imposibil să se reprezinte aceste numere ca un produs.

Când z se referă la numere întregi, este reprezentat ca un produs al lui a și b, unde z este împărțit la a și b. Numerele compuse sunt factorizate folosind teorema fundamentală a aritmeticii. Dacă numărul este mai mare decât 1, atunci factorizarea lui p 1, p 2, ..., p n ia forma a = p 1 , p 2 , … , p n . Se presupune că descompunerea este într-o singură variantă.

Descompunerea canonică a unui număr în factori primi

În timpul expansiunii, factorii se pot repeta. Sunt scrise compact folosind grade. Dacă, la descompunerea numărului a, avem un factor p 1, care apare de s 1 ori și așa mai departe p n – s de n ori. Astfel expansiunea va lua forma a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Această intrare se numește factorizarea canonică a unui număr în factori primi.

Când extindem numărul 609840, obținem că 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, forma sa canonică va fi 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Folosind extinderea canonică, puteți găsi toți divizorii unui număr și numărul lor.

Pentru a factoriza corect, trebuie să înțelegeți numerele prime și compuse. Ideea este de a obține un număr succesiv de divizori de forma p 1, p 2, ..., p n numere a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, acest lucru face posibilă obținerea a = p 1 a 1, unde a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , unde a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · un n , unde a n = a n - 1: p n. La primirea a n = 1, apoi egalitatea a = p 1 · p 2 · … · p n obţinem descompunerea necesară a numărului a în factori primi. observa asta p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Pentru a găsi cel mai mic divizori comuni trebuie să utilizați un tabel cu numere prime. Acest lucru se face folosind exemplul găsirii celui mai mic divizor prim al numărului z. Când luăm numere prime 2, 3, 5, 11 și așa mai departe și împărțim numărul z la ele. Deoarece z nu este un număr prim, trebuie luat în considerare faptul că cel mai mic divizor prim nu va fi mai mare decât z. Se poate observa că nu există divizori ai lui z, atunci este clar că z este un număr prim.

Exemplul 1

Să ne uităm la exemplul numărului 87. Când este împărțit la 2, avem acel 87: 2 = 43 cu un rest de 1. Rezultă că 2 nu poate fi un divizor; împărțirea trebuie făcută în întregime. Când împărțim la 3, obținem 87: 3 = 29. Prin urmare, concluzia este că 3 este cel mai mic divizor prim al numărului 87.

La factorizarea în factori primi, trebuie să utilizați un tabel de numere prime, unde a. Când factorizați 95, ar trebui să utilizați aproximativ 10 numere prime, iar când factorizați 846653, aproximativ 1000.

Să luăm în considerare algoritmul de descompunere în factori primi:

• găsirea celui mai mic factor al divizorului p 1 al unui număr A prin formula a 1 = a: p 1, când a 1 = 1, atunci a este un număr prim și este inclus în descompunere, atunci când nu este egal cu 1, atunci a = p 1 · a 1 și urmați până la punctul de mai jos;
• găsirea divizorului prim p 2 al unui număr a 1 prin enumerarea secvenţială a numerelor prime folosind a 2 = a 1: p 2 , când a 2 = 1 , atunci expansiunea va lua forma a = p 1 p 2 , când a 2 = 1, atunci a = p 1 p 2 a 2 , și trecem la pasul următor;
• căutarea prin numere prime și găsirea unui divizor prim p 3 numere a 2 conform formulei a 3 = a 2: p 3 când a 3 = 1 , atunci obținem că a = p 1 p 2 p 3 , când nu este egal cu 1, atunci a = p 1 p 2 p 3 a 3 și treceți la pasul următor;
• se găsește divizorul prim p n numere a n - 1 prin enumerarea numerelor prime cu pn - 1, și a n = a n - 1: p n, unde a n = 1, pasul este final, ca rezultat obținem că a = p 1 · p 2 · … · p n .

Rezultatul algoritmului se scrie sub forma unui tabel cu factorii descompuse cu o bară verticală secvenţial într-o coloană. Luați în considerare figura de mai jos.

Algoritmul rezultat poate fi aplicat prin descompunerea numerelor în factori primi.

La factorizarea în factori primi, ar trebui urmat algoritmul de bază.

Exemplul 2

Factorizați numărul 78 în factori primi.

Soluţie

Pentru a găsi cel mai mic divizor prim, trebuie să parcurgeți toate numere prime disponibil in 78. Adică 78: 2 = 39. Împărțirea fără rest înseamnă că acesta este primul divizor simplu, pe care îl notăm p 1. Obținem că a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Am ajuns la o egalitate de forma a = p 1 · a 1 , unde 78 = 2 39. Atunci un 1 = 39, adică ar trebui să trecem la pasul următor.

Să ne concentrăm pe găsirea divizorului prim p2 numere a 1 = 39. Ar trebui să parcurgeți numerele prime, adică 39: 2 = 19 (rămanând 1). Deoarece împărțirea cu rest, 2 nu este un divizor. Atunci când alegem numărul 3, obținem acel 39: 3 = 13. Aceasta înseamnă că p 2 = 3 este cel mai mic divizor prim al lui 39 cu a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Obținem o egalitate a formei a = p 1 p 2 a 2 sub forma 78 = 2 3 13. Avem că un 2 = 13 nu este egal cu 1, atunci ar trebui să mergem mai departe.

Cel mai mic divizor prim al numărului a 2 = 13 este găsit prin căutarea prin numere, începând cu 3. Obținem acel 13: 3 = 4 (răman de 1). Din aceasta putem observa că 13 nu este divizibil cu 5, 7, 11, deoarece 13: 5 = 2 (rest. 3), 13: 7 = 1 (rest. 6) și 13: 11 = 1 (rest. 2) . Se poate observa că 13 este un număr prim. Conform formulei, arată astfel: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Am constatat că a 3 = 1, ceea ce înseamnă finalizarea algoritmului. Acum factorii se scriu ca 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Răspuns: 78 = 2 3 13.

Exemplul 3

Factorizați numărul 83.006 în factori primi.

Soluţie

Primul pas implică factoring p 1 = 2Și a 1 = a: p 1 = 83.006: 2 = 41.503, unde 83.006 = 2 · 41.503.

Al doilea pas presupune că 2, 3 și 5 nu sunt divizori primi pentru numărul a 1 = 41.503, dar 7 este un divizor primi, deoarece 41.503: 7 = 5.929. Obținem că p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41.503: 7 = 5.929. Evident, 83.006 = 2 7 5 929.

Aflarea celui mai mic divizor prim al lui p 4 la numărul a 3 = 847 este 7. Se poate observa că a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, deci 83 006 = 2 7 7 7 121.

Pentru a găsi divizorul prim al numărului a 4 = 121, folosim numărul 11, adică p 5 = 11. Apoi obținem o expresie a formei a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11și 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Pentru număr a 5 = 11 număr p 6 = 11 este cel mai mic divizor prim. Prin urmare, a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Atunci a 6 = 1. Aceasta indică finalizarea algoritmului. Factorii se vor scrie ca 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Notația canonică a răspunsului va lua forma 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Răspuns: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Exemplul 4

Factorizați numărul 897.924.289.

Soluţie

Pentru a găsi primul factor prim, căutați printre numerele prime, începând cu 2. Sfârșitul căutării are loc la numărul 937. Atunci p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 și 897 924 289 = 937 958 297.

Al doilea pas al algoritmului este de a repeta peste numere prime mai mici. Adică începem cu numărul 937. Numărul 967 poate fi considerat prim deoarece este un divizor prim al numărului a 1 = 958.297. De aici obținem că p 2 = 967, apoi a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 și 897 924 289 = 937 967 991.

Al treilea pas spune că 991 este un număr prim, deoarece nu are un singur factor prim care să nu depășească 991. Valoarea aproximativă a expresiei radicale este 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Aceasta arată că p 3 = 991 și a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Constatăm că descompunerea numărului 897 924 289 în factori primi se obține ca 897 924 289 = 937 967 991.

Răspuns: 897 924 289 = 937 967 991.

Utilizarea testelor de divizibilitate pentru factorizarea prime

Pentru a factoriza un număr în factori primi, trebuie să urmați un algoritm. Când există numere mici, este permisă utilizarea tabelului înmulțirii și a semnelor de divizibilitate. Să ne uităm la asta cu exemple.

Exemplul 5

Dacă este necesară factorizarea 10, atunci tabelul arată: 2 · 5 = 10. Numerele rezultate 2 și 5 sunt numere prime, deci sunt factori primi pentru numărul 10.

Exemplul 6

Dacă este necesar să se descompună numărul 48, atunci tabelul arată: 48 = 6 8. Dar 6 și 8 nu sunt factori primi, deoarece ei pot fi extinși și ca 6 = 2 3 și 8 = 2 4. Apoi expansiunea completă de aici se obține ca 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Notația canonică va lua forma 48 = 2 4 · 3.

Exemplul 7

Când descompuneți numărul 3400, puteți utiliza semnele de divizibilitate. ÎN în acest caz, Criteriile de divizibilitate cu 10 și 100 sunt relevante. De aici obținem că 3.400 = 34 · 100, unde 100 poate fi împărțit la 10, adică scris ca 100 = 10 · 10, ceea ce înseamnă că 3.400 = 34 · 10 · 10. Pe baza testului de divizibilitate, constatăm că 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Toți factorii sunt primi. Expansiunea canonică ia forma 3 400 = 2 3 5 2 17.

Când găsim factori primi, trebuie să folosim teste de divizibilitate și tabele de înmulțire. Dacă vă imaginați numărul 75 ca un produs al factorilor, atunci trebuie să țineți cont de regula divizibilității cu 5. Obținem că 75 = 5 15 și 15 = 3 5. Adică, expansiunea dorită este un exemplu de formă a produsului 75 = 5 · 3 · 5.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Factorizarea unui număr mare nu este o sarcină ușoară. Majoritatea oamenilor întâmpină dificultăți în a afla numere de patru sau cinci cifre. Pentru a ușura procesul, scrieți numărul deasupra celor două coloane.

• Să factorizăm numărul 6552.

Împărțiți numărul dat la cel mai mic divizor prim (altul decât 1) care împarte numărul dat fără a lăsa rest. Scrieți acest divizor în coloana din stânga și scrieți rezultatul împărțirii în coloana din dreapta. După cum sa menționat mai sus, numerele pare sunt ușor de factorizat, deoarece cel mai mic factor prim al lor va fi întotdeauna 2 (numerele impare au diferiți cei mai mici factori primi).

• În exemplul nostru, 6552 este un număr par, deci 2 este cel mai mic factor prim al său. 6552 ÷ 2 = 3276. Scrieți 2 în coloana din stânga și 3276 în coloana din dreapta.

Apoi, împărțiți numărul din coloana din dreapta la cel mai mic factor prim (altul decât 1) care împarte numărul fără rest. Scrieți acest divizor în coloana din stânga, iar în coloana din dreapta scrieți rezultatul împărțirii (continuați acest proces până când nu mai rămâne 1 în coloana din dreapta).

• În exemplul nostru: 3276 ÷ 2 = 1638. Scrieți 2 în coloana din stânga și 1638 în coloana din dreapta. În continuare: 1638 ÷ 2 = 819. Scrieți 2 în coloana din stânga și 819 în coloana din dreapta.

Ai un număr impar; Pentru astfel de numere, găsirea celui mai mic divizor prim este mai dificilă. Dacă obțineți un număr impar, încercați să-l împărțiți la cele mai mici numere prime impare: 3, 5, 7, 11.

• În exemplul nostru, ați primit un număr impar 819. Împărțiți-l la 3: 819 ÷ 3 = 273. Scrieți 3 în coloana din stânga și 273 în coloana din dreapta.
• Când selectați divizori, încercați toate numerele prime până la rădăcină pătrată din cel mai mare divizor pe care l-ai găsit. Dacă niciun divizor nu împarte numărul la un întreg, atunci cel mai probabil aveți un număr prim și puteți opri calculul.

Continuați procesul de împărțire a numerelor la factori primi până când rămâneți cu un 1 în coloana din dreapta (dacă obțineți un număr prim în coloana din dreapta, împărțiți-l singur pentru a obține un 1).

• Să continuăm calculele din exemplul nostru:
  • Împărțiți la 3: 273 ÷ 3 = 91. Nu există rest. Notați 3 în coloana din stânga și 91 în coloana din dreapta.
  • Împărțiți cu 3. 91 este divizibil cu 3 cu rest, deci împărțiți cu 5. 91 este divizibil cu 5 cu rest, deci împărțiți cu 7: 91 ÷ 7 = 13. Fără rest. Notează 7 în coloana din stânga și 13 în coloana din dreapta.
  • Împărțiți cu 7. 13 este divizibil cu 7 cu rest, deci împărțiți cu 11. 13 este divizibil cu 11 cu rest, deci împărțiți cu 13: 13 ÷ 13 = 1. Nu există rest. Scrieți 13 în coloana din stânga și 1 în coloana din dreapta. Calculele dvs. sunt complete.

Coloana din stânga arată factorii primi ai numărului inițial. Cu alte cuvinte, atunci când înmulțiți toate numerele din coloana din stânga, veți obține numărul scris deasupra coloanelor. Dacă același factor apare de mai multe ori în lista de factori, folosiți exponenți pentru a-l indica. În exemplul nostru, 2 apare de 4 ori în lista multiplicatorilor; scrieți acești factori ca 2 4 mai degrabă decât 2*2*2*2.

• În exemplul nostru, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Ați factorizat 6552 în factori primi (ordinea factorilor din această notație nu contează).

Orice număr compus poate fi reprezentat ca produs al divizorilor primi:

28 = 2 2 7

Laturile din dreapta ale egalităților rezultate se numesc factorizare primara numerele 15 și 28.

Factorizarea unui număr compus dat în factori primi înseamnă a reprezenta acest număr ca produs al factorilor săi primi.

Descompunere număr dat prin factori primi se face după cum urmează:

1. Mai întâi trebuie să selectați cel mai mic număr prim din tabelul numerelor prime care împarte numărul compus dat fără rest și să efectuați împărțirea.
2. Apoi, trebuie să selectați din nou cel mai mic număr prim cu care câtul deja obținut va fi împărțit fără rest.
3. A doua acțiune se repetă până când se obține una în coeficient.

De exemplu, să factorizăm în factori primi numărul 940. Aflați cel mai mic număr prim care împarte 940. Acest număr este 2:

Acum selectăm cel mai mic număr prim care este divizibil cu 470. Acest număr este din nou 2:

Cel mai mic număr prim care este divizibil cu 235 este 5:

Numărul 47 este prim, ceea ce înseamnă că cel mai mic număr prim care poate fi împărțit la 47 este numărul în sine:

Astfel, obținem numărul 940, descompus în factori primi:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Dacă descompunerea unui număr în factori primi a dus la mai mulți factori identici, atunci pentru concizie, aceștia pot fi scrisi sub forma unei puteri:

940 = 2 2 5 47

Cel mai convenabil este să scrieți descompunerea în factori primi după cum urmează: mai întâi notăm acest număr compus și trasăm o linie verticală în dreapta lui:

În dreapta dreptei scriem cel mai mic divizor prim cu care se împarte numărul compus dat:

Efectuăm împărțirea și scriem coeficientul rezultat sub dividend:

Tratăm cu particularul în același mod ca și cu dat. numar compus, adică selectăm cel mai mic număr prim cu care este divizibil fără rest și efectuăm împărțirea. Și repetăm ​​asta până când obținem o unitate în coeficient:

Vă rugăm să rețineți că, uneori, poate fi destul de dificil să factorizați un număr în factori primi, deoarece în timpul factorizării putem întâlni un număr mare care este dificil de determinat imediat dacă este prim sau compus. Și dacă este compus, atunci nu este întotdeauna ușor să găsești cel mai mic divizor prim al său.

Să încercăm, de exemplu, să factorizăm numărul 5106 în factori primi:

După ce a ajuns la coeficientul 851, este dificil să-i determinați imediat cel mai mic divizor. Ne întoarcem la tabelul numerelor prime. Dacă există un număr în el care ne pune în dificultate, atunci este divizibil doar prin el însuși și unul. Numărul 851 nu se află în tabelul numerelor prime, ceea ce înseamnă că este compus. Tot ce rămâne este să-l împărțim prin căutare secvențială în numere prime: 3, 7, 11, 13, ... și așa mai departe până găsim un divizor prim potrivit. Prin forța brută aflăm că 851 este divizibil cu numărul 23.