Explorați funcțiile date prin metode de calcul diferențial online. Schema generală a studiului funcției și a graficului

Să examinăm funcția \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) și să construim graficul acesteia.

1. Domeniul definirii.
Domeniul de definire al unei funcții (fracții) raționale va fi: numitorul nu este egal cu zero, i.e. \ (1 -x \ ne 0 => x \ ne 1 \). Domeniul de aplicare $$ D_f = (- \ infty; 1) \ cup (1; + \ infty) $$

2. Punctele de întrerupere ale unei funcții și clasificarea lor.
Funcția are un punct de întrerupere x = 1
investigați punctul x = 1. Aflați limita funcției la dreapta și la stânga punctului de discontinuitate, la dreapta $$ \ lim_ (x \ to 1 + 0) (\ frac (x ^ 3) (1-x )) = - \ infty $$ și la stânga punctului $$ \ lim_ (x \ to 1-0) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = + \ infty $$ Acesta este un punct de discontinuitate de al doilea fel deoarece limitele unilaterale sunt \ (\ infty \).

Linia dreaptă \ (x = 1 \) este asimptota verticală.

3. Paritatea funcției.
Verificați uniformitatea \ (f (-x) = \ frac ((- x) ^ 3) (1 + x) \) funcția nu este nici pară, nici impară.

4. Zerourile funcției (punctele de intersecție cu axa Ox). Intervalele de semne ale funcției.
Zerourile funcției ( punctul de intersecție cu axa Ox): echivalăm \ (y = 0 \), obținem \ (\ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 => x = 0 \). Curba are un punct de intersecție cu axa Ox cu coordonatele \ ((0; 0) \).

Intervale de constanță a funcției.
Pe intervalele considerate \ ((- \ infty; 1) \ cup (1; + \ infty) \) curba are un punct de intersecție cu axa Ox, de aceea vom considera domeniul de definiție pe trei intervale.

Să determinăm semnul funcției pe intervalele domeniului de definiție:
interval \ ((- \ infty; 0) \) găsiți valoarea funcției în orice punct \ (f (-4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \ ((0; 1) \) găsiți valoarea funcției în orice punct \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 3) (1-x)> 0 \), pe acest interval funcția este pozitivă \ (f (x )> 0 \), adică este situat deasupra axei Ox.
interval \ ((1; + \ infty) \) găsiți valoarea funcției în orice punct \ (f (4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Puncte de intersecție cu axa Oy: echivalăm \ (x = 0 \), obținem \ (f (0) = \ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 \). Coordonatele punctului de intersecție cu axa Oy \ ((0; 0) \)

6. Intervale de monotonie. Funcția extremă.
Găsiți punctele critice (staționare), pentru aceasta găsim derivata întâi și o echivalăm cu zero $$ y "= (\ frac (x ^ 3) (1-x))" = \ frac (3x ^ 2 (1- x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ echivalează cu 0 $$ \ frac (x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) = 0 => x_1 = 0 \ quad x_2 = \ frac (3) (2) $$ Aflați valoarea funcției în acest punct \ (f ( 0) = 0 \) și \ (f (\ frac (3) (2)) = -6,75 \). Avem două puncte critice cu coordonatele \ ((0; 0) \) și \ ((1.5; -6.75) \)

Intervale monotone.
Funcția are două puncte critice (puncte de extremum posibil), prin urmare, monotonitatea va fi luată în considerare pe patru intervale:
interval \ ((- \ infty; 0) \) găsiți valoarea primei derivate în orice punct al intervalului \ (f (-4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ) ^ 2)>
interval \ ((0; 1) \) găsiți valoarea primei derivate în orice punct al intervalului \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , funcția crește pe acest interval.
interval \ ((1; 1.5) \) găsiți valoarea primei derivate în orice punct al intervalului \ (f (1.2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , funcția crește pe acest interval.
interval \ ((1,5; + \ infty) \) găsiți valoarea primei derivate în orice punct al intervalului \ (f (4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funcția extremă.

În studiul funcției s-au obținut două puncte critice (staționare) pe intervalul domeniului de definiție. Determinați dacă sunt extreme. Să luăm în considerare modificarea semnului derivatei la trecerea prin punctele critice:

punctul \ (x = 0 \) derivata își schimbă semnul cu \ (\ quad + \ quad 0 \ quad + \ quad \) - punctul nu este un extremum.
punctul \ (x = 1,5 \) derivată își schimbă semnul din \ (\ quad + \ quad 0 \ quad - \ quad \) - punctul este un punct maxim.

7. Intervale de convexitate și concavitate. Puncte de inflexiune.

Pentru a găsi intervalele de convexitate și concavitate, găsim derivata a doua a funcției și o echivalăm cu zero $$ y "" = (\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) ) "= \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ Echivalează cu zero $$ \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1 -x) ^ 3) = 0 => 2x (x ^ 2-3x + 3) = 0 => x = 0 $$ Funcția are un punct critic de al doilea fel cu coordonatele \ ((0; 0) \) .
Să definim convexitatea pe intervalele domeniului de definiție, ținând cont de punctul critic de al doilea fel (punctul de posibilă inflexiune).

interval \ ((- \ infty; 0) \) găsiți valoarea derivatei a doua în orice punct \ (f "" (- 4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \ ((0; 1) \) găsiți valoarea derivatei a doua în orice punct \ (f "" (0.5) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)> 0 \), pe acest interval derivata a doua a funcției este pozitivă \ (f "" (x)> 0 \) funcția este convexă în jos (convexă).
interval \ ((1; \ infty) \) găsiți valoarea derivatei a doua în orice punct \ (f "" (4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Puncte de inflexiune.

Să luăm în considerare schimbarea semnului derivatei a doua la trecerea prin punctul critic al celui de-al doilea fel:
În punctul \ (x = 0 \) derivata a doua își schimbă semnul din \ (\ quad - \ quad 0 \ quad + \ quad \), graficul funcției își schimbă convexitatea, adică. este un punct de inflexiune cu coordonatele \ ((0; 0) \).

8. Asimptote.

Asimptotă verticală... Graficul funcției are o asimptotă verticală \ (x = 1 \) (a se vedea punctul 2).
Asimptotă oblică.
Pentru ca graficul funcției \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) cu \ (x \ to \ infty \) să aibă o asimptotă oblică \ (y = kx + b \) , este necesar și suficient ca să existe două limite $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) = \ frac (f (x)) (x) = k $$ find it $$ \ lim_ (x \ to \ infty) (\ frac ( x ^ 3) (x (1-x))) = \ infty => k = \ infty $$ și a doua limită $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (f (x ) - kx) = b $ $, deoarece \ (k = \ infty \) - nu există nicio asimptotă oblică.

Asimptotă orizontală: pentru ca asimptota orizontală să existe, limita trebuie să existe $$ \ lim_ (x \ to \ infty) f (x) = b $$ find it $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (\ frac ( x ^ 3) (1-x)) = - \ infty $$$$ \ lim_ (x \ to - \ infty) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = - \ infty $$
Nu există asimptotă orizontală.

9. Graficul funcției.

Punctele de referință în studiul funcțiilor și construcția graficelor acestora sunt puncte caracteristice - puncte de discontinuitate, extremum, inflexiune, intersecție cu axele de coordonate. Cu ajutorul calculului diferențial, se pot stabili trăsăturile caracteristice ale modificărilor funcțiilor: creștere și scădere, maxime și minime, direcția de convexitate și concavitate a graficului, prezența asimptotelor.

Schița graficului funcției poate (și ar trebui) să fie schițată după găsirea asimptotelor și a punctelor extreme și este convenabil să completați tabelul pivot pentru studiul funcției în timpul studiului.

De obicei, se utilizează următoarea schemă de studiu a funcției.

1.Găsiți domeniul, intervalele de continuitate și punctele de întrerupere ale funcției.

2.Investigați funcția de uniformitate sau neobișnuit (simetria axială sau centrală a graficului.

3.Găsiți asimptote (verticale, orizontale sau oblice).

4.Găsiți și investigați intervalele de creștere și scădere ale funcției, punctele extremului acesteia.

5.Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei, punctele de inflexiune a acesteia.

6.Găsiți punctele de intersecție ale curbei cu axele de coordonate, dacă acestea există.

7.Pregătiți un tabel rezumativ al studiului.

8.Construiți un grafic, ținând cont de studiul funcției, efectuat pe punctele de mai sus.

Exemplu. Explorați funcția

și construiește un grafic al acestuia.

7. Să alcătuim un tabel rezumativ al studiului funcției, unde vom introduce toate punctele caracteristice și intervalele dintre ele. Având în vedere paritatea funcției, obținem următorul tabel:

				Caracteristicile programului
[-1, 0[			Crescând	Convex
				(0; 1) - punct maxim
]0, 1[			Scăderi	Convex
				Punct de inflexiune, forme cu axa Bou unghi obtuz

Cum să examinăm o funcție și să o trasezi?

Se pare că încep să înțeleg chipul plin de suflet, de suflet al conducătorului proletariatului mondial, autorul lucrărilor adunate în 55 de volume... Calea lentă a început cu informații elementare despre funcții și grafice, iar acum lucrul pe un subiect laborios se termină cu un rezultat natural - articolul despre un studiu complet al funcției... Sarcina mult așteptată este formulată după cum urmează:

Investigați funcția folosind metodele calculului diferențial și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia

Sau, pe scurt: examinați o funcție și trasați un grafic.

De ce cercetare?În cazuri simple, nu ne va fi dificil să ne ocupăm de funcții elementare, desenați un grafic obținut folosind transformări geometrice elementare etc. Cu toate acestea, proprietățile și grafica funcțiilor mai complexe sunt departe de a fi evidente, motiv pentru care este nevoie de un studiu întreg.

Principalii pași ai soluției sunt rezumați în materialul de referință. Diagrama de studiu a funcțiilor, acesta este ghidul dumneavoastră către secțiune. Dummies au nevoie de o explicație pas cu pas a subiectului, unii cititori nu știu de unde să înceapă și cum să organizeze studiul, iar studenții avansați pot fi interesați doar de câteva puncte. Dar oricine ai fi, dragă vizitator, rezumatul propus cu indicatoare către diverse lecții în cel mai scurt timp te va orienta și te va îndrepta în direcția de interes. Roboții vărsă lacrimi =) Manualul a fost așezat sub forma unui fișier pdf și și-a luat locul binemeritat pe pagină Formule și tabele matematice.

Obișnuiam să împart studiul unei funcții în 5-6 puncte:

6) Puncte suplimentare și un grafic bazat pe rezultatele cercetării.

În detrimentul acțiunii finale, cred că toată lumea înțelege totul - va fi foarte ofensator dacă în câteva secunde este tăiată și sarcina este returnată pentru revizuire. DESENAREA CORECTĂ ȘI EXACTĂ este principalul rezultat al deciziei! Cel mai probabil va „acoperi” neglijerile analitice, în timp ce un program incorect și/sau neglijent va cauza probleme chiar și cu o cercetare perfect realizată.

Trebuie remarcat faptul că în alte surse numărul de puncte de cercetare, ordinea implementării lor și stilul de proiectare pot diferi semnificativ de schema pe care am propus-o, dar în majoritatea cazurilor este destul de suficient. Cea mai simplă versiune a problemei constă din doar 2-3 etape și este formulată cam așa: „investigați funcția folosind derivata și construiți un grafic” sau „examinați funcția folosind derivatele 1 și 2, construiți un grafic”.

Desigur, dacă un alt algoritm este analizat în detaliu în manualul dvs. sau profesorul vă cere strict să respectați prelegerile sale, atunci va trebui să faceți câteva ajustări la soluție. La fel de ușor ca și înlocuirea furculiței cu o lingură cu drujbă.

Să verificăm funcția pentru paritate pară / impară:

Acesta este urmat de un șablon de dezabonare:
, deci această funcție nu este pară sau impară.

Deoarece funcția este continuă, nu există asimptote verticale.

Nu există nici asimptote oblice.

Notă : amintiți-vă că cu cât este mai mare ordinea de creștere decât, prin urmare, limita finală este exact „ un plus infinitul”.

Să aflăm cum se comportă funcția la infinit:

Cu alte cuvinte, dacă mergem la dreapta, atunci diagrama merge infinit în sus, dacă la stânga - infinit în jos. Da, există și două limite sub o singură intrare. Dacă aveți dificultăți în descifrarea semnelor, vă rugăm să vizitați lecția despre funcții infinitezimale.

Deci funcția nelimitat de susși nelimitat de jos... Având în vedere că nu avem puncte de întrerupere, devine clar și intervalul de funcții: - de asemenea orice număr real.

AJUTOR TEHNIC UTIL

Fiecare etapă a sarcinii aduce informații noi despre graficul funcției, prin urmare, este convenabil să folosiți un fel de LAYOUT în cursul soluției. Să desenăm un sistem de coordonate carteziene pe o schiță. Ce se știe deja cu siguranță? În primul rând, graficul nu are asimptote, prin urmare, nu este nevoie să desenați linii drepte. În al doilea rând, știm cum se comportă funcția la infinit. Conform analizei, vom face prima aproximare:

Rețineți că din cauza continuitate funcțiile pe și faptul că graficul trebuie să traverseze axa cel puțin o dată. Sau poate sunt mai multe puncte de intersecție?

3) Zerourile funcției și intervalele de constanță.

Mai întâi, să găsim punctul de intersecție al graficului cu axa ordonatelor. E simplu. Este necesar să se calculeze valoarea funcției atunci când:

La una și jumătate deasupra nivelului mării.

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa (zerourile funcției), trebuie să rezolvați ecuația și apoi ne așteaptă o surpriză neplăcută:

La sfârșit, un membru liber pândește, ceea ce complică semnificativ sarcina.

O astfel de ecuație are cel puțin o rădăcină reală și cel mai adesea această rădăcină este irațională. În cel mai rău basm, ne așteaptă trei purceluși. Ecuația este rezolvabilă folosind așa-numita Formule Cardano dar risipa de hârtie este comparabilă cu aproape întregul studiu. În acest sens, este mai înțelept pe cale orală sau pe ciornă să încerci să găsești cel puțin unul întreg rădăcină. Să verificăm dacă numerele nu sunt:
- nu se potriveste;
- există!

Noroc aici. În caz de eșec, puteți și testa, iar dacă aceste numere nu s-au potrivit, atunci șansele unei soluții profitabile a ecuației, mă tem, sunt foarte mici. Atunci este mai bine să omiteți complet punctul de cercetare - poate ceva va deveni mai clar la pasul final, când puncte suplimentare vor trece. Și dacă rădăcina (rădăcinile) sunt în mod clar „rele”, atunci este mai bine să taci cu privire la intervalele de constanță a semnelor și să faci desenul cu mai multă atenție.

Cu toate acestea, avem o rădăcină frumoasă, așa că împărțim polinomul fara rest:

Algoritmul pentru împărțirea unui polinom la un polinom este detaliat în primul exemplu al lecției Limite provocatoare.

Ca rezultat, partea stângă a ecuației originale se descompune într-o lucrare:

Și acum puțin despre un stil de viață sănătos. Cu siguranță înțeleg asta ecuații pătratice trebuie rezolvată în fiecare zi, dar astăzi vom face o excepție: ecuația are două rădăcini valide.

Lăsați deoparte valorile găsite pe linia numerică și metoda intervalului definiți semnele funcției:


Astfel, la intervale graficul este localizat
sub axa absciselor și la intervale - deasupra acestei axe.

Constatările ne permit să ne detaliem aspectul, iar a doua aproximare a graficului arată astfel:

Rețineți că o funcție trebuie să aibă cel puțin un maxim pe un interval și cel puțin un minim pe un interval. Dar de câte ori, unde și când se va „răuci orarul”, încă nu știm. Apropo, o funcție poate avea infinitate extrema.

4) Creșterea, scăderea și extrema funcției.

Să găsim punctele critice:

Această ecuație are două rădăcini reale. Să le lăsăm deoparte pe dreapta numerică și să determinăm semnele derivatei:


Prin urmare, funcția crește cu si scade cu.
La un moment dat, funcția atinge maximul: .
La un moment dat, funcția atinge un minim: .

Faptele stabilite conduc șablonul nostru într-un cadru destul de rigid:

Inutil să spun că calculul diferențial este un lucru puternic. Să înțelegem în sfârșit forma graficului:

5) Convexitatea, concavitatea și punctele de inflexiune.

Să găsim punctele critice ale derivatei a doua:

Să definim semnele:


Graficul funcției este convex și concav. Să calculăm ordonata punctului de inflexiune:.

Aproape totul s-a clarificat.

6) Rămâne să găsiți puncte suplimentare care vă vor ajuta să construiți mai precis un grafic și să efectuați un autotest. În acest caz, sunt puține dintre ele, dar nu vom neglija:

Să executăm desenul:

Punctul de inflexiune este marcat cu verde, punctele suplimentare sunt marcate cu cruci. Graficul funcției cubice este simetric față de punctul său de inflexiune, care este întotdeauna exact la mijloc între maxim și minim.

Pe parcursul sarcinii, am adus în discuție trei desene intermediare ipotetice. În practică, este suficient să desenați un sistem de coordonate, să marcați punctele găsite și după fiecare punct al studiului să vă dați seama mental cum ar putea arăta graficul funcției. Nu va fi dificil pentru studenții cu un nivel bun de pregătire să efectueze o astfel de analiză doar în mintea lor, fără a implica un proiect.

Pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Explorați funcția și trasați graficul.

Totul este mai rapid și mai distractiv aici, un exemplu aproximativ de terminare la sfârșitul lecției.

O mulțime de secrete sunt dezvăluite prin studiul funcțiilor fracționale-raționale:

Exemplul 3

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și construiți graficul acesteia pe baza rezultatelor studiului.

Soluţie: prima etapă a studiului nu se distinge prin nimic remarcabil, cu excepția unei găuri în domeniul definiției:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului, domeniu: .

, deci această funcție nu este pară sau impară.

Evident, funcția nu este periodică.

Graficul funcției reprezintă două ramuri continue situate în semiplanurile stânga și dreapta - aceasta este poate cea mai importantă concluzie a primului punct.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

a) Folosind limite unilaterale, investigăm comportamentul funcției în apropierea unui punct suspect, unde asimptota verticală ar trebui să fie clar:

Într-adevăr, funcțiile rezistă pauză nesfârșită la punct
iar linia dreaptă (axa) este asimptotă verticală grafica .

b) Verificați dacă există asimptote oblice:

Da, dreapta este asimptotă oblică grafica daca.

Nu are sens să analizăm limitele, deoarece este deja clar că funcția este într-o îmbrățișare cu asimptota ei oblică nelimitat de susși nelimitat de jos.

Al doilea punct de cercetare a adus o mulțime de informații importante despre funcție. Să facem o schiță aproximativă:

Concluzia #1 se referă la intervalele de constanță. Pe „minus infinit” graficul funcției este situat în mod unic sub axa absciselor, iar pe „plus infinit” - deasupra acestei axe. În plus, limitele unilaterale ne-au spus că funcția din stânga și dreapta punctului este, de asemenea, mai mare decât zero. Rețineți că în semiplanul stâng, graficul trebuie să traverseze abscisa cel puțin o dată. În semiplanul din dreapta este posibil să nu existe zerouri ale funcției.

Concluzia # 2 este că funcția crește cu și la stânga punctului (mergând „de jos în sus”). În dreapta acestui punct, funcția scade (se duce „de sus în jos”). Ramura dreaptă a diagramei trebuie să aibă cel puțin un minim. În stânga, extremele nu sunt garantate.

Concluzia 3 oferă informații fiabile despre concavitatea graficului în vecinătatea punctului. Până acum, nu putem spune nimic despre convexitatea / concavitatea la infinit, deoarece linia poate fi apăsată la asimptota ei atât deasupra cât și dedesubt. În general, există o modalitate analitică de a afla chiar acum, dar forma graficului va deveni „gratuit” mai clară într-o etapă ulterioară.

De ce atâtea cuvinte? Pentru a controla punctele de cercetare ulterioare și a evita greșelile! Calculele ulterioare nu ar trebui să contrazică concluziile trase.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de semn constant ale funcției.

Graficul funcției nu traversează axa.

Folosind metoda intervalelor, definim semnele:

, dacă ;
, dacă .

Rezultatele paragrafului sunt pe deplin în concordanță cu Concluzia nr. 1. După fiecare pas, priviți schița, referiți-vă mental la cercetare și terminați de desenat graficul funcției.

În exemplul luat în considerare, numărătorul este împărțit termen cu termen cu numitor, ceea ce este foarte benefic pentru diferențiere:

De fapt, acest lucru a fost deja făcut la găsirea asimptotelor.

- punct critic.

Să definim semnele:

creste cu si scade cu

La un moment dat, funcția atinge un minim: .

Nici cu Concluzia #2 nu au existat discrepanțe și, cel mai probabil, suntem pe drumul cel bun.

Aceasta înseamnă că graficul funcției este concav pe întregul domeniu de definiție.

Excelent - și nu trebuie să desenați nimic.

Nu există puncte de inflexiune.

Concavitatea este în concordanță cu concluzia nr. 3, în plus, indică faptul că la infinit (atât acolo, cât și acolo) graficul funcției este situat de mai sus asimptota sa oblică.

6) Fixați în mod conștient sarcina cu puncte suplimentare. Aici trebuie să muncești din greu, deoarece știm doar două puncte din studiu.

Și imaginea, pe care, probabil, mulți au prezentat-o ​​cu mult timp în urmă:

Pe parcursul sarcinii, trebuie să monitorizați cu atenție, astfel încât să nu existe contradicții între etapele studiului, dar uneori situația este urgentă sau chiar în fundătură disperată. Aici analistul „nu se potrivește” - și atât. În acest caz, recomand o metodă de urgență: găsim cât mai multe puncte aparținând graficului (câtă răbdare este suficientă), și le marchem pe planul de coordonate. În cele mai multe cazuri, o analiză grafică a valorilor găsite vă va spune unde este adevărul și unde este fals. În plus, graficul poate fi pre-construit folosind un program, de exemplu, în același Excel (desigur, acest lucru necesită abilități).

Exemplul 4

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și construiți graficul acesteia.

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. În ea, autocontrolul este îmbunătățit de paritatea funcției - graficul este simetric față de axă, iar dacă în cercetarea dvs. ceva contrazice acest fapt, căutați o eroare.

O funcție pară sau impară poate fi investigată numai la, și apoi utilizați simetria graficului. Această soluție este optimă, dar pare, după părerea mea, foarte neobișnuită. Personal, iau în considerare întreaga axă a numerelor, dar mai găsesc puncte suplimentare doar în dreapta:

Exemplul 5

Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

Soluţie: s-a repezit greu:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică:.

Aceasta înseamnă că această funcție este impară, graficul ei este simetric față de origine.

Evident, funcția nu este periodică.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

Deoarece funcția este continuă, nu există asimptote verticale

Pentru o funcție care conține un exponent, de obicei separa studiul „plus” și „minus infinit”, dar viața noastră este ușoară de simetria graficului - fie există o asimptotă în stânga și în dreapta, fie nu este. Prin urmare, ambele limite infinite pot fi formalizate sub o singură intrare. În cursul soluției, folosim Regula lui L'Hôpital:

Linia dreaptă (axa) este asimptota orizontală a graficului la.

Observați cât de inteligent am evitat algoritmul complet pentru găsirea asimptotei oblice: limita este destul de legală și clarifică comportamentul funcției la infinit, iar asimptota orizontală a fost găsită „ca și în același timp”.

Din continuitatea şi existenţa unei asimptote orizontale rezultă că funcţia mărginit de susși mărginit de jos.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de constanță.

Aici scurtăm și soluția:
Graficul trece prin origine.

Nu există alte puncte de intersecție cu axele de coordonate. Mai mult, intervalele de constanță a semnului sunt evidente, iar axa poate fi omisă:, ceea ce înseamnă că semnul funcției depinde doar de „x”:
, dacă ;
, dacă .

4) Cresterea, scaderea, extrema functiei.


- puncte critice.

Punctele sunt simetrice față de zero, așa cum ar trebui să fie.

Să definim semnele derivatei:


Funcția crește la intervale și scade la intervale

La un moment dat, funcția atinge maximul: .

In virtutea proprietatii (ciudățenia funcției) minimul poate fi omis:

Deoarece funcția scade în interval, atunci, evident, la „minus infinit” graficul este situat sub asimptota acestuia. Pe interval, funcția scade și ea, dar aici este opusul adevărat - după ce trece prin punctul maxim, linia se apropie de ax deja de sus.

De asemenea, din cele de mai sus rezultă că graficul funcției este convex la „minus infinit” și concav la „plus infinit”.

După acest punct de cercetare, a fost trasat și intervalul de valori ale funcției:

Dacă aveți o înțelegere greșită a vreunui punct, vă îndemn încă o dată să desenați axele de coordonate într-un caiet și, cu un creion în mână, să reanalizați fiecare concluzie a temei.

5) Convexitatea, concavitatea, curbarea graficului.

- puncte critice.

Se păstrează simetria punctelor și, cel mai probabil, nu ne înșelim.

Să definim semnele:


Graficul funcției este convex și concav pe .

Bulgerea/concavitatea la intervalele extreme a fost confirmată.

În toate punctele critice, există inflexiuni în grafic. Găsiți ordonatele punctelor de inflexiune, reducând în același timp din nou numărul de calcule folosind neobișnuirea funcției:

Faceți o cercetare completă și trasați funcția

y (x) = x2 + 81 − x.y (x) = x2 + 81 − x.

1) Zona de definire a funcției. Deoarece funcția este o fracție, trebuie să găsiți zerourile numitorului.

1 − x = 0, ⇒x = 1,1 − x = 0, ⇒x = 1.

Excludem singurul punct x = 1x = 1 din domeniul funcției și obținem:

D (y) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞). D (y) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Să investigăm comportamentul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate. Să găsim limite unilaterale:

Deoarece limitele sunt egale cu infinitul, punctul x = 1x = 1 este o discontinuitate de al doilea fel, linia dreaptă x = 1x = 1 este asimptota verticală.

3) Să definim punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Aflați punctele de intersecție cu axa ordonatelor OyOy, pentru care echivalăm x = 0x = 0:

Astfel, punctul de intersecție cu axa OyOy are coordonatele (0; 8) (0; 8).

Aflați punctele de intersecție cu axa absciselor OxOx, pentru care punem y = 0y = 0:

Ecuația nu are rădăcini, deci nu există puncte de intersecție cu axa OxOx.

Rețineți că x2 + 8> 0x2 + 8> 0 pentru orice xx. Prin urmare, pentru x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) funcția y> 0y> 0 (ia valori pozitive, graficul este deasupra abscisei), pentru x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) funcția y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funcția nu este nici pară, nici impară deoarece:

5) Să examinăm funcția pentru periodicitate. Funcția nu este periodică, deoarece este o funcție rațională fracțională.

6) Să examinăm funcția pentru extreme și monotonitate. Pentru a face acest lucru, găsim derivata întâi a funcției:

Să echivalăm prima derivată cu zero și să găsim puncte staționare (la care y ′ = 0y ′ = 0):

Avem trei puncte critice: x = −2, x = 1, x = 4x = −2, x = 1, x = 4. Împărțim întregul domeniu al funcției în intervale cu puncte date și determinăm semnele derivatei în fiecare interval:

Pentru x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) derivata y ′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pentru x∈ (−2; 1), (1; 4) x∈ (−2; 1), (1; 4) derivata y> 0y> 0, funcția crește pe aceste intervale.

În acest caz, x = −2x = −2 este un punct minim local (funcția scade și apoi crește), x = 4x = 4 este un punct maxim local (funcția crește și apoi scade).

Să găsim valorile funcției în aceste puncte:

Astfel, punctul minim este (−2; 4) (- 2; 4), punctul maxim este (4; −8) (4; −8).

7) Să examinăm funcția pentru inflexiuni și convexitate. Să găsim derivata a doua a funcției:

Să echivalăm derivata a doua cu zero:

Ecuația rezultată nu are rădăcini, deci nu există puncte de inflexiune. Mai mult, când x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) y ′ ′> 0y ″> 0 este valabil, adică funcția este concavă când x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) y ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Să investigăm comportamentul funcției la infinit, adică la.

Deoarece limitele sunt infinite, nu există asimptote orizontale.

Să încercăm să determinăm asimptotele oblice de forma y = kx + by = kx + b. Calculăm valorile lui k, bk, b conform formulelor binecunoscute:

Am obținut că funcția are o asimptotă oblică y = −x − 1y = −x − 1.

9) Puncte suplimentare. Să calculăm valoarea funcției în alte puncte pentru a construi un grafic mai precis.

y (−5) = 5,5; y (2) = - 12; y (7) = - 9,5.y (−5) = 5,5; y (2) = - 12; y (7) = - 9,5.

10) Pe baza datelor obtinute, construim un grafic, il completam cu asimptotele x = 1x = 1 (albastru), y = −x − 1y = −x − 1 (verde) si marcam punctele caracteristice (intersectia violet cu ordonata). axă, extrema portocalie, puncte suplimentare negre) :

Sarcina 4: Probleme geometrice, economice (habar nu am care dintre ele, iată o selecție aproximativă de probleme cu o soluție și formule)

Exemplul 3.23. A

Soluţie. Xși y y
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. Deoarece x = a / 4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa / 4 S "> 0, iar pentru x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24.

Soluţie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. Deoarece f „(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 = 2 și x 2 = 3. Extrema poate fi doar în aceste puncte Asa ca la trecerea prin punctul x 1 = 2 derivata isi schimba semnul plus in minus, atunci in acest punct functia are un maxim.La trecerea prin punctul x 2 = 3 derivata isi schimba semnul din minus in plus, deci în punctul x 2 = 3 funcția are un minim.Calculul valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f (2) = 14 și minim f (3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât pe trei laturi să fie împrejmuită cu o plasă de sârmă, iar pe a patra latură să fie adiacentă peretelui. Pentru asta există A metri alergători de plasă. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Soluţie. Notăm părțile laterale ale site-ului prin Xși y... Aria sitului este S = xy. Lăsa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, trebuie îndeplinită egalitatea 2x + y = a. Prin urmare, y = a - 2x și S = x (a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a / 2 (lungimea și lățimea site-ului nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a / 4, de unde
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. Deoarece x = a / 4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa / 4 S "> 0, iar pentru x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Este necesară fabricarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V = 16p ≈ 50 m 3. Care sunt dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l realiza?

Soluţie. Suprafața totală a cilindrului este S = 2pR (R + H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. Prin urmare, S (R) = 2p (R2 + 16/R). Găsiți derivata acestei funcții:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 când R 3 = 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informații similare.

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptote orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (impărare) și periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune;

7) găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorați funcția și trasați graficul.

1. Domeniul de aplicare:;

2. Funcția este întreruptă în puncte
,
;

Să examinăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Să investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
... Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa ordonatelor.

5. Să găsim intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
... Avem trei puncte
;

... Aceste puncte împart întreaga axă valabilă în patru spații. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

Pe intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, pe intervalele (0; 1) și (1; + ∞) ─ scade. La trecerea unui punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment funcția are un maxim
.

6. Aflați intervalele de convexitate, punctele de inflexiune.

Găsiți punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini valide.
,
,

Puncte
și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba la intervale
și
convex în jos, pe intervalul (-1; 1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
și
nespecificat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

Cu axa
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se suprapune, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a unei funcții.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
,. (Vii)

Elasticitatea unei funcții arată un procent aproximativ din modificarea funcției
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea funcției se aplică în analiza cererii și consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea funcției:

Fie x = 3, atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila explicativă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la un preț x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii prin formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
... Asta înseamnă că la un preț
unități monetare o creștere a prețului cu 1% va determina o scădere cu 6% a cererii, adică cererea este elastică.