Cum să găsiți panta unei drepte dintr-un grafic. Derivata unei functii. Sensul geometric al derivatului

Panta este dreaptă. În acest articol ne vom uita la problemele legate de planul de coordonate incluse în examenul de stat unificat la matematică. Acestea sunt sarcini pentru:

— determinarea coeficientului unghiular al unei drepte atunci când se cunosc două puncte prin care aceasta trece;
— determinarea abscisei sau ordonatei punctului de intersecție a două drepte pe un plan.

Care este abscisa și ordonata unui punct a fost descris în această secțiune. În el am luat deja în considerare câteva probleme legate de planul de coordonate. Ce trebuie să înțelegeți pentru tipul de problemă luată în considerare? Puțină teorie.

Ecuația unei drepte pe planul de coordonate are forma:

Unde k – Asta e pantă Drept.

Momentul următor! Panta unei drepte este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei. Acesta este unghiul dintre o linie dată și axăOh.

Variază de la 0 la 180 de grade.

Adică dacă reducem ecuația unei linii drepte la formă y = kx + b, atunci putem determina întotdeauna coeficientul k (coeficientul de pantă).

De asemenea, dacă pe baza condiției putem determina tangenta unghiului de înclinare a dreptei, atunci vom găsi astfel coeficientul unghiular al acesteia.

Următorul punct teoretic!Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.Formula arată astfel:

Să luăm în considerare sarcinile (asemănătoare cu sarcinile din banca de activități deschisă):

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (–6;0) și (0;6).

În această problemă, cel mai rațional mod de rezolvare este să găsiți tangentei unghiului dintre axa x și linia dreaptă dată. Se știe că este egală cu panta. Să considerăm un triunghi dreptunghic format dintr-o dreaptă și axele x și oy:

Tangenta unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:

*Ambele picioare sunt egale cu șase (acestea sunt lungimile lor).

Desigur, această problemă poate fi rezolvată folosind formula pentru găsirea ecuației unei drepte care trece prin două puncte date. Dar aceasta va fi o soluție mai lungă.

Raspunsul 1

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (5;0) și (0;5).

Punctele noastre au coordonatele (5;0) și (0;5). Mijloace,

Să aducem formula la formă y = kx + b

Am constatat că panta k = – 1.

Raspunsul 1

Drept A trece prin puncte cu coordonatele (0;6) și (8;0). Drept b trece prin punctul cu coordonatele (0;10) și este paralel cu dreapta A b cu ax Oh.

În această problemă puteți găsi ecuația dreptei A, determinați panta pentru aceasta. La linie dreaptă b panta va fi aceeași deoarece sunt paralele. În continuare puteți găsi ecuația dreptei b. Și apoi, înlocuind valoarea y = 0, găsiți abscisa. DAR!

ÎN în acest caz,, este mai ușor de utilizat proprietatea de asemănare a triunghiurilor.

Triunghiurile dreptunghiulare formate din aceste linii (paralele) și axe de coordonate sunt similare, ceea ce înseamnă că rapoartele laturilor lor corespunzătoare sunt egale.

Abscisa necesară este de 40/3.

Raspuns: 40/3

Drept A trece prin puncte cu coordonatele (0;8) și (–12;0). Drept b trece prin punctul cu coordonatele (0; –12) și este paralel cu dreapta A. Aflați abscisa punctului de intersecție al dreptei b cu ax Oh.

Pentru această problemă, cel mai rațional mod de a o rezolva este utilizarea proprietății de asemănare a triunghiurilor. Dar o vom rezolva într-un mod diferit.

Știm punctele prin care trece linia A. Putem scrie o ecuație pentru o dreaptă. Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date are forma:

După condiție, punctele au coordonatele (0;8) și (–12;0). Mijloace,

Să-l aducem în minte y = kx + b:

Am acel colț k = 2/3.

*Coeficientul unghiului poate fi găsit prin tangenta unghiului într-un triunghi dreptunghic cu catetele 8 și 12.

Se știe că liniile paralele au coeficienți de unghi egali. Aceasta înseamnă că ecuația dreptei care trece prin punctul (0;-12) are forma:

Găsiți valoarea b putem înlocui abscisa și ordonata în ecuația:

Astfel, linia dreaptă arată astfel:

Acum, pentru a găsi abscisa dorită a punctului de intersecție al dreptei cu axa x, trebuie să înlocuiți y = 0:

Raspuns: 18

Aflați ordonata punctului de intersecție a axei Ohși o dreaptă care trece prin punctul B(10;12) și paralelă cu o dreaptă care trece prin origine și punctul A(10;24).

Să găsim ecuația unei drepte care trece prin puncte cu coordonatele (0;0) și (10;24).

Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date are forma:

Punctele noastre au coordonatele (0;0) și (10;24). Mijloace,

Să-l aducem în minte y = kx + b

Coeficienții unghiului dreptelor paralele sunt egali. Aceasta înseamnă că ecuația dreptei care trece prin punctul B(10;12) are forma:

Sens b Să aflăm înlocuind coordonatele punctului B(10;12) în această ecuație:

Obținem ecuația dreptei:

Pentru a afla ordonata punctului de intersecție a acestei drepte cu axa OU trebuie înlocuite în ecuația găsită X= 0:

* Cea mai simplă soluție. Folosind translația paralelă, deplasăm această linie în jos de-a lungul axei OU la punctul (10;12). Deplasarea are loc cu 12 unități, adică punctul A(10;24) „mutat” în punctul B(10;12) și punctul O(0;0) „mutat” în punctul (0;–12). Aceasta înseamnă că linia dreaptă rezultată va intersecta axa OUîn punctul (0;–12).

Ordonata necesară este –12.

Răspuns: –12

Aflați ordonata punctului de intersecție al dreptei date de ecuație

3x + 2у = 6, cu axa Oi.

Coordonata punctului de intersecție a unei linii date cu o axă OU are forma (0; la). Să înlocuim abscisa în ecuație X= 0 și găsiți ordonata:

Ordonata punctului de intersecție a dreptei și a axei OU este egal cu 3.

*Sistemul este rezolvat:

Raspuns: 3

Aflați ordonata punctului de intersecție al dreptelor date de ecuații

3x + 2y = 6Și y = – x.

Când sunt date două drepte, iar întrebarea este despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte, se rezolvă un sistem de ecuații:

În prima ecuație înlocuim - Xîn loc de la:

Ordonata este egală cu minus șase.

Răspuns: – 6

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (–2;0) și (0;2).

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (2;0) și (0;2).

Linia a trece prin puncte cu coordonatele (0;4) și (6;0). Linia b trece prin punctul cu coordonatele (0;8) și este paralelă cu dreapta a. Aflați abscisa punctului de intersecție al dreptei b cu axa Ox.

Aflați ordonata punctului de intersecție a axei oy și dreapta care trece prin punctul B (6;4) și paralelă cu dreapta care trece prin origine și punctul A (6;8).

1. Este necesar să înțelegem clar că coeficientul unghiular al unei drepte este egal cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei. Acest lucru vă va ajuta să rezolvați multe probleme de acest tip.

2. Trebuie înțeleasă formula pentru găsirea unei drepte care trece prin două puncte date. Cu ajutorul lui, veți găsi întotdeauna ecuația unei drepte dacă sunt date coordonatele celor două puncte ale sale.

3. Amintiți-vă că pantele dreptelor paralele sunt egale.

4. După cum înțelegeți, în unele probleme este convenabil să utilizați caracteristica de similitudine a triunghiului. Problemele se rezolvă practic oral.

5. Problemele în care sunt date două drepte și se cere găsirea abscisei sau ordonatei punctului de intersecție a acestora pot fi rezolvate grafic. Adică, construiți-le pe un plan de coordonate (pe o foaie de hârtie într-un pătrat) și determinați vizual punctul de intersecție. *Dar această metodă nu este întotdeauna aplicabilă.

6. Și în sfârșit. Dacă sunt date o dreaptă și coordonatele punctelor sale de intersecție cu axele de coordonate, atunci în astfel de probleme este convenabil să se găsească coeficientul unghiular prin găsirea tangentei unghiului în triunghiul dreptunghic format. Cum să „vezi” acest triunghi cu diferite poziții ale liniilor drepte pe plan este prezentat schematic mai jos:

>> Unghi drept de la 0 la 90 de grade<<

>> Unghi drept de la 90 la 180 de grade<<

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

În capitolul anterior s-a arătat că, prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem exprima proprietățile geometrice care caracterizează punctele dreptei luate în considerare analitic printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel obținem ecuația dreptei. Acest capitol va analiza ecuațiile în linie dreaptă.

Pentru a crea o ecuație pentru o linie dreaptă în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.

În primul rând, vom introduce conceptul de coeficient unghiular al unei linii, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei linii pe un plan.

Să numim unghiul de înclinare al liniei drepte față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie să fie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să fie paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox printr-un unghi de 180° o va alinia din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă nu poate fi ales fără ambiguitate (în cadrul unui termen, un multiplu de ).

Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului nu schimbă tangenta acestuia).

Tangenta unghiului de înclinare al dreptei la axa Ox se numește coeficientul unghiular al dreptei.

Coeficientul unghiular caracterizează direcția dreptei (nu distingem aici între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă panta unei linii este zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu un coeficient unghiular pozitiv, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi acut (se consideră aici cea mai mică valoare pozitivă a unghiului de înclinare) (Fig. 39); Mai mult, cu cât coeficientul unghiular este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acestuia față de axa Ox. Dacă coeficientul unghiular este negativ, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa Ox nu are un coeficient unghiular (tangenta unghiului nu există).

Linia dreaptă y=f(x) va fi tangentă la graficul prezentat în figură în punctul x0 dacă trece prin punctul cu coordonatele (x0; f(x0)) și are un coeficient unghiular f"(x0). un astfel de coeficient, Cunoscând caracteristicile unei tangente, nu este dificil.

Vei avea nevoie

• - carte de referinta matematica;
• - un creion simplu;
• - caiet;
• - raportor;
• - busolă;
• - pix.

Instrucțiuni

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.

Desenați tangente suplimentare care ar fi în contact cu graficul funcției în punctele x1, x2 și x3 și, de asemenea, marcați unghiurile formate de aceste tangente cu axa x (acest unghi se numără în direcția pozitivă de la axă la linie tangentă). De exemplu, unghiul, adică α1, va fi ascuțit, al doilea (α2) va fi obtuz, iar al treilea (α3) va fi zero, deoarece linia tangentă este paralelă cu axa OX. În acest caz, tangenta unui unghi obtuz este negativă, tangenta unui unghi ascuțit este pozitivă, iar la tg0 rezultatul este zero.

Notă

Determinați corect unghiul format de tangentă. Pentru a face acest lucru, utilizați un raportor.

Sfaturi utile

Două drepte înclinate vor fi paralele dacă coeficienții lor unghiulari sunt egali unul cu celălalt; perpendiculară dacă produsul coeficienților unghiulari ai acestor tangente este egal cu -1.

Surse:

• Tangenta la graficul unei functii

Cosinusul, ca și sinusul, este clasificat ca o funcție trigonometrică „directă”. Tangenta (împreună cu cotangenta) este clasificată ca o altă pereche numită „derivate”. Există mai multe definiții ale acestor funcții care fac posibilă găsirea tangentei dată de o valoare cunoscută a cosinusului de aceeași valoare.

Instrucțiuni

Scădeți câtul unității cu valoarea ridicată la cosinusul unghiului dat și extrageți rădăcina pătrată din rezultat - aceasta va fi valoarea tangentei unghiului, exprimată prin cosinusul său: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Vă rugăm să rețineți că în formulă cosinusul este la numitorul fracției. Imposibilitatea împărțirii la zero exclude utilizarea acestei expresii pentru unghiuri egale cu 90°, precum și pentru cele care diferă de această valoare prin numere care sunt multipli de 180° (270°, 450°, -90° etc.).

Există o modalitate alternativă de a calcula tangenta dintr-o valoare cunoscută a cosinusului. Poate fi folosit dacă nu există nicio restricție privind utilizarea altora. Pentru a implementa această metodă, determinați mai întâi valoarea unghiului dintr-o valoare cunoscută a cosinusului - acest lucru se poate face folosind funcția arc cosinus. Apoi calculați pur și simplu tangenta pentru unghiul valorii rezultate. În general, acest algoritm poate fi scris astfel: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Există, de asemenea, o opțiune exotică folosind definiția cosinusului și tangentei prin unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic. În această definiție, cosinusul corespunde raportului dintre lungimea catetei adiacent unghiului luat în considerare și lungimea ipotenuzei. Cunoscând valoarea cosinusului, puteți selecta lungimile corespunzătoare ale acestor două laturi. De exemplu, dacă cos(α) = 0,5, atunci adiacentul poate fi luat egal cu 10 cm, iar ipotenuza - 20 cm. Numerele specifice nu contează aici - veți obține numere identice și corecte cu orice valori care au aceleași. Apoi, folosind teorema lui Pitagora, determinați lungimea laturii lipsă - piciorul opus. Va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre lungimile ipotenuzei pătrate și catetul cunoscut: √(20²-10²)=√300. Prin definiție, tangenta corespunde raportului dintre lungimile catetelor opuse și adiacente (√300/10) - calculați-o și obțineți valoarea tangentei găsită folosind definiția clasică a cosinusului.

Surse:

• formula cosinus prin tangentă

Una dintre funcțiile trigonometrice, cel mai adesea notată cu literele tg, deși se folosește și tan. Cel mai simplu mod de a reprezenta tangenta este ca raport sinus unghi la cosinusul său. Aceasta este o funcție periodică impară și necontinuă, fiecare ciclu fiind egal cu numărul Pi, iar punctul de întrerupere corespunde cu jumătate din acest număr.

Continuarea temei, ecuația unei drepte pe un plan se bazează pe studiul unei drepte din lecțiile de algebră. Acest articol oferă informații generale despre ecuația unei linii drepte cu o pantă. Să luăm în considerare definițiile, să obținem ecuația în sine și să identificăm legătura cu alte tipuri de ecuații. Totul va fi discutat folosind exemple de rezolvare a problemelor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a scrie o astfel de ecuație, este necesar să se definească unghiul de înclinare a dreptei față de axa O x cu coeficientul lor unghiular. Să presupunem că este dat un sistem de coordonate carteziene O x pe plan.

Definiția 1

Unghiul de înclinare al dreptei față de axa O x, situat în sistemul de coordonate carteziene O x y pe plan, acesta este unghiul care se măsoară de la direcția pozitivă O x la dreapta în sens invers acelor de ceasornic.

Când linia este paralelă cu O x sau coincide în ea, unghiul de înclinare este 0. Apoi unghiul de înclinare al dreptei date α este definit pe intervalul [ 0 , π) .

Definiția 2

Pantă directă este tangenta unghiului de înclinare a unei drepte date.

Denumirea standard este k. Din definiție constatăm că k = t g α . Când linia este paralelă cu Ox, ei spun că panta nu există, deoarece merge la infinit.

Panta este pozitivă atunci când graficul funcției crește și invers. Figura prezintă diferite variații ale locației unghiului drept față de sistemul de coordonate cu valoarea coeficientului.

Pentru a găsi acest unghi, este necesar să se aplice definiția coeficientului unghiular și să se calculeze tangentei unghiului de înclinare în plan.

Soluţie

Din condiția avem că α = 120°. Prin definiție, panta trebuie calculată. Să o găsim din formula k = t g α = 120 = - 3.

Răspuns: k = - 3 .

Dacă se cunoaște coeficientul unghiular și este necesar să se găsească unghiul de înclinare față de axa absciselor, atunci trebuie luată în considerare valoarea coeficientului unghiular. Dacă k > 0, atunci unghiul drept este ascuțit și se găsește prin formula α = a r c t g k. Dacă k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Exemplul 2

Determinați unghiul de înclinare al dreptei date față de O x cu un coeficient unghiular de 3.

Soluţie

Din condiția avem că coeficientul unghiular este pozitiv, ceea ce înseamnă că unghiul de înclinare față de O x este mai mic de 90 de grade. Calculele se fac folosind formula α = a r c t g k = a r c t g 3.

Răspuns: α = a r c t g 3 .

Exemplul 3

Aflați unghiul de înclinare al dreptei față de axa O x dacă panta = - 1 3.

Soluţie

Dacă luăm litera k drept desemnare a coeficientului unghiular, atunci α este unghiul de înclinare față de o dreaptă dată în direcția pozitivă O x. Prin urmare k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Răspuns: 5 π 6 .

O ecuație de forma y = k x + b, unde k este panta și b este ceva numar real, se numește ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi. Ecuația este tipică pentru orice linie dreaptă care nu este paralelă cu axa O y.

Dacă luăm în considerare în detaliu o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate fix, care este specificată printr-o ecuație cu un coeficient unghiular care are forma y = k x + b. În acest caz, înseamnă că ecuația corespunde coordonatelor oricărui punct de pe linie. Dacă înlocuim coordonatele punctului M, M 1 (x 1, y 1) în ecuația y = k x + b, atunci în acest caz linia va trece prin acest punct, altfel punctul nu aparține dreptei.

Exemplul 4

Este dată o dreaptă cu panta y = 1 3 x - 1. Calculați dacă punctele M 1 (3, 0) și M 2 (2, - 2) aparțin dreptei date.

Soluţie

Este necesar să înlocuim coordonatele punctului M 1 (3, 0) în ecuația dată, atunci obținem 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Egalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că punctul aparține dreptei.

Dacă înlocuim coordonatele punctului M 2 (2, - 2), atunci obținem o egalitate incorectă de forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Putem concluziona că punctul M 2 nu aparține dreptei.

Răspuns: M 1 aparține dreptei, dar M 2 nu.

Se știe că linia este definită prin ecuația y = k · x + b, care trece prin M 1 (0, b), la înlocuire am obținut o egalitate de forma b = k · 0 + b ⇔ b = b. Din aceasta putem concluziona că ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular y = k x + b pe plan definește o dreaptă care trece prin punctul 0, b. Formează un unghi α cu direcția pozitivă a axei O x, unde k = t g α.

Să considerăm, ca exemplu, o dreaptă definită folosind un coeficient unghiular specificat sub forma y = 3 x - 1. Obtinem ca dreapta va trece prin punctul cu coordonata 0, - 1 cu panta de α = a r c t g 3 = π 3 radiani in directia pozitiva a axei O x. Aceasta arată că coeficientul este 3.

Ecuația unei drepte cu o pantă care trece printr-un punct dat

Este necesar să se rezolve o problemă în care este necesar să se obțină ecuația unei drepte cu o pantă dată care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1).

Egalitatea y 1 = k · x + b poate fi considerată validă, întrucât dreapta trece prin punctul M 1 (x 1, y 1). Pentru a elimina numărul b, este necesar din stânga și părțile potrivite scădeți ecuația pantei. De aici rezultă că y - y 1 = k · (x - x 1) . Această egalitate se numește ecuația unei drepte cu o pantă dată k, care trece prin coordonatele punctului M 1 (x 1, y 1).

Exemplul 5

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 1 cu coordonatele (4, - 1), cu un coeficient unghiular egal cu - 2.

Soluţie

Prin condiție avem că x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. De aici ecuația dreptei se va scrie astfel: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Răspuns: y = - 2 x + 7 .

Exemplul 6

Scrieți ecuația unei drepte cu coeficient unghiular care trece prin punctul M 1 cu coordonatele (3, 5), paralelă cu dreapta y = 2 x - 2.

Soluţie

Conform condiției, avem că liniile paralele au unghiuri de înclinare coincidente, ceea ce înseamnă că coeficienții unghiulari sunt egali. Pentru a găsi panta din această ecuație, trebuie să vă amintiți formula de bază y = 2 x - 2, rezultă că k = 2. Creăm o ecuație cu coeficientul de pantă și obținem:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Răspuns: y = 2 x - 1 .

Trecerea de la o ecuație de linie dreaptă cu o pantă la alte tipuri de ecuații de linie dreaptă și înapoi

Această ecuație nu este întotdeauna aplicabilă pentru rezolvarea problemelor, deoarece nu este scrisă foarte convenabil. Pentru a face acest lucru, trebuie să îl prezentați într-o formă diferită. De exemplu, o ecuație de forma y = k · x + b nu ne permite să notăm coordonatele vectorului de direcție al unei drepte sau coordonatele unui vector normal. Pentru a face acest lucru, trebuie să învățați să reprezentați cu ecuații de alt tip.

Putem obține ecuația canonică a unei drepte pe un plan folosind ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi. Se obține x - x 1 a x = y - y 1 a y . Este necesar să mutați termenul b la partea stangași împărțiți la expresia inegalității rezultate. Atunci obținem o ecuație de forma y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Ecuația unei drepte cu o pantă a devenit ecuația canonică a acestei drepte.

Exemplul 7

Aduceți ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular y = - 3 x + 12 la forma canonică.

Soluţie

Să o calculăm și să o prezentăm sub forma unei ecuații canonice a unei drepte. Obtinem o ecuatie de forma:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Răspuns: x 1 = y - 12 - 3.

Ecuația generală a unei drepte este cel mai ușor de obținut din y = k · x + b, dar pentru aceasta este necesar să se facă transformări: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Se face o tranziție de la ecuația generală a dreptei la ecuații de alt tip.

Exemplul 8

Dată o ecuație dreaptă de forma y = 1 7 x - 2 . Aflați dacă vectorul cu coordonatele a → = (- 1, 7) este un vector drept normal?

Soluţie

Pentru a rezolva este necesar să trecem la o altă formă a acestei ecuații, pentru aceasta scriem:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Coeficienții din fața variabilelor sunt coordonatele vectorului normal al dreptei. Să scriem astfel: n → = 1 7, - 1, deci 1 7 x - y - 2 = 0. Este clar că vectorul a → = (- 1, 7) este coliniar cu vectorul n → = 1 7, - 1, deoarece avem relația justă a → = - 7 · n →. Rezultă că vectorul original a → = - 1, 7 este un vector normal al dreptei 1 7 x - y - 2 = 0, ceea ce înseamnă că este considerat un vector normal pentru linia y = 1 7 x - 2.

Răspuns: Este

Să rezolvăm problema inversă a acesteia.

Trebuie să te muți de la vedere generala ecuațiile A x + B y + C = 0, unde B ≠ 0, la o ecuație cu pantă. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația pentru y. Se obține A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultatul este o ecuație cu o pantă egală cu - A B .

Exemplul 9

Este dată o ecuație în linie dreaptă de forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obține ecuația unei drepte date cu un coeficient unghiular.

Soluţie

Pe baza condiției, este necesar să rezolvăm pentru y, apoi obținem o ecuație de forma:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Răspuns: y = 1 6 x + 1 4 .

În mod similar se rezolvă o ecuație de forma x a + y b = 1, care se numește ecuația unei drepte în segmente, sau canonică de forma x - x 1 a x = y - y 1 a y. Trebuie să o rezolvăm pentru y, numai atunci obținem o ecuație cu panta:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Ecuația canonică poate fi redusă la o formă cu un coeficient unghiular. Pentru aceasta:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Exemplul 10

Există o dreaptă dată de ecuația x 2 + y - 3 = 1. Reduceți la forma unei ecuații cu un coeficient unghiular.

Soluţie.

Pe baza condiției este necesară transformarea, apoi obținem o ecuație de forma _formula_. Ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu - 3 pentru a obține ecuația de pantă necesară. Transformând, obținem:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Răspuns: y = 3 2 x - 3 .

Exemplul 11

Reduceți ecuația de linie dreaptă a formei x - 2 2 = y + 1 5 la o formă cu un coeficient unghiular.

Soluţie

Este necesar să se calculeze expresia x - 2 2 = y + 1 5 ca proporție. Obținem că 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Acum trebuie să-l activați complet, pentru a face acest lucru:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Răspuns: y = 5 2 x - 6 .

Pentru a rezolva astfel de probleme, ecuațiile parametrice ale dreptei de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ar trebui reduse la ecuația canonică a dreptei, numai după aceasta se poate trece la ecuația cu coeficientul de pantă.

Exemplul 12

Aflați panta dreptei dacă este dată de ecuațiile parametrice x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Soluţie

Este necesară trecerea de la vederea parametrică la panta. Pentru a face acest lucru, găsim ecuația canonică din cea parametrică dată:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Acum este necesar să rezolvăm această egalitate față de y pentru a obține ecuația unei drepte cu coeficient unghiular. Pentru a face acest lucru, să scriem astfel:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Rezultă că panta dreptei este 2. Aceasta se scrie ca k = 2.

Răspuns: k = 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Învață să iei derivate ale funcțiilor. Derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct situat pe graficul acestei funcții. În acest caz, graficul poate fi fie o linie dreaptă, fie o linie curbă. Adică, derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit moment în timp. Tine minte reguli generale, prin care sunt luate derivate și abia apoi treceți la pasul următor.

• Citește articolul.
• Este descris cum să luăm cele mai simple derivate, de exemplu, derivata unei ecuații exponențiale. Calculele prezentate în următorii pași se vor baza pe metodele descrise în acestea.

Învățați să distingeți problemele în care coeficientul de pantă trebuie calculat prin derivata unei funcții. Problemele nu vă cer întotdeauna să găsiți panta sau derivata unei funcții. De exemplu, vi se poate cere să găsiți rata de schimbare a unei funcții în punctul A(x,y). De asemenea, vi se poate cere să găsiți panta tangentei în punctul A(x,y). În ambele cazuri este necesar să se ia derivata funcției.

Luați derivata funcției care vi se oferă. Nu este nevoie să construiți un grafic aici - aveți nevoie doar de ecuația funcției. În exemplul nostru, luăm derivata funcției. Luați derivatul conform metodelor prezentate în articolul menționat mai sus:

• Derivat:

Înlocuiți coordonatele punctului dat în derivata găsită pentru a calcula panta. Derivata unei functii este egala cu panta intr-un anumit punct. Cu alte cuvinte, f"(x) este panta funcției în orice punct (x,f(x)). În exemplul nostru:

• Aflați panta funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2).
• Derivata functiei:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Înlocuiți valoarea coordonatei „x” a acestui punct:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Găsiți panta:
• Funcția de pantă f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2) este egal cu 22.

Dacă este posibil, verificați răspunsul pe un grafic. Amintiți-vă că panta nu poate fi calculată în fiecare punct. Calcul diferenţial examinează funcții complexe și grafice complexe în care panta nu poate fi calculată în fiecare punct și, în unele cazuri, punctele nu se află deloc pe grafice. Dacă este posibil, utilizați un calculator grafic pentru a verifica dacă panta funcției care vi se oferă este corectă. În caz contrar, trageți o tangentă la grafic în punctul dat și gândiți-vă dacă valoarea pantei găsite se potrivește cu ceea ce vedeți pe grafic.

• Tangenta va avea aceeași pantă ca și graficul funcției la un anumit punct. Pentru a desena o tangentă într-un punct dat, deplasați-vă la stânga/dreapta pe axa X (în exemplul nostru, 22 de valori la dreapta), apoi una în sus pe axa Y, apoi conectați-l la punct care vi se acordă. În exemplul nostru, conectați punctele cu coordonatele (4,2) și (26,3).