Aria unui sector de cerc prin unghiul central. Aria unui sector de cerc

ȘI cerc - figuri geometrice, interconectate. există o linie întreruptă de graniță (curbă) cerc,

Definiție. Un cerc este o curbă închisă, fiecare punct fiind echidistant de un punct numit centrul cercului.

Pentru a construi un cerc, se selectează un punct arbitrar O, luat ca centru al cercului, și se trasează o linie închisă folosind o busolă.

Dacă punctul O al centrului cercului este legat de puncte arbitrare ale cercului, atunci toate segmentele rezultate vor fi egale între ele, iar astfel de segmente se numesc raze, prescurtate cu litera latină mică sau majusculă „er” ( r sau R). Puteți desena atâtea raze într-un cerc câte puncte există în lungimea cercului.

Un segment care leagă două puncte dintr-un cerc și care trece prin centrul său se numește diametru. Diametru constă din două razele, întins pe aceeași linie dreaptă. Diametrul este indicat prin litera latină mică sau majusculă „de” ( d sau D).

Regulă. Diametru un cerc este egal cu două dintre ele razele.

d = 2r
D=2R

Circumferința unui cerc este calculată prin formula și depinde de raza (diametrul) cercului. Formula conține numărul ¶, care arată de câte ori circumferința este mai mare decât diametrul său. Numărul ¶ are un număr infinit de zecimale. Pentru calcule s-a luat ¶ = 3,14.

Circumferința unui cerc este notă cu litera majusculă latină „tse” ( C). Circumferința unui cerc este proporțională cu diametrul acestuia. Formule pentru calcularea circumferinței unui cerc pe baza razei și diametrului acestuia:

C = ¶d
C = 2¶r

Exemple
Dat: d = 100 cm.
Circumferinta: C=3,14*100cm=314cm
Dat: d = 25 mm.
Circumferinta: C = 2 * 3,14 * 25 = 157mm

Secanta circulară și arc de cerc

Fiecare secantă (linie dreaptă) intersectează un cerc în două puncte și îl împarte în două arce. Mărimea arcului de cerc depinde de distanța dintre centru și secantă și se măsoară de-a lungul unei curbe închise de la primul punct de intersecție al secantei cu cerc până la al doilea.

Arcuri cercurile sunt împărțite secantăîntr-un major și un minor dacă secanta nu coincide cu diametrul și în două arce egale dacă secanta trece de-a lungul diametrului cercului.

Dacă o secanta trece prin centrul unui cerc, atunci segmentul ei situat între punctele de intersecție cu cerc este diametrul cercului sau cea mai mare coardă a cercului.

Cu cât secanta este situată mai departe de centrul cercului, cu atât este mai mică măsura gradului arcului mai mic al cercului și cu atât este mai mare arcul mai mare al cercului, iar segmentul secantei, numit coardă, scade pe măsură ce secanta se îndepărtează de centrul cercului.

Definiție. Un cerc este o parte a unui plan situat în interiorul unui cerc.

Centrul, raza și diametrul unui cerc sunt simultan centrul, raza și diametrul cercului corespunzător.

Deoarece un cerc face parte dintr-un plan, unul dintre parametrii acestuia este aria.

Regulă. Aria unui cerc ( S) este egal cu produsul pătratului razei ( r 2) la numărul ¶.

Exemple
Dat: r = 100 cm
Aria unui cerc:
S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31.400 cm 2 ≈ 3 m 2
Dat: d = 50 mm
Aria unui cerc:
S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Dacă desenați două raze într-un cerc puncte diferite cerc, apoi se formează două părți ale cercului, care se numesc sectoare. Dacă desenați o coardă într-un cerc, atunci se numește partea din plan dintre arc și coardă segment de cerc.

Nu este nevoie să înveți aria unui sector al unui cerc și aria unui segment! Dragi prieteni!Probabil că ați căutat de mai multe ori o carte de referință cu formule matematice și probabil că a apărut gândul: „Este cu adevărat posibil să le înveți pe toate?” Vă spun ce este posibil, dar de ce? De ce să vă umpleți capul cu multe formule, să le repetați constant, să vă îngroziți că ați uitat unele și să le repetați din nou? Nu este nevoie!

De fapt, este suficient să reții o treime din toate formulele, formule de bază sau chiar mai puțin. În continuare vei înțelege despre ce vorbim. Toate celelalte formule pot fi deduse rapid prin cunoașterea elementelor de bază, aplicarea logicii și amintirea principiilor de urmat.

Permiteți-mi să vă dau un exemplu: există 32 de formule de reducere; învățarea lor este un exercițiu inutil. Cum să vă amintiți rapid oricare dintre ele este prezentat în articolul „”, aruncați o privire.

În acest articol, ne vom uita la cum să restaurați rapid în memorie formulele pentru aria unui sector al unui cerc, aria segmentului său și lungimea arcului de cerc. Aceste formule vor fi necesare pentru a rezolva seria în planimetrie, pe care le vom analiza în articolul următor.Deci, formule „de bază”, trebuie să le înveți și să le cunoști!

Aria unui cerc (formula):

Formula circumferinței:

Să descriem un sector corespunzător unui anumit unghi central n:

Raționăm logic: dacă aria unui cerc este S= PR 2 , atunci aria corespunzătoare unui sector de un grad va fi egală cu 1/360 din aria cercului (știm că întregul cerc este un unghi de 360 de grade), adică

În plus, este clar că aria sectorului corespunzătoare unghiului central de n grade este egală cu produsul dintre o trei sute șaizecimi din aria cercului și unghiul central n (corespunzător sectorului) , acesta este

Iată formula pentru zona sectorului.

Sau vă puteți structura raționamentul astfel:

Un sector de 1 grad este 1/360 dintr-un cerc, respectiv, un sector de n grade este n/360 dintr-un cerc. Adică, aria sectorului va fi egală cu produsul dintre aria cercului și această parte:

E simplu. Este necesar să se scadă aria triunghiului din aria sectorului (este desemnat galben). Aria unui triunghi, după cum știm, este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele (trebuie să cunoașteți această formulă, nu estecomplex). ÎN în acest caz, Acest:

Mijloace,

Atât pentru zona segmentului!

Zona segmentului, unde unghiul central mai mult de 180 de grade se găsește simplu:

Din aria cercului, scădeți aria segmentului rezultat:

Unghiul 360 – n grade este unghiul care corespunde sectorului reprezentat (galben):

Adică, cu alte cuvinte, adăugăm aria triunghiului la aria sa și obținem aria segmentului specificat.

În mod similar, determinăm lungimea arcului de cerc. După cum sa spus deja, circumferința este egală cu:

Aceasta înseamnă că lungimea arcului de cerc corespunzătoare unui grad va fi egală cu o trei sute șaizecimi din 2πR, adică

Obținem lungimea arcului de cerc. Desigur, profesorii oferă aceste informații studenților, iar tu nu ai învățat nimic atât de secret. Dar sunt sigur că articolul îți va fi de folos.

Repet că cel mai important lucru este să cunoașteți formulele pentru aria unui cerc și circumferința, și atunci numai logica funcționează.

Vă sugerez să urmăriți o lecție suplimentară a lui Dmiry Tarasov pe acest subiect. Sunt luate în considerare formulele pentru lungimea unui arc de cerc și aria unui sector, unde unghiul central este dat în măsura în radiani.

Asta e tot. Vă doresc succes!!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Cercul este figura principală în geometrie, ale cărei proprietăți sunt studiate la școală în clasa a VIII-a. Una dintre problemele tipice care implică un cerc este găsirea zonei unei părți a acestuia, care se numește sector circular. Articolul oferă formule pentru aria unui sector și lungimea arcului său, precum și un exemplu de utilizare a acestora pentru a rezolva o problemă specifică.

Conceptul de circumferință și cerc

Înainte de a da formula pentru aria unui sector al unui cerc, să luăm în considerare care este cifra indicată. Conform definiției matematice, un cerc este o figură pe un plan, ale cărei puncte sunt echidistante de un anumit punct (centru).

Când luăm în considerare un cerc, se folosește următoarea terminologie:

Raza este un segment trasat de la punctul central la curba cercului. Este de obicei notat cu litera R.
Un diametru este un segment de linie care leagă două puncte dintr-un cerc, dar trece și prin centrul figurii. Este de obicei notat cu litera D.
Un arc este o parte a unui cerc curbat. Se măsoară fie în unități de lungime, fie folosind unghiuri.

Cercul este o altă figură importantă în geometrie; este o colecție de puncte care este delimitată de curba unui cerc.

Aria unui cerc și circumferință

Valorile notate în titlul articolului sunt calculate folosind două formule simple. Acestea sunt date mai jos:

Circumferinta: L = 2*pi*R.
Aria unui cerc: S = pi*R 2 .

În aceste formule, pi este o anumită constantă numită număr Pi. Este irațional, adică nu poate fi exprimat cu precizie ca o simplă fracție. Valoarea aproximativă a lui Pi este 3,1416.

După cum se poate observa din expresiile de mai sus, pentru a calcula aria și lungimea este suficient să cunoaștem doar raza cercului.

Aria unui sector de cerc și lungimea arcului său

Înainte de a lua în considerare formulele corespunzătoare, să ne amintim că unghiurile din geometrie sunt de obicei exprimate în două moduri principale:

în grade sexagesimale, cu o revoluție completă în jurul axei sale fiind de 360 o;
în radiani, care se exprimă în fracții din numărul pi și se raportează la grade prin următoarea egalitate: 2*pi = 360 o.

Un sector de cerc este o figură delimitată de trei linii: un arc de cerc și două raze situate la capetele acestui arc. Un exemplu de sector circular este prezentat în fotografia de mai jos.

După ce ți-ai făcut o idee despre ce este un sector al unui cerc, este ușor de înțeles cum să-i calculezi aria și lungimea arcului corespunzător. Din figura de mai sus se poate observa că arcul sectorului corespunde unghiului θ. Știm că un cerc complet corespunde cu 2*pi radiani, ceea ce înseamnă că formula pentru aria unui sector circular va lua forma: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R2/2. Aici unghiul θ este exprimat în radiani. O formulă similară pentru zona sectorului dacă unghiul θ este măsurat în grade va arăta astfel: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Lungimea arcului care formează sectorul se calculează prin formula: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Și dacă θ este cunoscut în grade, atunci: L 1 = pi*θ*R/180.

Exemplu de rezolvare a problemei

Folosind o problemă simplă ca exemplu, vom arăta cum să folosiți formulele pentru aria unui sector al unui cerc și lungimea arcului său.

Se știe că roata are 12 spițe. Când roata face o rotație completă, acoperă o distanță de 1,5 metri. Care este aria cuprinsă între două spițe adiacente ale roții și care este lungimea arcului dintre ele?

După cum se poate vedea din formulele corespunzătoare, pentru a le utiliza, trebuie să cunoașteți două mărimi: raza cercului și unghiul arcului. Raza poate fi calculată pe baza cunoașterii circumferinței roții, deoarece distanța pe care o parcurge într-o rotație îi corespunde exact. Avem: 2*R*pi = 1,5, de unde: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metri. Unghiul dintre cele mai apropiate spițe poate fi determinat cunoscând numărul acestora. Presupunând că toate cele 12 spițe împart în mod egal cercul în sectoare egale, obținem 12 sectoare identice. În consecință, măsura unghiulară a arcului dintre cele două spițe este egală cu: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radiani.

Am găsit toate cantitățile necesare, acum le putem înlocui în formule și putem calcula valorile cerute de starea problemei. Se obține: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, sau 149 cm 2; L1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m, sau 12,5 cm.

„Semne de egalitate a triunghiurilor” - Tipuri de triunghiuri. Înălțimea unui triunghi Semne de egalitate a triunghiurilor. Trisectoarele unui unghi. Orice triunghi are trei mediane. Prima mențiune despre triunghi și proprietățile sale o găsim în papirusurile egiptene. Proprietățile medianelor, bisectoarelor și altitudinilor triunghiurilor. Triunghiul echilateral și isoscel.

„Foaie de hârtie” - În geometrie, hârtia este folosită pentru: a scrie, a desena; a tăia; îndoi. Toata lumea fapt cunoscut Arderea hârtiei nu este folosită în geometrie. Geometrie și foaie de hârtie. Pascal. Un triunghi este decupat din hârtie. Frunză dintr-un caiet. Printre multi acțiuni posibile Cu hârtie, un lucru important este că poate fi tăiată.

"Istoria geometriei" - Egiptul antic. Evul mediu. „Principii” constă din 13 cărți. Apariția și dezvoltarea geometriei. În geometria Lyubachevsky există triunghiuri cu perechi laturi paralele. Grecia antică. Geometria conține multe formule, figuri, teoreme, probleme și axiome. Thales a introdus conceptul de mișcare, în special de întoarcere.

„Dovada teoremei lui Pitagora” - Semnificația teoremei este că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Dovada algebrică. Sensul teoremei lui Pitagora. Și acum teorema lui Pitagora este adevărată, ca în epoca lui îndepărtată. Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai importante teoreme din geometrie. Teorema lui Pitagora. Dovada lui Euclid.

„Thales of Milet” - THALES este un gânditor grec antic, fondatorul filosofiei și științei antice. Uneori este necesar să se măsoare distanța până la un obiect inaccesibil. Determinarea distanței folosind un chibrit. Thales a descoperit lungimea anului și a împărțit-o în 365 de zile. Thales din Milet. a prezis Thales eclipsă de soare 28 mai 585 î.Hr

„Poliedre regulate” - Icosaedrul este cel mai raționalizat. Model sistem solar I.Kepler. Poliedre regulate se găsesc în natura vie. „Cupa cosmică” a lui Kepler. Dodecaedrul regulat este lăsat din douăsprezece pentagoane regulate. Suma unghiurilor plane ale icosaedrului la fiecare vârf este 300?. Icosaedru regulat.

Sunt 41 de prezentări în total

Cercul, părțile sale, dimensiunile și relațiile lor sunt lucruri pe care un bijutier le întâlnește constant. Inele, brățări, caste, tuburi, bile, spirale - trebuie făcute o mulțime de lucruri rotunde. Cum poți calcula toate acestea, mai ales dacă ai avut norocul să sări peste orele de geometrie la școală?...

Să ne uităm mai întâi la ce părți are un cerc și cum se numesc.

Un cerc este o linie care cuprinde un cerc.
Un arc este o parte a unui cerc.
Raza este un segment care leagă centrul unui cerc cu orice punct al cercului.
O coardă este un segment care leagă două puncte dintr-un cerc.
Un segment este o parte a unui cerc delimitată de o coardă și un arc.
Un sector este o parte a unui cerc delimitată de două raze și un arc.

Cantitățile care ne interesează și denumirea acestora:

Acum să vedem ce probleme legate de părțile unui cerc trebuie rezolvate.

Găsiți lungimea dezvoltării oricărei părți a inelului (brățară). Având în vedere diametrul și coarda (opțiune: diametru și unghi central), găsiți lungimea arcului.
Există un desen pe un plan, trebuie să-i aflați dimensiunea în proiecție după ce îl îndoiți într-un arc. Având în vedere lungimea și diametrul arcului, găsiți lungimea coardei.
Aflați înălțimea piesei obținute prin îndoirea unei piese plate într-un arc. Opțiuni de date sursă: lungimea și diametrul arcului, lungimea arcului și coarda; aflați înălțimea segmentului.

Viața vă va oferi și alte exemple, dar le-am dat doar pentru a arăta nevoia de a seta vreo doi parametri pentru a-i găsi pe toți ceilalți. Asta vom face. Și anume, vom lua cinci parametri ai segmentului: D, L, X, φ și H. Apoi, alegând toate perechile posibile dintre aceștia, le vom considera date inițiale și vom găsi toate celelalte prin brainstorming.

Pentru a nu împovăra inutil cititorul, nu voi da soluții detaliate, ci voi prezenta doar rezultatele sub formă de formule (acele cazuri în care nu există o soluție formală, le voi discuta pe parcurs).

Și încă o notă: despre unitățile de măsură. Toate mărimile, cu excepția unghiului central, sunt măsurate în aceleași unități abstracte. Aceasta înseamnă că, dacă, de exemplu, specificați o valoare în milimetri, atunci cealaltă nu trebuie să fie specificată în centimetri, iar valorile rezultate vor fi măsurate în aceiași milimetri (și zonele în milimetri pătrați). Același lucru se poate spune despre inci, picioare și mile marine.

Și numai unghiul central în toate cazurile este măsurat în grade și nimic altceva. Pentru că, de regulă, oamenii care proiectează ceva rotund nu au tendința de a măsura unghiurile în radiani. Expresia „unghi pi cu patru” îi încurcă pe mulți, în timp ce „unghiul patruzeci și cinci de grade” este de înțeles pentru toată lumea, deoarece este cu doar cinci grade mai mare decât în mod normal. Cu toate acestea, în toate formulele va mai exista un unghi - α - prezent ca valoare intermediară. În sens, acesta este jumătate din unghiul central, măsurat în radiani, dar cu siguranță nu puteți aprofunda în acest sens.

1. Având în vedere diametrul D și lungimea arcului L

; lungimea coardei ;
înălțimea segmentului ; unghiul central .

2. Având în vedere diametrul D și lungimea coardei X

; lungimea arcului ;
înălțimea segmentului ; unghiul central .

Deoarece coarda împarte cercul în două segmente, această problemă are nu una, ci două soluții. Pentru a obține al doilea, trebuie să înlocuiți unghiul α din formulele de mai sus cu unghiul .

3. Având în vedere diametrul D și unghiul central φ

; lungimea arcului ;
lungimea coardei ; înălțimea segmentului .

4. Având în vedere diametrul D și înălțimea segmentului H

; lungimea arcului ;
lungimea coardei ; unghiul central .

6. Având în vedere lungimea arcului L și unghiul central φ

; diametrul;
lungimea coardei ; înălțimea segmentului .

8. Având în vedere lungimea coardei X și unghiul central φ

; lungimea arcului ;
diametrul; înălțimea segmentului .

9. Având în vedere lungimea coardei X și înălțimea segmentului H

; lungimea arcului ;
diametrul; unghiul central .

10. Având în vedere unghiul central φ și înălțimea segmentului H

; diametru ;
lungimea arcului ; lungimea coardei .

Cititorul atent nu a putut să nu observe că am ratat două opțiuni:

5. Având în vedere lungimea arcului L și lungimea coardei X

7. Având în vedere lungimea arcului L și înălțimea segmentului H

Acestea sunt doar acele două cazuri neplăcute când problema nu are o soluție care ar putea fi scrisă sub forma unei formule. Și sarcina nu este atât de rară. De exemplu, aveți o bucată plată de lungime L și doriți să o îndoiți astfel încât lungimea ei să devină X (sau înălțimea sa devine H). Ce diametru ar trebui să iau dornul (bara transversală)?

Această problemă se rezumă la rezolvarea ecuațiilor:
; - la varianta 5
; - la varianta 7
și deși nu pot fi rezolvate analitic, pot fi ușor rezolvate programatic. Și chiar știu de unde să obțin un astfel de program: chiar pe acest site, sub numele . Ea face tot ce vă spun pe larg aici în microsecunde.

Pentru a completa imaginea, să adăugăm la rezultatele calculelor noastre circumferința și trei valori ale zonei - cerc, sector și segment. (Zonele ne vor ajuta foarte mult la calcularea masei tuturor părților rotunde și semicirculare, dar mai multe despre asta într-un articol separat.) Toate aceste cantități sunt calculate folosind aceleași formule:

circumferinta;
zona unui cerc ;
zona sectorului;
zona segmentului ;

Și în concluzie, permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată despre existența absolutului program gratuit, care efectuează toate calculele de mai sus, eliberându-vă de a fi nevoit să vă amintiți ce este o arctangentă și unde să o căutați.