Cum să dovedești suma colțurilor triunghiului. Suma colțurilor triunghiului. Lecții complete - Hypermarket de cunoștințe

Informații preliminare

Inițial, luați în considerare direct conceptul de triunghi.

Definiție 1.

Triunghiul va fi numit o formă geometrică, care este compusă din trei puncte interconectate de segmente (figura 1).

Definiția 2.

Punctele din cadrul definiției 1 vor fi numite vârfuri ale triunghiului.

Definiția 3.

Segmentele din cadrul definiției 1 vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 noduri, precum și trei laturi.

Teorema pe suma colțurilor din triunghi

Introducem și dovedim una dintre principalele teoreme asociate cu triunghiurile, și anume teorema cu privire la cantitatea de colțuri din triunghi.

Teorema 1.

Suma unghiurilor în orice triunghi arbitrar este de 180 $ ^ \\ Circ $.

Dovezi.

Luați în considerare un triunghi de $ EGF $. Doveim că suma unghiurilor din acest triunghi este egală cu 180 $ ^ \\ Circ. Vom face o construcție suplimentară: vom cheltui direct $ xy ||, de exemplu, $ (Fig.2)

Deoarece drept $ XY $ și $, Eg $ paralel, apoi $ ∠e \u003d ∠xFE $ ca minciuni sub secțiunea de $ FE $, și $ ∠g \u003d ∠yfg $ ca o aproximare sub secvențial $ FG $

Unghiul $ xfy $ va fi implementat, prin urmare, este egal cu $ 180 ^ ^ Circ $.

$ ∠xfy \u003d ∠XFE + ∠F + ∠YFG \u003d 180 ^ ^ Circ $

Prin urmare

$ ∠e + ∠F + ∠g \u003d 180 ^ \\ Circ $

Teorema este dovedită.

Teorema pe triunghiul extern

O altă teoremă a colțurilor pentru triunghi poate fi considerată o teoremă a unghiului extern. Pentru a începe, introducem acest concept.

Definiție 4.

Unghiul exterior al triunghiului va fi numit un astfel de unghi care va fi adiacent cu orice unghi de triunghi (figura 3).

Luați în considerare acum teorema acum.

Teorema 2.

Unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma celor două colțuri ale triunghiului care nu sunt adiacente.

Dovezi.

Luați în considerare un triunghi arbitrar $ EFG $. Să aibă un unghi exterior de triunghi de $ FGQ $ (figura 3).

Prin teorema 1, vom avea acel $ ∠e + ∠f + ∠g \u003d 180 ^ \\ Circ $, prin urmare,

$ ∠g \u003d 180 ^ \\ Circ- (∠e + ∠f) $

De la unghiul de $ FGQ $ extern, atunci este ajustat cu un unghi de $ ∠g $, atunci

$ ∠fgq \u003d 180 ^ \\ Circ-∠g \u003d 180 ^ \\ Circ-180 ^ \\ Circ + (∠E + ∠F) \u003d ∠e + ∠F $

Teorema este dovedită.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1.

Găsiți toate colțurile triunghiului dacă este echilaterală.

Deoarece triunghiul echilateral este egal cu triunghiul echilateral, atunci vom avea ca toate unghiurile din ea sunt, de asemenea, egale unul cu celălalt. Denotă măsurile de diplomă prin $ α $.

Apoi, conform teoremei 1 vom primi

$ α + α + α \u003d 180 ^ \\ Circul $

Răspuns: Toate unghiurile sunt egale cu $ 60 ^ \\ Circ $.

Exemplul 2.

Găsiți toate unghiurile unui triunghi de echilibru dacă unul dintre unghiul său este egal cu 100 $ ^ \\ Circ $.

Introducem următoarele semne de unghiuri într-un triunghi în mod egal:

Deoarece nu ni se dau în condiția, care unghiul este de 100 $ ^ \\ cir $, atunci sunt posibile două cazuri:

Un unghi egal cu 100 $ ^ \\ Circul $ este un unghi la baza triunghiului.

De către teorema colțurilor de la baza unui triunghi echipabil, obținem

$ ∠2 \u003d ∠3 \u003d 100 ^ \\ Circ $

Dar atunci numai suma lor va fi mai mult de 180 de dolari ^ ^ Circ $, care contrazice starea teoremei 1. Deci, acest caz nu are locul.

Un unghi egal cu 100 $ ^ \\ Circul $ este unghiul dintre partidele egale, adică

Triunghiul este un poligon având trei laturi (trei unghiuri). Cel mai adesea, părțile sunt notate cu litere mici corespunzătoare literelor de capital care indică vârfurile opuse. În acest articol, ne vom familiariza cu opiniile acestor figuri geometrice, teorema care determină ce suma colțurilor triunghiului este egală.

Tipuri de colțuri

Următoarele tipuri de poligon cu trei vârfuri se disting:

• acută de faptă, în care toate colțurile sunt ascuțite;
• dreptunghiulară, având un unghi drept, cu formulările sale, sunt numite categorii, iar partea, care este plasată opus colțului direct, se numește Hypotenuse;
• stupid când unul;
• o isoscele, în care două părți sunt egale și sunt numite laterale, iar al treilea - baza triunghiului;
• În mod egal, având toate cele trei părți egale.



Proprietăți

Alocați proprietățile principale care sunt caracteristice fiecărui tip de triunghi:

• dimpotrivă, cele mai multe părți sunt întotdeauna un unghi mai mare și viceversa;
• dimpotrivă, unghiurile egale sunt egale în magnitudinea laturilor și invers;
• orice triunghi are două colțuri ascuțite;
• unghi extern mai mult comparativ cu orice unghi interior, care nu este legat de acesta;
• cantitatea de două unghiuri este întotdeauna mai mică de 180 de grade;
• unghiul exterior este egal cu suma celorlalte două unghiuri care nu sunt interconectate cu ea.

Teorema pe suma colțurilor triunghiului

Teorema susține că, dacă adăugați toate unghiurile unei forme geometrice date, care se află pe planul Euclidian, atunci suma lor va fi de 180 de grade. Să încercăm să dovedim această teoremă.

Să avem un triunghi arbitrar cu vârfurile CMN.



Prin vârful, CN va purta (încă numit direct Euclidea Direct). Va observa punctul și, astfel, punctul K și A este localizat din partea diferită a liniei drepte. Obținem unghiuri egale de AMN și KNM, care, cum ar fi interne, se află în cel mai apropiat și sunt formate din MN secvențiale, împreună cu CN și MA, care sunt paralele. Din aceasta rezultă că suma colțurilor triunghiului situată la vârfurile M și H este egală cu dimensiunea unghiului CMA. Toate trei unghi constituie cantitatea care este egală cu cantitatea de unghiuri CMA și MCN. Deoarece aceste unghiuri sunt interne față-versoute în raport cu CN paralel direct și Ma, cu o cm secvențială, cantitatea lor este de 180 de grade. Teorema este dovedită.

Corolar

Din cele de mai sus, teorema urmează următoarea consecință: orice triunghi are două colțuri ascuțite. Pentru a dovedi acest lucru, presupuneți că această figură geometrică are doar un unghi ascuțit. Se poate presupune, de asemenea, că niciunul dintre colțuri nu este acut. În acest caz, trebuie să existe cel puțin două unghiuri, mărimea căreia este egală sau mai mare de 90 de grade. Dar apoi suma unghiurilor va fi mai mare de 180 de grade. Și acest lucru nu poate fi, pentru că, conform teoremei, suma colțurilor triunghiului este de 180 ° - nu mai mult și nu mai puțin. Asta a fost necesar să se dovedească.

Proprietatea de colțuri externe

Care este suma colțurilor triunghiului, care sunt externe? Răspunsul la această întrebare poate fi obținut prin aplicarea uneia dintre cele două moduri. Primul este că este necesar să găsim cantitatea de colțuri care sunt luate la fiecare vertex, adică trei unghiuri. Al doilea implică faptul că trebuie să găsiți suma tuturor celor șase colțuri la vârfuri. Pentru a începe, vom face față primei opțiuni. Deci, triunghiul conține șase colțuri externe - cu fiecare vertex două.



Fiecare pereche are un unghi egal, deoarece acestea sunt verticale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

În plus, se știe că unghiul extern din triunghi este egal cu suma celor două interne, care nu sunt interconectate cu ea. Prin urmare,

∟1 \u003d ∟a + ∟С, ∟2 \u003d ∟a + ∟v, ∟3 \u003d ∟в + ∟с.

Se pare că cantitatea de unghiuri externe care sunt luate una de o singură noduri va fi egală cu:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟a + ∟С + ∟a + ∟V + ∟V + ∟С \u003d 2 x (∟a + ∟v + ∟С).

Având în vedere faptul că cantitatea de unghiuri este egală cu 180 de grade, se poate argumenta că ∟a + ∟v + ∟c \u003d 180 °. Aceasta înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Dacă se utilizează a doua opțiune, suma a șase colțuri va fi, respectiv, mai mult de două ori. Adică suma colțurilor externe a triunghiului va fi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Triunghi dreptunghic

Care este suma unghiurilor triunghiului dreptunghiular, care sunt ascuțite? Răspunsul la această întrebare din nou rezultă din teorema, care susține că colțurile din triunghi în cantitate sunt de 180 de grade. Iar declarația noastră (proprietate) sună așa: într-un triunghi dreptunghiular, colțurile ascuțite în cantitate dau 90 de grade. Îi dovedim adevărul.



Să ne dăm un triunghi al KMN, al cărui ∟n \u003d 90 °. Este necesar să se demonstreze că ∟k + ∟m \u003d 90 °.

Deci, în funcție de teorema sumei unghiurilor de ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °. În starea noastră se spune că ∟n \u003d 90 °. Deci se pare, ∟k + ∟m + 90 ° \u003d 180 °. Care este, ∟k + ∟m \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Asta ar trebui să dovedim.

În plus față de proprietățile de mai sus ale triunghiului dreptunghiular, puteți adăuga la următoarele:

• unghiurile care se află împotriva catteților sunt ascuțite;
• hipotenusele triunghiulare este mai mare decât oricare dintre cattete;
• cantitatea de catete este mai hipotenuse;
• cazarea triunghiului, care se află în fața unghiului de 30 de grade, este de două ori mai puțini hipotenuse, adică este egală cu jumătate.

Ca altă proprietate a acestei forme geometrice, puteți selecta teorema Pythagora. Aceasta susține că într-un triunghi cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiular), suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul hipotenusei.

Suma unghiurilor unui triunghi crescut

Anterior, am spus că poligonul cu trei vârfuri care conțin două părți egale este numit în mod egal. Această proprietate a acestei forme geometrice este cunoscută: Unghiurile de la baza sa sunt egale. Îi dovedim.

Luați triunghiul KMN, care este la fel de chagrus, cartea este fundația sa.



Trebuie să dovedim că ∟k \u003d ∟ Deci, hai să spunem că Ma este bisectorul triunghiului nostru de KMN. Triunghiul ICA, ținând cont de primul semn al egalității, este egal cu triunghiul MNA. Anume, conform condiției, este dat că km \u003d nm, Ma este o petrecere comună, ∟1 \u003d ∟2, deoarece Ma este Biseric. Folosind faptul de egalitate al acestor două triunghiuri, se poate argumenta că ∟k \u003d ∟. Deci, teorema este dovedită.

Dar suntem interesați de ce suma colțurilor triunghiului (este echilibrată). Întrucât în \u200b\u200baceastă privință, el nu are caracteristici proprii, va fi respins din teorema discutată mai devreme. Asta este, putem argumenta că ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 ° sau 2 x ∟k + ∟m \u003d 180 ° (din moment ce ∟k \u003d ∟n). Nu vom dovedi această proprietate deoarece teorema sumei colțurilor triunghiului a fost dovedită mai devreme.

În plus față de proprietățile colțurilor triunghiului, există și acuzații importante:

• care a fost omis pentru bază, este simultan median, unghiul bisector, care este între partidele egale, precum și baza sa;
• medians (Biserici, înălțimi), care au fost efectuate pe laturile unei astfel de forme geometrice, sunt egale.

Triunghi echilateral

Se numește și corect, acesta este triunghiul că toate părțile sunt egale. Și, prin urmare, unghiurile sunt, de asemenea, egale. Fiecare dintre ele este de 60 de grade. Doveim această proprietate.

Să presupunem că avem un triunghi KMN. Știm că km \u003d nm \u003d kn. Și aceasta înseamnă că, în funcție de proprietatea unghiurilor, situată la baza într-un triunghi echilibrat, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟. Deoarece, potrivit teoremei, suma colțurilor triunghiului este ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, apoi 3 x ∟k \u003d 180 ° sau ∟k \u003d 60 °, ∟m \u003d 60 °, ∟n \u003d 60 °. Astfel, aprobarea este dovedită.



Așa cum se poate observa din dovada de mai sus pe baza teoremei, suma unghiurilor ca suma unghiurilor oricărui alt triunghi este de 180 de grade. Pentru a dovedi că este nevoie de această teoremă.

Există încă astfel de proprietăți caracteristice unui triunghi echilateral:

• mediană, bisector, înălțime într-o astfel de figură geometrică coincid, iar lungimea lor este calculată ca (și x √3): 2;
• dacă descrieți în jurul acestui cerc de poligon, raza sa va fi egală cu (și x √3): 3;
• pentru a introduce un cerc într-un triunghi echilateral, raza sa va fi (a x √3): 6;
• zona acestei forme geometrice este calculată prin formula: (A2 x √3): 4.

Triunghi stupid

Conform definiției, una dintre colțurile sale este cuprinsă între 90 și 180 de grade. Dar, având în vedere faptul că celălalt unghi al acestei forme geometrice este ascuțit, se poate concluziona că nu depășesc 90 de grade. În consecință, teorema sumei colțurilor triunghiului funcționează la calcularea cantității de colțuri în triunghiul stupid. Se dovedește, putem afirma în siguranță, bazându-se pe teorema menționată mai sus că suma unghiurilor triunghiului stupid este de 180 de grade. Din nou, această teoremă nu are nevoie de re-dovezi.

Teorema pe suma colțurilor interne ale triunghiului

Suma colțurilor triunghiului este de 180 °.

Dovezi:

• Dan triunghi abc.
• Prin vertexul B vom petrece direct DK paralel cu baza de bază AC.
• \\ Angle CBK \u003d \\ unghi C ca mai aproape de DK paralel și AC și securizarea BC.
• \\ Angle DBA \u003d \\ unghiul unui interne mai aproape de DK \\ paralel AC și securizarea AB. Unghiul DBK desfășurat și egal
• \\ Angle DBK \u003d \\ Angle DBA + \\ Angle B + \\ Anle CBK
• Deoarece unghiul detaliat este 180 ^ \\ Circ, un \\ unghi cbk \u003d \\ anle c și \\ unghi dba \u003d \\ unghi a, am ajuns 180 ^ \\ Circ \u003d \\ unghi A + \\ Angle B + \\ Angle C.

Teorema este dovedită

Consecințele teoremei asupra sumei colțurilor triunghiului:

1. Suma colțurilor ascuțite a triunghiului dreptunghiular este egală cu 90 ° C.
2. Într-un triunghi dreptunghiular echilibru, fiecare unghi ascuțit este egal 45 °..
3. În triunghiul echilateral, fiecare unghi este egal 60 ° C.
4. În orice triunghi, toate colțurile sunt ascuțite, sau două unghiuri sunt ascuțite, iar al treilea este prost sau drept.
5. Unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma a două unghiuri interne, care nu sunt legate de ea.

Teorema pe triunghiul extern

Unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma celor două unghiuri de triunghi rămase, care nu sunt adiacente acestui unghi exterior.

Dovezi:



• Dan Triangle ABC, unde Ald este un unghi extern.
• \\ Angle BAC + \\ Angle ABC + \\ Angle BCA \u003d 180 ^ 0
• Din colțul egal \\ Angle BCD + \\ Angle BCA \u003d 180 ^ 0
• A primi \\ Angle BCD \u003d \\ Angle BAC + \\ Angle ABC.

Teluri si obiective:

Educational:

• repetați și rezumați cunoștințele triunghiului;
• dovedește teorema despre suma colțurilor triunghiului;
• practic să fie convins de corectitudinea formulării teoremei;
• Învață să aplicați cunoștințele dobândite la rezolvarea sarcinilor.

În curs de dezvoltare:

• dezvoltați gândirea geometrică, interesul pentru subiectul, activitatea cognitivă și creativă a studenților, discursul matematic, abilitatea de a obține cunoștințe independent.

Educational:

• dezvoltați calitățile personale ale studenților, cum ar fi scopul, perseverența, acuratețea, abilitatea de a lucra în echipă.

Echipament: Proiector multimedia, triunghiuri de hârtie colorată, CMC "Matematică live", computer, ecran.

Etapa pregătitoare: Profesorul dă sarcina elevului să pregătească un certificat istoric despre teorema "Suma colțurilor unghiurilor triunghiului".

Tipul de lecție: Studierea unui nou material.

În timpul clasei

I. Momentul organizațional

Salut. Atitudinea psihologică a studenților de a lucra.

II. A face exerciții fizice

Cu o figură geometrică "triunghi", ne-am întâlnit pe lecțiile anterioare. Să repetăm \u200b\u200bceea ce știm despre triunghi?

Elevii lucrează în grupuri. Ei au posibilitatea de a comunica între ei, fiecare în mod independent să construiască procesul de cunoaștere.

Ce s-a întâmplat? Fiecare grup își exprimă sugestiile, profesorul le scrie pe consiliu. Discutarea rezultatelor se efectuează:

Imaginea 1.

III. Formulăm sarcina lecției

Deci, despre triunghi știm destul de mult. Dar nu tot. Fiecare dintre voi de pe birou are triunghiuri și transporturi. Ce credeți, ce fel de sarcină putem formula?

Elevii formulează sarcina lecției - pentru a găsi suma colțurilor triunghiului.

IV. Explicarea noului material

Partea practică(Contribuie la actualizarea cunoștințelor și a competențelor de cunoaștere a cunoașterii). Urmăriți măsurătorile unghiurilor folosind transportul și găsiți-le. Rezultatele înregistrării la notebook (auziți răspunsurile primite). Noi aflăm că cantitatea colțurilor tuturor s-au dovedit a fi diferite (se poate dovedi, deoarece a pus în mod inexact transportul, numărarea ocazional, etc.).

Efectuați alergarea pe linii punctate și aflați ce este încă egală cu suma unghiurilor triunghiului:

dar)
Figura 2.

b)
Figura 3.

la)
Figura 4.

d)
Figura 5.

e)
Figura 6.

După efectuarea lucrărilor practice, elevii formulează răspunsul: Suma colțurilor triunghiului este egală cu un grad de unghi extins, adică la 180 °.

Profesor: În matematică, munca practică face posibilă doar să facă o aprobare, dar trebuie să fie dovedită. Aprobarea, al cărui justiție este stabilită prin dovezi, se numește teorema. Ce teoremă putem formula și dovedi?

Elevii: Suma colțurilor triunghiului este de 180 de grade.

Referință istorică:Proprietatea colțurilor triunghiului a fost înființată în Egiptul antic. Dovada, stabilită în manualele moderne, este conținută în comentariile legăturii la "începutul" Euclidea. Frontiera susține că această dovadă (figura 8) a fost deschisă de pythagoreenii (5 V. bc. E.). Prima carte "Început" Euclid stabilește o altă dovadă a teoremei pe suma colțurilor triunghiului, care este ușor de înțeles cu ajutorul desenului (figura 7):


Figura 7.


Figura 8.

Desenele sunt evidențiate pe ecran prin proiector.

Profesorul propune să dovedească teorema cu ajutorul desenelor.

Apoi, dovada se efectuează folosind "Matematica Live" UMC ". Profesorul pe calculator proiectează dovada teoremei.

Teorema pe suma colțurilor triunghiului: "Suma colțurilor triunghiului este de 180 °"


Figura 9.

Dovezi:

dar)

Figura 10.

b)

Figura 11.

la)

Figura 12.

Elevii din notebook fac o scurtă înregistrare a dovezii teoremei:

Teorema: Suma colțurilor triunghiului este de 180 °.


Figura 13.

Dat:Δ abs.

Dovedi A + B + C \u003d 180 °.

Dovezi:

Ceea ce trebuia să demonstreze.

V. Phys. minut

VI. Explicarea noului material (continuare)

Consecința teoremei asupra sumei colțurilor triunghiului este derivată de studenți în mod independent, contribuie la dezvoltarea capacității de a-și formula propriul punct de vedere, exprimă și argumentează:

În orice triunghi sau toate colțurile sunt ascuțite sau două colțuri ascuțite, iar al treilea stupid sau direct.

Dacă în triunghi toate colțurile sunt ascuțite, atunci se numește otterugal..

Dacă unul dintre colțurile triunghiului este prost, atunci se numește prost.

Dacă unul dintre colțurile triunghiului sunt drepte, atunci se numește dreptunghiular.

Teorema de pe suma colțurilor triunghiului vă permite să clasificați triunghiurile nu numai pe laturi, ci și în colțuri. (În cursul introducerii tipurilor de triunghiuri, o masă este plină de studenți)

tabelul 1

Tipul de triunghi	Isoscel	Echilateral	Versatil.
Dreptunghiular
Prost
Acrogging.

VII. Fixarea materialului studiat.

1. Rezolvați sarcinile oral:

(Desenele sunt evidențiate pe ecran prin proiector)

Sarcina 1. Găsiți colțul lui C.


Figura 14.

Sarcina 2. Găsiți unghiul F.


Figura 15.

Sarcina 3. Găsiți unghiurile și N.

Figura 16.

Sarcina 4. Găsiți unghiurile lui P și T.


Figura 17.

1. Rezolva problema pe propria sa 223 (B, D).
2. Rezolvați sarcina de pe tablă și în numărul contului Tetraja 224.
3. Întrebări: poate un triunghi: a) două colțuri drepte; b) două unghiuri stupide; c) un unghi drept și un stupid.
4. (efectuate pe cale orală) pe carduri disponibile pe fiecare tabel, sunt descrise diferite triunghiuri. Determinați vederea fiecărui triunghi.


Figura 18.

1. Găsiți suma unghiurilor 1, 2 și 3.


Figura 19.

VIII. Rezultatul lecției.

Profesor: Ce știm? Pentru orice triunghi aplică teorema?

IX. Reflecţie.

Dă-mi băieții tăi! Din partea inversă a triunghiului, vă rugăm să contactați expresiile faciale.


Figura 20.

Teme pentru acasă:p.30 (1 parte), întrebarea 1 ch. Iv p. 89 manual; № 223 (A, B), № 225.