Găsirea opusului unui număr dat. Număr reciproc

Conţinut:

Numerele reciproce sunt necesare pentru rezolvarea tuturor tipurilor ecuații algebrice. De exemplu, dacă trebuie să împărțiți unul un număr fracționar la altul, înmulți primul număr cu reciproca celui de-al doilea. În plus, numerele reciproce sunt folosite la găsirea ecuației unei linii drepte.

Pași

1 Aflarea reciprocei unei fracții sau unui întreg

1. 1 Aflați reciproca unei fracții inversând-o.„Numărul reciproc” este definit foarte simplu. Pentru a-l calcula, pur și simplu calculați valoarea expresiei „1 ÷ (număr original).” Pentru un număr fracționar, reciproca unei fracții este un alt număr fracționar care poate fi calculat pur și simplu prin „inversarea” fracției (schimbând locurile numărătorului și numitorului).
   • De exemplu, reciproca fracției 3/4 este 4 / 3 .
2. 2 Scrieți reciproca unui număr întreg sub formă de fracție.Și în acest caz, numărul reciproc este calculat ca 1 ÷ (numărul original). Pentru un număr întreg, scrieți numărul reciproc sub formă de fracție; nu este nevoie să faceți niciun calcul și să îl scrieți ca zecimal.
   • De exemplu, reciproca lui 2 este 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Aflarea reciprocă a unei fracții mixte

1. 1 Ce s-a întâmplat " fracție mixtă". O fracție mixtă este un număr scris ca număr întreg și o fracție simplă, de exemplu, 2 4 / 5. Găsirea reciprocă a unei fracții mixte se realizează în două etape, descrise mai jos.
2. 2 Scrieți fracția mixtă ca fracție improprie. Vă amintiți, desigur, că o unitate poate fi scrisă ca (număr)/(același număr), iar fracții cu aceiași numitori(numărul de sub linie) pot fi adăugate unul altuia. Iată cum se face pentru fracția 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Inversați fracția. Când o fracție mixtă este scrisă ca o fracție improprie, putem găsi cu ușurință reciproca pur și simplu schimbând numărătorul și numitorul.
   • Pentru exemplul de mai sus, numărul reciproc ar fi 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Aflarea reciprocei unei fracții zecimale

1. 1 Dacă este posibil, exprimați zecimala ca o fracție. Trebuie să știți că multe zecimale pot fi ușor convertite în fracții. De exemplu, 0,5 = 1/2 și 0,25 = 1/4. Odată ce ați scris un număr ca o fracție simplă, puteți găsi cu ușurință reciproca, pur și simplu răsturnând fracția.
   • De exemplu, reciproca lui 0,5 este 2 / 1 = 2.
2. 2 Rezolvați problema folosind împărțirea. Dacă nu puteți scrie o zecimală ca fracție, calculați reciproca rezolvând problema prin împărțire: 1 ÷ (zecimală). Puteți utiliza un calculator pentru a rezolva acest lucru sau puteți trece la pasul următor dacă doriți să calculați valoarea manual.
   • De exemplu, reciproca de 0,4 este calculată ca 1 ÷ 0,4.
3. 3 Schimbați expresia pentru a lucra cu numere întregi. Primul pas în împărțirea unei zecimale este să mutați punctul zecimal până când toate numerele din expresie sunt numere întregi. Deoarece mutați zecimala cu același număr de locuri atât în ​​dividend, cât și în divizor, obțineți răspunsul corect.
4. 4 De exemplu, luați expresia 1 ÷ 0,4 și scrieți-o ca 10 ÷ 4.În acest caz, ați mutat zecimala cu un loc la dreapta, ceea ce este același cu înmulțirea fiecărui număr cu zece.
5. 5 Rezolvați problema împărțind numerele într-o coloană. Folosind diviziunea lungă puteți calcula numărul reciproc. Dacă împărțiți 10 la 4, ar trebui să obțineți 2,5, care este reciproca lui 0,4.

• Valoarea unui număr reciproc negativ va fi egală cu numărul reciproc înmulțit cu -1. De exemplu, inversul negativ al lui 3/4 este - 4/3.
• Reciprocul unui număr este uneori numit „reciproc” sau „reciproc”.
• Numărul 1 este propriul său reciproc, deoarece 1 ÷ 1 = 1.
• Zero nu are reciprocă deoarece expresia 1 ÷ 0 nu are soluții.

Se numește o pereche de numere al căror produs este egal cu unu reciproc invers.

Exemple: 5 și 1/5, −6/7 și −7/6 și

Pentru orice număr a care nu este egal cu zero, există un invers 1/a.

Reciproca lui zero este infinitul.

Fracții inverse- acestea sunt două fracții al căror produs este egal cu 1. De exemplu, 3/7 și 7/3; 5/8 și 8/5 etc.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „numărul invers” în alte dicționare:

Un număr al cărui produs printr-un număr dat este egal cu unu. Două astfel de numere se numesc reciproce. Acestea sunt, de exemplu, 5 și 1/5, 2/3 și 3/2 etc... Dicţionar enciclopedic mare

număr reciproc- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte de energie în general EN număr invers număr reciproc... Ghidul tehnic al traducătorului

Un număr al cărui produs printr-un număr dat este egal cu unu. Două astfel de numere se numesc reciproce. Acestea sunt, de exemplu, 5 și 1/5, 2/3 și 3/2 etc. * * * NUMĂR INVERS NUMĂR INVERS, un număr al cărui produs printr-un număr dat este egal cu ... ... Dicţionar enciclopedic

Un număr al cărui produs cu un număr dat este egal cu unu. Două astfel de numere se numesc reciproce. Acestea sunt, de exemplu, 5 și a, nu este egal cu zero, există o inversă... Marea Enciclopedie Sovietică

Un număr al cărui produs printr-un număr dat este egal cu unu. Două astfel de numere sunt numite. reciproc invers. Acestea sunt, de exemplu, 5 și 1/5. 2/3 si 3/2 etc... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Acest termen are alte semnificații, vezi Număr (sensuri). Numărul este un concept de bază în matematică folosit pentru a cuantifica, compara și numerota obiecte. A apărut în societatea primitivă din nevoile... ... Wikipedia

Vezi și: Numărul (lingvistică) Numărul este o abstractizare folosită pentru a caracteriza cantitativ obiectele. Apărând în societatea primitivă din nevoile numărării, conceptul de număr s-a schimbat și s-a îmbogățit și s-a transformat în cel mai important... Wikipedia

Învârtirea inversă a apei în timpul scurgerii este un mit pseudo-științific bazat pe aplicarea incorectă a efectului Coriolis la mișcarea apei într-un vârtej care are loc atunci când aceasta se varsă în orificiul de scurgere a unei chiuvete sau a căzii de baie. Esența mitului este că apa... ... Wikipedia

NUMĂR IRAȚIONAL Un număr care nu poate fi exprimat ca fracție. Exemplele includ numărul T2 și p. Prin urmare, numerele iraționale sunt numere cu un număr infinit de zecimale (neperiodice). (Totuși, contrariul nu este adevărat... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Transformarea Laplace este o transformare integrală care leagă o funcție a unei variabile complexe (imagine) cu o funcție a unei variabile reale (original). Este folosit pentru a studia proprietățile sisteme dinamice si diferential si... Wikipedia sunt rezolvate

Cărți

• Happy Wives Club, Weaver Von. 27 de femei din diferite părți ale lumii, necunoscute între ele, cu soarte diferite. Nu au nimic în comun, cu excepția unui singur lucru - sunt incredibil de fericiți în căsătorie de mai bine de 25 de ani, pentru că cunosc Secretul... Când...

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Număr invers(valoare reciprocă, valoare reciprocă) la un număr dat X este un număr a cărui înmulțire cu X, dă unul. Intrare acceptata: $\backslash frac(1)x$ sau $x^(-1)$. Se numesc două numere al căror produs este egal cu unul reciproc invers. Reciprocul unui număr nu trebuie confundat cu reciprocul unei funcții. De exemplu, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ diferă de valoarea funcției invers cosinus - arc cosinus, care se notează $\backslash cos^(-1)x$ sau $\backslash arccos\; x$.

Inversa la numărul real

Forme de numere complexe	Număr $(z)$	Verso $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebric	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometric	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Indicativ	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Dovada:
Pentru formele algebrice și trigonometrice, folosim proprietatea de bază a unei fracții, înmulțind numărătorul și numitorul cu conjugatul complex:

• Forma algebrică:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trigonometrică:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Forma demonstrativă:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Astfel, atunci când găsiți inversul unui număr complex, este mai convenabil să folosiți forma lui exponențială.

Exemplu:

Forme de numere complexe	Număr $(z)$	Verso $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebric	$1+i\backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trigonometric	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ sau $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ sau $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Indicativ	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inversa unității imaginare

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Astfel, primim

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ sau__ $i^(-1)=-i$

La fel pt $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ sau __ $-i^(-1)=i$

Scrieți o recenzie despre articolul „Numărul invers”

Note

Vezi si

Extras care caracterizează numărul invers

Asta spun poveștile și toate acestea sunt complet nedrepte, așa cum poate vedea cu ușurință oricine dorește să se aprofundeze în esența problemei.
Rușii nu au putut găsi o poziție mai bună; ci, dimpotrivă, în retragerea lor au trecut prin multe poziții care erau mai bune decât Borodino. Nu s-au hotărât asupra niciuna dintre aceste poziții: atât pentru că Kutuzov nu a vrut să accepte o poziție care nu a fost aleasă de el, cât și pentru că cererea pentru o bătălie populară nu fusese încă exprimată suficient de puternic, cât și pentru că Miloradovici nu se apropiase încă. cu miliţia, dar şi din cauza altor motive care sunt nenumărate. Cert este că pozițiile anterioare erau mai puternice și că poziția Borodino (cea pe care s-a dat bătălia) nu numai că nu este puternică, dar din anumite motive nu este deloc o poziție mai mare decât orice alt loc din Imperiul Rus, care, la ghicire, ar fi indicat cu un ac pe hartă.
Rușii nu numai că nu au întărit poziția câmpului Borodino la stânga în unghi drept cu drumul (adică locul unde a avut loc bătălia), dar niciodată înainte de 25 august 1812 nu s-au gândit că bătălia ar putea. are loc în acest loc. Acest lucru este dovedit, în primul rând, de faptul că nu numai în ziua de 25 nu existau întărituri la acest loc, ci că, începute pe 25, nu au fost terminate nici pe 26; în al doilea rând, dovada este poziția redutei Shevardinsky: reduta Șevardinsky, înaintea poziției la care s-a decis bătălia, nu are niciun sens. De ce a fost această redută fortificată mai puternică decât toate celelalte puncte? Și de ce, apărând-o pe 24 până noaptea târziu, toate eforturile au fost epuizate și șase mii de oameni s-au pierdut? Pentru a observa inamicul, era suficientă o patrulă cazacă. În al treilea rând, dovada că poziția în care a avut loc bătălia nu a fost prevăzută și că reduta Shevardinsky nu era punctul de avans al acestei poziții este faptul că Barclay de Tolly și Bagration până pe 25 erau convinși că reduta Shevardinsky era flancul stâng. de poziție și că însuși Kutuzov, în raportul său, scris în plină clipă după bătălie, numește reduta Shevardinsky flancul stâng al poziției. Mult mai târziu, când rapoartele despre bătălia de la Borodino au fost scrise în aer liber, a fost (probabil pentru a justifica greșelile comandantului șef, care trebuia să fie infailibil) acea mărturie nedreaptă și ciudată a fost inventată că reduta Shevardinsky a servit drept post înainte (în timp ce era doar un punct fortificat al flancului stâng) și parcă bătălia de la Borodino a fost acceptat de noi într-o poziție fortificată și prestabilită, în timp ce s-a întâmplat într-un loc complet neașteptat și aproape nefortificat.
Lucrul, evident, a fost cam așa: poziția a fost aleasă de-a lungul râului Koloche, care traversează drumul principal nu direct, ci sub unghi ascutit, deci flancul stâng era în Shevardin, dreapta în apropierea satului Novy și centrul în Borodino, la confluența râurilor Kolocha și Voina. Această poziție, sub acoperirea râului Kolocha, pentru o armată al cărei scop este să oprească deplasarea inamicului de-a lungul drumului Smolensk către Moscova, este evidentă pentru oricine se uită la câmpul Borodino, uitând cum a avut loc bătălia.
Napoleon, mergând la Valuev pe 24, nu a văzut (cum se spune în povești) poziția rușilor de la Utitsa până la Borodin (nu putea vedea această poziție, deoarece nu exista) și nu a văzut atacantul. post al armatei ruse, dar a dat peste ariergarda rusă în urmărirea pe flancul stâng al poziției ruse, până la reduta Shevardinsky și, în mod neașteptat pentru ruși, a transferat trupe prin Kolocha. Iar rușii, neavând timp să se angajeze într-o luptă generală, s-au retras cu aripa stângă din poziția pe care intenționau să o ocupe și au luat o nouă poziție, care nu era prevăzută și neîntărită. Mergând la partea stanga Kolochi, la stânga drumului, Napoleon a mutat întreaga luptă viitoare de la dreapta la stânga (din partea rusă) și a transferat-o pe câmpul dintre Utitsa, Semenovsky și Borodin (pe acest câmp, care nu are nimic mai avantajos pentru poziție). decât orice alt câmp din Rusia), iar pe acest câmp întreaga bătălie a avut loc pe 26. În formă brută, planul bătăliei propuse și bătăliei care a avut loc va fi după cum urmează:

Dacă Napoleon nu ar fi plecat în seara zilei de 24 spre Kolocha și nu ar fi ordonat un atac asupra redutei imediat seara, ci ar fi lansat un atac a doua zi dimineața, atunci nimeni nu s-ar fi îndoit că reduta Shevardinsky era flancul stâng al poziției noastre; iar bătălia avea să aibă loc așa cum ne așteptam. În acest caz, probabil că ne-am apăra cu mai multă încăpățânare reduta Shevardinsky, flancul nostru stâng; Napoleon ar fi fost atacat în centru sau în dreapta, iar pe 24 ar fi avut loc o luptă generală în poziţia care era fortificată şi prevăzută. Dar din moment ce atacul pe flancul nostru stâng a avut loc seara, în urma retragerii ariergardei noastre, adică imediat după bătălia de la Gridneva, și din moment ce liderii militari ruși nu au vrut sau nu au avut timp să înceapă o luptă generală. în aceeași seară a zilei de 24, prima și principala acțiune a lui Borodinsky Bătălia a fost pierdută pe 24 și, evident, a dus la pierderea celei purtate pe 26.
După pierderea redutei Shevardinsky, până în dimineața zilei de 25 ne-am trezit fără o poziție pe flancul stâng și am fost forțați să ne îndoim aripa stângă și să o întărim în grabă oriunde.
Dar nu numai că trupele ruse au stat doar sub protecția unor fortificații slabe, neterminate la 26 august, dar dezavantajul acestei situații a fost sporit de faptul că liderii militari ruși nu au recunoscut faptul complet realizat (pierderea poziției pe flancul stâng și transferul întregului câmp de luptă viitor de la dreapta la stânga), au rămas în poziția lor extinsă din satul Novy la Utitsa și, ca urmare, au trebuit să își mute trupele în timpul luptei de la dreapta la stânga. Astfel, pe parcursul întregii bătălii, rușii au avut forțe de două ori mai slabe împotriva întregii armate franceze îndreptate către aripa noastră stângă. (Acțiunile lui Poniatowski împotriva lui Utitsa și Uvarov pe flancul drept francez au fost acțiuni separate de cursul bătăliei.)
Așadar, Bătălia de la Borodino nu s-a întâmplat deloc așa cum o descriu ei (încercând să ascundă greșelile liderilor noștri militari și, ca urmare, diminuând gloria armatei și poporului rus). Bătălia de la Borodino nu s-a desfășurat într-o poziție aleasă și fortificată cu forțe oarecum mai slabe de partea rusă, dar Bătălia de la Borodino, din cauza pierderii redutei Shevardinsky, a fost acceptată de ruși într-un mod deschis, aproape. zonă nefortificată cu forțe de două ori mai slabe împotriva francezilor, adică în astfel de condiții în care nu numai că era de neconceput să lupte timp de zece ore și să faci lupta indecisă, dar era de neconceput să țină armata de la înfrângerea completă și de la fuga timp de trei. ore.

În dimineața zilei de 25, Pierre a părăsit Mozhaisk. La coborârea din uriașul munte abrupt și strâmb care iese din oraș, pe lângă catedrala care stă pe muntele din dreapta, în care se ținea o slujbă și se propovăduia Evanghelia, Pierre a coborât din trăsură și a mers mai departe. picior. În spatele lui, un regiment de cavalerie cu cântăreți în față cobora pe munte. Un tren de căruțe cu cei răniți în cazul de ieri se ridica spre el. Șoferii țărani, strigând la cai și biciuindu-i cu bice, alergau dintr-o parte în alta. Cărucioarele, pe care zăceau și stăteau trei-patru soldați răniți, săreau peste pietrele aruncate sub formă de trotuar pe o pantă abruptă. Răniții, legați cu zdrențe, paliți, cu buzele strânse și sprâncenele încruntate, ținându-se de paturi, săreau și împingeau în căruțe. Toată lumea se uita la pălăria albă și la frac verde a lui Pierre cu o curiozitate copilărească aproape naivă.

Să dăm o definiție și să dăm exemple de numere reciproce. Să ne uităm la cum să găsim inversul unui număr natural și inversul unei fracții comune. În plus, notăm și demonstrăm o inegalitate care reflectă proprietatea sumei numerelor reciproce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numerele reciproce. Definiție

Definiție. Numerele reciproce

Numerele reciproce sunt numere al căror produs este egal cu unu.

Dacă a · b = 1, atunci putem spune că numărul a este inversul numărului b, la fel cum numărul b este inversul numărului a.

Cel mai simplu exemplu de numere reciproce sunt două unități. Într-adevăr, 1 · 1 = 1, prin urmare a = 1 și b = 1 sunt numere reciproc inverse. Un alt exemplu sunt numerele 3 și 1 3, - 2 3 și - 3 2, 6 13 și 13 6, log 3 17 și log 17 3. Produsul oricărei perechi de numere de mai sus este egal cu unu. Dacă această condiție nu este îndeplinită, ca de exemplu pentru numerele 2 și 2 3, atunci numerele nu sunt reciproc inverse.

Definiția numerelor reciproce este valabilă pentru orice număr - natural, întreg, real și complex.

Cum se află inversul unui număr dat

Să luăm în considerare cazul general. Dacă numărul inițial este egal cu a, atunci numărul său invers va fi scris ca 1 a sau a - 1. Într-adevăr, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Pentru numerele naturale și fracții obișnuite găsirea numărului reciproc este destul de simplă. S-ar putea chiar spune că este evident. Dacă găsiți un număr care este inversul unui număr irațional sau complex, va trebui să faceți o serie de calcule.

Să luăm în considerare cele mai frecvente cazuri de găsire a numărului reciproc în practică.

Reciproca unei fracții comune

Evident, reciproca fracției comune a b este fracția b a. Deci, pentru a găsi inversul unei fracții, trebuie pur și simplu să răsturnați fracția. Adică schimbați numărătorul și numitorul.

Conform acestei reguli, puteți scrie reciproca oricărei fracții obișnuite aproape imediat. Deci, pentru fracția 28 57, numărul reciproc va fi fracția 57 28, iar pentru fracția 789 256 - numărul 256 789.

Reciproca unui număr natural

Puteți găsi inversul oricărui număr natural în același mod în care găsiți inversul unei fracții. Este suficient să reprezentați numărul natural a sub forma unei fracții obișnuite a 1. Atunci numărul său invers va fi numărul 1 a. Pentru numărul natural 3, reciproca sa este fracția 1 3, pentru numărul 666 reciproca este 1 666 și așa mai departe.

O atenție deosebită trebuie acordată unuia, deoarece este singurul număr a cărui reciprocă este egală cu el însuși.

Nu există alte perechi de numere reciproce în care ambele componente sunt egale.

Reciproca unui număr mixt

Numărul mixt arată ca a b c. Pentru a găsi numărul său invers, trebuie să reprezentați numărul mixt ca o fracție improprie și apoi să selectați numărul invers pentru fracția rezultată.

De exemplu, să găsim numărul reciproc pentru 7 2 5. Mai întâi, să ne imaginăm 7 2 5 ca o fracție improprie: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Pentru fracția improprie 37 5, reciproca este 5 37.

Reciprocul unei zecimale

O zecimală poate fi reprezentată și ca o fracție. Găsirea reciprocă a unui număr zecimal se reduce la reprezentarea zecimală ca o fracție și găsirea reciprocei acesteia.

De exemplu, există o fracție 5, 128. Să găsim numărul său invers. Mai întâi, convertiți fracția zecimală într-o fracție obișnuită: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Pentru fracția rezultată, numărul reciproc va fi fracția 125 641.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu. Aflarea reciprocei unei zecimale

Să găsim numărul reciproc pentru fracția zecimală periodică 2, (18).

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție obișnuită:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

După traducere, putem scrie cu ușurință numărul reciproc pentru fracția 24 11. Acest număr va fi evident 11 24.

Pentru o fracție zecimală infinită și neperiodică, numărul reciproc se scrie ca o fracție cu o unitate la numărător și fracția însăși la numitor. De exemplu, pentru fracția infinită 3, 6025635789. . . numărul reciproc va fi 1 3, 6025635789. . . .

În mod similar, pentru numerele iraționale corespunzătoare fracțiilor infinite neperiodice, numerele reciproce sunt scrise sub formă de expresii fracționale.

De exemplu, reciproca pentru π + 3 3 80 va fi 80 π + 3 3, iar pentru numărul 8 + e 2 + e reciproca va fi fracția 1 8 + e 2 + e.

Numere reciproce cu rădăcini

Dacă tipul a două numere este diferit de a și 1 a, atunci nu este întotdeauna ușor de determinat dacă numerele sunt reciproce. Acest lucru este valabil mai ales pentru numerele care au un semn rădăcină în notație, deoarece de obicei este obișnuit să scapi de rădăcina din numitor.

Să trecem la practică.

Să răspundem la întrebarea: numerele 4 - 2 3 și 1 + 3 2 sunt reciproce?

Pentru a afla dacă numerele sunt reciproce, să le calculăm produsul.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produsul este egal cu unu, ceea ce înseamnă că numerele sunt reciproce.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu. Numere reciproce cu rădăcini

Scrieți reciproca lui 5 3 + 1.

Putem scrie imediat că numărul reciproc este egal cu fracția 1 5 3 + 1. Cu toate acestea, așa cum am spus deja, se obișnuiește să scapi de rădăcina din numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărătorul și numitorul cu 25 3 - 5 3 + 1. Primim:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Numere reciproce cu puteri

Să presupunem că există un număr egal cu o anumită putere a numărului a. Cu alte cuvinte, numărul a ridicat la puterea n. Reciproca numărului a n este numărul a - n . Hai să verificăm. Într-adevăr: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Exemplu. Numere reciproce cu puteri

Să găsim numărul reciproc pentru 5 - 3 + 4.

Conform celor scrise mai sus, numărul necesar este 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Numere reciproce cu logaritmi

Pentru logaritmul unui număr la baza b, inversul este numărul egal cu logaritmul lui b la baza a.

log a b și log b a sunt numere reciproc inverse.

Hai să verificăm. Din proprietățile logaritmului rezultă că log a b = 1 log b a, ceea ce înseamnă log a b · log b a.

Exemplu. Numere reciproce cu logaritmi

Aflați reciproca log 3 5 - 2 3 .

Reciproca logaritmului de la 3 la baza 3 5 - 2 este logaritmul de 3 5 - 2 la baza 3.

Inversa unui număr complex

După cum sa menționat mai devreme, definiția numerelor reciproce este valabilă nu numai pentru numere reale, dar și pentru cele complexe.

Numerele complexe sunt de obicei reprezentate în formă algebrică z = x + i y. Reciproca numărului dat este o fracție

1 x + i y . Pentru comoditate, puteți scurta această expresie înmulțind numărătorul și numitorul cu x - i y.

Exemplu. Inversa unui număr complex

Fie un număr complex z = 4 + i. Să găsim inversul acesteia.

Reciproca lui z = 4 + i va fi egală cu 1 4 + i.

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu 4 - i și obțineți:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Pe lângă forma algebrică, un număr complex poate fi reprezentat în formă trigonometrică sau exponențială după cum urmează:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

În consecință, numărul invers va arăta astfel:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Să ne asigurăm de asta:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Să luăm în considerare exemple cu reprezentarea numerelor complexe în formă trigonometrică și exponențială.

Să găsim numărul invers pentru 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Considerând că r = 2 3, φ = π 6, scriem numărul invers

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Exemplu. Aflați inversul unui număr complex

Ce număr va fi reciproca lui 2 · e i · - 2 π 5 .

Răspuns: 1 2 e i 2 π 5

Suma numerelor reciproce. Inegalitate

Există o teoremă despre suma a două numere reciproc inverse.

Suma numerelor reciproce

Suma a două numere pozitive și reciproce este întotdeauna mai mare sau egală cu 2.

Să dăm o demonstrație a teoremei. După cum se știe, pentru orice numere pozitive a și b, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică. Aceasta poate fi scrisă ca o inegalitate:

a + b 2 ≥ a b

Dacă în loc de numărul b luăm inversul lui a, inegalitatea va lua forma:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Să dăm un exemplu practic care ilustrează această proprietate.

Exemplu. Aflați suma numerelor reciproce

Să calculăm suma numerelor 2 3 și inversul acesteia.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

După cum spune teorema, numărul rezultat este mai mare decât doi.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Numerele reciproce - sau reciproc reciproce - sunt o pereche de numere care, atunci când sunt înmulțite, dau 1. De fapt vedere generala reciprocele sunt numere. Un caz special caracteristic al numerelor reciproce este o pereche. Inversurile sunt, să zicem, numere; .

Cum să găsești reciproca unui număr

Regula: trebuie să împărțiți 1 (unu) la un număr dat.

Exemplul nr. 1.

Este dat numărul 8. Inversa sa este 1:8 sau (este de preferat a doua opțiune, deoarece această notație este mai corectă din punct de vedere matematic).

Când căutați numărul reciproc pentru o fracție comună, împărțirea lui la 1 nu este foarte convenabilă, deoarece înregistrarea este greoaie. În acest caz, este mult mai ușor să faci lucrurile diferit: fracția este pur și simplu răsturnată, schimbând numărătorul și numitorul. Dacă este dată o fracție adecvată, atunci după ce o răsturnați, fracția rezultată este improprie, adică. unul de care se poate izola o întreagă parte. Dacă se face acest lucru sau nu, trebuie decis de la caz la caz. Deci, dacă trebuie să efectuați unele acțiuni cu fracția inversată rezultată (de exemplu, înmulțirea sau împărțirea), atunci nu ar trebui să selectați întreaga parte. Dacă fracția rezultată este rezultatul final, atunci poate că izolarea întregii părți este de dorit.

Exemplul nr. 2.

Dată o fracție. Revers la ea: .

Dacă trebuie să găsiți reciproca unei fracții zecimale, ar trebui să utilizați prima regulă (împărțirea 1 la număr). În această situație, puteți acționa într-unul din 2 moduri. Primul este să împărțiți pur și simplu 1 cu acel număr într-o coloană. Al doilea este de a forma o fracție de la un 1 la numărător și o zecimală la numitor, apoi înmulțiți numărătorul și numitorul cu 10, 100 sau un alt număr format dintr-un 1 și câte zerouri este necesar pentru a scăpa de virgulă zecimală la numitor. Rezultatul va fi o fracție obișnuită, care este rezultatul. Dacă este necesar, poate fi necesar să îl scurtați, să selectați o parte întreagă din el sau să o convertiți în formă zecimală.

Exemplul nr. 3.

Numărul dat este 0,82. Numărul reciproc este: . Acum să reducem fracția și să selectăm întreaga parte: .

Cum se verifică dacă două numere sunt reciproce

Principiul verificării se bazează pe determinarea numerelor reciproce. Adică, pentru a vă asigura că numerele sunt reciproce între ele, trebuie să le înmulțiți. Dacă rezultatul este unul, atunci numerele sunt reciproc inverse.

Exemplul nr. 4.

Având în vedere numerele 0,125 și 8. Sunt reciproce?

Examinare. Este necesar să găsim produsul dintre 0,125 și 8. Pentru claritate, să prezentăm aceste numere sub formă de fracții obișnuite: (reduceți prima fracție cu 125). Concluzie: numerele 0,125 și 8 sunt reciproce.

Proprietățile numerelor reciproce

Proprietatea nr. 1

Există o reciprocă pentru orice număr, cu excepția lui 0.

Această limitare se datorează faptului că nu puteți împărți la 0, iar la determinarea numărului reciproc pentru zero, acesta va trebui mutat la numitor, adică. de fapt împărți cu ea.

Proprietatea nr. 2

Suma unei perechi de numere reciproce este întotdeauna nu mai mică de 2.

Matematic, această proprietate poate fi exprimată prin inegalitatea: .

Proprietatea nr. 3

Înmulțirea unui număr cu două numere reciproce este echivalentă cu înmulțirea cu unul. Să exprimăm matematic această proprietate: .

Exemplul nr. 5.

Aflați valoarea expresiei: 3,4·0,125·8. Deoarece numerele 0,125 și 8 sunt reciproce (vezi Exemplul nr. 4), nu este nevoie să înmulțiți 3,4 cu 0,125 și apoi cu 8. Deci, răspunsul aici va fi 3.4.