Ecuația dreaptă în avion. Vector de ghidare directă. Vector normal. Elaborarea și soluționarea ecuațiilor chimice a ecuațiilor directe în segmente

Faceți ecuația - înseamnă să exprimați în formă matematică relația dintre sarcinile de date (cunoscute) și valorile dorite (necunoscute). Uneori, această conexiune este atât de clar conținută în formularea problemei că compilarea ecuației este pur și simplu retelarea literală a problemei, în limba semnelor matematice.

Exemplu 1. Petrov a ajuns la locul de muncă pentru 160 de ruble. Mai mult de jumătate din suma pe care a primit-o Ivanov. Împreună au primit 1120 de ruble. Cât de mult au obținut pentru lucrarea lui Petrov și Ivanov? Denotă de x câștigurile Ivanova. Jumătate din câștigurile sale sunt de 0,5x; Câștiguri lunare Petrova 0.5x + 160 împreună câștigă 1120 de ruble; Recordul matematic al ultimei fraze va fi

(0,5x + 160) + x \u003d 1120.

Ecuația este întocmită. Hotărând uneori la regulile stabilite, găsirea câștigurilor Ivanov X \u003d 640 ruble; Câștigurile Petrova 0.5x + 160 \u003d 480 (RUB.).

Cupa, cu toate acestea, se întâmplă ca relația dintre date și valorile dorite să nu fie specificată direct în sarcină; Trebuie să fie instalat pe baza condițiilor sarcinii. În sarcini practice, se întâmplă aproape întotdeauna. Exemplul de mai sus este definit; În viață, aproape niciodată nu se găsesc astfel de sarcini.

Pentru a compila ecuația, prin urmare, este imposibil să se ofere instrucțiuni destul de exhaustive. Cu toate acestea, la început este util să fie ghidat de următoarele. Vom lua valoarea valorii dorite (sau mai multe cantități) un fel de aleatorie a numărului (sau mai multe numere) și vom pune o sarcină pentru a verifica dacă am ghicit soluția potrivită la problemă sau nu. Dacă am reușit să cheltuim acest cec și să detectăm fie că este adevărat că este adevărat sau ceea ce este incorect (cel mai probabil se întâmplă, desigur, al doilea), putem face imediat ecuația dorită (sau mai multe ecuații). Este că vom scrie însăși acțiunile pe care le-am produs pentru a verifica, numai în loc de aleatoriu, introducem un semn alcalin al unei valori necunoscute. Obținem ecuația dorită.

Exemplul 2. O bucată de aliaj de cupru și volum de zinc în 1 DM3 cântărește 8,14 kg. Cât de mult cupru este conținut în aliaj? (Ud. Greutate de cupru 8,9 kg / DM3; Zinc - 7,0 kg / DM3).

Luați la întâmplare numărul care exprimă cantitatea dorită de cupru, de exemplu 0,3 DM3. Verificați, am luat cu succes acest număr. Deoarece cuprul de 1 kg / dm3 cântărește 8,9 kg, apoi 0,3 DM3 cântărește 8,9 * 0,3 \u003d 2,67 (kg). Volumul zinc în aliaj este 1 - 0,3 \u003d 0,7 (DM3). Greutatea sa 7.0 0,7 \u003d 4,9 (kg). Greutatea totală a zincului și cuprului 2,67 + + 4,9 \u003d 7,57 (kg). Între timp, greutatea piesei noastre, sub condiția problemei, 8,14 kg. Ghiciul nostru este incontestabil. Dar obținem imediat ecuația soluției care va da răspunsul corect. În loc de numărul rapid de 0,3 DM3, denotăm cantitatea de cupru (în DM3) prin X. În loc de lucrarea 8.9 0.3 \u003d 2,67, efectuăm generarea de 8,9 x. Aceasta este greutatea cuprului în aliaj. În loc de 1 - 0,3 \u003d 0,7 Luați 1 - X; Acesta este volumul de zinc. În loc de 7,0 0,7 \u003d 4,9 luăm 7,0 (1 - X); Aceasta este greutatea zincului. În loc de 2,67 + 4.9 Luați 8,9 x + 7,0 (1 - X); Aceasta este greutatea totală a zincului și a cuprului. În condiții, este de 8,14 kg; Prin urmare, 8,9 x + 7,0 (1 - x) \u003d 8,14.

Soluția acestei ecuații dă x \u003d 0,6. Verificarea la întâmplare a deciziei poate fi făcută în diferite moduri; În consecință, pot fi obținute diferite tipuri de ecuație pentru aceeași problemă; Cu toate acestea, toate acestea vor fi date pentru valoarea dorită a aceleiași soluții, astfel de ecuații sunt numite echivalente între ele.

Desigur, după primirea abilităților în pregătirea ecuațiilor, nu este nevoie să verificați la numărul aleator: Este posibil ca valoarea mărimii dorite, nu numărul, ci orice literă (x, y etc.) și Faceți același lucru ca și cum această literă (necunoscută) a fost printre numărul, pe care o vom verifica.

Rezolvarea problemelor este de obicei redusă pentru a găsi valoarea oricărei valori prin raționamente logice și calcule. De exemplu, găsiți viteza, timpul, distanța, o mulțime de un fel de subiect sau numărul de ceva.

O astfel de sarcină poate fi rezolvată folosind ecuația. Pentru aceasta, valoarea dorită este indicată de o variabilă, atunci ecuația este făcută prin raționament logic și rezolvă ecuația. Decizia ecuației, efectuează o verificare dacă soluția satisface ecuația cu condițiile problemei.

Design de lecție

Expresii de înregistrare care conțin un necunoscut

Soluția problemei este însoțită de pregătirea ecuației cu această problemă. La etapa inițială de studiere a sarcinilor, este recomandabil să înveți cum să constituie expresii alfabetice care descriu această situație sau acea situație de viață. Această etapă nu este dificilă și poate fi studiată în procesul de rezolvare a sarcinii în sine.

Luați în considerare mai multe situații care pot fi scrise cu o expresie matematică.

Sarcina 1.. Vârsta tatălui x. ani. Mamă timp de doi ani mai tineri. Fiul mai tânăr decât tatăl meu de 3 ori. Notați vârsta fiecăruia folosind expresii.

Decizie:

Sarcina 2.. Vârsta tatălui x. Ani, mamă timp de 2 ani mai tânăr decât tatăl meu. Fiul mai tânăr decât tatăl meu de 3 ori, fiica mai mică a mamei de 3 ori. Notați vârsta fiecăruia folosind expresii.

Decizie:

Sarcina 3.. Vârsta tatălui x. Ani, mamă timp de 3 ani mai tânăr decât tatăl meu. Fiul mai tânăr decât tatăl meu de 3 ori, fiica mai mică a mamei de 3 ori. Cât de veche este toată lumea, dacă vârsta totală a tatălui, mamei, fiului și fiicelor are 92 de ani?

Decizie:

În această sarcină, pe lângă scrierea expresiilor, este necesar să se calculeze vârsta fiecărui membru al familiei.

Mai întâi scriem vârsta fiecărui membru al familiei folosind expresii. Pentru o variabilă x. Vom lua vârsta tatălui și apoi vom folosi această variabilă pentru a face expresiile rămase:

Acum definim vârsta fiecărui membru al familiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să facem și să rezolvăm ecuația. Toate componentele ecuației sunt pregătite pentru noi. Rămâne doar să le colectez împreună.

Vârsta totală în 92 de ani sa dovedit prin adăugarea de veacuri de papă, mamă, fiu și fiică:

Pentru fiecare vârstă, am reprezentat o expresie matematică. Aceste expresii vor fi componentele ecuației noastre. Să ne colectăm ecuația în conformitate cu această schemă și la masă, care a fost dată mai sus. Adică cuvintele tatălui, mamei, fiicei, fiicei vor înlocui expresia pe ea în masă:

Expresia responsabilă pentru vârsta mamei x - 3, Pentru claritate, a fost luată în paranteze.

Acum rezolvăm ecuația rezultată. Pentru a începe cu, puteți dezvălui paranteze unde poate fi:

Pentru a elibera ecuația din fracțiuni, multiplicați ambele părți pentru 3

Rezolvăm ecuația rezultată, folosind transformări identice celebre:

Am găsit valoarea variabilei x. . Această variabilă a fost responsabilă pentru vârsta Tatălui. Așa că vârsta tatălui are 36 de ani.

Cunoscând vârsta tatălui, puteți calcula vârstele altor membri ai familiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea variabilei x. În aceste expresii care sunt responsabile pentru vârsta unui anumit membru al familiei.

Sarcina a spus că mama avea 3 ani. Vârsta ei am marcat prin expresie x-3. Valoarea variabilă x. Acum este cunoscut și de a calcula vârsta mamei, trebuie să-ți exprimi x - 3. in schimb x. Înlocuiți valoarea găsită 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 ani mama.

În mod similar, este determinată vârsta altor membri ai familiei:

Verifica:

Sarcina 4.. Kilogram mere în picioare x. ruble. Notați expresia care calculează câte kilograme de mere pot fi cumpărate cu 300 de ruble.

Decizie

Dacă merită un kilogram de mere x. Ruble, apoi 300 de ruble puteți cumpăra un kilogram de mere.

Exemplu. Kilogram Merele costă 50 de ruble. Apoi puteți cumpăra 300 de ruble, adică 6 kilograme de mere.

Sarcina 5.. Pe x. Rublele au fost achiziționate de 5 kg de mere. Scrieți expresia care calculează câte ruble este un kilogram de mere.

Decizie

Dacă s-au plătit 5 kg de mere x. ruble, apoi un kilogram va suporta rublele

Exemplu. Pentru 300 de ruble, au fost achiziționate 5 kg de mere. Apoi, un kilogram de mere va merita, adică 60 de ruble.

Sarcina 6.. Tom, John și Leo despre schimbare s-au dus la sala de mese și au cumpărat pe sandwich și pe un cerc de cafea. Sandwich stau x. rublele și o cană de cafea - 15 ruble. Determinați costul sandvișurilor, dacă se știe că 120 de ruble au fost plătite pentru tot?

Decizie

Desigur, această sarcină este simplă ca trei copeici și poate fi rezolvată fără a recurge la ecuație. Pentru a face acest lucru, din 120 de ruble trebuie să scăpați costul a trei cani de cafea (15 × 3), iar rezultatul obținut este împărțit în 3

Dar scopul nostru este de a face o ecuație pentru sarcină și de a rezolva această ecuație. Deci, costul sandwich-urilor x. ruble. Le-a cumpărat doar trei. Creșterea costurilor de trei ori, vom primi o expresie care descrie câte ruble au fost plătite pentru trei sandwich-uri

3x - costul a trei sandwich-uri

Și costul a trei cercuri de cafea poate fi scris ca 15 × 3. 15 Acesta este costul unei cani de cafea și 3 multiplicatori (Tom, John și Leo), care crește acest cost de trei ori.

Sub condiția sarcinii pentru tot ce plătește 120 de ruble. Avem deja o schemă aproximativă pe care trebuie să o faceți:

Expresii care descriu costul a trei sandwich-uri și trei cani de cafea, suntem gata. Acestea sunt expresii 3. x. și 15 × 3. Folosind schema pentru a face ecuația și a rezolva:

Deci, costul unui sandwicher este de 25 de ruble.

Sarcina este rezolvată corect numai dacă ecuația la acesta este compilată corect. Spre deosebire de ecuațiile obișnuite prin care învățăm să găsim rădăcini, ecuațiile pentru rezolvarea sarcinilor au propria lor cerere. Fiecare componentă a unei astfel de ecuații poate fi descrisă în formă verbală. Făcând ecuația, este necesar să înțelegem ceea ce includem în compoziția sa una sau altă componentă și de ce este necesar.

De asemenea, este necesar să ne amintim că ecuația este egalitatea, după care partea stângă ar trebui să fie egală cu partea dreaptă. Ecuația compusă nu ar trebui să contrazice această idee.

Imaginați-vă că ecuația este scale cu două boluri și un ecran care arată starea scalelor.

În prezent, ecranul arată semnul egalității. Este clar de ce castronul stâng este egal cu castronul drept - nu este nimic pe boluri. Starea scalelor și absența unui lucru pe castronul ceva cu ajutorul următoarei egalități:

0 = 0

Punem scale de pepene verde pe carcasa din stânga:

Bowlul stâng a atârnat cupa dreaptă și ecranul a marcat o alarmă, arătând că semnul nu este egal cu (≠). Acest semn sugerează că castronul stâng nu este egal cu castronul drept.

Acum, să încercăm să rezolvăm problema. Lăsați-i să vrea să afle cât de mult cântărește pepene verde, care se află pe castronul stâng. Dar cum să afli? La urma urmei, scalele noastre sunt destinate numai verificării dacă castronul stâng este egal cu partea dreaptă.

Ecuațiile vin la salvare. Amintiți-vă că ecuația prin definiție este egalitatecare conține valoarea variabilă a căror este necesară pentru a găsi. Cântarele din acest caz joacă rolul acestei ecuații în sine, iar masa pepene verde este o variabilă, a cărei valoare trebuie găsită. Scopul nostru este de a compila corect această ecuație. Înțelegeți, aliniați scalele astfel încât să putem calcula masa pepene verde.

Pentru a alinia scalele, puteți pune orice element greu pe castronul drept. De exemplu, am pus o greutate de 7 kg acolo.

Acum, dimpotrivă, castronul potrivit a atârnat stânga. Ecranul arată încă că bolurile nu sunt egale.

Să încercăm să punem o greutate de 4 kg pe castronul din stânga

Acum scalele s-au îndreptat. Figura arată că castronul stâng la nivelul castronului drept. Și ecranul arată semnul egalității. Acest semn sugerează că castronul stâng este egal cu castronul drept.

Astfel, am obținut ecuația - egalitatea care conține un necunoscut. Bowlul stâng este partea stângă a ecuației constând din componente 4 și variabile x. (Masa pepene verde), iar castronul drept este partea dreaptă a ecuației constând din componenta 7.

Ei bine, nu este dificil să ghiciți că rădăcina ecuației 4 + x. \u003d 7 este 3. Înseamnă că masa pepenei este de 3 kg.

În mod similar, lucrurile sunt și cu alte sarcini. Pentru a găsi o valoare necunoscută, diferite elemente adaugă diferite elemente în stânga sau la partea dreaptă a ecuației: termeni, multiplicatori, expresii. În sarcinile școlare, aceste elemente sunt deja date. Rămâne doar să le structureze în mod corespunzător și să construiască o ecuație. Am fost angajați în acest exemplu, încercând greutățile diferitelor mase pentru a calcula masa pepene verde.

În mod natural, aceste date care sunt date în sarcină trebuie mai întâi să conducă la forma în care pot fi incluși în ecuație. Prin urmare, așa cum spun ei "Vrei să nu vrei, și trebuie să te gândești".

Luați în considerare următoarea sarcină. Vârsta tatălui este egală cu vârsta Fiului și a fiicei împreună. Fiul este de două ori mai în vârstă decât fiica și douăzeci de ani mai tânăr decât tatăl său. Cât de veche este toată lumea?

Vârsta fiicei poate fi denotată prin x. . Dacă fiul este de două ori mai în vârstă decât fiica sa, atunci vârsta lui va fi marcată ca 2 x. . În ceea ce privește problema, se spune că împreună vârsta fiicei sale și a fiului său este egală cu vârsta tatălui. Astfel încât vârsta tatălui va fi denotată de sumă x. + 2x.

În expresie puteți aduce termeni similari. Atunci vârsta tatălui va fi denotată ca 3 x.

Acum faceți o ecuație. Trebuie să obținem egalitate în care puteți găsi un necunoscut x. . Folosim greutăți. Pe castronul stâng, pune vârsta tatălui (3 x.), iar pe castronul drept al vârstei fiului (2 x.)

Este clar de ce castronul stâng a atârnat dreapta și de ce ecranul arată semnul (≠). La urma urmei, este logic că vârsta tatălui este mai mult decât vârsta Fiului.

Dar trebuie să egalizăm scalele astfel încât să puteți calcula necunoscutul x. . Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați orice număr în Cupa dreaptă. Ce fel de număr este indicat în sarcină. Condiția a spus că fiul este mai mic decât tatăl timp de 20 de ani. Deci 20 de ani este același număr pentru a pune pe scale.

Cântarele sunt îndreptate dacă adăugăm acești 20 de ani la castronul drept al scărilor. Cu alte cuvinte, cresc fiul meu la vârsta tatălui

Acum scalele s-au îndreptat. Ecuația sa dovedit care este ușor rezolvată:

x. Am notat vârsta fiicei. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Fiica de 20 de ani.

Ei bine, în cele din urmă, calculul vârstei tatălui. Sarcina a spus că era egală cu suma veacurilor fiului și fiicei, adică (20 + 40) ani.

Să ne întoarcem la mijlocul sarcinii și să acordăm atenție unui moment. Când am pus vârsta tatălui și vârsta Fiului pe cântare, castronul stâng a întors dreptul

Dar am decis această problemă adăugând încă 20 de ani pe castronul drept. Ca rezultat, cântarele au fost îndreptate și am fost egali

Dar a fost posibil să nu adăugați acești 20 de ani în trecut și să le scăpați din stânga. Vom primi egalitate și în acest caz

De data aceasta este obținută ecuația . Rădăcina ecuației este încă egală cu 20

Adică ecuațiile și sunt echivalente. Și ne amintim că ecuațiile echivalente ale rădăcinilor coincid. Dacă vă uitați cu atenție la aceste două ecuații, puteți vedea că a doua ecuație este obținută prin transferul numărului 20 din partea dreaptă spre stânga cu semnul opus. Și această acțiune, așa cum a fost indicată în lecția anterioară, nu schimbă rădăcinile ecuației.

De asemenea, este necesar să se acorde atenție faptului că la începutul soluționării sarcinii, vârstele fiecărui membru al familiei ar putea fi desemnate prin alte expresii.

Să spunem vârsta fiului să desemneze x. Și din moment ce este de două fiică mai în vârstă, atunci vârsta fiicei sale să desemneze (înțelegeți să o facă mai mică decât fiul de două ori). Și vârsta tatălui ca este suma veacurilor Fiului și a fiicelor de a desemna prin expresie. În cele din urmă, pentru a construi o ecuație corectă logic, numărul 20 ar trebui să fie adăugat la vârsta Fiului, deoarece tatăl este mai vechi timp de douăzeci de ani. Ca rezultat, se dovedește o ecuație complet diferită . Lăsați această ecuație să decidă

După cum puteți vedea răspunsurile la sarcină nu sa schimbat. Fiul încă 40 de ani. Fiice încă ani și tată 40 + 20 de ani.

Cu alte cuvinte, sarcina poate fi rezolvată prin diferite metode. Prin urmare, nu ar trebui să disperați că este imposibil să rezolvăm această sarcină. Dar trebuie să rețineți că există cele mai simple modalități de a rezolva problema. Puteți închiria o varietate de rute în centrul orașului, dar există întotdeauna calea cea mai convenabilă, rapidă și sigură.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcina 1. Două pachete de numai 30 de notebook-uri. Dacă din primul pachet a fost transferat la cel de-al doilea 2 notebook-uri, atunci în primul pachet, ar fi de două ori mai multe notebook-uri decât în \u200b\u200bal doilea. Câte notebook-uri au fost în fiecare pachet?

Decizie

Denotă de x. Numărul de notebook-uri care a fost în primul pachet. Dacă toate notebook-urile au fost de 30 și variabila x. Acesta este numărul de notebook-uri din primul pachet, numărul de notebook-uri din cel de-al doilea pachet va fi notat prin expresia 30 - x. . Aceasta este, din numărul total de notebook-uri, scădem numărul de notebook-uri de la primul pachet și, prin urmare, obținem numărul de notebook-uri din cel de-al doilea pachet.

și să adăugați aceste două notebook-uri la al doilea pachet

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente. Puneți pe scale atât pachete de notebook-uri

Bowlul stâng este mai greu. Acest lucru se datorează faptului că în starea de sarcină se spune că după ce două notebook-uri au luat de la primul pachet și le-a pus în al doilea rând, numărul de notebook-uri în primul pachet a fost de două ori mai mare decât în \u200b\u200bal doilea.

Pentru a alinia scalele și a obține ecuația, creșteți partea dreaptă de două ori. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-l pe 2

Ecuația este obținută. Lăsați această ecuație:

Primul pachet pe care l-am notat prin variabila x. . Acum am găsit semnificația ei. Variabil x. Egal cu 22. Deci, au existat 22 de notebook-uri în primul pachet.

Și am notat al doilea pachet prin expresia 30 - x. și de la valoarea schimbării x. Acum este cunoscut, atunci puteți calcula numărul de notebook-uri în cel de-al doilea pachet. Este egal cu 30-22, adică 8 bucăți.

Sarcina 2.. Două persoane curățate cartofii. Unul a fost purificat într-un minut doi cartofi, iar al doilea este trei cartofi. Împreună au curățat 400 de bucăți. Cât timp a funcționat toată lumea, dacă al doilea a lucrat timp de 25 de minute mai mult decât primul?

Decizie

Denotă de x. Timpul de deschidere al primei persoane. Deoarece a doua persoană a lucrat timp de 25 de minute mai mult decât prima, atunci timpul său va fi indicat prin expresie

Primul lucru pe minut a eliberat 2 cartofi și de când a lucrat x. minute, apoi a curățat 2 x. Cartof.

A doua persoană a fost curățată de trei cartofi pe minut, iar de când a lucrat timp de câteva minute, a îndepărtat cartoful.

Împreună au curățat 400 de cartofi

Din componentele existente și rezolvați ecuația. În partea stângă a ecuației vor fi cartofi, purificați de fiecare persoană și în partea dreaptă a sumei lor:

La începutul soluției la această problemă prin variabila x. Am marcat ora de deschidere a primei persoane. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Prima persoană a lucrat timp de 65 de minute.

Și a doua persoană a lucrat timp de câteva minute și de la valoarea variabilei x. Acum este cunoscut, atunci puteți calcula timpul de funcționare a celei de-a doua persoane - este egal cu 65 + 25, adică 90 de minute.

Sarcina din manualul de pe algebra din Andrei Petrovich Kiseleva. Din soiurile de ceai, se compune un amestec de 32 kg. K kilogram de gradul întâi costă 8 ruble, iar clasa a doua este de 6 ruble. 50 de copeici Câte kilograme sunt luate de la celălalt soi, dacă un kilogram al amestecului este (fără profit și pierdere) 7 ruble. 10 polițist?

Decizie

Denotă de x. Ceaiul de masă al clasei I. Apoi, masa ceaiului din clasa a doua va fi denotată prin expresia 32 - x.

Kilogram de clasa de la ceai costă 8 ruble. Dacă aceste opt ruble înmulțesc numărul de kilograme ale kilogramei de gradul întâi, atunci va fi posibil să știm cât de multe ruble costă x. KG Cea mai întâi clasa întâi.

Un kilogram de clasa a doua costă 6 ruble. 50 de copeici Dacă aceste 6 ruble. 50 de copeici Multiplicați cu 32. - X. Apoi puteți afla câte ruble costă 32 - X.kg ceai clasa a doua.

Condiția spune că un kilogram al amestecului costă 7 ruble. 10 polițist În total, s-au preparat 32 kg de amestec. Înmulțiți 7 ruble. 10 polițist Pe 32 de ani, putem afla cât de mult costă 32 kg a amestecului.

Expresii ale căror vom întocmi ecuația luăm acum următoarea formă:

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente. Puneți costul amestecurilor de ceai din prima și al doilea grad pe partea stângă a cântarelor și am pus valoarea de 32 kg de amestec pe castronul drept, adică costul total al amestecului, ca parte din care Ambele soiuri de ceai:

La începutul soluției la această problemă prin variabila x. Am marcat masa clasei I. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil x. egal cu 12,8. Astfel, au fost luate 12,8 kg de ceai din clasa întâi pentru a pregăti amestecul.

Și prin expresia 32 - X. Am etichetat masa ceaiului de clasa a doua și de la valoarea schimbării x. Acum este cunoscut, atunci puteți calcula masa ceaiului de clasa a doua. Este egal cu 32 - 12,8, adică 19.2. Astfel, pentru prepararea amestecului, s-au luat 19,2 kg de ceai din clasa a doua.

Sarcina 3.. Ciclistul a condus la o distanță la o viteză de 8 km / h. Ar fi trebuit să-și întoarcă un alt scump, care era la 3 km mai mult decât primul, și, deși întoarcerea, a condus la o viteză de 9 km / h, a folosit timp de câteva minute. Cât timp erau drumurile?

Decizie

Unele sarcini pot afecta teme că o persoană nu ar fi studiat. Această sarcină se referă la un astfel de cerc de sarcini. Aceasta afectează conceptele distanței, vitezei și timpului. În consecință, pentru a rezolva o astfel de sarcină, trebuie să aveți o idee despre acele lucruri menționate în sarcină. În cazul nostru, trebuie să știți care este distanța, viteza și timpul.

Sarcina de care aveți nevoie pentru a găsi distanțe de două drumuri. Trebuie să formăm o ecuație care va calcula aceste distanțe.

Amintiți-vă cât de interdependentă, viteză și timp. Fiecare dintre aceste valori poate fi descrisă utilizând o ecuație alfabone:

Partea dreaptă a uneia dintre aceste ecuații pe care le vom folosi pentru a vă compila ecuația. Pentru a afla exact ce trebuie să vă întoarceți la textul sarcinii și să acordați atenție următoarei momente:

Atenția ar trebui să fie plătită în momentul în care ciclistul pe calea opusă a folosit timp pentru câteva minute mai mult. Acest sfat ne indică faptul că este posibil să utilizați ecuația, și anume partea dreaptă. Acest lucru ne va permite să realizăm ecuația care conține o variabilă S. .

Deci, denotăm lungimea primului drum prin S. . Acest ciclist de cale a condus la o viteză de 8 km / h. Timpul pentru care a depășit această cale va fi notat de expresie, deoarece timpul este raportul dintre distanța parcursă la viteză

Drumul de întoarcere pentru ciclist a fost mai mare de 3 km. Prin urmare, distanța sa va fi denotată prin expresie S.+ 3. Acest ciclist de drum a condus la o viteză de 9 km / h. Deci timpul pentru care a depășit această cale va fi notat de expresie.

Acum faceți o ecuație din expresiile existente

Bowl-ul drept este mai greu stânga. Acest lucru se datorează faptului că sarcina spune că ciclistul a petrecut pe drum spre timp pentru mai mult.

Pentru a egaliza scalele se adaugă în partea stângă a acelorași minute. Dar mai întâi vom traduce minute la ore, deoarece în problemă, viteza este măsurată în kilometri pe oră, și nu în metri pe minut.

Pentru a traduce minute la ore, trebuie să le împărțiți cu 60 de ani

Minute se comportă o oră. Adăugăm aceste ore în partea stângă a ecuației:

Ecuația este obținută . Vom rezolva această ecuație. Pentru a scăpa de fracțiuni, ambele părți ale părții pot fi multiplicate cu 72. Apoi, folosind transformările identice cunoscute, vom găsi valoarea variabilei S.

Prin variabila S. Am notat distanța de primul drum. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil S. egal cu 15. Distanța de distanță este de 15 km.

Și distanța celui de-al doilea drum pe care l-am denotat prin expresie S.+ 3, și de la valoarea variabilei S. Acum este cunoscut, puteți calcula distanța dintre al doilea drum. Această distanță este egală cu cantitatea de 15 + 3, adică la 18 km.

Sarcina 4.. Există două mașini pe autostradă cu aceeași viteză. Dacă primul va crește viteza cu 10 km / h, iar al doilea va reduce viteza de 10 km / h, atunci primul va trece la fel de mult ca al doilea timp de 3 ore. Cu ce \u200b\u200bviteză merg mașinile?

Decizie

Denotă de v. Viteza fiecărei mașini. Apoi, sarcina arată solicitările: viteza primei mașini este mărită cu 10 km / h, iar a doua viteză este de a reduce 10 km / h. Folosim acest sfat

Afirmă că, la astfel de viteze (mărite și reduse cu 10 km / h), prima mașină va trece în 2 ore atâta timp cât distanța de 3 ore. Fraza "Cât de multe" pot fi înțelese ca "Distanța parcursă de prima mașină va fi in aceeasi masura Distanța parcursă de a doua mașină ".

Distanța pe care o amintim este determinată de formula. Suntem interesați de partea dreaptă a ecuației acestei scrisori - ne va permite să realizăm ecuația care conține o variabilă v. .

Deci, la viteză v + 10 km / h Prima mașină va trece 2 (V + 10) km iar al doilea va trece 3 (v - 10) km . Cu această condiție, aparatul va fi aceleași distanțe, prin urmare este suficient să combinați aceste două expresii de egalitate cu ecuația. Apoi primim ecuația. Îl rezolv:

Starea de sarcină a spus că mașinile merg la aceeași viteză. Am identificat această viteză prin variabila v. . Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil v. egal cu 50. Deci, viteza ambelor mașini a fost de 50 km / h.

Sarcina 5.. Timp de 9 ore de-a lungul râului, nava este la fel ca în 11 ore împotriva fluxului. Găsiți-vă propria rată a înălțimii în cazul în care debitul râului 2 km / h.

Decizie

Denotă de v. Viteza proprie a navei. Debitul râului este de 2 km / h. Prin fluxul râului, viteza navei va fi v + 2 km / h și împotriva actualei - (V - 2) km / h.

În starea problemei, se spune că în 9 ore de-a lungul râului, nava motorului trece în același mod în care în 11 ore față de curent. Fraza "În același mod" pot fi înțelese ca "Distanța parcursă de navă de râu în 9 ore, in aceeasi masura Distanța parcursă de navă împotriva curentului râului timp de 11 ore. Adică distanțele vor fi aceleași.

Distanța este determinată prin formula. Folosim partea dreaptă a acestei ecuații alfabetice pentru a vă compila ecuația.

Deci, în 9 ore de fluxul râului, nava motorului va trece 9 (V + 2) km , și timp de 11 ore față de actualul - 11 (v - 2) km. Deoarece ambele expresii descriu aceeași distanță, suntem echivalează prima expresie la al doilea. Ca rezultat, obținem ecuația. Îl rezolv:

Aceasta înseamnă că viteza proprie de nave este de 20 km / h.

La rezolvarea problemelor cu un obicei util este de a determina în prealabil despre ce decizie caută pentru aceasta.

Să presupunem că sarcina necesară pentru a găsi timpul pentru care pietonul va depăși calea specificată. Am desemnat timp prin variabila t. Mai mult a fost ecuația care conține această variabilă și și-a găsit valoarea.

Din practică, știm că momentul mișcării obiectului poate lua atât întregi și fracționate, de exemplu 2 ore, 1,5 ore, 0,5 ore. Apoi putem spune că soluția acestei probleme este căutată pentru un set de numere raționale Q.Deoarece fiecare dintre valorile de 2 ore, 1,5 ore, 0,5 ore pot fi reprezentate ca o fracțiune.

Prin urmare, după o valoare necunoscută a fost desemnată printr-o variabilă, este utilă indicarea care setată această valoare aparține. În exemplul nostru, timp t. aparține setului de numere raționale Q.

t. ∈ Q.

Puteți introduce o limită pentru variabila t. Prin specificarea faptului că nu poate decât să ia valori pozitive. Într-adevăr, dacă obiectul cheltuit pe calea unui anumit timp, atunci acest timp nu poate fi negativ. Deci, lângă expresie t.∈ Q. Indicăm că valoarea sa ar trebui să fie mai mare decât zero:

t.∈ R., t. > 0

Dacă rezolvați ecuația, vom obține o valoare negativă pentru variabila t. atunci va fi posibil să se concluzioneze că sarcina este rezolvată incorect, deoarece această decizie nu va satisface condiția t.∈ Q. , t.> 0 .

Alt exemplu. Dacă am decis sarcina în care era necesar să se găsească numărul de persoane care să efectueze o anumită lucrare, atunci această cantitate pe care am desemna prin variabila x. . Într-o astfel de sarcină, decizia va fi căutată la setul de numere naturale

x. ∈ N.

Într-adevăr, numărul de oameni este un număr întreg, de exemplu, 2 persoane, 3 persoane, 5 persoane. Dar nu 1,5 (o persoană întreagă și jumătate de persoană) sau 2.3 (două persoane întregi și încă trei zecimi).

Aici ar fi posibil să se indice că numărul de persoane ar trebui să fie mai mare decât zero, dar numerele incluse în multe numere naturale N. De la sine sunt pozitive și mari zero. În acest set nu există numere negative și numere 0. Prin urmare, expresia x\u003e 0 nu poate scrie.

Sarcina 6.. Pentru repararea școlii a ajuns o brigadă în care a fost de 2,5 ori mai mare decât ragerurile decât dulgherii. În curând, șeful a inclus încă patru pictori în brigadă, iar doi dulgheri au tradus la un alt obiect. Ca rezultat, pictorii din brigadă s-au dovedit a fi de 4 ori mai mare decât dulgheri. Câte Rampas și câți dulgheri au fost inițial în brigadă

Decizie

Denotă de x. Dulgheri care sosesc pentru reparații inițial.

Numărul de dulgheri este un număr mare, zero mare. Prin urmare, indicăm acest lucru x. deținut multe numere naturale

x.∈ N.

Malyarov a fost de 2,5 ori mai mare decât dulgheri. Prin urmare, numărul de pictori va fi marcat ca 2.5x..

Iar numărul de pictori va crește cu 4

Acum, numărul de dulgheri și pictori va fi desemnat prin următoarele expresii:

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente:

Bowl-ul drept este mai mult, deoarece după includerea în brigadă există încă patru covorașe, iar mișcarea a doi dulgheri într-un alt obiect, numărul de pictori din brigadă sa dovedit a fi de 4 ori mai mare decât dulgheri. Pentru a egaliza scalele, trebuie să măriți paharul din stânga de 4 ori:

A primit ecuația. Îl rezolv:

Prin variabila x. S-a indicat cantitatea inițială de dulgheri. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil x. 8. Deci 8 dulgheri au fost inițial în brigadă.

Iar numărul de prime a fost desemnat prin expresia 2.5 x. și de la valoarea variabilei x. Acum este cunoscut, atunci puteți calcula numărul de pictori - este egal cu 2,5 × 8, adică 20.

Ne întoarcem la începutul sarcinii și ne asigurăm că se observă condiția x.∈ N. Variabil x. egală cu 8 și elementele setului de numere naturale N. Acestea sunt toate numere începând cu 1, 2, 3 și așa mai departe la infinit. Același set include numărul 8 pe care l-am găsit.

8 ∈ N.

Același lucru se poate spune despre numărul de pictori. Numărul 20 aparține setului de numere naturale:

20 ∈ N.

Pentru a înțelege esența problemei și compilarea corectă a ecuației, nu este necesar să se utilizeze un model de scale cu boluri deloc. Puteți utiliza alte modele: segmente, mese, scheme. Puteți veni cu modelul dvs. care ar descrie bine esența sarcinii.

Sarcina 9.. 30% din laptele turnat din pot. Ca rezultat, rămâne 14 litri. Câți litri de lapte au fost inițial în Bidon?

Decizie

Valoarea dorită este numărul inițial de litri din bidon. Imagini numărul de litri sub formă de linie și semnați această linie ca x

Se spune că 30% din lapte au fost aruncați din pot. Subliniem în figura aproximativ 30%

Procentajul prin definiție este de o sută de ceva. Dacă au fost distribuite 30% din lapte, restul de 70% au rămas în Bidon. Aceste 70% sunt indicate de 14 litri în sarcină. Subliniem restul de 70% din cifra

Acum puteți crea o ecuație. Amintiți-vă cum să găsiți un procent din număr. Pentru aceasta, numărul total de ceva împărțit la 100 și rezultatul este înmulțit cu numărul necesar de procente. Observăm că 14 litri care constituie 70% pot fi obținuți în același mod: numărul inițial de litri X. împărțit la 100 și rezultatul este înmulțit cu 70. Toate acestea sunt echivalente cu numărul 14

Sau obțineți o ecuație mai simplă: 70% scrie ca 0.70, apoi înmulțiți cu x și echivalează această expresie la 14

Deci, inițial în Bidon a fost de 20 de litri de lapte.

Sarcina 9.. Au luat două aliaje de aur și argint. Într-un număr de aceste metale este în ceea ce privește 1: 9, iar în cealaltă 2: 3. Cât de mult ar trebui să ia fiecare aliaj pentru a obține 15 kg de un nou aliaj, în care aurul și argintul ar fi tratate ca 1: 4?

Decizie

Să încercăm să aflăm cât de mult aur și argint vor fi conținute în 15 kg de aliaj nou. Sarcina spune că conținutul acestor metale ar trebui să fie în termeni de 1: 4, adică o parte a aliajului ar trebui să aibă aur, iar patru părți sunt de argint. Apoi, întreaga piesă din aliaj vor fi de 1 + 4 \u003d 5, iar masa unei părți va fi de 15: 5 \u003d 3 kg.

Definim cât de mult va fi aurul în 15 kg de aliaj. Pentru aceasta, 3 kg se multiplică de numărul de piese de aur:

3 kg × 1 \u003d 3 kg

Definim câte argint vor fi conținute în 15 kg aliaj:

3 kg × 4 \u003d 12 kg

Deci, aliajul unei mase de 15 kg va conține 3 kg de aur și 12 kg de argint. Acum, să revenim la aliajele originale. Utilizați fiecare dintre ele. Denotă de x. Masa primului aliaj și masa celui de-al doilea aliaj poate fi notată după 15 - x.

Exprimați toate relațiile care sunt date în sarcină și completează următorul tabel:

În primul aliaj, aurul și argintul sunt în legătură cu 1: 9. Apoi, componentele totale vor fi 1 + 9 \u003d 10. Dintre acestea, va fi aur , și argint .

Mutați aceste date în tabel. 10% Răsfoiți în prima linie din grafic "Procentul de aur din aliaj", 90% caută, de asemenea, în prima linie a coloanei "Procentul de argint din aliaj", și în ultimul număr "Mass din aliaj" Să facem o variabilă x. Deoarece am marcat masa primului aliaj:

În mod similar, facem cu al doilea aliaj. Aur și argint în ea sunt în legătură cu 2: 3. Apoi, componentele totale vor fi 2 + 3 \u003d 5. Din acestea, va fi aur , și argint .

Mutați aceste date în tabel. 40% aduc la cea de-a doua linie la coloană "Procentul de aur din aliaj", 60% caută, de asemenea, în a doua linie "Procentul de argint din aliaj", și în ultimul număr "Mass din aliaj" Să conducem expresia 15 - x. De când am marcat masa celui de-al doilea aliaj:

Umpleți ultimul șir. Aliajul rezultat cântărește 15 kg va conține 3 kg de aur, care este Alloy și argint vor Aliaj. În ultimul număr, scrieți masa aliajului obținut 15

Acum, conform acestui tabel, puteți crea ecuații. Ne amintim. Dacă adăugăm separat aurul ambelor aliaje și echivalează această cantitate la masa aliajului obținut de aur, putem afla ce este egal cu valoarea x..

În primul aliaj de aur a fost de 0,10 x. și în al doilea aur aliaj a fost de 0,40 (15 - x.). Apoi, în aliajul rezultat, masa aurului va fi suma maselor de aur a primului și a doua aliajele și această masă este de 20% din noul aliaj. Și 20% din noul aliaj este de 3 kg de aur, calculată de noi mai devreme. Ca rezultat, obținem ecuația 0,10x.+ 0.40(15 − x.) = 3 . Lăsați această ecuație:

Inițial prin x. Am marcat masa primului aliaj. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil x. egal cu 10. și am desemnat masa celui de-al doilea aliaj după 15 - x. , și de la valoarea variabilei x. Acum este cunoscut, atunci puteți calcula masa celui de-al doilea aliaj, este egal cu 15-10 \u003d 5 kg.

Înseamnă a obține un nou aliaj care cântărește 15 kg în care aurul și argintul ar fi tratat ca 1: 4, trebuie să luați 10 kg de primă și 5 kg de al doilea aliaj.

Ecuația ar putea fi întocmită utilizând cea de-a doua coloană a tabelului rezultat. Apoi am obține ecuația 0,90x.+ 0.60(15 − x.) = 12. Rădăcina acestei ecuații este, de asemenea, egală cu 10

Sarcina 10.. Există un minereu de două straturi cu conținut de cupru de 6% și 11%. Cât de mult trebuie să luați orele slabe pentru a obține când amestecați cu un bogat 20 de tone cu un conținut de cupru de 8%?

Decizie

Denotă de x. Masa de minereu săraci. Din moment ce trebuie să obțineți 20 de tone de minereu, atunci minereul bogat va fi luat 20 - x. . Deoarece conținutul de cupru în minereu sărac este de 6%, apoi în x. Tone Rude va fi de 0,06 x. Ton cupru. Într-un minereu bogat, conținutul de cupru este de 11%, iar în 20 - x. tone de minereu bogat vor fi conținute 0,11 (20 - x.) Tone de cupru.

În 20 de tone de minereu rezultat, conținutul de cupru ar trebui să fie de 8%. Astfel, în 20 de tone de minereu de cupru vor fi conținute 20 × 0,08 \u003d 1,6 tone.

Expresiile de masture 0.06. x. și 0,11 (20 - x.) și echivalează această sumă la 1.6. Avem ecuația 0,06x +.0,11(20 − x.) = 1,6

Lăsați această ecuație:

Înseamnă a obține 20 de tone de minereu cu un conținut de cupru de 8%, trebuie să luați 12 tone de minereu săraci. Cei bogați vor fi luați 20 - 12 \u003d 8 tone.

Sarcina 11.. Prin creșterea vitezei medii de la 250 la 300 m / min, sportivul a început să ruleze distanța pe 1 min mai rapidă. Care este lungimea distanței?

Decizie

Lungimea distanței (sau distanței distanței) poate fi descrisă de următoarea ecuație alfabetică:

Folosim partea dreaptă a acestei ecuații pentru a vă compila ecuația. Inițial, atletul a condus distanța la o viteză de 250 de metri pe minut. Cu această viteză, lungimea distanței va fi descrisă prin expresie 250 t.

Atletul a crescut apoi viteza la 300 de metri pe minut. Cu această viteză, lungimea distanței va fi descrisă de expresie 300t.

Rețineți că durata distanței este o valoare permanentă. Din faptul că atletul va crește viteza sau va reduce, lungimea distanței va rămâne neschimbată.

Acest lucru ne permite să echivalăm expresia 250 t. la expresie 300. t. Deoarece ambele expresii descriu lungimea aceleiași distanță

250t. = 300t.

Dar sarcina spune că la o viteză de 300 de metri pe minut, un atlet a început să conducă o distanță de 1 minut mai repede. Cu alte cuvinte, la o viteză de 300 de metri pe minut, timpul de mișcare va scădea cu unul. Prin urmare, în ecuația 250 t.= 300t. La momentul potrivit, trebuie să reduceți unitatea:

La o viteză de 250 de metri pe minut, un sportiv rulează la distanță în 6 minute. Știind viteza și timpul, puteți determina durata distanței:

S. \u003d 250 × 6 \u003d 1500 m

Și la o viteză de 300 de metri pe oră sportivă rulează distanța pentru t.- 1, adică în 5 minute. Așa cum am menționat mai devreme, durata distanței nu se schimbă:

S.\u003d 300 × 5 \u003d 1500 m

Sarcina 12.. Riderul se apropie de un pieton care este la 15 km în față. După câte ore, călărețul se va prinde cu un pieton dacă fiecare oră este primele 10 km distanță, iar al doilea trece doar 4 km?

Decizie

Această sarcină este. Acesta poate fi rezolvat prin determinarea ratei de apropiere și împărțirea distanței inițiale dintre călăreț și pietoni la această viteză.

Rata de apropiere este determinată prin scăderea vitezei mai mici de mai mare:

10 km / h - 4 km / h \u003d 6 km / h (viteza de apropiere)

La fiecare oră, la 15 kilometri distanță va fi redusă cu 6 km. Pentru a afla când scade complet (când călărețul se va prinde cu un pieton), aveți nevoie de 15 împărțite la 6

15: 6 \u003d 2,5 ore

2,5 c. Acestea sunt două numere întregi și o jumătate de oră. Și o jumătate de oră este de 30 de minute. Deci, călărețul va conduce un pieton după 2 ore și 30 de minute.

Voi rezolva această problemă cu ecuația.

După aceea, după el, un călăreț a fost eliberat la o viteză de 10 km / h. Iar rata pietonală este de numai 4 km / h. Aceasta înseamnă că călărețul va arăta un pieton după un timp. De data aceasta trebuie să găsim.

Când călărețul se apropie de un pieton, va însemna că au trecut aceeași distanță împreună. Distanța parcursă de călăreț și pietoni este descrisă de următoarea ecuație:

Folosim partea dreaptă a acestei ecuații pentru a vă compila ecuația.

Distanța parcursă de călăreț va fi descrisă prin expresia 10 t. . Deoarece pietonii au ieșit pe călăreț înainte și a reușit să depășească 15 km, apoi distanța trecută de ei va fi descrisă prin expresia 4 t. + 15 .

În momentul în care călărețul va conduce un pieton, ambele vor trece la aceeași distanță. Acest lucru ne permite să echivalăm distanțele parcurse de călăreț și pieton:

Sa dovedit cea mai simplă ecuație. Îl rezolv:

Sarcini pentru soluții de sine

Sarcina 1. De la un oraș la un alt tren de pasageri ajunge la 45 de minute mai repede decât mărfurile. Calculat distanța dintre orașe, dacă viteza trenului de pasageri este de 48 km / h, iar Comerțul 36 km / h.

Decizie

Vitezele trenului în această sarcină sunt măsurate în kilometri pe oră. Prin urmare, 45 de minute, indicate în sarcină, transferăm la ore. 45 min Aceasta este de 0,75 ore

Denotă timpul pentru care trenul comercial vine în oraș prin variabila t. . Din moment ce trenul de pasageri vine în acest oraș cu 0,75 ore mai repede, timpul mișcării sale va fi denotat prin expresie t -0,75

Trenul de tren de pasageri 48 ( t -0,75 km, și comerțul 36 t. km. Din moment ce vorbim despre aceeași distanță, suntem echivalează prima expresie la al doilea. Ca rezultat, obținem ecuația 48(t -0.75) = 36t. . Îl rezolv:

Acum calculam distanța dintre orașe. Pentru aceasta, viteza trenului de tranzacționare (36 km / h) va fi mai inteligentă în timpul mișcării sale t. Valoarea variabilă t. Acum este cunoscut - este egal cu ora trei

36 × 3 \u003d 108 km

Pentru a calcula distanța, puteți utiliza viteza trenului de pasageri. Dar în acest caz valoarea variabilei

Valoarea variabilă t. La fel de 1.2. Astfel încât mașinile s-au întâlnit în 1,2 ore.

Răspuns:mașinile s-au întâlnit în 1,2 ore.

Sarcina 3. În trei ateliere ale plantei doar 685 de lucrători. În cel de-al doilea atelier, lucrătorii sunt de trei ori mai mare decât în \u200b\u200bprimul și în al treilea lucrător, mai puțin de cel de-al doilea atelier. Câți lucrători din fiecare atelier?

Decizie

Lasa x. Lucrătorii au fost în primul atelier de lucru. În cel de-al doilea atelier, a fost de trei ori mai mult decât în \u200b\u200bprimul rând, numărul lucrătorilor din al doilea atelier poate fi denotat prin expresia 3 x. . În al treilea atelier a fost de 15 muncitori mai puțin decât în \u200b\u200bal doilea. Prin urmare, numărul lucrătorilor din al treilea atelier de atelier poate fi notat prin expresia 3 x -15 .

Sarcina spune că numai lucrătorii au fost 685. Prin urmare, puteți adăuga expresii x., 3x., 3x -15 și echivalează această sumă la numărul 685. Ca rezultat, obținem ecuația x +.3x + (3x -15) = 685

Prin variabila x. Numărul lucrătorilor din primul atelier a fost indicat. Acum am găsit valoarea acestei variabile, este egală cu 100. Deci, în primul atelier au fost 100 de muncitori.

În al doilea atelier au fost 3 x. Lucrătorii, adică 3 × 100 \u003d 300. Și în al treilea atelier a fost 3 x -15, adică 3 × 100 - 15 \u003d 285

Răspuns:În primul atelier au fost 100 de lucrători, în al doilea - 300, în a treia - 285.

Sarcina 4. Două magazine de reparații în timpul săptămânii ar trebui să repare conform planului 18 al motoarelor. Primul atelier a efectuat un plan de 120%, iar al doilea este de 125%, prin urmare 22 de motoare reparați în timpul săptămânii. Ce plan de reparare a motoarelor timp de o săptămână a avut fiecare atelier?

Decizie

Lasa x. Motoarele ar fi trebuit să reparate primul atelier. Atunci cel de-al doilea atelier ar fi trebuit să fie reparat 18 − x.motoare.

Deoarece primul atelier a efectuat planul său cu 120%, aceasta înseamnă că a reparat 1.2 x. Motoare. Iar al doilea atelier a efectuat planul său cu 125%, ceea ce înseamnă că a fost reparat 1.25 (18 - x.) Motoare.

Sarcina spune că 22 de motoare au fost reparate. Astfel încât să puteți adăuga expresii 1,2x.și 1.25 (18 - X.) , atunci echivalează această sumă la numărul 22. Ca rezultat, obținem ecuația 1,2x +.1,25(18 - X.) = 22

Prin variabila x. Numărul de motoare a fost marcat, care a fost de a repara primul atelier. Acum am găsit sensul acestei variabile, este egal cu 10. Deci, primul atelier ar fi trebuit să fie reparat 10 motoare.

Și prin expresia 18 - x. Numărul de motoare care ar trebui reparat cel de-al doilea atelier au fost marcate. Deci, al doilea atelier ar fi trebuit să fie reparat 18 - 10 \u003d 8 motoare.

Răspuns:primul atelier trebuie reparat 10 motoare, iar cele două motoare.

Sarcina 5. Prețul mărfurilor a crescut cu 30% și este acum 91 de ruble. Cât costă bunurile înainte de a ridica prețul?

Decizie

Lasa x. Rublele costă bunuri înainte de creșterea prețurilor. Dacă prețul a crescut cu 30%, aceasta înseamnă că a crescut cu 0,30 x. ruble. După creșterea prețurilor, produsul a început să costă 91 de ruble. Se amestecă x de la 0,30 x. și echivalează această sumă la 91. Ca rezultat, obținem ecuația Cu o scădere a numărului cu 10%, sa dovedit 45. Pentru a găsi valoarea inițială a numărului. X -

Răspuns:pentru a obține o soluție de sare de 12%, este necesar să se adauge o soluție de 0,25 kg de 20% la 1 kg de o soluție de 10%.

Sarcina 12. Sunt date două soluții de sare în apă, concentrațiile care sunt egale cu 20% și 30%. Câte kilograme ale fiecărei soluții ar trebui amestecate într-o singură navă pentru a obține 25 kg de soluție de 25,2%?

Decizie

Lasa x. CG din prima soluție trebuie luată. Deoarece este necesar să se prepună 25 kg de soluție, atunci masa celei de-a doua soluții poate fi desemnată prin expresia 25 - x.

În prima soluție, se va conține 0,20x kg de săruri, iar al doilea este de 0,30 (25 - x) kg de săruri. În soluția rezultată, conținutul de sare va fi de 25 × 0,252 \u003d 6,3 kg. Expresii de masture 0.20x și 0,30 (25 - x), atunci echivalăm această sumă la 6.3. Ca rezultat, obținem ecuația

Deci prima soluție trebuie să luați 12 kg și al doilea 25 - 12 \u003d 13 kg.

Răspuns:prima soluție pe care trebuie să o luați 12 kg, iar al doilea 13 kg.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noi lecții

Ecuația dreaptă în avion.
Vector de ghidare directă. Vector normal

Linia dreaptă de pe avion este una dintre cele mai simple forme geometrice, familiare de la clasele mai tinere, iar astăzi aflăm cum să facem față de metodele de geometrie analitică. Pentru a stăpâni materialul, trebuie să puteți construi o linie dreaptă; Aflați ce ecuație este setată direct, în special, directă, trecând prin origine și coordonate directe, paralel cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în metode. Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementareAm creat-o pentru Mathan, dar secțiunea despre funcția liniară sa dovedit a fi foarte reușită și detaliată. Prin urmare, dragi ceapte, primul warp acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre vectoriÎn caz contrar, înțelegerea materialului va fi incompletă.

În această lecție, vom lua în considerare modalități cu care puteți face o ecuație directă în avion. Vă recomandăm să nu neglijați exemplele practice (chiar dacă pare foarte simplu), deoarece le voi furniza fapte elementare și importante, tehnici tehnice care vor fi necesare în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică mai mare.

• Cum se face o ecuație dreaptă cu un coeficient unghiular?
• Cum ?
• Cum să găsiți vectorul de ghid pe linia de ecuații generale?
• Cum de a face ecuația direct pe punctul și vectorul normal?

Și începem:

Ecuația dreaptă cu un coeficient unghiular

Se numește faimoasa viziune "școală" a ecuației ecuația dreaptă cu un coeficient unghiular. De exemplu, dacă direct este definit de ecuație, atunci coeficientul său unghiular :. Luați în considerare semnificația geometrică a acestui coeficient și modul în care valoarea acestuia afectează locația directă:

Cursul de geometrie este dovedit că coeficientul colțului direct egal tangent Angla. între direcția axei pozitive și acest lucru direct: Și unghiul este "deșurubat" în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a nu îmbogăți desenul, am tras colțurile numai pentru două linii drepte. Luați în considerare "roșu" drept și coeficientul de colț. Conform celor de mai sus: (unghiul de "alfa" este marcat cu un arc verde). Pentru un "albastru" direct cu un coeficient unghiular, egalitatea este corectă (unghiul "beta" este indicat de un arc brun). Și dacă tangentul unghiului este cunoscut, atunci este ușor de găsit dacă este necesar Și colțul însuși Folosind funcția inversă - Arctanens. După cum se spune, tabelul trigonometric sau microcalculatorul în mână. În acest fel, coeficientul unghiular caracterizează gradul de înclinare înainte la axa Abscisa.

În acest caz, sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă coeficientul unghiular este negativ:, atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple - "albastru" și "zmeură" direct pe desen.

2) Dacă coeficientul unghiular este pozitiv: atunci linia merge în sus. Exemple - "negru" și "roșu" direct pe desen.

3) Dacă coeficientul unghiular este zero:, ecuația ia forma și axa paralelă corespunzătoare. Exemplu - "galben" drept.

4) Pentru o familie de axe directe, paralele (nu există exemplu în desen, cu excepția axei în sine), coeficientul unghiular nu exista (Tangentul 90 de grade nu este definit).

Cu cât coeficientul unghiular al modulului, mai abuziv merge direct.

De exemplu, luați în considerare două drepte. Aici, linia dreaptă are o pantă cea mai tare. Vă reamintesc că modulul vă permite să nu luați în considerare semnul, suntem interesați numai valori absolute Coeficienți de colț.

La rândul său, drept ascuțit decât direct .

Înapoi: Cu cât coeficientul unghiular al modulului, cu atât mai bine este mai frecventă.

Pentru linii drepte Destul de inegalitate, prin urmare, direcționează mai mult decât un baldachin. Slide pentru copii, pentru a nu pune vânătăile și conurile.

Pentru ce ai nevoie?

Extindeți-vă chinurile de cunoștințe despre faptele de mai sus vă permite să vedeți imediat erorile, în special erorile atunci când construirea de diagrame - dacă s-au dovedit în desen ", evident, ceva este greșit." De preferat pentru tine imediat Era clar că, de exemplu, drept foarte răcoros și merge în sus, și drept - foarte culoare, apăsată îndeaproape pe axă și vine de sus în jos.

În sarcinile geometrice, sunt adesea descrise mai multe linii drepte, astfel încât acestea sunt notate convenabil de ceva.

Denumiri: Cartea directă a literelor latine :. Opțiunea populară este desemnarea aceleiași scrisori cu indicii substituționali naturali. De exemplu, cele cinci linii drepte pe care le-am luat în considerare pot fi notate .

Deoarece orice directiv este determinat în mod unic de două puncte, acesta poate fi notat de aceste puncte: etc. Desemnarea implică în mod evident că punctele aparțin directe.

Este timpul să vă încălziți puțin:

Cum se face o ecuație dreaptă cu un coeficient unghiular?

Dacă un punct aparținând unui coeficient direct și unghiular al acestei linii drepte, ecuația acestui director este exprimată prin formula:

Exemplul 1.

Faceți o ecuație directă cu un coeficient unghiular, dacă se știe că punctul aparține acestui director.

Decizie: Ecuația directă până la formula . În acest caz:

Răspuns:

Verifica Se efectuează elementar. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și asigurăm că coeficientul nostru de colț este în locul său. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă această ecuație. Înlocuiți-le la ecuație:

Egalitatea corectă este obținută, înseamnă că punctul îndeplinește ecuația obținută.

Ieșire: Ecuația este găsită corect.

Mai mult exemplu pentru auto-soluții:

Exemplul 2.

Faceți ecuația directă, dacă se știe că unghiul său de înclinare la direcția pozitivă a axei este, iar punctul aparține acestei linii.

Dacă dificultatea, reciti materialul teoretic. Mai precis, mai practic, multe dovezi pe care le trec.

Ultimul apel a generat, mingea de absolvire a scorpit, iar geometria analitică ne așteaptă la poarta școlii native. Glume s-au încheiat ... Și poate doar începe \u003d)

Nostalgic, mânerul este familiar și familiarizat cu ecuația generală dreaptă. Deoarece în geometria analitică din duc, este:

Ecuația generală directă are forma: Unde sunt numere. În același timp coeficienți in acelasi timp Nu egală cu zero, deoarece ecuația își pierde semnificația.

Deschideți într-un costum și ecuația cu un coeficient unghiular. În primul rând, mutăm toate componentele la stânga:

Termenul cu "xom" trebuie pus în primul rând:

În principiu, ecuația are deja forma, dar în conformitate cu regulile etichetei matematice, coeficientul primului termen (în acest caz) trebuie să fie pozitiv. Schimbați semnele:

Amintiți-vă această caracteristică tehnică! Primul coeficient (cel mai adesea) este pozitiv!

În geometria analitică, ecuația directă va fi aproape întotdeauna specificată în general. Ei bine, dacă este necesar, este ușor să ducă la o minte "școală" cu un coeficient unghiular (cu excepția axelor directe, paralele de ordonare).

Să-mi cerem asta suficient Știți să construiți o dreaptă? Două puncte. Dar despre acest caz orcopit mai târziu, acum conduc bastoane cu săgeți. Fiecare directiv are o pantă complet definită la care este ușor de "adaptat" vector.

Vectorul, care este paralelizat, este numit un vector de ghidare directă.. Evident, orice vector direct infinit de mulți vectori, și toți vor fi colinear (co-direcționați sau nu - indiferent).

Vectorul de ghid pe care îl voi indica după cum urmează :.

Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă, vectorul este liber și nu este legat de niciun punct al avionului. Prin urmare, este necesar să se cunoască un punct care aparține liniei.

Cum se face ecuația direct pe punctul și vectorul de ghidare?

Dacă se cunoaște un anumit punct al liniei drepte și vectorul călăuzitor al acestei linii, ecuația acestui director poate fi compilată cu formula:

Uneori se numește ecuația canonică Direct. .

Ce să faceți când unul dintre coordonatele Egal cu zero, ne dăm seama de exemple practice de mai jos. Apropo, notificare - atât imediat Coordonatele nu pot fi zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.

Exemplul 3.

Ecuați ecuația direct pe punctul și vectorul de ghidare

Decizie: Ecuația directă la formula. În acest caz:

Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracțiuni:

Și dați ecuația minții generale:

Răspuns:

Desenul în astfel de exemple, de regulă, nu trebuie să facă, dar de dragul înțelegerii:

În desen, vedem punctul de plecare, vectorul de ghidare original (poate fi amânat din orice punct al avionului) și direcția este construită. Apropo, în multe cazuri, construirea directă convenabil convenabilă pentru a fi efectuată doar cu ecuația cu un coeficient unghiular. Ecuația noastră este ușor de convertit la formular și facilitează alegerea unui alt punct pentru a construi o linie dreaptă.

După cum sa menționat la începutul paragrafului, direct vectorii direcți infinit de mulți și toți sunt colinear. De exemplu, am tras trei astfel de versiuni: . Indiferent de vectorul de ghid pe care l-am ales, ca rezultat, aceeași ecuație este întotdeauna obținută.

Vom face ecuația direct pe punctul și vectorul de ghid:

Noi distrugem proporția:

Împărțim ambele părți pe -2 și obținem o ecuație familiară:

Cei care doresc să testeze, de asemenea, vectorii Sau orice alt vector colinear.

Acum, să decidem:

Cum să găsiți vectorul de ghid pe linia de ecuații generale?

Foarte simplu:

Dacă direct este dat de ecuația globală în sistemul de coordonate dreptunghiulare, vectorul este vectorul de ghidare al acestei linii.

Exemple de identificare a vectorilor de ghidare directă:

Afirmația vă permite să găsiți un singur vector de ghid din nenumărate seturi, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși, în unele cazuri, coordonatele vectorilor de ghid sunt recomandabil să reducă:

Astfel, ecuația specifică direct, care este paralelă cu axa și coordonatele vectorului de ghidare obținut, împărțit convenabil la -2, obținându-se exact vectorul de bază ca vector de ghidare. Logic.

În mod similar, ecuația specifică axa directă, paralelă și, împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem ca un vector de ghidare a ort.

Acum interpretat exemplul 3.. Exemplul a crescut, așa că amintesc că în ea am făcut o ecuație dreaptă pe punctul și vectorul de ghidare

in primul rand, În conformitate cu ecuația directă, restaurați vectorul de ghidare: - Totul este bine, vectorul sursă a fost obținut (în unele cazuri, poate fi obținut vectorul sursei colinear și este de obicei ușor de notifică asupra proporționalității coordonatelor respective).

În al doilea rând, Coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația. Le înlocuim la ecuație:

Se obține o egalitate fiabilă, pe care suntem foarte mulțumiți.

Ieșire: Sarcina se face corect.

Exemplul 4.

Ecuați ecuația direct pe punctul și vectorul de ghidare

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Este extrem de de dorit să verificați că algoritmul discutat. Încercați întotdeauna (dacă este posibil) efectuați verificări ale proiectului. Este prost să permiteți greșelile în care pot fi evitate 100%.

În cazul în care unul dintre coordonatele Ghidului Vector Zero, vine foarte simplu:

Exemplul 5.

Decizie: Formula nu este potrivită, deoarece denominatorul din partea dreaptă este zero. Există o ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescrieți formula în formular și laminarea ulterioară de-a lungul rutei adânci:

Răspuns:

Verifica:

1) Restaurați vectorul de ghidare a liniei:
- Collinearina vectorială rezultată în vectorul de ghidare original.

2) înlocuiți coordonatele punctului la ecuație:

Se obține egalitatea fiabilă

Ieșire: Sarcina a fost finalizată corect

Există o întrebare, de ce să fie cu formula, dacă există o versiune universală, care va funcționa în orice caz? Există două motive. În primul rând, formula sub forma unei fracții mult este mult mai bine amintit. Și în al doilea rând, lipsa unei formule universale este aceea crește considerabil riscul La înlocuirea coordonatelor.

Exemplul 6.

Faceți ecuația direct pe punctul și vectorul de ghidare.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.

Să revenim la omniprezent două puncte:

Cum de a face ecuația direct pentru două puncte?

Dacă sunt cunoscute două puncte, ecuația trecerii directe prin datele privind datele poate fi compilată prin formula:

De fapt, acesta este un fel de formulă și de aceea: Dacă sunt cunoscute două puncte, vectorul va fi o linie directă a acestei linii. La lectie Vectori pentru ceainici Am considerat cea mai simplă sarcină - cum să găsim coordonatele vectorului de-a lungul a două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de ghidare:

Notă : Punctele pot fi "roluri schimbate" și pot folosi formula . Această decizie va fi echivalentă.

Exemplul 7.

Faceți ecuația directă de-a lungul a două puncte .

Decizie: Folosim formula:

Sach reclame:

Și trageți puntea:

Este acum convenabil să scape de numerele fracționate. În acest caz, trebuie să multiplicați ambele părți cu 6:

Dezvăluie paranteze și aduceți ecuația în minte:

Răspuns:

Verifica Evident - coordonatele punctelor de plecare trebuie să fie îndeplinite cu ecuația obținută:

1) înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

2) înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

Ieșire: Ecuația este direct întocmită corect.

În cazul în care un cel puțin unul Din puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.

Este demn de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă pentru a construi un drept și a vedea dacă îi aparține , nu atât de simplu.

Voi observa câteva momente tehnice. Poate că această sarcină este mai profitabilă pentru a utiliza formula oglindă și, în aceleași puncte Faceți o ecuație:

Taki fracțiuni mai mici. Dacă doriți, puteți aduce soluția până la capăt, ca rezultat, aceeași ecuație ar trebui să se dovedească.

Cel de-al doilea punct este să privim răspunsul final și să estimați dacă este încă ușor să o simplificați? De exemplu, dacă ecuația sa dovedit, este recomandabil să tăiați într-o de două ori aici: - Ecuația va seta aceeași direcție. Cu toate acestea, acesta este subiectul conversației locație reciprocă.

După ce a primit răspunsul În exemplul 7, i, doar în caz, verificat dacă toți coeficienții ecuației pe 2, 3 sau 7 nu sunt împărțite. Deși, cel mai adesea, astfel de abrevieri se efectuează în cursul soluției.

Exemplul 8.

Face ca ecuația să treacă prin puncte .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă permite să înțelegeți mai bine și să faceți o tehnică a calculelor.

Similar cu paragraful anterior: dacă în formula Unul dintre numitori (coordonate al vectorului de ghidare) este tras la zero, apoi rescrie-l în formă. Și din nou, observați cât de ciudat și confuză a început să arate. Nu văd nici un sens particular de a da exemple practice, deoarece o astfel de sarcină pe care am ascuti-o deja (vezi Nr. 5, 6).

Vector drept normal (vector normal)

Ce este normal? Cuvinte simple, normale sunt perpendiculare. Adică vectorul normal drept perpendicular pe această linie. Evident, oricare dintre ele sunt infinit (precum și vectori de ghidare) și toate normele standurilor drepte vor fi colinear (acoperite sau nu - fără nici o diferență).

Dezasamblarea cu ele va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii de ghidare:

Dacă direct este dat de ecuația globală în sistemul de coordonate dreptunghiulare, vectorul este vectorul liniei normale.

Dacă coordonatele vectorului de ghidare trebuie să "retragă" ușor de la ecuație, coordonatele coordonatelor vectoriale normale pur și simplu "pentru a elimina".

Vectorul normal este întotdeauna vector ortogonal de ghidare drept. Asigurați-vă că în ortogonalitatea acestor vectori utilizând munca scalară:

Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de ghidare:

Este posibil să faceți ca ecuația drept, știind un punct și vectorul normal? Se simte de jgheab. Dacă vectorul este cunoscut, direcția este definită în mod unic și direcția celor mai directe este "designul tare" cu un unghi de 90 de grade.

Cum de a face ecuația direct pe punctul și vectorul normal?

Dacă se cunoaște un anumit punct al liniei drepte și vectorul normal al acestui drept, ecuația acestui director este exprimată prin formula:

Totul costă fără fracțiuni și alte nefani. Astfel, avem un vector normal. Iubesc. Și respect \u003d)

Exemplul 9.

Faceți ecuația direct pe punctul și vectorul normal. Găsiți vectorul de ghidare a liniei.

Decizie: Folosim formula:

Ecuația generală este primită directă, efectuează o verificare:

1) "eliminați" coordonatele vectorului normal din ecuație: - Da, într-adevăr, vectorul sursă din starea (fie vectorul sursei colineară trebuie obținut).

2) Verificați dacă punctul îndeplinește ecuația:

Adevărata egalitate.

După ce am convins că ecuația este făcută corect, vom efectua al doilea, mai ușor parte a sarcinii. Trageți vectorul ghidajului de linie:

Răspuns:

În desen, situația arată astfel:

În scopuri de instruire, o sarcină similară pentru o soluție independentă este:

Exemplul 10.

Asigurați-vă că ecuația direct pe punctul și vectorul normal. Găsiți vectorul de ghidare a liniei.

Secțiunea finală a lecției va fi dedicată unor tipuri mai puțin frecvente, dar și importante de ecuații drepte în avion

Ecuația este direct în segmente.
Ecuația directă în formă parametrică

Ecuația direct în segmente are o vedere în cazul în care constante non-zero. Unele tipuri de ecuații nu pot fi prezentate în acest formular, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece membrul liber este zero și unitatea din partea dreaptă nu este obținută).

Acest tip de ecuație "tehnică", "tehnică". O sarcină obișnuită este de a se asigura că ecuația generală este directă să prezinte sub forma unei ecuații drepte în segmente. Ce este convenabil? Ecuația este dreaptă în segmente Vă permite să interserați rapid intersecția directă cu axele de coordonate, ceea ce este foarte important în unele sarcini de matematică mai mare.

Găsiți punctul de intersecție cu axa. Resetez "Igrek", iar ecuația ia forma. Punctul dorit este obținut automat :.

În mod similar cu axa - Punctul în care linia dreaptă traversează axa ordonată.

Acest articol continuă subiectul ecuației directe din avion: Luați în considerare un astfel de ecuație, deoarece ecuația generală este dreaptă. Punem teorema și dăm dovada ei; Vom da seama că o astfel de ecuație generală incompletă este dreaptă și cum să efectueze tranziții de la o ecuație generală cu alte tipuri de ecuații direct. Toate teoria vor fi consolidate cu ilustrațiile și rezolvarea sarcinilor practice.

Să presupunem că în avion, se administrează sistemul de coordonate dreptunghiular o x y.

Teorema 1.

Orice ecuație a gradului întâi având o privire axă + by C \u003d 0, unde a, b, c - unele numere valide (A și B nu sunt egale în același timp zero) definește linia directă în sistemul de coordonate dreptunghiulare avionul. La rândul său, orice direcție în sistemul de coordonate dreptunghiulare de pe plan este determinat de ecuația având o vedere a X + B Y + C \u003d 0 cu un set de valori A, B, C.

Dovezi

teorema specificată este formată din două puncte, vom dovedi fiecare dintre ele.

1. Doveim că ecuația A X + B Y + C \u003d 0 determină planul direct.

Să presupunem că există un punct M 0 (x 0, Y 0), ale căror coordonate corespund ecuației A X + B Y + C \u003d 0. Astfel: A x 0 + B Y 0 + C \u003d 0. Submontați din partea stângă și cea dreaptă a ecuațiilor Ax + by + C \u003d 0 părțile din stânga și dreapta ale ecuației A x 0 + cu 0 + C \u003d 0, obținem o nouă ecuație având o formă A (x - x 0 ) + b (y - y 0) \u003d 0. Este echivalent cu un X + B Y + C \u003d 0.

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (Y-Y 0) \u003d 0 este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor n → \u003d (a, b) și m 0 m → \u003d (x - x 0 , Y - Y 0). Astfel, setul de puncte m (x, y) specifică în sistemul de coordonate dreptunghiulare o linie dreaptă, perpendicular pe direcția vectorului N → \u003d (A, B). Putem presupune că acest lucru nu este cazul, dar apoi vectorii n → \u003d (a, b) și m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendicular și egalitatea A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 Nu ar fi adevărat.

În consecință, ecuația A (x - x 0) + B (Y-Y 0) \u003d 0 definește unele directe în sistemul de coordonate dreptunghiulare din plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A X + by + C \u003d 0 determină aceeași direcție directă . Așa că am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Dăm dovada că orice coordonate direct în sistemul dreptunghiular poate fi setată la ecuația de gradul întâi A X + B Y + C \u003d 0.

Amplasat într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan direct A; Punctul M 0 (x 0, Y 0), prin care această linie dreaptă trece, precum și vectorul normal al acestei direcții n → \u003d (A, B).

Să presupunem, de asemenea, există un punct m (x, y) - punctul plutitor este drept. În acest caz, vectorii n → \u003d (a, b) și m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) sunt perpendiculare unul față de celălalt, iar produsul lor scalar este zero:

n →, m 0 m → \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

Am rescris ecuația A X + B Y - A x 0 - B Y 0 \u003d 0, definim C: C \u003d - A x 0 - B Y 0 și în rezultatul final obținem ecuația A X + B Y + C \u003d 0.

Deci, am dovedit și a doua parte a teoremei și am demonstrat toate teoremele în general.

Definiție 1.

Ecuaţie A X + B Y + C \u003d 0 - aceasta este ecuația generală Direct. În avionul din sistemul de coordonate dreptunghiulare O x y.

Bazându-se pe teorema dovedită, putem concluziona că linia directă și ecuația generală specificată în plan în sistemul de coordonate dreptunghiulare fixe sunt legate în mod inextricabil. Cu alte cuvinte, linia inițială corespunde ecuației sale generale; Linia generală de ecuație corespunde direcției specificate.

Din dovada teoremei urmează, de asemenea, coeficienții A și B cu variabilele X și Y sunt coordonatele liniei vectoriale normale, care este setată de ecuația globală a direcției A X + B Y + C \u003d 0.

Luați în considerare un exemplu specific al unei ecuații generale de linie.

Lăsați o ecuație 2 x + 3 Y - 2 \u003d 0, care corespunde unei linii drepte într-un anumit sistem de coordonate dreptunghiulare. Vector normal Acest drept - acesta este un vector N → \u003d (2, 3). Imagini o linie dreaptă dată în desen.

Se pot argumenta, de asemenea, următoarele: Direct, pe care îl vedem în desen este determinat de ecuația globală 2 x + 3 Y - 2 \u003d 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor din direcțiile specificate corespund acestei ecuații.

Putem obține o ecuație λ · A x + λ · b y + λ · c \u003d 0, înmulțirea ambelor părți ale ecuației totale cu numărul λ, nu egală cu zero. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie același lucru direct în avion.

Definiția 2.

Ecuația generală completă Direct - O astfel de ecuație generală este dreaptă A X + B Y + C \u003d 0, în care numerele a, B, cu diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Vom analiza toate variantele unei ecuații generale de linie generală incompletă.

1. Când a \u003d 0, în ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală ia forma b y + c \u003d 0. O astfel de ecuație generală incompletă specifică în sistemul de coordonate dreptunghiulare O x y direct, care este paralel cu axa de Ox, deoarece cu orice valoare validă x, variabila y va lua o valoare - C b. Cu alte cuvinte, ecuația generală este directă a X + B Y + C \u003d 0, când a \u003d 0, în ≠ 0, stabilește locația geometrică a punctelor (X, Y), ale căror coordonate sunt egale cu același număr - c b.
2. Dacă a \u003d 0, în ≠ 0, c \u003d 0, ecuația generală ia forma Y \u003d 0. O astfel de ecuație incompletă determină axa Abscisa o X.
3. Când a ≠ 0, b \u003d 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + c \u003d 0, specificând axa dreaptă și paralelă a ordonată.
4. Fie A ≠ 0, b \u003d 0, c \u003d 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma X \u003d 0, și aceasta este ecuația coordonatei directe.
5. În cele din urmă, la un ≠ 0, în ≠ 0, c \u003d 0, ecuația generală incompletă ia forma A X + B Y \u003d 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor. De fapt, perechea de numere (0, 0) corespunde egalității A X + B Y \u003d 0, deoarece a · 0 + B · 0 \u003d 0.

Noi ilustram grafic toate tipurile de mai sus de ecuație incomplet de linie comună.

Exemplul 1.

Se știe că linia dreaptă specificată paralelă cu axa ordonată și trece prin punctul 2 7, - 11. Este necesar să se înregistreze ecuația generală a direcției specificate.

Decizie

Axa dreaptă și paralelă a ordonării este dată de ecuația formei A X + C \u003d 0, în care A ≠ 0. De asemenea, condiția este dată de coordonatele punctului prin care directorul și coordonatele acestui punct corespund condițiilor unei ecuații generale incomplete A x + C \u003d 0, adică Egalitatea corectă:

A · 2 7 + C \u003d 0

Este posibil să se definească C dacă oferă o valoare non-zero, de exemplu, a \u003d 7. În acest caz, obținem: 7 · 2 7 + c \u003d 0 ⇔ c \u003d 2. Știm ambii coeficienți A și C, le înlocuim în ecuația A X + C \u003d 0 și obținem ecuația necesară Direct: 7 x - 2 \u003d 0

Răspuns: 7 x - 2 \u003d 0

Exemplul 2.

Desenul arată linia dreaptă, este necesar să se înregistreze ecuația sa.

Decizie

Desenul de mai sus ne permite să luăm cu ușurință datele sursă pentru a rezolva problema. Vedem în desenul că axa paralelă specificată o X și trece prin punctul (0, 3).

Direct, care este paralel cu ochii abscisa, determină ecuația generală incompletă B Y + C \u003d 0. Găsiți valorile B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece trece o linie dreaptă dată prin aceasta, vor satisface ecuația Direct B Y + C \u003d 0, apoi egalitatea este egalitatea: în · 3 + C \u003d 0. Specificați pentru o altă valoare decât zero. Să presupunem că, în \u003d 1, în acest caz, din egalitate în · 3 + C \u003d 0 putem găsi C: C \u003d 3. Utilizați valorile cunoscute în și C, obținem ecuația directă necesară: Y - 3 \u003d 0.

Răspuns: y - 3 \u003d 0.

Ecuația generală Direct trecerea prin punctul specificat al avionului

Lăsați trecerile directe specificate prin punctul M 0 (x 0, Y 0), apoi coordonatele sale corespund ecuației generale cu linia, adică. Egalitatea corectă: A x 0 + B Y 0 + C \u003d 0. Lăsăm părțile stângi și drepte ale acestei ecuații din partea stângă și dreaptă a ecuației complete complete. Obținem: a (x - x 0) + b (y-y 0) + c \u003d 0, această ecuație este echivalentă cu totalul inițial, trece prin punctul M 0 (x 0, Y 0) și are un vector normal n → \u003d (a, b).

Rezultatul pe care l-am primit face posibilă înregistrarea ecuației generale a direcției cu coordonatele binecunoscute ale vectorului normal al direcției și coordonatelor unui anumit punct din acest drept.

Exemplul 3.

Punctul M 0 (- 3, 4), prin care trece linia dreaptă și vectorul normal al acestui drept drept N → \u003d (1, - 2). Este necesar să se înregistreze ecuația dată directă.

Decizie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare pentru prepararea ecuației: a \u003d 1, b \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Atunci:

A (x - x 0) + B (Y-Y 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (X - (- 3)) - 2 · y (Y-4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 Y + 22 \u003d 0

Sarcina ar putea fi rezolvată altfel. Ecuația generală directă are forma unui X + B Y + C \u003d 0. Vectorul normal specificat vă permite să obțineți valorile coeficienților A și B, apoi:

A X + B Y + C \u003d 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 · y + C \u003d 0

Acum vom găsi valoarea C, folosind starea specificată a sarcinii, punctul M 0 (- 3, 4) prin care este direct. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2,0 y + c \u003d 0, adică. - 3 - 2 · 4 + C \u003d 0. Deci c \u003d 11. Ecuația necesară direcționată ia forma: X - 2 · y + 11 \u003d 0.

Răspuns: X - 2 · y + 11 \u003d 0.

Exemplul 4.

DIRECTUL 2 3 X - Y este dat - 1 2 \u003d 0 și punctul M 0, care se află pe această linie dreaptă. Numai Abscisa din acest punct este cunoscută și este egală cu 3. Este necesar să se definească ordinea punctului specificat.

Decizie

Specificați desemnarea coordonatelor punctului M 0 ca x 0 și Y 0. În datele sursă se indică faptul că x 0 \u003d - 3. Deoarece punctul aparține unui anumit director, ceea ce înseamnă că coordonatele sale îndeplinesc ecuația totală a acestei linii. Apoi, egalitatea va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Determinați Y 0: 2 3 · (3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - Y 0 \u003d 0 ⇔ Y 0 \u003d - 5 2

Răspuns: - 5 2

Tranziția de la ecuația generală este directă la alte tipuri de ecuații direct și înapoi

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuație ale aceluiași și aceeași direcție directă în avion. Alegerea viziunii ecuației depinde de condițiile problemei; Este posibil să alegeți cel care este mai convenabil pentru rezolvarea acestuia. Aici este foarte util să convertiți ecuația unei specii la ecuația unei alte specii.

Pentru a începe, luăm în considerare tranziția de la ecuația generală a formei A X + B Y + C \u003d 0 la ecuația canonică X - x 1 A x \u003d y - y 1 A y.

Dacă A și ≠ 0, apoi transferăm termenul b Y la partea dreaptă a ecuației generale. În partea stângă susține un paranteze. Ca rezultat, obținem: A X + C A \u003d - B Y.

Această egalitate poate fi scrisă ca proporție: X + C A - B \u003d Y A.

În cazul în care în ≠ 0, plecăm în partea stângă a ecuației doar termenul A x, celălalt este transferat în partea dreaptă, obținem: A x \u003d - b Y - c. Luăm - în paranteze, apoi: A x \u003d - B Y + C B.

Rescriem egalitatea sub formă de proporție: X - B \u003d Y + C B A.

Desigur, pentru a memora formulele rezultate nu este necesar. Este suficient să cunoaștem algoritmul de acțiuni în tranziția de la ecuația generală la canonic.

Exemplul 5.

Ecuația generală este setată la 3 Y - 4 \u003d 0. Este necesar să o convertiți la ecuația canonică.

Decizie

Noi scriem ecuația inițială ca 3 ani - 4 \u003d 0. Apoi, acționăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; Și în partea dreaptă, ajungem - 3 pentru paranteze; Avem: 0 x \u003d - 3 Y - 4 3.

Noi scriem egalitatea obținută ca proporție: X - 3 \u003d Y - 4 3 0. Deci, am luat ecuația speciilor canonice.

Răspuns: X - 3 \u003d Y - 4 3 0.

Pentru a transforma ecuația generală directă la parametrică, efectuați mai întâi tranziția la forma canonică, iar apoi trecerea de la ecuația canonică este directă la ecuațiile parametrice.

Exemplul 6.

Direct este stabilit de ecuația 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Înregistrați ecuațiile parametrice ale acestei linii drepte.

Decizie

Realizăm tranziția de la ecuația generală la canonic:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 Y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 Y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d Y + 1 5 2

Acum vom lua ambele părți ale ecuației canonice obținute egale cu λ, apoi:

x 5 \u003d λ Y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ r

Răspuns: x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 λ λ, λ ∈ r

Ecuația generală poate fi transformată în ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular Y \u003d K · x + B, dar numai când în ≠ 0. Pentru a trece la partea stângă, lăsăm termenul B Y, restul este transferat spre dreapta. Obținem: b y \u003d - A x - c. Am împărțit ambele părți ale egalității obținute pe B, diferite de zero: y \u003d - A B X - C B.

Exemplul 7.

Ecuația generală este setată: 2 x + 7 y \u003d 0. Este necesar să se convertească ecuația la o ecuație cu un coeficient unghiular.

Decizie

Vom produce acțiunile necesare pe algoritm:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 Y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Răspuns: Y \u003d - 2 7 x.

Din ecuația generală, direcția este suficientă pentru a obține pur și simplu ecuația în segmente ale formei X A + Y B \u003d 1. Pentru a efectua o astfel de tranziție, transferăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității obținute pe - C și, în final, vom transfera coeficienți cu variabile x și y:

A X + B Y + C \u003d 0 ⇔ A X + B Y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C X + B - C Y \u003d 1 ⇔ X - C A + Y - C B \u003d 1

Exemplul 8.

Este necesar să se transforme ecuația generală directă X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 la ecuația directă în segmente.

Decizie

Transfer 1 2 la partea dreaptă: X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 ⇔ X - 7 Y \u003d - 1 2.

Împărțim în -1/2 ambele părți ale egalității: X - 7 Y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Răspuns: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1.

În general, tranziția de întoarcere este de asemenea localizată: de la alte tipuri de ecuație la cea generală.

Ecuația este directă în segmente și o ecuație cu un coeficient unghiular pentru a fi ușor transformat în general, pur și simplu prin colectarea tuturor termenilor din partea stângă a egalității:

x A + Y B ⇔ 1 A X + 1 B Y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B Y + C \u003d 0 Y \u003d K x + B ⇔ Y - K x - B \u003d 0 ⇔ A x + B Y + C \u003d 0

Ecuația canonică este convertită în schema următoare:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 Ay ⇔ ay · (x - x 1) \u003d AX (Y - Y 1) ⇔ ⇔ Ayx - Axy - Ayx 1 + Axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B Y + C \u003d 0.

Pentru a trece de la parametrică, trecerea la canonică și apoi la un total:

x \u003d x 1 + A x · λ y \u003d Y 1 + A Y · λ ⇔ x - x 1 A x \u003d Y - Y 1 A Y ⇔ A x + B Y + C \u003d 0

Exemplul 9.

Ecuațiile parametrice sunt setate la Direct X \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4. Este necesar să se înregistreze ecuația generală a acestei linii.

Decizie

Realizăm tranziția de la ecuațiile parametrice la canonic:

x \u003d - 1 + 2 λ λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 + 0 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d Y - 4 0

Să mergem de la canonic la total:

x + 1 2 \u003d Y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (Y - 4) ⇔ Y - 4 \u003d 0

Răspuns: Y - 4 \u003d 0

Exemplul 10.

Ecuația este setată la linia în segmentele X 3 + Y 1 2 \u003d 1. Este necesar să se efectueze tranziția la tipul total de ecuație.

Decizie:

Doar rescrieți ecuația în formularul necesar:

x 3 + Y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 Y - 1 \u003d 0

Răspuns: 1 3 x + 2 Y - 1 \u003d 0.

Elaborarea unei ecuații generale directe

Mai sus, am vorbit despre faptul că ecuația generală poate fi scrisă cu coordonatele binecunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece linia dreaptă. Astfel de directe este determinată de ecuația A (x - x 0) + B (Y-Y 0) \u003d 0. De asemenea, am dezasamblat un exemplu adecvat.

Acum, luați în considerare exemple mai complexe în care pentru un început este necesar să se determine coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11.

O linie dreaptă, paralelă directă 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Punctul M 0 (4, 1) este, de asemenea, cunoscut, prin care trece linia dreaptă specificată. Este necesar să se înregistreze ecuația dată directă.

Decizie

Condițiile de pornire ne spun că paralele drepte, în timp ce vectorul normal este drept, a cărui ecuație este necesară pentru a scrie, ia vectorul de ghidare direct n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 . Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a elabora o ecuație comună de linie:

A (x - x 0) + B (Y-Y0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (Y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 Y - 5 \u003d 0

Răspuns: 2 x - 3 Y - 5 \u003d 0.

Exemplul 12.

Directurile directe specificate prin originea coordonatelor perpendiculare pe linia dreaptă X - 2 3 \u003d Y + 4 5. Este necesar să se facă o ecuație generală a unei linii drepte date.

Decizie

Vectorul normal al dreptului specificat va fi vectorul direct X - 2 3 \u003d Y + 4 5.

Apoi N → \u003d (3, 5). Transmite directe prin originea coordonatelor, adică prin punctul O (0, 0). Să facem o ecuație generală directă:

A (x - x 0) + b (Y-Y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (Y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Răspuns: 3 x + 5 y \u003d 0.

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER

Departamentul VI.

Transformarea ecuațiilor.

___________

Soluția și compilarea ecuațiilor de gradul I

§ 5. Elaborarea unei ecuații cu o greșeală.

Orice sarcină aritmetică este aceea că pe controalele necontrolate și în conformitate cu aceste rapoarte între aceste valori libere și alte, necunoscute, nu sunt găsite. Algebra oferă o modalitate specială de a rezerva sarcini aritmetice. Această metodă se bazează pe faptul că condițiile pronunțate verbal de sarcini aritmetice pot fi traduse într-un limbaj algebric, adică Exprimată prin formule algebrică.

Traducerea cuvintelor și a condițiilor expresive ale problemei în limba algebrică în general se numește formula.

Conform condițiilor problemei, ecuația cu un necunoscut înseamnă că acesta traduceți astfel aceste condiții într-o limbă algebrică, astfel încât întregul set din aceste condiții să fie exprimat printr-o ecuație, care este una necunoscută. Pentru aceasta, este necesar ca numărul de probleme separabile independente între condițiile problemei să fie egal cu numărul de necunoscut în el.

Vizionarea diversității extreme a sarcinilor de a primi compilarea ecuațiilor care vor îndeplini aceste sarcini sunt extrem de diverse. Reguli generale pentru compilarea ecuațiilor nete. Dar există o indicație generală care conduce raționamentul nostru atunci când traducem condițiile pentru sarcina pentru o limbă algebrică și ne permite de la începutul argumentului să meargă la realizarea finalului CE. Aceasta este o indicație generală sau principiul general al compoziției ecuației, vom exprima o jaf:

Pentru a compensa termenii sarcinii, ecuația cu un necunoscut, aveți nevoie de:

1) Selectați între necunoscută, care sunt în sarcină sau indicată direct, sau înseamnă, unii acceptabili pentru prima dată și desemnați-o să se unească, de exemplu, h. ;

2) Prin această denumire și denumiri, datele din sarcină, pentru a exprima toate valorile cărora în sarcină vorbește direct sau care sunt implicate prin respectarea unor astfel de expresii, luate în considerare treptat toate datele în sarcina numărul și toate valorile din Dain sau valorile necunoscute ale stării;

3) postul unei astfel de participații a tuturor condițiilor pentru a găsi între expresii compilate sau pur și simplu înregistrate două astfel încât, în virtutea uneia dintre aceste condiții, ar trebui să fie egală între ei și să tranzacționeze aceste expresii sunt un semn de egalitate.

Acceptați acest principiu pentru a trimite două sarcini:

Sarcina 1 I. Numărul de monede dintr-un portofel este de două ori mai mic, chiar și în celălalt. Dacă vă aflați din primele șase monede și în al doilea pentru a adăuga opt monede, atunci numărul de coe în primul rând va fi de șapte ori Meee, Chem în al doilea. Aflați câte monede în fiecare portofel?

Această sarcină este de remarcat sau nu valori necunoscute. Vom lua pentru primul număr necunoscut de monede ale portofelului de la egal la egal și. Recunoașterea acestuia x. Vom stimula semnificația tuturor valorilor la care sunt condițiile sarcinii.

Numărul colegului se alătură h. . Amintiți numerele de monede în a doua și primele portofele 2 . Astfel încât numărul de monede ale celei de-a doua pisici 2x.

De la coleg, scoateți-vă 6 Mone. Prin urmare, în prima pisică va rămâne coerentă h. -6 .

În al doilea adăugat 8 monede. În consecință, în al doilea portofel vor fi monede 2h. +8 . Noua relație dintre numerele de monede ale celui de-al doilea și primul portofel este. Este, de asemenea, egal 7 . Pe această bază, ecuația se face prin rezolvarea căreia, obținem x \u003d. 10 , după care nu este dificil să se identifice alte necunoscute, despre care am menționat aici.

Dacă am fost acceptați pentru primul număr necunoscut de monede ale celui de-al doilea portofel și l-ar fi desemnat să se distingă de desemnarea anterioară w. , cât de ușor este ușor să-l faci sa dovedit a fi o altă ecuație, este ( w. + 8 ):( w. / 2 -6 )=7 care permite, de asemenea, sarcina și dă răspunsul w.=20 .

Ar fi posibil să luați numărul de număr MONVT în primul portofel după ce a ieșit din ea pentru primele necunoscute. 6 monede; Apoi, denotă-o necunoscută z. și mergând la fel ca am intrat în pregătirea primei ecuații, am obține ecuația Din! z. = 4 .

Dar ar fi posibil să se schimbe calea ecuației, de exemplu, de faptul că vom lua în considerare mai întâi relația modificată dintre numărul de monede, iar compilarea ecuației se va baza pe ceea ce se știe despre relație inițială. În acest caz, compilarea ecuației ar fi efectuată astfel:

Numărul de monede ale primului portofel după calcul este acolo z. . Postat 6 monede. Deci, numărul inițial de monede din primul portofel z +.6. Relația modificată între numerele de monede 7 . Prin urmare, un număr modificat de monede din al doilea portofel 7z. Adăugat 8 monede. În consecință, numărul inițial de monede din al doilea portofel 7z. - 8 . Relația inițială dintre numerele monedelor este egală 2 . Pe această bază, avem o ecuație împreună cu cea precedentă, deși diferită de ea.

Dacă, mergând la al doilea mod, am acceptat pentru primul număr necunoscut de monede ale celui de-al doilea portofel după adăugarea acestuia 8 Monede, apoi, denotă-o necunoscută pentru diferențe prin și ar primi ecuația ( și -8 ):( și / 7 + 6 )=2 Din! și =28 .

Aceste explicații arată că, ghidat de aceeași regulă generală pentru pregătirea ecuațiilor, avem în continuare o varietate de moduri în fiecare sarcină pentru a atinge acest obiectiv. Cel mai bun mod este cel care mai ușor exprimă termenii sarcinii și conduce mai repede atât la compilație, cât și pentru a rezolva ecuația. În acest caz, prima și a treia metode sunt la fel de convenabile pentru rezolvarea ecuației, dar primul este încă mai simplu și, prin urmare, mai bun decât restul.

Prin aplicarea regulii specificate de elaborare a ecuațiilor, trebuie să se reamintească faptul că, în oricare având o precizie a EADCHA, fiecare număr dat și fiecare dintre condițiile pronunțate ar trebui luate în considerare.

Sarcina a 2-a. Din oras DAR ieșind călătorul care trece pe zi 20 Trebuie sa. Două zile mai târziu, iese din oraș ÎN un alt călător care trece zilnic de 30 Trebuie sa. Distanta intre DAR și ÎN in aceeasi masura 190 Trebuie sa. Se întreabă când și unde se vor întâlni ambii călători?

1 Calea 1. Vom lua primul moment necunoscut de mișcare a primului călător de la ieșirea de la DAR înainte de întâlnire și în ultima condiție ca distanța dintre DAR și ÎN in aceeasi masura 190 Trebuie sa. Atunci raționamentul va conduce astfel:

Irolims că prima a mers la întâlnire h. zile. În fiecare zi a trecut 20 Trebuie sa. A trecut totul 20h. Trebuie sa.

Al doilea a ieșit mai târziu 2 zi. Ați mers la întâlnire h. -2 zi. În fiecare zi a trecut 30 Trebuie sa. În consecință, a trecut totul 30 (h. -2 ) Trebuie sa. Împreună, ambii călători au trecut [ 20h. + 30 (h. -2 )] Mai jos. Toată distanța dintre DAR și ÎN in aceeasi masura 190 Trebuie sa. Pe această bază, găsim ecuația

20h. + 30 (h. -2 ) =190 ,

din x \u003d.5 . Din aceasta vedem că primul călător a mers 5 zile și au trecut 100 Miles, al doilea a mers 3 zi și a trecut 90 Trebuie sa.

Al doilea mod. Vom lua prima distanță necunoscută parcursă de primul călător de la ieșire la întâlnire, iar în ultima condiție că al doilea călător a ieșit mai târziu decât primul 2 zi. Atunci raționamentul se va comporta așa:

Credem că primul a mers la întâlnire w. Trebuie sa. În fiecare zi a trecut 20 Trebuie sa. Așa că a mers totul w. / 20 zile.

Al doilea a trecut întregul ( 190 -w. ) Trebuie sa. În fiecare zi a trecut 30 Trebuie sa. Așa că a mers doar câteva zile.

Diferența dintre timpul mișcării ambelor este acolo și este egală 2 . Prin urmare, găsim ecuația Din! w. =100 .

Al treilea mod. Primul necunoscut este momentul mișcării celui de-al doilea călător de la ieșire de la ÎN Ne vedem, ultima condiție este că prima trecere complementară zilnică 20 Trebuie sa.

Am pus că al doilea se duce la întâlnire z. zile. Deci, primul va trece ( z. +2 ) zi. Trecând zilnic de către 30 Verick, al doilea va fi totul 30z. Trebuie sa. Deoarece ambele trebuie să meargă 190 trebuie, atunci primul va rămâne ( 190 -30z. ) Trebuie sa. Pentru a face acest lucru, ar trebui să facă zilnic pe vest. Deoarece această expresie este egală 20 Apoi se obține ecuația, de unde z \u003d 3.

Al patrulea fel.Primul necunoscut este distanța parcursă de cel de-al doilea călător la întâlnire, ultima condiție este că al doilea trece prin cel de-al 10-lea vertete mai întâi.

Credem că al doilea a trecut la întâlnire și Trebuie sa. Înseamnă că prima a rămas încă ( 190 -și ) Trebuie sa. Dinainte de eliberarea celei de-a doua, el a trecut deja 40 O plasă, apoi după eliberarea celei de-a doua el încă mai putea să treacă ( 150 -și ) Trebuie sa. Diferența dintre distanțele care trec simultan cu ambele, este ( 2și-150 ) Trebuie sa. Timpul mișcării lor generale este și / 30 zile. În viață, a doua o zi trece mai mult decât prima pe ( 2și-150 ) : și / 30 Trebuie sa. Deoarece această expresie este egală 10 , apoi obțineți ecuația ( 2și-150 ) : și / 30 =10 care dă și = 90 .

Explicațiile anterioare arată că varietatea de metode de preparare a ecuațiilor în aceeași sarcină depinde atât de ordinea valorilor denotată în mod consecvent, cât și de ordinea luării în considerare în mod consecvent a condițiilor.

231. Două fețe au 38 de ruble împreună, iar primele reguli au mai mulți bani decât al doilea. Câți bani de la fiecare?

231. Două fețe au împreună 114 de ruble, iar primele 18 reguli au mai mulți bani decât al doilea. Câți bani pentru toată lumea?

232. Într-o fereastră de Windows 15 mai puțin decât în \u200b\u200baltul, în ambele case 51 ferestre. Câte ferestre în fiecare?

232. într-o fereastră a ferestrelor 6 mai puțin decât în \u200b\u200bcealaltă; În total, în ambele case 62 ferestre. Câte ferestre în fiecare?

233. În două portofele sunt 81 de ruble. Primii bani sunt de două ori mai mici decât în \u200b\u200bal doilea. Câți bani în fiecare?

233. Există 72 de ruble în două portofele. Primii bani sunt de cinci ori mai mică decât în \u200b\u200bal doilea. Câți bani în fiecare?

234. Tatăl este mai în vârstă decât călătoria fiului, iar suma amândoi are 48 de ani. Determina vârsta de ambele.

234. Tatăl este mai în vârstă decât Fiul în jumătate, iar suma ambelor ani este egală cu 13 ani. Determina vârsta de ambele.

235. Fiul este mai mic decât toți, iar diferența dintre anii lor este egală cu 27 de ani. Cât de mult să mori fiecare?

235. Fiul mai tânăr decât tatăl tatălui, iar diferența este de 32 de ani. Cât de veche este toată lumea?

236. În trei coșuri există 47 de mere, iar la primul și al doilea rând, iar în al treilea la 2 mere mai mult decât fiecare dintre celelalte. Câte mere în fiecare coș?

236. În trei coșuri, există 110 mere, iar în primul și în al treilea egal și în cel de-al doilea pentru 4 mere mai puțin decât în \u200b\u200bfiecare dintre celelalte. Câte mere în fiecare coș?

237. Trei bucăți de argint cântăresc împreună 48 de lire sterline. Primul este mai greu de 12 f., Iar al treilea mai greu din primele 9 lire sterline. Cât de mult cântărește fiecare piesă?

237. Trei bucăți de argint cântăresc împreună 33 f .. Primul este primul al celui de-al doilea la 5 kilograme, iar al treilea este mai ușor pentru primele la 2 kilograme. Cât de mult cântărește fiecare piesă?

238. Fiul mai tânăr decât tatăl de 20 de ani și fiica mai mare timp de 5 ani. Suma tuturor celor trei ani este egală cu 60 de ani. Câți ani este toată lumea

238. Mama este mai veche decât fiul timp de 21 de ani și mai tânăr decât Tatăl timp de 7 ani. Suma anilor celor trei este egală cu 64 de ani. Cât de veche este toată lumea?

239. Pe trei rafturi există doar 66 de cărți, iar în partea de jos de trei ori și mijlocul de două ori mai mult ca vârful. Câte cărți pe fiecare raft?

239. Pe trei rafturi există doar 60 de cărți, iar în partea de jos de șase ori mai mult și în primele cinci ori mai mult decât media. Câte cărți pe fiecare raft?

240. Pădurea, grădina și lunca stau împreună 10800 p .. Meadow este mai scumpă decât grădina de 2 ori, iar pădurea este mai prețioasă decât lunca de trei ori. Ce sunt fiecare dintre ele separat?

240. Pădurea, grădina și lunca reprezintă împreună 17600 p. Pădurea este mai scumpă decât grădina de 3 ori, și Luggul pădurii de 4 ori. Ce sunt fiecare dintre ele separat?

241. Împărțiți numărul 21 în două părți, astfel încât folia primei părți la al doilea este fracțiunea 3/4.

241. Împărțiți numărul 48 în două părți, astfel încât punctul de alegere al celei de-a doua părți la primul a fost rezultatul celei de-a doua părți la primul.

242. Împărțiți numărul 88 la astfel de părți astfel încât să fie private din diviziunea primei părți cu 5, iar al doilea la 6 au fost egale.

242. Pentru a împărți numărul 55 la aceste două părți, astfel încât privat din diviziunea primei părți cu 7, a. Al doilea a fost egal cu 4.

243. Suma celor două numere 85 și diferența lor 15. Găsiți ambele numere.

243. Suma a două numere 72 și diferența lor 8. găsiți ambele numere.

244. Diferența de două numere 8, iar raportul multiplu al acestora este fracțiunea 3/2. Creșteți aceste numere.

244. Diferența de două numere 12, iar raportul multiplu al acestora este fracțiunea 5/3. Găsiți aceste numere.

245. Împărțiți numărul 46 în două ore, astfel încât diferența dintre privat de la divizarea primei părți la 3 și al doilea la 7 a fost 2.

245. Separați numărul 59 în două părți, astfel încât diferența în divizarea primei părți la 3 și al doilea la 5 este 1.

246. Împărțiți numărul 75 în două părți, astfel încât cea mai mare parte din cele trei părți dintre ambele părți.

246. Separați numărul 56 în două părți, astfel încât partea mai mică să depășească diferența de trei ori dintre ambele părți.

247. Suma celor două numere 64. Când împărțiți un număr mai mare la mai puțin, se dovedește în privat 3 și în reziduu 4. Găsiți aceste numere.

247. Suma a două numere 45. Când împărțiți un număr mai mare la unul mai mic, se dovedește în privat 5 și în reziduu 3. Găsiți aceste numere.

248. Diferența dintre două numere este de 35. Când împărțiți un număr mai mare la mai puțin, se dovedește în privat 4 și în reziduu 2. Găsiți aceste numere.

248. Diferența dintre două numere 23. Când împărțiți un număr mai mare la mai puțin, se dovedește în privat 2 și în reziduul 11. Găsiți aceste numere.

249. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mult decât altul pe 5. Dacă împărțiți un număr mai mic cu 4, și mai mult cu 3, atunci primul privat va fi 4 mai puțin decât al doilea. Găsiți ambele numere.

249. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mare de 15. Dacă este împărțită într-un număr mai mare de 9 și mai puțin de 2, apoi primul privat pentru a face 3 mai puțin decât al doilea. Găsiți ambele numere.

250. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mic decât altul pe 6. Dacă este împărțit într-un număr mai mare în jumătate, atunci privat obținut va fi de trei unități mai puțin decât un alt număr. Găsiți ambele numere.

250. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mic decât celelalte cu 18. Dacă este împărțită într-un număr mai mare de trei, atunci privat obținut va fi două unități mai mult decât un alt număr. Găsiți ambele numere.

251. Într-un rezervor de două ori de apă decât în \u200b\u200bcealaltă; Dacă vărsați de la primul la cel de-al doilea 16 găleți, atunci atât apa, va fi egală. Cât de multă apă în fiecare?

251. într-un rezervor, de trei ori mai mare decât în \u200b\u200bcealaltă; Dacă vărsați din primele 22 găleți din primele 22, atunci, atât în \u200b\u200bapă, va fi egală, cât de multă apă în fiecare?

252. Pe piață în două traficații există doar 220 de ouă; Dacă al doilea dintre ei a dat primele 14 ouă, atunci numărul de ouă fiecare dintre ele ar fi fost același. Câte ouă fiecare?

252. Pe piață în două traficații există doar 186 de ouă; Dacă al doilea dintre ei a dat primele 10 ouă, numărul de ouă fiecare dintre ele ar fi fost același. Câte ouă fiecare?

253. Cineva are de 4 ori mai mult decât ruble în buzunarul drept decât în \u200b\u200bstânga; Dacă se schimbă din buzunarul drept la stânga 6 r., Atunci în dreapta vor exista bani de numai 3 ori mai mult decât în \u200b\u200bstânga. Câți bani în fiecare buzunar?

253. cineva Syet în buzunarul drept de 3 ori mai mare decât rublele decât în \u200b\u200bpartea stângă; Dacă treceți de la buzunarul stâng la dreapta 5 ruble, atunci vor exista bani în dreapta de cinci ori mai mult decât în \u200b\u200bstânga. Câți bani în fiecare buzunar?

254. La calcularea fabricii a doi lucrători, primele dintre ei a primit pentru munca de 12 ruble mai mult decât cea de-a doua, iar după aceea, al doilea lucrător a plătit 2 ruble. creanţă. Sa dovedit că prima casă se grăbită de trei ori mai mare decât cea de-a doua. Cât de mult funcționează toată lumea?

254. La calcularea fabricii a doi muncitori, primul dintre ei a primit 20 de ruble mai puțin decât al doilea, dar, în același timp, al doilea lucrător sa întors la el 2 ruble. creanţă. Sa dovedit că prima casă a fost de două ori a doua. Cât de mult funcționează toată lumea?

255. Un băiat are 30 de copeici, celălalt este 11 copeici .. De câte ori au venit să dea un ban, astfel încât primul sa dovedit a fi de două ori mai mare decât al doilea?

255. Un băiat are 48 de copeici, alte 22 de copeici .. De câte ori trebuie să-și petreacă un kopeck, astfel încât primul se dovedește a fi de trei ori mai mulți bani decât al doilea?

256. Părintele de 40 de ani și fiul 12 ani. Câți ani în urmă, tatăl era în fiul său senior?

256. Tatăl 49 de ani și fiu 11 ani. Prin ce vârstă este Tatăl va fi de trei ori a Fiului?

257. Un proprietar de teren are o oaie de patru ori mai mare decât cealaltă. Dacă ambele au cumpărat 9 oi, atunci prima oaie a fost de trei ori mai mare decât cea de-a doua. Câte oi au toată lumea?

257. Unul Premork are o oaie de trei ori mai mic decât celălalt. Dacă ambele au fost vândute la 10 oi, atunci primul s-ar dovedi a fi mai puțin oi mai puțin decât al doilea. Câte oi au toată lumea?

258. Tatăl are 39 de ani mai în vârstă decât fiul său, iar după 7 ani va fi fiu mai mare de 4 ori. Cât de vechi este cealaltă?

258. Tatăl și fiul împreună de 88 de ani, iar acum 8 ani, tatăl său era mai în vârstă decât fiul de 7 ori. Cât de vechi este cealaltă?

259. Într-un rezervor 48 găleți, și în alte 22 găleți de apă. De la prima apă ticăloasă de două ori mai mare decât cea de la al doilea, și apoi, în primele au fost de trei ori mai multă apă decât în \u200b\u200bal doilea. Câte găleți sunt vărsate din fiecare?

259. Într-un rezervor 42 găleți, iar în celelalte 8 găleți de apă. În prima apă de preț a fost de trei ori mai mare decât în \u200b\u200bal doilea, și apoi sa dovedit în primele patru ori mai multă apă decât în \u200b\u200bal doilea. Câte găleți sunt răniți în fiecare?

260. Două fețe, jucând separat în card, au avut la începutul jocului, primele 72 de ruble, al doilea 21 de ruble. Primul pierdut de trei ori mai mult de un al doilea a câștigat. După ce jocul sa dovedit a fi la început de două ori mai mulți decât al doilea. Cât de mult a câștigat al doilea și a pierdut primul?

260. Două fețe, jucând separat în carduri, au avut primele 25 de ruble la începutul jocului, al doilea 12 ruble. Primul a câștigat de două ori mai mult decât al doilea pierdut. După jocul sa dovedit a fi mai mulți bani de la primii bani decât al doilea. Cât ați pierdut al doilea și ați câștigat primul?

261. Spațierea vândută pentru prima dată Partea 2/7 a numărului de fostei Yablok, pentru a doua oară P de același număr; Apoi avea doar 8 mere. Câte mere au avut?

261. Distribuitorul sa vândut pentru prima dată 1/9 din numărul de cereri de la el, pentru a doua oară 5/6 din același număr; Apoi avea doar 4 mere. Câte mere au avut?

262. Din rezervorul cu apă a fost aruncată în primul rând o treime din cantitatea totală de apă, apoi 5/6 din reziduu și apoi au rămas doar 6 găleți. Cât de multă apă era în rezervor?

262. Din rezervor cu distribuție de apă a fost prima parte 3/5 din toate cantitățile, apoi 3/4 rămâne și apoi doar 5 găleți rămase. Cât de multă apă era în rezervor?

263. Într-o societate erau 40 de oameni bărbați, femei și copii. Numărul femeilor a fost de 3/5 numere de bărbați, iar numărul copiilor a fost de 2/3 din numărul de bărbați și femei împreună. Câți bărbați, femei și copii au fost?

263. Într-o societate erau 72 de oameni bărbați, femei și copii. Numărul bărbaților a fost de 2/3 din numărul de femei, iar numărul copiilor a fost de 4/5 numere de bărbați și femei împreună. Câți bărbați, femei și copii au fost?

264. Pentru 30 de soiuri Ashin Sukna au plătit doar 128 de ruble; Arshen Calcul de gradul întâi 4 1/2 r. Și aspirația a doua 4 R. Cât de mult au cumpărat arhivanii celălalt soi?

264. Pentru 27 de soiuri Ashin Sukna două soiuri plătite doar 120 r.; Calcul de gradul de gravație de 4 ruble; ASHININ) 3 R. 75 k .. Cât de mult a cumpărat aspirația cealaltă SERT?

265. Traderul de ceai a vândut 38 de kilograme de două soiuri, prețul de 3 p. per kilogram de gradul întâi și 1 p. 60 k. Pe kilogram de clasa a doua și inversată în același timp pentru întregul grad 22 ruble mai mult decât al doilea. Câte sunt vândute în unele dintre celelalte varietăți?

265. Traderul de ceai a vândut 110 de ponturi de două soiuri, prețul de 4 1/2 p. per kilogram de gradul întâi și 2 p. 25 k. Per kilogram de clasa a doua și recuperată în același timp pentru prima clasă de 45 de ruble mai puțin decât cea de-a doua. Câte sunt vândute în unele dintre celelalte varietăți?

266. Contractantul a angajat un angajat cu condiția să-i plătească 90 de kopciuri. Pentru fiecare zi lucrătoare și deduce 40 de copeici din ea. Pentru fiecare zi non-lucrătoare. După 12 zile, lucrătorul a primit 6 p. 90 k. Câte zile a lucrat?

266. Contractantul a angajat un angajat cu condiția să-i plătească 80 de copeici. Pentru fiecare zi lucrătoare și scade 50 de copeici din ea. Pentru fiecare zi non-lucrătoare. După 50 de zile, muncitorul a primit 21 r. 80 în .. Câte zile sa plimbat?

267. DAR și ÎN jucând un biliard cu condiția ca partidul câștigător să primească de la ratat 76 k.; După 20 de partide, sa dovedit acest lucru ÎN Am câștigat doar 4 r. 50 pentru a .. Câte părți pe care le-a câștigat?

267 DAR și ÎN Joacă pe biliard cu condiția ca partidul câștigător să primească 50 la ratat; După 12 partide, sa dovedit acest lucru DAR A câștigat doar 2 r .. Câte părți au pierdut?

268. Doi curieri au plecat în același timp din două orașe care se află la o distanță de 300 de mile și spre altul. Prima trecere la o oră de 12 mile, a doua 13 mile. Când se vor întâlni?

268. Doi curieri rămași în același timp din două orașe situate la o distanță de 280 de mile și unul față de celălalt. Prima trecere la o oră 11 a miii, a doua 17 mile. Când se vor întâlni?

269. Cu două stații ale căii ferate, situate la distanța de 77 de mile, există două trenuri în același timp și merg într-o direcție cu vitezele de 31 1/2, referința și 18 2/3 mile per oră, iar primul merge pentru al doilea. Când va prinde?

269. Din cele două stații ale căii ferate, care sunt în distanța de 38 de kilometri, sunt în același timp două trenuri și merg într-o direcție cu viteze 25 1/4 mile și 20 de kilometri pe oră , iar primul merge pentru al doilea. Când va prinde?

270. Din stație în 12 ore ale zilei, trenul de pasageri ieșim cu 32 de ani. la ora unu. După 45 de minute de aceeași stație, trenul de curierat, care face 42 V. la ora unu. În ce oră trenul de curierat va prinde pasagerul?

270. Din stație la ora 9 dimineața, trenul de pasageri iese de 28 V. la ora unu. O oră mai târziu cu un sfert de la aceeași stație, un tren de curierat iese din 40 V. la ora unu. În ce oră trenul de curierat va prinde pasagerul?

271. Ce capital ar trebui administrat 6% în creștere, pentru a obține un profit de 224 de ruble după 1 an 2 luni?

271. Ce capital ar trebui să fie acordat o creștere de 8% pentru a obține un profit de 182 de ruble în 7 luni?

272. Câte procente trebuie să fie date în creșterea capitalului 4400 de ruble, pentru a profita de 280 de ruble după 1 an 5 luni. 50 k?

272. Câte procente trebuie să fie acordate creșterii Kapiligal 1800 R. Pentru a profita de 93 de ruble după 11 luni. 60 k?

273. Un comerciant, care vinde mărfurile pentru 299 de ruble, a salvat 15% din profit. Care sunt bunurile pentru el?

273. Comerciantul, vânzând produsul pentru 161 de ruble, a primit 7 1/2% din profituri. Care sunt bunurile pentru el?

274. La vânzarea de bunuri în cantitatea de 429 r. A fost obținută o pierdere de 2 1/2%. Care este mărfurile în valoare de?

274. La vânzarea de bunuri în valoare de 366 p. Pierderea pierderii 8 1/2% ceea ce este bunurile?

275. Conform proiectului de lege timp de 10 luni înainte de termenul, au fost plătite 1120 de ruble, cu un raport comercial de 8%. Găsiți facturi de valută.

275. Potrivit proiectului de lege timp de 1 an cu 3 luni înainte de termenul, au fost plătite 839 P. 60 polițist. Cu o contabilitate comercială de 7%. Găsiți facturi de valută.

276. Piscina este fixată cu o conductă la ora 3, alta la ora 5. La ce oră va fi completat dacă deschideți ambele țevi în același timp?

276. Basean este umplut cu o conductă la 7 1/2 ore, alta la ora 5. La ce oră va fi completat dacă deschideți ambele țevi în același timp?

277. Piscina este umplută cu o conductă la ora 4, iar prin cealaltă se poate toarna la ora 6. La ce oră va fi umplut piscina cu acțiune simultană a ambelor conducte?

277. Piscina este umplută cu o conductă la 2 1/3 ore, iar prin alta poate găsi totul în 2 ore. 48 m. Scoop va fi umplut cu o piscină în același timp cu ambele țevi?

278. Doi angajați cum împreună timp de 3 ore 36 min; Unul poate să-l îndeplinească la ora 6. La ce oră va lucra a doua aceeași lucrare?

278. Doi angajați cum împreună la ora 12; În primul rând o poate îndeplini la ora 20. La ce oră face a doua lucrare aceeași lucrare?

279. Trei țevi au fost ținute în piscină; Prin primele două apă, acesta curge prin cele trei elemente. Prin prima țeavă, piscina poate fi umplută cu 3 ore, prin al doilea la ora 2, iar prin al treilea apă poate afla din piscină la ora 6. La ce oră se umple piscina, dacă deschideți toate cele trei țevi?

279. În piscină au avut loc trei țevi; Prin primele două apă, acesta curge prin cele trei elemente. Prin prima țeavă, piscina poate fi umplută la ora 2, prin al doilea la ora 5, iar cea de-a treia cea de-a treia mare poate afla din piscină la ora 10. La ce oră se umple piscina, dacă deschideți toate cele trei țevi?

280. Dintre cele trei țevi petrecute în piscină, primul se umple la ora 5, al doilea se umple la ora 15 și prin al treilea, întreaga piscină curge la ora 3. La ce oră este piscina completă, urmează actul simultan al tuturor conductelor?

280. Din cele trei țevi petrecute în piscină, primul se umple la ora 6, al doilea se umple la ora 18, iar prin al treilea, întreaga piscină curge la ora 3. La ce oră este piscina completă, cu acțiunea simultană a tuturor țevilor?

281. Eu sunt pregătit calea ferată DAR în ÎN cu o viteză medie de 30 de mile pe oră, apoi se întoarce de la ÎN în DAR la o viteză de 28 de mile pe oră. Toată pasajul acolo și înapoi face la 14 1/2 ore. Cât de mult poate DAR inainte de ÎN?

281. IIG Trenul vine de la DAR în ÎN cu o viteză medie de 24 versturi pe oră, apoi se întoarce de la ÎN în DAR Cu o viteză de 30 verstații pe oră. Toate călătoriile acolo și înapoi durează la 11 1/4 ore. Cât de mult poate DAR inainte de ÎN?

282. De DAR în ÎN Un tren a ieșit, trecând la o oră de 20 de mile. Thor 8 ore părăsesc trenul de la ÎN în DARtrecând 30 c. la ora unu. Distanţă Au. este egal cu 350 v .. la ce distanță de la DAR Trenurile se vor întâlni?

282. De la DAR în ÎN Un tren a ieșit, trecând la o oră de 24 de veste. După 5 ore, trenul provine de la ÎN în DARtrecând 28 în. la ora unu. Distanţă Au. egal cu 380 V., la ce distanță de la ÎN Trenurile se vor întâlni?

283. Suma celor trei numere este 70. Al doilea număr în timpul diviziunii este prezentat în privat 2 și în reziduul 1, al treilea în timpul divizării la al doilea dă în privat 3 și în reziduu 3. Găsiți aceste numere.

283. Suma celor trei numere este 60. Cel de-al doilea număr în timpul diviziunii este prezentat în privat 3 și în reziduul 2, al treilea din diviziunea la al doilea oferă în privat 2 și în restul 4. Găsiți numere.

284. Găsirea Cheiilo, care în diviziune cu 5 dă în reziduul 2 și când diviziile pe 8 dă în reziduul 5, știind ce primii încă trei secunde.

284. Pentru a găsi numărul care, atunci când este împărțit la 7, dă în reziduul 2, iar în diviziunea a 9 dă în reziduul 4, știind. că prima privată încă două secunde.

285. Cineva, care dorește să distribuie banii în timpul ei cu o săracă, calculată că, dacă toată lumea dă 15 copaci, atunci nu are 10 polițist., Și dacă toată lumea dă 13 copeși, va rămâne 6 la. Inutile. Câți erau cerșetori și câți bani?

285. Cineva, care dorește să distribuie banii pe care i-am avut în timpul lui, am calculat că, dacă toată lumea dă 8 polițist, apoi vor rămâne 4 kopeck-uri. Inutil, și dacă toată lumea dă 9 copeici, nu sunt suficiente 2 copeci ... câte erau cerșetorii și câți bani?

286. Inginer plasează stalpi telegrafic la o anumită distanță. Dacă le-ar fi pus la o distanță de 25 de însămânțați din cealaltă, ar fi necesar să luați încă 150 de piloni și dacă el a crescut distanța dintre coloanele cu 5 așezate, atunci cei 70 de stâlpi s-ar fi dovedit a fi a miel. Cât de mare distanță și câte stâlpi sunt făcute?

286. Inginer de plasare de plasare telegraf la o anumită distanță. Dacă le-a pus la o distanță de 30 de însămânțați din cealaltă, el ar avea stânga 100 de piloni și dacă ar fi redus distanța postărilor de la 4 soare, ar fi necesar să luăm încă 180 de poli. Cât de mare distanță și câte stâlpi sunt făcute?

287. Cineva când angajează un slujitor la promis pentru anul de serviciu pentru a plăti bani 144 de ruble. Și dați haine. Servitorul a fost luat după 7 luni și a primit în plata îmbrăcămintei și 54 de ruble. Ce costă hainele?

287. Cineva la angajarea unui servitor ia promis în 7 luni de serviciu pentru a plăti 75 de ruble și a da haine. Servitorul a avut loc în 5 luni și a primit în plata îmbrăcămintei și 45 de ruble. Ce este hainele?

288. Postat pentru 46 de kilograme de zahăr pentru 195 de ruble. mai mult de 73 de lire sterline; 9 kilograme zahăr sunt de 30 de ruble mai ieftine decât 37 de lire sterline. Care este kilogramul de zahăr de ceai și pulbere?

288. Puneți 21 de kilograme de ceai cu 238 de ruble mai puțin de 40 de kilograme de zahăr; 15 de kilograme sunt 2 ruble. mai scump decât 4 zahăr de iaz. Care este kilogramul de zahăr de ceai și pulbere?

289. Proprietarul terenului a angajat doi țărani pentru aceeași taxă potrivită. Unul dintre ei în 40 de zile a dat 7 p. 50 k. Bani și 3 1/2 sferturi de ovăz, altul pentru 24 de zile 4 ruble. 80 k. Bani și 2 trimestre de ovăz. Ce este un sfert de ovăz?

289. Proprietarul de teren a angajat doi țărani pentru aceeași taxă potrivită. Unul dintre ei în 56 de zile a dat 14 p. Bani și 8 sferturi de ovăz, altul pentru 88 de zile 13 r. 50 k. Bani și 15 sferturi de ovăz. Ce costă un sfert de ovăz?

290. Postat pentru 25 de aspirații Sukna și 21 aspru. Catifea 247 ruble. Se știe că 10 aspru. Velvet este în valoare de 18 ruble mai mult de 13 Ashin Sukna. Ce este aspirația și cealaltă?

290. Postat pentru 15 catifea de aspirație și 52 aspru. Sukna 276 ruble. Se știe că 2 aspru. Catifea stă lângă rublele a 17-a, 11 aspru. Sukna. Ce este aspirația și cealaltă?

291. Suma numărului de un număr de două cifre este de 12. Dacă 18 este luată din numărul dorit, atunci numărul indicat de aceleași numere, dar scris în ordine inversă. Găsiți acest număr.

291. Diferența de numere de unități și zeci de un număr de două cifre este egală cu 3. Dacă adăugați 27 la numărul dorit, atunci numărul indicat de aceleași numere, dar scris în ordine inversă. Găsiți acest număr.

292. În anumite număr de două cifre, numărul de zeci de două ori numărul de unități. Dacă numerele numărului va înceta, atunci obținem un număr mai mic decât cel de-al 36 de ani. Găsiți acest număr.

292. În unele număr de două cifre, numărul de zeci de trei ori mai mic decât numărul de unități. Dacă numărul numărului va înceta, atunci obținem un număr, mai mare decât cel de-al dorit 36. Găsiți acest număr.

293.a. joacă dame cu ÎN Și el câștigă trei dintre cele patru partide, apoi se joacă DIN Iar acesta din urmă câștigă două dintre cele trei partide. Total DAR a jucat 21 lot și a câștigat 15 dintre ei. Câte părți au jucat ÎN și S. DIN?

293. DAR joacă dame cu ÎN și îl pierde de la fiecare opt partide trei, apoi se joacă cu DIN Și pierde ultimul dintre cele cinci partide două. În general DAR a jucat 26 de partide și a pierdut de la ei 10. Câte părți au jucat ÎN și S. DIN?

294. Care este acum o oră, dacă 1/5 ore de ceasuri trecute de la prânz sunt egale cu 1/3 ore de ore rămase până la miezul nopții?

294. Care este acum o oră, dacă numărul 1/11 de ore care au trecut de la prânz este egal cu 1/13 din numărul de ore rămase până la miezul nopții?

295. Găsind greutatea peștelui, știind că coada de a cântărește 2 f., Capul cântărește la fel de mult ca coada și jumătatea corpului cântăresc, iar trunchiul cântărește la fel de mult ca și capul și coada.

295. Găsiți greutatea peștelui, știind că capul ei cântărește 7f., Coada cântărește la fel de mult ca cântărind capul și jumătate din corp, iar trunchiul cântărește cât de mult coada și capul.

296. Unele sume trebuie împărțite în două persoane, astfel încât părțile primului și al doilea sunt între ele, ca numerele 5 și 3 și că partea din prima este de 50 de ruble. Mai mult de 5/9 din suma totală. Cum este partea din toată lumea?

296. O anumită sumă trebuie împărțită între două persoane, astfel încât părți ale primului și al doilea să aparțin între ele, ca numerele 7 și 4, și acea parte a celui de-al doilea a fost de 21 de ruble. Mai puțin de 5/12 din toate sumi. Cum este partea din toată lumea?

297. Produs vândut cu o pierdere de 420 de ruble; Dacă ar fi vândut pentru 570 p., Atunci profitul ar fi de 5 ori mai mare decât pierderea suportă. Care este mărfurile în valoare de?

297. Produsul vândut cu profit pentru 520 p; Dacă ar fi vândut pentru 320 de ruble, ar fi o pierdere care reprezintă 3/7 profituri inversate. Care este mărfurile în valoare de?

298. Numărul de citz de aspirație conținute în trei bucăți includ ca 2: 3: 5. Dacă ați tăiat de la prima bucată de 4 aspirații, de la al doilea 6 aspru. Și din al treilea 10 ARS., Cantitatea rămasă a întregului CITZ va fi de 5/6 fosta. Câte aspirații în fiecare piesă?

298. Liniile lui Arshin Sitz, conținute în trei bucăți, aparțin 3: 5: 8. Dacă ați tăiat de la primele 10 aspirații, de la al doilea 20 aspru. și din al treilea 30 ARS., Cantitatea rămasă a întregului CITZ va fi de 5/8 fosta. Câte aspirații în fiecare piesă?

299. Din rezervor, o jumătate de jumătate din toată apă și jumătate de apă în ea, apoi jumătate din reziduu și jumătate de apă, în cele din urmă jumătate din reziduu și jumătate de apă; După aceea, 6 găleți au rămas în rezervor. Cât de multă apă a fost la început?

299. Din rezervor, cea de-a treia a apei din ea și o treime din găleți sunt turnate, apoi o treime din echilibru și o treime din găleți în cele din urmă un alt reziduu și o treime din găleată; După aceea, 7 găleți au plecat în rezervor. Câte apă a fost la început?

300. Mai multe persoane împărtășesc o anumită sumă după cum urmează; Primul primește 100 p. Și cea de-a cincea parte a echilibrului, a doua 200 de ruble și a cincea din noul echilibru, cea de-a treia 300 de ruble și cea de-a cincea din reziduu etc. Sa dovedit că întreaga sumă este împărțită în părți egale. Cum este această sumă, câți participanți la cotă și cât de mult a ajuns toată lumea?

300. Câteva persoane împărtășesc o anumită sumă după cum urmează: Primul primește 50 de ruble și a șasea parte a soldului, a doua 100 de ruble și a șasea a noului echilibru, a treia 150 de ruble și a șasea din reziduu etc. că întreaga sumă este împărțită în părți egale. Cum este această sumă, câți participanți la cotă și cât de mult a ajuns toată lumea?

Următoarele sarcini diferă de cele anterioare că datele sunt impuse implicit, sunt scrisori. Aceste sarcini aparțin acelorași tipuri ca cele anterioare. La rezolvarea, acestea se repetă cele mai importante dintre aceste tehnici care au fost utilizate mai devreme, dar datorită datelor implicite ale datelor, argumentele au mai generale și în același timp decât caracterul abdicat. În noile exerciții, este necesar în același mod ca și în prima, îngrijirea în primul rând la exprimarea prin cele necunoscute și prin aceste denumiri, toate valorile cărora în sarcină vorbește direct sau care sunt implicite și În același timp, trebuie să luați în mod constant în atenție toate denumirile, datele din problemă și toate condițiile legate de date și la dorit, când toate condițiile vor fi utilizate în cazul, atunci ideea de a face ecuația necesară.

301. Diferența de două numere s. q. . Găsiți ambele numere.

301. Foarte calitatea a două numere d. , raportul multiplu de mai puțin la un mic q. . Găsiți ambele numere.

302. Împărțiți numărul dar trei părți, astfel încât prima parte a fost mai mare decât cea de-a doua t. și mai puțin decât al treilea în p. timp.

302. Împărțiți numărul dar pentru trei părți, astfel încât prima parte este mai mică decât cea de-a doua t. și mai mult de al treilea în p. timp.

303. Un număr B. dar O dată mai mică decât cealaltă. Dacă adăugați, mai întâi t. , și la al doilea p. Apoi prima sumă va fi în b. O dată mai mică decât cea de-a doua. Găsiți aceste numere.

303. Un număr în dar O dată mai mică decât cealaltă. Dacă luați de la prima zi t. și de la al doilea p. Apoi prima diferență va fi în b. Încă o dată. Găsiți aceste numere.

304. Numărul de fracțiuni mai puțin decât denominatorul său dar ; Dacă fracțiunile sunt de la ambii membri b. t. / p. . Găsiți membrii fracțiunii.

304. Numerator al fracției mai mult din numitorul său pentru numărul dar . Dacă adăugați la ambii membri ai fracției b. , se dovedește fracțiunea egală cu fracțiunea t. / p. . Găsiți membrii fracțiunii.

305. Împărțiți numărul dar r. ori mai mult și în q. O dată decât cea de-a treia.

305. Împărțiți numărul dar Pentru ca aceste trei părți să fie primele. în r. ori mai mică decât cea de-a doua și în q. o dată mai mult de al treilea.

306. Denumirea fracțiunii este un numitor mare în dar timp. Dacă adăugați la numărul numărului b. și să scadă numărul de la denominator din , se dovedește fracțiunea egală cu fracțiunea K. / L. . Găsiți membrii fracțiunii.

306. Numitorul numărului mai mic al numărătorului său în dar timp. Dacă deduceți de la numărul numărului b. și adăugați un număr la numitor din , apoi fracțiunea, egală cu fracțiunea K. / L. . Găsiți membrii fracțiunii.

307. Împărțiți numărul t. în două părți, astfel încât diferența să fie privată din diviziunea primei părți dar și al doilea b. Rulare r.

307. Împărțiți numărul t. în două părți, astfel încât cantitatea de vedere privată din diviziunea primei părți dar și al doilea b. ar fi egal cu s. .

308. Lucrător pentru fiecare zi lucrătoare primește dar coperți și pentru fiecare non-deducere este dedusă din ea b. Kopecks. După expirarea lui p. zile curat veniturile lucrătorului egale s. Moluburi. Câte zile lucrătoare și câte non-de lucru?

308. Muncitorul pentru fiecare zi lucrătoare primește dar kopecks și pentru fiecare non-lucrare cu ea deduce b. Kopecks. După expirarea lui p. Zilele angajatului trebuie să plătească 5 ruble, câte zile lucrătoare și câte non-de lucru?

309. Diferența de două numere d. . Când se împarte subtractabilul este obținut privat q. și reziduul este egal cu jumătate din diferența. Găsiți aceste numere

309. Diferența de două numere d. . Când se împarte reziduul deductibil se obține r. și privat egal cu jumătate din diferența. Găsiți aceste numere.

310. Pentru mai multe Ashin Sukna. Popped dar ruble; Dacă ați cumpărat o clunk mai mult din b.

310. Pentru mai multe Ashin Sukna plătite dar ruble; Dacă ați cumpărat o clunk mai mică din ARSHIN, atunci ar fi necesar să plătească b. ruble. Câte aspirații au cumpărat?

311. Ce număr, fiind înmulțit cu a. va crește prin număr t. ?

311. Ce număr, fiind împărțit în dar va scădea cu numărul t. ?

312. Când vindeți acasă pentru m. rublele primite r. prejudiciul la sută. Ce a costat el însuși vânzătorul?

312. La vânzarea unei case pentru t. Rublele primite r. procent profit. Ce a costat el însuși vânzătorul?

313. Doi curieri pleacă în același timp din două locuri DAR și ÎN și du-te într-o direcție de la DARla ÎN Și mai departe. Iister trece pe oră dar Musto, al doilea b. Trebuie sa. Distanţă Au. in aceeasi masura D. Trebuie sa. Când și la ce distanță de la DAR Primul curier va prinde cel de-al doilea?

313. Doi curieri pleacă în același timp din două locuri DAR și ÎN Și se întâlnesc unul pe altul. Prima trecere pe oră dar Musto, al doilea b. Trebuie sa. Distanţă Au. in aceeasi masura d. Trebuie sa. Cand. Și la ce distanță de la DAR Ambele curieri se vor întâlni?

314. Roata din față a echipajului are un cerc în dar picioarele, circumferința din spate B. picioarele. La ce distanță ar trebui echipajul să meargă la rotița din față realizată p. se transformă în spate mare?

314. Roata din față a echipajului are un cerc dar picioare mai mici decât spatele. Ce distanță trebuie să treacă echipajul pentru a face roata din față t. și în spate p. se întoarce?

315. Două țevi sunt ținute în piscină, care o umple atât, prima cu o acțiune separată în dar Ore, al doilea este, de asemenea, cu o acțiune separată în b. ore. La ce oră va fi umplut coșul cu acțiune simultană a ambelor țevi?

315. În piscină au fost ținute două țevi, dintre care prima cu o acțiune separată o umple dar ore, iar al doilea se toarnă și întreaga piscină în b. ore. La ce oră va fi umplută piscina cu un comportament simultan al ambelor conducte?

316. Echipajul roata din spate a echipajului în dar O dată o circumferință mai mare a roții din față. Protecția echipajului t. picioare și, în același timp, roata a fost păstrată la Rulmenii sunt mari înapoi. Identificați cercurile ambelor roți și numărul de revoluții.

316. Cercul roții din față dar Futs mai puțin decât circumferința din spate. Protecția echipajului t. picioare și, în același timp, roata din spate păsată la ori mai puțin revoluții, verificând frontul. Scăpați circumferința ambelor roți, cât și numărul de rotații.

317. Populația unui oraș crește anual r. % Comparativ cu populația din anul precedent. În prezent în oraș t.

317. Populația unui oraș scade anual r. % Comparativ cu populația din anul precedent. În ora actuală din oraș t. rezidenți. Câți oameni aveau acum 3 ani?

318. Muncitorii dwee, care lucrează în același timp, cum lucrează în dar ore. Unul va selecta aceeași lucrare în b. , în curând, cu o secundă. La ce oră se va termina fiecare muncitor?

318. Lucrătorii DWEE, care lucrează în același timp, cumshots în dar ore. Un sentiment are o lucrare greșită în b. , odată ce un medleeneeeeeeeeeeeeeeeeeeeee, Sem o secundă. La ce oră funcționează fiecare dintre muncitori?

319. Barca, Rowing Rips Navigare p. Sage B. t. ore; Geby Agage împotriva instanței, este consumată și Ore mai mult pentru a înota apoi distanța. Determinați viteza ceasului fluxului.

319. Boatman, rătăcitor împotriva sensului înoată p. SEDA B. t. ore; Învârtirea în curs, consumă și Meenee urmărește să înoate apoi într-o distanță. Determină viteza de timp a țintă.

320. Vorbi DAR Se mișcă cu viteză V. Mai slab pe secundă. Ce viteză a fost să mutați altul ÎN, învățați de la acel fel de mest t. După mai devreme, dacă a fost depășită de cuvânt DAR prin și secunde postați pentru a începe mișcarea acestui cuvânt?

320. Discuție A. Se mișcă cu viteză v. Mai slab pe secundă. Ce viteză ar trebui să se miște prietenul ÎNieșind din același mest și secunde mai târziu dacă este prins DARprin și sexul postului a început să înceapă calea lor?

321. Din cele două soiuri, mărfurile din dar ruble și b b. ruble pe kilogram, compuse d. t. rublele pe kilogram primite s. rublează pierderea. Câte kilograme ale celuilalt soi au mers pentru a face un amestec?

321. Din cele două soiuri, bunurile, Ceno în dar ruble și b b. ruble pe kilogram, compuse d. kilograme smei. Când vindeți această verificare t. rublele pe kilogram primite s. rublează profiturile. Câte kilograme ale celeilalte soiuri au mers la compilarea ceară?

322. B Piscină t. Verge, au fost efectuate două țevi. Primul se toarnă în piscină dar Vede pe oră. Al doilea turnați întreaga piscină în b. ore. Orele de skole vor fi umplute cu o piscină în timp ce au învățat simultan despre țevi?

322. În piscină, care t. Vede, au fost efectuate două țevi. Primul umple întreaga piscină în dar ore. Al doilea pe oră se revarsă din piscină b. găleți. Câte ore vor fi umplute bazinul cu utilizarea simultană a ambelor conducte?

323. Numărul încă dar Pentru trei părți, astfel încât primul se referă la al doilea cum t: P. , și al doilea la al treilea, cum ar fi p: Q.

323. Numărul încă dar trei părți, astfel încât al doilea aparțin primului ca t: P. , și al treilea la al doilea, ca p: Q.

324. De două mei DAR și ÎN p. Salata, înotă unul pe celelalte două bărci, conduse de roți cu aceeași forță. În cazul în care plutește în acest caz, trece toată distanța Au. în t. ore; Al doilea, plutind împotriva țintei, utilizează cu atât mai mare este mai mare timp și ore. Puneți viteza ceasului fluxului.

324. Din cei doi metri DAR și ÎN în perioada care este separată de cealaltă p. Salata, înotă unul pe celelalte două bărci, conduse de roți cu aceeași forță. Efectuarea de ardere împotriva învățământului, este la distanță Au. în t. ore; Al doilea, plutesc în flux, utilizează mai puțin decât cel mai mic la aceeași distanță și ore. Determinați viteza ceasului fluxului.

325. Identificați capitala a trei persoane, știind că primul cu al doilea este necesar t. ruble, al doilea cu al treilea p. ruble, și că capitala este în r. Odată ce a treia capitală este a treia.

325. Ștergeți capitala a trei persoane, știind că prima cu a treia pe care o aveți t. ruble, al doilea cu al treilea p. ruble, și că capitala este prima dată r. Încă o dată capitala a doua.

326. Doi copaci se deplasează spre unul dintre celelalte două metri în depărtare d. metri. Mai întâi se mișcă la viteze v. metri pe secundă. Cât de repede ar trebui să se miște cel de-al doilea gust, a mers la h. Mai întâi mai întâi și ar trebui să meargă până la toate p. Secunde?

326. Doi copaci se îndreaptă spre unul dintre celelalte două de la distanță d. metri. Primele se deplasează la viteze v. metri pe secundă. Cât de repede ar trebui să se miște cel de-al doilea gust dacă sa întâmplat h. secunde mai întâi mai întâi și ar trebui să meargă la toate p. Secunde?

327. Factura inclusă comercială r. % Per. p. la curent, contabilizează și mai mult matematic, a murit r. % si pentru p. Vă permite, dar ruble. Găsiți valută în navigație.

327. Vexel, luată în considerare comercial r. % Per. p. Du-te în fața lui t. rublele mai ieftine, Chem cu contabilitate a consumatorilor, eșantionate astfel r. % si pentru p. LED Ce sumă este disponibilă?

328. Două curburi sunt făcute din mere DAR și B.Situat în depărtare d. Vers, și există un tricotat, prima oră u. Versiune și a doua v. verso; În primul rând de precedente DAR A făcut-o pe h. ÎN. Definiți când și GDE va \u200b\u200bface curieri?

328. Două curieri selectați din Meis DAR și B. Situat în depărtare d. Pofta, și sunt amândoi în aceeași direcție, prima oră-mai întâi și Trebuie și în al doilea rând v. verso; Alții pervago de la DAR A făcut-o pe h. ore înainte de al doilea de la B.. Decideți când și primul curier DGE va prinde în al doilea rând?

329. Numărul încă dar În Takia, trei părți, care, dacă se aplică t. , a doua reducere prima reducere m. și a stabilit pentru a multiplica p. , și a treia partiție p. Rezultatele obținute vor fi egale.

329. Numărul încă dar În Takia, trei părți că dacă primele să fie înțelese t. , a doua creștere t. , apoi multiplicați p. , și a treia partiție p. , Va afișa rezultate egale.

330. Trei țevi au fost ținute în piscină A, B. și DIN. Prin DAR și DIN apa a fost consolidată prin ÎN DAR și ÎNpiscina este umplută de B. t. ore când DAR și C. în p. ore când ÎN și DIN în r. ore. La ce oră va fi umpluta piscina cu ultimele trei conducte simultane?

330. Trei țevi au fost ținute în piscină A, B. și DIN. Prin DAR apa a fost consolidată prin ÎN și DIN Urmează În caz de îmbinare DAR și ÎN Piscina este umplută de B. t. ore când DAR și DIN în p. Ore, țevi ÎN și DIN Se toarnă întreaga piscină în r. ore. La ce oră este întreaga piscină a dimensiunii simultane din urmă din toate cele trei țevi?