Orice două laturi ale unui paralelogram sunt paralele. Paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi (Fig. 233).

Pentru un paralelogram arbitrar sunt valabile următoarele proprietăți:

1. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Dovada. În paralelogramul ABCD desenăm diagonala AC. Triunghiurile ACD și AC B sunt egale, având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale adiacente acesteia:

(ca unghiurile transversale cu drepte paralele AD și BC). Aceasta înseamnă, la fel ca laturile triunghiurilor egale situate opuse unghiurilor egale, ceea ce trebuia demonstrat.

2. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale:

3. Unghiurile adiacente ale unui paralelogram, adică unghiurile adiacente unei laturi, se adună etc.

Dovada proprietăților 2 și 3 se obține imediat din proprietățile unghiurilor pentru drepte paralele.

4. Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul lor de intersecție. Cu alte cuvinte,

Dovada. Triunghiurile AOD și BOC sunt congruente, deoarece laturile lor AD și BC sunt egale (proprietatea 1) și unghiurile adiacente lor (ca unghiurile transversale pentru liniile paralele). De aici rezultă că laturile corespunzătoare acestor triunghiuri sunt egale: AO, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Fiecare dintre aceste patru proprietăți caracterizează un paralelogram sau, după cum se spune, este proprietatea sa caracteristică, adică fiecare patrulater care are cel puțin una dintre aceste proprietăți este un paralelogram (și, prin urmare, are toate celelalte trei proprietăți).

Să facem dovada pentru fiecare proprietate separat.

1". Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.

Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și respectiv CD egale (Fig. 233). Să desenăm diagonala AC. Triunghiurile ABC și CDA vor fi egale ca având trei perechi laturi egale.

Dar atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și . Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și ACB.

2. Dacă un patrulater are două perechi de unghiuri opuse egale, atunci este un paralelogram.

Dovada. Lăsa . De atunci, ambele părți AD și BC sunt paralele (pe baza paralelismului dreptelor).

3. Lăsăm cititorului formularea și dovada.

4. Dacă diagonalele unui patrulater se bisectează în punctul de intersecție, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Dovada. Dacă AO = OS, BO = OD (Fig. 233), atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca și cum ar avea unghiuri egale(vertical!) la vârful O, închis între perechi de laturi egale AO și CO, BO și DO. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că laturile AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt de asemenea egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform proprietății caracteristice G.

Astfel, pentru a demonstra că un patrulater dat este un paralelogram, este suficient să verificăm validitatea oricăreia dintre cele patru proprietăți. Cititorul este invitat să demonstreze independent o altă proprietate caracteristică a unui paralelogram.

5. Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.

Uneori, orice pereche de laturi paralele ale unui paralelogram se numește bazele sale, apoi celelalte două sunt numite laturi laterale. Un segment de linie dreaptă perpendicular pe două laturi ale unui paralelogram, închis între ele, se numește înălțimea paralelogramului. Paralelogramul din fig. 234 are o înălțime h trasă pe laturile AD și BC, a doua înălțime a sa este reprezentată de segmentul .

Conceptul de paralelogram

Definiția 1

Paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt paralele între ele (Fig. 1).

Poza 1.

Un paralelogram are două proprietăți principale. Să le luăm în considerare fără dovezi.

Proprietatea 1: Laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Proprietatea 2: Diagonalele desenate într-un paralelogram sunt tăiate în două de punctul lor de intersecție.

Semne ale unui paralelogram

Să luăm în considerare trei caracteristici ale unui paralelogram și să le prezentăm sub formă de teoreme.

Teorema 1

Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale între ele și, de asemenea, paralele, atunci acest patrulater va fi un paralelogram.

Dovada.

Să ni se dea un patrulater $ABCD$. În care $AB||CD$ și $AB=CD$ Să desenăm în ea o diagonală $AC$ (Fig. 2).

Figura 2.

Luați în considerare liniile paralele $AB$ și $CD$ și secantele lor $AC$. Apoi

\[\angle CAB=\angle DCA\]

ca niște colțuri încrucișate.

Conform criteriului $I$ de egalitate a triunghiurilor,

deoarece $AC$ este partea lor comună și $AB=CD$ după condiție. Mijloace

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Considerăm dreptele $AD$ și $CB$ și secantele lor $AC$; prin ultima egalitate între unghiurile situate obținem că $AD||CB$.) În consecință, prin definiție $1$, acest patrulater este un paralelogram.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2

Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale între ele, atunci acesta este un paralelogram.

Dovada.

Să ni se dea un patrulater $ABCD$. În care $AD=BC$ și $AB=CD$. Să desenăm în ea o diagonală $AC$ (Fig. 3).

Figura 3.

Deoarece $AD=BC$, $AB=CD$ și $AC$ este o latură comună, atunci după criteriul $III$ pentru egalitatea triunghiurilor,

\[\triunghi DAC=\triunghi ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Să luăm în considerare dreptele $AD$ și $CB$ și secantele lor $AC$; prin ultima egalitate peste unghiurile situate obținem acel $AD||CB$. Prin urmare, prin definiție $1$, acest patrulater este un paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Să considerăm dreptele $AB$ și $CD$ și secantele lor $AC$; prin ultima egalitate peste unghiurile situate obținem acel $AB||CD$. Prin urmare, după Definiția 1, acest patrulater este un paralelogram.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 3

Dacă diagonalele desenate într-un patrulater sunt împărțite în două părți egale prin punctul lor de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dovada.

Să ni se dea un patrulater $ABCD$. Să desenăm diagonalele $AC$ și $BD$ în el. Lasă-le să se intersecteze în punctul $O$ (Fig. 4).

Figura 4.

Deoarece, prin condiție, $BO=OD,\ AO=OC$, iar unghiurile $\angle COB=\angle DOA$ sunt verticale, atunci, după criteriul $I$ pentru egalitatea triunghiurilor,

\[\triangle BOC=\triunghi AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Luați în considerare dreptele $BC$ și $AD$ și secantele lor $BD$; prin ultima egalitate peste unghiurile situate obținem acel $BC||AD$. De asemenea, $BC=AD$. Prin urmare, după teorema $1$, acest patrulater este un paralelogram.

La fel ca în geometria euclidiană, un punct și o dreaptă sunt elementele principale ale teoriei planelor, așadar paralelogramul este una dintre figurile cheie ale patrulaterelor convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.

In contact cu

Definiţia parallelogram

patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.

Cum arată un paralelogram clasic este reprezentat de un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD se numesc diagonale.

Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Laturi și unghiuri: caracteristici ale relației

Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:

1. Laturile opuse sunt identice în perechi.
2. Unghiurile opuse unul altuia sunt egale în perechi.

Demonstrație: Se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD cu dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC este comun pentru ele (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea semn de egalitate a triunghiurilor).

Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi dreptelor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice pe perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile diagonalelor unei figuri

Caracteristica principală dintre aceste drepte ale unui paralelogram: punctul de intersecție le împarte în jumătate.

Dovada: Fie, adică, punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.

AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantei, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.

După al doilea criteriu de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE: AE = CE, BE = DE și în același timp sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile colțurilor adiacente

Laturile adiacente au o sumă de unghiuri egală cu 180°, deoarece se află pe aceeași parte a unor drepte paralele și a unei transversale. Pentru patrulater ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietățile bisectoarei:

1. , coborâte într-o parte, sunt perpendiculare;
2. vârfurile opuse au bisectoare paralele;
3. triunghiul obţinut prin trasarea unei bisectoare va fi isoscel.

Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram folosind teorema

Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care afirmă următoarele: un patrulater este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.

Dovada: fie dreptele AC și BD ale patrulaterului ABCD să se intersecteze la i.e. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (după primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile transversale interne ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || B.C. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.

Calcularea ariei unei figuri

Zona acestei figuri găsit prin mai multe metode una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.

Demonstrație: trageți perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale, deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egală ca mărime cu dreptunghiul EBCF, deoarece sunt formate din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. De aici rezultă că zona acestuia figură geometrică este situat în același mod ca un dreptunghi:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pentru a determina formula generală pentru aria unui paralelogram, să notăm înălțimea ca hb, iar partea - b. Respectiv:

Alte modalități de a găsi zonă

Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.

,

Spr-ma - zona;

a și b sunt laturile sale

α este unghiul dintre segmentele a și b.

Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. decupează întotdeauna un triunghi dreptunghic ai cărui parametri se găsesc identități trigonometrice, acesta este . Transformând relația, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.

Prin diagonalele unui paralelogram și unghiul, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.

Dovada: AC și BD se intersectează pentru a forma patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.

Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită prin expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Din moment ce , calculele folosesc o singură valoare sinus. Acesta este . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2, formula ariei se reduce la:

.

Aplicație în algebră vectorială

Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială, și anume adăugarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectoriȘiNusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.

Dovada: de la un început ales arbitrar - i.e. - construirea vectorilor si . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.

Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram

Identitățile sunt date în următoarele condiții:

1. a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
2. d 1 și d 2, γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
3. h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;

Parametru	Formulă
Găsirea laturilor
de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele
de-a lungul diagonalelor și laturilor
prin înălţime şi vârful opus
Aflarea lungimii diagonalelor
pe laturi si marimea apexului dintre ele

Semn-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Definiția și proprietățile de bază ale unui paralelogram

Să începem prin a aminti definiția para-ral-le-lo-gram.

Definiție. Paralelogram- what-you-rekh-gon-nick, care are fiecare două laturi pro-ti-false care sunt paralele (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Să ne amintim proprietăţile de bază ale pa-ral-le-lo-gram-ma:

Pentru a putea folosi toate aceste proprietăți, trebuie să fii sigur că fi-gu-ra, despre cineva -Roy despre care vorbim, - pa-ral-le-lo-gram. Pentru a face acest lucru, este necesar să cunoașteți fapte precum semnele pa-ral-le-lo-gram-ma. Ne uităm acum la primele două dintre ele.

2. Primul semn al unui paralelogram

Teorema. Primul semn al pa-ral-le-lo-gram-ma. Dacă într-un patru cărbuni cele două laturi opuse sunt egale și paralele, atunci această poreclă de patru cărbuni - paralelogram. .

Orez. 2. Primul semn al pa-ral-le-lo-gram-ma

Dovada. Să punem dia-go-nalul în four-reh-coal-ni-ka (vezi Fig. 2), ea l-a împărțit în două tri-coal-ni-ka. Să scriem ce știm despre aceste triunghiuri:

conform primului semn al egalităţii triunghiurilor.

Din egalitatea triunghiurilor indicate rezultă că, prin semnul paralelismului liniilor drepte la traversarea ch-nii lor s-ku-shchi. Avem asta:

Do-ka-za-dar.

3. Al doilea semn al unui paralelogram

Teorema. Al doilea semn este pa-ral-le-lo-gram-ma. Dacă într-un patru colț fiecare două laturi pro-ti-false sunt egale, atunci acest patru colț este paralelogram. .

Orez. 3. Al doilea semn al pa-ral-le-lo-gram-ma

Dovada. Punem dia-go-nalul în patru colțuri (vezi Fig. 3), ea îl împarte în două triunghiuri. Să scriem ce știm despre aceste triunghiuri, pe baza formei teoriei:

conform celui de-al treilea semn al egalităţii triunghiurilor.

Din egalitatea triunghiurilor rezultă că, prin semnul liniilor paralele, atunci când le intersectează s-ku-shchey. Hai sa mancam:

par-ral-le-lo-gram prin definitie. Q.E.D.

Do-ka-za-dar.

4. Un exemplu de utilizare a primului paralelogram

Să aruncăm o privire la exemplul de utilizare a semnelor de pa-ral-le-lo-gram.

Exemplul 1. În umflătură nu există cărbuni Aflați: a) colțurile cărbunilor; b) sută-ro-puţ.

Soluţie. Ilustrație Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram după primul semn al pa-ral-le-lo-gram-ma.

A. prin proprietatea unui par-ral-le-lo-gram despre unghiurile pro-ti-false, prin proprietatea unui par-ral-le-lo-gram despre suma unghiurilor, când se află pe o parte.

B. prin natura egalităţii părţilor pro-false.

re-tiy semn pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Revizuire: Definiția și proprietățile unui paralelogram

Să ne amintim asta paralelogram- acesta este un colț de patru pătrați, care are laturile pro-ti-false în perechi. Adică dacă - par-ral-le-lo-gram, atunci (vezi fig. 1).

Paralela-le-lo-gramul are o serie de proprietăți: unghiurile opuse sunt egale (), unghiurile opuse - suntem egale ( ). În plus, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma în punctul re-se-che-niya este împărțit în funcție de suma unghiurilor, at-le- apăsând la orice side pa-ral-le-lo-gram-ma, egal etc.

Dar pentru a profita de toate aceste proprietăți, este necesar să fii absolut sigur că ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. În acest scop, există semne de par-ral-le-lo-gram: adică acele fapte din care se poate trage o concluzie cu o singură valoare, că ceea ce-tu-rekh-coal-nick este un par-ral- le-lo-gram-mom. În lecția anterioară, ne-am uitat deja la două semne. Acum ne uităm la a treia oară.

6. Al treilea semn al unui paralelogram și demonstrația lui

Dacă într-un four-coal există un dia-go-on în punctul de re-se-che-niya ei fac-by-lams, atunci dat four-you Roh-coal-nick este un pa-ral-le -lo-gram-mama.

Dat:

Ce-ai-re-cărbune-nick; ; .

Dovedi:

Paralelogram.

Dovada:

Pentru a demonstra acest fapt este necesar să se arate paralelismul părților la par-le-lo-gramă. Și paralelismul liniilor drepte se realizează cel mai adesea prin egalitatea unghiurilor interne transversale la aceste unghiuri drepte. Astfel, iată următoarea metodă de obținere a celui de-al treilea semn de par-ral -le-lo-gram-ma: prin egalitatea triunghiurilor .

Să vedem cum aceste triunghiuri sunt egale. Într-adevăr, din condiție rezultă: . În plus, deoarece unghiurile sunt verticale, ele sunt egale. Acesta este:

(primul semn de egalitatetri-coal-ni-cov- de-a lungul a două laturi și colțul dintre ele).

Din egalitatea triunghiurilor: (deoarece unghiurile transversale interne la aceste drepte și separatoare sunt egale). În plus, din egalitatea triunghiurilor rezultă că . Aceasta înseamnă că înțelegem că în patru cărbuni două sute sunt egale și paralele. După primul semn, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-dar.

7. Exemplu de problemă pe al treilea semn al paralelogramului și generalizare

Să ne uităm la exemplul de utilizare a celui de-al treilea semn al lui pa-ral-le-lo-gram.

Exemplul 1

Dat:

- paralelogram; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (vezi Fig. 2).

Dovedi:- pa-ral-le-lo-gram.

Dovada:

Aceasta înseamnă că în cele patru cărbune-no-dia-go-on-dacă în punctul de re-se-che-niya ei fac-by-lam. Prin al treilea semn al pa-ral-le-lo-gram, rezultă din aceasta că - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-dar.

Dacă analizați al treilea semn al pa-ral-le-lo-gram, atunci puteți observa că acest semn este cu-vet- are proprietatea unui par-ral-le-lo-gram. Adică faptul că dia-go-na-li de-la-xia nu este doar o proprietate a par-le-lo-gramului, și distinctiv, kha-rak-te-ri-sti-che- proprietate, prin care se poate deosebi de multimea ce-tu-rekh-coal-ni-cov.

SURSĂ

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. Următoarea figură prezintă paralelogramul ABCD. Are latura AB paralelă cu latura CD și latura BC paralelă cu latura AD.

După cum probabil ați ghicit, un paralelogram este un patrulater convex. Să luăm în considerare proprietățile de bază ale unui paralelogram.

Proprietățile unui paralelogram

1. Într-un paralelogram, unghiurile opuse și laturile opuse sunt egale. Să demonstrăm această proprietate - luați în considerare paralelogramul prezentat în figura următoare.

Diagonal BD îl împarte în două triunghi egal: ABD și CBD. Ele sunt egale de-a lungul laturii BD și a celor două unghiuri adiacente acesteia, deoarece unghiurile situate transversal la secanta BD a dreptelor paralele BC și AD și, respectiv, AB și CD. Prin urmare AB = CD și
BC = AD. Și din egalitatea unghiurilor 1, 2, 3 și 4 rezultă că unghiul A = unghiul 1 + unghiul 3 = unghiul 2 + unghiul 4 = unghiul C.

2. Diagonalele unui paralelogram se împart la jumătate la punctul de intersecție. Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale paralelogramului ABCD.

Atunci triunghiul AOB și triunghiul COD sunt egali unul cu celălalt, de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente. (AB = CD, deoarece acestea sunt laturi opuse ale paralelogramului. Și unghiul1 = unghiul2 și unghiul3 = unghiul4 sunt ca niște unghiuri transversale atunci când dreptele AB și CD se intersectează cu secantele AC și respectiv BD.) De aici rezultă că AO = OC și OB = OD, care și trebuia dovedit.

Toate proprietățile principale sunt ilustrate în următoarele trei figuri.