Când există un semn minus înaintea unei paranteze. Paranteze de deschidere: reguli și exemple (clasa 7)

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.

Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece includerea parantezelor este transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:

Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

De obicei se folosește următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate

Trebuie să te confrunți cu unele expresii în transformările algebrice mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des; de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard; de fapt, ați întâlnit deja această sarcină la înmulțirea polinoamelor:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei egal cu suma pătrate și dublează produsul.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublat.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Extinderea parantezelor este un tip de transformare a expresiei. În această secțiune vom descrie regulile de deschidere a parantezelor și vom analiza, de asemenea, cele mai comune exemple de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce înseamnă parantezele de deschidere?

Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii numerice, literale și variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la o expresie identică egală fără paranteze. De exemplu, înlocuiți expresia 2 · (3 + 4) cu o expresie de formă 2 3 + 2 4 fara paranteze. Această tehnică se numește deschidere paranteze.

Definiția 1

Parantezele extinse se referă la tehnici pentru a scăpa de paranteze și este de obicei luată în considerare în relație cu expresii care pot conține:

• semnele „+” sau „-” înaintea parantezelor care conțin sume sau diferențe;
• produsul unui număr, literă sau mai multor litere și o sumă sau diferență, care este plasată între paranteze.

Așa suntem obișnuiți să luăm în considerare procesul de deschidere a parantezelor în curs curiculumul scolar. Cu toate acestea, nimeni nu ne împiedică să privim această acțiune mai larg. Putem numi paranteză deschiderea tranziției de la o expresie care conține numere negative în paranteze la o expresie care nu are paranteze. De exemplu, putem trece de la 5 + (− 3) − (− 7) la 5 − 3 + 7. De fapt, aceasta este și o deschidere de paranteze.

În același mod, putem înlocui produsul expresiilor din paranteze de forma (a + b) · (c + d) cu suma a · c + a · d + b · c + b · d. De asemenea, această tehnică nu contrazice sensul deschiderii parantezelor.

Iată un alt exemplu. Putem presupune că orice expresie poate fi folosită în loc de numere și variabile în expresii. De exemplu, expresia x 2 · 1 a - x + sin (b) va corespunde unei expresii fără paranteze de forma x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Încă un punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile înregistrării deciziilor la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca o egalitate. De exemplu, după extinderea parantezelor în loc de expresie 3 − (5 − 7) obținem expresia 3 − 5 + 7 . Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Efectuarea acțiunilor cu expresii greoaie poate necesita înregistrarea rezultatelor intermediare. Atunci soluția va avea forma unui lanț de egalități. De exemplu, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 sau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Reguli pentru deschiderea parantezelor, exemple

Să începem să ne uităm la regulile de deschidere a parantezelor.

Pentru numere simple între paranteze

Numerele negative din paranteze se găsesc adesea în expresii. De exemplu, (− 4) și 3 + (− 4) . Numerele pozitive dintre paranteze au și ele un loc.

Să formulăm o regulă pentru deschiderea parantezelor care conțin numere pozitive simple. Să presupunem că a este orice număr pozitiv. Apoi putem înlocui (a) cu a, + (a) cu + a, - (a) cu – a. Dacă în loc de a luăm un anumit număr, atunci conform regulii: numărul (5) se va scrie ca 5 , expresia 3 + (5) fără paranteze va lua forma 3 + 5 , deoarece + (5) este înlocuit cu + 5 , iar expresia 3 + (− 5) este echivalentă cu expresia 3 − 5 , deoarece + (− 5) este înlocuit cu − 5 .

Numerele pozitive sunt de obicei scrise fără a folosi paranteze, deoarece parantezele nu sunt necesare în acest caz.

Acum luați în considerare regula pentru deschiderea parantezelor care conțin o singură un număr negativ. + (− a) inlocuim cu − a, − (− a) se înlocuiește cu + a. Dacă expresia începe cu un număr negativ (− a), care este scris între paranteze, apoi parantezele sunt omise și în schimb (− a) ramane − a.

Aici sunt cateva exemple: (− 5) poate fi scris ca − 5, (− 3) + 0, 5 devine − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) devine 4 − 3 , iar − (− 4) − (− 3) după deschiderea parantezelor ia forma 4 + 3, deoarece − (− 4) și − (− 3) se înlocuiește cu + 4 și + 3 .

Trebuie înțeles că expresia 3 · (− 5) nu poate fi scrisă ca 3 · − 5. Despre vom vorbiîn paragrafele următoare.

Să vedem pe ce se bazează regulile de deschidere a parantezelor.

Conform regulii, diferența a − b este egală cu a + (− b) . Pe baza proprietăților acțiunilor cu numere, putem crea un lanț de egalități (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a care va fi corect. Acest lanț de egalități, în virtutea sensului de scădere, demonstrează că expresia a + (− b) este diferența a - b.

Pe baza proprietăților numere opuse iar regulile de scădere a numerelor negative, putem afirma că − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Există expresii care sunt formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Utilizarea regulilor de mai sus vă permite să scăpați secvențial de paranteze, trecând de la parantezele interioare la cele exterioare sau în direcție inversă. Un exemplu de astfel de expresie ar fi − (− ((− (5)))) . Să deschidem parantezele, deplasându-ne din interior în exterior: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Acest exemplu poate fi analizat și în sens invers: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Sub Ași b poate fi înțeles nu numai ca numere, ci și ca numeric arbitrar sau expresii literale cu semnul „+” în față, care nu sunt sume sau diferențe. În toate aceste cazuri, puteți aplica regulile în același mod ca și noi pentru numerele simple din paranteze.

De exemplu, după deschiderea parantezelor expresia − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) va lua forma 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Cum am făcut-o? Știm că − (− 2 x) este + 2 x și, deoarece această expresie vine mai întâi, atunci + 2 x poate fi scris ca 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x și − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

În produse a două numere

Să începem cu regula pentru deschiderea parantezelor în produsul a două numere.

Să ne prefacem că Ași b sunt două numere pozitive. În acest caz, produsul a două numere negative − ași − b de forma (− a) · (− b) putem înlocui cu (a · b) , iar produsele a două numere cu semne opuse de forma (− a) · b și a · (− b) poate fi înlocuit cu (− a b). Înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus dă un minus.

Corectitudinea primei părți a regulii scrise este confirmată de regula de înmulțire a numerelor negative. Pentru a confirma a doua parte a regulii, putem folosi regulile pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1

Să considerăm un algoritm de deschidere a parantezelor în produsul a două numere negative - 4 3 5 și - 2, de forma (- 2) · - 4 3 5. Pentru a face acest lucru, înlocuiți expresia originală cu 2 · 4 3 5 . Să deschidem parantezele și să obținem 2 · 4 3 5 .

Și dacă luăm câtul numerelor negative (− 4) : (− 2), atunci intrarea după deschiderea parantezelor va arăta ca 4: 2

În locul numerelor negative − ași − b pot fi orice expresii cu semnul minus în față care nu sunt sume sau diferențe. De exemplu, acestea pot fi produse, câte, fracții, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometriceși așa mai departe.

Să deschidem parantezele din expresia - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Conform regulii, putem face următoarele transformări: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Expresie (− 3) 2 poate fi convertit în expresia (− 3 2) . După aceasta, puteți extinde parantezele: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Împărțirea numerelor cu semne diferite poate necesita, de asemenea, extinderea preliminară a parantezelor: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 și 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Regula poate fi folosită pentru a efectua înmulțirea și împărțirea expresiilor cu semne diferite. Să dăm două exemple.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2

În produse de trei sau mai multe numere

Să trecem la produsele și coeficientii care conțin cantitate mare numere. Pentru a extinde paranteze, va funcționa aici următoarea regulă. Dacă există un număr par de numere negative, puteți omite parantezele și puteți înlocui numerele cu opuse. După aceasta, trebuie să includeți expresia rezultată între paranteze noi. Dacă există un număr impar de numere negative, omiteți parantezele și înlocuiți numerele cu opuse. După aceasta, expresia rezultată trebuie plasată între paranteze noi și trebuie plasat un semn minus în fața acesteia.

Exemplul 2

De exemplu, luați expresia 5 · (− 3) · (− 2) , care este produsul a trei numere. Există două numere negative, prin urmare putem scrie expresia ca (5 · 3 · 2) și apoi deschideți în final parantezele, obținând expresia 5 · 3 · 2.

În produsul (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) cinci numere sunt negative. prin urmare (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . După ce am deschis în sfârșit parantezele, obținem −2,5 3:2 4:1.25:1.

Regula de mai sus poate fi justificată după cum urmează. În primul rând, putem rescrie astfel de expresii ca un produs, înlocuindu-le cu înmulțirea cu număr reciproc Divizia. Reprezentăm fiecare număr negativ ca produs al unui număr înmulțitor și - 1 sau - 1 este înlocuit cu (− 1) a.

Folosind proprietatea comutativă a înmulțirii, schimbăm factorii și transferăm toți factorii egali cu − 1 , până la începutul expresiei. Produsul unui număr par minus unu este egal cu 1, iar produsul unui număr impar este egal cu − 1 , care ne permite să folosim semnul minus.

Dacă nu am folosi regula, atunci lanțul de acțiuni pentru a deschide parantezele din expresia - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ar arăta astfel:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Regula de mai sus poate fi folosită la deschiderea parantezelor în expresii care reprezintă produse și coeficienti cu semn minus care nu sunt sume sau diferențe. Să luăm de exemplu expresia

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Poate fi redusă la expresia fără paranteze x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Paranteze extinse precedate de semnul +

Luați în considerare o regulă care poate fi aplicată pentru a extinde parantezele care sunt precedate de un semn plus, iar „conținutul” acelor paranteze nu este înmulțit sau împărțit cu niciun număr sau expresie.

Conform regulii, parantezele, împreună cu semnul din fața lor, sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt păstrate. Dacă nu există niciun semn înainte de primul termen între paranteze, atunci trebuie să puneți un semn plus.

Exemplul 3

De exemplu, dăm expresia (12 − 3 , 5) − 7 . Omitând parantezele, păstrăm semnele termenilor între paranteze și punem semnul plus înaintea primului termen. Intrarea va arăta ca (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. În exemplul dat, nu este necesar să se plaseze un semn în fața primului termen, deoarece + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Exemplul 4

Să ne uităm la un alt exemplu. Să luăm expresia x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x și să efectuăm acțiunile cu ea x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Iată un alt exemplu de extindere a parantezei:

Exemplul 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Cum se extind parantezele precedate de un semn minus?

Să luăm în considerare cazurile în care există un semn minus în fața parantezelor și care nu sunt înmulțite (sau împărțite) cu niciun număr sau expresie. Conform regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul „-”, parantezele cu semnul „-” sunt omise, iar semnele tuturor termenilor din paranteze sunt inversate.

Exemplul 6

De exemplu:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Expresiile cu variabile pot fi convertite folosind aceeași regulă:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

obținem x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Deschiderea parantezelor la înmulțirea unui număr cu o paranteză, expresii cu o paranteză

Aici vom analiza cazurile în care trebuie să extindeți parantezele care sunt înmulțite sau împărțite cu un număr sau o expresie. Formule de forma (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) sau b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Unde a 1 , a 2 , … , a nși b sunt niște numere sau expresii.

Exemplul 7

De exemplu, să extindem parantezele din expresie (3 − 7) 2. Conform regulii, putem efectua următoarele transformări: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Se obține 3 · 2 − 7 · 2 .

Deschizând parantezele în expresia 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obținem 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Înmulțirea parantezei cu paranteze

Se consideră produsul a două paranteze de forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Acest lucru ne va ajuta să obținem o regulă pentru deschiderea parantezelor atunci când efectuăm înmulțirea paranteză cu paranteză.

Pentru a rezolva exemplul dat, notăm expresia (b 1 + b 2) ca b. Acest lucru ne va permite să folosim regula pentru înmulțirea unei paranteze cu o expresie. Se obține (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Prin efectuarea unei înlocuiri inverse b prin (b 1 + b 2), se aplică din nou regula înmulțirii unei expresii cu o paranteză: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Datorită unui număr de tehnici simple, putem ajunge la suma produselor fiecăruia dintre termenii din prima paranteză cu fiecare dintre termenii din a doua paranteză. Regula poate fi extinsă la orice număr de termeni din paranteze.

Să formulăm regulile de înmulțire a parantezelor cu paranteze: pentru a înmulți două sume împreună, trebuie să înmulțiți fiecare dintre termenii primei sume cu fiecare dintre termenii celei de-a doua sume și să adăugați rezultatele.

Formula va arăta astfel:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Să extindem parantezele din expresia (1 + x) · (x 2 + x + 6) Este produsul a două sume. Să scriem soluția: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Merită menționate separat acele cazuri în care există semnul minus între paranteze împreună cu semnele plus. De exemplu, luăm expresia (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Mai întâi, să prezentăm expresiile dintre paranteze ca sume: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Acum putem aplica regula: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3))) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Să deschidem parantezele: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Extinderea parantezelor în produse ale mai multor paranteze și expresii

Dacă există trei sau mai multe expresii între paranteze într-o expresie, parantezele trebuie deschise secvenţial. Trebuie să începeți transformarea punând primii doi factori între paranteze. În cadrul acestor paranteze putem efectua transformări conform regulilor discutate mai sus. De exemplu, parantezele din expresia (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

Expresia conține trei factori simultan (2 + 4) , 3 și (5 + 7 8) . Vom deschide parantezele secvenţial. Să includem primii doi factori într-o altă paranteză, pe care o vom face roșu pentru claritate: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

În conformitate cu regula de înmulțire a parantezei cu un număr, putem efectua următoarele acțiuni: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Înmulțiți paranteză cu paranteză: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Paranteză în natură

Gradele, ale căror baze sunt câteva expresii scrise între paranteze, cu exponenți naturali pot fi considerate ca produsul mai multor paranteze. Mai mult, conform regulilor din cele două paragrafe precedente, acestea pot fi scrise fără aceste paranteze.

Luați în considerare procesul de transformare a expresiei (a + b + c) 2 . Poate fi scris ca produsul a două paranteze (a + b + c) · (a + b + c). Să înmulțim paranteză cu paranteză și să obținem a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Să ne uităm la un alt exemplu:

Exemplul 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Împărțirea parantezei cu număr și a parantezelor cu paranteze

Împărțirea unei paranteze cu un număr necesită ca toți termenii încadrați între paranteze să fie împărțiți la număr. De exemplu, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Împărțirea poate fi mai întâi înlocuită cu înmulțire, după care puteți folosi regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor într-un produs. Aceeași regulă se aplică la împărțirea unei paranteze la o paranteză.

De exemplu, trebuie să deschidem parantezele în expresia (x + 2) : 2 3 . Pentru a face acest lucru, înlocuiți mai întâi împărțirea prin înmulțirea cu numărul reciproc (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Înmulțiți paranteza cu numărul (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Iată un alt exemplu de împărțire prin paranteză:

Exemplul 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Să înlocuim împărțirea cu înmulțirea: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Să facem înmulțirea: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Ordinea parantezelor de deschidere

Acum luați în considerare ordinea de aplicare a regulilor discutate mai sus în expresii vedere generala, adică în expresii care conţin sume cu diferenţe, produse cu câte, paranteze la gradul natural.

Procedură:

• primul pas este ridicarea parantezelor la o putere naturală;
• la a doua etapă se realizează deschiderea parantezelor în lucrări și coeficiente;
• Pasul final este deschiderea parantezelor în sume și diferențe.

Să considerăm ordinea acțiunilor folosind exemplul expresiei (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Să transformăm din expresiile 3 · (− 2) : (− 4) și 6 · (− 7) , care ar trebui să ia forma (3 2:4)și (− 6 · 7) . Când înlocuim rezultatele obținute în expresia originală, obținem: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Deschideți parantezele: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Când aveți de-a face cu expresii care conțin paranteze în paranteze, este convenabil să efectuați transformări lucrând din interior spre exterior.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

dezvoltarea capacității de a deschide paranteze, ținând cont de semnul din fața parantezelor;

în curs de dezvoltare:

dezvolta gandire logica, atenție, vorbire matematică, capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii;

ridicare:

formarea responsabilitatii, interes cognitiv pentru subiect

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Verifică-l prietene
Ești gata de curs?
Este totul la locul lui? Totul e bine?
Pix, carte și caiet.
Toată lumea sta corect?
Toată lumea urmărește cu atenție?

Vreau să încep lecția cu o întrebare pentru tine:

Care crezi că este cel mai valoros lucru de pe Pământ? (Răspunsurile copiilor.)

Această întrebare a îngrijorat omenirea de mii de ani. Acesta este răspunsul dat de celebrul om de știință Al-Biruni: „Cunoașterea este cea mai excelentă dintre posesiuni. Toată lumea se străduiește pentru asta, dar nu vine de la sine.”

Lăsați aceste cuvinte să devină motto-ul lecției noastre.

II. Actualizarea cunoștințelor, abilităților și abilităților anterioare:

Numărarea verbală:

1.1. Ce dată este astăzi?

2. Spune-mi ce știi despre numărul 20?

3. Unde se află acest număr pe linia de coordonate?

4. Dați numărul opus.

5. Numiți numărul opus.

6. Cum se numește numărul 20?

7. Ce numere se numesc opuse?

8. Ce numere se numesc negative?

9. Care este modulul numărului 20? - 20?

10. Care este suma numerelor opuse?

2. Explicați următoarele intrări:

a) Strălucitul matematician antic Arhimede s-a născut în 0287.

b) Genialul matematician rus N.I. Lobaciovski s-a născut în 1792.

primul jocuri Olimpice a avut loc în Grecia în 776.

d) Primele Jocuri Olimpice Internaționale au avut loc în 1896.

e) În anul 2014 s-au desfășurat XXII-a Jocurile Olimpice de iarnă.

3. Aflați ce numere se învârt pe „caruselul matematic” (toate acțiunile sunt efectuate oral).

II. Formarea de noi cunoștințe, abilități și abilități.

Ai învățat cum să performați acțiuni diferite cu numere întregi. Ce vom face mai departe? Cum vom rezolva exemple și ecuații?

Să găsim sensul acestor expresii

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Care este procedura din exemplul 1? Cât este între paranteze? Care este procedura din al doilea exemplu? Rezultatul primei acțiuni? Ce poți spune despre aceste expresii?

Desigur, rezultatele primei și celei de-a doua expresii sunt aceleași, ceea ce înseamnă că puteți pune un semn egal între ele: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Ce am făcut cu parantezele? (L-au coborât.)

Ce crezi că vom face astăzi în clasă? (Copiii formulează subiectul lecției.) În exemplul nostru, ce semn se află înaintea parantezelor. (La care se adauga.)

Și așa ajungem la următoarea regulă:

Dacă în fața parantezei există un semn +, atunci puteți omite parantezele și acest semn +, păstrând semnele termenilor din paranteze. Dacă primul termen dintre paranteze este scris fără semn, atunci trebuie scris cu semnul +.

Dar dacă există un semn minus înaintea parantezelor?

În acest caz, trebuie să raționați în același mod ca atunci când scădeți: trebuie să adăugați numărul opus celui care se scade:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- Așa că, am deschis parantezele când era un semn minus în fața lor.

Regula pentru deschiderea parantezelor este atunci când parantezele sunt precedate de semnul „-“.

Pentru a deschide parantezele precedate de semnul -, trebuie să înlocuiți acest semn cu +, schimbând semnele tuturor termenilor din paranteze la opus, apoi deschideți parantezele.

Să ascultăm regulile de deschidere a parantezelor în poezie:

Există un plus înainte de paranteză.
Despre asta vorbeste
De ce omiteți parantezele?
Lasă toate semnele!
Înainte de paranteză, minusul este strict
Ne va bloca drumul
Pentru a elimina parantezele
Trebuie să schimbăm semnele!

Da, băieți, semnul minus este foarte insidios, este un „paznic” la poartă (paranteze), eliberează numere și variabile doar atunci când își schimbă „pașapoartele”, adică semnele.

De ce trebuie să deschideți parantezele? (Când sunt paranteze, există un moment al unui element de incompletitudine, un fel de mister. Este ca o ușă închisă în spatele căreia se află ceva interesant.) Astăzi am explorat acest secret.

O scurtă excursie în istorie:

Bretele apar în scrierile lui Vieta (1593). Parantezele au devenit utilizate pe scară largă abia în prima jumătate a secolului al XVIII-lea, datorită lui Leibniz și cu atât mai mult lui Euler.

Minut de educație fizică.

III. Consolidarea noilor cunoștințe, abilități și abilități.

Lucrați conform manualului:

Nr. 1234 (deschideți parantezele) – oral.

Nr. 1236 (deschideți parantezele) – oral.

Nr 1235 (aflați sensul expresiei) - în scris.

Nr 1238 (simplificați expresiile) – lucrați în perechi.

IV. Rezumând lecția.

1. Se anunță notele.

2. Acasă. exercițiu. paragraful 39 nr. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. Ce am învățat astăzi?

Ce nou ai invatat?

Și vreau să închei lecția cu urări pentru fiecare dintre voi:

„Arată-ți abilitățile pentru matematică,
Nu fi leneș, ci dezvoltă-te în fiecare zi.
Înmulțiți, împărțiți, lucrați, gândiți,
Nu uita să fii prieten cu matematica.”

În această lecție veți învăța cum să transformați o expresie care conține paranteze într-o expresie fără paranteze. Veți învăța cum să deschideți parantezele precedate de un semn plus și un semn minus. Ne vom aminti cum să deschidem paranteze folosind legea distributivă a înmulțirii. Exemplele luate în considerare vă vor permite să conectați materialul nou și studiat anterior într-un singur întreg.

Tema: Rezolvarea ecuațiilor

Lecția: Extinderea parantezelor

Cum să extindeți parantezele precedate de semnul „+”. Folosind legea asociativă a adunării.

Dacă trebuie să adăugați suma a două numere la un număr, puteți adăuga mai întâi primul termen la acest număr și apoi al doilea.

În stânga semnului egal este o expresie cu paranteze, iar în dreapta este o expresie fără paranteze. Aceasta înseamnă că la deplasarea din partea stângă a egalității la dreapta, a avut loc deschiderea parantezelor.

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1.

Deschizând parantezele, am schimbat ordinea acțiunilor. A devenit mai convenabil să numărați.

Exemplul 2.

Exemplul 3.

Rețineți că în toate cele trei exemple am eliminat pur și simplu parantezele. Să formulăm o regulă:

Cometariu.

Dacă primul termen dintre paranteze este nesemnat, atunci trebuie scris cu semnul plus.

Puteți urma exemplul pas cu pas. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune poate fi efectuată mental, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că procedura schimbată va simplifica semnificativ calculele.

Dacă urmați procedura indicată, trebuie mai întâi să scădeți 345 din 512, apoi să adăugați la rezultat 1345. Prin deschiderea parantezelor, vom schimba procedura și vom simplifica semnificativ calculele.

Exemplu ilustrativ și regulă.

Să ne uităm la un exemplu: . Puteți găsi valoarea unei expresii adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Primim -7.

Pe de altă parte, același rezultat poate fi obținut prin adăugarea numerelor opuse celor inițiale.

Să formulăm o regulă:

Exemplul 1.

Exemplul 2.

Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze.

Exemplul 3.

Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor.

Pentru a deschide parantezele, în acest caz, trebuie să ne amintim proprietatea distributivă.

În primul rând, înmulțiți prima paranteză cu 2 și a doua cu 3.

Prima paranteză este precedată de semnul „+”, ceea ce înseamnă că semnele trebuie lăsate neschimbate. Al doilea semn este precedat de un semn „-”, prin urmare, toate semnele trebuie schimbate la opus

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul de matematică clasele 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii de clasa a VI-a la școala de corespondență MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.

1. Teste online la matematică ().
2. Puteți descărca cele specificate în clauza 1.2. cărți ().

Teme pentru acasă

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vezi 1.2)
2. Tema pentru acasă: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
3. Alte sarcini: nr. 1258(c), nr. 1248

Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. De exemplu, V numeric\(5·3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5·3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\) se va calcula mai întâi adunarea dintre paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemplu. Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Soluţie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemplu. Deschideți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie : În paranteză avem \(3\) și \(-x\), iar înaintea parantezei este un cinci. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \(5\) - vă reamintesc că Semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză nu este scris în matematică pentru a reduce dimensiunea intrărilor.

Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) din paranteză sunt înmulțite cu \(-2\).

Exemplu. Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluţie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Rămâne de luat în considerare ultima situație.

Când înmulțiți o paranteză cu o paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie : Avem un produs de paranteze și poate fi extins imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați prima paranteză - înmulțiți fiecare dintre termenii săi cu a doua paranteză:

Pasul 2. Extindeți produsele parantezelor și factorul așa cum este descris mai sus:
- Să începem cu începutul...

Apoi al doilea.

Pasul 3. Acum înmulțim și prezentăm termeni similari:

Nu este necesar să descrii toate transformările atât de detaliat; le poți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți cum să deschizi parantezele, să scrii în detaliu, vor fi mai puține șanse să faci greșeli.

Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuiți unul în loc de c, obțineți regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

Paranteză într-o paranteză

Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: simplificați expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pentru a rezolva cu succes astfel de sarcini, aveți nevoie de:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să ne uităm la sarcina scrisă mai sus ca exemplu.

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluţie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Există trei cuiburi de paranteze aici. Să începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața suportului, așa că pur și simplu se desprinde.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, cel intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia termenilor asemănătoare fantome din această a doua paranteză.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Înainte de paranteză este un factor - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Și deschide ultimul parantez. Există un semn minus în fața parantezei, deci toate semnele sunt inversate.

Extinderea parantezelor este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste C în clasa a VIII-a și a IX-a. Prin urmare, vă recomand să înțelegeți bine acest subiect.